精品解析：上海市黄浦区上海理工大学附属储能中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年上海理工大学附属储能中学高三（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共4小题，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求得绝对值不等式的解集，然后比较这个解集和范围的大小，根据充要条件的知识得出正确选项. 【详解】 ，此为小范围，后者为大范围，所以充分非必要条件.故选A. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查充分必要条件的判断方法，属于基础题. 2. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由空间中线面关系逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，若，，则 或， 当 时，，则或者与斜交或者 ， 当时，，则或者与斜交或者 ，故A错误； 对于B，若，，，可在取作为的法向量， 由于，故，即，则，故B正确； 对于C，若，，，则可能平行可能相交，也可能异面，故C错误； 对于D，若，，，则或 ，故D错误； 故选：B 3. 已知且 ，，则下列各项中，能推出的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性逐项判断即可. 【详解】当，时，是增函数，不等式，不能推出 ， A错误； 当，时，，B错误； 当，时，是减函数，不等式，不能推出，C错误； ，时，，D正确． 故选：D 4. 已知，设函数 在区间上的最大值为 ，在区间上的最大值为，当变化时，下列情况不可能发生的是（　　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据 的单调性，取特殊值排除选项. 【详解】取时，则，，函数 在上单调递减，最大值为，函数 在上单调递减，最大值为，故A正确； 取时，则，，函数 在上单调递减，最大值为，函数 在上单调递减，在上单调递增，最大值为，故B正确； 取时，则，，函数 在上单调递减，在上单调递增，最大值为，函数 在上单调递增，，最大值为，故C正确； 所以不可能发生的是D. 故选：D. 二、填空题：本题共12小题，共54分. 5. 已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集运算求解. 【详解】因为集合， 所以， 故答案为： 6. 不等式的解集为______  【答案】 【解析】 【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可求解. 【详解】不等式，即， 解得 故答案为： 7. 已知，则 的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式，即可求得结果． 【详解】由，则 故答案为： 8. 函数的严格减区间是______  . 【答案】 【解析】 【分析】求解导数，利用导数小于零可得减区间. 【详解】因为，所以，， 令，可得， 所以的严格减区间是 故答案为： 9. 若经过圆锥的轴的截面是一个边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正三角形求出圆锥的高，利用圆的面积公式求出圆锥的底面面积，利用圆锥的体积公式求出该圆锥的体积. 【详解】圆锥的轴的截面是一个边长为2的正三角形， 设这个三角形为， ， 底面圆 ， ， 底面圆 的面积， 则该圆锥的体积为. 故答案为： . 10. 函数的严格增区间是______  . 【答案】 【解析】 【分析】根据对数型复合函数单调性的求法可得答案． 【详解】根据题意函数， 设，有， 解可得，即函数的定义域为， 在区间上，为减函数， 也为减函数， 由复合函数的单调性法则得： 函数在上单调递增． 故答案为： 11. 有3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有______  种. 【答案】36 【解析】 【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间三人即可. 【详解】已知3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长， 则不同的排列种数有种． 故答案为：. 12. 设，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当 ，即时取得最小值. 故答案为：4 13. 已知是定义域为 的奇函数，且对任意的满足，若时，有，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，然后可算出答案. 【详解】因为，是定义域为 的奇函数， 所以 因为当时，有，所以 所以 故答案为： 14. 已知（i为虚数单位，为正整数），当、取遍所有正整数时，的值中不同虚数的个数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】由的整数次幂的周期性求出 的取值集合，进而列举出所有结果即可得解. 【详解】依题意，，，则， 因此，， 所以的值中不同虚数有：，共6个. 故答案为：6 15. 已知，且，当时，正整数k的最小值为______  . 【答案】51 【解析】 【分析】利用二项展开式得，再结合条件得k为奇数，且，即可求解． 【详解】因为展开后按x升幂排列， 则第 项为， 由题知， 因为，要使，则， 故k为奇数，故，， 故，解得， 又k为奇数，所以正整数k的最小值为 故答案为： 16. 已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的取值范围为______  . 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得中一定有两个1，一个0，再根据数量积关系，可设出向量的坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换，求解模的范围即可． 【详解】因为，又， 所以中一定有两个1，一个0， 不妨设， 则，， 根据， 不妨设，，， 则，所以， 又， 所以， 因为，所以， 所以 所以 所以 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图，在直三棱柱中，已知为的中点. （1）求异面直线与 所成角的大小（用反三角函数表示）； （2）求证：平面 . 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接与交于点 ，连接OD，可得， 为异面直线与 所成角（或其补角），利用直角三角形即可求解； （2）根据线面平行的判定定理即可证明. 【小问1详解】 连接与交于点 ，则 是的中点，连接OD，如图， 因为D是AB的中点， 所以,且， 所以 为异面直线与 所成角（或其补角）， 因为， 所以， 所以为直角三角形， 所以， 所以异面直线与 所成角为. 【小问2详解】 由（1）可得， 平面 ，平面 ， 平面 . 18. 已知向量，且， （1）求函数在上的单调递减区间； （2）已知的三个内角分别为，其对应边分别为 ， 若有，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量性质和三角恒等变换求出，进而求出函数在上的单调递减区间； （2）根据，求出，利用余弦定理和基本不等式求出面积最大值. 【小问1详解】 ∵，∴，即， 所以， 令，，解得：，， 因为，所以 ，解得：， 因为，所以，所以， 函数在上的单调递减区间为； 【小问2详解】 ，即， 因为，所以，所以，解得：， 因为，所以，从而， 由基本不等式可得：，当且仅当 时等号成立， 即，解得：， 由面积公式得：，当时，等号成立， 所以面积的最大值为 19. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： （1）求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； （2）独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； （3）为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，，第六组，得到如图所示的频率分布直方图.其中第一组有2人，第二组有13人.求与的值. 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）按照求百分数的计算步骤计算即可； （2）分别算出第一种与第二种生产方式中优秀的概率相乘即可； （3）据直方图面积为1的性质及第一组第二组的人数建立方程组，解出 ，进而得解. 【小问1详解】 40名工人完成生产任务所需时间按从小到大排列为： ，， ，，， ， ，，，，，，，，， ，， ，，， ，，，，，，，，，， ，， ， ， ，，，，，， 因为， 所以第75百分数为； 【小问2详解】 由题意可知，第一种生产方式中优秀的概率为， 第二种生产方式中优秀的概率为， 所以选出的两个人均为优秀的概率为. 【小问3详解】 依题意，则， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，. 20. 研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用 的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温摄氏度 100 91 82.9 设茶水温度从 经过x分钟后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②，；③， （1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到，（参考数据：，）； （3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 【答案】（1）模型②，且 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数图象性质确定模型，再结合数据求解析式； （2）令，利用指数与对数关系及对数运算性质求结果； （3）根据指数函数性质求函数的值域，即可确定进行实验时的室温． 【小问1详解】 由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则， 即，可得， 所以且； 【小问2详解】 令， 则， 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为； 【小问3详解】 由，即，所以进行实验时的室温约为 21. 对于两个定义域均为D的函数和，若存在 ，使得且，则称和“局部相等”. （1）判断函数 与 是否“局部相等”，并说明理由； （2）若函数与 “局部相等”，求实数m的值； （3）对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数 与 “局部相等”，求实数m的取值范围. 【答案】（1） ， 根据题意可令，解得， 所以函数 与 是“局部相等”； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）求出两函数的导函数，根据题意列方程解出值，即可得出答案； （2）求出两函数的导函数，根据题意列方程解出值，即可得出答案； （3）求出两函数的导函数，根据题意列方程，消去n可得关于的不等式有解，设，求导研究单调性，画出图象，即得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 若函数与 “局部相等”， 则，解得，； 【小问3详解】 根据题意可得关于m的不等式：有解， 消去n可得关于的不等式有解， 设，所以， 所以的符号为： 所以在单调递增，在单调递减， 所以 ，且时，；时，， 所以 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海理工大学附属储能中学高三（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共4小题，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 2. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 3. 已知且 ，，则下列各项中，能推出的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，设函数 在区间上的最大值为 ，在区间上的最大值为，当变化时，下列情况不可能发生的是（　　　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，共54分. 5. 已知集合，则__________. 6. 不等式的解集为______  7. 已知，则 的值为__________. 8. 函数的严格减区间是______  . 9. 若经过圆锥的轴的截面是一个边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为___________． 10. 函数的严格增区间是______  . 11. 有3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有______  种. 12. 设，则的最小值为_________． 13. 已知是定义域为的奇函数，且对任意的 满足，若时，有，则______. 14. 已知（i为虚数单位，为正整数），当、取遍所有正整数时，的值中不同虚数的个数为______． 15. 已知，且，当时，正整数k的最小值为______  . 16. 已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的取值范围为______  . 三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图，在直三棱柱中，已知为的中点. （1）求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）； （2）求证：平面 . 18. 已知向量，且， （1）求函数在上的单调递减区间； （2）已知的三个内角分别为，其对应边分别为 ， 若有，，求面积的最大值. 19. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： （1）求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； （2）独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； （3）为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，，第六组，得到如图所示的频率分布直方图.其中第一组有2人，第二组有13人.求与的值. 20. 研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用 的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温摄氏度 100 91 82.9 设茶水温度从 经过x分钟后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②，；③， （1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到，（参考数据：，）； （3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 21. 对于两个定义域均为D的函数和，若存在 ，使得且，则称和“局部相等”. （1）判断函数 与 是否“局部相等”，并说明理由； （2）若函数与 “局部相等”，求实数m的值； （3）对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数 与 “局部相等”，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $