第三十章《直线与圆的位置关系》单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 新人教版九年级上册《直线与圆的位置关系》单元卷，以切线性质、位置关系判定等核心知识为载体，融入割圆术、马车模型等文化与生活情境，考查几何直观、推理能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|切线性质、正多边形作图、位置关系|结合直尺三角尺光盘情境（第8题），考查抽象能力| |填空题|6/18|外切四边形性质、切线与平行线综合|融入石磨曲柄连杆模型（第16题），体现应用意识| |解答题|5/40|切线证明、实际问题（马车半径计算）|综合旋转与圆（第23题），发展推理能力与创新意识|

新人教版九年级上册第三十章《直线与圆的位置关系》单元测试 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，，，，以为圆心，为半径作圆．若与直线相切，则的值为  (    ) A. B. C. D. 2.利用等分圆可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的多边形是(    ) A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正七边形 3.如图所示，，是的切线，且，则下列说法不正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，，是的切线，，为切点，经过圆心若，则的长是(    ) A. B. C. D. 5.如图，从外一点引的两条切线，，切点分别为，如果，，那么弦的长是(    ) A. B. C. D. 6.若的直径为，直线与相交，圆心到直线的距离是，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.如图，经过圆心且与相交于，两点，与相切于点，连接，若，则(    ) A. B. C. D. 8.一把直尺、含角的三角尺和光盘按图摆放，为角与直尺的交点，为直尺与光盘的切点，为三角尺与光盘的切点若，则光盘的直径为(    ) A. B. C. D. 9.如图，是半圆的直径，点，将分成相等的三段弧，点在的延长线上，连接三个人给出以下说法： 甲：若为半圆的切线，则能得出． 乙：若连接，，则． 丙：若连接，，则． 三位同学给出的结论正确的是(    ) A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 只有甲 10.如图，的内接正三角形和外切正方形的边长之比是(    ) A. B. C. D. 11.如图，一张半径为的圆形纸片在边长为的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是(    ) A. B. C. D. 12.如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13.已知的半径为，圆心到直线的距离是，则直线与的位置关系是          ． 14.如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为          ． 15.如图，中，，过点作的平行线交过点的的切线于点若，则          ． 16.在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”图是一种推磨工具模型，图是它的示意图，图是其简化图，已知，点在中轴线上运动，点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，且当点按逆时针方向运动到时，与相切，则的长为          ． 17.我国魏晋时期数学家刘徽在为九章算术作注时，创立了“割圆术”如图所示的是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点若，则图中阴影部分的面积为          结果保留 18.如图，在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有一个公共点，则的取值范围是          ． 三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，连接，过点作，垂足为． 求证： 求证：为半圆的切线． 20.本小题分 如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且． 判断直线与的位置关系，并说明理由 若，，求的长． 21.本小题分 如图，四边形是的外切四边形，切点分别为，，，连接，，，． 若，，，则的长为           求证：． 22.本小题分 如图，中国古代的马车已经涉及很多复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人折服如图是马车局部的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架点在上的端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． 小明猜想，小明的猜想正确吗请说明理由． 若车架的端点到车轮与地面的接触点之间的距离为米，的长为米，求车轮的半径． 23.本小题分 如图，在中，，为边上一点不与点，重合，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． 初步探究：如图，线段，的数量关系是          ，位置关系是          若，，则的长为           拓展延伸：如图，在中，，为外一点，且，线段，，之间满足怎样的等量关系，请证明你的结论 综合运用：如图，已知是的直径，，是上的点，且，请直接写出线段，，之间满足的等量关系，并说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新人教版九年级上册第三十章《直线与圆的位置关系》单元测试 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，，，，以为圆心，为半径作圆．若与直线相切，则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 2.利用等分圆可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的多边形是(    ) A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正七边形 【答案】D  【解析】略 3.如图所示，，是的切线，且，则下列说法不正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 4.如图，，是的切线，，为切点，经过圆心若，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 5.如图，从外一点引的两条切线，，切点分别为，如果，，那么弦的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 6.若的直径为，直线与相交，圆心到直线的距离是，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 7.如图，经过圆心且与相交于，两点，与相切于点，连接，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 8.一把直尺、含角的三角尺和光盘按图摆放，为角与直尺的交点，为直尺与光盘的切点，为三角尺与光盘的切点若，则光盘的直径为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 9.如图，是半圆的直径，点，将分成相等的三段弧，点在的延长线上，连接三个人给出以下说法： 甲：若为半圆的切线，则能得出． 乙：若连接，，则． 丙：若连接，，则． 三位同学给出的结论正确的是(    ) A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 只有甲 【答案】C  【解析】切线的性质等边三角形的判定与性质 如图，连接，，，，， 点，将分成相等的三段弧， ． ． 为半圆的切线，． ．． 故甲的结论正确． 又，和是等边三角形． ． 故乙的结论不正确． 易知，，是边长相等的三个等边三角形， 故丙的结论正确． 综上可知，甲和丙的结论正确． 故选C． 10.如图，的内接正三角形和外切正方形的边长之比是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】如图所示，连接，过点作于点． 四边形是正方形，切于点， 设的外切正方形的边长为，则． 是的内接正三角形， ，，， 的内接正三角形的边长为， 的内接正三角形和外切正方形的边长之比是故选A． 11.如图，一张半径为的圆形纸片在边长为的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】如图，当圆形纸片运动到与的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心作两边的垂线，垂足分别为、，连接，在中，，，，，由题意得，得，圆形纸片不能接触到的部分的面积为，故选 C． 12.如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】   本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．    连接、，先利用切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理计算的度数． 【解答】 解：连接、， 、分别与相切于、两点， ，， ， ， ． 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13.已知的半径为，圆心到直线的距离是，则直线与的位置关系是          ． 【答案】相离  【解析】略 14.如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为          ． 【答案】  【解析】略 15.如图，中，，过点作的平行线交过点的的切线于点若，则          ． 【答案】  【解析】如图，连接，，． ， ． ， ，， 易得． ， ． 是的切线， ， ， ． ， ， ，故答案为． 16.在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”图是一种推磨工具模型，图是它的示意图，图是其简化图，已知，点在中轴线上运动，点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，且当点按逆时针方向运动到时，与相切，则的长为          ． 【答案】  【解析】略 17.我国魏晋时期数学家刘徽在为九章算术作注时，创立了“割圆术”如图所示的是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点若，则图中阴影部分的面积为          结果保留 【答案】  【解析】略 18.如图，在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有一个公共点，则的取值范围是          ． 【答案】或  【解析】略 三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，连接，过点作，垂足为． 求证： 求证：为半圆的切线． 【答案】(1)证明:AB为半圆O的直径,ADB=.又BA=BC,​​​​​​​AD=CD.  (2)连接OD.AD=CD,AO=OB,OD为ABC的中位线.OD//BC.DEBC,ODDE.又OD是半圆O的半径,DE为半圆O的切线.  【解析】 略  略 20.本小题分 如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且． 判断直线与的位置关系，并说明理由 若，，求的长． 【答案】(1)CB与O相切.理由如下: 如图,连接OB. ​​​​​​​ OA=OB,OAB=OBA. CP=CB,CPB=CBP. CPB=APO, CBP=APO. 在RtAOP中,A+APO=,OBA+CBP=,即OBC=. 又OB是O的半径,CB与O相切.   (2)A=,AOP=,APO=, OA=OB,OBA=A=, BOP=APO-OBA==OBP,OP=PB=. ​​​​​​​BPD=APO=,PC=CB,PBC是等边三角形,BC=PB=.   【解析】 略  略 21.本小题分 如图，四边形是的外切四边形，切点分别为，，，连接，，，． 若，，，则的长为           求证：． 【答案】(1)3  (2)如图,连接OE,OF,OG,OH.四边形 ABCD是O的外切四边形,切点分别为E,F,G,H,OEAB,OFBC,OBE=OBF,BOE=BOF.同理可得COF=COG,DOG=DOH,AOE=AOH,AOD+BOC==.   【解析】  四边形是的外切四边形，切点分别为，，，， ，，，， ， ．  略 22.本小题分 如图，中国古代的马车已经涉及很多复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人折服如图是马车局部的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架点在上的端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． 小明猜想，小明的猜想正确吗请说明理由． 若车架的端点到车轮与地面的接触点之间的距离为米，的长为米，求车轮的半径． 【答案】(1)解：小明的猜想正确. 理由:如图,连接OD. CD与O相切, ODCD, ODB+BDC=ODC=. AB为O的直径, ADB=, A+OBD=. OB=OD, ​​​​​​​ODB=OBD, A=BDC.    (2)设车轮的半径为r米,则OC=(r+3)米. CD=2米,O+C=O, +=, 解得r=. 答:车轮的半径为米.   【解析】 略  略 23.本小题分 如图，在中，，为边上一点不与点，重合，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． 初步探究：如图，线段，的数量关系是          ，位置关系是          若，，则的长为           拓展延伸：如图，在中，，为外一点，且，线段，，之间满足怎样的等量关系，请证明你的结论 综合运用：如图，已知是的直径，，是上的点，且，请直接写出线段，，之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)BD=CE ; BDCE ;   (2)B=C+2A.证明:如图,将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AE,连接EC,DE,AD=AE,DAE==BAC,BAD=CAE,在ABD和ACE中,∴△ABD≌ACE(SAS),BD=CE,在RtADE中,AD=AE,ADE=,D=2A,ADC=,CDE=ADC+ADE=,在RtCDE中,C=C+D,B=C+2A;  (3)AD+BD=CD.理由如下:如图,过点C作CECD交DA的延长线于E,连接AC,BC,则EAC=DBC.AB是O的直径,ACB=ADB=,ADC=,BDC==ADC,BAC=ABC=AC=BC,DCE=ACB=,ACE=BCD,ACEBCD(ASA),AE=BD,DE=AD+AE=AD+BD,CD=CE,DCE=,D=C+C=2C,DE=CD,AD+BD=CD.  【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $