第四章指数函数与对数函数单元检测-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学人教A版必修第一册第四章指数函数与对数函数专题练习卷，覆盖指数对数函数概念、性质、图像等核心知识，适配单元复习，通过基础巩固与能力提升题梯度设计，培养数学思维与运算能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|指数运算、函数求值、单调性、反函数|如第3题考指数函数区间最值，第4题考反函数求法，夯实基础| |多选题|3|函数图像分布、单调性与奇偶性综合|如第9题结合图像判断参数范围，第11题用不等式性质比较大小，提升推理能力| |填空题|3|对数运算、复合函数单调区间|第14题结合反函数与复合函数单调性，考查知识迁移| |解答题|5|单调性证明、奇偶性应用、不等式求解|第16题证函数单调性并求最值，第18题用复合函数思想分析单调区间，体现综合应用与逻辑推理|

高一数学人教A版必修第一册第四章指数函数与对数函数专题练习卷 一、单选题 1．（　　） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．函数在区间上最小值是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 4．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．函数y=ax﹣1+2（a＞0且a≠1）图象一定过点 A．（1，1） B．（1，3） C．（2，0） D．（4，0） 7．若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，，函数，的图像可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．(多选)若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有 A． B． C． D． 10．设函数，，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 11．已知,则下列不等式中,正确的是 A． B． C． D． 三、填空题 12．______． 13．若，则_________． 14．已知函数与的图象关于直线对称，则的单调递增区间为___________________． 四、解答题 15．已知全集，，，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16．已知函数． （1）证明：在（﹣∞，+∞）上为增函数； （2）若为奇函数，求在区间[1，5）上的最小值． 17．已知函数为奇函数（为常数）. (1)求的值，并证明函数的单调性； (2)解不等式 18．已知函数． （1）当时，求函数的单调减区间（使用复合函数思想判断，不用定义判断）； （2）若存在单调递增区间，求的取值范围． 19．已知指数函数（且）的图像过点． (1)设函数，求的定义域； (2)已知二次函数的图像经过点，，求函数的单调递增区间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高一数学必修第一册第四章指数函数与对数函数专题练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B A B B A B AD AC 题号 11 答案 AD 1．A 【解析】根据指数的运算法则计算即可. 【详解】解：原式=﹣ = = 故选：A. 2．A 【分析】由内向外，代入分段函数求值，先计算，再计算. 【详解】由题意，，所以. 故选：A. 3．B 【分析】根据指数函数的单调性，结合给定区间求最小值即可. 【详解】∵在上单调递增， ∴. 故选：B. 4．A 【解析】求函数的反函数，由此求得的解析式. 【详解】函数定义域为，值域为，将对数式化为指数式得，则，交换的位置得.所以. 故选：A 【点睛】本小题主要考查反函数的求法，属于基础题. 5．B 【分析】利用对数函数的单调性、换底公式、指数函数的单调性即可求解 【详解】易知，又，因为，所以，即；又，所以. 故选：B. 6．B 【详解】试题分析：根据指数函数过定点的性质，直接领x﹣1=0即可得到结论． 解：由x﹣1=0，解得x=1，此时y=1+2=3， 即函数的图象过定点（1，3）， 故选B 考点：指数函数的单调性与特殊点． 7．A 【分析】将、、均化为的指数幂，然后利用指数函数的单调性得出三个实数的大小关系. 【详解】，，， 由于指数函数是上的增函数，且，因此，. 故选A. 【点睛】本题考查利用指数函数的单调性比较大小，解题的关键就是将三个实数化为同一底数的指数幂，考查推理能力，属于中等题. 8．B 【分析】对分类讨论，结合指对函数的单调性判断． 【详解】解：当时，，单调递增，且图像过点，单调递减，图象过，B项符合．当时，单调递减，且图象过点，单调递增，图像过点，没有符合条件的选项． 故选 【点睛】本题考查对数函数和指数函数的图象和性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细观察，注意数形结合思想的合理运用． 9．AD 【分析】根据指数型函数的图象分布列式可解得. 【详解】因为函数 (,且)的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图像如图所示:      由图像可知函数为增函数，所以.当时，， 故选AD. 【点睛】本题考查了指数函数的图象,属于基础题. 10．AC 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理以及，可得，进而可判断ABC,根据基本不等式即可判断D. 【详解】由于函数均为定义域内的单调递增函数，故和均为定义域内的单调递增函数， ，故存在， ，故存在， 由于， 可得，且 由于，所以，故A正确， 由于，所以，故B错误，C正确， 由于， 所以， 由于，所以，故，当且仅当，即时等号成立，但，这与矛盾，故等号取不到，所以，故D错误， 故选:AC 11．AD 【解析】根据不等式性质可求得，，利用基本不等式可求得，，结合对数函数和指数函数的单调性可依次判断出各个选项. 【详解】且    ， ，正确；，错误； （当且仅当，即时取等号），又     ，错误； （当且仅当时取等号），又     ，正确. 故选： 【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够利用不等式的性质、基本不等式确定幂指数、真数所处的范围，进而得到临界的函数值. 12．0 【分析】利用分数指数幂的运算法则得到答案. 【详解】. 故答案为：0 13．3 【分析】可根据已知条件，将对数化成指数关系，然后对等，找到a、b之间等量关系，带入到a、b、c三者关系中，找到b、c的关系，即可完成求解. 【详解】因为，所以，， 此时，化简得， 所以，， 所以3. 故答案为：3. 14．， 【分析】先计算得到，根据复合函数的单调性得到计算得到答案. 【详解】函数与的图象关于直线对称，则 根据复合函数单调性得到的单调递增区间满足 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了复合函数的单调性，忽略掉定义域是容易发生的错误. 15．（1）；（2） 【解析】（1）对每个集合分别求解，再结合集合的运算，即可求得； （2）由，根据两个集合区间端点值关系进行求解. 【详解】（1）当时，， 则. 又， 所以 （2）， ， 因为，所以， 解得. 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题考查集合的运算，以及集合之间的关系，属基础题. 16．（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）任取两个实数、，且，代入解析式证明即可； （2）先根据单调性求得参数a，再利用单调性求最值即可. 【详解】解：（1）证明：∵的定义域为R，任取两个实数、，且 则， ∵，∴， ∴，即．所以为R上的增函数； （2）∵在R上为奇函数，∴，即．解得． 当时，的定义域显然关于原点对称，， ，故当时，为奇函数． 由（1）知，为R上的增函数，∴在区间[1，5）上的最小值为． ∵，∴在区间[1，5）上的最小值为． 【点睛】方法点睛： 定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤： 1.取值：任取，，且， 2.作差：计算； 3.定号：确定的正负； 4.得出结论：根据同增异减得出结论. 17．(1)1，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用奇函数的定义式求解的值或者特殊函数值对称求解，再利用单调性定义法证明函数的单调性； （2）由（1）中单调性，列不等式求解即可. 【详解】（1）解：解法一：由为奇函数，得 即， 求得 解法二：由为奇函数，得， 即， 求得， 经检验：为奇函数 证明：，且有 由得于是， 所以，函数在上单调递增 （2）解：由（1）得函数在上单调递增， 由得 ， 解得. 18．（1）；（2）． 【分析】（1）先求出定义域，再判断、的单调性，结合复合函数的单调性得出函数的单调减区间； （2）讨论（），由复合函数的单调性确定函数存在单调递增（减）区间，再结合二次函数的性质得出的范围. 【详解】（1）当时，， 由，得，得 即的函数的定义域为 设， 则是开口向下，且对称轴为的二次函数 所以其在上单调递增，在上单调递减； 又显然是增函数 所以在上单调递增，在上单调递减 所以的单调递减区间为． （2）若存在单调递增区间 则当，则函数存在单调递增区间即可，则判别式得或（舍）． 当，则函数存在单调递减区间即可，则判别式得或（舍）此时不成立 综上实数的取值范围是． 【点睛】关键点睛：在判断复合函数的单调性时，关键是按照“同增异减”的原则进行判断，但要注意函数的定义域. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据条件求出解析式，再列出不等式即可求得定义域. （2）由待定系数法求得解析式，再根据复合函数的单调性即可得到结果. 【详解】（1）由题意知，解得，所以，， 令，解得．所以的定义域为． （2）设， 则， ，由， 得，解得，则， 又，所以， 所以在上单调递减， 又在上是减函数，所以函数的单调递增区间为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $