第四章指数函数与对数函数单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学指数函数与对数函数单元卷，适配单元复习，全面覆盖指数对数运算、函数性质（奇偶性/单调性）、零点问题等核心知识点，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|指数幂运算、函数奇偶性、命题真假判断|基础概念辨析，如第3题结合周期性与奇偶性求函数值| |多项选择题|3/18|函数定点、基本不等式、二次函数图像分析|多维度能力考查，如第11题通过图像判断二次函数性质| |填空题|3/15|指数对数运算、分段函数值、零点分布|简洁性与综合性结合，如第14题由零点分布求参数范围| |解答题|5/77|运算化简、定义域、奇偶性证明、方程解问题|分层递进，如第19题综合偶函数解析式、图像绘制与零点个数求参数，体现数学思维与表达|

第四章 指数函数与对数函数 章末检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知正数满足，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是周期为2的偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（     ） A．命题“”的否定是“” B．存在整数，使得． C．存在一个无理数，它的立方是有理数． D．至少有一个整数，使得为奇数． 5．函数在的最小值与最大值的和为（   ） A．e B．1 C． D．3 6．已知，，则（    ） A．4 B． C．8 D．16 7．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．已知函数，，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C．最小值为2 D． 11．已知二次函数（、、为常数，且）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（   ）    A． B． C．关于的二次函数有个零点 D．关于的一元二次不等式的解集为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．______． 13．已知函数，则的值是__________. 14．若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0，则m的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（15分）（1）计算：； （2）化简：； （3）已知，求的值. 16．（15分）计算下列各题： (1)； (2). (3). 17．（13分）已知函数 (1)求的定义域，并求，，，的值； (2)观察（1）中的函数值，写出的单调性和奇偶性，并选择其中一个性质加以证明. 18．（17分）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若，求的取值范围． 19．（17分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时， . (1)求函数在上的解析式； (2)在给定的坐标系内画出函数的图象（不需列出表格），并写出函数的单调增区间； (3)若关于x的方程有2个不同解，求实数m的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第四章 指数函数与对数函数 章末检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C C D C D D ACD ABD 题号 11 答案 ABD 1．A 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】将给定式子两边平方后，即可得解. 【详解】正数满足，则， 可得． 故选：A． 2．D 【知识点】由奇偶性求参数、求指数函数解析式 【分析】对任意的，，求出的等式，根据可求出实数的值. 【详解】对任意的，，则， 因为函数为奇函数，则， 故当时，由可得，即， 所以，解得. 3．C 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据函数周期与奇偶性将自变量转化到已知区间，再代入求值 【详解】. 4．C 【知识点】判断命题的真假、指数幂的运算、特称命题的否定及其真假判断 【分析】对于A，由命题的否定即可判断，对于BD，通过条件得其运算结果为偶数不是奇数，对于C，由指数幂的运算即可找到满足题意的无理数. 【详解】A选项：命题“”的否定是“”，故A错； B选项：偶数 奇数，故B错误； C选项：，故C正确； D选项：为偶数，故D错误． 5．D 【知识点】对数的概念判断与求值、求已知指数型函数的最值 【详解】由题知函数在上单调递增， 所以， 则最小值与最大值的和为3． 6．C 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【详解】由，得， 由，得，即， 所以． 7．D 【知识点】并集的概念及运算、求对数函数在区间上的值域 【分析】由根号下的非负性解不等式，结合对数函数的图像性质即可求解. 【详解】解，得，即集合， 对于，为函数的图像向左平移2个单位，其值域不变为， 即集合，所以. 8．D 【知识点】判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性、对数函数单调性的应用、零点存在性定理的应用 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 9．ACD 【知识点】指数型函数图象过定点问题、幂函数图象的判断及应用 【分析】利用求出函数的定点，再代入得到解析式，根据函数图像确定正确选项. 【详解】时，，所以恒过定点，即， 代入得，的图像经过第一、三、四象限. 10．ABD 【知识点】基本不等式求和的最小值、对数的运算性质的应用 【详解】由，或， 当时，则有，这与相矛盾， 当时，有，显然选项B正确； 由 又因为，所以，所以， 所以选项A正确； 因为，所以，所以没有最小值， 因此选项C不正确；选项D正确. 11．ABD 【知识点】二次函数的图象分析与判断、解不含参数的一元二次不等式、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用韦达定理可得出，，且有，可判断AB选项；利用图象可判断CD选项. 【详解】对于AB选项，二次函数的图象交轴于点、， 所以方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，，故，， 又因为该二次函数的图象开口向上，故，所以，A对，B对； 对于C选项，由图象可知，关于的二次函数有且只有个零点，C错； 对于D选项，由图可知，关于的一元二次不等式的解集为，D对. 故选：ABD. 12．0 【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的运算 【详解】. 13．/ 【知识点】指数幂的运算、求分段函数值 【详解】因为，所以. 14． 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】由一元二次函数有两个零点且开口向上，则求解即可. 【详解】若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0， 因为该二次函数开口向上，则，即. 故答案为：. 15．（1）；（2）；（3） 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据指数幂的运算性质，结合根式的性质进行运算即可； （2）根据指数幂的乘法和除法的运算法则进行运算即可； （3）根据指数幂的运算性质，结合换元法进行运算求解即可. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）由可得， 即， 又，令，则， 解得，即. 16．(1) (2) (3) 【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的运算 【详解】（1） （2） （3） 17．(1)定义域为，，，，； (2)在上单调递减，为奇函数； 奇偶性证明：定义域为， ， 故在定义域内为奇函数； 单调性证明：，且， 则 ， 因为，所以， 因为，所以，故， 所以，即， 故在上单调递减， 同理可证在上单调递减，故在上单调递减. 【知识点】求函数值、具体函数的定义域、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）解不等式，得到定义域，并求出各函数值； （2）写出的单调性和奇偶性，并用定义法证明函数单调性和奇偶性. 【详解】（1）令，解得，故定义域为， ，，， ； （2）略 18．(1) (2)为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. (3) 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）利用对数的真数大于0求函数的定义域. （2）利用奇函数的定义证明函数的奇偶性. （3）根据对数函数的单调性结合函数的定义域解不等式. 【详解】（1）， 由， 得， 所以的定义域为. （2）略 （3）因为的定义域为，， 令， 由于对数函数单调递减， 所以， 解得. 所以的取值范围为. 19．(1) (2)图象见解析，的单调增区间为和 (3)或 【知识点】根据图像判断函数单调性、画出具体函数图象、由奇偶性求函数解析式、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）当时，，代入条件，化简整理，根据为偶函数，即可求得答案. （2）根据解析式，作出图象，进而可得单调递增区间. （3）由题意与图象有2个不同交点，作出图象，分析判断，即可得答案. 【详解】（1）当时，，则， 因为是定义在R上的偶函数， 所以 （2）的图象，如图所示： 由图象可得，的单调增区间为和. （3）由图象可得， 因为关于x的方程有2个不同解， 所以与的图象有2个不同交点， 作出与的图象，如图所示 则或，解得或， 所以实数m的取值范围或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $