专题1.4 充分条件与必要条件（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第一册

本高中数学讲义聚焦充分条件、必要条件与充要条件核心知识点，以“概念定义—判定方法—充要证明”为学习支架，先阐释“若p则q”命题中p与q的逻辑关系及符号表示，再从逻辑推理和集合关系双角度构建判定体系，最后延伸至充要条件的证明及综合应用。 资料通过“即学即练”即时巩固、题型分类（如参数范围求解、充要条件证明）系统训练，培养学生逻辑推理与抽象概括能力，体现数学思维的严谨性。课中助力教师分层教学，课后学生可通过典型例题与练习题查漏补缺，强化对复杂命题条件关系的理解与应用。

专题1.4 充分条件与必要条件 教学目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的基本定义，掌握四种条件关系的判定方法，能准确区分命题间的充分、必要、既不充分也不必要关系。 2.通过命题辨析、实例推导、题型归纳的学习过程，提升逻辑推理与抽象概括能力，建立严谨的数学逻辑思维体系。 3.体会数学逻辑的严谨性与实用性，学会用逻辑思维分析数学问题与生活命题，培养理性思考、严谨解题的学习习惯。 教学重难点 1.重点 1.掌握充分条件与必要条件的核心定义，明确 “若 p 则 q” 命题中 p、q 对应的条件关系。 2.熟练掌握基础题型的条件判定方法，能够快速判断两个简单命题间的条件关系。 3.理解并区分充要条件的概念，掌握充要条件的双向等价逻辑关系。 2.难点 准确辨析必要条件的逻辑本质，突破学生容易混淆充分、必要的思维误区。 掌握含不等式、集合范围、方程解集类复杂命题的条件关系判定。 能根据条件关系逆向求解参数范围，解决条件与参数结合的综合题型。 知识点01 充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：. 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的_________. ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件. 【即学即练】 1．下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 2．（多选）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 3．下列命题中，为假命题的是（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件 知识点02 充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的_________条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的_________条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 【即学即练】 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（多选）在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 知识点03 充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题. 【即学即练】 1．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 2．已知，求证：的充要条件是. 3．设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 题型01 充分条件与必要条件的判断 1.判断充分条件、必要条件的注意点 (1)明确条件与结论. (2)判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题. (3)可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q. 2.充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法： ①确定谁是条件，谁是结论;②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件;③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. (2)命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件; ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件. 【典例1】（多选）设，，下列说法正确的是（   ） A．若，则是的充分不必要条件 B．若，则是的充分不必要条件 C．若，则是的充分必要条件 D．若，，则是的既不充分也不必要条件 【变式1】已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型02 根据充分条件求参数取值范围 (1)化简p、q两命题，(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，(3)利用集合间的关系建立不等关系，(4)求解参数范围． 【典例1】已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【变式2】已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________． 题型03 根据必要条件求参数取值范围 (1)化简p、q两命题，(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， (3)利用集合间的关系建立不等关系，(4)求解参数范围． 【典例1】已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式2】设全集，集合，非空集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 题型04 根据充要条件求参数取值范围 (1)化简p、q两命题，(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， (3)利用集合间的关系建立不等关系，(4)求解参数范围． 【典例1】已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【变式1】集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【变式2】设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 题型05 充要条件的证明 证明充要条件分两步：先证充分性，由条件推出结论；再证必要性，由结论反推条件，两步缺一不可。解题优先拆分命题，分清谁是条件、谁是结论。涉及集合、不等式、函数类题型可借助集合包含关系辅助判断。书写时明确标注充分、必要性证明，逻辑推导步步有据。注意规避只证单向、推导跳步等失分点，含参数题目最后检验边界取值是否成立。 【典例1】设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是. 【变式1】若集合，．证明：集合与不可能相等． 【变式2】已知，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型06 充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 【典例1】“”的一个必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】命题，.若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 【变式2】（多选）关于的方程至少有一个负根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 1．（多选）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 2．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 5．已知a，b为实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（多选）对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 7．已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 8．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 9．设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值． 10．已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 1．已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．对于实数、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设，为非零实数，则“”是 “”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 9．已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 充分条件与必要条件 教学目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的基本定义，掌握四种条件关系的判定方法，能准确区分命题间的充分、必要、既不充分也不必要关系。 2.通过命题辨析、实例推导、题型归纳的学习过程，提升逻辑推理与抽象概括能力，建立严谨的数学逻辑思维体系。 3.体会数学逻辑的严谨性与实用性，学会用逻辑思维分析数学问题与生活命题，培养理性思考、严谨解题的学习习惯。 教学重难点 1.重点 1.掌握充分条件与必要条件的核心定义，明确 “若 p 则 q” 命题中 p、q 对应的条件关系。 2.熟练掌握基础题型的条件判定方法，能够快速判断两个简单命题间的条件关系。 3.理解并区分充要条件的概念，掌握充要条件的双向等价逻辑关系。 2.难点 准确辨析必要条件的逻辑本质，突破学生容易混淆充分、必要的思维误区。 掌握含不等式、集合范围、方程解集类复杂命题的条件关系判定。 能根据条件关系逆向求解参数范围，解决条件与参数结合的综合题型。 知识点01 充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：. 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件. ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件. 【即学即练】 1．下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【详解】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题. 2．（多选）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 【答案】AD 【详解】A，D是真命题，B中同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；C中平行四边形不是梯形，故C错误． 3．下列命题中，为假命题的是（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【详解】因为，所以“”是“”的必要条件，A是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，B是真命题；因为，C是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，D是假命题． 知识点02 充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 【即学即练】 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由可得，解得， 由解得或， 因为集合是集合的真子集， 即由可推出或，由或，推不出， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 3．（多选）在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 【答案】ABC 【详解】若二次方程的两根为正数，则，，，故满足其中一个或两个不能推出二次方程的两根为正数，所以选项A，B，C能成为使二次方程的两根为正数的必要不充分条件. 知识点03 充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题. 【即学即练】 1．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意，则，故证明如下：必要性，在中，假设是锐角，作，为垂足，如图1．显然，即．充分性，在中，因为，所以不是直角．假设为钝角，如图2，作，交BC的延长线于点．则，即，与矛盾．故为锐角，则，都为锐角，即为锐角三角形． 2．已知，求证：的充要条件是. 【答案】 ①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 3．设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【答案】，证明见解析 【详解】为锐角三角形的充要条件为. 证明：充分性：若，则不是直角三角形. 若为钝角三角形，因为，则. 过点B作的延长线的垂线，垂足为D（如图（1））， 由勾股定理知 ，矛盾， 故为锐角三角形，充分性成立. 必要性：过点A作边的垂线，垂足为D(如图(2))， 由勾股定理知， ， 故必要性成立. 故为锐角三角形的充要条件为.    题型01 充分条件与必要条件的判断 1.判断充分条件、必要条件的注意点 (1)明确条件与结论. (2)判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题. (3)可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q. 2.充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法： ①确定谁是条件，谁是结论;②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件;③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. (2)命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件; ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件. 【典例1】（多选）设，，下列说法正确的是（   ） A．若，则是的充分不必要条件 B．若，则是的充分不必要条件 C．若，则是的充分必要条件 D．若，，则是的既不充分也不必要条件 【答案】BCD 【详解】 若，则由可推出，所以是的充分条件，若，则由可推出，故A错误；若，则推不出，此时是的不必要条件，故B正确；若，则与间可互相推出，此时是的充分必要条件，故C正确；若，，即集合，没有包含关系，与之间不能互相推出，故是的既不充分也不必要条件，故D正确． 【变式1】已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因是的真子集，故是的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若“”，则有，可推出“”成立， 若“”，则有或，解得或，推不出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 题型02 根据充分条件求参数取值范围 (1)化简p、q两命题，(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，(3)利用集合间的关系建立不等关系，(4)求解参数范围． 【典例1】已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 【变式1】已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 【变式2】已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【详解】．因为，所以集合不是空集，即，解得．由题意知集合A是集合的真子集，即或，解得或．综上所述，实数a的取值范围为． 题型03 根据必要条件求参数取值范围 (1)化简p、q两命题，(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， (3)利用集合间的关系建立不等关系，(4)求解参数范围． 【典例1】已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即． 【变式1】已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当时，集合，全集，则或， 又因为集合，故. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集， 当时，，解得； 当时，由题意可得，解得， 检验：当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意； 当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式2】设全集，集合，非空集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）， 或 当时，， 或. （2）“”是“”的必要不充分条件等价于非空集合是集合的真子集， 易知，即， 则有，且等号不能同时取到，解得. 故的取值范围为. 题型04 根据充要条件求参数取值范围 (1)化简p、q两命题，(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， (3)利用集合间的关系建立不等关系，(4)求解参数范围． 【典例1】已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)．(2)2 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 【变式1】集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 【变式2】设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1)(2). 【详解】（1）由条件， 是的充要条件， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由是的充分不必要条件，得真包含于， 所以，或，解得， 综上实数的取值范围是. 题型05 充要条件的证明 证明充要条件分两步：先证充分性，由条件推出结论；再证必要性，由结论反推条件，两步缺一不可。解题优先拆分命题，分清谁是条件、谁是结论。涉及集合、不等式、函数类题型可借助集合包含关系辅助判断。书写时明确标注充分、必要性证明，逻辑推导步步有据。注意规避只证单向、推导跳步等失分点，含参数题目最后检验边界取值是否成立。 【典例1】设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】证明：必要性：设方程与有公共根， 则，. 两式相减，得， 由，可得， 故， 将此式代入得 可得，故. 充分性：∵，∴.① 将①代入方程， 可得，即， 方程两根为或， 将①代入方程， 可得， 即，方程两根为或， 故两方程有公共根. ∴方程与有公共根的充要条件是. 【变式1】若集合，．证明：集合与不可能相等． 【答案】证明见解析 【详解】假设集合，则且， 即且，这不可能． 故假设不成立，即集合与不可能相等． 【变式2】已知，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】若，则，或，所以，或. 当时，，不满足集合中元素的互异性，故； 当时，， 故由，可得； 反之，当时，显然也成立. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 题型06 充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 【典例1】“”的一个必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：是选项中对应集合的真子集， 结合选项可知：，所以是的必要不充分条件，故选项A正确； ，所以是的充分不必要条件，B错误； ，所以是的充分不必要条件，所以C错误； ，且，所以是的既不充分也不必要条件，以D错误. 故选：A． 【变式1】命题，.若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】设，， 因为的一个充分不必要条件是，则是的充分不必要条件， 则是的真子集，所以. 故答案为：. 【变式2】（多选）关于的方程至少有一个负根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有两个负根时，则有，解得， 当方程有一个负根一个正根时，则有即， 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 选项中，在的范围内，且比小的范围有A、B、C． 故选：ABC. 1．（多选）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【详解】对于A，由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得或，所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B；由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件，故B正确； 对于C；由，且，得，所以，且是的充分条件； 当时，有，但且， 所以，且是的不必要条件； 所以“，且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，得或，所以是的不充分条件， 由，得，所以是的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 2．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，，满足，但. 若，因为，所以成立. 所以是必要不充分条件. 3．条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，当，，此时不等式无解， 当，此时，所以，解得，即, 已知，且是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以. 4．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， 集合， 当时，，； 当时，； 若，则； 若，则； 若，推不出. 所以是的充要条件； 是的必要不充分条件； 和都是的既不充分也不必要条件. 所以的一个必要不充分条件是. 5．已知a，b为实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】取，满足，但，故不能得到， 若，则，故， 综上可得“”是“”的充分不必要条件. 6．（多选）对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为二次函数的， 对于A，若，则，所以不等式恒成立， 所以能推出不等式， 当不等式成立时，不一定大于， 当时，不等式也成立， 故不等式推不出， 所以是不等式的充分不必要条件，故A正确； 对于B，将代入，不能推出不等式，故B错误； 对于C，若，分两种情况： ①若，不等式变为：成立， ②若对任意的，，成立， 所以能推出不等式， 取，成立，但， 所以不等式推不出， 所以是不等式的充分不必要条件，故C正确； 对于D，不等式成立时，实数，不同时为， 即，所以不等式能推出， 必要性成立，故D错误. 7．已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：若，由，可得；若，由，可得， 不满足充分性，故A错误； 选项B：根据函数的单调性知，“”是“”的充要条件，故B错误； 选项C：由，可得；不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 选项D：“”不能得出，也不能推出， 故是的既不充分也不必要条件，故D错误． 8．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【详解】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 9．设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先分别求解集合和集合，再根据交集的定义求出； （2）先分别求解集合和集合，再根据逻辑关系得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）当 时，集合， 分式不等式等价于：， 解得：，即 ， 因为集合 ， 由 ， 解得： 或 ，即 ， 因此：. （2）因为，则， 解得：，即 ， 则， 由题意，“”是“”的必要不充分条件， 即 ，且 ，则， 因此：， 解得：，所以 10．已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 1．已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的关系及集合元素的互异性求解判断即可. 【详解】因为，所以，要使，则，所以. 此时集合，， 要让，所以，解得. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足. 因此，若则且； 反之，若且可得. 即则“且”是“”的充要条件. 2．已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，满足，而，充分性不成立； 当时，满足，而，必要性不成立， 则“”是“”的既不充分也不必要条件. 3．对于实数、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当，时，满足，但，所以”推不出“，充分性不成立， 因为，所以，又因为，所以，即 “能推出“”，必要性成立， 综上“”是“”的必要不充分条件. 4．若a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”，因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即“”，可知必要性成立． 因此“”是“”的必要不充分条件，故选B． 5．设，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：对不等式移项通分得，已知，即， 要使分式大于0，分母必须也为负，因此可得，充分性成立； 必要性：若，说明异号，结合条件，可知为正数，为负数. 因此，，必然有，必要性成立. 综上，是的充要条件。 6．设，为非零实数，则“”是 “”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件与必要条件定义举特殊值判断即可. 【详解】由题意当时，满足，但，故充分性不满足； 当时，满足，但，故必要性不满足； 所以“”是 “”成立的既不充分也不必要条件. 7．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对不等式化简变形可得： ，即，进一步化简可得： ，即， 所以原不等式等价于：， 若，则，，， 因此，原不等式成立， 即，充分性成立， 若取，，此时，​， 满足（原不等式成立），但不满足， 即，所以必要性不成立。 因此“”是“​”的充分不必要条件. 8．已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)讨论两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； (2)由是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围. 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 9．已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据是的充分不必要条件,得到是A的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可. (2)利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围, 【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $