1.4 充分条件与必要条件（8个题型归纳）（原卷版）人教A版必修第一册2026年暑假新高一上学期数学预习讲义

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【1.4 充分条件与必要条件】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．命题 用__自然语言、符号或式子______表达，且可以__判断其真假______的语句叫做命题．命题通常用陈述句表述．其含义__判断为真______的命题叫做真命题，_判断为假_______的命题叫做假命题． 说明：（1）判定一个语句是否为命题需满足两个条件：①陈述句，②可判断真假．只有这两个条件都具备，才可以称这个语句为命题； （2）判断的结果可真可假，但真假必居其一，假命题也是命题； （3）判断命题的真假应写“真命题、假命题”，而不写“正确、错误”． 2．推出关系 （1）命题“若，则”是真命题，是指_所有_______满足条件的对象都满足结论，用集合的语言描述即_满足满足_______．所以，要确定这类命题是真命题，就必须给出其证明； （2）命题“若，则”是假命题，是指__存在______满足条件的对象，它不满足结论．所以，要确定这类命题是假命题，可以举一个满足条件而不满足结论的例子就可以了； （3）如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作_（或_______． 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则________． 说明：“若，则”是真命题与是同一种逻辑关系，前者是用文字语言表达，后者是用符号语言表达，不同的表述而已． 3．充分条件与必要条件： 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 由p可以推出q，记作_p⇒q__ 由p不能推出q，记作___ 条件关系 p是q的_充分条件__ p不是q的充分条件___ q是p的_必要条件__ q不是p的_必要条件__ 4．充要条件 一般地，如果既有________，又有________，就记作________．此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果________，那么与互为充要条件． 概括地说， （1）如果_______，那么与互为充要条件． （2）若________，但________，则称是的充分不必要条件． （3）若___ _____，但________，则称是的必要不充分条件． （4）若________，且________，则称是的既不充分也不必要条件． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：命题的概念】 【练方法】 公式结论 1.可以判断真假的陈述句叫做命题 2.命题标准形式若则为条件为结论 3.成立为真命题不成立为假命题 方法技巧 1.先判断语句是否为陈述句疑问句祈使句感叹句都不是命题 2.再判断语句能否分出确定真假模糊无法判定真假的不是命题 3.拆分命题条件与结论改写为若则标准形式 易错提醒 1.把疑问句祈使句判定为命题 2.无法客观判断真假的语句当作命题 3.改写命题时混淆条件与结论 （25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（ ）经典例题1例题 A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 下列语句为命题的是（    ）经典例题2例题 A．x2－1＝0 B．2＋3＝8 C．你会说英语吗？ D．这是一棵大树 下列语句为命题的是小试牛刀1 A． B．是一个大数 C．三角函数的图象真漂亮! D．指数函数是递增函数吗? 下列语句为命题的是（    ）小试牛刀2 A． B．你们好！ C．下雨了吗？ D．对顶角相等 下列语句为命题的是小试牛刀3 A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是的三角形是直角三角形 【题型2：充分条件与必要条件的判断】 【练方法】 公式结论 1.若是的充分条件是的必要条件 2.集合视角设 方法技巧 1.逻辑推证法尝试由推导能推出则为充分条件 2.集合范围法写出两个条件对应集合小范围推出大范围 3.举反例存在反例无法推出则不满足充分/必要关系 易错提醒 1.推导方向颠倒把当成 2.集合范围记反误以为大范围能推出小范围 3.忽略举反例验证仅凭单一情况判定推出关系 （2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知，则（    ）经典例题1例题 A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 （2026高二·安徽·学业考试）设，，则（    ）经典例题2例题 A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 （25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列命题中，p是q的充分条件的是（　　）小试牛刀1 A．若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 B．若，则 C．若，则 D．若，为无理数，则为无理数 （25-26高一上·湖北咸宁·阶段检测）（多选）王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽，黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼，才能穷千里目”的逻辑关系，请判断以下哪些选项正确（    ）小试牛刀2 A．“更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件. B．“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件. C．“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件. D．“能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件. （25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）已知是的充分条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（    ）小试牛刀3 A．是的充分条件 B．是的充要条件 C．是的充分条件 D．是的必要条件 【题型3：充要条件的判断】 【练方法】 公式结论 1.即且是的充要条件 2.集合视角与互为充要条件 方法技巧 1.双向推导先证推再证推双向成立才是充要 2.集合法两个条件对应集合完全相等即为充要 3.等价变形对条件做恒等变换等价则互为充要 易错提醒 1.只证明单向推出就判定为充要条件 2.集合只是包含不相等误判为充要条件 3.变形过程使用不等价变换破坏双向推出关系 （河南省安阳市天一大联考2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题）若，则“”是“”的（   ）经典例题1例题 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （25-26高一上·河南安阳·期中）“”是“”的（   ）经典例题2例题 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （25-26高一上·云南·期中）已知与的内切圆半径相等，则“与的面积相等”是“与的周长相等”的（   ）小试牛刀1 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 （25-26高一上·河北张家口·期中）设，则“”的充要条件为（    ）小试牛刀2 A．至少有一个为2 B．都为2 C．都不为2 D． （25-26高三上·上海普陀·阶段检测）设、是实数.下列选项中是充要条件的是（    ）小试牛刀3 A． B．; C．; D．. 【题型4：充分不必要与必要不充分条件的判断】 【练方法】 公式结论 1.充分不必要且对应集合 2.必要不充分且对应集合 方法技巧 1.分两步验证正向能推反向不能推就是充分不必要 2.集合对比小范围集合对应条件是大范围条件的充分不必要 3.反向能推正向不能推就是必要不充分 易错提醒 1.推出方向搞反混淆充分不必要与必要不充分 2.集合包含关系看错分不清谁是谁的真子集 3.忽略反向举反例只验证正向推导就下定论 （25-26高二下·广东深圳·期末）设，则“”是“”的（ ）．经典例题1例题 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （25-26高一下·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ）经典例题2例题 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 （25-26高二下·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ）小试牛刀1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2026·山东烟台·模拟预测）“”是“”的（    ）小试牛刀2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （25-26高二下·浙江台州·期末）已知集合，，则“”是“”的（    ）小试牛刀3 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型5：充要条件的证明】 【练方法】 公式结论 1.证明是充要条件必须分两步充分性必要性 方法技巧 1.第一步证充分性由条件出发推导结论 2.第二步证必要性由结论出发推导条件 3.两步独立书写不可合并省略任意一步推导 易错提醒 1.只证明充分性或只证明必要性缺少一半步骤 2.充分性与必要性证明推导方向写反 3.证明过程使用题目未给出的隐含条件 （2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”．经典例题1例题 （25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知二次函数，其中且.经典例题2例题 (1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； (2)若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根. （25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是.小试牛刀1 （25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知，求证：的充要条件是．小试牛刀2 （参考公式：） （2026高一·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是．小试牛刀3 【题型6：由充分不必要条件求参数】 【练方法】 公式结论 1.是充分不必要为对应集合为对应集合 方法技巧 1.分别写出对应的取值集合 2.根据真子集关系画数轴列出参数不等式组 3.解不等式后回代检验边界等号能否取到 易错提醒 1.集合关系写反写成 2.数轴端点等号取舍错误扩大或缩小参数范围 3.不检验临界参数值出现两集合相等的情况 已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.经典例题1例题 （25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题．经典例题2例题 (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 已知集合，已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.小试牛刀1 已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．小试牛刀2 （25-26高一上·湖南娄底·期末）设全集，集合，.小试牛刀3 (1)若，求集合； (2)命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【题型7：由必要不充分条件求参数】 【练方法】 公式结论 1.是必要不充分为对应集合为对应集合 方法技巧 1.写出两个条件对应集合 2.依据集合是集合真子集列不等式 3.验证参数临界值避免两集合完全相等 易错提醒 1.颠倒集合包含关系写成 2.不等式端点漏等号或多写等号 3.解完参数不回代检验推出关系 已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．经典例题1例题 已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.经典例题2例题 已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.小试牛刀1 （25-26高一上·上海·期末）已知集合，.小试牛刀2 (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. （25-26高一上·广东深圳·期末）已知集合.小试牛刀3 (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【题型8：由充要条件求参数】 【练方法】 公式结论 1.是充要条件两条件对应集合完全相等 方法技巧 1.分别化简的取值集合 2.集合相等则左右端点一一对应相等联立方程求解参数 3.求出参数后代回验证双向推出成立 易错提醒 1.集合只是互相包含不相等误按充要条件列等式 2.端点对应不完整只匹配单侧区间边界 3.解出参数不验证出现单向推不出的情况 设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值；经典例题1例题 （25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ）经典例题2例题 A．2 B．1 C．0 D． 若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ）小试牛刀1 A． B． C．1 D．2 （24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）关于的方程的解为的充要条件是_________．小试牛刀3 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知的三条边长为a，b，c，则“是等边三角形”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）已知A，B，C为非空集合，全集，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·广东茂名·二模）已知实数，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二下·辽宁·阶段检测）已知p： ，q：则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高一上·四川成都·期中）努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 9．（2026·四川遂宁·二模）设，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2026·重庆渝中·模拟预测）对于实数、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2026·湖南长沙·三模）设甲：且，乙：且，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 13．（25-26高二下·天津·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 15．（23-24高一上·云南文山·阶段检测）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 三、填空题 16．“”是“”的_______________条件． 17．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 18．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）命题“”是命题“”的____________条件． 四、解答题 19．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，数学中三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件. (1)一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个______条件；数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个______条件. (2)设均为正实数，证明：的充要条件是. 20．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处．并完成第（2）问的证明． (1)是的___________条件： (2)已知，证明：成立的___________条件是． 提示： 21．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 22．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 23．（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 24．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【1.4 充分条件与必要条件】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．命题 用__自然语言、符号或式子______表达，且可以__判断其真假______的语句叫做命题．命题通常用陈述句表述．其含义__判断为真______的命题叫做真命题，_判断为假_______的命题叫做假命题． 说明：（1）判定一个语句是否为命题需满足两个条件：①陈述句，②可判断真假．只有这两个条件都具备，才可以称这个语句为命题； （2）判断的结果可真可假，但真假必居其一，假命题也是命题； （3）判断命题的真假应写“真命题、假命题”，而不写“正确、错误”． 2．推出关系 （1）命题“若，则”是真命题，是指_所有_______满足条件的对象都满足结论，用集合的语言描述即_满足满足_______．所以，要确定这类命题是真命题，就必须给出其证明； （2）命题“若，则”是假命题，是指__存在______满足条件的对象，它不满足结论．所以，要确定这类命题是假命题，可以举一个满足条件而不满足结论的例子就可以了； （3）如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作_（或_______． 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则________． 说明：“若，则”是真命题与是同一种逻辑关系，前者是用文字语言表达，后者是用符号语言表达，不同的表述而已． 3．充分条件与必要条件： 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 由p可以推出q，记作_p⇒q__ 由p不能推出q，记作___ 条件关系 p是q的_充分条件__ p不是q的充分条件___ q是p的_必要条件__ q不是p的_必要条件__ 4．充要条件 一般地，如果既有________，又有________，就记作________．此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果________，那么与互为充要条件． 概括地说， （1）如果_______，那么与互为充要条件． （2）若________，但________，则称是的充分不必要条件． （3）若___ _____，但________，则称是的必要不充分条件． （4）若________，且________，则称是的既不充分也不必要条件． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：命题的概念】 【练方法】 公式结论 1.可以判断真假的陈述句叫做命题 2.命题标准形式若则为条件为结论 3.成立为真命题不成立为假命题 方法技巧 1.先判断语句是否为陈述句疑问句祈使句感叹句都不是命题 2.再判断语句能否分出确定真假模糊无法判定真假的不是命题 3.拆分命题条件与结论改写为若则标准形式 易错提醒 1.把疑问句祈使句判定为命题 2.无法客观判断真假的语句当作命题 3.改写命题时混淆条件与结论 （25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（ ）经典例题1例题 A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】由命题的定义判断各个选项即可. 【详解】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题. 下列语句为命题的是（    ）经典例题2例题 A．x2－1＝0 B．2＋3＝8 C．你会说英语吗？ D．这是一棵大树 【答案】B 【解析】命题是能判断真假的语句，由命题概念来对四个选项分别进行判断． 【详解】x2－1＝0，无法判断真假，故A不是命题； 2+3=8不正确，故B是命题； 命题不能是疑问句，故C不是命题； 这是一棵大树，无法判断真假，故D不是命题． 故选：B． 【点睛】本题主要考查命题的概念，熟记定义即可，属于基础题. 下列语句为命题的是小试牛刀1 A． B．是一个大数 C．三角函数的图象真漂亮! D．指数函数是递增函数吗? 【答案】A 【详解】命题是可以判断真假的陈述句，选项无法判断大小，选项是感叹句，选项是疑问句，故选项正确. 点睛：在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．命题分为四种：原命题、逆命题、否命题和逆否命题，原命题和逆否命题真假性相同，逆命题和否命题真假性相同. 下列语句为命题的是（    ）小试牛刀2 A． B．你们好！ C．下雨了吗？ D．对顶角相等 【答案】D 【分析】根据命题的定义判断即可. 【详解】因为能够判断真假的语句叫作命题，所以ABC错误，D正确. 故选：D 下列语句为命题的是小试牛刀3 A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是的三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】根据命题的定义,即可判断选项是否正确. 【详解】由命题定义可知:能够判断命题真假的陈述句. 所以D为命题,ABC不能判断真假,所以不是命题 所以选D 【题型2：充分条件与必要条件的判断】 【练方法】 公式结论 1.若是的充分条件是的必要条件 2.集合视角设 方法技巧 1.逻辑推证法尝试由推导能推出则为充分条件 2.集合范围法写出两个条件对应集合小范围推出大范围 3.举反例存在反例无法推出则不满足充分/必要关系 易错提醒 1.推导方向颠倒把当成 2.集合范围记反误以为大范围能推出小范围 3.忽略举反例验证仅凭单一情况判定推出关系 （2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知，则（    ）经典例题1例题 A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【详解】对于A，若，满足，而， 则“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，若，满足，而， 则“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，由，当时，， 则“”不是“”的充分条件，故C错误； 对于D，由，则且，即， 所以“”是“”的必要条件，故D正确. （2026高二·安徽·学业考试）设，，则（    ）经典例题2例题 A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 【答案】C 【分析】求出方程的解，利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】由可得或， 命题不一定推出命题，命题不是命题的充分条件； 命题可推出命题，命题是命题的必要条件， 是的必要不充分条件． 故选：C. （25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列命题中，p是q的充分条件的是（　　）小试牛刀1 A．若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 B．若，则 C．若，则 D．若，为无理数，则为无理数 【答案】AC 【分析】根据充分条件的定义进行判断. 【详解】对A：因为菱形的对角线互相垂直，所以“：四边形为菱形”是“：这个四边形的对角线互相垂直”的充分条件； 对B：因为 或，所以“：”不是“：”的充分条件； 对C：因为 ，所以“：”是 “：”的充分条件； 对D：当，，则，为无理数，但为有理数，所以“：，为无理数”不是“：为无理数”的充分条件. 故选：AC （25-26高一上·湖北咸宁·阶段检测）（多选）王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽，黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼，才能穷千里目”的逻辑关系，请判断以下哪些选项正确（    ）小试牛刀2 A．“更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件. B．“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件. C．“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件. D．“能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件. 【答案】BC 【分析】利用充分性与必要性的条件判断即可. 【详解】由题意可知只有更上一层楼才能穷千里目，但仅更上一层楼，未必能穷千里目， 所以“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件，“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件； 故A错误，B正确，故C正确，D错误. 故选：BC. （25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）已知是的充分条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（    ）小试牛刀3 A．是的充分条件 B．是的充要条件 C．是的充分条件 D．是的必要条件 【答案】ABD 【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义求解即可. 【详解】由已知得. 选项A，，则是的充分条件，所以A正确； 选项B，，则，所以是的充要条件，所以B正确； 选项C，根据已知条件，无法得出是的充分条件，所以C错误； 选项D，，则是的必要条件，所以D正确. 故选：ABD. 【题型3：充要条件的判断】 【练方法】 公式结论 1.即且是的充要条件 2.集合视角与互为充要条件 方法技巧 1.双向推导先证推再证推双向成立才是充要 2.集合法两个条件对应集合完全相等即为充要 3.等价变形对条件做恒等变换等价则互为充要 易错提醒 1.只证明单向推出就判定为充要条件 2.集合只是包含不相等误判为充要条件 3.变形过程使用不等价变换破坏双向推出关系 （河南省安阳市天一大联考2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题）若，则“”是“”的（   ）经典例题1例题 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】将等式进行等价变形，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】若，由得，即，即，即， 若且，即且，此时， 若，则“”是“”的充要条件. 故选：C. （25-26高一上·河南安阳·期中）“”是“”的（   ）经典例题2例题 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的概念求解即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以， 故选：C （25-26高一上·云南·期中）已知与的内切圆半径相等，则“与的面积相等”是“与的周长相等”的（   ）小试牛刀1 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角形内切圆的半径与周长、面积的关系，结合充分条件、必要条件得解. 【详解】设的内切圆半径为，周长为. 因为的面积， 所以当与的面积相等时，与的周长相等； 同理，当与的周长相等时，与的面积相等. 则“与的面积相等”是“与的周长相等”的充要条件, 故选：A （25-26高一上·河北张家口·期中）设，则“”的充要条件为（    ）小试牛刀2 A．至少有一个为2 B．都为2 C．都不为2 D． 【答案】A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为2， 所以“”的充要条件为“至少有一个为2”，故A符合题意，BCD不符合题意. 故选：A. （25-26高三上·上海普陀·阶段检测）设、是实数.下列选项中是充要条件的是（    ）小试牛刀3 A． B．; C．; D．. 【答案】D 【分析】取特殊值可判断ABC，利用不等式性质可判断D. 【详解】当时，成立，推不出，故A错误； 当时，成立，推不出，故B错误； 当时，成立，推不出，故C错误； 当时，，由不等式性质可得， 若，两边同乘以可得，即充要条件的是，故D正确. 故选：D 【题型4：充分不必要与必要不充分条件的判断】 【练方法】 公式结论 1.充分不必要且对应集合 2.必要不充分且对应集合 方法技巧 1.分两步验证正向能推反向不能推就是充分不必要 2.集合对比小范围集合对应条件是大范围条件的充分不必要 3.反向能推正向不能推就是必要不充分 易错提醒 1.推出方向搞反混淆充分不必要与必要不充分 2.集合包含关系看错分不清谁是谁的真子集 3.忽略反向举反例只验证正向推导就下定论 （25-26高二下·广东深圳·期末）设，则“”是“”的（ ）．经典例题1例题 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系. 【详解】不等式可化为， 所以，若成立， 一定满足，因此充分性成立， 若满足，不一定满足（例如）， 因此，必要性不成立. （25-26高一下·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ）经典例题2例题 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】取，成立，不成立，故 ， 若，则，所以“”是“”的必要不充分条件. （25-26高二下·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ）小试牛刀1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】应用不等式性质及特殊值法结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. （2026·山东烟台·模拟预测）“”是“”的（    ）小试牛刀2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由 或 或. 所以时，必成立； 当时，可以不成立，如时，但不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. （25-26高二下·浙江台州·期末）已知集合，，则“”是“”的（    ）小试牛刀3 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先计算集合，再根据充分和必要条件的定义判断即可； 【详解】因为解得，所以， 若，则一定有，所以“”是“”的充分条件； 若，则不一定有，所以“”是“”的不必要条件； 因此 “”是“”的充分不必要条件； 【题型5：充要条件的证明】 【练方法】 公式结论 1.证明是充要条件必须分两步充分性必要性 方法技巧 1.第一步证充分性由条件出发推导结论 2.第二步证必要性由结论出发推导条件 3.两步独立书写不可合并省略任意一步推导 易错提醒 1.只证明充分性或只证明必要性缺少一半步骤 2.充分性与必要性证明推导方向写反 3.证明过程使用题目未给出的隐含条件 （2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”．经典例题1例题 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． （25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知二次函数，其中且.经典例题2例题 (1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； (2)若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用充分条件和必要条件的定义证明. （2）利用反证法，由题意得同为奇数或同为偶数，为奇数，假设有整数根，分同为奇数，同为偶数，结合的奇偶性可证结论. 【详解】（1）必要性：若一元二次方程有一正根和一负根， 则由韦达定理得：，即； 充分性：若成立，此时方程一元二次方程的， 方程有两个不同的根，且，即一元二次方程有一正根和一负根. 所以一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是. （2）当时，为奇数， 当时，均为奇数，因为为奇数，所以为偶数， 所以同为奇数或同为偶数， 假设有整数根，则， 1、当均为偶数时，则为偶数，为偶数，又为奇数， 所以为奇数，所以，与假设矛盾； 2、当均为奇数时，若为偶数，则为偶数，为偶数，又为奇数， 所以为奇数，所以，与假设矛盾； 若为奇数，则为奇数，为奇数，又为奇数， 所以为奇数，所以，与假设矛盾； 综上，假设不成立，所以方程无整数根. （25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是.小试牛刀1 【答案】证明见解析 【分析】通过因式分解得到 ，即可求证. 【详解】证明： ， ， 因为，是正实数， 所以 ， 得证. （25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知，求证：的充要条件是．小试牛刀2 （参考公式：） 【答案】答案见解析 【分析】直接根据立方和公式因式分解即可得证. 【详解】 ， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． （2026高一·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是．小试牛刀3 【答案】证明见解析 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【题型6：由充分不必要条件求参数】 【练方法】 公式结论 1.是充分不必要为对应集合为对应集合 方法技巧 1.分别写出对应的取值集合 2.根据真子集关系画数轴列出参数不等式组 3.解不等式后回代检验边界等号能否取到 易错提醒 1.集合关系写反写成 2.数轴端点等号取舍错误扩大或缩小参数范围 3.不检验临界参数值出现两集合相等的情况 已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.经典例题1例题 【答案】. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数的取值范围为. （25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题．经典例题2例题 (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【详解】（1）因为命题为真命题，所以，解得 （2）令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 已知集合，已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.小试牛刀1 【详解】因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集； 则或，解得. 已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．小试牛刀2 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 当时，即，则， 当时，，得， 综上，的取值范围为或 （25-26高一上·湖南娄底·期末）设全集，集合，.小试牛刀3 (1)若，求集合； (2)命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据补集的定义和并集的定义进行求解即可； （2）根据充分不必要的定义进行求解即可. 【详解】（1），， 所以或，； （2）因为是的充分不必要条件，所以且， 所以，其中等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 【题型7：由必要不充分条件求参数】 【练方法】 公式结论 1.是必要不充分为对应集合为对应集合 方法技巧 1.写出两个条件对应集合 2.依据集合是集合真子集列不等式 3.验证参数临界值避免两集合完全相等 易错提醒 1.颠倒集合包含关系写成 2.不等式端点漏等号或多写等号 3.解完参数不回代检验推出关系 已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．经典例题1例题 【详解】或，. 又是的必要不充分条件，是的真子集. ①当时，则，得， ②当时，则或，解得， 综上，实数的取值范围是． 已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.经典例题2例题 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为集合的子集关系，再结合集合的子集关系，分类讨论，即可求解. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合是集合的真子集，需使，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.小试牛刀1 【答案】 【分析】先将“q是p的必要不充分条件”转化为集合是集合的真子集，再根据集合真包含关系列不等式组，求解实数的取值范围. 【详解】∵q是p的必要不充分条件，∴⫋， 则或，解得， 故实数的取值范围为. （25-26高一上·上海·期末）已知集合，.小试牛刀2 (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； （2）因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. （25-26高一上·广东深圳·期末）已知集合.小试牛刀3 (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）当时，求出集合B的取值范围； （2）根据题意得到集合B是集合A的真子集，分类和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 因为，所以或，. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合B是集合A的真子集，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【题型8：由充要条件求参数】 【练方法】 公式结论 1.是充要条件两条件对应集合完全相等 方法技巧 1.分别化简的取值集合 2.集合相等则左右端点一一对应相等联立方程求解参数 3.求出参数后代回验证双向推出成立 易错提醒 1.集合只是互相包含不相等误按充要条件列等式 2.端点对应不完整只匹配单侧区间边界 3.解出参数不验证出现单向推不出的情况 设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值；经典例题1例题 【答案】2 【详解】由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得， 所以实数的值是. （25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ）经典例题2例题 A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值． 【详解】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ）小试牛刀1 A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． （24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A （24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）关于的方程的解为的充要条件是_________．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解法，以及充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由必要性得，若方程的解为，把代入方程解得， 当时，方程为，解得，充分性成立， 所以方程的解为的充要条件为. 故答案为：. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知的三条边长为a，b，c，则“是等边三角形”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为 且且 是等边三角形， 所以“是等边三角形”是“”的充要条件. 3．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）已知A，B，C为非空集合，全集，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为全集，集合，所以是的子集， 则“”是“”的必要不充分条件. 4．（2026·广东茂名·二模）已知实数，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】借助特殊值法否定充分性，结合基本不等式推导必要性，进而判定两个条件间的逻辑关系. 【详解】若，取，，满足，，此时，而， 因此，由无法推出，充分性不成立. 若，由，，得， 因此，，即，必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 5．（25-26高二下·辽宁·阶段检测）已知p： ，q：则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】充分性：由 ，得 ， 则，所以p是q的不充分条件； 必要性：由，得 ， 则 或 ，所以p是q的不必要条件， 故p是q的既不充分也不必要条件. 6．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 7．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】对于充分性，当时，满足，不满足，则充分性不成立， 对于必要性，当时，满足，不满足，则必要性不成立， 可得“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 8．（25-26高一上·四川成都·期中）努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】“努力学习不一定能够成功”，则“努力学习”不能推出“成功”，不满足充分性， “不努力学习一定不会成功”则“不努力学习”能推出“不成功”， 其逆否命题“成功”能推出“努力学习”，满足必要性， 故“努力学习”是“成功”的必要不充分条件． 9．（2026·四川遂宁·二模）设，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：对不等式移项通分得，已知，即， 要使分式大于0，分母必须也为负，因此可得，充分性成立； 必要性：若，说明异号，结合条件，可知为正数，为负数. 因此，，必然有，必要性成立. 综上，是的充要条件。 10．（2026·重庆渝中·模拟预测）对于实数、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当，时，满足，但，所以”推不出“，充分性不成立， 因为，所以，又因为，所以，即 “能推出“”，必要性成立， 综上“”是“”的必要不充分条件. 11．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，求出时，，结合充分条件与必要条件判断即可． 【详解】时，，符合， 时，，又， 或，解得或， 综上，时，， 则“”是“”的充分不必要条件． 12．（2026·湖南长沙·三模）设甲：且，乙：且，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断即可． 【详解】根据充分条件，必要条件的定义，若”且”则”且”是真命题，充分性成立． 反之是假命题，比如当，时满足且，但推不出且. 13．（25-26高二下·天津·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由“”是“”的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 14．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的关系及集合元素的互异性求解判断即可. 【详解】因为，所以，要使，则，所以. 此时集合，， 要让，所以，解得. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足. 因此，若则且； 反之，若且可得. 即则“且”是“”的充要条件. 二、多选题 15．（23-24高一上·云南文山·阶段检测）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【详解】对于A，由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得或，所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B；由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件，故B正确； 对于C；由，且，得，所以，且是的充分条件； 当时，有，但且， 所以，且是的不必要条件； 所以“，且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，得或，所以是的不充分条件， 由，得，所以是的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 三、填空题 16．“”是“”的_______________条件． 【答案】必要不充分 【详解】“”，可以推出“”，满足必要性； “”，不能推出“”，不满足充分性； 故“”是“”的一个必要不充分条件． 17．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 【答案】 【详解】命题对应集合， 命题对应集合或， 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即， 又，故的取值范围为. 18．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）命题“”是命题“”的____________条件． 【答案】必要不充分 【分析】按充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】设命题，命题， 由推不出，如时，满足，但， 所以充分性不满足； 由能推出， 因为，即， 所以且， 所以是的必要不充分条件. 即命题“”是命题“”的必要不充分条件. 四、解答题 19．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，数学中三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件. (1)一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个______条件；数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个______条件. (2)设均为正实数，证明：的充要条件是. 【答案】(1)充分；必要 (2)证明见解析. 【分析】（1）由充分条件、必要条件的定义即可得答案； （2）由充要条件的定义证明即可. 【详解】（1）因为由每一个判定定理的条件，都能推出结论成立， 即已知条件成立时，结论一定成立， 所以每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件； 每一个性质定理由结论推已知条件， 即结论成立，已知条件一定成立， 但使结论成立时的条件不仅只有已知条件这一个， 所以每一个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件； 故答案为：充分；必要. （2）证明：充分性： 因为，且均为正实数， 所以，， 所以； 必要性：因为均为正实数，且， 所以， 即， 所以， 所以. 20．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处．并完成第（2）问的证明． (1)是的___________条件： (2)已知，证明：成立的___________条件是． 提示： 【答案】(1)必要不充分 (2)充要，证明见解析 【分析】（1）利用充分条件和必要条件的定义判断即可； （2）利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】（1）当时，令，此时不成立， 当时，可得且， 所以， 所以是的必要不充分条件． （2）成立的充要条件是． 先证必要性： ； 再证充分性： ， 即： ，即． 综上所述：成立的充要条件是． 21．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)讨论两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； (2)由是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围. 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 22．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）由题意可得 ，再分及计算即可得. 【详解】（1）若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组， 解得 ，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①，此时 ，解得； ②，此时，解得； 综上，的取值范围是或． 23．（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 24．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $