专题1.5 全称量词与存在量词（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第一册

本讲义聚焦全称量词与存在量词核心知识点，系统梳理量词含义、命题概念、符号表示及否定形式，构建从概念理解到命题辨析，再到含参数问题求解的递进式学习支架，助力学生夯实逻辑基础。 资料以“即学即练”即时巩固与题型变式训练为亮点，通过对比辨析培养数学思维的严谨性，借助规范表达训练提升数学语言的准确性。课中辅助教师分层教学，课后通过典型例题与综合练习，帮助学生查漏补缺，强化逻辑辨析与问题解决能力。

专题1.5 全称量词与存在量词 教学目标 1.理解全称量词、存在量词的含义，掌握全称命题与特称命题的概念，能准确识别两类量词命题。 2.通过对比辨析、命题改写与否定训练，提升逻辑辨析能力与规范解题的数学素养。 3.感受数学语言的严谨性，养成规范表述命题、严谨推理判断的良好思维习惯。 教学重难点 1.重点 掌握全称量词、存在量词的符号表示与命题基本结构。 能够准确区分全称命题与特称命题，并判断命题真假。 熟练掌握两类量词命题的标准否定形式。 2.难点 突破量词命题否定的思维误区，区分否定命题与否命题的差异。 准确处理含参数的全称、特称命题真假问题，正确求解参数范围。 灵活辨析隐藏量词的文字型命题，完成标准化改写与判断。 知识点01 全称量词与全称量词命题 “所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做_______命题. 表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.　 对全称量词与全称量词命题的理解 (1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定. (2)常见的全称量词还有_______等. (3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”. (4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 【即学即练】 1．下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 2．下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 3．（多选）已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 知识点02 存在量词与存在量词命题 “存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做_______命题. 表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为. 对存在量词与存在量词命题的理解 (1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题. (2)常见的存在量词还有____________________________等. (3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题. (4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”. (5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 【即学即练】 1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 2．（多选）（多选）下列能说明存在量词命题“，”为真命题的是（    ） A． B． C． D． 3．若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点03 全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 【即学即练】 1．已知命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（多选）下列说法正确的有（    ） A．命题“”的否定是“” B．“”是“”的必要条件 C．命题“”是假命题 D．若为假命题，则为真命题 3．命题“”的否定是（    ） A．， B． C． D． 知识点04 常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 【即学即练】 1．命题p与命题的真假情况可以简单归纳为“不可同真同假”．即命题p和命题不能同真同假，只能是______． 2．命题“存在，使得”的否定是______． 3．命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 题型01 判断语句是否为命题 判断一个语句是否是命题的三个关键点 (1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题. (2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题. (3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题;否则就不是命题. 【典例1】（多选）下列命题属于存在量词命题的是（    ） A．任意一个自然数都是整数 B．有的菱形是正方形 C．梯形有两边平行 D．， 【变式1】下列命题中：①任意一个正方形都是中心对称图形；②所有三角形都有外接圆；③存在，使得；④任意一个菱形都是平行四边形． 其中全称量词命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】下列命题中不是全称量词命题的是（    ） A．， B．， C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等 题型02 命题真假的判断 判断命题真假的方法 (1)真命题的判定方法. 要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证. (2)假命题的判定方法. 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法. 【典例1】下列四个命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．，是整数 【变式2】（多选）下列叙述正确的是（     ） A．， B．命题“，”的否定是“，或” C．命题“，”的否定是真命题 D．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 题型03 全称量词命题与存在量词命题的判定 理解全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点 (1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”. (2)有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”. (3)存在命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“存在” 【典例1】下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【变式1】下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 【变式2】下列命题中是假命题的个数为______． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 题型04 判断全称量词命题与存在量词命题的真假 （1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； （2）要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题. 【典例1】下列存在量词命题为假命题的是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数 【变式1】下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 【变式2】下列命题既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．直角三角形的内角是锐角或直角 B．至多有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 题型05 由全称量词命题的真假确定参数取值范围 解决全称量词求参数，核心转化为恒成立问题。先分离参数，转化为参数小于函数最小值或大于函数最大值；无法分离则分类讨论函数最值。定义域内全部成立，只需保证区间上最值满足不等式。判断真假时，假命题可反向求补集简化计算。注意函数定义域、端点取值，二次函数需结合开口、对称轴、判别式综合分析，最后检验边界数值是否符合题意。 【典例1】已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【变式1】已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知“”为真命题，“”为真命题，那么p，q的取值范围分别是（   ） A． B． C． D． 题型06 由存在量词命题的真假确定参数取值范围 存在量词命题为真等价于不等式有解，转化为函数最值问题。参变分离后，参数大于函数最小值或小于最大值。若命题为假，可先求其否定（全称恒成立），再取补集，简化运算。二次函数结合判别式、区间最值分析，注意区分存在与恒成立的最值差异。求解后务必核对区间端点，避免遗漏或多取边界值，防止参数范围出错。 【典例1】若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为_________． 【变式2】已知命题，命题，.若命题和命题至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 题型07 全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论. (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定. 【典例1】命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 1．下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 2．下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 3．下列命题中全称量词命题的个数是（   ） ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 4．命题，是假命题，则实数的值可能是（   ） A． B． C．2 D． 5．已知命题、，使得；命题，，则下列关于，真假叙述正确的是（    ） A．，均为真 B．，均为假 C．真，假 D．假，真 6．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 7．设命题三角形的内角和为，则p的否定为（   ） A．所有三角形的内角和都不为 B．有的三角形的内角和为 C．存在三角形的内角和不为 D．三角形的内角和不为 8．（多选）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：． (1)若为假命题，求实数m的取值范围； (2)若p，q中一真一假，求实数m的取值范围． 10．已知命题，． (1)写出命题p的否定； (2)若命题p是假命题，求实数k的取值范围． 1．已知函数，则“，使”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知命题：“，使”是假命题，则命题成立的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 4．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 5．下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题的否定是真命题的是（    ） A． B．菱形都是平行四边形 C．，一元二次方程没有实数根 D．平面四边形，其内角和等于360° 7．已知，若是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 9．已知命题，；命题，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围. 10．已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 全称量词与存在量词 教学目标 1.理解全称量词、存在量词的含义，掌握全称命题与特称命题的概念，能准确识别两类量词命题。 2.通过对比辨析、命题改写与否定训练，提升逻辑辨析能力与规范解题的数学素养。 3.感受数学语言的严谨性，养成规范表述命题、严谨推理判断的良好思维习惯。 教学重难点 1.重点 掌握全称量词、存在量词的符号表示与命题基本结构。 能够准确区分全称命题与特称命题，并判断命题真假。 熟练掌握两类量词命题的标准否定形式。 2.难点 突破量词命题否定的思维误区，区分否定命题与否命题的差异。 准确处理含参数的全称、特称命题真假问题，正确求解参数范围。 灵活辨析隐藏量词的文字型命题，完成标准化改写与判断。 知识点01 全称量词与全称量词命题 “所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题. 表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.　 对全称量词与全称量词命题的理解 (1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定. (2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等. (3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”. (4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 【即学即练】 1．下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【详解】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 2．下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【答案】A 【详解】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A 3．（多选）已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【详解】依题意集合，，所以是的真子集， 所以，；，；即AD选项正确，BC选项错误. 故选：AD 知识点02 存在量词与存在量词命题 “存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为. 对存在量词与存在量词命题的理解 (1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题. (2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等. (3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题. (4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”. (5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 【即学即练】 1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【答案】(1)全称量词命题，符号表示为 (2)存在量词命题，符号表示为 (3)全称量词命题，符号表示为 (4)存在量词命题，符号表示为,的值随的增大而增大． 【详解】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （2）这是存在量词命题，符号表示为； （3）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （4）这是存在量词命题，符号表示为，的值随的增大而增大． 2．（多选）（多选）下列能说明存在量词命题“，”为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项A，，此时，为真命题，所以A正确； 选项B，，此时，为真命题，所以B正确； 选项C，，此时，为假命题，所以C错误； 选项D，，此时，为真命题，所以D正确． 故选：ABD． 3．若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法一：由于“，使得”是假命题， 则其否定：“，使得”是真命题，故， 又随着的增大而减小， 所以小于当时的最小值时，恒成立， 则，即． 解法二：当题中命题为真命题时，可得，使得成立， 所以大于或等于当时的最小值即可， 即，又该命题为假命题，所以． 故选：A. 知识点03 全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 【即学即练】 1．已知命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】命题为全称命题，则命题的否定为，， 故选：A． 2．（多选）下列说法正确的有（    ） A．命题“”的否定是“” B．“”是“”的必要条件 C．命题“”是假命题 D．若为假命题，则为真命题 【答案】CD 【详解】对于A，全称量词命题的否定是存在量词命题， 则命题“”的否定是“”，故A错误； 对于B，当时，满足，但， 则“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，当时，不成立， 因此命题“”是假命题，故C正确； 对于D，由命题及其否定一定一真一假可知，D正确． 故选：CD. 3．命题“”的否定是（    ） A．， B． C． D． 【答案】B 【详解】根据存在性命题的否定为全称命题，可得命题“”的否定为“”. 故选：B. 知识点04 常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 【即学即练】 1．命题p与命题的真假情况可以简单归纳为“不可同真同假”．即命题p和命题不能同真同假，只能是______． 【答案】一真一假 2．命题“存在，使得”的否定是______． 【答案】任意，都有 【详解】因为原命题是存在量词命题， 所以原命题的否定是全称量词命题：任意，都有. 故答案为：任意，都有. 3．命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【详解】当时，即有实数根，解得，故符合要求； 当时，即有，解得且； 综上所述，. 故选：B. 题型01 判断语句是否为命题 判断一个语句是否是命题的三个关键点 (1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题. (2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题. (3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题;否则就不是命题. 【典例1】（多选）下列命题属于存在量词命题的是（    ） A．任意一个自然数都是整数 B．有的菱形是正方形 C．梯形有两边平行 D．， 【答案】BD 【详解】任意一个自然数都是整数中有全称量词是全称命题，A错误； 有的菱形是正方形有存在量词有的，B正确； 梯形有两边平行是全称命题，C错误； ,有存在量词，是存在量词命题，D正确. 故选：BD. 【变式1】下列命题中：①任意一个正方形都是中心对称图形；②所有三角形都有外接圆；③存在，使得；④任意一个菱形都是平行四边形． 其中全称量词命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】常见的“任意”“所有”“一切”等均为全称量词，所以命题①②④为全称量词命题,③为特称量词命题． 故选：C. 【变式2】下列命题中不是全称量词命题的是（    ） A．， B．， C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等 【答案】B 【详解】“任意”是全称量词，平行四边形和矩形，是指任何一个平行四边形和矩形，故是全称量词，“存在”是存在量词， 故选：B 题型02 命题真假的判断 判断命题真假的方法 (1)真命题的判定方法. 要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证. (2)假命题的判定方法. 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法. 【典例1】下列四个命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A，因为，可得，即A是真命题，所以A正确； 选项B，易知当时，不是整数，即不存在，所以B为假命题，所以B错误； 选项C，易知当时，，因此C为假命题，所以C错误； 选项D，解不等式可得，显然不存在，使得，可得D为假命题，所以D错误． 故选：A． 【变式1】下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．，是整数 【答案】D 【详解】列表解析  直观解疑惑 选项 真假 原因 A 假 举反例，例如，但． B 假 因为对于任意实数，，所以，恒大于0. C 假 举反例，当时，，不满足． D 真 对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数， 所以，是整数． 故选：D 【变式2】（多选）下列叙述正确的是（     ） A．， B．命题“，”的否定是“，或” C．命题“，”的否定是真命题 D．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 【答案】BC 【详解】对于A：因为，故A不正确； 对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确； 对C：命题“，”的否定为：“，”，显然， 则命题“，”为真命题，故C正确； 对于D：由“且”，得“且”，可以推得出“”， 故“且”是“”的充分条件，故D错误； 故选：BC. 题型03 全称量词命题与存在量词命题的判定 理解全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点 (1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”. (2)有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”. (3)存在命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“存在” 【典例1】下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【答案】A 【详解】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确； 对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误； CD选项都为存在量词命题，不合题意. 故选：A. 【变式1】下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 【答案】B 【详解】选项A，C，D中的命题均为存在量词命题；选项B中的命题是全称量词命题. 故选：B. 【变式2】下列命题中是假命题的个数为______． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 【答案】0 【详解】（1）若一个整数的末位是0，则它可以被5整除， 故“每一个末位是0的整数都是5的倍数．”是真命题； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 根据线段的垂直平分线定理，可知它是真命题； （3）实数包含无理数，而无理数就是无限不循环小数， 故“有些实数是无限不循环小数”是真命题； （4）有的三角形不是等腰三角形，比如三个角分别为的直角三角形， 故“存在一个三角形不是等腰三角形”是真命题． 故假命题的个数为0. 故答案为：0 题型04 判断全称量词命题与存在量词命题的真假 （1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； （2）要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题. 【典例1】下列存在量词命题为假命题的是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数 【答案】B 【详解】A，C，D均正确；B中，对于任意的恒成立． 【变式1】下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 【答案】B 【详解】对于A 选项，对于命题，因为对于任意实数，，所以，恒大于，A选项错误. 对于B 选项，对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数，所以是整数，B选项正确. 对于C 选项，对于命题，当时，，不满足，C选项错误. 对于D 选项，对于命题，例如，则，D选项错误. 故选：B. 【变式2】下列命题既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．直角三角形的内角是锐角或直角 B．至多有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 【答案】A 【详解】直角三角形的内角是锐角或直角,原命题为真命题，属于全称量词命题，A正确； 当时，满足，原命题为真命题且是存在量词命题，B错误； 存在，原命题为全称量词命题且为假命题，C错误； 对于任意一个负数，都有，原命题为存在量词命题且为假命题，D错误． 故选：A. 题型05 由全称量词命题的真假确定参数取值范围 解决全称量词求参数，核心转化为恒成立问题。先分离参数，转化为参数小于函数最小值或大于函数最大值；无法分离则分类讨论函数最值。定义域内全部成立，只需保证区间上最值满足不等式。判断真假时，假命题可反向求补集简化计算。注意函数定义域、端点取值，二次函数需结合开口、对称轴、判别式综合分析，最后检验边界数值是否符合题意。 【典例1】已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． （3）方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则． 当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，． 所以当时，，即实数的取值范围为． 【变式1】已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故. 【变式2】已知“”为真命题，“”为真命题，那么p，q的取值范围分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】“”为真命题，则，“”为真命题，则． 题型06 由存在量词命题的真假确定参数取值范围 存在量词命题为真等价于不等式有解，转化为函数最值问题。参变分离后，参数大于函数最小值或小于最大值。若命题为假，可先求其否定（全称恒成立），再取补集，简化运算。二次函数结合判别式、区间最值分析，注意区分存在与恒成立的最值差异。求解后务必核对区间端点，避免遗漏或多取边界值，防止参数范围出错。 【典例1】若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知方程有实数解，即，解得． 【变式1】已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【详解】命题的否定为假命题，所以为真命题， 命题，都有，为真命题，则，即． 命题，使，为真命题，则，即． 因为命题同时为真命题，所以和同时成立，故， 故答案为： 【变式2】已知命题，命题，.若命题和命题至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】． 【详解】若命题为真命题， 则，∴. 若命题，为真命题，则，∴. ∴均为真命题时，满足，即， 其补集为， ∴命题和命题至多有一个为真命题，实数a的取值范围为． 题型07 全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论. (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定. 【典例1】命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”的否定是，. 【变式1】命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由题可得命题“”的否定是“”. 故选：D 【变式2】命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先判断原命题类型，再根据特称量词命题的否定规则，将存在量词改为全称量词，并否定结论. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，得命题“，”的否定是“，”. 故选：B 1．下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，若，则不成立，故A错误；对于B，当时，恒成立，故B正确；对于C，当时，不成立，故C错误；对于D，若，则不成立，故D错误. 2．下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 【答案】A 【详解】A正确；B中可取互为相反数的两个无理数，易知B错误；C，D显然错误． 3．下列命题中全称量词命题的个数是（   ） ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】①③是全称量词命题． 4．命题，是假命题，则实数的值可能是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为命题，是假命题，所以命题：，是真命题，也即，恒成立，则有，解得，根据选项的值，可判断选项B符合． 5．已知命题、，使得；命题，，则下列关于，真假叙述正确的是（    ） A．，均为真 B．，均为假 C．真，假 D．假，真 【答案】B 【分析】由，则为偶数可判断；时可判断. 【详解】若，则为偶数，则， 所以不存在，使，故为假命题， 若，则，所以，使，故为假命题， 所以，均为假命题. 故选：B. 6．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 7．设命题三角形的内角和为，则p的否定为（   ） A．所有三角形的内角和都不为 B．有的三角形的内角和为 C．存在三角形的内角和不为 D．三角形的内角和不为 【答案】C 【详解】命题：所有三角形的内角和都是， 所以命题的否定为：存在三角形的内角和不为. 故选：C 8．（多选）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】已知集合， 当时，；当时，；当时，， 对于A，由对集合分析知，故A不正确， 对于C，由对集合分析知，故C正确； 对于B，当时，，此时，故B正确； 对于D，当时，，故D正确. 故选：BCD. 9．已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：． (1)若为假命题，求实数m的取值范围； (2)若p，q中一真一假，求实数m的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意有：为假命题，所以为真命题， 又由方程有两个不相等的实数根， 所以， 所以实数m的取值范围为； （2）由（1）有为真命题，则， 因为p，q中一真一假， 所以当真，假时，有， 当假，真时，有， 综上所述，， 所以实数m的取值范围为. 10．已知命题，． (1)写出命题p的否定； (2)若命题p是假命题，求实数k的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 而，， 所以. （2）因为为假命题，所以是真命题， 所以，即，故， 因为， 所以. 1．已知函数，则“，使”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由” ，使”，即，所以， 即，充分性不成立； 已知函数，当“”时，，函数与轴有两个交点，所以“，使”成立，即必要性成立. 综述，已知函数，则“，使”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 2．命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为命题“”为真命题，则对恒成立， 所以，所以， 所以命题“”为真命题的充分必要条件为，所以选项B不符合题意； 对于A选项，得不到，能得到，所以是的必要不充分条件，所以选项A符合题意； 对于C选项，得不到，也得不到，所以是的既不充分也不必要条件，所以选项C不符合题意； 对于D选项，能得到，得不到，所以是的充分不必要条件，所以选项D不符合题意. 故选：A. 3．已知命题：“，使”是假命题，则命题成立的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵“，使”是假命题， 即“，”是真命题， 即方程没有实数根， ∴ ∴，即命题：“，使”是假命题 等价于， 设有集合，命题：，命题的必要不充分条件为命题：， 则命题，而不能， ∴集合是集合的真子集，选项B中集合满足要求， ∴选项B正确. 故选：B. 4．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【详解】命题“”为假命题， 则， 当时，，成立； 当时，则，解得，即； 当时，成立； 综上所述：. 故选：D. 5．下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，.故选项A判断错误； 由可得，.故选项B判断错误； .故选项C判断正确； 由，可得选项D判断错误. 故选：C 6．下列命题的否定是真命题的是（    ） A． B．菱形都是平行四边形 C．，一元二次方程没有实数根 D．平面四边形，其内角和等于360° 【答案】C 【详解】对于A，，，其否定为：，， 由时，，则原命题为真命题，其否定为假命题，故A不正确； 对于B，每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形， 原命题为真命题，其否定为假命题，故B不正确； 对于C，，一元二次方程没有实根， 其否定为：，一元二次方程有实根， 由，可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故C正确； 对于D，平面四边形，其内角和等于360°为真命题，命题的否定为假命题，故D不正确； 故选：C. 7．已知，若是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是真命题， 所以方程有实数根， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故选：B. 8．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据命题的否定形式可得：原命题的否定为“” 故选：C 9．已知命题，；命题，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由为真命题，构造不等式即可求解； （2）分别由为真命题，为真命题和同时为假命题求的范围即可求解. 【详解】（1）由题意得，，为真命题， 则，即，故为真命题时，的取值范围为. （2）当为真命题时，，即，所以为假命题时，； 当为真命题时，，即，所以为假命题时，； 若同时为假命题，则， 所以若至少有一个真命题时，. 10．已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）由题意，方程在上有解， 令，只需在的值域内， 当时，，当时，， 所以值域为， 的取值集合为； （2）由题意，，显然不为空集. ①当，即时，， ， ； ②当，即时，，不合题意舍去； ③当，即时，. ， ； 综上可得或. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $