江苏省如皋中学2025-2026学年高二下学期数学综合练习四

江苏省如皋中学2025-2026学年度第二学期综合练习（四） 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．D 3．C 4．C 5．A 6．A 7．B 8．B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ACD 10．ACD 11．ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．5 13． 14．； 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【详解】（1）零假设：学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关 7分 （2）使用发射白光的台灯的学生患近视的概率为， 记近视人数为，显然该类学生近视情况服从二项分布， 可得 13分 16．【详解】（1）由正方形，得，又平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以 7分 （2）由正方形，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面， 由（1）知，所以平面 15分 17．【详解】（1）由题知， 当时，恒成立，故在上单调递增， 当时，由得，（舍负）， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 7分 （2）因为，， 因为，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值，， ，， 由于，则， 故时，的最小值为，最大值为 15分 18．【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以； 5分 （2）（ⅰ）设，依题设以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 因为，所以，即，解得， 则，， 得，， 设平面的法向量为， 由，得，令，所以， 又， 所以点到平面的距离 ； 10分 （ⅱ）设平面的法向量为，又，， 由，得，令，所以， 取中点，则，连接，， 因为，，所以， 在中，，所以，， 平面，平面，所以， 平面，平面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 设，则，，， 因为，，所以，整理得：， 设与平面的夹角为， 则， 因为，所以， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围为 17分 19．【详解】（1）（ⅰ）因为甲每局获胜的概率为，所以乙每局获胜的概率为， 若乙获胜，则乙对甲可以以、、获胜， 若乙以获胜，则前局全是乙赢； 若乙以获胜，则第局乙赢，前局乙赢局输局； 若乙以获胜，则第局乙赢，前局乙赢局输局． 所以乙获胜的概率为 7分 （ⅱ）设事件为甲获胜，事件为乙至少获胜一局， 若甲获胜，则甲获胜，则甲对乙可以以、、获胜， 若甲以获胜，则前局全是甲赢； 若甲以获胜，则第局甲赢，前局甲赢局输局； 若甲以获胜，则第局甲赢，前局甲赢局输局． 所以． 事件（甲获胜且乙至少获胜一局）等价于“甲以或获胜”， ， 所以在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率为 10分 （2）设表示前局中同学甲赢得的局数，记， 则． 对于，设双方平之后甲获胜的概率为，则，所以 则． 因此． 因为，可得， 又， 所以． 当时，可得，即； 当时，；当时， 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省如皋中学2025-2026学年度第二学期综合练习（四） 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则=（ ） A． B． C． D． 2．若复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 3．已知，是两个不同的平面，直线，直线，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 4．已知随机变量且，则（ ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 5．已知，则（ ） A．．．． 6．甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率（ ） A． B． C． D． 7．用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到经验回归方程为，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为．为底面内一点，且，，则（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（ ） A．数据，，，，，的分位数是 B．数据，，…，的方差是，则，，…，的标准差是 C．若事件与相互独立，则 D．若事件与互斥，且，，则 10．如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，，为圆的两条直径，且，母线，与该圆锥的内切球分别切于，两点，则（ ） A．圆锥的体积为 B．球与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C．异面直线与所成角为 D．平面截球的截面面积为 11．对于函数，下列说法正确的有（ ） A．在处取得极大值 B．只有一个零点 C． D．若在上恒成立，则 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分． 12．已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为______． 13．若函数两个极值点都为正数，则实数的取值范围是______． 14．盒子中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个白球，2个黄球，2个红球．现从盒中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量，则第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为______，的数学期望为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光．白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力．某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表： 白光 黄光 近视 80 60 不近视 40 60 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 （1）根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关； （2）用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率． 16．（本小题满分15分）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面． （1）求证：； （2）求证：平面； 17．（本小题满分15分）已知函数． （1）讨论的单调区间； （2）若，求在区间上的最小值和最大值． 18．（本小题满分17分）如图，在直三棱柱中，． （1）证明：； （2）已知的中点是，，，． （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）点是矩形（包含边界）内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 19．（本小题满分17分）甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立．已知单局比赛中，甲获胜的概率为． （1）双方进行比赛，先赢得3局比赛的一方获胜． （ⅰ）若，求乙获胜的概率； （ⅱ）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率（用表示）． （2）设：双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局的概率；：双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢2局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少2局时，甲获胜），甲获胜的概率．比较与的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $