精品解析：江苏省如皋中学2025-2026学年度第二学期综合练习(二) 高二数学

江苏省如皋中学 2025-2026 学年度第二学期综合练习(二) 高二数学 命题人：曹春茂 审核人：钱如美 一、单项选择题 :本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的计算公式求得正确答案. 【详解】函数在区间上的平均变化率是. 2. 若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（ ） A. 24种 B. 23种 C. 12种 D. 11种 【答案】B 【解析】 【详解】“”一共有个不同的字母， 这个字母全排列有种方法， 其中正确的有种，所以错误的有种. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解函数零点，排除C、D，再用导函数求解单调区间，排除B. 【详解】令，解得：或，排除C、D； ， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故选：A 4. 已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为0.2 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归直线的方程为，且该直线过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 5. 对于事件A，B，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式以及并事件的性质即可求解. 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因，则. 6. 已知函数是函数的导函数，，对任意实数x都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以由， 设， 所以函数是实数集上的减函数， ， 所以不等式的解集为. 7. 某同学每次投篮命中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投篮，那么投篮总次数的数学期望为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】设投篮总次数的数学期望为，对投中情况分类讨论， 若第一次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为， 该情况发生的概率为，投篮总次数为， 若第一次投中，且第二次没有投中，该情况发生的概率为，投篮总次数为， 若第一次投中，第二次投中，则此情况发生的概率为，投篮总次数为2， 所以，解得． 8. 已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设底面边长为，则高，体积，设，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极大值点，从而求出. 【详解】设底面边长为，则高， 由，所以， 所以体积 ， 设，，则， 所以当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以当时取得极大值，即为最大值，此时该棱锥的体积最大， 此时. 故选：D． 二、多项选择题 :本题共 3 小题，每小题6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 随机变量X 服从二项分布，Y = 2X +1 ，则D(Y) = 3 B. 相关系数 r 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C. 在线性回归分析中，若 值越小则模型的拟合效果越好 D. 随机变量X 服从正态分布 ，且P(2 < X < 5 ) = a ，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，，A正确； 对于B，相关系数 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱，B错误； 对于C，在线性回归分析中，若 值越大则模型的拟合效果越好，C错误； 对于D，正态曲线关于直线对称，所以， 又，所以，D正确. 10. 已知，且函数有三个零点，，（）．下列命题正确的是（ ） A. 实数m的取值范围是 B. C. 取值范围是 D. 取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】运用导数与函数极值的相关知识，画出函数图象结合条件进行逐项分析可得. 【详解】令，得 ， 设，则 令，得 , x 极小值 极大值27 可得函数的大致图象， 对于A选项，由函数图象可得实数m的取值范围是，故 A选项错误； 对于B选项, ，故B选项正确； 对于C选项，根据韦达定理可知，，， , 所以，，C选项错误； 对于D选项，， ， 由于，所以，， 故D选项正确. 三、填空题 :本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 11. 若，则_______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】由组合数的性质结合得，解得， 则． 12. 若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性并求得极小值，然后依题意得到，计算即可. 【详解】由题可知：， 令，则；令，则或， 所以函数在单调递增，在单调递减. 极小值为，令，所以或， 又函数在区间内有最小值， 所以. 故答案为：. 13. 已知某盒中装有 6 个大小、质地一致的乒乓球，其中有 4 个新球 (从未被使用过) 2 个旧球，第一次比赛时从此盒中任取 2 个球来使用．赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取 2 个球使用． ①第二次比赛时取出的 2 个球都是新球的概率为 _____． ②在第一次比赛时取出 2 个旧球，赛后将两球放回盒中的条件下，第二次比赛时取出个新球的概率为 _____． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】①以第一次取球的三种情况为完备事件组，用全概率公式，分别计算各情况概率与对应条件下第二次取 2 个新球的概率，再加权求和得到结果；②在第一次取 2 个旧球的前提下，盒中球数与种类不变，直接计算此时第二次取 2 个新球的条件概率. 【详解】设表示“第一次取出个新球”（），表示“第二次取出2个新球”，总取法， ① 求第二次取出2个都是新球的概率： 用全概率公式：， （第一次取0新2旧）：，未使用新球，盒中仍4新2旧，故， （第一次取1新1旧）：，用了1个新球变为旧球，盒中剩3新3旧，故， （第一次取2新0旧）：，用了2个新球变为旧球，盒中剩2新4旧，故， 代入计算： ； ② 条件概率：第一次取2个旧球的条件下，第二次取2个新球的概率： 已知第一次取出2个旧球，没有使用新球，放回后盒中仍然是4个新球、2个旧球， 因此条件概率： . 【点睛】本题考查全概率公式和条件概率，核心逻辑：新球使用后变为旧球，放回后盒中新球数量会发生变化. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知在处取得极值. （1）求实数a的值； （2）求在上的最值. 【答案】（1）1 （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）由求得，并验证即可； （2）由（1）求导，确定函数单调性，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为在处取得极值， 所以，即，解得. 当时，， 令，解得或， 当或时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值， 所以1符合题意； 【小问2详解】 由（1）可知，， 且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以函数的最小值为，最大值为. 15. 福佑崇文阁为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 48 人进行了问卷调查，得到了如下2× 2的列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 6 女生 10 合计 48 已知在全班 48 人中随机抽取 1 人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为. （1）能否在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （2）现从女生中抽取 2 人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求 X的分布列与均值. 附，其中. 【答案】（1）有关，理由见解析 （2）分布列如下： 【解析】 【分析】（1）根据抽到喜爱打篮球的学生的概率求出喜爱打篮球的人数，从而可求出不喜爱打篮球的人数，然后结合列联表中的数据可将列联表补充完整，根据列联表中的数据，结合公式求出，然后根据临界值分析判断即可； （2）根据题意可知喜爱打篮球的女生人数的可能取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出X的分布列与均值. 【小问1详解】 根据题意，喜爱打篮球的学生有， 所以喜爱打篮球的男学生，不喜爱打篮球的学生有， 不喜爱打篮球的女学生有人， 故2× 2的列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计 32 16 48 所以， 所以可以认为在犯错误的概率不超过0.05 的前提下喜爱打篮球与性别有关； 【小问2详解】 的所有可能取值为， ，，， 所以X的分布列如下： . 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明:底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 17. 某校有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况 （午餐，晚餐） 甲 30天 23天 37天 10天 乙 20天 22天 18天 40天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率. （1）记为甲、乙两人在一天中总共光顾的不同餐厅个数，求X的分布列和数学期望； （2）设乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为，当取最大值时，求k的值； （3）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，，一般来说，在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大.证明：. 【答案】（1）X的分布列为 X 1 2 P 0.1 0.9 X的数学期望； （2）或 （3） 证明：由题可知，， 所以 ， 所以 ，则， 所以 ，即， 所以 ，即. 【解析】 【分析】（1）求出随机变量X的取值以及相应概率即可求分布列，再由数学期望公式即可计算求解期望； （2）先求出，再利用即可计算求解； （3）由条件结合条件概率公式求出即可分析求证. 【小问1详解】 由题可得， 且，， 所以X的分布列为 X 1 2 P 0.1 0.9 所以X的数学期望； 【小问2详解】 由题意可得乙在一天中午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为， 所以乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为， 令，即， 化简为，即， 即，解得， 因为k为整数，且， 所以乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率取最大值时或. 【小问3详解】 略 18. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）求函数在上的最小值． 【答案】（1）当时，，无极小值；当时，，；当时，无极值；当时，，； （2）时，；时，；时，. 【解析】 【分析】（1）分三种情况讨论单调性，可得极值情况； （2）由（1）讨论在上的单调性，据此可得最值. 【小问1详解】 易得定义域为R. ①当， . ， 则在上单调递增，在上单调递减，此时，无极小值； ②当， . i若，，， 则在上单调递增，在上单调递减，此时，无极小值； ii若，令或. 当， 此时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则此时，； 当， 此时在R上单调递增，则无极值； 当， 此时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则此时，. 综上可得：当时，，无极小值； 当时，，； 当时，无极值； 当时，，； 【小问2详解】 由（1）分析可得，①当时，在上单调递减， 则； ②当时， i若，则在上单调递减， ； ii若，则在上单调递减，在上单调递增， 则此时； ③当时，此时在上单调递增，此时； ④当时，此时在上单调递增，此时. 综上可得：时，； 时，； 时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省如皋中学 2025-2026 学年度第二学期综合练习(二) 高二数学 命题人：曹春茂 审核人：钱如美 一、单项选择题 :本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 2. 若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（ ） A. 24种 B. 23种 C. 12种 D. 11种 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为0.2 5. 对于事件A，B，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是函数的导函数，，对任意实数x都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 某同学每次投篮命中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投篮，那么投篮总次数的数学期望为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 8. 已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 二、多项选择题 :本题共 3 小题，每小题6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 随机变量X 服从二项分布，Y = 2X +1 ，则D(Y) = 3 B. 相关系数 r 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C. 在线性回归分析中，若 值越小则模型的拟合效果越好 D. 随机变量X 服从正态分布 ，且P(2 < X < 5 ) = a ，则 10. 已知，且函数有三个零点，，（）．下列命题正确的是（ ） A. 实数m的取值范围是 B. C. 取值范围是 D. 取值范围是 三、填空题 :本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 11. 若，则_______．（用数字作答） 12. 若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是__________． 13. 已知某盒中装有 6 个大小、质地一致的乒乓球，其中有 4 个新球 (从未被使用过) 2 个旧球，第一次比赛时从此盒中任取 2 个球来使用．赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取 2 个球使用． ①第二次比赛时取出的 2 个球都是新球的概率为 _____． ②在第一次比赛时取出 2 个旧球，赛后将两球放回盒中的条件下，第二次比赛时取出个新球的概率为 _____． 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知在处取得极值. （1）求实数a的值； （2）求在上的最值. 15. 福佑崇文阁为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 48 人进行了问卷调查，得到了如下2× 2的列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 6 女生 10 合计 48 已知在全班 48 人中随机抽取 1 人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为. （1）能否在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （2）现从女生中抽取 2 人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求 X的分布列与均值. 附，其中. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某校有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况 （午餐，晚餐） 甲 30天 23天 37天 10天 乙 20天 22天 18天 40天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率. （1）记为甲、乙两人在一天中总共光顾的不同餐厅个数，求X的分布列和数学期望； （2）设乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为，当取最大值时，求k的值； （3）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，，一般来说，在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大.证明：. 18. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）求函数在上的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $