江苏省启东中学2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试卷

**基本信息** 江苏省启东中学高二数学月考试卷，涵盖函数、几何、概率统计等模块，以人工智能、生产线质量等真实情境为载体，注重逻辑推理与数学建模能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、正态分布等|基础概念辨析，如第4题正态分布结合生产实际| |多选题|3/18|回归分析、立体几何动态问题|如第10题正方体动点问题，考查空间观念| |填空题|3/15|正四棱锥体积、排列组合|第13题次品检测，体现分类计数思想| |解答题|5/77|导数应用、独立性检验、立体几何证明、概率统计（人工智能情境）|第18题以人工智能先验概率为背景，考查数据分析与逻辑推理；第19题函数极值与不等式恒成立，体现数学抽象与建模|

江苏省启东中学2025~2026学年度第二学期第二次月考 高二数学 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知全集，，，则（） A． B． C． D． 2．若，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．一车间有3台车床加工同一型号的零件，且3台车床加工的零件数X（单位：件）均服从正态分布．假设3台车床均能正常工作，若，则这3台车床每天加工的零件数至少有一台超过35件的概率为（    ）． A． B． C． D． 5．的展开式中的系数是（    ） A．5 B．10 C．20 D．60 6．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，函数为奇函数，且在单调递增 B．当时，函数为偶函数，且在单调递减 C．当时，函数为奇函数，且在单调递增 D．当时，函数为偶函数，且在单调递减 7．在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5，0.6和0.7，且三人的测试结果相互独立，测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下，乙达到优秀等级的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（    ） A．6 B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．根据一组样本数据，，…，，求得回归方程为，且．这组样本数据中有两个样本点和误差较大，移除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（    ） A．变量与具有正相关关系 B．移除两个误差较大的样本点后重新求得的方程为 C．移除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快 D．移除两个误差较大的样本点后，的值增加速度变慢 10．在棱长为1的正方体.中，P为线段上的动点(不包含端点)，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，使得直线与AC所成角为 B．不存在点P，使得平面APD1平面 C．三棱锥的体积 D．存在点P，使得直线垂直于平面 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，只有一个零点 B．若有极值点，则的取值范围为 C．存在负数，使得在上单调递增 D．过点且与曲线相切的直线只有一条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 12．在正四棱锥中，，则该棱锥的体积为____________． 13．已知6件不同的产品中有2件次品，现对它们一一测试，直至找到所有2件次品为止，若至多测试4次就能找到这2件次品，则共有____________种不同的测试方法． 14．已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本题满分13分) (1)求函数在处的导数； (2)求函数的单调区间。 16．(本题满分15分) 某工厂甲乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了500件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）如下表： 生产线 检测结果 合计 合格 优良 甲生产线 20 180 200 乙生产线 60 240 300 合计 80 420 500 (1)根据小概率值的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？ (2)用样本估计总体，频率估计概率.现等可能地从这两条生产线中抽取一条生产线，然后从该生产线随机抽取1件产品. （i）求抽出的产品是优良品的概率； （ii）已知抽出的产品是优良品，求它是从甲生产线抽出的概率. 附：； 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17．(本题满分15分) 在三棱锥P-ABC中，若已知，，点P在底面ABC的射影为点H，则 (1)证明： (2)设，则在线段PC上是否存在一点M，使得与平面所成角的余弦值为，若存在，设，求出的值，若不存在，请说明理由. 18．(本题满分17分) 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，福佑崇文阁我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 19．(本题满分17分) 已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 江苏省启东中学2025~2026学年度第二学期第二次月考 高二数学 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知全集，，，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集和交集的定义进行求解即可. 【详解】因为全集，， 所以，又因为， 所以， 故选：B 2．若，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的除法算出，确定实部与虚部，即可知其在复平面内对应的点和对应的点所在象限. 【详解】，则复平面内对应的点为，该点位于第一象限. 故选：A. 3．已知：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用特殊值以及既不充分也不必要条件的定义可得答案. 【详解】当，时，不能推出； 当，时，不能推出， 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 4．一车间有3台车床加工同一型号的零件，且3台车床加工的零件数X（单位：件）均服从正态分布．假设3台车床均能正常工作，若，则这3台车床每天加工的零件数至少有一台超过35件的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，结合二项分布分析运算. 【详解】加工的零件数超过35件的台数为，每台加工的零件数超过35件的概率， 由题意可得：， 则这3台车床每天加工的零件数至少有一台超过35件的概率. 故选：C. 5．的展开式中的系数是（    ） A．5 B．10 C．20 D．60 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算即得. 【详解】依题意，的展开式中项是5个多项式中取3个用， 余下2个取1个用，最后1个用的积，即， 所以的展开式中的系数是20. 故选：C 6．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，函数为奇函数，且在单调递增 B．当时，函数为偶函数，且在单调递减 C．当时，函数为奇函数，且在单调递增 D．当时，函数为偶函数，且在单调递减 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义，结合导数确定在上的单调性逐项判断. 【详解】函数的定义域为R， 对于CD，当时，，， ，函数是奇函数，不是偶函数， 又，函数在上单调递增，C正确，D错误； 对于AB，当时，，，， 函数是偶函数，不是奇函数，在上单调递增， 当时，，函数在上单调递增，AB错误. 故选：C 7．在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5，0.6和0.7，且三人的测试结果相互独立，测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下，乙达到优秀等级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据独立事件乘法公式和条件概率公式可得. 【详解】分别记甲、乙、丙三人获得优秀等级为事件， 记甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件， 记乙达到优秀等级为事件. 由题知，， 所以 ， . 所以. 故选：A 8．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件确定出三棱锥体积最大时的点C位置，再求出球半径即可得解. 【详解】设球的半径为，因，则的面积， 而，且面积为定值，则当点到平面的距离最大时，最大， 于是，当是与球的大圆面垂直的直径的端点时，三棱锥体积最大，最大值为，解得， 所以球的表面积为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．根据一组样本数据，，…，，求得回归方程为，且．这组样本数据中有两个样本点和误差较大，移除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（    ） A．变量与具有正相关关系 B．移除两个误差较大的样本点后重新求得的方程为 C．移除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快 D．移除两个误差较大的样本点后，的值增加速度变慢 【答案】AD 【分析】对A：根据经验回归方程为，，即可求解；对B：由线性回归方程的性质，即可求解；对CD：比较原线性回归方程的斜率和新回归方程的斜率，即可求解． 【详解】对A：经验回归方程为，， 变量与具有正相关关系，故选项A正确； 对B：当时，，所以样本中心为， 去掉两个样本点为和，，， 样本中心不变， 去除后重新求得的经验回归直线的斜率为1.2， ，解得， 故去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为，故选项B错误 对C：， 去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变慢，故选项C错误，D正确； 故选：AD． 10．在棱长为1的正方体.中，P为线段上的动点(不包含端点)，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，使得直线与AC所成角为 B．不存在点P，使得平面APD1平面 C．三棱锥的体积 D．存在点P，使得直线垂直于平面 【答案】ACD 【分析】当点为线段上靠近的四等分点时，利用线线角的定义求解判断A，当点为中点时，证明面面平行，即可判断B；结合等体积转化，即可判断C；当点为中点时，证明线面垂直，即可判断D. 【详解】当点为线段上靠近的四等分点时，如图，连接，， 过点作，交于， 则，又正方体中，，所以， 则直线与AC所成角为， 又， ， 所以为等边三角形，所以，故A正确； 当点为的中点时，有，平面，平面， 所以平面，同理，平面， 且，平面， 所以平面，故B错误； 三棱锥的体积， 故C正确； 当点为的中点时，有，又， 所以平面即平面 ， 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，故D正确； 故选：ACD 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，只有一个零点 B．若有极值点，则的取值范围为 C．存在负数，使得在上单调递增 D．过点且与曲线相切的直线只有一条 【答案】AD 【分析】对于选项A，设，当时，得到，即在上单调递增，，，从而得解； 对于选项B，若有极值点，有两个不等实数根，通过求出的范围即可； 对于选项C，当时，，设，为的两根，得到在上单调递减； 对于选项D，不妨设切点为，则，求出切线方程，代入 ，解得，从而得解. 【详解】对于选项A，，令，， 当时，，则，在上单调递增，，，故A正确； 对于选项B，若有极值点，有两个不等实数根，，解得，B错误； 对于选项C，当时，由，可得， 设，为的两根，则，， 所以，故在上单调递减，C错误； 对于选项D，不妨设切点为，则， 切线方程为， 整理得，又切线过点， 所以，即，解得， 所以过点且与曲线相切的直线只有一条，D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 12．在正四棱锥中，，则该棱锥的体积为____________． 【答案】 【分析】根据题意，利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积． 【详解】在平面上的投影是，因为是正四棱锥， 所以是正方形对角线的交点，连结， ，， 所以，于是. 故答案为：. 13．已知6件不同的产品中有2件次品，现对它们一一测试，直至找到所有2件次品为止，若至多测试4次就能找到这2件次品，则共有____________种不同的测试方法． 【答案】114 【分析】利用分类加法计数原理可求得测试方法的种数. 【详解】解：检测2次可测出2件次品，不同的测试方法有种； 检测3次可测出2件次品，不同的测试方法有种； 检测4次测出2件次品；不同的测试方法有种； 检测4次测出4件正品，不同的测试方法共有种， 由分类计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为： 种． 故答案为：114． 14．已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】将不等式化简恒成立，则只需令的最小值大于等于，通过求导求出函数单调性即可找到最小值. 【详解】令，则， 令，，在区间上单调递增，且， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 令，易知在区间上单调递增， 又，，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本题满分13分) (1)求函数在处的导数； (2)求函数的单调区间。 【答案】(1)10 (2)的单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）求导代入即可. （2）利用导数求解单调区间即可. 【详解】（1）因为，所以， 则. （2）由题可知函数定义域为R， 因为，所以， 令，则，令，则， 即在上单调递增，在上单调递减， 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为． 16．(本题满分15分) 某工厂甲乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了500件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）如下表： 生产线 检测结果 合计 合格 优良 甲生产线 20 180 200 乙生产线 60 240 300 合计 80 420 500 (1)根据小概率值的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？ (2)用样本估计总体，频率估计概率.现等可能地从这两条生产线中抽取一条生产线，然后从该生产线随机抽取1件产品. （i）求抽出的产品是优良品的概率； （ii）已知抽出的产品是优良品，求它是从甲生产线抽出的概率. 附：； 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)有关联 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）（i）设事件“被选出的是甲生产线”，事件“取出的产品是优良品”，由全概率公式计算可得； （ii）由条件概率公式计算可得. 【详解】（1）提出零假设：产品检测结果与生产线没有关联， 由， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即产品检测结果与生产线有关联，此推断犯错的概率不大于. （2）设事件“被选出的是甲生产线”，事件“取出的产品是优良品”， （ⅰ）依题意，， ， 由全概率公式得：. （ⅱ）取出的产品是优良品，则它是从甲生产线取出的概率为： ． 17．(本题满分15分) 在三棱锥P-ABC中，若已知，，点P在底面ABC的射影为点H，则 (1)证明： (2)设，则在线段PC上是否存在一点M，使得与平面所成角的余弦值为，若存在，设，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)在线段PC上是否存在一点M，满足条件，且. 【分析】（1）由条件证明，再证明，由此可得，由线面垂直判定定理证明平面，由此证明； （2）建立空间直角坐标系，技术存在点满足条件，由条件求平面的法向量和直线的方向向量，由条件列方程求即可. 【详解】（1）因为点P在底面ABC的射影为点H， 所以平面，又平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 因为，， 所以点为的垂心，所以， 因为，，平面，， 所以平面，又平面， 所以； （2）延长交于点，由（1）可得， 又，所以点为线段的中点， 所以，同理可得， 所以为等边三角形，又，所以， 如图，以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 故， 设存在点M，使得BM与平面所成角的余弦值为，且， 则， 设平面的法向量为，， 则，所以， 令，可得， 所以为平面的一个法向量， 所以， 设直线BM与平面所成角为，则，又， 所以，故， 所以或，又， 所以. 所以在线段PC上存在点M，使得BM与平面PAB所成角的余弦值为，且.    18．(本题满分17分) 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，福佑崇文阁我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 【答案】(1) (2)①；②方案二 【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题； （2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论． 【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结 果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， ． 所以试验一次结果为红球的概率为． （2）①因为是对立事件，， 所以，所以选到的袋子为甲袋的概率为． ②由①得，所以方案一中取到红球的概率为： 方案二中取到红球的概率为： 因为，所以方案二中取到红球的概率更大． 19．(本题满分17分) 已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【答案】（I）； （II）令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； （III） 【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程； （II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解； （III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值. 【详解】（I），则， 又，则切线方程为； （II）略 （III）由（II）知，此时， 所以， 令， 若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故， 所以实数b的取值范围. 【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $