专题08 平行线中的7种几何模型 压轴专项 讲义 2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题08 平行线中的7种几何模型压轴专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 猪蹄模型 知识点二 铅笔头模型 知识点三 大脚模型 知识点四 蛇形模型 知识点五 平行线中的等积模型 知识点六 平行线中的折叠问题 知识点七 平行线中的三角板、直尺的拼接问题 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 猪蹄模型的识别与应用 题型2 铅笔头模型的识别与应用 题型3 大脚模型的识别与应用 题型4 蛇形模型的识别与应用 题型5 平行线中的等积模型 题型6 平行线中的折叠问题 题型7 平行线中的三角板、直尺拼接问题 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 1. 猪蹄模型、铅笔头模型、大脚模型、蛇形模型四大拐点角度推导模型的识别与角度计算； 2. 平行线等积模型的面积转化与应用； 3. 平行线背景下的折叠问题角度、边长求解； 4. 平行线与三角板、直尺拼接的组合型几何计算。 1. 基础命题：以单一模型独立命题为主，侧重考查学生对猪蹄、铅笔头等基础模型的快速识别，直接套用模型结论进行角度求值、角度关系证明，题型以选择题、填空题为主，题干简洁、考点直白，侧重基础公式与模型结论的掌握。 2. 综合命题：多模型融合、基础几何工具结合命题，常将平行线折叠、三角板直尺拼接与四大拐点模型结合，融入图形变换、动态几何元素，考查多步角度推导、面积转化思维，题型涵盖选择填空压轴、解答基础证明计算题。 3. 素养命题：侧重几何直观、逻辑推理、模型迁移核心素养考查，命题不再局限于固定模型，会对经典模型进行变形、变式，考查学生举一反三、拆解复杂图形、自主推导结论的能力，贴合中考灵活命题趋势。 考情解码： 本模块是初中七年级几何核心重难点，也是中考几何基础必考模块，考情稳定、考查频次极高。在日常月考、期中期末考试中，必考选择、填空题基础题型，分值占比10%–15%；解答题常以几何推理计算题型出现，是几何大题的入门必考题型。中考中多以基础题、中档题形式考查，极少出现偏难怪题，重点考查模型识别能力与基础逻辑推理能力。其中猪蹄模型、铅笔头模型、平行线折叠问题、三角板拼接问题为高频热点考法，等积模型、大脚模型、蛇形模型多以变式题型考查，侧重知识迁移应用，是学生拉开基础几何得分差距的关键考点。 知识点一 猪蹄模型 猪蹄模型 猪蹄模型-进阶（又称“锯齿”模型） 条件 AB∥DE a∥b 图示 结论 ∠B+∠E=∠BCE ∠B+∠CMN+∠E=∠BCM+∠MNE 左拐角之和=右拐角之和 辅助线作法：过拐点作平行线，有多少拐点就作多少平行线. 【补充】选、填题结论直接套用，解答题需写过程. 知识点二 铅笔头模型 铅笔头模型 铅笔头模型-进阶 条件 AB∥DE AB∥DE a∥b 图示 结论 ∠B+∠BCE+∠E=360° ∠B+∠BMN+∠MNE+∠E=540° [类推] 知识点三 大脚模型 类型 大脚模型 骨折模型 已知 AB∥CD 图示 结论 ∠E=∠1-∠3 即：脚尖度数=大角-小角 ∠E=∠3-∠1 知识点四 蛇形模型 条件 AB∥CD 图示 结论 ∠BCD+∠D-∠B=180° ∠BCD+∠B-∠D=180° 知识点五 平行线中的等积模型 条件：AB∥CD 图形： 结论：1)2) 知识点六 平行线中的折叠问题 记住三句话: ①折叠前后对应角，对应边相等. ②折叠不改变原先的平行关系. ③以折线为对称轴. 知识点七 平行线中的三角板、直尺的拼接问题 一、常见的三角板与三角板（平行）拼接模型： 类型 两条斜边平行 斜边于直角边平行 两条直角边平行 图示 顶点在斜边上 顶点在直角边上 顶点在边上 顶点重合 【提示】根据平行线的性质及三角形内角和进行角度计算，计算线段长时会用到特殊角的三角函数值. 二、直尺与30°角的三角板拼接 图示 解题方法 利用三线八角求解 结论 ∠1+∠2=90° ∠1=∠2 ∠1+∠2=90° 三、直尺与45°角的三角板拼接 图示 解题方法 遇拐点作平行线 三线八角+三角板特殊角求解 三角板特殊角求解 结论 ∠1+∠2=90° ∠1=∠2=75° ∠1=105° 【提示】直尺本身含平行线，根据平行线性质及三角形的内角和进行角度计算. 题型1 猪蹄模型的识别和应用 【例1-1】（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】在图中，，与又有何关系？ 【变式训练1-2】（2024抚顺市模拟预测）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∵ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，， BE平分， CF平分，，求． 【变式训练1-3】若AB∥CD，∠CDF＝∠CDE，∠ABF＝∠ABE，则∠E：∠F＝　3：2　． 题型2 铅笔头模型的识别和应用 【例2-1】 如图，两直线、平行，则（    ）．    A． B． C． D． 【变式训练2-1】如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 【变式训练2-2】如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）． 【变式训练2-3】（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    题型3 “大脚”模型的识别和应用 【例3-1】如图，已知，，，则 ． 【变式训练3-1】已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D 【变式训练3-2】如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式 ． 【变式训练3-3】 ①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型4 蛇形模型的识别和应用 【例4-1】已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图，已知，，求的度数； (2)如图，判断、、之间的数量关系为 ． (3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【变式训练4-1】如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【变式训练4-2】如图， ，点在直线，之间，连接，．    (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数； 【变式训练4-3】①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α﹣∠β+∠γ＝180°．以上结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型5 平行线中的等积模型 【例5-1】 如图，是直线上一动点，，是直线上的两个定点，且直线，对于下列各值：点到直线的距离；的周长；的面积；的度数其中不会随点的移动而变化的是（   ）    A． B． C． D． 【例5-2】如图，，相交于点E，的面积等于3，的面积等于5，那么的面积是 ． 【变式训练5-1】如图，在四边形中，，对角线交于点，若的面积为，的面积为，则的面积是 ． 【变式训练5-2】（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ． 【变式训练5-3】课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 题型6 平行线中的折叠问题 【例6-1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【变式训练6-1】如图1，四边形是一张矩形纸片，点是上一点，将矩形纸片折叠得到图2，使得与重合．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】如图，将平行四边形折叠，使点C落在边上的点处，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】如图，把矩形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则的度数为 ．    题型7 平行线中三角板、直尺的拼接问题 【例7-1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练7-1】（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】（2024·山东东营·中考真题）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ． 1.如图，已知AB∥DE，∠A＝40°，∠ACD＝100°，则∠D的度数是　 　． 2．如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BCD的度数为　 　 3．如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°，则∠2的度数为　150°　． 4．如图，若直线a∥b，那么∠x＝　 　度． 5．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是　 　． 6．如图，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠E：∠F＝　 　． 7．（1）如图1，AM∥CN，求证： ①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°； ②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°； （2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明． 8．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°． （1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论； （2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数； （3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求的值． 9．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360° （1）求证：AD∥CE； （2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若2∠B﹣∠F＝90°，求∠BAH的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若点P是线段AB上一点（不同于A点），Q是GE上任意一点，QR平分∠PQG，PM∥QR，PN平分∠APQ，求∠NPM的度数． 10.（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数． 小辰的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线的性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程． （2）问题迁移： ①如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，设∠CPD＝∠α，∠ADP＝∠β，∠BCP＝∠γ，问：∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由． ②在①的条件下，如果点P不在A、B两点之间运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠α、∠β、∠γ间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平行线中的7种几何模型压轴专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 猪蹄模型 知识点二 铅笔头模型 知识点三 大脚模型 知识点四 蛇形模型 知识点五 平行线中的等积模型 知识点六 平行线中的折叠问题 知识点七 平行线中的三角板、直尺的拼接问题 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 猪蹄模型的识别与应用 题型2 铅笔头模型的识别与应用 题型3 大脚模型的识别与应用 题型4 蛇形模型的识别与应用 题型5 平行线中的等积模型 题型6 平行线中的折叠问题 题型7 平行线中的三角板、直尺拼接问题 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 1. 猪蹄模型、铅笔头模型、大脚模型、蛇形模型四大拐点角度推导模型的识别与角度计算； 2. 平行线等积模型的面积转化与应用； 3. 平行线背景下的折叠问题角度、边长求解； 4. 平行线与三角板、直尺拼接的组合型几何计算。 1. 基础命题：以单一模型独立命题为主，侧重考查学生对猪蹄、铅笔头等基础模型的快速识别，直接套用模型结论进行角度求值、角度关系证明，题型以选择题、填空题为主，题干简洁、考点直白，侧重基础公式与模型结论的掌握。 2. 综合命题：多模型融合、基础几何工具结合命题，常将平行线折叠、三角板直尺拼接与四大拐点模型结合，融入图形变换、动态几何元素，考查多步角度推导、面积转化思维，题型涵盖选择填空压轴、解答基础证明计算题。 3. 素养命题：侧重几何直观、逻辑推理、模型迁移核心素养考查，命题不再局限于固定模型，会对经典模型进行变形、变式，考查学生举一反三、拆解复杂图形、自主推导结论的能力，贴合中考灵活命题趋势。 考情解码： 本模块是初中七年级几何核心重难点，也是中考几何基础必考模块，考情稳定、考查频次极高。在日常月考、期中期末考试中，必考选择、填空题基础题型，分值占比10%–15%；解答题常以几何推理计算题型出现，是几何大题的入门必考题型。中考中多以基础题、中档题形式考查，极少出现偏难怪题，重点考查模型识别能力与基础逻辑推理能力。其中猪蹄模型、铅笔头模型、平行线折叠问题、三角板拼接问题为高频热点考法，等积模型、大脚模型、蛇形模型多以变式题型考查，侧重知识迁移应用，是学生拉开基础几何得分差距的关键考点。 知识点一 猪蹄模型 猪蹄模型 猪蹄模型-进阶（又称“锯齿”模型） 条件 AB∥DE a∥b 图示 结论 ∠B+∠E=∠BCE ∠B+∠CMN+∠E=∠BCM+∠MNE 左拐角之和=右拐角之和 辅助线作法：过拐点作平行线，有多少拐点就作多少平行线. 【补充】选、填题结论直接套用，解答题需写过程. 知识点二 铅笔头模型 铅笔头模型 铅笔头模型-进阶 条件 AB∥DE AB∥DE a∥b 图示 结论 ∠B+∠BCE+∠E=360° ∠B+∠BMN+∠MNE+∠E=540° [类推] 知识点三 大脚模型 类型 大脚模型 骨折模型 已知 AB∥CD 图示 结论 ∠E=∠1-∠3 即：脚尖度数=大角-小角 ∠E=∠3-∠1 知识点四 蛇形模型 条件 AB∥CD 图示 结论 ∠BCD+∠D-∠B=180° ∠BCD+∠B-∠D=180° 知识点五 平行线中的等积模型 条件：AB∥CD 图形： 结论：1)2) 知识点六 平行线中的折叠问题 记住三句话: ①折叠前后对应角，对应边相等. ②折叠不改变原先的平行关系. ③以折线为对称轴. 知识点七 平行线中的三角板、直尺的拼接问题 一、常见的三角板与三角板（平行）拼接模型： 类型 两条斜边平行 斜边于直角边平行 两条直角边平行 图示 顶点在斜边上 顶点在直角边上 顶点在边上 顶点重合 【提示】根据平行线的性质及三角形内角和进行角度计算，计算线段长时会用到特殊角的三角函数值. 二、直尺与30°角的三角板拼接 图示 解题方法 利用三线八角求解 结论 ∠1+∠2=90° ∠1=∠2 ∠1+∠2=90° 三、直尺与45°角的三角板拼接 图示 解题方法 遇拐点作平行线 三线八角+三角板特殊角求解 三角板特殊角求解 结论 ∠1+∠2=90° ∠1=∠2=75° ∠1=105° 【提示】直尺本身含平行线，根据平行线性质及三角形的内角和进行角度计算. 题型1 猪蹄模型的识别和应用 【例1-1】（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【变式训练1-1】在图中，，与又有何关系？ 【答案】 【分析】此类题要过各个分点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质进行推导． 【详解】分别过，，作的平行线， 则，，，， ， 即，． 【点睛】此类题主要注意构造辅助线：平行线，解题的关键是充分运用平行线的性质进行证明． 【变式训练1-2】（2024抚顺市模拟预测）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∵ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，， BE平分， CF平分，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算； （2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得． 【详解】（1）作，，如图，且 ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 【变式训练1-3】若AB∥CD，∠CDF＝∠CDE，∠ABF＝∠ABE，则∠E：∠F＝　3：2　． 解：过E、F分别作EM∥AB，FN∥AB， ∵AB∥CD， ∴CD∥EM，CD∥FN， ∴∠CDE＝∠DEM，∠ABE＝∠BEM，∠CDF＝∠DFN，∠ABF＝∠BFN， ∴∠DEB＝∠CDE+∠ABE，∠DFB＝∠CDF+∠ABF， ∵∠CDF＝∠CDE，∠ABF＝∠ABE ∴∠DFB＝∠CDE+∠ABE＝∠DEB， ∴∠DEB：∠DFB＝3：2， 故答案为：3：2． 题型2 铅笔头模型的识别和应用 【例2-1】 如图，两直线、平行，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB    观察图形可知，图中有5组同旁内角， 则 故选D 【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键 【变式训练2-1】如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】过点F作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 【变式训练2-2】如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）． 【答案】 360 540 720 180n 【分析】过点作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （1）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （2）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （3）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】过作（如图②）． ∵原四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴， 又∵， ∴；    （）分别过、分别作的平行线，如图③所示，    用上面的方法可得； （）分别过、、分别作的平行线，如图④所示，    用上面的方法可得； （）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． 【变式训练2-3】（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4） 【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到； （2）过点P作，由，得到，从而得到结论； （3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由：如图，过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即； 如图（4）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 题型3 “大脚”模型的识别和应用 【例3-1】如图，已知，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点作，根据平行线的性质和角的和差，求解即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练3-1】已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D 【答案】见解析 【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论． 【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图 ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BOD， ∵EF∥CD（辅助线）， ∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）； ∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换）， ∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角． 【变式训练3-2】如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式 ． 【答案】∠2+∠3﹣∠1=180° 【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可． 【详解】解：∵AB∥EF，EF∥CD， ∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°， ∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°， ∵∠BOE+∠COF+∠1=180°， ∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1， ∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°， 即∠2+∠3﹣∠1=180°． 故答案为：∠2+∠3﹣∠1=180°． 【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 【变式训练3-3】 ①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【详解】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠AEC＝360°， 故①错误； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 题型4 蛇形模型的识别和应用 【例4-1】已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图，已知，，求的度数； (2)如图，判断、、之间的数量关系为 ． (3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可求出的度数； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，又，即可得出； （3）交于点，由，得出，由得出，由，得出，由对顶角相等得出，由角平分线的性质得出，即，由（2）得：，代入计算即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，过点作，则， ，， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3，设交于点， ， ， ∵ ∴， ， ， ， ， 平分， ， ， 由（2）得：， ， ． 【变式训练4-1】如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得； （2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（ 1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【详解】（1）在图①中，过点C作，则．    ∵， ∴， ∴． （2）在图2中，过点Q作，则．    ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线． 【变式训练4-2】如图， ，点在直线，之间，连接，．    (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数； 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，利用平行线的判定及性质即可得解； （2）由（1）得，将代入即可得解． 本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， 理由如下：过点作，如图，      ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∴， 解得． 【变式训练4-3】①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α﹣∠β+∠γ＝180°．以上结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠AEC＝360°， 故本结论错误，不符合题意； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故本结论正确，符合题意； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故本结论错误，不符合题意； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故本结论正确，符合题意； 综上结论正确的个数为2，故选：B． 题型5 平行线中的等积模型 【例5-1】 如图，是直线上一动点，，是直线上的两个定点，且直线，对于下列各值：点到直线的距离；的周长；的面积；的度数其中不会随点的移动而变化的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线间的距离，解题关键是明确平行线间的距离相等；直接根据平行线间的距离相等判断即可． 【详解】解：直线， 点到直线的距离不会随点的移动而变化；故符合题意； 、的长度随点的移动而变化， 的周长会随点的移动而变化，故不符合题意； 点到直线的距离不变，的大小不变， 的面积不变，故符合题意； 直线，之间的距离不随点的移动而变化，的大小随点的移动而变化， 故不符合题意； 综上所述，不会随点的移动而变化的是． 故选：． 【例5-2】如图，，相交于点E，的面积等于3，的面积等于5，那么的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线之间的距离处处相等，可得，进而得到，根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ， ， 故答案为：8． 【变式训练5-1】如图，在四边形中，，对角线交于点，若的面积为，的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线间的距离相等，三角形的面积，由可得点、点到的距离相等，即得，进而得到，求出即可求解，掌握平行线之间的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点、点到的距离相等， ∴， ∴， 即， ∵的面积为，的面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练5-2】（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 设的距离为，则，即，证明，则，计算求解即可． 【详解】解：设的距离为， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练5-3】课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键． （1）根据“等底等高”可得，从而，即可得证结论； （2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论； （3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴（等底等高）， ∴， ∴ （2）证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，    则， ∴， ∴． （3）解：连接，    ∵， ∴， ∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比）， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可知， ∵由（2）可知，，即， ∴， ∴ ∴． 题型6 平行线中的折叠问题 【例6-1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【答案】D 【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得，利用三角形内角和定理求得，再根据折叠的性质可得，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，，，由平角的定义从而可得，，再根据平行线的判定即可判断． 【详解】解：对于纸带①， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴与不平行， 对于纸带②，由折叠的性质得，，， 又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定和折叠的性质是解题的关键． 【变式训练6-1】如图1，四边形是一张矩形纸片，点是上一点，将矩形纸片折叠得到图2，使得与重合．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握这两个性质定理是解题的关键．根据折叠的性质可得，，根据平角的定义可得，从而得出，求出的度数，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图 根据折叠的性质可得，， 矩形的对边平行 故选：B． 【变式训练6-2】如图，将平行四边形折叠，使点C落在边上的点处，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．根据平行线的性质求出的度数，根据折叠的性质求出的度数，利用三角形内角和求出． 【详解】解：设折痕与平行四边形交点为，如图所示， 四边形是平行四边形， ， ， 根据折叠可得， ． 故选：B． 【变式训练6-3】如图，把矩形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据折叠的性质可得，从而求得，再根据矩形的性质可知，即可得到，从而得到的度数． 【详解】解：四边形为矩形，四边形为四边形折叠而成， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型7 平行线中三角板、直尺的拼接问题 【例7-1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【例7-2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，有关三角板中角度的计算． 由平行线的性质可求出，又由三角板中，根据角的和差即可求出． 【详解】解：如图，∵    ∴， ∵在三角板中，， ∴． 故选：B 【变式训练7-1】（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数． 【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线， ∴， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练7-2】（2024·山东东营·中考真题）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练7-3】（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ． 【答案】/65度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，等边对等角，得到，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 1.如图，已知AB∥DE，∠A＝40°，∠ACD＝100°，则∠D的度数是　 　． 解：过C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥FC∥DE， ∴∠A＝∠ACF＝40°，∠D＝∠FCD， ∵∠ACD＝100°，∴∠FCD＝100°﹣40°＝60°，∴∠D＝60°．故选：C． 2．如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BCD的度数为　 　 解：如图，过B作BE∥m，过C作CF∥n， ∵m∥n，∴m∥BE∥CF∥n，∴∠ABE＝∠1＝35°，∠DCF＝∠2＝62°， 又∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°， ∴∠EBC＝90°﹣35°＝55°，∴∠BCF＝∠EBC＝55°， ∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝55°+62°＝117°，故选：B． 3．如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°，则∠2的度数为　150°　． 解：延长AB交l2于E， ∵∠α＝∠β， ∴AB∥CD， ∵l1∥l2， ∴∠3＝∠1＝30°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝150°．故答案为：150°． 4．如图，若直线a∥b，那么∠x＝　 　度． 解：令与130°互补的角为∠1，如图所示． ∵∠1+130°＝180°，∴∠1＝50°． ∵a∥b，∴x+48°+20°＝∠1+30°+52°， ∴x＝64°．故答案为：64． 5．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是　 　． 解：过点H作HM∥AB，延长EF交CD于点N，如图所示： ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴AB∥HM∥CD，EN⊥CD， ∴∠EHM＝∠AEH＝20°，∠ENG＝90°，∠CGH＝∠GHM， ∴∠GHM＝∠EHG﹣∠EHM＝30°， ∴∠CGH＝30°， ∴∠CGF＝∠CGH+∠FGH＝50°， ∵∠EFG是△FGN的外角， ∴∠EFG＝∠ENG+∠CGF＝140°．故选：C． 6．如图，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠E：∠F＝　 　． 解：过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD， ∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH， ∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF； 同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE； ∵∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE， ∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF＝（∠ABE+∠CDE）＝∠BED， ∴∠BED：∠BFD＝3：2． 7．（1）如图1，AM∥CN，求证： ①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°； ②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°； （2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明． 解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG ∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180° ∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360° ∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360° ②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN， ∵AM∥CN， ∴EP∥FQ， ∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180° ∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°； （2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°． 证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行， ∴所有角的和为（n+1）•180°． 8．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°． （1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论； （2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数； （3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求的值． 解：（1）结论：∠BED+∠D＝120°， 证明：如图①，延长AB交DE于点F， ∵AB∥CD， ∴∠BFE＝∠D， ∵∠ABE＝120°， ∴∠BFE+∠BED＝∠ABE＝120°， ∴∠D+∠BED＝120°； （2）如图②， ∵∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE， 即∠CDE＝3∠CDF， 设∠BEF＝α，∠CDF＝β， ∴∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β， 由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°， ∴3α+3β＝120°， ∴α+β＝40°， ∴2α+2β＝80°， ∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣（2α+2β）＝180°﹣80°＝100°， 答：∠EFD的度数为100°； （3）如图③， ∵BG⊥AB， ∴∠ABG＝90°， ∵∠ABE＝120°． ∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABG＝30°， ∵∠CDE＝4∠GDE， ∴∠GDE＝∠CDE， ∵∠G+∠GBE＝∠E+∠GDE， ∴∠G+30°＝∠E+∠CDE， 由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°， ∴∠CDE＝120°﹣∠E， ∴∠G+30°＝∠E+（120°﹣∠E）， ∴∠G＝∠E， ∴＝． 9．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360° （1）求证：AD∥CE； （2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若2∠B﹣∠F＝90°，求∠BAH的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若点P是线段AB上一点（不同于A点），Q是GE上任意一点，QR平分∠PQG，PM∥QR，PN平分∠APQ，求∠NPM的度数． （1）证明：如图1中，作BK∥DH， ∵BK∥DH， ∴∠DAB+∠ABK＝180°， ∵∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°， ∴∠CBK+∠BCE＝180°， ∴BK∥CE， ∴AD∥CE． （2）如图1中，作BK∥DH， ∵DH∥GE， ∴∠F＝x+2y，∠B＝y+2x， ∵2∠B﹣∠F＝90°， ∴2y+4x﹣x﹣2y＝90°， ∴x＝30°， ∠BAH＝60°． （3）如图3中，设∠RQG＝∠RQP＝x，∠APN＝∠NPQ＝y． ∵∠APQ＝∠HAP+∠PQG， ∴2y＝60°+2x， ∴y﹣x＝30°， ∵∠MPQ＝∠PQR＝x， ∴∠MPN＝∠NPQ﹣∠MPQ＝y﹣x＝30°． 10.（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数． 小辰的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线的性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程． （2）问题迁移： ①如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，设∠CPD＝∠α，∠ADP＝∠β，∠BCP＝∠γ，问：∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由． ②在①的条件下，如果点P不在A、B两点之间运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠α、∠β、∠γ间的数量关系． 解：（1）∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°， ∵∠PAB＝120°，∠PCD＝130°， ∴∠APE＝60°，∠CPE＝50°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°． 故答案为110°． （2）①当点P在A、B两点之间，如图3，作PQ∥AD， ∵PQ∥AD，AD∥BC， ∴PQ∥AD∥BC， ∴∠DPQ＝∠β，∠CPQ＝∠γ， ∵∠CPD＝∠DPQ+∠CPQ， ∴∠α＝∠β+∠γ； ②当点P在B、O两点之间时，作PQ∥AD， ∵PQ∥AD，AD∥BC， ∴PQ∥AD∥BC， ∴∠DPQ＝∠β，∠CPQ＝∠γ， ∵∠CPD＝∠DPQ﹣∠CPQ， ∴∠α＝∠β﹣∠γ； 当P点在A，M之间运动时，此时∠α＝∠γ﹣∠β． 综上所述：∠α＝|∠β﹣∠γ|． 学科网（北京）股份有限公司 $