7 基础过关专题(2) 与平行线有关的角度计算&重点突破专题 平行线中的“拐点”问题-【名师学案】2025-2026学年七年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

基础过关专题（二） 与 类型一直接利用平行线的性质与判定求角度 1.(2024·淄博)如图，已知AD∥BC,BD平分 ∠ABC.若∠A=110°，则∠D的度数是() A.40° B.36° C.35° D.30° B 第1题图 第2题图 2.(2024·陕西)如图，AB∥DC,BC∥DE,∠B =145°，则∠D的度数为 () A.259 B.35 C.45 D.55° 3.如图，∠1+∠2=180°，∠4=80°，则∠3=() A.80° B.100° C.110° D.120 类型二借助学具求角度 4.（2024·盐城)小明将 一块直角三角板摆放 在直尺上，如图，若∠1 =55°，则∠2的度数为 A.25 B.35 C.459 D.55 5.(2024·通辽)将三角尺ABC按如图位置摆 放，顶点A落在直线1上，顶点B落在直线 12上，若1∥12，∠1=25°，则∠2的度数是 ( A.45 B.35° C.30° D.25 30 B B E 第5题图 第6题图 6.(2024·凉山州)一副直角三角板按如图所示 的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF ∥AB时，∠EDB的度数为 () A.10 B.15° C.30° D.45° 平行线有关的角度计算 类型三利用折叠求角度 7.如图，将长方形纸片ABCD沿AC折叠，使点 B落在点B'处，B'C交AD于点E,若∠1= 25°，则∠2等于 A.25° B.30° C.50° D.609 第7题图 第8题图 8.如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠，A,D两 点分别与A',D'对应，若∠1=2∠2，则 ∠AEF的度数为 ( ) A.609 B.65° C.72° D.75 9.用一张等宽的纸条折成如 图所示的图案，若∠1=20°， 则∠2的度数为 类型四抽象出平行线求角度 10.【新课标·跨物理学科】(2024·南充改编) 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面 镜反射时，∠1=∠2=40°，且AB∥CD,则 ∠3的度数为 ( A.80° B.90 C.100 D.120° B 空气 G ∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠ 、TTT 第10题图 第11题图 11.【教材P20习题T8变式】光线在不同介质 中传播速度不同，从一种介质射向另一种介 质时会发生折射.如图，水面AB与水杯下 沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发 生折射，光线变成FH,点G在射线EF上， 已知∠HFB=20°，∠FED=45°，则∠GFH 的度数是 助学助教优质高敦 16 重点突破专题 平行线中的“拐点”问题 解题技巧 4.如图，已知AB∥DE,BF,EF分别平分 当两条平行线不是被第三条直线所截，而是被一 ∠ABC与∠CED.若∠BCE=140°，求 条折线所截时，不能直接利用平行线的性质计算或证 明.此时需过“拐，点”作其中一条直线的平行线，利用 ∠BFE的度数. 平行线基本事实的推论得出三条直线相互平行，从而 多次利用平行线的性质解决问题 类型一“M"型 模型展示 【结论1】若AB∥CD,则 ∠BOC=∠B+∠C 【结论2】若∠BOC=∠B+ ∠C,则AB∥CD. 【解法点拨】过点O作OE∥AB, 1.(中考·鄂州)如图，直线AB∥CD,GE⊥EF 于点E.若∠BGE=60°，则∠EFD的度数是 () A.60° B.30° C.40 D.70° G ◇E 类型二 “铅笔头”型 第1题图 第2题图 模型展示 2.(2024·泸州改编)把一块含30°角的直角三 【结论1】若AB∥CD,则∠B+ A 角板按如图方式放置于两条平行线间，若∠1 ∠BOC+∠C=360°， 【结论2】若∠B+∠BOC+∠C =75°，则∠2= () =360°，则AB∥CD, A.10° B.15 C.20° D.30 【解法点拨】过点O作OE∥AB, 3.如图，直线AB∥CD,∠C=44°，AE⊥EC于 点E,求∠1的度数. 5.如图，已知a∥b,∠1=50°，∠2=120°，则∠3 的度数为 () A.100 B.110 C.120° D.130 C 第5题图 第6题图 6.如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角， 并使∠1=120°，AB⊥BC,那么∠2的度数 为 17 七年级数学·下册 类型三“钩”型 模型展示 A B E D D 图① 图② 条件 AB∥CD. AB∥CD. 结论 ∠B=∠E+∠D ∠B=∠E+∠D. 7.【新课标·传统文化】抖空竹在我国有悠久的 历史，是国家级非物质文化遗产之一.图1是 一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把 它抽象成图2所示的数学问题：已知AB∥ CD,∠A=72°，∠E=33°，则∠ECD的度数 是 图1 图2 A.95° B.100° C.105° D.110° 8.如图，AB∥CD,∠A=54°，∠E=18°，则∠C 等于 9.已知AB∥CD,点E为AB,CD之外任意 一点. A 图① 图② (1)如图①，∠BED与∠B,∠D的数量关系 是 (2)如图②，探究∠CDE与∠B,∠E的数量 关系； (3)应用：如图③，AB∥EF,∠ABC=75°， ∠CDF=135°，则∠BCD= 75o7 E 1359 图③ 类型四“锯齿”型 模型展示 【结论】如图，AB∥EF,则∠B十∠CDE=∠BCD 十∠E. B 【解法点拨】如图，过点C作 P-__ MN∥AB,过点D作PQ∥AB. E 10.如图，AB∥CD,∠B=25°，∠C=150°， ∠EFC=60°，求∠BEF的度数. 11.如图，AB∥EF,∠C=90°，试探究：∠B, ∠CDE,∠E之间的数量关系，并说明理由. B 助学助教优质高数18基础练 1.C2.B3.∠2同位角相等∠460°4.B5.C6.30°7.C8.132 9.解：AB∥CD,∴.∠ABD+∠CDB=180°.：BE平分∠ABD,DE平分∠CDB,. ∠1=7∠ABD,∠2=∠CDB.∠1+∠2=2（∠ABD+∠CDB)=g×180= 90°.10.D11.B12.55°13.互补的定义CD同旁内角互补∠APC内错 角相等等式的性质内错角相等内错角相等14.解：AB∥CD,∴.∠B= ∠BCD=60°.：CD∥EF,∴.∠CEF+∠ECD=180°.∴.∠ECD=180°-∠CEF= 180°-140°=40°..∠BCE=∠BCD-∠ECD=60°-40°=20°.15.证明：(1)∠1 +∠2=180°，∠1+∠FDE=180°，.∠FDE=∠2..DF∥AB..∠3=∠AEF. ∠3=∠B,∠B=∠AEF.∴EF∥CB.∠AFE=∠ACB;(2)解：：∠1=85， DF∥AB,∴∠AEC=85.:∠3=50°，∴∠AEF=∠3=50°.∴∠FEC=∠AEC ∠AEF=35°.：EF∥BC,∴∠BCE=∠FEC=35.CE平分∠ACB,∴∠ACB=2 ∠ECB=70°. 第2课时平行线的判定与性质的综合应用 基础练 1.D2.C3.B4.B5.已知BF平行于同一条直线的两条直线平行∠CBF 两直线平行，同旁内角互补90°∠ABF90°90°270°6.(1)AD与EC平行， 证明：∠1=∠BDC,.AB∥CD.∴∠2=∠ADC.:∠2+∠3=180°，∴.∠ADC+ ∠3=180°..AD∥CE;(2)解：∠1=∠BDC,∠1=76°，∴∠BDC=76°.：DA平分 ∠BDC,∴∠ADC=3∠BDC=38.∴∠2=∠ADC=38.又：DALFA.∠FAD =90°..∠FAB=∠FAD-∠2=90°-38°=52°. 基础过关专题（二）与平行线有关的角度计算 1.C2.B3.B4.B5.B6.B7.C8.C9.140°10.C11.25° 重点突破专题平行线中的“拐点”问题 1.B2.B3.解：过点E作EF∥CD,(F在E点左边)则∠CEF=∠ECD=44°. AE⊥CE,∴.∠AEC=90°..∠AEF=90°-∠CEF=90°-44°=46°.EF∥CD,CD ∥AB,∴.EF∥AB.∴.∠AEF=∠BAE=46°..∠1=180°-∠BAE=180°-46°= 134°.4.解：过点C作CG∥AB.(G在C点右边)AB∥DE,CG∥AB,.AB∥CG ∥DE.∴.∠BCG=∠ABC,∠GCE=∠CED.∴∠BCE=∠ABC+∠CED.同理，可 得∠BFE=∠ABF+∠DEF.:BF,EF分别平分∠ABC与∠CED,∠BCE=140°， ÷∠ABF=∠ABC,∠DEF=Z∠CED.·∠BFE=∠ABC+G∠CED=3 (∠ABC+∠CED)=2∠BCE=3×140=70.5.B6.1507.C8.36 9.解：(1)∠B=∠BED+∠D(2)∠CDE=∠B+∠E.理由如下：过点E作EF∥ AB,(F在E点左边)则∠B+∠BEF=180°，.∠DEF=∠BEF-∠BED=180° ∠B-∠BED.AB∥CD,AB∥EF,∴.CD∥EF.∴.∠CDE+∠DEF=180°，即 ∠CDE+180°-∠B-∠BED=180°..∠CDE=∠B+∠BED.(3)30°10.解： 过点E,F分别作EG∥AB,FH∥AB,(G在E点右边，H在F点左边)则∠B= ∠BEG=25°，EG∥FH.∴∠GEF=∠EFH.:AB∥CD,AB∥FH,∴.CD∥FH.∴ ∠C+∠CFH=180°.∴∠CFH=180°-∠C=30°.∴.∠EFH=∠EFC-∠CFH= 60°-30°=30°..∠GEF=∠EFH=30°..∠BEF=∠BEG+∠FEG=25°+30°= 55°.11.解：过点C作CM∥AB,过点D作DN∥EF,(M在点C右边，N在点D左 边)则AB∥CM∥DN∥EF.∴.∠BCM=∠B,∠NDE=∠E.∴∠MCD=90°- ∠BCM=∠CDN=∠CDE-∠NDE.∴.90°-∠B=∠CDE-∠E,∴.∠CDE+∠B -∠E=90°. 7.3定义、命题、定理 知识储备 1.错误陈述句题设结论2.真命题一定成立3.真命题定理4.推理 推理 基础练 1.A2.解：(1)如果一个数是负数，那么它小于零.题设：一个数是负数.结论：这个 数小于零.(2)如果两个角是同旁内角，那么它们互补.题设：两个角是同旁内角.结 论：这两个角互补.3.D4.a=3,b=一1（答案不唯一）5.解：(1)如果两个角是内 错角，那么它们相等，假命题.(2)如果一个角是钝角，那么这个角大于它的补角，真命 题.6.C7.两直线平行，同位角相等∠2∠E内错角相等，两直线平行 8.AB⊥EF于点B,CD⊥EF于点DAB∥CD证明：AB⊥EF,CD⊥EF, ∠ABD=∠CDF=90°，∴.AB∥CD.9.D10.解：(1)共组成3个命题：①②→③： -182