【微专题02】平行线与相交线中的几何模型（专项训练）2025-2026学年人教版七年级数学下册

微专题七02 平行线与相交线中的几何模型 模型一：猪蹄模型 模型条件 在图中，CD∥AB，点O是AB,CD间的一点，连接OB，OC，且两条线段凹进去. 模型图示 模型结论 1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　） A．70° B．65° C．35° D．5° 2．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　）    A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90° 3．如图，直线，于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 4．如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，，，则______度． 5．图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为______． 6．（1）已知：如图（a），直线．求证：； （2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 7．为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条、，、，做成折线，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出． （1）如图2，小明将折线调节成，判别是否平行于，并说明理由； （2）如图3，若，调整线段、使得，求出此时的度数，要求画出图形，并写出计算过程． （3）若，求出此时的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程． 模型二：铅笔头模型 模型条件 在图中，CD∥AB，点O是AB,CD间的一点，连接OB，OC，且两条线段凸出来. 模型图示 模型结论 1．已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（    ）    A． B． C． D． 3．如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（   ） A．180° B．360° C．540° D．720° 4．如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n =__________ °． 5．（1）如图1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接写出结果） （2）如图2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接写出结果） （3）如图3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接写出结果） （4）如图4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接写出结果） 　　　 　　　 　　　 模型三：鸡翅模型 模型条件 已知直线a∥b，点P不在直线a，b之间. 模型图示 模型结论 ∠2=∠3-∠1 尖角总等于大角减小角. 1．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，已知，，则_________． 3．已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图1，若，，直接求出的度数； (2)如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，求证： ． 4．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数； （2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数． （3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数． 模型四：骨折模型 模型条件 已知直线a∥b，点P不在直线a，b之间. 模型图示 模型结论 1．如图，已知，，，则_____． 2．如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为______ 3．已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 4．【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题七02 平行线与相交线中的几何模型 模型一：猪蹄模型 模型条件 在图中，CD∥AB，点O是AB,CD间的一点，连接OB，OC，且两条线段凹进去. 模型图示 模型结论 1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　） A．70° B．65° C．35° D．5° 【答案】B 【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决． 【详解】作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE∥DE， ∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2， ∵∠1＝30°，∠2＝35°， ∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°， ∴∠BCE＝65°， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 2．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　）    A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90° 【答案】D 【分析】过C作CF∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质得到作差即可． 【详解】详：过C作CF∥AB，    ∵AB∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴ ∴ 故选：D． 3．如图，直线，于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 4．如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，，，则______度． 【答案】20 【分析】如图（见详解），过点E作， 先证明，再由平行线的性质定理得到，，结合已知条件即可得到． 【详解】解：由题意可得：． 如图，过点E作， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：． 故答案为：20． 【点睛】本题重点考查了平行线的性质定理的运用．从“基本图形”的角度看，本题可以看作是“M”型的简单运用．解法不唯一，也可延长BE交CD于点G，结合三角形的外角定理来解决；或连结BD，结合三角形内角和定理来解决． 5．图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键； 过点作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵，， ∴，， ∴， ∵与的夹角为，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（1）已知：如图（a），直线．求证：； （2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，，见解析 【分析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD． 【详解】解：（1）证明：过点C 作CF∥AB， ∵AB∥ED， ∴AB∥ED∥CF， ∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC， ∴∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD， 证明：如图： ∵AB∥ED， ∴∠ABC=∠BFD， 在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE， ∴∠ABC=∠BCD+∠CDE， ∴∠ABC-∠CDE=∠BCD． 若点C在直线AB与DE之间，猜想, ∵AB∥ED∥CF， ∴ ∴. 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法． 7．为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条、，、，做成折线，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出． （1）如图2，小明将折线调节成，判别是否平行于，并说明理由； （2）如图3，若，调整线段、使得，求出此时的度数，要求画出图形，并写出计算过程． （3）若，求出此时的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程． 【答案】（1）AB∥DE，理由见解析；（2）25°或155°，画图见解析；（3）60°或120°或70°或110° 【分析】（1）过点C作CF∥AB，利用平行线的判定和性质解答即可； （2）分别画图3和图4，根据平行线的性质可计算∠B的度数； （3）分别画图，根据平行线的性质计算出∠B的度数． 【详解】解：（1）AB∥DE，理由是： 如下图，过点C作CF∥AB， ∴∠B=∠BCF=50°， ∵∠BCD=75°， ∴∠DCF=25°， ∵∠D=25°， ∴∠D=∠DCF=25°， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE； （2）如下图， ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BCD=25°； 如图4： ∵AB∥CD， ∴∠B+∠BCD=180°， ∴∠ABC=180°-25°=155°； （3）由（1）得：∠B=85°-25°=60°； 如图5，过C作CF∥AB，则AB∥CF∥CD， ∴∠FCD=∠D=25°， ∵∠BCD=85°， ∴∠BCF=85°-25°=60°， ∵AB∥CF， ∴∠B+∠BCF=180°， ∴∠B=120°； 如图6，∵∠C=85°，∠D=25°， ∴∠CFD=180°-85°-25°=70°， ∵AB∥DE， ∴∠B=∠CFD=70°， 如图7，同理得：∠B=25°+85°=110°， 综上所述，∠B的度数为60°或120°或70°或110°． 模型二：铅笔头模型 模型条件 在图中，CD∥AB，点O是AB,CD间的一点，连接OB，OC，且两条线段凸出来. 模型图示 模型结论 1．已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作平行线， ， ． 故选C． 2．如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图，        ∵AB∥EF∥CD， ∴∠γ+∠FED=180°， ∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β， ∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°， ∴∠α+∠β+∠γ=360°， 故选：C． 3．如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（   ） A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】C 【详解】解：作EM∥AB，FN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD． ∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°， ∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°． 故选：C． 4．如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n =__________ °． 【答案】 【详解】解：（1）如图，过点P作一条直线PM平行于AB， ∵AB∥CD，AB∥PM ∵AB∥PM∥CD， ∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°， ∴∠1+∠APC+∠3=360°； （2）如图，过点P、Q作PM、QN平行于AB， ∵AB∥CD， ∵AB∥PM∥QN∥CD， ∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°； ∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°； 根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补． 即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n =180°（n-1）． 故答案为： 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 5．（1）如图1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接写出结果） （2）如图2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接写出结果） （3）如图3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接写出结果） （4）如图4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接写出结果） 　　　 　　　 　　　 【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n-1）180 ° 【详解】解：（1）过点A2作A2B∥l1， ∵l1∥l2， ∴A2B∥l1∥l2， ∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A3+∠A3A2B=180°， ∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝∠A1+∠A1A2B+∠A3+∠A3A2B=180°+180°=360°， 故答案是：360°； （2）过点A2作A2B∥l1，过点A3作A3C∥l1， ∵l1∥l2， ∴A3C∥A2B∥l1∥l2， ∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A4+∠A4A3B=180°，∠BA2A3+∠CA3A2=180°， ∴∠A1+∠A1A2A3+∠A2A3A4+∠A4＝∠A1+∠A1A2B+∠A4+∠A4A3B+∠BA2A3+∠CA3A2 =180°+180°+180°=540°， 故答案是：540°； （3）同理可得：∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°+180°+180°+180°=720°， 故答案是：720°； （4）同理可得：∠A1+∠A2+…+∠An＝（n-1）180 °， 故答案是：（n-1）180 °． 模型三：鸡翅模型 模型条件 已知直线a∥b，点P不在直线a，b之间. 模型图示 模型结论 ∠2=∠3=∠1 尖角总等于大角减小角. 1．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 2．如图，，已知，，则_________． 【答案】45 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过点作，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：过点作，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 3．已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图1，若，，直接求出的度数； (2)如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，求证： ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)详见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． （1）先根据三角形的内角和得，分别根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠G的度数； （2）根据三角形内角和定理和角平分线定义，可得和的关系； （3）根据平行线的性质和角平分线定义可得结论． 【详解】（1）解：如图1，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，，理由是： 由（1）知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∴ ， 同理得， ∴，即 ， ∴； （3）如图3，∵， ∴， 由（2）得：， 中，，， ∴， ∴ ． 4．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数； （2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数． （3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数． 【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°． 【详解】解：（1）过E作EMAB， ∵ABCD， ∴CDEMAB， ∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM， ∵CF平分∠DCE， ∴∠DCE＝2∠DCF， ∵∠DCF＝30°， ∴∠DCE＝60°， ∴∠CEM＝60°， 又∵∠CEB＝20°， ∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°， ∴∠ABE＝40°； （2）过E作EMAB，过F作FNAB， ∵∠EBF＝2∠ABF， ∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x， ∵CF平分∠DCE， ∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y， ∵ABCD， ∴EMABCD， ∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x， ∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x， 同理∠CFB＝y﹣x， ∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°， ∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，   ∴x＝10°， ∴∠ABE＝3x＝30°； （3）过P作PLAB， ∵GM平分∠DGP， ∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y， ∵PQ平分∠BPG， ∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x， ∵PQGN， ∴∠PGN＝∠GPQ＝x， ∵ABCD， ∴PLABCD，   ∴∠GPL＝∠DGP＝2y， ∠BPL＝∠ABP＝30°， ∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG， ∴30°＝2y﹣2x， ∴y﹣x＝15°， ∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x， ∴∠MGN＝15°． 模型四：骨折模型 模型条件 已知直线a∥b，点P不在直线a，b之间. 模型图示 模型结论 1．如图，已知，，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．解题的关键是掌握平行线的判定和性质，正确做出辅助线． 过点作，根据平行线的性质和角的和差，求解即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 2．如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为______ 【答案】180° 【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解． 【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示： ， ∠1=∠EFD， ∠2+∠EFC=∠3， ， ， ； 故答案为180°． 3．已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先过点P作，则可得，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解； （2）作，可得，根据平行线的性质，即可证得； （3）先证明，利用（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∴； （3）解：设交于O，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 4．【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 学科网（北京）股份有限公司 $