2.4一元二次方程的应用知识梳理与题型突破（六大题型）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以六大题型为框架，分层覆盖一元二次方程应用全场景，通过基础选择到综合解答的梯度设计，强化数学建模与问题解决能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|单一题型基础应用|传播问题选择题（题型一1-3），强化“审设列解答”步骤，培养抽象能力| |应用巩固|典型情境问题解决|面积问题解答题（题型四4-5），结合几何直观，提升模型意识与推理能力| |综合拓展|跨题型综合应用|综合训练8-9题整合增长率与销售问题，发展应用意识与综合思维|

2.4一元二次方程的应用知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版九年级上册（六大题型） 知识梳理： （一）解一元二次方程步骤 解题步骤：列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似： “审”：弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； “设”：指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； “列”：指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。 “解”：就是求出说列方程的解； “答”：就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。 注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。 （二）一元二次方程实际应用常见类型 （1）单双循环问题：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量） （2）传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数 （3）增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。 （4）几何面积问题：利用勾股定理建立一元二次方程。 利用面积公式建立二元一次方程。 （5）销售利润问题：总利润＝单利润×数量 现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分） 现数量＝原数量－（原数量＋） 题型突破： 题型一：传播问题 1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的分支，若主干、支干和小分支的总数是57，则每个支干长出（　　）根小分支 A．5根 B．6根 C．7根 D．8根 【答案】C 2.某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目小分支，主干、枝干和小分支总数共57根，则主干长出枝干的根数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 3.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有196人患病，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（    ）人． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 4.有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过（　　）人． A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 5.有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 题型二：单双循环问题 1.现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45 【答案】A 2.参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 3.某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时換班一次，某两人同值班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则x=(　　) A．15 B．18 C．21 D．35 【答案】C 4.要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　） A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 【答案】D 5.某小组有若干人， 新年大家互相发一条微信视福， 已知全组共发微信56条，则这个小组的人数为　 　人. 【答案】8 题型三：增长率问题 1.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196 C．50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196 【答案】C 2.某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的总营业额万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 3.年某电影上映的第一天票房为亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 4.春天是万物萌动的开始，是一个充满诗情画意的季节．合肥非遗园在春季积极开展特色樱花节，吸引了大量的游客前来观赏游玩．据统计：在三月份该景点接待游客约为4万人，三、四、五三个月共接待游客约为13.24万人，若这三个月平均每月接待游客人数的增长率相同，设平均增长率为，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 5.书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的通道．我县为响应全民阅读活动，利用春节假期面向社会开放县图书馆．据统计，第一天进馆100人次，进馆人次逐天增加，第三天进馆121人次．若进馆人次的日平均增长率相同． （1）求进馆人次的日平均增长率； （2）因疫情防控要求限制，县图书馆每天接纳能力不得超过200人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，县图书馆能否接纳第四天的进馆人次，说明理由． 【答案】（1）10%（2）能接纳第四天的进馆人次． 【解答】解：（1）设进馆人次的日平均增长率为x， 根据题得，100（1+x）2＝121， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣1.1（不符题意，舍去）， 答：进馆人次的日平均增长率为10%； （2）因为第四天的进馆人次为121×（1+0.1）＝133.1（人次）， 而133.1＜200， 所以县图书馆能接纳第四天的进馆人次． 答：县图书馆能接纳第四天的进馆人次． 题型四：面积问题 1．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人形通道，设人行道的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 2．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________． 【答案】x(x+12)=864 3.如图，在宽为4米､长为6米的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积15平方米，设铺设的石子路的宽为x米，则可列出方程_____________． 【答案】（4-x）（6-x）=15 4.如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用长为米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为平方米？ 【答案】当鸡舍的长、宽分别是米和米时，鸡舍面积为平方米 【详解】解：设边的长度为米，则边的长度为米，边的长度为米， 由题意得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， 即当鸡舍的长、宽分别是米和米时，鸡舍面积为平方米． 5.某学校计划利用一片空地为学生建一个面积为的矩形车棚，其中一面靠墙（墙的可用长度为），已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为．    (1)根据学校的要求，在与墙平行的一面开一个米宽的门（如图），那么这个矩形车棚相邻两边长分别为多少米； (2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为，那么小路的宽度为多少米． 【答案】(1)这个矩形车棚相邻两边长分别为10米、8米； (2)1米． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边长为米，则与墙平行的边长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：这个矩形车棚相邻两边长分别为米、米； （2）解：设小路的宽度为米，则剩余部分可合成长为米，宽为米的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：小路的宽度为米． 题型五：动态几何问题 1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（　　） A．2s B．3s C．4s D．5s 【答案】B 2．如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2 【答案】1或4##4或1 3．如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则__秒时，的面积是． 【答案】2或3##3或2 4.如图所示，在中．，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为． (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度等于． (3)在（1）中的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒 (2)2秒 (3)不可能等于，理由见详解 【详解】（1）解：设x秒后，的面积为， 此时，，，， 则， 令，即， 整理得：， 解得：或， 当时，，说明此时点Q越过点C，不合要求，舍去， 答：1秒后的面积为； （2）解：由，得， 整理得， 解方程得：（舍去），， 所以2秒后的长度等于； （3）解：的面积不可能等于，理由如下： 设 即，整理得， ∵， ∴方程没有实数根， 所以的面积不可能等于． 5.如图，在矩形ABCD中，cm，，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t s．      (1)______cm，______cm；（用含t的代数式表示） (2)当______时，PQ的长度等于8cm； (3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于60cm？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t，8-t (2)s (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）由题意可得： 故答案为2t，8-t； （2）由题意可得： ， ∴， 解得：(舍去)，， 故答案为s； （3）不存在， 理由：因为若存在五边形APQCD的面积等于60cm， 则由于长方形的面积为8×10=80（cm）， 所以△PBQ的面积为80-60=20（cm）， ∴， 即， ∵ ∴上面关于t的方程无实根， 故不存在t的值使得五边形的面积为60cm． 题型六：销售问题 1．小强为活动小组购买统一服装，经理给予如下优惠：如果一次性购买不超过10件，单价为80元：如果一次性购买超过10件，那么每多买一件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价最终不低于50元．小强一次性购买这种服装花费1200元，则他购买了这种服装的件数是(        ) A．20件 B．24件 C．20件或30件 D．30件 【答案】A 2．某网店销售一批运动装，平均每天可销售20套，每套盈利45元；为扩大销售量，增加盈利，采取降价措施，一套运动服每降价1元，平均每天可多卖4套，若网店要获利2100元，设每套运动装降价元，则列方程正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 3．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则一株的盈利为 ________元，可列出的方程是______________________． 【答案】          4.某商店如果将进货价为元的商品按每件元售出，每天可销售件，现在采取降低售价，增加售货量的方法增加利润，已知这种商品每降价元，其销量增加件． (1)若降价x元，则每天的销量为_______件（用含x的代数式表示）； (2)要使每天获得元的利润，请你帮忙确定售价； (3)该商店能否通过降价销售的方式保证每天获得元的利润？并说明理由． 【答案】(1) (2)24元 (3)不能，理由见解析 【详解】（1）解：设这种商品降价x元， ∵这种商品每降价元，其销量增加件， ∴每天的销量为：（件）， 故答案为：； （2）设这种商品降价y元，则根据题意得， ， 整理得，解得（舍去），， ∴售价为（元）， 答：售价定为24元时，每天可获得720元的利润； （3）该商店不能通过降价销售的方式保证每天活得1500元的利润，理由如下： 设每件降价m元，根据题意， 整理得， ∵， ∴该一元二次方程无实数根， ∴该商店不能通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润． 5.端午节前夕，某超市从厂家分两次购进蛋黄粽子、红豆粽子，两次进货时，两种粽子的进价不变．第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元． (1)求蛋黄粽子、红豆粽子每袋的进价各是多少元？ (2)当蛋黄粽子销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对蛋黄粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄粽子每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元？ 【答案】(1)蛋黄粽子每袋进价50元，红豆粽子每袋进价20元 (2)52元 【详解】（1）解：设蛋黄粽子的进价是元袋，红豆粽子的进价是元袋， 根据题意得：， 解得：． 答：蛋黄粽子的进价是50元袋，红豆粽子的进价是20元袋； （2）设蛋黄粽子的销售价格为元袋，则每袋的销售利润为元，每天可售出袋， 根据题意得：， 解得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当蛋黄粽子每袋的销售价为52元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元． 综合训练： 1．为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为（　　） A．x（x+30）＝1000 B．x（x﹣30）＝1000 C．2x（x+30）＝1000 D．2x（x﹣30）＝1000 【答案】B． 2．为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 【答案】A． 3．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（20﹣x）（200+40x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 【答案】D． 4．一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（　　） A．[（9﹣x）+x][10x+（9﹣x）]＝1458 B．[（9﹣x）+x][x+（9﹣x）]＝1458 C．[10（9﹣x）+x][10x+（9﹣x）]＝1458 D．[10（9﹣x）+x][x+（9﹣x]＝1458 【答案】C． 5.某农业大镇2024年猕猴桃总产量为12万吨，预计2026年猕猴桃总产量达到16万吨，求该镇猕猴桃总产量的年平均增长率，设该镇猕猴桃总产量的年平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 6.如图，在宽为4米､长为6米的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积15平方米，设铺设的石子路的宽为x米，则可列出方程_____________． 【答案】（4-x）（6-x）=15 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s． 【答案】2． 8．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，某市开展“希望杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？ 【答案】解：设：应该邀请x个球队参加， 由题意得：x（x﹣1）＝21， 解得：x＝7或x＝﹣6（舍去）， 答：应邀请7个球队参赛． 9.“早黑宝”葡萄品种是山西省农科院研制的优质新品种，在山西省被广泛种植．某市某葡萄种植基地到2018年年底已经种植“早黑宝”100亩，到2020年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“早黑宝”的平均成本为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得 100（1+x）2＝196， 解得x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去）， 答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%． （2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克， 根据题意，得（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750， 整理得，y2﹣4y+3＝0， 解得y1＝1，y2＝3， ∵要减少库存， ∴y1＝1不合题意，舍去， ∴y＝3． 答：售价应降低3元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4一元二次方程的应用知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版九年级上册（六大题型） 知识梳理： （一）解一元二次方程步骤 解题步骤：列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似： “审”：弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； “设”：指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； “列”：指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。 “解”：就是求出说列方程的解； “答”：就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。 注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。 （二）一元二次方程实际应用常见类型 （1）单双循环问题：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量） （2）传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数 （3）增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。 （4）几何面积问题：利用勾股定理建立一元二次方程。 利用面积公式建立二元一次方程。 （5）销售利润问题：总利润＝单利润×数量 现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分） 现数量＝原数量－（原数量＋） 题型突破： 题型一：传播问题 1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的分支，若主干、支干和小分支的总数是57，则每个支干长出（　　）根小分支 A．5根 B．6根 C．7根 D．8根 2.某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目小分支，主干、枝干和小分支总数共57根，则主干长出枝干的根数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有196人患病，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（    ）人． A．13 B．14 C．15 D．16 4.有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过（　　）人． A．11 B．10 C．9 D．8 5.有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人，可列方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：单双循环问题 1.现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45 2.参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（　　） A． B． C． D． 3.某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时換班一次，某两人同值班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则x=(　　) A．15 B．18 C．21 D．35 4.要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　） A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 5.某小组有若干人， 新年大家互相发一条微信视福， 已知全组共发微信56条，则这个小组的人数为　 　人. 题型三：增长率问题 1.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196 C．50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196 2.某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的总营业额万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程为（  ） A． B． C． D． 3.年某电影上映的第一天票房为亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4.春天是万物萌动的开始，是一个充满诗情画意的季节．合肥非遗园在春季积极开展特色樱花节，吸引了大量的游客前来观赏游玩．据统计：在三月份该景点接待游客约为4万人，三、四、五三个月共接待游客约为13.24万人，若这三个月平均每月接待游客人数的增长率相同，设平均增长率为，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 5.书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的通道．我县为响应全民阅读活动，利用春节假期面向社会开放县图书馆．据统计，第一天进馆100人次，进馆人次逐天增加，第三天进馆121人次．若进馆人次的日平均增长率相同． （1）求进馆人次的日平均增长率； （2）因疫情防控要求限制，县图书馆每天接纳能力不得超过200人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，县图书馆能否接纳第四天的进馆人次，说明理由． 题型四：面积问题 1．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人形通道，设人行道的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 2．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________． 3.如图，在宽为4米､长为6米的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积15平方米，设铺设的石子路的宽为x米，则可列出方程_____________． 4.如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用长为米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为平方米？ 5.某学校计划利用一片空地为学生建一个面积为的矩形车棚，其中一面靠墙（墙的可用长度为），已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为．    (1)根据学校的要求，在与墙平行的一面开一个米宽的门（如图），那么这个矩形车棚相邻两边长分别为多少米； (2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为，那么小路的宽度为多少米． 题型五：动态几何问题 1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（　　） A．2s B．3s C．4s D．5s 2．如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2 3．如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则__秒时，的面积是． 4.如图所示，在中．，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为． (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度等于． (3)在（1）中的面积能否等于？说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，cm，，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t s．      (1)______cm，______cm；（用含t的代数式表示） (2)当______时，PQ的长度等于8cm； (3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于60cm？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 题型六：销售问题 1．小强为活动小组购买统一服装，经理给予如下优惠：如果一次性购买不超过10件，单价为80元：如果一次性购买超过10件，那么每多买一件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价最终不低于50元．小强一次性购买这种服装花费1200元，则他购买了这种服装的件数是(        ) A．20件 B．24件 C．20件或30件 D．30件 2．某网店销售一批运动装，平均每天可销售20套，每套盈利45元；为扩大销售量，增加盈利，采取降价措施，一套运动服每降价1元，平均每天可多卖4套，若网店要获利2100元，设每套运动装降价元，则列方程正确的是（       ） A． B． C． D． 3．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则一株的盈利为 ________元，可列出的方程是______________________． 4.某商店如果将进货价为元的商品按每件元售出，每天可销售件，现在采取降低售价，增加售货量的方法增加利润，已知这种商品每降价元，其销量增加件． (1)若降价x元，则每天的销量为_______件（用含x的代数式表示）； (2)要使每天获得元的利润，请你帮忙确定售价； (3)该商店能否通过降价销售的方式保证每天获得元的利润？并说明理由． 5.端午节前夕，某超市从厂家分两次购进蛋黄粽子、红豆粽子，两次进货时，两种粽子的进价不变．第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元． (1)求蛋黄粽子、红豆粽子每袋的进价各是多少元？ (2)当蛋黄粽子销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对蛋黄粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄粽子每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元？ 综合训练： 1．为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为（　　） A．x（x+30）＝1000 B．x（x﹣30）＝1000 C．2x（x+30）＝1000 D．2x（x﹣30）＝1000 2．为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 3．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（20﹣x）（200+40x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 4．一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（　　） A．[（9﹣x）+x][10x+（9﹣x）]＝1458 B．[（9﹣x）+x][x+（9﹣x）]＝1458 C．[10（9﹣x）+x][10x+（9﹣x）]＝1458 D．[10（9﹣x）+x][x+（9﹣x]＝1458 5.某农业大镇2024年猕猴桃总产量为12万吨，预计2026年猕猴桃总产量达到16万吨，求该镇猕猴桃总产量的年平均增长率，设该镇猕猴桃总产量的年平均增长率为x，则可列方程为______． 6.如图，在宽为4米､长为6米的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积15平方米，设铺设的石子路的宽为x米，则可列出方程_____________． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s． 8．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，某市开展“希望杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？ 9.“早黑宝”葡萄品种是山西省农科院研制的优质新品种，在山西省被广泛种植．某市某葡萄种植基地到2018年年底已经种植“早黑宝”100亩，到2020年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“早黑宝”的平均成本为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $