1.4正方形的性质 第5课时作业2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 分层覆盖正方形性质的辨析、应用与综合探究，梯度从基础计算到动态问题，培养数学眼光与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|性质辨析与计算|选择1对比矩形与正方形性质，填空6-7强化边长、对角线关系（抽象能力）| |中档|性质应用与推理|解答8证正方形对角线性质，解答9结合菱形判定（推理意识）| |提升|综合探究与动态问题|解答13动态移动中探究角度与周长变化（创新意识）|

第一章特殊平行四边形第5课时正方形的性质 一、选择题 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是() A.四个角都相等 B.对角线互相平分C.对角线相等 D.对角线互相垂直 2.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE,连接AE,则∠DAE的度数是() B A.15° B.20 C.12.5 D.10 3.若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是() A.8 B.42 C.8V2 D.16V2 4如图，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB=AE,则∠EBC的度数是() D B A.18.5 B.30 C.22.5 D.20 第1页，共1页 5.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，V3),则点B的坐标为() B 0 A(1-3,3+1 B.(-3,3+1) C(-1,3+1 D.(-1,3 二、填空题 6.己知正方形ABCD. (1)若边长为2，则对角线长为一，周长为一，面积为二； (2)图中有个等腰直角三角形 第2页，共1页 7.如图，已知正方形ABCD, C B (1若对角线长为2，则边长为一，面积为一 (2)若正方形的面积为8，则它的边长为一，对角线长为一 三、解答题 8.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠OCF=∠OBE.求证：BE=CF. 0 E 9.己知：如图，E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF. 求证：四边形AECF是菱形 第3页，共1页 D C F E A B 10如图，在菱形ABCD中，将A,C两点沿对角线AC分别移动到A',C'的位置，得到正方形 A'BC'D.已知菱形ABCD的面积为120cm2,正方形A'BC'D的面积为50cm2,求AC的长. 11.如图，四边形ABCD,DEFG都是正方形，连接AE,CG.求证： 第4页，共1页 (1)AE=CG. (2)AE⊥CG. I2.如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在边AD的延长线上，且PA=PE,PE交 CD于点F. 求证： D B (1PA=PC; (2)PC⊥PE. 13.如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别在BC,CD上移动，且点A到EF的距离AH始终保持与 AB长相等，问在点E,F移动过程中： (1)∠EAF的度数是否有变化？请说明理由. 第5页，共1页 2)△ECF的周长是否有变化？若没有变化，请求出它的值：若有变化，请说明理由. 第6页，共1页 答案和解析 1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】A 4.【答案】C 5.【答案】A 6.【答案】【小题1】 2V2 8 4 【小题2】 8 7.【答案】【小题1】 2 2 【小题2】 2V2 4 8.【答案】证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.AC⊥BD,OB=OC.∴.∠BOE=∠COF=90. .∠OBE=∠OCF,∴.△OBE≌△OCF.∴.BE=CF. 第7页，共1页 9.【答案】证明：如图，连接AC交BD于点O, C ,四边形ABCD是正方形， .AO=CO,BO=DO,AC L BD. BE=DF, ∴.DO-DF=BO-BE, ∴.FO=EO,且AO=CO, .四边形AECF是平行四边形， 又.'AC⊥BD, ∴四边形AECF是菱形. 【解析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，熟练运用正方形的性质解决问题是本题的关键， 由正方形的性质可得AO=CO,BO=DO,AC⊥BD,可得EO=FO,由对角线互相平分的四边形是平 行四边形可得四边形AECF是平行四边形，即可证四边形AECF是菱形. 10.【答案】解：如图，连接BD,交AC于点O. 第8页，共1页 :正方形A'BC'D的面积为50cm,∴号BD2=50.∴BD=10cm(负值已舍去.：菱形ABCD的面积 为知20cm,号BDAc=×10AC=120.AC=24cm. 11.【答案】【小题1】 证明：，四边形ABCD,DEFG都是正方形， ∴.AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠GDE=90°. .∠ADE=∠CDG..△ADE≌△CDG..AE=CG. 【小题2】 设AE与CG交于点O,AE与DG交于点M. 由(1)，得△ADE≌△CDG,∴.∠DEA=∠DGC. 又.'∠DEM+∠DME=90°，∠DME=∠GMO, ∴.∠OGM+∠GMO=90.∴.∠GOM=90°.∴.AE⊥CG. 12.【答案】【小题1】 证明：，四边形ABCD是正方形， .∴.AD=CD,∠ADP=∠CDP. AD=CD, 在△ADP和△CDP中， ∠ADP=∠CDP, DP=DP, .△ADP≌△CDP(SAS..PA=PC. 【小题2】 如图，过点P作PM⊥AE于点M,PN⊥CD于点N. B .DP平分∠ADC,∴.PM=PN. 第9页，共1页 .∠ADC=90°，.四边形PNDM是矩形 .∴.∠MPN=90°. 由(1)，得PA=PC. 又.PA=PE,∴.PE=PC. PE=PC, 在Rt△PME和Rt△PNC中，PM=PN, ∴.Rt△PME≌Rt△PNC(HL). .∴.∠MPE=∠NPC. ∴.∠MPN=∠MPE+∠NPE=∠NPC+∠NPE=∠EPC=90°， ∴.PC⊥PE 13.【答案】【小题1】 解：∠EAF的度数保持不变理由如下： 在Rt△ABE和Rt△AHE中，.'AH=AB,AE=AE, ∴.Rt△ABE≌Rt△AHE(HL.∴.∠BAE=∠HAE,BE=EH. 同理可证Rt△DAF≌Rt△HAF,∴.∠HAF=∠DAF,HF=FD, 人EAF= 5∠BAD=45. 【小题2】 △ECF的周长不变，△ECF的周长 =EC+CF+EH+HF=EC+BE+DF+FC=BC+CD=4+4=8. 第10页，共1页