3.2.1 双曲线及其标准方程（8个题型归纳）（原卷版）人教A版2026年新高二数学暑假预习讲义

本讲义聚焦高中数学双曲线及其标准方程核心知识点，系统梳理双曲线定义（含2a与2c关系辨析）、标准方程（焦点位置与a,b,c关系），并通过8类题型（定义辨析、方程求解、轨迹方程等）构建从概念到应用的学习支架。 该资料以题型分类为特色，结合方法技巧与典型例题，通过对比2a与2c大小培养抽象能力，利用定义法求方程提升推理能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化用数学语言表达轨迹问题的模型意识。

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【3.2.1 双曲线及其标准方程】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．双曲线定义 一般地，如果，是平面内的两个定点，是一个___正常数_____，且．则平面上满足的动点的轨迹称为双曲线，其中，两个定点，称为双曲线的___焦点_____，两个焦点的距离称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的__圆锥______面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线． （1）若，点的轨迹是以，为端点的两条射线； （2）若，点的轨迹不存在． （3）定义中若常数为0，则此时的轨迹为线段的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 ________ ___ _____ 焦点 __，______ __，______ 的关系 ______ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：双曲线的定义及辨析】 【练方法】 公式结论 设动点.为两个定点. 满足且时.动点轨迹为双曲线 0<2a<2c) →轨迹为两条射线 →无对应轨迹图形 →轨迹为线段的垂直平分线 →仅代表双曲线靠近的单支曲线 方法技巧 1判定轨迹类型必须核对2a与2c的大小关系同时确认表达式是否带有绝对值符号 2去除绝对值的等式只对应双曲线其中一支书写方程必须标注自变量取值范围 3定点重合或者常数取值不满足区间要求时轨迹不属于标准双曲线 （25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ）经典例题1例题 A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 （25-26高二上·福建宁德·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则（    ）小试牛刀1 A．若，则点的轨迹为椭圆. B．若，则点的轨迹为双曲线. C．若，则点的轨迹为圆. D．若，则点的轨迹为两条射线. （24-25高二上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上异于点O的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则点Q的轨迹可能是（   ）小试牛刀2 A．一个点 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 （24-25高三下·浙江杭州·阶段检测）（多选）已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点．则点的轨迹可能为（   ）小试牛刀3 A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．圆 【题型2：利用双曲线的定义求标准方程】 【练方法】 公式结论 由定义式求解实半轴 由焦点坐标计算半焦距 借助计算 根据焦点所在坐标轴代入对应标准方程 方法技巧 1题干给出距离差绝对值条件优先使用定义法算出再求解 2依据焦点坐标判定焦点在轴或轴确定方程基础形式 3题干只给出单侧距离差等式只书写对应单支方程并标注定义域 （25-26高二下·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________．经典例题1例题 （25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·上海·期中）方程可化简为_____.小试牛刀2 （24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为_____．小试牛刀3 【题型3：判断方程是否为双曲线】 【练方法】 公式结论 方程形式为双曲线的充要条件 双曲线标准结构特征为两个平方项作差两个分式系数符号一正一负 方法技巧 1先将原式整理为右侧等于1的标准分式形式再验证两个分母乘积小于0 2未化为标准式时不可直接依靠原式系数正负判断曲线种类 3含xy交叉项、一次项的方程先配方化简之后再完成曲线判定 （25-26高二上·河北张家口·期末）（多选）当变化时，指出方程表示的曲线的形状（    ）．经典例题1例题 A．当时，表示轴 B．当时，方程表示以原点为圆心的单位圆 C．当或时，方程表示双曲线 D．当且时，方程表示椭圆 （25-26高二上·河南郑州·期末）已知曲线C：，下列说法正确的是（   ）小试牛刀1 A．若，则C是焦点在y轴上的椭圆 B．若，则C是半径为的圆 C．若，则C是双曲线 D．若，则C是两条直线 （25-26高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）设方程则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．时，方程 C表示一条直线 B．时，方程 C表示圆 C．时，方程 C表示椭圆 D．或时，方程C表示双曲线 （23-24高二上·吉林长春·期末）（多选）已知曲线：，下列说法正确的是（ ）小试牛刀3 A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 【题型4：由实轴，虚轴，焦距求双曲线的方程】 【练方法】 方法技巧 1严格区分实轴长为2a不是虚轴长为2b焦距为2c 2焦点位置未知时分焦点在轴、焦点在轴两种情况分别书写方程 3实轴长与虚轴长相等满足该类双曲线为等轴双曲线 （25-26高二上·天津·期中）焦点坐标为，，且实轴长为4的双曲线的标准方程是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为______．小试牛刀1 （24-25高三下·江苏盐城·阶段检测）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高三下·四川成都·开学考试）焦点在轴上，且的双曲线的标准方程为_______小试牛刀3 【题型5：由双曲线求实轴，虚轴，焦距】 【练方法】 方法技巧 1将方程整理为标准形式正项分式分母为负项分式分母为 2对开算术平方根得到代入公式计算对应长度 3实轴永远对应方程中正平方项分母不可颠倒实轴、虚轴参数 （25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）已知双曲线的焦距为，则______.经典例题1例题 （25-26高二上·上海闵行·期末）已知双曲线，且，那么正实数______.小试牛刀1 （25-26高二上·重庆江北·阶段检测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（   ）小试牛刀2 A．5 B．-5 C． D． （25-26高二上·河北·阶段检测）双曲线的焦距为（    ）小试牛刀3 A． B．6 C． D．4 【题型6：由双曲线过点求双曲线标准方程】 【练方法】 公式结论 焦点位置确定：设对应标准方程代入点坐标求解 焦点位置不确定：设通用方程 方法技巧 1焦点方位明确直接套用标准式带入坐标构建方程组求解参数 2无法判定焦点坐标轴优先使用通用分式方程省去分类讨论步骤 3曲线经过两个定点时联立二元方程组计算的具体数值 （25-26高二上·内蒙古包头·期末）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·江苏南通·阶段检测）焦点为且经过点的双曲线方程为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程.小试牛刀2 (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. （25-26高二上·江西南昌·期中）（1）求经过和两点的椭圆标准方程；小试牛刀3 （2）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线标准方程. 【题型7：由几何关系求双曲线的标准方程】 （26-27高三·全国·一轮复习）已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________．经典例题1例题 （25-26高三上·湖南·阶段检测）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，过点作圆：的切线，交双曲线的右支于点，若，则实数（   ）小试牛刀1 A． B． C．2 D． （25-26高二上·天津·期中）双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为_________.小试牛刀2 设是等轴双曲线右支上一点，是左、右焦点，若，，则该双曲线的方程为______．小试牛刀3 【题型8：求双曲线的轨迹方程】 【练方法】 公式结论 定义法：满足0<2a<2c)直接套用双曲线标准方程 直译法：设动点坐标依照题干距离条件列式化简得到轨迹方程 方法技巧 1轨迹符合双曲线定义优先选用定义法简化整体计算流程 2无明显定义特征使用直译法列出几何等式后化简整理方程 3化简绝对值式子时补充自变量取值范围区分完整双曲线与单支双曲线 设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程.经典例题1例题 （2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏徐州·期中）以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江·阶段检测）已知双曲线的焦距为6，则为（    ） A．5 B． C． D．32 3．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 4．（25-26高二上·江西萍乡·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·山西大同·一模）已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线右支上的动点，过作平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·广东清远·期中）方程表示的曲线为，下列正确的命题是（   ） A．曲线不可能是圆； B．若，则曲线为椭圆； C．若曲线为双曲线，则或； D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则． 10．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）已知曲线，其中是实数，且至少有1个大于0，则（    ） A．曲线关于轴对称 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示双曲线 D．当时，曲线表示两条平行直线 11．（25-26高二上·海南儋州·期末）已知曲线C的方程为，其中k为实数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线C是圆 B．当时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆 C．当时，曲线C是焦点在轴上的椭圆 D．当时，曲线C是双曲线 三、填空题 12．（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为________． 13．（25-26高二下·重庆·阶段检测）双曲线的一个焦点为，则______． 14．（24-25高二上·上海·课堂例题）双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为______． 15．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为____________. 16．（2026高三·全国·专题练习）已知圆，定点，则过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程为________． 四、解答题 17．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 18．（2026高三·全国·专题练习）已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点.求点的轨迹的方程; 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【3.2.1 双曲线及其标准方程】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．双曲线定义 一般地，如果，是平面内的两个定点，是一个___正常数_____，且．则平面上满足的动点的轨迹称为双曲线，其中，两个定点，称为双曲线的___焦点_____，两个焦点的距离称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的__圆锥______面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线． （1）若，点的轨迹是以，为端点的两条射线； （2）若，点的轨迹不存在． （3）定义中若常数为0，则此时的轨迹为线段的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 ________ ___ _____ 焦点 __，______ __，______ 的关系 ______ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：双曲线的定义及辨析】 【练方法】 公式结论 设动点.为两个定点. 满足且时.动点轨迹为双曲线 0<2a<2c) →轨迹为两条射线 →无对应轨迹图形 →轨迹为线段的垂直平分线 →仅代表双曲线靠近的单支曲线 方法技巧 1判定轨迹类型必须核对2a与2c的大小关系同时确认表达式是否带有绝对值符号 2去除绝对值的等式只对应双曲线其中一支书写方程必须标注自变量取值范围 3定点重合或者常数取值不满足区间要求时轨迹不属于标准双曲线 （25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ）经典例题1例题 A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. （25-26高二上·福建宁德·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则（    ）小试牛刀1 A．若，则点的轨迹为椭圆. B．若，则点的轨迹为双曲线. C．若，则点的轨迹为圆. D．若，则点的轨迹为两条射线. 【答案】ACD 【分析】利用椭圆、双曲线、圆的定义，逐项判断即可． 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C正确； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确． 故选：ACD （24-25高二上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上异于点O的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则点Q的轨迹可能是（   ）小试牛刀2 A．一个点 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】ACD 【分析】根据分类讨论思想，分点A在圆内、圆上、圆外三种情况，结合椭圆、双曲线的定义，可得答案 【详解】分以下几种情况讨论：设定圆的半径为， ①当点在圆上，连接，则，所以点在线段的中垂线上， 由中垂线的性质可知．又因为点是线段的中垂线与的公共点， 此时点与点重合，此时，点的轨迹为圆心；故A正确； ②当点在圆内，且点不与圆心重合，连接， 由中垂线的性质可得，所以， 此时，点的轨迹是以点A，O为焦点，且长轴长为的椭圆，故C正确； ③当点在圆外：连接， 由中垂线的性质可得，所以，此时，点的轨迹是以点A，O为焦点，且实轴长为的双曲线．故D正确． 故选：ACD． （24-25高三下·浙江杭州·阶段检测）（多选）已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点．则点的轨迹可能为（   ）小试牛刀3 A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．圆 【答案】AC 【分析】根据点的不同，结合图形以及椭圆和双曲线的定义进行判断即可. 【详解】由题知，，圆半径为，连接， 则， 当在圆内时，如图所示， 所以， 可得点的轨迹为到两定点之间的距离之和为的椭圆； 当在圆上时，如图，为圆的弦， 则点的轨迹是点， 当点在圆外时，如图， 则， 所以点的轨迹为到两定点之间距离之差的绝对值为的双曲线. 故选：AC 【题型2：利用双曲线的定义求标准方程】 【练方法】 公式结论 由定义式求解实半轴 由焦点坐标计算半焦距 借助计算 根据焦点所在坐标轴代入对应标准方程 方法技巧 1题干给出距离差绝对值条件优先使用定义法算出再求解 2依据焦点坐标判定焦点在轴或轴确定方程基础形式 3题干只给出单侧距离差等式只书写对应单支方程并标注定义域 （25-26高二下·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________．经典例题1例题 【答案】 【详解】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如 其中，则， 故点的轨迹方程为. （25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，即可求解方程. 【详解】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C （25-26高二上·上海·期中）方程可化简为_____.小试牛刀2 【答案】 【分析】利用方程的几何意义，结合双曲线的定义可得答案. 【详解】设，，， 表示点 到点 的距离， 表示点 到点 的距离， 因此，方程可以理解为：， 根据双曲线的定义得：， ， 故双曲线方程为：， 又， 所以点在双曲线的上支上， 所以双曲线方程为：. 故答案为： （24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为_____．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程. 【详解】由椭圆的定义可知， 所以， 因此点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的左支， 故它的轨迹方程为． 故答案为：. 【题型3：判断方程是否为双曲线】 【练方法】 公式结论 方程形式为双曲线的充要条件 双曲线标准结构特征为两个平方项作差两个分式系数符号一正一负 方法技巧 1先将原式整理为右侧等于1的标准分式形式再验证两个分母乘积小于0 2未化为标准式时不可直接依靠原式系数正负判断曲线种类 3含xy交叉项、一次项的方程先配方化简之后再完成曲线判定 （25-26高二上·河北张家口·期末）（多选）当变化时，指出方程表示的曲线的形状（    ）．经典例题1例题 A．当时，表示轴 B．当时，方程表示以原点为圆心的单位圆 C．当或时，方程表示双曲线 D．当且时，方程表示椭圆 【答案】BCD 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的方程特征，依次分析各选项即可得答案. 【详解】对于A，当时，方程为，即，表示轴，故错误； 对于B，当时，方程为，表示以原点为圆心的单位圆，故正确； 对于C，当时，，故方程为，表示双曲线； 当时，，故方程为，表示双曲线，故正确； 对于D，当且时，方程为， 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆； 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆，故正确. （25-26高二上·河南郑州·期末）已知曲线C：，下列说法正确的是（   ）小试牛刀1 A．若，则C是焦点在y轴上的椭圆 B．若，则C是半径为的圆 C．若，则C是双曲线 D．若，则C是两条直线 【答案】C 【分析】根据圆、椭圆、双曲线的定义及标准方程判断即可. 【详解】选项A：由可得，. 因为，所以，所以椭圆焦点在轴上，A错误. 选项B：若，则方程可化为，则圆的半径为，B错误. 选项C：若，则和异号，符合双曲线的标准形式，C正确. 选项D：若，方程可化为，当时，，表示两条平行于轴的直线；当时，此时无实数解；故D错误. 故选：C. （25-26高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）设方程则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．时，方程 C表示一条直线 B．时，方程 C表示圆 C．时，方程 C表示椭圆 D．或时，方程C表示双曲线 【答案】ABD 【分析】对于A、B选项，将的值代入方程即可判断；对于C，由椭圆方程特点可分析取值范围；对于D，由双曲线方程特点可分析取值范围. 【详解】选项A：当时，方程C化为，即，表示x轴，故A正确； 选项B：当时，方程C化为，表示以原点为圆心、半径为1的圆，故B正确； 选项C：当时，方程C化为， 当时，方程表示圆，并非椭圆，故C错误； 选项D：当时，、， 方程C化为，表示焦点在x轴上的双曲线； 当时，、， 方程C化为表示焦点在y轴上的双曲线，故D正确. 故选：ABD （23-24高二上·吉林长春·期末）（多选）已知曲线：，下列说法正确的是（ ）小试牛刀3 A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 【答案】CD 【分析】根据抛物线标准方程、双曲线标准方程、圆的标准方程、直线的方程的定义和性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】当时，由得，，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，A选项错误； 当时，曲线可化为，得，此时曲线是圆，半径为，B选项错误； 当时，曲线可化为，此时曲线是双曲线，C选项正确； 当，时，曲线可化为，得，此时曲线是两条直线，D选项正确； 故选：CD. 【题型4：由实轴，虚轴，焦距求双曲线的方程】 【练方法】 方法技巧 1严格区分实轴长为2a不是虚轴长为2b焦距为2c 2焦点位置未知时分焦点在轴、焦点在轴两种情况分别书写方程 3实轴长与虚轴长相等满足该类双曲线为等轴双曲线 （25-26高二上·天津·期中）焦点坐标为，，且实轴长为4的双曲线的标准方程是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用双曲线的性质计算即可. 【详解】由题意可知，且焦点在轴上， 所以该双曲线方程为：. 故选：A 双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为______．小试牛刀1 【答案】 【分析】将双曲线方程化为标准方程的形式，根据双曲线标准方程中之间的关系，再结合焦点坐标为，即可解出结果． 【详解】由已知，为双曲线的一个焦点，即焦点在轴上，所以， 由，得，所以， 由，得，解得． 故答案为：． （24-25高三下·江苏盐城·阶段检测）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等轴双曲线的性质结合所求双曲线的焦点位置即可得到答案. 【详解】由等轴双曲线可得： 且， 因为，所以， 又焦点在轴上，故得双曲线方程为：， 故选：B． （24-25高三下·四川成都·开学考试）焦点在轴上，且的双曲线的标准方程为_______小试牛刀3 【答案】 【分析】由双曲线标准方程结构即可求解； 【详解】由及焦点在轴上，可得： 双曲线的标准方程为， 故答案为： 【题型5：由双曲线求实轴，虚轴，焦距】 【练方法】 方法技巧 1将方程整理为标准形式正项分式分母为负项分式分母为 2对开算术平方根得到代入公式计算对应长度 3实轴永远对应方程中正平方项分母不可颠倒实轴、虚轴参数 （25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）已知双曲线的焦距为，则______.经典例题1例题 【答案】4 【分析】由题知，，再根据的关系求解即可. 【详解】解：根据题意，，， 所以，解得. 故答案为：4 （25-26高二上·上海闵行·期末）已知双曲线，且，那么正实数______.小试牛刀1 【答案】 【分析】根据双曲线的几何性质，得出方程，即可求解. 【详解】因为双曲线，且， 由，可得，所以， 因为，所以. 故答案为：. （25-26高二上·重庆江北·阶段检测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（   ）小试牛刀2 A．5 B．-5 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程及参数关系计算即可. 【详解】由题意知，双曲线焦点在轴上，且，因此原方程中，即，， 根据得，，所以. 故选：B. （25-26高二上·河北·阶段检测）双曲线的焦距为（    ）小试牛刀3 A． B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】首先将双曲线的方程表示为标准方程，求出，进而求出. 【详解】因为双曲线的标准方程为， 所以，所以， 所以，所以焦距为. 故选：C. 【题型6：由双曲线过点求双曲线标准方程】 【练方法】 公式结论 焦点位置确定：设对应标准方程代入点坐标求解 焦点位置不确定：设通用方程 方法技巧 1焦点方位明确直接套用标准式带入坐标构建方程组求解参数 2无法判定焦点坐标轴优先使用通用分式方程省去分类讨论步骤 3曲线经过两个定点时联立二元方程组计算的具体数值 （25-26高二上·内蒙古包头·期末）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解. 【详解】设等轴双曲线的方程为，将点代入方程， 则，求解可得， 所以双曲线的标准方程为，即. 故选：C. （25-26高二上·江苏南通·阶段检测）焦点为且经过点的双曲线方程为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设双曲线的标准方程为，得，解出即可求解. 【详解】由题意有，焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为， 且，由双曲线性质得，即①， 双曲线过点， 将其代入标准方程得：，化简为②， 联立①②，得， 解得，， 所以双曲线方程为 故选：D. （25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程.小试牛刀2 (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判断焦点位置，利用待定系数法求解； （2）利用待定系数法求解. 【详解】（1）因为双曲线的焦点为，， 则焦点在上，且， 方程可设为 又经过点， 则， 又，则， 所以双曲线方程为 （2）因为焦点在y轴上， 可设方程为， 又经过点，， 则，解得， 所以双曲线方程为. （25-26高二上·江西南昌·期中）（1）求经过和两点的椭圆标准方程；小试牛刀3 （2）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线标准方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据椭圆的焦点分别在轴或轴上设椭圆方程，代入两点列方程组求解即得所求椭圆方程； （2）设所求双曲线为（，），根据条件得出关于的方程组，求解即得所求双曲线方程. 【详解】（1）当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为（）， 将两点坐标代入方程可得：，解得，因，不合题意，舍去； 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为（）， 将两点坐标代入方程可得，解得，符合题意， 此时椭圆的标准方程为. 综上，椭圆的标准方程为. （2）依题意，设所求双曲线为（，）. 因两曲线有相同的焦点，所以①. 又点在双曲线上，所以②. 由①②联立，解得. 故所求的双曲线方程为. 【题型7：由几何关系求双曲线的标准方程】 （26-27高三·全国·一轮复习）已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________．经典例题1例题 【答案】或 【详解】 当双曲线的焦点在x轴上时，设，分别是双曲线的左、右焦点， 的周长等于26，所以有， 由双曲线的定义可知，，两式相加得， ， 即，而， 因此可得，所以. 因为，所以， 于是， 所以双曲线方程为. 当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为， 综上所述，双曲线方程为或. （25-26高三上·湖南·阶段检测）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，过点作圆：的切线，交双曲线的右支于点，若，则实数（   ）小试牛刀1 A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义和正弦定理得到与，再结合余弦定理即可求出值. 【详解】 设过点的切线与圆相切于点，则. 又，为双曲线的左、右焦点，所以，所以. 在中，由正弦定理可得，， 即，解得. 又点在双曲线右支上，所以，所以. 在中，由余弦定理可得， ， 即，所以， 又，所以， 又，所以. 故选：D. （25-26高二上·天津·期中）双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为_________.小试牛刀2 【答案】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合双曲线的定义再求出即可得解. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，， 设，，则， 由，解得， 因为，所以，求得，即， 由，解得， 由正弦定理可得：， 则由，得， 由，得， 则， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 设是等轴双曲线右支上一点，是左、右焦点，若，，则该双曲线的方程为______．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据条件，利用双曲线的定义及勾股定理得，求出，即可求解. 【详解】由题知双曲线的标准方程为，则， 又，，则，， 所以，即， 整理得到，解得，所以双曲线的方程为， 故答案为：. 【题型8：求双曲线的轨迹方程】 【练方法】 公式结论 定义法：满足0<2a<2c)直接套用双曲线标准方程 直译法：设动点坐标依照题干距离条件列式化简得到轨迹方程 方法技巧 1轨迹符合双曲线定义优先选用定义法简化整体计算流程 2无明显定义特征使用直译法列出几何等式后化简整理方程 3化简绝对值式子时补充自变量取值范围区分完整双曲线与单支双曲线 设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程.经典例题1例题 【答案】 【分析】根据两圆关系及已知有，再由双曲线的定义确定轨迹并写出轨迹方程. 【详解】因为动圆与圆外切，所以， 因为动圆与圆内切，所以， 所以， 根据双曲线的定义，点的轨迹为双曲线的右支，且， 所以，则， 所以圆心的轨迹方程E为. （2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. （25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆与圆的位置关系及双曲线的定义写出动圆圆心的轨迹方程. 【详解】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏徐州·期中）以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程写出长轴端点和焦点坐标，从而得双曲线的实半轴长和半焦距，再代入双曲线标准方程即可. 【详解】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，， 所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，， 则双曲线的焦点在轴上，且，，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：C. 2．（24-25高二下·浙江·阶段检测）已知双曲线的焦距为6，则为（    ） A．5 B． C． D．32 【答案】A 【分析】由双曲线的相关概念求解即可. 【详解】因为双曲线的焦距为6， 所以，即，且，， 所以，故， 故选：A 3．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】D 【详解】双曲线的标准方程为其中 设双曲线的焦距参数为 ，则 已知一个焦点坐标为 ，所以 因此 4．（25-26高二上·江西萍乡·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，将条件中的等式转化为，即动点的轨迹为双曲线，然后得到双曲线的，求出，即可写出双曲线方程. 【详解】设，，点， 则，， ∴， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线，焦点为，， ∴，，，则， ∴动点的轨迹为双曲线方程为：. 故选：B. 5．（2024·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，由双曲线的定义可得，再由余弦定理，可得，，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】因为，由双曲线的定义可知， 所以， 由于过的直线斜率为， 所以在等腰三角形中，，则， 由余弦定理得：， 化简得，可得，即，， 可得，， 所以此双曲线的标准方程可能为：. 故选：C 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求． 【详解】 ， 即， ． 则． ．即． ，． 则该双曲线的方程是：． 故选：A 7．（2026·山西大同·一模）已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线右支上的动点，过作平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角平分线的性质及双曲线的定义得，即可确定轨迹方程，注意范围. 【详解】设点的坐标为，延长与交于点，连接， 因为平分，且，所以，， 又因点是双曲线右支上的动点，所以， 所以，所以，即点在以为圆心，为半径的圆上， 因为当点沿双曲线右支运动到无穷远处时，趋近于双曲线的渐近线， 所以点的轨迹是圆弧，除去点和， 所以方程为. 8．（25-26高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，据此可得答案. 【详解】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，其中实轴长为， 焦距长为，则虚轴长为：，则轨迹方程为： 二、多选题 9．（25-26高二上·广东清远·期中）方程表示的曲线为，下列正确的命题是（   ） A．曲线不可能是圆； B．若，则曲线为椭圆； C．若曲线为双曲线，则或； D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则． 【答案】CD 【分析】根据方程的特点，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程判断. 【详解】对于A，若曲线是圆，则，解得，故A错误； 对于B，若曲线为椭圆，则，解得且，故B错误； 对于C，若曲线为双曲线，则，解得或，故C正确； 对于D，若曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故D正确； 故选：CD. 10．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）已知曲线，其中是实数，且至少有1个大于0，则（    ） A．曲线关于轴对称 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示双曲线 D．当时，曲线表示两条平行直线 【答案】ACD 【分析】对于A：根据方程分析对称性即可；对于B：举反例说明即可；对于CD：分类讨论的符号，进而判断曲线表示的图形. 【详解】因为曲线，其中是实数，且至少有1个大于0， 对于选项A：将换成可得， 所以曲线关于轴对称，故A正确； 对于选项B：例如满足，此时曲线表示圆，故B错误； 对于选项C：若，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线； 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线； 综上所述：当时，曲线表示双曲线，故C正确； 对于选项D：若，且至少有1个大于0， 当时，曲线是与轴平行的两条直线； 当时，曲线是与轴平行的两条直线； 综上所述：当时，曲线表示两条平行直线，故D正确； 故选：ACD. 11．（25-26高二上·海南儋州·期末）已知曲线C的方程为，其中k为实数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线C是圆 B．当时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆 C．当时，曲线C是焦点在轴上的椭圆 D．当时，曲线C是双曲线 【答案】ABD 【分析】根据双曲线、椭圆、圆的标准方程逐一判断. 【详解】当时，曲线C的方程为，故曲线C是圆，故A正确； 当时，且曲线C的方程为， 故曲线是焦点在y轴上的椭圆，故B正确； 当时，且曲线的方程为， 故曲线是焦点在轴上的椭圆，故C错误； 当时，曲线的方程为，故曲线C是双曲线，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 12．（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为________． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解. 【详解】由双曲线的标准方程可得， 由满足方程，知点在双曲线的右支上， . 故答案为：4. 13．（25-26高二下·重庆·阶段检测）双曲线的一个焦点为，则______． 【答案】 【详解】已知双曲线的一个焦点为，可知，， 所以，解得， 因为，所以. 14．（24-25高二上·上海·课堂例题）双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为______． 【答案】 【分析】设，，进而根据向量垂直的坐标表示得，再根据点在双曲线上待定系数求解即可． 【详解】解：由题，设，，因为， 所以， 因为， 所以，解得， 因为，解得， 所以，双曲线的标准方程为． 故答案为：． 15．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为____________. 【答案】 【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，从而可求得轨迹的方程. 【详解】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 且，.， 双曲线的方程为 . 故答案为： . 16．（2026高三·全国·专题练习）已知圆，定点，则过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】利用双曲线的定义可求方程. 【详解】由题意，因为,所以的轨迹是以为焦点的双曲线的一支， 设双曲线的方程为，则，所以； 故方程为. 四、解答题 17．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用求出双曲线的标准方程. （2）设出双曲线的标准方程，结合给定点的坐标求出即可. （3）设方程为，建立方程组求解即得. 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由，且点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 18．（2026高三·全国·专题练习）已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点.求点的轨迹的方程; 【答案】 【分析】利用与平行及的几何关系，推导出 ，再根据双曲线的定义，确定点的轨迹是以为焦点、实轴长为的双曲线右支，进而求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径，定点，则, 如图，由于与平行，得， 又因为,所以， 因此，又， 所以，故； 点在直线上，故，即； 因，根据双曲线定义，点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线右支, 半焦距，实半轴，则,轨迹方程为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $