2.4.1 圆的标准方程（8个题型归纳）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册暑假预习讲义

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【2.4.1 圆的标准方程】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到__定点____的距离等于___定长___的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. (2)确定圆的基本要素是 __圆心____和__半径___，如图所示.    (3)圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程是____________.当时，方程为，表示以___原点O___为圆心，半径为的圆. 2．平面上的一点与圆之间存在着下列关系： （1）在圆外，即在_圆外_______； （2）在圆上，即在___圆上_____； （3）在圆内，即在_圆内_______． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：由标准方程确定圆心和半径】 【练方法】 公式结论 1.标准形式 圆心半径 2.特殊圆心在原点 圆心半径 3.变形识别： 圆心半径 方法技巧 1.把方程整理成完全平方和等于正数的标准形式 2.括号内x、y后常数变号得到圆心横纵坐标 3.等号右侧常数开算术平方根为半径必须保证右侧数值大于0 （25-26高二下·上海·期中）圆的半径为______．经典例题1例题 【答案】 【详解】由，配方得， 故该圆的半径为． （25-26高一下·全国·课后作业）已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ）小试牛刀1 A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程确定圆的圆心和半径. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心的坐标为，半径. 故选：A 【题型2：判定点和圆的位置关系】 【练方法】 公式结论 计算距离平方 1.点在圆外 2.点在圆上 3.点在圆内 方法技巧 1.无需开根号直接比较点代入左侧平方和与大小简化计算 2.将点坐标代入圆方程左侧对比右侧快速判断 3.含参数圆可通过不等式求解参数取值范围 （25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. （25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ）小试牛刀1 A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. （24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A （24-25高二上·青海海南·期中）点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线）小试牛刀3 【答案】外部 【分析】根据点与圆的位置关系分析判断即可. 【详解】因为，所以点在圆C的外部． 故答案为：外部. 【题型3：由圆心或半径求圆的标准方程】 【练方法】 公式结论 1.已知圆心半径直接代入 2.已知圆心与圆上一点半径 3.已知直径端点 圆心 半径 方法技巧 1.圆心、半径全部已知直接套标准式 2.缺半径时利用两点间距离公式算出半径 3.直径条件优先用中点求圆心半长为半径 （25-26高三·全国·一轮复习）已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心是，半径是． 故圆的方程为． （2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________．小试牛刀1 【答案】 【详解】已知圆的圆心坐标为，且圆与轴相切， 由直线与圆相切的性质可知，圆的半径 等于圆心到切线 轴的距离， 圆心到 轴的距离为其横坐标的绝对值，即 . 根据圆的标准方程 （其中为圆心坐标， 为半径）. 将 代入，可得所求圆的方程为 . （25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． （25-26高二下·上海·期中）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________．小试牛刀3 【答案】 【分析】先计算圆心到点的距离得到圆的半径，再代入圆的标准公式即可求解. 【详解】根据两点间距离公式： ， 所以所求圆的标准方程为. 【题型4：由圆心在直线上和圆过点求圆的标准方程】 【练方法】 公式结论 1.设圆心满足直线约束 2.圆过点满足 3.若圆过两个定点两点到圆心距离相等： 方法技巧 1.设圆心坐标结合圆心所在直线得到参数关系式 2.利用圆上点到圆心距离相等联立二元方程组求解a、b 3.求出圆心后再算半径写出标准方程 （25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径即可. 【详解】线段的中点，直线的斜率为， 则线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线方程为， 即，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （25-26高二上·山西朔州·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上.小试牛刀1 (1)求线段的中垂线l的方程； (2)求圆C的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的中点坐标、线段的中垂线的斜率，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）求出圆心坐标、圆的半径可得答案. 【详解】（1）由可知其中点. 设线段的中垂线的斜率为， 则， 易知过点，所以，即； （2）由解得，故圆心坐标为， 圆的半径为， 故圆的标准方程为. （25-26高二上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，已知直线.小试牛刀2 (1)求过点且和垂直的直线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由垂直关系求出和垂直的直线的斜率，再由点斜式求出其直线的方程； （2）由圆经过两点，根据圆心到两点的距离均等于圆的半径建立方程求出圆心和半径即可得答案； 【详解】（1）由题意，直线的斜率， 则所求直线的斜率， 代入点斜式方程得， ∴过点且和垂直的直线的方程为. （2）设圆心为，半径为 ∵圆心在直线上，，则点为， 由题意可得， 则，解得， ∴圆心的坐标为，半径， 圆的标准方程为. （25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意设，由求出的值，即得圆心与半径，进而得到圆的方程. 【详解】依题意，可设， 由可得， 解得，故得圆心，半径为， 则所求圆的方程为. 故选：A. 【题型5：由三个点求圆的标准方程】 【练方法】 公式结论 设圆标准方程 将三点坐标分别代入得到三元方程组 两式相减消去得到两个二元一次方程联立求a、b 方法技巧 1.两两方程作差消去二次项与转化二元一次方程组 2.解出圆心后代入任意一点求半径 3.若三点共线无外接圆无解 （25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 （2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的标准方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即， 化简得, 解得，代入方程得, 则圆的标准方程为. 故选：A. （25-26高二上·辽宁沈阳·期末）已知点，，.小试牛刀2 (1)若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离. (2)求的外接圆方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点关于直线的对称点，再由点到直线的距离求解即可. （2）设外接圆的一般方程，代入点的坐标计算得解； 【详解】（1）设， 由，可知， 所以直线的方程为，即， 因为点与点关于直线的对称，所以，解得， 所以点坐标为， 所以，直线方程为，即， 所以点到直线的距离. （2）设的外接圆方程为， 则，解得，，， 所以的外接圆方程为. （25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【详解】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D 【题型6：定点和圆上动点的距离最值】 【练方法】 公式结论 设圆心定点|PC|为定点到圆心距离圆半径 1.最大距离 2.最小距离 方法技巧 1.先计算定点到圆心的线段长度不用枚举圆上点 2.几何原理：三点共线时取到最远、最近点 3.若定点在圆上最小值为0最大值2r （25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________．经典例题1例题 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ）小试牛刀1 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆外一点到圆上的距离的最小值等于这个点到圆心的距离减去半径可得. 【详解】由半径为3，圆心为的圆，则圆心到原点的距离，. 由，，所以原点O在圆的外部，如图：所以圆上的点到原点的距离的最小值为． 故选：B． （25-26高二上·湖北·阶段检测）实数满足：，则的最大值为__________.小试牛刀2 【答案】6 【分析】数形结合，取，则表示线段的长度，结合圆的性质求解. 【详解】如图： 点为圆：上一点，, 则表示线段的长度. 所以，当共线且在点两侧时取等号. 故答案为：6 （25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（   ）小试牛刀3 A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出点到圆心的距离，再利用圆的性质求解. 【详解】圆：的圆心，半径， 所求的最短距离为. 故选：A 【题型7：利用圆的参数方程求最值】 【练方法】 公式结论 圆参数方程 1.线性代数式代入后结合辅助角公式 值域 2.分式几何意义：动点与定点连线斜率 方法技巧 1.含x、y一次式最值优先参数换元转化三角函数值域问题 2.斜率型最值结合直线与圆相切临界条件求解 3.三角函数最值利用辅助角公式简化计算 （25-26高二上·福建莆田·期中）已知点．经典例题1例题 (1)求的外接圆的标准方程； (2)已知为圆上的动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程列方程组计算求解，再转化为圆的标准方程即可得到答案； （2）设圆的参数方程，利用辅助角公式进行化简，得到函数，求函数的最大值和最小值即可求解. 【详解】（1）设的外接圆的标准方程为， 则，解得，即 则的外接圆的标准方程为. （2）因为为圆上的动点，设（其中为参数，） 则， 所以当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的取值范围为. （25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知且，则的最大值为（   ）小试牛刀1 A．5 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】先由（圆的方程），用三角换元将表示为三角函数形式，再代入，借助辅助角公式将其化简为单一三角函数的形式；最后借助三角函数的有界性（正弦函数最大值为1），求出表达式的最大值. 【详解】，是圆心在原点、半径的圆的方程， 设，将、代入， 得， 利用公式, 则， 因为的最大值为1， 所以的最大值为. 故选：B. （2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ）小试牛刀2 A．3 B．5 C．2 D． 【答案】C 【分析】换元，，将转化为关于的三角函数，利用辅助角公式求最值 【详解】因为，所以，令，，， 其中，所以的最大值为 （25-26高二上·广东广州·期末）已知实数x，y满足，则的最大值为（   ）小试牛刀3 A．1 B．11 C．21 D．31 【答案】C 【分析】应用三角换元，结合辅助角公式及三角函数值域计算求解. 【详解】因为，则设， 则，其中， 则， 当时，取最大值为. 故选：C. 【题型8：复数和向量中的隐圆】 【练方法】 公式结论 1.复数模型：设复数方程 对应圆标准方程其中 2.向量模型： 等价 3.向量平方：展开为圆方程 方法技巧 1.复数模、向量模等式直接转化为两点距离等于定值 2.分离实部虚部、横纵坐标得到标准圆方程 3.利用复数、向量几何意义快速判定圆心半径 （2026·陕西西安·三模）已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设．设，根据已知条件得到的方程，从而得到的轨迹是圆．则的最小值为原点到圆上的点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径． 【详解】由，且，可设． 设，因为，所以， 整理得， 即的轨迹是圆心为，半径为的圆． 的最小值即为原点到圆上的点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径， 故的最小值为．    （25-26高一下·河北邢台·阶段检测）已知，关于的方程的一个根为，为虚数单位，另一个根为，则________；若复数满足，则的最小值为________.小试牛刀1 【答案】 【详解】因为和是实系数一元二次方程的两个根，所以，是共轭复数，故． 设，则，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示在复平面内到圆上对应的点的距离， 点到圆心的距离为，所以的最小值为． （25-26高一下·重庆开州·阶段检测）已知平面向量满足，且．若向量满足，则的最大值为（ ）小试牛刀2 A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】由的垂直关系和模长可令，，再设，由数量积的坐标表示确定的轨迹方程，进而可求解. 【详解】因为，且，令，，设， 由，代入坐标得： ， 整理配方得： ， 即点的轨迹是圆心为，半径的圆. 则是原点到圆上点的距离， 又原点到圆心的距离为： ， 所以圆上点到原点的最大距离为，因此的最大值为. （25-26高三下·北京·开学考试）已知平面向量满足，且，若点满足，则的最大值为___________．小试牛刀3 【答案】 【分析】先由数量积公式求出，建立平面直角坐标系，由，得，点的轨迹为以点为圆心，半径为1的圆，则，得 进行求解． 【详解】由，且得，， 所以， 建立平面直角坐标系，如图所示： 不妨记，得，设点， 由，得，由向量模的几何意义得，点的轨迹为以点为圆心，半径为1的圆， 则， 得 ， 等号成立时，得，即， 故的最大值为： 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【答案】A 【分析】将点的坐标代入圆的方程，即可判断. 【详解】因为，所以点在圆的外部． 故选：A. 2．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径端点的坐标可得圆心和半径，进而可求圆的方程. 【详解】由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为. 3．（25-26高一下·福建泉州·期末）已知复数满足条件，则的最小值为 （    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】    由复数满足条件，即， 得复数表示的点在以为圆心，半径为的圆上． 而的几何意义为原点到圆的点的距离． 的最小值为圆的圆心与原点的连线段的长度减去半径， 圆的圆心与原点的连线段的长度为， 则的最小值为，故选项C正确． 4．（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 5．（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定圆的圆心与半径，从而根据圆的标准方程进行求解. 【详解】设圆心为，根据圆过点且半径为2， 可得，解得，即圆心坐标为. 因此所求圆的方程是． 6．（25-26高二上·吉林·期末）已知实数，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出圆的标准方程，利用三角换元转化为三角函数求最大值即可. 【详解】由，可得， 设，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：D. 7．（25-26高三·全国·一轮复习）若点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．8 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由配方可得，利用的几何意义结合圆的性质求其最小值可得结论. 【详解】因为， 表示点到点的距离的平方， 所以要求的最小值只需求圆上的点到定点的最小距离即可， 又圆心到的距离，而圆的半径， ， 所以原式的最小值为． 故选：C. 8．（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程表示为标准方程，求出的范围，由可得，结合的范围可得出的范围，即可得解. 【详解】由可得可得，解得， 由可得，故的最大值为. 故选：D. 9．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线过定点，且两直线垂直，求出点的轨迹，即可求出答案. 【详解】直线过定点，直线过定点， 因为两直线始终保持相互垂直， 因此交点的轨迹是以为直径的圆，且为圆心，半径，如下图所示： 由于不包含直线，不包含直线， 所以点轨迹不经过点， 圆上的点到点距离最大值为， 此时点的位置不在处，满足题意，故的最大值为. 故选：B. 10．（25-26高一下·广东江门·期中）已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】先根据复数的模的几何意义得到z在复平面上对应的点的轨迹图形，再由在复平面的几何性质即可得到其最小值． 【详解】因为， 所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上， 因为表示点与定点的距离， 所以点与定点的距离的最小值等于圆心与的距离减去圆的半径， 即. 二、填空题 11．（24-25高二下·上海·期中）圆的圆心的坐标为__________． 【答案】 【详解】圆的圆心的坐标为． 12．（2026高二·全国·专题练习）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为_______________ . 【答案】64 【分析】根据斜率关系确定点的轨迹，结合目标式的几何意义求解即可. 【详解】由题知：直线恒过定点. 直线化简为：， 当时，，直线恒过点. 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则. 当时，，，，则. 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且. 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径， 因为表示圆上的点到原点距离的平方，设， 则，所以的最大值为64. 13．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为______. 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 则的面积， 当且仅当时取等号，此时点到直线的距离即为等腰斜边上的高. 14．（25-26高一下·北京海淀·期中）已知平面向量满足，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用已知条件用坐标表示出向量（取特殊值即可），然后设，由数量积的坐标运算确定出点的轨迹方程，确定轨迹是圆，然后利用定点到圆上点的距离的最值求得结论． 【详解】因为，所以，，所以， 不妨取，， 设， 则， 整理得， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， ，表示点到点的距离， 又， 所以的取值范围是． 三、解答题 15．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【详解】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 16．（23-24高二上·内蒙古·阶段检测）已知为圆上一动点，为直线上一个动点． (1)求圆心的坐标和圆的半径； (2)求的最小值． 【答案】(1)圆心坐标为，半径为 (2) 【分析】（1）化简圆的方程为标准方程，进而求得圆的圆心坐标和半径； （2）求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，圆的方程可化为， 所以圆心的坐标为，圆的半径为． （2）解：由题意，圆心到直线的距离为， 所以，即的最小值为． 17．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求外接圆的方程，并求出圆心和半径． 【答案】(1) (2)，圆心为，半径为． 【分析】（1）先求出的中点的坐标，进而利用两点斜率公式求得中线的斜率，最后利用点斜式直线方程求解即可； （2）设出圆的方程，将点的坐标代入求解圆的方程，然后化为圆的标准方程，即可求得圆心和半径. 【详解】（1）由题意得的中点为，， 所以边上的中线所在的直线方程为，即． （2）设所求圆的方程为， 则 解得，，， 所以该圆的方程为， 又化为标准方程为， 所以该圆的圆心为，半径为． 18．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距之和等于0，且过点. (1)求直线的方程； (2)若圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设直线的截距式方程为，根据已知列方程组求解即可； （2）求出的垂直平分线方程，联立直线的方程求出圆心坐标，然后求半径即可得到标准方程. 【详解】（1）因为直线不过原点，所以在两坐标轴上的截距不为0，设方程为， 由题知，解得， 所以直线的方程为，即. （2）因为，所以的中点坐标为，， 所以的垂直平分线斜率为，方程为，即， 联立，解得，即圆心， 由两点间距离公式可得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【2.4.1 圆的标准方程】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到__定点____的距离等于___定长___的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. (2)确定圆的基本要素是 __圆心____和__半径___，如图所示.    (3)圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程是____________.当时，方程为，表示以___原点O___为圆心，半径为的圆. 2．平面上的一点与圆之间存在着下列关系： （1）在圆外，即在_圆外_______； （2）在圆上，即在___圆上_____； （3）在圆内，即在_圆内_______． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：由标准方程确定圆心和半径】 【练方法】 公式结论 1.标准形式 圆心半径 2.特殊圆心在原点 圆心半径 3.变形识别： 圆心半径 方法技巧 1.把方程整理成完全平方和等于正数的标准形式 2.括号内x、y后常数变号得到圆心横纵坐标 3.等号右侧常数开算术平方根为半径必须保证右侧数值大于0 （25-26高二下·上海·期中）圆的半径为______．经典例题1例题 （25-26高一下·全国·课后作业）已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ）小试牛刀1 A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【题型2：判定点和圆的位置关系】 【练方法】 公式结论 计算距离平方 1.点在圆外 2.点在圆上 3.点在圆内 方法技巧 1.无需开根号直接比较点代入左侧平方和与大小简化计算 2.将点坐标代入圆方程左侧对比右侧快速判断 3.含参数圆可通过不等式求解参数取值范围 （25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ）小试牛刀1 A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 （24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高二上·青海海南·期中）点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线）小试牛刀3 【题型3：由圆心或半径求圆的标准方程】 【练方法】 公式结论 1.已知圆心半径直接代入 2.已知圆心与圆上一点半径 3.已知直径端点 圆心 半径 方法技巧 1.圆心、半径全部已知直接套标准式 2.缺半径时利用两点间距离公式算出半径 3.直径条件优先用中点求圆心半长为半径 （25-26高三·全国·一轮复习）已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________．小试牛刀1 （25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二下·上海·期中）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________．小试牛刀3 【题型4：由圆心在直线上和圆过点求圆的标准方程】 【练方法】 公式结论 1.设圆心满足直线约束 2.圆过点满足 3.若圆过两个定点两点到圆心距离相等： 方法技巧 1.设圆心坐标结合圆心所在直线得到参数关系式 2.利用圆上点到圆心距离相等联立二元方程组求解a、b 3.求出圆心后再算半径写出标准方程 （25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________．经典例题1例题 （25-26高二上·山西朔州·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上.小试牛刀1 (1)求线段的中垂线l的方程； (2)求圆C的标准方程. （25-26高二上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，已知直线.小试牛刀2 (1)求过点且和垂直的直线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. （25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：由三个点求圆的标准方程】 【练方法】 公式结论 设圆标准方程 将三点坐标分别代入得到三元方程组 两式相减消去得到两个二元一次方程联立求a、b 方法技巧 1.两两方程作差消去二次项与转化二元一次方程组 2.解出圆心后代入任意一点求半径 3.若三点共线无外接圆无解 （25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·辽宁沈阳·期末）已知点，，.小试牛刀2 (1)若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离. (2)求的外接圆方程； （25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：定点和圆上动点的距离最值】 【练方法】 公式结论 设圆心定点|PC|为定点到圆心距离圆半径 1.最大距离 2.最小距离 方法技巧 1.先计算定点到圆心的线段长度不用枚举圆上点 2.几何原理：三点共线时取到最远、最近点 3.若定点在圆上最小值为0最大值2r （25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________．经典例题1例题 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ）小试牛刀1 A．1 B．2 C．3 D．4 （25-26高二上·湖北·阶段检测）实数满足：，则的最大值为__________.小试牛刀2 （25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（   ）小试牛刀3 A． B．4 C．8 D． 【题型7：利用圆的参数方程求最值】 【练方法】 公式结论 圆参数方程 1.线性代数式代入后结合辅助角公式 值域 2.分式几何意义：动点与定点连线斜率 方法技巧 1.含x、y一次式最值优先参数换元转化三角函数值域问题 2.斜率型最值结合直线与圆相切临界条件求解 3.三角函数最值利用辅助角公式简化计算 （25-26高二上·福建莆田·期中）已知点．经典例题1例题 (1)求的外接圆的标准方程； (2)已知为圆上的动点，求的取值范围． （25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知且，则的最大值为（   ）小试牛刀1 A．5 B． C．7 D． （2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ）小试牛刀2 A．3 B．5 C．2 D． （25-26高二上·广东广州·期末）已知实数x，y满足，则的最大值为（   ）小试牛刀3 A．1 B．11 C．21 D．31 【题型8：复数和向量中的隐圆】 【练方法】 公式结论 1.复数模型：设复数方程 对应圆标准方程其中 2.向量模型： 等价 3.向量平方：展开为圆方程 方法技巧 1.复数模、向量模等式直接转化为两点距离等于定值 2.分离实部虚部、横纵坐标得到标准圆方程 3.利用复数、向量几何意义快速判定圆心半径 （2026·陕西西安·三模）已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一下·河北邢台·阶段检测）已知，关于的方程的一个根为，为虚数单位，另一个根为，则________；若复数满足，则的最小值为________.小试牛刀1 （25-26高一下·重庆开州·阶段检测）已知平面向量满足，且．若向量满足，则的最大值为（ ）小试牛刀2 A． B． C．2 D．1 （25-26高三下·北京·开学考试）已知平面向量满足，且，若点满足，则的最大值为___________．小试牛刀3 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 2．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·福建泉州·期末）已知复数满足条件，则的最小值为 （    ） A．1 B．3 C．4 D．5 4．（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 5．（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·吉林·期末）已知实数，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·全国·一轮复习）若点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．8 B．3 C． D． 8．（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·广东江门·期中）已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．1 二、填空题 11．（24-25高二下·上海·期中）圆的圆心的坐标为__________． 12．（2026高二·全国·专题练习）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为_______________ . 13．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为______. 14．（25-26高一下·北京海淀·期中）已知平面向量满足，则的取值范围是__________. 三、解答题 15．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 16．（23-24高二上·内蒙古·阶段检测）已知为圆上一动点，为直线上一个动点． (1)求圆心的坐标和圆的半径； (2)求的最小值． 17．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求外接圆的方程，并求出圆心和半径． 18．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距之和等于0，且过点. (1)求直线的方程； (2)若圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $