3.2 培优课 圆锥曲线的离心率问题（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦圆锥曲线离心率的求法及范围问题，从定义法切入，通过椭圆、双曲线定义建立a,c关系，再结合几何法（焦点三角形、正余弦定理）和齐次式法（构建a,b,c等式）深化，最后拓展到离心率范围问题，形成从基础求法到综合应用的学习支架。 资料以高考真题为例（如南京质检题），注重逻辑推理与数学运算，通过“例题-规律方法-训练”模式培养学生数学思维，课中教师可引导学生探究几何关系提升推理能力，课后学生可通过分层练习查漏补缺，强化用数学语言表达解题过程的能力。

重点解读 1.掌握圆锥曲线的离心率的求法（逻辑推理、数学运算）. 2.会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题（数学运算）. 一、定义法 【例1】（1）（2025·南京质检）直线y＝－x与椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（　C　） A. B. C.－1 D.4－2 解析：设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，由题意可得｜OF2｜＝｜OA｜＝｜OB｜＝｜OF1｜＝c，由y＝－x，不妨设A在第二象限，得∠AOF2＝，∠AOF1＝.∴｜AF2｜＝c，｜AF1｜＝c.由椭圆定义可知，｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，∴c＋c＝2a，∴e＝＝－1. （2）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线C上的一点，且｜PF1｜＝5，｜PF2｜＝3，∠F1PF2＝120°，则双曲线C的离心率是. 解析：设双曲线C的半焦距为c（c＞0）.由题意知点P在右支上，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝－，解得｜F1F2｜＝7，所以c＝，又｜PF1｜－｜PF2｜＝2，所以a＝1，则双曲线C的离心率e＝＝. 【规律方法】 　根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e. 训练1　已知F为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，l为双曲线的一条渐近线，F到直线l的距离为，过F且垂直于x轴的直线交双曲线C于A，B两点，若｜AB｜＝10，则C的离心率为（　　） A.2 B. C.4 D.6 解析：B　由题意知，b＝.由＝10，得a＝1，所以c＝＝，所以e＝＝. 二、几何法 【例2】（2025·无锡月考）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线的左、右两支于P，Q两点，若△PQF2为正三角形，则双曲线C的离心率为. 解析：如图所示，因为△PQF2是正三角形，所以｜PQ｜＝｜QF2｜＝｜PF2｜，∠F1PF2＝120°，由双曲线定义可知｜QF1｜－｜QF2｜＝2a，即｜QF1｜－｜PQ｜＝｜PF1｜＝2a，再由｜PF2｜－｜PF1｜＝2a可得｜PF2｜＝4a，在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝，即＝－，得28a2＝4c2，＝7，所以e＝. 【规律方法】 　在椭圆或双曲线中，涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得e的值. 训练2　过椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点F1，F2作倾斜角分别为30°和60°的两条直线l1，l2.若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（　　） A.　　B.－1　　C.　　D. 解析：C　由题意知，在△PF1F2中，∠F1PF2＝30°，由正弦定理可得＝＝＝，所以＝，所以该椭圆的离心率e＝＝＝＝＝＝. 三、齐次式法 【例3】（1）已知椭圆＋＝1（a＞0，b＞0）左顶点为A，右焦点为F，B为椭圆上一点，·＝0，cos∠BAF＝，则椭圆的离心率为（　B　） A. B. C. D. 解析：依题意｜BF｜＝，｜AF｜＝a＋c，AF⊥BF，因为cos∠BAF＝，所以tan∠BAF＝，所以＝，因为a2＝b2＋c2，所以＝，所以7a2－12c2－5ac＝0，即12e2＋5e－7＝0，又e∈（0，1），解得e＝.故选B. （2）设F1，F2为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过左焦点F1的直线l与C在第一象限相交于一点P，若｜F1P｜＝｜F1F2｜，且直线l倾斜角的余弦值为，则C的离心率为2. 解析：设直线l的倾斜角为α，则cos α＝，由P在第一象限内，且｜F1P｜＝｜F1F2｜，则｜F1P｜＝｜F1F2｜＝2c，所以｜F2P｜＝2c－2a，由余弦定理可得cos∠PF1F2＝cos α＝＝，整理得3c2－8ac＋4a2＝0，则3e2－8e＋4＝0，解得e＝2或e＝（舍去）. 【规律方法】 　借助题设条件或几何图形建立关于参数a，b，c的等式，结合a，b，c之间的关系，化简为参数a，c的关系式进行求解，此时要注意椭圆的离心率e∈（0，1），双曲线的离心率e∈（1，＋∞）. 训练3　（1）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0），A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为（　D　） A. B. C. D. 解析：因为A（－a，0），B（0，b），F（c，0），AB⊥BF，所以kAB·kBF＝－1，所以×（－）＝－1，所以b2＝ac，所以a2－c2＝ac，所以1－e2＝e，即e2＋e－1＝0，得e＝，故选D. （2）已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点都在E上，且AB，CD的中点为E的两个焦点，且2｜AB｜＝3｜BC｜，则E的离心率是2. 解析：如图，由题意知｜AB｜＝，｜BC｜＝2c.又2｜AB｜＝3｜BC｜，∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2（c2－a2）＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2（负值舍去）. 四、离心率的范围问题 【例4】　（1）已知点F是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　B　） A.（1，＋∞） B.（1，2） C.（2，1＋） D.（1，1＋） 解析：由题意可知｜AE｜＝｜BE｜，即△ABE为等腰三角形，∵△ABE是锐角三角形，∴∠AEB＜90°，∴∠AEF＜45°，将x＝－c代入－＝1，可得y＝±，故在Rt△AFE中，｜AF｜＝，｜FE｜＝a＋c，∵∠AEF＜45°，∴｜AF｜＜｜FE｜，∴＜a＋c，化简整理，得2a2－c2＋ac＞0，∴e2－e－2＜0，∴－1＜e＜2，又e＞1，∴1＜e＜2. （2）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若离心率e＝，则椭圆C的离心率的取值范围为（　D　） A.（0，－1） B. C. D.[－1，1） 解析：因为e＝，所以｜PF1｜＝e｜PF2｜，由椭圆的定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，解得｜PF2｜＝，因为a－c≤｜PF2｜≤a＋c，所以a－c≤≤a＋c，两边同除以a得1－e≤≤1＋e，解得e≥－1，因为0＜e＜1，所以－1≤e＜1，所以离心率e的取值范围是[－1，1）. 【规律方法】 　求离心率范围的常用思路 （1）把已知的不等关系用a，b，c表示出来，消去b后构造关于e的不等式求范围，也可以求出相关的范围，再表示出离心率并求范围； （2）将已知条件转化为不等关系； （3）利用椭圆、双曲线的性质构造不等关系. 训练4　（1）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则离心率e的取值范围为（　D　） A.[，＋∞） B.[，＋∞） C.（1，] D.（1，] 解析：依题意得，点（a，0）到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于a，∴≤a，解得e≤.又e＞1，∴1＜e≤. （2）已知椭圆＋＝1（a＞b＞c＞0，其中c为椭圆的半焦距）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作该圆的切线.切点为T，且｜PT｜的最小值不小于（a－c），则椭圆的离心率e的取值范围是. 解析：依题意，如图所示，当P点位于椭圆的右顶点时，｜PF2｜最小，且最小值为a－c.∵｜PT｜＝， ∴≥（a－c），∴（a－c）2≥4（b－c）2，∴a－c≥2（b－c），∴a＋c≥2b，∴（a＋c）2≥4（a2－c2），化简得5c2＋2ac－3a2≥0，即5e2＋2e－3≥0，结合0＜e＜1，可得≤e＜1①.∵b＞c，∴b2＞c2，∴a2－c2＞c2，∴a2＞2c2，∴e2＜②，解得0＜e＜.由①②解得≤e＜.故椭圆离心率的取值范围为. 1.设双曲线－＝1（a＞0）的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析：C　因为双曲线－＝1（a＞0）的两焦点之间的距离为10，所以2c＝10，c＝5，所以a2＝c2－9＝16，所以a＝4.所以离心率e＝. 2.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2＝，则椭圆的离心率e＝（　　） A. B. C. D. 解析：D　设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），如图，在△F1AF2中，cos∠F1AF2＝＝，即1－2e2＝，解得e＝. 3.已知双曲线＋＝1的焦点在y轴上，则离心率e的取值范围为（　　） A.（1，） B.（，＋∞） C.（，3） D.（3，＋∞） 解析：B　双曲线＋＝1的焦点在y轴上，将双曲线方程化为－＝1，所以解得即m＜2.离心率e＝＝＝＝，因为m＜2，所以＞0，所以2＋＞2，从而e＞.故选B. 4.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M（－4，1），则椭圆的离心率为. 解析：设直线与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2），分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M（－4，1），解得＝，e＝＝. 课堂小结 1.理清单 （1）利用椭圆、双曲线的定义求离心率； （2）利用几何图形几何量的关系求离心率； （3）利用题设条件列出关于a，c的齐次方程求离心率； （4）求离心率的取值范围. 2.应体会 在求圆锥曲线的离心率时要注意数形结合思想、方程思想、化归与转化思想的应用. 3.避易错 椭圆与双曲线的离心率的取值范围不同，应加以区别. 1.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析：B　因为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，所以双曲线C为焦点在y轴上的双曲线，且＝.所以＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝.故选B. 2.如图，椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为（　　） A.e1＜e2＜e3＜e4 B.e2＜e1＜e3＜e4 C.e1＜e2＜e4＜e3 D.e2＜e1＜e4＜e3 解析：C　根据椭圆越扁离心率越大，可得0＜e1＜e2＜1，根据双曲线开口越大离心率越大，可得1＜e4＜e3，故可得：e1＜e2＜e4＜e3，故选C. 3.设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为该双曲线上一点且2｜PF1｜＝3｜PF2｜，若∠F1PF2＝60°，则该双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析：D　因为2｜PF1｜＝3｜PF2｜，所以由双曲线的定义知，｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，故｜PF1｜＝6a，｜PF2｜＝4a.在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝36a2＋16a2－2·6a·4acos 60°，化简整理得c＝a，故e＝. 4.（2025·苏州质检）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　） A.（0，） B.（，1） C.（，1） D.（0，） 解析：B　由题设，以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，与直线bx－ay＋2ab＝0相交，所以＜a，可得3b2＝3（a2－c2）＜a2，即e2＞.又0＜e＜1，所以＜e＜1. 5.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰直角三角形，且∠F1F2P＝90°，则C的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析：A　如图所示，由椭圆＋＝1（a＞b＞0），得到左顶点A（－a，0），又由点P在过点A且斜率为的直线上，可得AP方程为y＝（x＋a），因为△PF1F2为等腰直角三角形，且∠F1F2P＝90°，可得P（c，2c），代入直线y＝（x＋a），可得2c＝（c＋a），整理得3c＝a，所以椭圆的离心率为e＝＝，故选A. 6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若从椭圆右焦点F2发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足AB⊥AD，且cos∠ABC＝，则该椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析：D　由题意，可作图如图所示，则cos∠ABF1＝＝，sin∠ABF1＝＝＝，即｜AB｜∶｜AF1｜∶｜BF1｜＝3∶4∶5，可设｜AB｜＝3k，｜AF1｜＝4k，｜BF1｜＝5k，由｜AB｜＋｜AF1｜＋｜BF1｜＝｜AF2｜＋｜BF2｜＋｜AF1｜＋｜BF1｜＝4a，则4k＋3k＋5k＝4a，即3k＝a，｜AF2｜＝2a－｜AF1｜＝2k，在Rt△AF1F2中，｜F1F2｜＝＝2k＝2c，则e＝＝＝.故选D. 7.〔多选〕已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）上存在点P，使得｜PF1｜＝4｜PF2｜，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（　　） A. B. C. D.－1 解析：BCD　因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，又｜PF1｜＝4｜PF2｜，所以｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，又｜PF1｜－｜PF2｜≤｜F1F2｜，即0＜－≤2c，所以≤2c，则e＝≥，又e＜1，所以≤e＜1，故符合题意的有B、C、D，故选B、C、D. 8.〔多选〕已知双曲线－＝1（m＞0），则（　　） A.离心率的最小值为4 B.当m＝1时离心率最小 C.离心率最小时双曲线的标准方程为－＝1 D.离心率最小时双曲线的渐近线方程为x±y＝0 解析：CD　由题意可得e2＝＝＝m＋.因为m＞0，所以e2＝m＋≥2＝4，即e≥2，当且仅当m＝，即m＝2时取等号.此时双曲线方程是－＝1，渐近线方程是x±y＝0.故选C、D. 9.已知圆C1：x2＋y2＝b2与椭圆C2：＋＝1（a＞b＞0），P为椭圆C2的右顶点，由点P作圆C1的两条切线，其夹角为60°，则椭圆C2的离心率为. 解析：圆C1：x2＋y2＝b2的圆心C1即为O（0，0），半径为b，由题意作图，由点P（a，0）作圆C1的两条切线PA，PB，∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPA＝30°，∴｜OP｜＝2｜OA｜，即a＝2b，则a2＝4b2＝4（a2－c2），即3a2＝4c2，得e＝＝. 10.已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的最小值为6. 解析：设椭圆对应的参数为a1，b1，c，双曲线对应的参数为a2，b2，c，由于线段PF1的垂直平分线过F2，所以有｜F1F2｜＝｜PF2｜＝2c.根据双曲线和椭圆的定义有两式相减得到4c＝2（a1－a2），即a1－a2＝2c，所以＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝6，当且仅当c＝2a2时，等号成立，即最小值为6. 11.双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0）. （1）若双曲线C为等轴双曲线，且过点P（2，），求双曲线C的方程； （2）经过原点O且倾斜角为45°的直线l与双曲线C的右支交于点M，△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率. 解：（1）∵双曲线C为等轴双曲线，∴－＝1， ∵双曲线过点P（2，），将其代入得＝1，解得a2＝1， ∴双曲线C的方程为x2－y2＝1. （2）法一　∵△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，∠MOF＝45°，∴△OMF是等腰直角三角形，｜OF｜＝c， 过M作MA⊥x轴于点A，如图所示， 则A（，0），M（，）， 设左焦点F1（－c，0），由双曲线定义知｜MF1｜－｜MF｜＝2a， ∴2a＝－＝c－c＝c， ∴e＝. 法二　同法一得M， ∵点M在双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上， ∴－＝1，即－＝4， ∴e2－＝4， 整理得e4－6e2＋4＝0，解得e2＝3±， ∵e＞1，∴e2＝3＋，∴e＝＝＝＝. ∴e＝. 12.（2025·杭州质检）如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），P为直线x＝上一点，点Q在椭圆上，且FQ⊥FP. （1）若椭圆的离心率为，短轴长为2. ①求椭圆的方程； ②若直线OQ，PQ的斜率分别为k1，k2，求k1·k2的值. （2）若在x轴上方存在P，Q两点，使O，F，P，Q四点共圆，求椭圆离心率的取值范围. 解：（1）①由题意，得解得a＝2，b＝，所以椭圆的方程为＋＝1. ②由①可得，焦点F（1，0），点P在直线x＝4上，设P（4，t），Q（x0，y0），则＋＝1， 所以＝3－，所以＝（x0－1，y0），＝（3，t）， 因为FP⊥FQ，所以·＝3（x0－1）＋ty0＝0，所以－ty0＝3（x0－1）， 所以k1k2＝·＝＝－. （2）法一　设P（，t），Q（x0，y0）， 因为FP⊥FQ，则△FPQ的外接圆即为以PQ为直径的圆，即（x－）·（x－x0）＋（y－t）（y－y0）＝0，由题意，焦点F，原点O均在该圆上， 消去ty0可得（c－）（c－x0）－x0＝0， 所以x0＝c－，因为点P，Q均在x轴上方，所以－a＜c－＜c， 即c2＋ac－a2＞0，所以e2＋e－1＞0，因为0＜e＜1，所以＜e＜1， 故e的取值范围为（，1）. 法二　因为O，F，P，Q四点共圆且FP⊥FQ，所以PQ为圆的直径，所以圆心必为PQ中点M，又圆心在弦OF的中垂线x＝上，所以圆心M的横坐标为xM＝， 所以点Q的横坐标为xQ＝2xM－＝c－，因为点P，Q均在x轴上方，所以－a＜c－＜c， 所以e2＋e－1＞0，因为0＜e＜1，所以＜e＜1，故e的取值范围为（，1）. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $