3.2 培优课 圆锥曲线的离心率问题（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

重点解读

一、定义法

【例1】（1）（2025·南京质检）直线y＝－x与椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（　C　）

A. B.

C.－1 D.4－2

解析：设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，由题意可得｜OF2｜＝｜OA｜＝｜OB｜＝｜OF1｜＝c，由y＝－x，不妨设A在第二象限，得∠AOF2＝，∠AOF1＝.∴｜AF2｜＝c，｜AF1｜＝c.由椭圆定义可知，｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，∴c＋c＝2a，∴e＝＝－1.

（2）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线C上的一点，且｜PF1｜＝5，｜PF2｜＝3，∠F1PF2＝120°，则双曲线C的离心率是.

解析：设双曲线C的半焦距为c（c＞0）.由题意知点P在右支上，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝－，解得｜F1F2｜＝7，所以c＝，又｜PF1｜－｜PF2｜＝2，所以a＝1，则双曲线C的离心率e＝＝.

【规律方法】

　根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e.

训练1　已知F为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，l为双曲线的一条渐近线，F到直线l的距离为，过F且垂直于x轴的直线交双曲线C于A，B两点，若｜AB｜＝10，则C的离心率为（　　）

A.2 B. C.4 D.6

解析：B　由题意知，b＝.由＝10，得a＝1，所以c＝＝，所以e＝＝.

二、几何法

【例2】（2025·无锡月考）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线的左、右两支于P，Q两点，若△PQF2为正三角形，则双曲线C的离心率为.

解析：如图所示，因为△PQF2是正三角形，所以｜PQ｜＝｜QF2｜＝｜PF2｜，∠F1PF2＝120°，由双曲线定义可知｜QF1｜－｜QF2｜＝2a，即｜QF1｜－｜PQ｜＝｜PF1｜＝2a，再由｜PF2｜－｜PF1｜＝2a可得｜PF2｜＝4a，在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝，即＝－，得28a2＝4c2，＝7，所以e＝.

【规律方法】

　在椭圆或双曲线中，涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得e的值.

训练2　过椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点F1，F2作倾斜角分别为30°和60°的两条直线l1，l2.若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（　　）

A.　　B.－1　　C.　　D.

解析：C　由题意知，在△PF1F2中，∠F1PF2＝30°，由正弦定理可得＝＝＝，所以＝，所以该椭圆的离心率e＝＝＝＝＝＝.

三、齐次式法

【例3】（1）已知椭圆＋＝1（a＞0，b＞0）左顶点为A，右焦点为F，B为椭圆上一点，·＝0，cos∠BAF＝，则椭圆的离心率为（　B　）

A. B. C. D.

解析：依题意｜BF｜＝，｜AF｜＝a＋c，AF⊥BF，因为cos∠BAF＝，所以tan∠BAF＝，所以＝，因为a2＝b2＋c2，所以＝，所以7a2－12c2－5ac＝0，即12e2＋5e－7＝0，又e∈（0，1），解得e＝.故选B.

（2）设F1，F2为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过左焦点F1的直线l与C在第一象限相交于一点P，若｜F1P｜＝｜F1F2｜，且直线l倾斜角的余弦值为，则C的离心率为2.

解析：设直线l的倾斜角为α，则cos α＝，由P在第一象限内，且｜F1P｜＝｜F1F2｜，则｜F1P｜＝｜F1F2｜＝2c，所以｜F2P｜＝2c－2a，由余弦定理可得cos∠PF1F2＝cos α＝＝，整理得3c2－8ac＋4a2＝0，则3e2－8e＋4＝0，解得e＝2或e＝（舍去）.

【规律方法】

　借助题设条件或几何图形建立关于参数a，b，c的等式，结合a，b，c之间的关系，化简为参数a，c的关系式进行求解，此时要注意椭圆的离心率e∈（0，1），双曲线的离心率e∈（1，＋∞）.

训练3　（1）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0），A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为（　D　）

A. B. 

C. D.

解析：因为A（－a，0），B（0，b），F（c，0），AB⊥BF，所以kAB·kBF＝－1，所以×（－）＝－1，所以b2＝ac，所以a2－c2＝ac，所以1－e2＝e，即e2＋e－1＝0，得e＝，故选D.