专题05 椭圆（竞赛培优专项训练）（竞赛培优专项训练，17大题型+强基、竞赛真题）高二数学人教A版全国通用

**基本信息** 以题型分层构建椭圆知识网络，覆盖17类核心题型，融合基础过关与竞赛冲奖双维度训练，突出数学抽象与逻辑推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义及应用|3题|焦点距离转化|从定义出发构建椭圆基本量关系| |标准方程|3题|方程求解与参数讨论|衔接曲线方程与充要条件判断| |焦点三角形|3题|多选型综合计算|结合余弦定理与面积公式深化几何性质| |离心率|6题|求值与范围探究|贯穿a,b,c关系及参数转化思想| |综合应用|10题|轨迹、最值、定点等|整合代数方法与几何直观解决复杂问题| |竞赛真题|15题|创新题型与跨学科应用|拓展数学文化与实际建模能力|

专题05 椭圆 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 椭圆定义及应用 题型10 椭圆的实际应用 题型02 椭圆的标准方程 题型11 与椭圆有关的数学文化 题型03 焦点三角形 题型12 中点弦及对称问题 题型04 轨迹方程 题型13 过定点问题 题型05 椭圆简单几何性质 题型14 定直线问题 题型06 求椭圆离心率 题型15 最值问题 题型07 求椭圆离心率的取值范围 题型16 参数取值范围问题 题型08由椭圆的离心率求参数范围 题型17 椭圆中的新定义问题 题型9椭圆中与距离相关的最值问题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 椭圆的定义及应用 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆方程求出的值，再利用椭圆定义求出，最后在中运用余弦定理求出，进而得到的值. 【详解】由题意得，.若，则， 由余弦定理得， 因为，所以. 2．把椭圆的长轴分为等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于个点，是椭圆的一个焦点，则这个点到的距离之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的左焦点为，右焦点为，且，根据椭圆的定义和椭圆的对称性，即可计算求解． 【详解】记个点分别为，如图： 设椭圆的左焦点为，右焦点为，由题意知， 由椭圆的对称性得， 所以， ， ， 累加得， 所以这个点到的距离之和为. 故选：D. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ） A．4 B．8 C．12 D． 【答案】B 【分析】由垂直平分线性质得，，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】因为为线段的垂直平分线， 所以，根据对称性有：，， 所以的周长等于的周长， 所以，利用椭圆的定义，的周长为． 考点二 椭圆的标准方程 4．过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将与椭圆焦点相同的椭圆的方程设为，再将点代入，求得的值，即可得出椭圆标准方程. 【详解】设所求椭圆方程为， 将点代入，可得，解得（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 故选：D. 5．“曲线表示椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据方程是椭圆得出或，再应用充分必要条件定义判断求解. 【详解】若曲线表示椭圆，有，可得或， “曲线表示椭圆”可以推出“”， “”不可以推出“曲线表示椭圆”， 可得“曲线表示椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 6．已知椭圆的焦距等于2，则其离心率的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义和性质求解即可. 【详解】因为椭圆的焦距等于2，所以，即. 所以，解得或. 当时，，此时椭圆的离心率为； 当时，，此时椭圆的离心率为； 所以椭圆的离心率为或. 故选：A. 考点三 焦点三角形 7（多选题）．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，则下列说法正确的是（     ） A．若的最大值为5，最小值为1，则椭圆的离心率为 B．若，，则的面积为2 C．若，，，则内切圆的半径为 D．若，，则椭圆的离心率为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆上的点到焦点距离的取值范围，可求的值，即可判断A；利用焦点三角形的面积公式求的面积，即可判断B；结合三角形面积，可求内切圆的半径，即可判断C；利用正弦定理，结合比例的性质和椭圆的定义，即可判断D. 【详解】对于A：由，所以，所以，故A正确； 对于B：由，所以，所以， 又，所以， 所以，即， 所以，故B错误； 对于C：由，由余弦定理得： ， 所以， 所以， 设内切圆的半径为， 又， 又，所以，故C正确； 对于D：由，，得， 由正弦定理得：， 所以， 所以， 所以，故D正确. 8（多选题）．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为4 B．不存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有四个 【答案】AB 【分析】利用椭圆的定义结合基本不等式可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义列方程，可判断B；解三角形，利用面积公式可判断C；分3类解出点可判断D. 【详解】已知椭圆 ，其中 ，，， 离心率 ，，点 在椭圆上， 设，，则 ， 焦距 ， 对于A： 由均值不等式，，当且仅当 时取等号， 所以的最大值 4，故 A正确； 对于B： 在 中，由余弦定理得： 代入得 ，即 ， 当 时，，则 ， 由选项A知：，故不可能等于 8， 因此不存在这样的点 ，使得，故B 正确； 对于C：由选项B知：，当 时，，代入得 ， 三角形面积 ，故 C 错误； 对于D： 等腰三角形有三种情况： （1）当时：点取短轴端点，共有2 个点符合要求； （2）当时， 设 ，由距离公式： 平方得： 由点 在椭圆上，得， 代入 (4)： 化简得：， 解得： 因为 ，所以 ， 代入椭圆中得， 所以 ，共有两个点符合要求； （3）当时， ， 平方得：， 代入椭圆并化简： 解得： 因为 ，所以 ，代入椭圆中，得 ， 所以 ，共有两个点符合要求， 综上：使得为等腰三角形的点共有六个，故D错误. 故选：AB 9（多选题）．已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．若 ，则的面积为 C．记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D．若M是圆 上任一点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对A：得到以为直径的圆的方程后，联立椭圆方程，得到是否有解即可得；对B：法一：可借助椭圆定义与余弦定理得到的值，再利用面积公式计算即可得；法二：利用焦点三角形面积公式计算即可得；对C：设，结合斜率公式计算即可得；对D：借助椭圆定义及圆的性质计算即可得. 【详解】对A：由椭圆 可得、， 则以为直径的圆的方程为 ， 联立，解得， 即以为直径的圆与椭圆存在交点， 故存在点，使得 ，故A正确； 对B：法一：设 、 ，则由椭圆定义可得， 则由余弦定理可得 ，即 ， 又 ，故， 则的面积为； 法二：，故B错误； 对C：由题意可得，设，则，且 ， 则， 即直线 与的斜率之积为，故C正确； 对D：由椭圆定义可得， 圆 的圆心坐标为，半径， 又 ，故在椭圆外， 则 ， 当且仅当、、、四点共线，且在、之间时成立， 故的最小值为，故D正确. 考点四 轨迹方程 10．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的圆心为，半径，的圆心为，半径，由动圆与圆内切，设动圆半径为，求出，动圆与圆外切，求出，则有为定值，结合椭圆的定义得解. 【详解】 的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 动圆与圆内切，设动圆半径为，， 动圆与圆外切，， ，， ，动圆的轨迹是以为焦点的椭圆， ，， 动圆的轨迹方程为. 故选：C. 11．在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，故，再根据向量关系整理代换即可得答案. 【详解】由题，设， 因为，所以， 因为，， 所以，即，代入得. 所以点的轨迹方程为. 故选：D 12．动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解. 【详解】设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是集合. 由此得，将上式两边平方并化简，得， 即. 所以动点的轨迹方程为. 故选：B. 考点五 椭圆简单几何性质 13（多选题）．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】利用椭圆的定义可判断A选项；分析可知当点为短轴顶点时，的面积最大，求其最大值，可判断B选项；利用平面向量数量积的坐标运算并结合椭圆的范围可判断C选项；求得，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】由可得，，，. 对于A选项，的周长为，A错； 对于B选项，设，，则， 所以当点为短轴顶点时，的面积最大，最大面积为，B对； 对于C选项，设，，、， 则，，则. 因为，所以，所以， 又，所以， 所以的取值范围为，C对； 对于D选项，由可得，， 由C知， ， 所以， 当时，有最大值， 当或时，的值为， 但是且，所以的取值范围为，D对. 故选：BCD. 14（多选题）．已知椭圆上一点，、分别为左、右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则满足题意的点有四个 C．椭圆内接矩形周长的最大值为 D．若为钝角三角形，则 【答案】AC 【分析】利用余弦定理、椭圆定义结合三角形面积公式推导出，可判断A选项；设，可得出，结合，求出的值，判断点的位置，可判断B选项；利用椭圆的参数方程结合辅助角公式可判断C选项；对各内角为钝角进行分类讨论，求出的范围，可求得的范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，在椭圆中，，，则， 由椭圆的定义可得，，且、， 设，，且，， 在中，由余弦定理可得， 所以，， 所以，， 所以，， 因为，则，所以，，解得，A对； 对于B选项，设，则，且，解得， 此时点为椭圆短轴的顶点，故满足条件的点只有两个，B错； 对于C选项，设椭圆内接矩形的一个顶点为， 则椭圆内接矩形周长为， 其中为锐角，且， 由得， 当时，，此时椭圆的内接矩形周长取最大值为，故C正确； 对于D选项，若为钝角，，， 则 ，解得，所以，， 此时，； 若为钝角，且，， 则，可得， 又因为，所以，，则，可得， 此时，； 当为钝角时，同理可知. 因此，的取值范围是，D错. 故选：AC. 15（多选题）．如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线，对称 B．两个椭圆的离心率不相等 C．到，，，四点的距离之和为定值 D．曲线所围区域面积必小于36 【答案】AD 【分析】由椭圆的对称性可判断A，由椭圆的离心率公式可判断B，由椭圆的定义可判断C，由椭圆的顶点可判断D. 【详解】解：对于A，两个椭圆关于直线均对称，则曲线关于直线均对称，故A正确； 对于B，椭圆的离心率，椭圆的离心率，所以，故B错误； 对于C，易知分别为椭圆的两个焦点，分别为椭圆的两个焦点，若不在两个椭圆的交点上，则距离之和不为定值，故C错误； 对于D，易得椭圆的上、下顶点分别为，椭圆的左、右顶点分别为，所以曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36. 故选：AD 考点六 求椭圆离心率 16．已知椭圆的右焦点为，左顶点为，点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点的坐标，代入椭圆方程，化简求值. 【详解】过点作于点，因为，所以为的中点， 由题可知，所以， 又，所以，， 所以，， 设，则， 所以， 因为点在椭圆上，所以， 用替换，化简得：， 即，因为， 所以. 17．已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得出，利用椭圆的定义结合勾股定理可得出与的等量关系，可得出的值，然后在中利用余弦定理可得出与的关系，即可得出椭圆的离心率的值. 【详解】不妨设，则，， 由椭圆定义可得，， 因为是以为斜边的直角三角形，由勾股定理可得， 即，整理可得， 即，解得或（舍去）， 所以，，， ， 由余弦定理可得， 整理可得，故椭圆的离心率为. 18．已知椭圆的上、下顶点分别为，为坐标原点，过作直线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的直线方程，然后求出的坐标，根据结合倾斜角的关系可得关于的方程，化简后可得，故可求离心率. 【详解】 因为分别为椭圆的上下顶点，故， 故的直线方程为， 由可得即， 因为，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，故， 整理得，故离心率. 考点七 求椭圆离心率的取值范围 19．已知为坐标原点，、、分别是椭圆：（）的右顶点、下顶点和左焦点，点在椭圆上，且．若，估计椭圆的离心率的值所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件求出，进而得到，构造函数，根据导数与单调性的关系得到在上单调递减，结合零点存在定理判断即可. 【详解】由题意知，、、，设， 因为，所以， 代入椭圆方程解得，所以， 由已知可知点在第二象限，所以，则， 则，又，， 所以，整理得，则， 又，所以， 又（），则， 令（）， 则， 所以在上单调递减； 又，， ， ， ， 结合零点存在定理可知，椭圆的离心率. 20．设椭圆的左､右焦点分别为，且点与抛物线的焦点重合，点在的外部，点是上的动点，满足恒成立，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的焦点为，所以的右焦点，左焦点， 因为点在的外部，所以，可得， 则的离心率， 因为点是上的动点，所以， 故恒成立可转换为恒成立， ，当且仅当点为射线与在第四象限的交点时取等号， 所以，故， 因此的离心率的取值范围是. 21．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且.若椭圆上存在点，使得的外接圆直径为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，易得为锐角，且；由正弦定理可得，进而求得；结合余弦函数性质得到；利用几何关系及二倍角公式求得，代入求得；结合可求得，即可求解. 【详解】记椭圆的上顶点为，，由，得，所以为锐角， 中，由正弦定理，知，所以， 易知，所以，且， 又， 所以，解得或（舍去）. 又，故，所以， 综上，椭圆的离心率的取值范围是. 考点八 由椭圆的离心率求参数范围 22．椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数的取值范围. 【详解】由椭圆方程， 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得； 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 23．已知F是椭圆的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】设在轴上方，在轴下方，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，联立直线的方程与椭圆方程可求的坐标，同理可求的坐标，利用三点共线可得，利用离心率的范围可得，从而可判断为锐角. 【详解】   不失一般性，设在轴上方，在轴下方， 设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为， 则，，，且. 又. 又直线的方程为， 由可得， 故，所以，故， 同理，故， 因为共线，故， 整理得到即， 若，， 因为，，故，所以， 故. 故选：A. 【点睛】思路点睛：与椭圆有关的角的计算，一般利用其正切来刻画，因为角的正切与直线的斜率相关，注意运算结果的准确性. 24．如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质，以及椭圆的几何性质，利用勾股定理列出方程，即可求解. 【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图像的一部分， 可得，且，所以圆柱的底面直径， 设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，因为离心率为，可得， 所以，由勾股定理得，解得. 故选：A. 考点九 椭圆中与距离相关的最值问题 25．已知A、B是椭圆的左右顶点，P是C上任意一点，F是C的左焦点，圆，Q是圆E上任意一点，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由椭圆的定义，得到，化简得到，结合圆的性质，得到，求得，即可求得的最大值. 【详解】由椭圆，可得，则且， 则椭圆的左、右焦点分别为， 又由椭圆的定义，可得，所以， 所以， 因为圆，可得圆心即点，半径为， 又因为点是圆上的任意一点，所以， 即，当且仅当三点共线，且在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为， 所以，即的最大值为. 26．设实数满足的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据题意，利用椭圆的定义，即可求代数式的最小值，得到答案. 【详解】设，则在椭圆上， 因为， 设，则为椭圆的右焦点， 如图所示，设椭圆的左焦点为， 则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 而，故的最小值为. 故答案为：. 27．已知点M在椭圆上运动，点N在圆上运动，则的最大值为_________． 【答案】/ 【分析】将求最大值的问题，转化为求点到圆心距离最大值的问题，结合点满足椭圆方程，代值计算即可. 【详解】不妨设点为，，则，则 设圆的圆心为，则坐标为 则的最大值，即为的最大值与圆的半径之和. 又 当时，，当且仅当时取得等号； 故. 故答案为：. 考点十 椭圆的实际应用 28．小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率为_____（用表示）.    【答案】 【分析】设球的半径为，根据几何关系先用表示出长轴长，然后再根据球心在地面的射影为椭圆焦点计算出关于的表示，由此可得的结果，则离心率可知. 【详解】设篮球半径为，显然平面平面，连接，，则平面， 过作交于点，则，，    于是椭圆长轴长， 因为，所以， 由，可知与全等， 所以， 令椭圆半焦距为，而， 则， 解得，所以该椭圆的离心率为， 故答案为：． 29．老张家的庭院形状如图，中间部分是矩形ABCD，（单位：m），一边是以CD为直径的半圆，另外一边是以AB为长轴的半个椭圆，且椭圆的一个顶点M到AB的距离是，要在庭院里种两棵树，想让两棵树距离尽量远，请你帮老张计算一下，这个庭院里相距最远的两点间距离是___________m． 【答案】/ 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，求出椭圆上的点到圆心距离的最大值，再加上半径即可求得结果. 【详解】根据题意可得，以的中点为坐标原点，所在直线和的垂直平分线分别为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则半圆圆心为，半径； 由椭圆长轴可得，易知，所以椭圆方程为； 根据题意可得当点到圆心的距离最大时，的连线交半圆于，此时距离最大； 设，则, 易知， 当时，取最大值28，所以， 则. 故答案为： 30．如图，已知圆柱底面半径为1，母线长为8，球与圆柱侧面及上底面相切，球与圆柱侧面及下底面相切，平面与球、球均相切（球心、在平面两侧）.则平面截圆柱侧面所得椭圆的离心率为________. 【答案】/ 【分析】设为椭圆上不同于的一点，过点作平行于的直线，与圆分别相切于，连接，根据切线关系求出，即可求出离心率. 【详解】如图， 设为椭圆上不同于的一点，为圆柱一母线与两圆的切点， 过点作平行于的直线，与圆分别相切于，连接. 根据切线关系可得， 则， 故所得椭圆的离心率. 考点十一 与椭圆有关的数学文化 31．如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球分别相切于椭圆的两个焦点.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点，此时.已知两个球的半径分别为1和3，椭圆的离心率为，则两个球的球心距离为__________. 【答案】 【分析】设两球的球心距离为，作出圆锥的轴截面求得，利用三角形相似求得及，再利用椭圆离心率构造方程求得结果. 【详解】作出圆锥的轴截面，如图： 圆锥面与两球相切于两点，则， 过作于，连接，设与交于点，两球的球心距离为， 在中，，，， 由，得，而，则， 解得，于是，， 由，得，则，又， 因此，解得， 所以两球的球心距离为. 故答案为： 32．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，且轨道II的右顶点为轨道I的中心.设椭圆I与II的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，则下列结论正确的有__________.    ① ② ③ ④椭圆II比椭圆I更扁 【答案】①②③ 【分析】根据椭圆的定义及几何性质得，据此对所给结论逐一判断即可. 【详解】由题可得，. 对于①，，所以①正确； 对于②，，所以②正确； 对于③，，所以③正确； 对于④，由③知，，即，所以椭圆I比椭圆II更扁，所以④不正确. 故答案为：①②③. 33．圆锥曲线具有奇妙的光学性质，例如：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点．某校科创小组设计了一个基于圆锥曲线光学性质的激光演示装置（如图所示）：由共焦点的椭圆和双曲线构成，其中与的离心率之比为．一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，历时秒；若将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，历时秒．则______．    【答案】8 【分析】由椭圆定义、双曲线定义结合离心率公式即可得解. 【详解】由椭圆定义得①，②， ①﹣②得，， 即的周长为， 将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回， 不妨设，激光从发出后经C处反射后经过，再由D处反射后返回，如图，    由椭圆定义知的周长为， 一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回， 经过的路程为的周长为， 将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，经过的路程为的周长为， 因为光线的速度相同，且双曲线与椭圆共焦点， 所以. 考点十二 中点弦及对称问题 34．已知椭圆的离心率为，左顶点为. (1)求的标准方程； (2)设、两点在上，且线段的中点为. （i）当时，求直线的方程； （ii）当直线的斜率存在时，证明：直线与直线的斜率之积为定值. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）由（i）可知当时，直线的斜率存在， 由（i）可知， 因为，， 所以. 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）（i）利用点差法可求得直线的方程； （ii）利用点差法推导出，再由斜率公式可得出，由此可计算出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可得，所以，故椭圆的标准方程为. （2）（i）设点、，则，， 所以，， 当时，则，， 若直线的斜率不存在，此时轴，则、关于轴对称，则的中点在轴上，不符合题意， 所以直线的斜率存在，由，这两个等式作差得， 所以，即， 故直线的方程为，即； （ii）略 35．已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N. (1)求C的方程； (2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 由（1）可知：，， 则直线的斜率，且线段的中点为， 假设存在直线l满足题意，设直线l：，，， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 可得，， 即，则， 可得线段的中点为，直线的斜率， 此时，可知直线与直线不垂直， 这与等腰梯形的性质相矛盾，假设不成立，所以不存在直线l满足题意. 【分析】（1）根据离心率可得，再结合的面积可得，，即可得椭圆方程； （2）设直线l：，与椭圆方程联立，利用韦达定理分别求线段、的中点，结合等腰梯形的性质列式求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，可得，即， 则，， 又因为的面积，即，， 所以椭圆C的方程为. （2）略 36．已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，半焦距为，已知点在椭圆上，过点且斜率为整数的直线交椭圆的另一点为，线段的垂直平分线与轴交于点． (1)求椭圆的离心率； (2)求直线的斜率； (3)设关于轴的对称点为，直线交轴交于点，若的面积为，求椭圆的标准方程 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合和离心率定义将方程转化为关于离心率的方程，求解即可； （2）设直线的斜率为，写出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出的中点坐标，再根据中点坐标写出的垂直平分线方程，结合垂直平分线与轴交点的条件，建立关于的方程，求解； （3）根据（2）的结果得到点的坐标，再写出其关于轴的对称点坐标，求出直线，并得到与轴的交点坐标，利用三角形的面积公式，结合已知面积，建立方程，再结合（1）中的离心率求出的值，进而得到椭圆方程. 【详解】（1）将点直接代入椭圆方程： 由于，且，转化为离心率的方程：， 整理得：， ，因为椭圆的离心率满足，故舍去，． 解得离心率． （2）由（Ⅰ）知，．椭圆方程为． 设直线的斜率为，过定点． 直线的方程为：． 代入椭圆方程：，        化简得， ， ，             计算线段的中点的坐标： ， ， 中垂线的斜率为．令其方程中，得轴截距： ，         题目已知： 解得或．因为直线的斜率为整数． 故舍去，所以． （3）将代回点得：， 此时点坐标为．对称点． 直线的斜率： 直线的方程为：． 令，解得交点．             ，，，      ，，． 椭圆的方程为： 考点十三 过定点问题 37．已知椭圆的离心率为，O为坐标原点，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线交椭圆C于M，N两点，过点M作直线的垂线，垂足为E． ①若的面积是的面积的两倍，求直线的方程； ②证明直线过定点． 【答案】(1)； (2)①或； ②若直线过定点，由对称性可知定点必在x轴上，设为， 设，，所以， 所以，所以， 令得，   因为，，所以， 所以， 所以为直线所过定点． 【分析】（1）由椭圆的定义得到，由离心率得到，继而求出b，从而得到椭圆的方程； （2）①设直线方程，与椭圆方程联立得到根与系数的关系式，由的面积是的面积的两倍，解出m的值，得到直线的方程；②判断直线所过定点位于x轴上，表示出，令，结合根与系数的关系化简即可证明结论. 【详解】（1）由题意得，所以， 又因为，所以，， 所以C的方程为． （2）①当直线与y轴垂直时，此时O，F，M，N四点共线，不合题意； 当直线与y轴不垂直时，设，，， 不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方，即，， 联立，消去x并整理得， 直线过椭圆的焦点，必有，，， 因为，即，所以， 所以，， ，， 所以，解得，， 所以或， 即直线的方程为或．   ②略 38．动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记动点P的轨迹为C． (1)求C的标准方程； (2)已知点，点M，N在C上，直线，的斜率分别为，，且． （i）若，求的面积； （ii）证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）证明：设，，，联立， ，则，, ，代入得： ， 即， ， 化简得，即， 或，代入得： 或， 即定点坐标为或， 又， 直线过定点． 【分析】（1）根据已知条件，利用距离之比构造方程，求出曲线方程； （2）（i）根据两点坐标求出，，从而求出的方程，联立椭圆方程求出点，进而求出直线的方程，求出及点到直线的距离，进而求出的面积；（ii）设，联立椭圆方程，利用韦达定理结合，联立直线方程得出或，进而得出定点坐标． 【详解】（1）设，则P到定直线的距离， ， 则， 将式子两边平方，并化简得， 曲线C的标准方程为． （2） （i），， ，则． 直线的方程为：，代入椭圆方程得：， ，，，即， ， 直线的方程为：，即, 点A到直线的距离为， 又, 的面积为． （ii）略 39．已知椭圆（）经过点，两点，过点的直线与C交于M，N两点，且直线，与直线分别交于点P和点Q. (1)求C的方程； (2)求的面积的最大值； (3)证明：存在定点E，使得以为直径的圆恒过点E. 【答案】(1) (2) (3)存在，证明见解析. 【分析】（1）把点，代入即可求出椭圆的方程即可求解； （2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理表示出的面积，再求出的面积的最大值； （3）若以为直径的圆恒过点E，则，进而通过韦达定理求出定点坐标. 【详解】（1）把点，代入椭圆的方程， 得，所以椭圆的方程为. （2）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立， 则， 所以 ， 设，则，即， 那么， 由于，函数在上单调递增， 所以， 故， 则的面积的最大值为. （3）设，直线，直线， 令，得， ，则， 由于以为直径的圆恒过点E，则， 所以，而， 则， 化简，得， 则， 由于， 所以， 则， 即， 令，解得或 所以定点坐标为或， 因此，存在定点E，使得以为直径的圆恒过点E. 考点十四 定直线问题 40．已知椭圆的左、右顶点分别为点A，B，且，椭圆C离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的右焦点的直线l交椭圆C于M，N两点（异于A、B），直线，的交于点Q，求证：点Q在直线上． 【答案】(1) (2) ①若直线l的斜率不存在时，如图， 因为椭圆C的右焦点为，所以直线l的方程是． 所以点M的坐标是，点N的坐标是． 所以直线的方程是，直线的方程是， 所以直线，的交点Q的坐标是， 所以点Q在直线上. ②若直线l的斜率存在时，如图，设斜率为k， 所以直线l的方程为， 联立方程组， 消去y，整理得， 显然．不妨设，， 则， 所以直线的方程是．令，得， 直线的方程是． 令，得， 所以， 其中分子 ， 所以点Q在直线上． 【分析】（1）根据离心率及长轴长列方程组求解即可； （2）先直接计算直线l的斜率不存在时的情况，然后直线l的斜率存在时，设，与椭圆联立，写出韦达定理，写出直线AM和BN的方程，求出时的值，作差，整理后代入韦达定理计算即可. 【详解】（1）因为，椭圆C离心率为， 所以，解得，， 所以椭圆C的方程是. （2）略 41．已知椭圆 （>）的离心率为 A，B分别为椭圆C的上、下顶点，O为坐标原点，直线与椭圆C交于不同的两点P，Q. (1)设点M 为线段PQ的中点，证明：直线OM 与直线PQ的斜率之积为定值； (2)若时， ①求椭圆C的方程； ②证明：直线BP与直线AQ的交点D在定直线上. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）设，利用点差法求得，再化简计算即得； （2）①利用条件建立关于的方程，求解即得椭圆方程；②将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，分别列出直线BP与直线AQ的方程，设，联立求得，回代入方程，利用韦达定理化简推出，即得结论. 【详解】（1）设则 则由 两式相减可得，即 ， 所以 为定值. （2）①由题意可得，  解得，故椭圆方程为 . ②联立方程，消去，可得， 由，解得，则， 因直线BP的方程为，即 ， 直线AQ的方程为，即， 设直线BP与直线AQ的交点为，则联立， 由，解得 ， 将其代入①，可得 即. 故直线BP与直线AQ的交点在定直线上. 42.．已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是的右焦点，是直线上的动点，且外接圆面积的最小值为. (1)求的方程. (2)过点，且不与轴重合的直线与交于，两点. （ⅰ）若的斜率为1，且的面积为，求点的坐标. （ⅱ）设直线与交于点，试判断是否在一条定直线上.若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）或；（ii）在一条定直线上，定直线方程为. 【分析】（1）根据外接圆面积的最小值即可得到，解出，再根据关系即可得到椭圆方程； （2）（i）设的方程为，联立椭圆方程得到韦达定理式，再利用弦长公式得的值，再根据点到直线距离得到三角形的高，从而得到关于的方程，解出即可； （ii）分别写出直线的方程，相除后，再根据韦达定理中和积关系代入计算即可. 【详解】（1）因为，所以，则直线与没有公共点． 由题可知外接圆的圆心在轴上，且当的外接圆与直线相切时， 外接圆的半径最小． 因为外接圆面积的最小值为，所以，得， 则， 则的方程为． （2）（i）设的方程为． 由得，， 则． 因为的斜率为1，所以. 设，则点到的距离． 因为的面积为，所以， 解得或，则点的坐标为或． （ii）在一条定直线上，且该直线的方程为． 由题可知，则，， 则直线的方程为，直线的方程为， 两式相除得． 若的斜率存在，则由， 可得，则， 则， 即，解得. 若的斜率不存在，令，则，解得， 则设，而， ，， 则直线与的方程分别为和， 联立，解得，则两直线交点， 故在一条定直线上，且该直线的方程为． 考点十五 最值问题 43．已知椭圆方程的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D. (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）设出，，则，表达出，，由点差法得到的值； （2）三角形面积等于三角形的面积2倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案. 【详解】（1）由题意知，，若，此时直线的斜率不存在，不符合要求，舍去， 设，，，此时， 则，，， 又①，②， 式子①－②，得， 所以； （2）由题意可知，三角形面积等于三角形的面积2倍， 椭圆左焦点F为，可设直线方程为， 联立方程组， 即， 故，， 所以三角形的面积为 ， 令，， 由对勾函数性质可得在单调递增， 故，当且仅当取得最小值， 所以，当且仅当，即时成立， 三角形的面积的最大值为， 所以面积的最大值为3. 44．已知椭圆：的离心率为，且与直线 有且只有一个公共点． (1)求的标准方程； (2)设一动直线不经过坐标原点，与交于，两点，且 ． （ⅰ）证明：点到直线的距离为定值； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）设直线的斜率存在，其方程为，. 联立，消去得 ， 则， 化简得，， 因为 ，所以 ，即 ， 而， 代入得 ， 所以 ， 整理得 ，所以，满足. 所以点到直线的距离， 由，得. 当直线的斜率不存在时，设：，代入椭圆方程得， 则，由 ，得 ， 即，解得，所以，仍然成立. 综上，点到直线的距离为定值. （ⅱ） 【分析】（1）根据椭圆的离心率，得出 的关系，再由直线 与椭圆有且只有一个公共点，判别式为0，从而求出 的值. （2）（ⅰ）当直线的斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，根据根与系数的关系，结合 ，得出，再由点到直线的距离求解，当直线的斜率不存在时，求出点到直线的距离，即可得定值. （ⅱ）当直线的斜率存在时，根据弦长公式表示出，得出面积与的关系，通过换元，求出面积的最大值，再求出直线的斜率不存在时的面积，比较即可求得最大值. 【详解】（1）由，得，即， 因此椭圆方程可写为 ，即， 将直线 代入椭圆方程得， 即 ， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以 ， 即 ，解得 ，则 ， 所以椭圆的标准方程为 . （2）（ⅰ）略 （ⅱ）当直线的斜率存在时， 由（ⅰ）知 . 的面积， 由，令，则，， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以当，即时，满足，取最大，最大值为. 所以面积的最大值为. 当直线的斜率不存在时，由（ⅰ）知，，，， 所以，， 所以， 因为，所以面积的最大值为. 45．已知椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线：相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线，分别与相交于，两点． (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是、，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据椭圆的定义，焦点坐标公式，结合之间的关系进行求解即可； （2）设出直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、直线斜率公式、互相垂直两条直线的斜率关系进行求解即可； （3）设出直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、三角形面积公式、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的左、右焦点分别为，， 所以． 因为点是椭圆上一点， 则， 所以． 又，所以， 所以椭圆的方程为； （2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为． 由，整理得． 设，，则，，． 由（1）知， 所以，的斜率分别为，， 故，所以； （3）设直线的方程为，显然， 由得，解得或， 所以，则． 由（2）知，则直线的方程为， 同理，． 由得， 解得或， 所以，则， 同理，． 由（2）知，则， 则 ， 当且仅当时等号成立，即的最小值为． 考点十六 参数取值范围问题 46．已知椭圆：（），其左焦点坐标为，且经过点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)设点，点在椭圆上，求的最大值和最小值； (3)点在直线上，过点且与平行的直线与椭圆交于，两点．试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1); (2)，; (3)存在，. 【分析】（1）通过题目所给条件直接计算的值； （2）通过三角换元，将点的坐标表示出来，用角度表示，结合二次函数与角度的范围求出最大、最小值； （3）通过坐标将和表示出来，直接判断两者是否存在固定的数量关系，直接求出的值. 【详解】（1）已知左焦点坐标为，所以， 且， 因为椭圆经过点，所以， 所以， 所以椭圆方程为： （2）因为点在椭圆上， 设，因为 所以       因为，所以当时， 当时， 所以，; （3）点在直线上，设， 直线过点且与平行，， 所以直线方程为：，即， 令，所以直线的方程为：， 联立椭圆的方程：，消得：， 设，，所以由韦达定理有，， 所以 同理， 所以， 因为， 代入韦达定理及化简得： 所以， 又因为， 所以，所以存在常数使得. 47．如图，已知椭圆的方程为，直线与椭圆交于两点（点在第一象限）．当时，在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．    (1)求的标准方程； (2)若轴于点，连接BM并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）如图，设，，    则，由题意有． 直线的斜率，即的斜率为， 所以直线的方程，所以． 又在椭圆上，． ． （ⅱ）． 【分析】（1）由椭圆标准方程确定，结合时在轴上的射影为椭圆焦点的条件，将点代入椭圆方程，结合的关系求解，即可得到椭圆的标准方程. （2）（i）联立直线与椭圆方程，求解得到两点坐标，由轴得到点坐标，进而求出直线的方程，将直线与椭圆方程联立求得点坐标，计算直线的斜率，验证为定值即可. （ii）利用两点间距离公式分别计算与的长度，将表示为关于的函数，结合的取值范围，分析函数的取值特征，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意有，所以． 设椭圆焦距为，易知椭圆过点，所以． 又，所以， 所以，即，解得， 所以，故的标准方程为． （2）（ⅰ）略 （ⅱ）解： ， 而， 由（ⅰ）知 ． 又， ． 当且仅当，即时等号成立，所以． 48．已知椭圆的焦距为2，椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)为坐标原点，直线过点，与椭圆交于，两点，椭圆上点满足，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由焦距得出，根据短轴的一个端点到右焦点的距离，所以，由此能求出椭圆方程； （2）设过的直线为，与椭圆方程联立，得，设，，，由，由此结合题设条件能求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为焦距为2，所以，即， 设短轴的一个端点，右焦点，短轴的一个端点到右焦点的距离为，∴， 所以椭圆的标准方程. （2）由题意知直线的斜率存在. 设：，，，， 由得. ，化简得，解得. ，. ∵，∴， ∴， 即得， ∴，∴.∴， ∵，∴， ，. ∵点在椭圆上，∴， ∴∴， 且， 所以， ∴， ∴实数取值范围为. 考点十七 椭圆中的新定义问题 49．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A，B为椭圆E：上的两个动点，动点P在直线上，若恒成立，则E的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据蒙日圆的定义写出椭圆方程对应的蒙日圆，再由直线与圆的位置关系及点线距离公式列不等式求参数范围，进而求椭圆离心率范围. 【详解】根据题意，得椭圆E的蒙日圆方程为， 其上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直， 因此当直线与圆相离时，， 由，解得. 所以离心率. 故选：A 50．定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比. (1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (2)如图，已知椭圆，椭圆的离心率为与相似，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，k，S表示）；    (3)若椭圆，写出与椭圆相似且长半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围. 【分析】（1）根据相似三角形对应角相等，结合三角函数定义即可得证； （2）先求和的面积之比，然后结合相似比即可得解； （3）设直线MN的方程为，联立椭圆方程消元，利用韦达定理表示出MN的中点坐标，代入已知方程求出参数，然后结合判别式可求得的范围，即可求得“焦顶三角形”的周长范围. 【详解】（1）若两个椭圆是“相似椭圆”，则“焦顶三角形”的三个对应角相等. 如图，以焦点为顶点的三角形内角必为钝角，故相等，则相等，    所以相等，而，所以相等，即离心率相等； 若离心率相等，则相等，则相等，则相等； 同理，相等，则相等，所以相等； 所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似，所以两个椭圆是“相似椭圆”. 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等. （2）设椭圆的半焦距为. 因为椭圆的离心率为，椭圆与椭圆相似，所以椭圆的离心率也为， 若的面积为，又的面积与的面积之比为， 所以的面积为． 因为与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为， 所以的面积为． （3）由离心率相等可知椭圆的方程为， 如图，设直线MN的方程为的中点为．      由消去并整理得， 则，即， 由MN的中点在直线上，得，解得， 因此，而，解得， 椭圆中，短半轴长，半焦距， 所以椭圆的“焦顶三角形”的周长为 故椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围是． 51．某同学利用导数方法求出了过椭圆上一点的切线的方程为.事实上，法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的结论：给定一点和一条直线，将点和直线分别称为椭圆的极点和极线.一般地，当点在椭圆上时，极线为椭圆在点处的切线；当点在椭圆外时，极线为过从点作椭圆的两条切线的切点的弦所在的直线；当点在椭圆内时，极线在椭圆外且与椭圆没有公共点.请利用这些结论解决下列问题： (1)已知点和直线分别为椭圆的极点和极线， ①求极线的方程； ②若为极线上任意一点，过点作椭圆的割线交椭圆于两点，记所在直线的斜率依次为，求证：. (2)给定椭圆和点，过点作斜率为的直线和椭圆相交于两点，分别连接交于点，记和轴的交点依次为，，求证：为线段的中点. 【分析】（1）①由极点极线的定义可得极线方程；②利用齐次化可证； （2）利用（1）②的结论可证三点共线，从而可证为线段的中点. 【详解】（1）①因为，故在椭圆外，故极线为即直线的方程为. ②设，设直线的方程为：， 又椭圆方程可化为， 故， 由得： ， 设， 则（★） 故为（★）的两个解， 所以 因为过，故，故， 故 . （2） 由（1）可得椭圆的以点为极点的极线方程为， 故点在极线上，同样记，连接， 由（1）中的结论可知，，且， 故即三点共线， 如图所示，设， 则， 由（1）中②知，故， 故，故为线段的中点. 1．（2024·全国英才杯竞赛）已知（其中），在平面直角坐标系中，有一个动点，且.给定：，作，垂足为点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的参数方程得到，结合点到直线的距离公式和辅助角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 即在的椭圆上， 而由椭圆的参数方程得(是参数)， 所以，因为，所以为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式得， 由三角函数性质得当时，最大， 此时，故A正确. 故选：A 2．（第十四届全国“枫叶新希望杯”竞赛）已知过椭圆的焦点，的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部（不含边界），则此椭圆离心率的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可知以为直径的圆在椭圆的内部，可得，再根据，即可求得离心率的取值范围. 【详解】设过椭圆焦点，的两条互相垂直的直线的交点为P，即， ∴， ，即. 故选：B 3．（2025高二上·安徽·竞赛）函数与的图象在第一象限的公共点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个函数分别是双曲线和椭圆的上半部分，结合双曲线和椭圆的定义可得. 【详解】由函数，得，函数是双曲线的上半部分， 双曲线的焦点为，实半轴长为. 由函数，得，函数是椭圆的上半部分， 椭圆的焦点为，长半轴为. 因为公共点在第一象限， 由双曲线的定义得，由椭圆的定义得， 联立两式解得，所以. 因此. 4．（多选）（2024·山东泰安高二冬季竞赛）已知点是椭圆上一点，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．P点到轴的距离为 B． C．△的周长为 D．△的内切圆半径为 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程可求得的值，利用△的面积即可求出P点到轴的距离；利用平面向量的夹角公式判断的大小；根据椭圆的定义可以求出△的周长；利用内切圆的几何性质可以求出内切圆半径. 【详解】由已知条件得，，， 设，则，解得，则P点到轴的距离为，故 正确； 将代入得， 则， 则，且两向量所成角的范围为，则为锐角，故错误； 由椭圆的定义可知，， △的周长为，故正确； 设△的内切圆半径为，圆心为, 则 ，解得 ，故正确； 故选：.    5．（2024·全国“极光杯”竞赛）设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点，直线的斜率为，的斜率为2，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】由题意得，，由此可得点坐标（用表示），结合斜率公式即可得解. 【详解】不妨设，又，由题意，， 解得，所以. 6．（25-26高三下·北京大学·强基计划）已知椭圆，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，为坐标原点，则的最大值为________． 【答案】 【详解】由题意得，，，则，即，， 设，则， ， 因为，所以，即，， 所以的最大值为. 7．（2024·广东肇庆竞赛）设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义、勾股定理列方程，化简求得离心率. 【详解】因为，所以， 设，则，， 由椭圆定义得：，． 因为，所以， 即 得：，所以，， 在中，， 得：，即，故．    8．（2024·四川宜宾竞赛）已知、是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最短距离为 ． 【答案】1 【分析】根据等腰三角形三线合一性质可确定为中点，结合椭圆定义和三角形中位线性质可确定点轨迹为以为圆心，为半径的圆，进而确定当位于轴时取得最近距离. 【详解】由题意知： ， 设 的延长线交 的延长线于点 ， ， 为线段 中点， 由椭圆定义知： ， 分别为 和 中点， ， 点轨迹是以 为圆心，为半径的圆， 由椭圆方程知： 短轴端点为 ， 当点 在轴上时，其到临近的短轴端点的距离最近，最近距离为. 故答案为： 1 .    9．（2024·广西高二下竞赛）已知椭圆的焦点为，，M为椭圆上一点，，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由椭圆的定义及余弦定理得，，求解． 【详解】如图： 令，，， 则，． 在和中， 由余弦定理可得，． 故．（1） 在，中，由余弦定理可得 （2） 由可得．（3） 由（2）（3）可得，从而． 代入（1）可得，． 因此． 10．（2026高三下·山东·竞赛）若三角形三边长为5，2，4，则以三角形长为4的边的两端点为焦点且过另一顶点的椭圆的离心率为______________. 【答案】 【分析】以长为4的边的中点为原点，该边所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出椭圆中的即可得答案. 【详解】以长为4的边的中点为原点，该边所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设该椭圆的方程为， 半焦距， 于是有，， 故该椭圆的离心率. 11．（2024·北京大学强基计划）在离心率为的椭圆中，是两个焦点，是椭圆上一点，且，求. 【答案】 【分析】根据离心率确定，根据椭圆定义及求出，在中，由余弦定理求得，再计算面积即可. 【详解】由题意得，即， 由椭圆定义知，，又，所以， 在中，由余弦定理得，解得， 所以.    12．（2025·重庆竞赛）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点、、满足四边形为平行四边形，关于的对称点为.若、、、四点共圆，且直线过，求实数的值. 【分析】需要排除x轴的情况，假设，坐标并根据，坐标表示出，坐标，写出直线和直线方程，由、在椭圆上可得，设出中点，结合相交弦定理和平行四边形性质或者过、、、四点的圆的方程得到，联立直线的方程和椭圆方程并根据韦达定理得到，在椭圆上，将的坐标代入椭圆方程即可解得实数的值. 【详解】若轴，则由四边形为平行四边形及椭圆的对称性知，、为椭圆长轴两端点， 故若、、、四点共圆，则圆心必为，即圆以为直径， 而、又在椭圆上，显然矛盾，故轴的情况不存在，即直线的斜率存在. 设，，则，. 设（其中），并设，. 由、在椭圆上可得，从而. 法一： 设中点为，由相交弦定理和平行四边形性质有和，，故,即， 于是可得① 及②， 由、、在椭圆上可得，，③， 于是有④， 结合①③④可得， 代入②可得，结合可得， 联立得，由韦达定理知， 进而， 注意在椭圆上，于是有，即， 即，解得. 法二： 由于、、、四点均满足和， 故过、、、四点的圆的方程为， 考察项的系数可知，结合可得. （下同法一） 13．（2024·海南海口竞赛）已知椭圆 的上顶点与左顶点的距离为，离心率为，为轴上一点. (1)求椭圆方程; (2)连接交椭圆于点，过点作轴的垂线，交椭圆另一个点，求的取值范围. 【分析】（1）根据离心率与间距离列式求解即可； （2）连接交轴于点E，表示出、、的坐标，利用，列式求范围. 【详解】（1）由已知，，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）连接交轴于点E， ，的直线方程为，联立椭圆方程，有， 则，或，则点的横坐标为， 把带入中，求得点的纵坐标为， 所以点坐标为， 由于、关于轴对称，所以点坐标为， 因为、、共线，设，， 则，解得，所以点坐标为， ， ， ，，由对勾函数可知， 所以，， ，故. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的方程以及椭圆与直线的几何关系，关键在于点坐标的假设与求解，需要用的椭圆的对称性，进而表示出的面积再求解范围. 14．（2024·上海竞赛）求所有正整数，满足正边形能内接于平面直角坐标系中椭圆. 【分析】当较为容易，需要证明时没有满足条件得正多边形. 【详解】当时,正三角形、正方形均能内接于椭圆(如图所示). 下面证明:当时,不存在椭圆的内接正边形. 设椭圆的方程为,正边形的外接圆方程为 （1）若,联立 ,这是一个关于的二次方程,它至多有两个实数根, 再由得方程组至多有4组实数解. （2）若,则 于是 因此, 这是一个关于的4次方程,它至多有4个实数根, 再由得方程组(**)至多有4组实数解. 综上,椭圆与正边形的外接圆至多有4个公共点,即当时,不存在椭圆的内接正边形. 所以满足题意的正整数. 【点睛】关键点点睛：关键是选取正多边形的外接圆与椭圆方程联立，通过方程解的个数来研究交点的个数，由此即可顺利得解. 15．（2024·上海竞赛）在平面直角坐标系中，已知椭圆，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点. 若动点满足，求的最大值. 【答案】 【分析】先考虑的中点到原点的距离以及线段的长度，进而可将命题转化为求的最大值，最后可求出的最大值. 【详解】如图,记中点为，过点作轴的垂线，记垂足为， 因为点在以线段为直径的圆上,则 又,,即当点位于椭圆上时,取得最大值. 令,则点在椭圆上. 易知,等号成立时当且仅当. 于是椭圆上的点,除点外均在椭圆的内部. 综上所述,的最大值为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 椭圆定义及应用 题型10 椭圆的实际应用 题型02 椭圆的标准方程 题型11 与椭圆有关的数学文化 题型03 焦点三角形 题型12 中点弦及对称问题 题型04 轨迹方程 题型13 过定点问题 题型05 椭圆简单几何性质 题型14 定直线问题 题型06 求椭圆离心率 题型15 最值问题 题型07 求椭圆离心率的取值范围 题型16 参数取值范围问题 题型08由椭圆的离心率求参数范围 题型17 椭圆中的新定义问题 题型9椭圆中与距离相关的最值问题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 椭圆的定义及应用 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 2．把椭圆的长轴分为等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于个点，是椭圆的一个焦点，则这个点到的距离之和为（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ） A．4 B．8 C．12 D． ． 考点二 椭圆的标准方程 4．过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．“曲线表示椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知椭圆的焦距等于2，则其离心率的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 考点三 焦点三角形 7（多选题）．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，则下列说法正确的是（     ） A．若的最大值为5，最小值为1，则椭圆的离心率为 B．若，，则的面积为2 C．若，，，则内切圆的半径为 D．若，，则椭圆的离心率为 8（多选题）．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为4 B．不存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有四个 9（多选题）．已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．若 ，则的面积为 C．记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D．若M是圆 上任一点，则的最小值为 考点四 轨迹方程 10．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 12．动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 考点五 椭圆简单几何性质 13（多选题）．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 14（多选题）．已知椭圆上一点，、分别为左、右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则满足题意的点有四个 C．椭圆内接矩形周长的最大值为 D．若为钝角三角形，则 15（多选题）．如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线，对称 B．两个椭圆的离心率不相等 C．到，，，四点的距离之和为定值 D．曲线所围区域面积必小于36 考点六 求椭圆离心率 16．已知椭圆的右焦点为，左顶点为，点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 17．已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 18．已知椭圆的上、下顶点分别为，为坐标原点，过作直线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 考点七 求椭圆离心率的取值范围 19．已知为坐标原点，、、分别是椭圆：（）的右顶点、下顶点和左焦点，点在椭圆上，且．若，估计椭圆的离心率的值所在的区间为（   ） A． B． C． D． 20．设椭圆的左､右焦点分别为，且点与抛物线的焦点重合，点在的外部，点是上的动点，满足恒成立，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且.若椭圆上存在点，使得的外接圆直径为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点八 由椭圆的离心率求参数范围 22．椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．已知F是椭圆的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 24．如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 考点九 椭圆中与距离相关的最值问题 25．已知A、B是椭圆的左右顶点，P是C上任意一点，F是C的左焦点，圆，Q是圆E上任意一点，则的最大值为______． 26．设实数满足的最小值为_____. 27．已知点M在椭圆上运动，点N在圆上运动，则的最大值为_________． 考点十 椭圆的实际应用 28．小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率为_____（用表示）.    29．老张家的庭院形状如图，中间部分是矩形ABCD，（单位：m），一边是以CD为直径的半圆，另外一边是以AB为长轴的半个椭圆，且椭圆的一个顶点M到AB的距离是，要在庭院里种两棵树，想让两棵树距离尽量远，请你帮老张计算一下，这个庭院里相距最远的两点间距离是___________m． 30．如图，已知圆柱底面半径为1，母线长为8，球与圆柱侧面及上底面相切，球与圆柱侧面及下底面相切，平面与球、球均相切（球心、在平面两侧）.则平面截圆柱侧面所得椭圆的离心率为________. 考点十一 与椭圆有关的数学文化 31．如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球分别相切于椭圆的两个焦点.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点，此时.已知两个球的半径分别为1和3，椭圆的离心率为，则两个球的球心距离为__________. 32．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，且轨道II的右顶点为轨道I的中心.设椭圆I与II的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，则下列结论正确的有__________.    ① ② ③ ④椭圆II比椭圆I更扁 33．圆锥曲线具有奇妙的光学性质，例如：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点．某校科创小组设计了一个基于圆锥曲线光学性质的激光演示装置（如图所示）：由共焦点的椭圆和双曲线构成，其中与的离心率之比为．一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，历时秒；若将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，历时秒．则______．    考点十二 中点弦及对称问题 34．已知椭圆的离心率为，左顶点为. (1)求的标准方程； (2)设、两点在上，且线段的中点为. （i）当时，求直线的方程； （ii）当直线的斜率存在时，证明：直线与直线的斜率之积为定值. 35．已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N. (1)求C的方程； (2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. 36．已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，半焦距为，已知点在椭圆上，过点且斜率为整数的直线交椭圆的另一点为，线段的垂直平分线与轴交于点． (1)求椭圆的离心率； (2)求直线的斜率； (3)设关于轴的对称点为，直线交轴交于点，若的面积为，求椭圆的标准方程 考点十三 过定点问题 37．已知椭圆的离心率为，O为坐标原点，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线交椭圆C于M，N两点，过点M作直线的垂线，垂足为E． ①若的面积是的面积的两倍，求直线的方程； ②证明直线过定点． 38．动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记动点P的轨迹为C． (1)求C的标准方程； (2)已知点，点M，N在C上，直线，的斜率分别为，，且． （i）若，求的面积； （ii）证明：直线过定点． 39．已知椭圆（）经过点，两点，过点的直线与C交于M，N两点，且直线，与直线分别交于点P和点Q. (1)求C的方程； (2)求的面积的最大值； (3)证明：存在定点E，使得以为直径的圆恒过点E. 考点十四 定直线问题 40．已知椭圆的左、右顶点分别为点A，B，且，椭圆C离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的右焦点的直线l交椭圆C于M，N两点（异于A、B），直线，的交于点Q，求证：点Q在直线上． 41．已知椭圆 （>）的离心率为 A，B分别为椭圆C的上、下顶点，O为坐标原点，直线与椭圆C交于不同的两点P，Q. (1)设点M 为线段PQ的中点，证明：直线OM 与直线PQ的斜率之积为定值； (2)若时， ①求椭圆C的方程； ②证明：直线BP与直线AQ的交点D在定直线上. 42.．已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是的右焦点，是直线上的动点，且外接圆面积的最小值为. (1)求的方程. (2)过点，且不与轴重合的直线与交于，两点. （ⅰ）若的斜率为1，且的面积为，求点的坐标. （ⅱ）设直线与交于点，试判断是否在一条定直线上.若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 考点十五 最值问题 43．已知椭圆方程的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D. (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值. 44．已知椭圆：的离心率为，且与直线 有且只有一个公共点． (1)求的标准方程； (2)设一动直线不经过坐标原点，与交于，两点，且 ． （ⅰ）证明：点到直线的距离为定值； （ⅱ）求面积的最大值． 45．已知椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线：相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线，分别与相交于，两点． (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是、，求的最小值． 考点十六 参数取值范围问题 46．已知椭圆：（），其左焦点坐标为，且经过点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)设点，点在椭圆上，求的最大值和最小值； (3)点在直线上，过点且与平行的直线与椭圆交于，两点．试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由． 47．如图，已知椭圆的方程为，直线与椭圆交于两点（点在第一象限）．当时，在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．    (1)求的标准方程； (2)若轴于点，连接BM并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设，求的取值范围． 考点十七 椭圆中的新定义问题 49．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A，B为椭圆E：上的两个动点，动点P在直线上，若恒成立，则E的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 50．定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比. (1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (2)如图，已知椭圆，椭圆的离心率为与相似，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，k，S表示）；    (3)若椭圆，写出与椭圆相似且长半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围. 51．某同学利用导数方法求出了过椭圆上一点的切线的方程为.事实上，法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的结论：给定一点和一条直线，将点和直线分别称为椭圆的极点和极线.一般地，当点在椭圆上时，极线为椭圆在点处的切线；当点在椭圆外时，极线为过从点作椭圆的两条切线的切点的弦所在的直线；当点在椭圆内时，极线在椭圆外且与椭圆没有公共点.请利用这些结论解决下列问题： (1)已知点和直线分别为椭圆的极点和极线， ①求极线的方程； ②若为极线上任意一点，过点作椭圆的割线交椭圆于两点，记所在直线的斜率依次为，求证：. (2)给定椭圆和点，过点作斜率为的直线和椭圆相交于两点，分别连接交于点，记和轴的交点依次为，，求证：为线段的中点. 1．（2024·全国英才杯竞赛）已知（其中），在平面直角坐标系中，有一个动点，且.给定：，作，垂足为点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（第十四届全国“枫叶新希望杯”竞赛）已知过椭圆的焦点，的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部（不含边界），则此椭圆离心率的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 3．（2025高二上·安徽·竞赛）函数与的图象在第一象限的公共点为，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2024·山东泰安高二冬季竞赛）已知点是椭圆上一点，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．P点到轴的距离为 B． C．△的周长为 D．△的内切圆半径为 5．（2024·全国“极光杯”竞赛）设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点，直线的斜率为，的斜率为2，则的斜率为 ． 6．（25-26高三下·北京大学·强基计划）已知椭圆，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，为坐标原点，则的最大值为________． 7．（2024·广东肇庆竞赛）设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为 ． 8．（2024·四川宜宾竞赛）已知、是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最短距离为 ． 9．（2024·广西高二下竞赛）已知椭圆的焦点为，，M为椭圆上一点，，，则椭圆的离心率为 ． 10．（2026高三下·山东·竞赛）若三角形三边长为5，2，4，则以三角形长为4的边的两端点为焦点且过另一顶点的椭圆的离心率为______________. 11．（2024·北京大学强基计划）在离心率为的椭圆中，是两个焦点，是椭圆上一点，且，求. 12．（2025·重庆竞赛）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点、、满足四边形为平行四边形，关于的对称点为.若、、、四点共圆，且直线过，求实数的值. 13．（2024·海南海口竞赛）已知椭圆 的上顶点与左顶点的距离为，离心率为，为轴上一点. (1)求椭圆方程; (2)连接交椭圆于点，过点作轴的垂线，交椭圆另一个点，求的取值范围. 14．（2024·上海竞赛）求所有正整数，满足正边形能内接于平面直角坐标系中椭圆. 15．（2024·上海竞赛）在平面直角坐标系中，已知椭圆，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点. 若动点满足，求的最大值. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $