专题06 双曲线（竞赛培优专项训练）（竞赛培优专项训练，17大题型+强基、竞赛真题）高二数学人教A版全国通用

**基本信息** 双曲线专项训练系统覆盖17类核心题型，从基础概念到竞赛拓展，构建定义-性质-应用-创新的完整逻辑链，精选竞赛真题实现分层突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|定义/标准方程等4类|聚焦定义理解与方程构建|以双曲线定义为起点，推导标准方程，建立a,b,c关系| |几何性质|渐近线/离心率等3类|突出性质应用与参数计算|由方程特征延伸至渐近线、离心率，形成性质体系| |综合应用|焦点三角形/中点弦等6类|强调几何关系与代数运算|整合性质与直线位置关系，解决动态几何问题| |创新拓展|数学文化/新定义等4类|融合跨学科情境与创新题型|拓展至实际应用、光学性质等，培养数学眼光与思维|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06双曲线 目录 A组考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01双曲线的定义及应用 题型10与双曲线有关的数学文化 题型02双曲线的标准方程 题型11双曲线的光学性质 题型03双曲线中距离最值问题 题型12由直线与双曲线的位置关系求参 题型04双曲线的焦点三角形 题型13中点弦及对称问题 题型05与双曲线有关的点的轨迹 题型14定、定值问题 题型06双曲线的简单几何性质 题型15最值与参数取值范围问题 题型07双曲线的渐近线问题 题型16双曲线的切线问题 题型08双曲线的离心率问题 题型17与双曲线有关的新定义问题 题型9双曲线的实际应用 B组选拔真题冲奖练（精选各地竞赛、强基试题15道） 考点精研·竞赛考点专项攻坚 考点一双曲线的定义及应用 1.如果点M(飞，y)的坐标满足方程V2+(y-4}-x2+(+4)=8.则M的轨迹是（) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支D.射线 2.过双曲线2-上 8=1的右支上一点p’分别向圆C:(x+3)+y2=2和圆C,:(x-3}+y=1作切线，切 点分别为M、N,则PM-PN的最小值为() A.10 B.11 C.12 D.15 1122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.己知正方体ABCD-ABCD,点O是AC与B,D的交点，点P是直线A0上异于A的一点，点P是平 面CBD上的动点，满足直线PO与直线AO的夹角为3，则动点p的轨迹在( ) A.圆上B.椭圆上C.抛物线上D.双曲线上 考点二双曲线的标准方程 “k<-7”是“方程+32k+41表示双曲线”的( 4.“ ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 x2 y2 .x2y2 5.若双曲线G立衣-a>04>0和双曲线C云房-a,>06>0)的焦点相同，且4>4给出 下列四个结论： ①a-a好=b好-6： 24、6 ②ab ③双曲线C与双曲线C,一定没有公共点： ④a1+a2>b+b: 其中所有正确的结论序号是( ) A.①②B.①③C.②③D.①④ x2 y2 6,已知双曲线。京=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,点(2，⑤为双曲线右支上一点，以坐标 原点O为圆心，以OF为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点卫，同时点P在线段OF中垂线 上，则该双曲线的标准方程为() A2少=1B. 3 考点三双曲线中距离的最值问题 2/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.已知双由线E:千-二=10m>≥0)的右焦点为r6.0,A很2，P为E上一点，则P4+PF的最小伯为 4 m A.1B.2W10-4C.V10+2D.2V10+4 x2 y2 8.已知点p是双曲线36641的右支上一点，M'N分别是圆(x+10+y=4和(x-10+y2=1上的 点，则PM-PN的最大值为( A.12B.15C.16D.18 9。设点M是抛物线=16y的焦点，点F是双曲线r:r-号-1的左焦点，点Q是T上第一象限内的一动 点，则下列结论正确的是() A.|OF-|OM的最大值是25B.QF+M的最小值是25 C.F-|M的最大值是2√5+2D.lOF+QM的最小值是25+2 考点四双曲线的焦点三角形 10（多选题)，已知点p是双曲线E:。 :i69=1的右支上一点，F,乃为双曲线E的左、右焦点， △PFE2的面积为20，则下列说法正确的有( ) 0 0 A.点p的横坐标为3 B.△PFE的周长为3 C.∠EPE,小于3 D.△PEE的内切圆半径为3 1多选园)，已知双面线C:号若-1的左，右焦点为：尽，友P为C石支上动点，则下列说法正雅 的是( 3/22 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 xy A.双曲线C与双曲线9-4 =-1有不相等的离心率 B.若PF=2PF,则△PFE的周长为18+2√3 C.若PF IPF,则△PFE的面积为2 D.若M为圆E(x+3+y2=1上一点，则PM-PE的最大值为7 x2 y2 12.已知双曲线。61的左、右焦点分别是F,写 (I)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离： (②)如图，若P是双曲线左支上的点，且∠FPF,=60°，求△FPF的面积 考点五与双曲线有关的点的轨迹 4/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.过点M作直线y=2x和直线y=-2x的垂线，垂足分别为点A,B,当点A,B分别在第一象限与第二 象限，点M在两直线夹成的上方区域内，且M4MB=4时，则点M的轨迹方程是( =1 Q.号0e2D.0若0≥25 14.己知P是圆F:(x+3)+y=16上的一动点，点F(3,0),线段P5的垂直平分线交直线PF于点Q, 则Q点的轨迹方程为( A.号=1B. x2 y -=1 54 15.已知以点M为圆心的动圆经过点F(-3,0),且与圆心为E的圆(x-3+y=12相切，记点M的轨迹 为曲线C,则曲线C的方程为一· 考点六双曲线的简单几何性质 16(多选题)·双曲线C: :。尺1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为耳、B,左、右顶点分别为4,4，： 以F5为直径的圆与C的一条新近线交于M,N两点，且ZW4M一，则（了 A.∠44-若B.M4=2M4 C.C的离心率为V3D.当a=V2时，四边形NAMA的面积为8V5 √7 (多选题)，已知双曲线C:三-？=1(>0)的离心率为2，F,E分别是左、右焦点，M是该双曲 右支上一点，点V满足ON=(O丽+OM),N派.而=0，则下列结论正确的为() A.双曲线的实轴长为4B.WE-WO=1 5/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.△FME的面积为3D.MF+MF=210 18（多选题)，已知p是双曲线C:片 :京F=1a>0,b>0)上一点，且在x轴上方，F,F分别是双曲线 的左、右焦点，F=12,直线PF的斜率为4V3,△PFB的面积为24V5,则下列结论中正确的是 A.双曲线C的离心率e-3 x2 y2 B.双曲线c的方程为9271 C.|PF=10 D.双曲线C的渐近线方程为y=±V3x 考点七双曲线的渐近线问题 Q>06>0的右焦点为p,过p作p的一条精近线的基线， △FOH的内切圆与E的实轴切于点B,且OB=BF,则E的渐近线方程是( ) A.y=±√2x或y=±xB.y=±√2x或y=2x .3 =或y=xD.y x2 y2 20,已知双曲线。尔=1(a>0,b>0)的左、有焦点分别为P1和2，有顶点为A,过点A作斜率为 3v3 的直线L,点M在直线1上，若∠MF1F2=120,△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为 ) A8=±8，n,Dtg -x 2 2 21.已知双曲线C: :。方=1(@>0,6>0)的左、右焦点分别为F,B,过点F的直线，垂直于c的一条渐 近线，且与C的左、右两支分别交于点A,B,若4B=4,则C的渐近线方程为() 6/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.y=±1+V3)x B.y=±(2+V2)x C.y=+v6x D.y=±V5x 考点八双曲线的离心率问题 x2 y 22.己知双曲线C:京尔1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,过E的直线与c的右支交于A'B 两点，若OAHOF1,IBE,上2AEl,则C的离心率为() .c. 3 3 3 3.双曲线C:父a>0,b>0的左右焦点分别为F(仁-c,0,EC,0),以c的实轴为直径的圆 D,过F作D的切线与曲线C在第一象限交于点P,且Srs=42,则曲线C的离心率为() A.5+1 2 B.5C.5-1D.5 x y2 24.已知双曲线京存1（a>0:b>0)的左右顶点分别为A,B,右焦点为E.点p是双曲线右支上 异于点B的任意一点，直线p4与直线x=的交点为Q,若PF=P4小Pg,则双曲线的离心率。 ) A.3 B.2 C.5 D.3 考点九双曲线的实际应用 25.祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原 理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”·某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常 用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）·现有某火电厂的冷却塔设计图 纸。其外形的双自线方程为-苦1(25)1)，内部座线为该双我的浙近线.则该同学利用“担 暅原理”算得此冷却塔的体积为 7122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明如图1，在一个圆锥中放入两个球，使得它们都与圆锥 面相切，一个平面过圆锥母线上的点P且与两个球都相切，切点分别记为，B这个平面截圆锥面得到交 线C,M是C上任意一点，过点M的母线与两个球分别相切于点G,H,因此有 ME+ME=MG+MH=GH,而GH是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线C是一个椭圆， 如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，己知这两个圆锥的母线与 轴夹角的正切值为3，球的半径为4，平面。与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于A,B两点，记平面。~ 与圆锥侧面相交所得曲线为C,则曲线C的离心率为 图1 图2 27.如图，B地在A地的正东方向，相距4km;C地在B地的北偏东30°方向，相距2km,河流沿岸PQ (曲线)上任意一点到A的距离比它到B的距离远km,现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A、 B、C三地转运货物.经测算，从M到A、B两地修建公路费用都是I0万元km,从M到C修建公路的费 用为20万元km,选择合适的点M,可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是万元（精确 到0.01) 8122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 30° 考点十与双曲线有关的数学文化题 28.阿波罗尼斯（约公元前262年一约公元前190年）提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学 性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已 x2 y2 √10 知双曲线C:京京=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F?F:其离心率2，从万发出的光线经过双 曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP,若反射光线与入射光线垂直，则tn∠F,FE= 1 A.6 D.3 29. 我们把离心率e=5+1 x2 y2 2的双曲线。=1a>0,b>0)称为黄金双曲线，给出以下几个说法 ①双曲线x2-2 5+1 =1是黄金双曲线； ②若b=ac,则该双曲线是黄金双曲线： ③若F,B为左右焦点，A,4,为左右顶点，B(0,b),B,(0,-b)且∠FB,4,=90°，则该双曲线是黄金双曲线： ④若MN经过右焦点E且MN⊥FF,∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确命题的序号为 30.在平面上给定相异两点A,B,设点P在同一平面上且满足PB EP附=人，当>0且无时，P点的轨迹 是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆现有双曲线 二=1(Q>0,b>0,F,E分别为双曲线的左，右焦点，A,B为双曲线虚轴的上下端点，动点P满足 9122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 IPBI=2 IPAI AP4B面积的最大值为4点M,N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线 QM和QN的斜率满足kow·k2v=3,则双曲线方程是 -;过F的直线与双曲线右支交于 C,D两点（其中C点在第一象限，设点M、N分别为△CFE,、△DFE的内心，则MW的范围是 考点十一双曲线的光学性质 31.在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲 线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.如图，已知双曲线的离心率为2，则 当入射光线F,P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），Cos∠FEP的值为() A.5+1 B.5-1 C.5+1 D.5-1 4 32.圆锥曲线因其特殊的形状而存在着特殊的光学性质，我们知道，抛物线的光学性质是平行于抛物线对称 轴的光线经抛物线反射后汇聚于其焦点；双曲线的光学性质是从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反 射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上·卡式望远镜就是应用这些性质设计的下图 为卡式望远镜的中心截面示意图，其主要由两块反射镜组成，主镜是中央开孔的凹抛物面镜C,副镜是双 曲线左支的旋转面型凸双曲面镜D,主镜对应抛物线的顶点与副镜对应双曲线的中心重合，当平行光线投 射到主镜上时，经过主镜反射，将汇聚到主镜的焦点处，但光线尚未汇聚时，又受到以为焦点的凸双 曲面镜的反射，穿过主镜中心的开孔后汇聚于另一个焦点处.以F的中点为原点，FF为x轴，建立平 面直角坐标系若FF=4米，凹抛物面镜的口径4B为8(N5-)米，凸双曲面镜的口径MN为1米，要使 副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜C的中央孔洞，则孔洞直径最小为 米 10/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 33.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的 x2 y2 反向延长线经过双曲线的左焦点，若双曲线E:一厅1（a>0'b>0)的左、右焦点分别为F:F: 从R发出的光线经过图2中的A,B两点反射后，分别经过点C和D,且an∠CAB=- 12'AB⊥BD,则 双曲线E的离心率为 图1 图2 考点十二由直线与双曲线的位置关系求参 34.如果直线y=x-1与双曲线x2-y2=4的右支有两个公共点，求k的取值范围( A.1<<5B,-5<k5 2 2 2 c5<<-1D.5 2 2 k<1 35.己知曲线C的方程是x-=1.设过点A,0)的直线1的倾斜角为α，若直线1与曲线C恰有3个 不同的交点，则tanc的取值范围是( (✉9)〔c别 U() 11/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 36.已知双曲线C:- 京京-1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,B,浙近线方程为y=士5x·过的直 线与C交于A,B两点，且当ABLx轴时，S△5=12」 (1)求C的方程： (2)设直线1与双曲线C交于P,Q两点(P,Q位于y轴同侧)，若以线段PQ为直径的圆D经过坐标原点O, 试判断圆D的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，说明理由 考点十三中点弦及对称问题 37.已知双曲线C:￡罗 :立京=1（a>0'6>0),斜率为1的直线I与双曲线C的两支分别交于M,N两点， 且M,N的中点为GL,3),若右顶点A在以线段MN为直径的圆内，则此双曲线的实半轴a的取值范围是 () A0<a<1 B.1<a<2 c.a>1 D.a>2 38如图。设双曲线C:r-号-1的左顶点为点p直线：y:tm与双前线C相交于A、B丙点，且 A、B两点均异于点P. 12/22 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求点P的坐标，及双曲线C的离心率： (②)若线段AB的中点为M(2,1),求直线I的方程： (3)若以线段AB为直径的圆恒过点P,试判断直线I是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过 定点，请说明理由 9,已知双间线C号若1的在轴长为4：R,B分别是c的、右货点 (1)求C的渐近线方程. (2)若P是C的右支上一点，且PF+PF=4W2,求|PF. (3)是否存在直线1，使得直线1与C交于A,B两点，且弦4B的中点为(N2,2)?若存在，求1的倾斜角： 若不存在，请说明理由. 考点十四定点、定值问题 。尔=1a>0,b>0)经过M 40.已知双曲线C:-y 43 31 N4-3)两点， 13/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求C的方程； (2)若直线I:y=ax+b交C于P,Q两点，点A(4,3)(异于点P,Q),∠PA0的平分线与x轴垂直，求证： 1的倾斜角为定值. 41.已知双曲线C:x2- 3=1的右顶点为4'左焦点为F,过点F且斜率为2的直线1与双曲线c的左支 交于D,E两点，P为双曲线C右支上的一动点： (1)求双曲线C的实轴长与离心率； (2)求△DEP面积的最小值； (3)设直线2与双曲线C交于M,N两点，且AM⊥AN.证明：直线2过定点： 42.己知圆E:(x+3)}+y2=16和定点F(3,0),动点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线与直线 PE交于点Q,设曲线「为点Q的轨迹， (1)求曲线「的方程： (②)设R(O,2),斜率为k(k≠0)的直线1与曲线Γ交于A,B两点，直线AR,BR分别与曲线「交于C,D 两点： (i)若直线AR,BR的斜率之和为O,证明：直线AB过定点： (ⅱ)若k=2,证明：直线CD过定点. 14/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点十五最值与参数取值范围问题 3,已知效线：-行-1，过点BL0的百袋与T的上、下两支分别交点MX (I)若点P是T上的动点，求PB的最小值： (2)设O为坐标原点，直线OM,ON的斜率分别为k,k2, 1+=0,求直线的方程： (i)若kk2 11 (i)求飞+k的取值范围. 包知双曲线C。a>0,b>0的右焦点为e,左顶点为4：h3,国O:r+yp片 圆O上点的距离的最大值为3. (1)求C的方程： (2)已知过点F的直线与C的右支交于S,T两点，直线AS,AT分别交圆O的另一点于M,N. (i)证明：AS⊥AT; 1 (i)记四边形MNTS的面积为S,AAMN的面积为S,求S,的最小值. 15/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 45.己知双曲线「：x2-y=1,过点M(m,0)的直线1与双曲线厂交于A、B两点 (1)若m=2,且直线1垂直于x轴，求4B: (2)若m=3,设A在第一象限，双曲线的左顶点为C,若△ACM为等腰三角形，求点A的横坐标； (3)若m>0,F,F分别为双曲线Γ的左右焦点，点A是点A关于x轴对称的点，若存在直线I使得 FA·FB=0,求实数m的取值范围. 考点十六双曲线的切线问题 6.已知曲线C:x+y=3和曲线C)+ (I)若曲线C上两个不同点A、B的横坐标分别为x,x,求证：直线AB的方程：y=-(:+x)x+x2+3: (2)若直线上y=+m与曲线C2相切，求证：m2=2k2+1; (3)若曲线C上任意点P向曲线C,引两条切线交C于另两点为QR,求证：直线QR与曲线C相切： 16/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .已知双曲数c长a>0,6>0过点2,8,2.3 (1)求双曲线C的渐近线方程。 xx_y以=1. (2)若过双曲线C上的动点P(,)作一条切线L,证明：直线1的方程为a-6 (3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A,B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积. 48,已知双曲线C: 。厅1（a>0'b>0)的两条渐近线互相垂直，右焦点F到渐近线的距离为1. (1)求C的方程 (2)设A为C上一动点，C在点A处的切线为1，过点F作I的垂线，垂足为P. ()证明：点P到原点O的距离为定值： (i)当点P与A不重合时，过点P作C的另一条切线，切点为B,直线AB与两坐标轴的交点分别为M, N,求MN的最小值 考点十七与双曲线有关的新定义题 17/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x'=xcosa-ysina 49.在平面直角坐标系xO中，将点P(x,y)绕原点o按逆时针旋转。角，利用公式y=xsina+ycosa' 3π 可得到点P'(x,y),现将双曲线y=2绕原点o按逆时针旋转4得到双曲线C, (1)求双曲线C的标准方程： (2)以双曲线C的右顶点为圆心作半径为1的圆M,直线：3x+4y-3=0与圆M相交于A,B两点，求 4B: (3)在(2)的条件下，H是圆N:(x+4+y=4上的动点，求AHAB面积的取值范围。 50.在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，变成另一点A,如此产生的变换称为 平面上的旋转变换，已知点A(a,b)绕原点逆时针旋转0后得点A(a,b),且旋转变换的表达式为 [a'=acos0-bsin0 b'=asin0+bcos0' 曲线的旋转变换也如此. 3 (1)将点A山，)绕原点逆时针旋转4得到点，求点A坐标： (2)已知曲线C:y= 绕原点逆时针旋转买得到曲线C (i)求曲线C的方程： (ⅱ)P为曲线C上一点，P不在x轴上，过P作PB⊥PD交曲线C于B,D两点，求证：BD与曲线C在P 点处的切线垂直. 51.在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称1为多 的一条“等线”，双曲线E:片a>0,6>0的左、有焦点分别为F、E,其离心率为) 点P为双曲线E右支上一动点，直线m与曲线E相切于点P,且与E的渐近线交于A、B两点，且点A在 18/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点。上方.当PE⊥抽时，直线v为APFE的等线.已知双曲线E:等-发O>06>0)在其上且 P化，)处的切线方程为-岁-1 (1)求双曲线E的方程； (②)若y=V2x是四边形AFBF的等线，求四边形AEBF的面积； ⊙)已知O为坐标隙点，设OG-OP,点G的轨迹为曲线T,证明：r在点G处的切线n为。45的等线。 B 实战进阶·竞赛选拔模拟特训 1.(2024全国“极光杯”竞赛)（多选题）设双曲线C:x2-3y2=1,则( A.C的实轴长为2 B.C的焦距为4 19/22 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.C的离心率为2 D.C的渐近线方程为x±V3y=0 国鱼塘杯”充泰)改焦距相同的椭圆C+少口和双曲线G,:丁a 别位于第一象限、第二象限的A,B两点，两圆锥曲线的公共左焦点为F,则FAP-FBP的值是 A.√2 B.2W2 C.4√2 D.8√2 3.(2026高二下·全国·竞赛)已知双曲线「的左，右焦点分别为F,F.以厂的实轴为直径作圆2，又 3 过R作Q的切线交r的右支于点p若cos∠FPB=亏，则r的离心率为 4.(2026高三下·新疆·竞赛)已知0为坐标原点，曲线C:x2-y2=2与曲线C,:y=2pr交于点M,N, 若△OMN的外接圆经过点P(3,O),则曲线C,的方程为 5.(2024全国集英苑冬季联赛)椭圆 +少=1经过双曲线x2-y='(a>0)的焦点，则a=一 2 6.(2025高三下·重庆·竞赛)已知双曲线的左、右焦点分别为F,F,若过点F的直线与双曲线交于 A,B两点，且∠AEE,=30°，F4=FB,则双曲线的离心率为 x2 y2 7.(2024清华大学强基计划)双曲线C:~存=1，斜率为1的直线1交C于A,B两点，D为C上另 一点，AD⊥BD,△AOD,△BOD重心分别为P,Q,△ABD外心为M,若om~kogo=-8,则双曲线 的离心率为 8.(2024南京大学强基计划)双曲线 x2 y2 一户=1，过左、右焦点作平行于y轴的直线交双曲线于A,B, C,D,若ABCD构成正方形，求双曲线的离心率为 9.(2025:重庆高中数学联赛初赛)已知双曲线的左、右焦点分别为乃，，若过点的直线与双曲线交于 20/22 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A,B两点，且∠AR=30°，B4=BB叫，则双曲线的离心率为」 11.(2024广东肇庆能力竞赛)已知双曲线C: 京存=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为g,乃，过 EP FO 点作倾斜角为的直线I与C的左、右两支分别交于点P,O,若 EP-F0)=0,则C F 30° EP 的离心率为一 x v 12.(2024山东秦安冬季竞赛)已知1为双曲线C:京不=1(a>0,b>0)的左顶点，PF为双曲线C的右 焦点，以实轴长为直径的圆交其中一条渐近线于点P(点P在第二象限)，PA平行于另一条渐近线，且 S。oPA=V5,则PP=一 13.（2025高二上·安徽·竟春)双曲线r: 京京=1(a>0,b>0)经过点P2,3Q7,12 (1)求双曲线「的渐近线方程： (②)双曲线Γ的右焦点为F,经过F的直线I与「的右支交于两点A,B(不同于点Q),设直线AQ,AB, BQ的斜率分别为k,k2,k3,若k+k3=2k2,求k2的值. 42024贵州贵阳圆调率”竞)已知双曲线8->0的中心为原点O:左、右焦点分别 3v5 a 为R、R,离心率为5，点p是直线x=3上任意一点，点Q在双曲线g上，且满足P网Q=0 (1)求实数a的值： 21/22 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：直线P9与直线O9的斜率之积是定值： (3)若点P的纵坐标为1，过点P作动直线I与双曲线右支交于不同的两点M、N,在线段N上去异于 PMMH 点MN的点a'满足PNN, 证明点恒在一条定直线上 东肇庆能力竞赛)已知双曲线的左、右焦点分别为F(-2,0）'飞20)，古 线E上. (1)求E的方程： (2)过乃作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交A,C两点和B,D两点，求四边形ABCD面积 的最小值. 22/22 专题06 双曲线 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 双曲线的定义及应用 题型10 与双曲线有关的数学文化 题型02 双曲线的标准方程 题型11 双曲线的光学性质 题型03 双曲线中距离最值问题 题型12 由直线与双曲线的位置关系求参 题型04 双曲线的焦点三角形 题型13 中点弦及对称问题 题型05 与双曲线有关的点的轨迹 题型14 定、定值问题 题型06 双曲线的简单几何性质 题型15 最值与参数取值范围问题 题型07 双曲线的渐近线问题 题型16 双曲线的切线问题 题型08双曲线的离心率问题 题型17 与双曲线有关的新定义问题 题型9双曲线的实际应用 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 双曲线的定义及应用 1．如果点的坐标满足方程，则的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．射线 【答案】D 【分析】根据所给方程的几何意义分析点的轨迹. 【详解】设，则. 由题可知，， 所以点的轨迹是射线. 故选：D. 2．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 3．已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（    ） A．圆上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上 【答案】D 【分析】由题意得在以为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为，进一步即可求解. 【详解】直线与直线的夹角为，则在以为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为， 因为平面，所以动点的轨迹在双曲线上. 故选：D. 考点二 双曲线的标准方程 4．“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】方程表示双曲线，即，解不等式即可判断. 【详解】若方程表示双曲线， 则，解得或， 因为或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A. 5．若双曲线和双曲线的焦点相同，且给出下列四个结论： ①；   ②； ③双曲线与双曲线一定没有公共点；   ④； 其中所有正确的结论序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】对于①，根据双曲线的焦点相同，可知焦距相同，可判断；对于②，举反例可说明；对于③，根据可推得，继而推得，可判断双曲线与双曲线一定没有公共点；对于④，举反例可判断. 【详解】对于①：∵两双曲线的焦点相同，∴焦距相同， ∴，即，故①正确； 对于②：若，，，，则，故②错误； 对于③：∵，∴，∴ ，即， 即，双曲线与双曲线一定没有公共点，故③正确； 对于④：∵，∴， ∵且，∴ ， 若，，，，则，故④错误. 故选：B 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知是等边三角形，进而可知双曲线浙近线的倾斜角为，进而得到的关系，再将点代入双曲线方程求解即可. 【详解】如图，根据圆的性质可知． 又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形， 故双曲线浙近线的倾斜角为． 所以，即，则双曲线方程为． 将点代入双曲线方程，得，解得， 则双曲线方程为， 故选：C． 考点三 双曲线中距离的最值问题 7．已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标可求，结合双曲线的定义可得答案. 【详解】因为右焦点为，所以，即； 设双曲线的左焦点为，则；由双曲线的定义得， 所以，当三点共线时，有最小值， 最小值为，所以的最小值为. 8．已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 9．设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上第一象限内的一动点，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】D 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与双曲线的焦点坐标及渐近线方程，可判断直线与双曲线第一象限部分无交点，即可判断A、C，再由双曲线的定义判断B、D. 【详解】如图，由点是抛物线的焦点，故， 由双曲线知，则，故，右焦点， 所以，又双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线第一象限部分无交点，故，故A，C错误； 由双曲线的定义，， 所以， 即点运动到线段与双曲线的交点时，有最小值，故B错误，D正确． 故选：D． 考点四 双曲线的焦点三角形 10(多选题)．已知点是双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．小于 D．的内切圆半径为 【答案】ABC 【分析】A.设出的坐标，通过的面积求出的纵坐标，再代入双曲线方程求出的横坐标； B.由两点距离公式求解距离，再得出的周长；C.由余弦定理求出的范围，作出判断；D.由面积，求出内切圆的半径. 【详解】由双曲线得，，，焦点 ，，焦距 . A.设 ，由面积公式： , 即，得 ，将 代入双曲线方程： ，得， 因 在右支，，故 ，所以A正确； B. 由，. 所以的周长是 ，所以B正确； C. 由余弦定理：, 因余弦函数在 单调递减，故 ，所以C正确； D. 设的内切圆半径为，则， 所以，所以D错误. 11．（多选题）已知双曲线的左､右焦点为､，点P为C右支上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C与双曲线有不相等的离心率 B．若，则的周长为 C．若则的面积为2 D．若为圆上一点，则的最大值为7 【答案】ABD 【分析】直接求解离心率判断A；结合双曲线的定义求解即可判断B；设，则，结合勾股定理得，再求解面积判断C；根据题意得为双曲线的左焦点，再结合双曲线的定义求解即可. 【详解】对于A：双曲线，离心率为； 双曲线的离心率为，故A正确； 对于B：由题意得，， 由双曲线的定义得，，故的周长为，故B正确； 对于C：在右支上，设，则， 因为，所以，解得（负值舍去）， 所以的面积为，故C错误； 对于D：圆的圆心的坐标为，半径为1， 易知为双曲线的左焦点；故， 则， 当为线段的延长线与圆的交点时等号成立， 所以的最大值为7，故D正确. 12．已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 【详解】（1）双曲线的标准方程为， 故，，， 由双曲线的定义得， 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M到另一个焦点的距离等于x， 则，解得或. 故点M到另一个焦点的距离为10或22. （2）由双曲线的定义和余弦定理得， ， 所以， 所以， 所以. 考点五 与双曲线有关的点的轨迹 13．过点M作直线和直线的垂线，垂足分别为点A，B，当点A，B分别在第一象限与第二象限，点在两直线夹成的上方区域内，且时，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设．点到直线，即的距离为， 点到直线，即的距离为， 由，得 因为点在两直线夹角的上方区域内，所以 因此 于是，整理得 又由可知该轨迹为上支，故 所以点的轨迹方程为 14．已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意有，从而有，根据双曲线的定义得点的轨迹为是以F1、F2为焦点的双曲线．再写出其方程即可. 【详解】如图所示： ∵是圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点， ∴，， ∵是圆上一动点，∴，∴， ∴，，， ∴点的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且，，得， ∴点的轨迹方程为. 故选：C. 15．已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】． 【详解】圆的圆心为，半径． 动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以 所以点M在以，为焦点的双曲线上，可设双曲线方程为， 则，，所以，所以曲线C的方程是． 考点六 双曲线的简单几何性质 16．（多选题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 17．（多选题）已知双曲线的离心率为，分别是左、右焦点，是该双曲线右支上一点，点满足，则下列结论正确的为（   ） A．双曲线的实轴长为 B． C．的面积为 D． 【答案】ACD 【分析】A：根据离心率和可求出，则实轴长可知；B：根据向量关系判断出的位置，结合双曲线定义可求；C：根据双曲线定义以及勾股定理可求，则的面积可求；D：根据可求结果. 【详解】因为，解得，所以实轴长为，故A正确； 因为，所以为的中点且， 又因为为的中点，所以， 所以，故B错误； 因为，可得， 所以，故C正确； 因为， 所以，故D正确； 故选：ACD.    18．（多选题）已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的方程为 C． D．双曲线的渐近线方程为 【答案】BD 【分析】先由焦距得的值，结合三角形面积求得点的纵坐标，再由直线的斜率求得点的横坐标，利用双曲线定义及的关系求得的值，再逐一验证各选项即可. 【详解】∵ 分别是双曲线的左、右焦点，， ∴ ，即. 设点，， ∵的面积为， ∴ ，即，解得. ∵ 直线的斜率为， ∴ ，代入，得，解得，即.    ∵ 在双曲线上，由双曲线定义得， 计算得，， ∴，即. 又， 对于A选项，双曲线离心率，故A错误. 对于B选项，双曲线C的方程为，故B正确. 对于C选项，，故C错误. 对于D选项，双曲线渐近线方程为，故D正确. 考点七 双曲线的渐近线问题 19．设双曲线：的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与的实轴切于点，且，则的渐近线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】首先求出线段的长度，再利用已知相切关系得到是等腰直角三角形，借助三线合一即可求出答案. 【详解】 因为双曲线的右焦点，渐近线方程是, 令渐近线的方程是, 所以到渐近线的距离, 因为,所以是的中点，又因为内切圆与三角形相切，所以, 又因为,所以是等腰直角三角形，所以, 同理，渐近线的方程是时,, 所以则的渐近线方程是. 20．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，右顶点为A，过点A作斜率为的直线l，点M在直线l上，若∠MF1F2＝120°，△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先写出直线的方程，然后根据平面几何知识求出点，最后把点的坐标代入直线的方程，进而求得的关系即可求解. 【详解】双曲线左焦点，右焦点，右顶点，， 直线的方程为， 因为为等腰三角形， 为钝角， 因此等腰三角形中只能是， 直线的倾斜角为，斜率为， 设，，， 即，在直线上，代入直线方程， 整理得 . . 所以双曲线的渐近线方程为. 21．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由题意可得，由余弦定理化简得，求得即可. 【详解】由，可得，连接，则． 设双曲线的渐近线方程为，即，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离为， 因为垂直于的一条渐近线，所以． 在中，由余弦定理可得， 即，化简整理得， 解得或（舍去），故的渐近线方程为． 故选：A. 考点八 双曲线的离心率问题 22．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，设，结合双曲线的定义，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得，进而可解. 【详解】设，则，， 由双曲线定义可知，，， 因为，所以是直角三角形，即， 所以是直角三角形， 所以，即， 化简可得，所以， 在中有， 即，化简可得， 所以的离心率为. 23．双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设切点为，，连接， 则，， 过点作⊥轴于点E， 则，故， 因为，解得， 由双曲线定义得，所以， 在中，由余弦定理得， 化简得，所以，解得，所以离心率. 故选：B 24．已知双曲线（，）的左右顶点分别为A，B，右焦点为F．点是双曲线右支上异于点B的任意一点，直线与直线的交点为Q，若，则双曲线的离心率（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题直接计算的话，计算量比较大，由题意，可利用点取特殊位置（点在双曲线右支上且在第一象限且使得直线垂直于轴），进一步求出各点坐标，根据已知条件，结合双曲线的基本性质和离心率公式，建立关于和的方程，解得，即离心率. 【详解】由题意得，、、，. 因为点是双曲线右支上异于点B的任意一点， 当点在第一象限且直线垂直于轴时，有. ，直线的方程为：. 将代入直线的方程，得，即. 所以，，. ， ， ， 由得， ， ， ， ，化简得，，因为，所以，，即. 考点九 双曲线的实际应用 25．祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为____________．    【答案】 【分析】由直线，其中，分别联立方程组和，求得的坐标，进而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同，利用圆柱的体积公式，即可求解 【详解】如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为， 由直线，其中，    联立方程组，解得， 联立方程组，解得， 所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为， 根据“幂势既同，则积不容异”， 可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同， 所以该几何体的体积为. 故答案为：. 26.比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1，在一个圆锥中放入两个球，使得它们都与圆锥面相切，一个平面过圆锥母线上的点且与两个球都相切，切点分别记为.这个平面截圆锥面得到交线是上任意一点，过点的母线与两个球分别相切于点，因此有，而是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线是一个椭圆.如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为，球的半径为4，平面与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于两点，记平面与圆锥侧面相交所得曲线为，则曲线的离心率为__________. 【答案】/ 【分析】根据矩形的性质求出，由题意求出，根据旦德林双球模型和双曲线定义可得，求出a、c即可 【详解】如图，是圆锥与球的切点，是球心，P是截口上任一点， 连接，则，所以，， 所以是矩形， 连接，则， 因为圆锥的母线与轴夹角的正切值为，即， 所以， 根据对称性得 , 所以，故两圆的公切线长为6 连接，PA，OP，设OP与球的切线交于K，与球的切线交于H，则， 所以 ，得， 在中，， 所以，得 曲线的离心率为 故答案为： 27．如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从M到A、B两地修建公路费用都是10万元/km，从M到C修建公路的费用为20万元/km．选择合适的点M，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是 万元（精确到0.01） 【答案】85.83 【分析】由题意根据双曲线定义确定M轨迹，再由双曲线定义结合图象当三点共线时求出最小值. 【详解】以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图所示： ，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支. 故，，，，故轨迹方程为：. 由题意修建的三条公路总费用 ， 由图形可知，当三点共线，即在点处时，有最小值， 由题意，所以， 所以. 考点十 与双曲线有关的数学文化题 28．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论． 【详解】设，，，由题意知，，， 所以，，， 所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则， 则. 故选：C. 29．我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线，给出以下几个说法 ①双曲线是黄金双曲线； ②若，则该双曲线是黄金双曲线； ③若为左右焦点，为左右顶点，且，则该双曲线是黄金双曲线； ④若经过右焦点且，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为__________． 【答案】①②③④ 【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，分别求得双曲线的离心率，即可得到答案. 【详解】①中，双曲线中，可得， 所以双曲线是黄金双曲线，所以①正确； ②中，由，可得， 所以，解得或（舍去）， 所以该双曲线为黄金双曲线，所以②正确； ③中，由为双曲线的左右焦点，为左右顶点，， 因为，可得，即， 整理得，由②知，该该双曲线是黄金双曲线，所以③正确； ④中，如图所示，经过右焦点，且，， 所以，所以，可得， 由②知，该该双曲线是黄金双曲线，所以④正确. 故答案为：①②③④.    30．在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足，当 且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线， 分别为双曲线的左､右焦点，A，B为双曲线虚轴的上､下端点，动点P满足， 面积的最大值为4.点M，N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线和的斜率满足 ，则双曲线方程是 ______________ ；过的直线与双曲线右支交于C，D两点(其中C点在第一象限)，设点､分别为 ､的内心，则的范围是 ____________ . 【答案】 【分析】设，根据，求得，结合的最大面积得到，再根据，得出，设边上的切点分别为，根据内心的性质，得到轴，设直线的倾斜角为，在中，得到，进而求得的取值范围. 【详解】设， 由题意知，可得，即， 整理得，可得圆心为，半径， 所以的最大面积为，解得，即， 设，则， 则，可得，同理 则，则， 整理得，所以双曲线的方程为. 如图所示，设边上的切点分别为， 则横坐标相等，则， 由，即，即， 即，即点的横坐标为，则， 于是，可得， 同样内心的横坐标也为，则轴， 设直线的倾斜角为，则， 在中， ， 由双曲线的方程，可得，则， 可得， 又由直线为双曲线右支上的点，且渐近线的斜率为，倾斜角为， 可得，即， 可得的取值范围是. 故答案为：；. 考点十一 双曲线的光学性质 31．在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，，不妨设双曲线的标准方程为，，结合双曲线的定义和勾股定理求出m，即可求解. 【详解】因为，所以，得， 不妨设双曲线的标准方程为，设，则． 所以，解得或（舍去）． 所以． 故选：D． 32．圆锥曲线因其特殊的形状而存在着特殊的光学性质.我们知道，抛物线的光学性质是平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后汇聚于其焦点；双曲线的光学性质是从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.卡式望远镜就是应用这些性质设计的.下图为卡式望远镜的中心截面示意图，其主要由两块反射镜组成，主镜是中央开孔的凹抛物面镜，副镜是双曲线左支的旋转面型凸双曲面镜，主镜对应抛物线的顶点与副镜对应双曲线的中心重合，当平行光线投射到主镜上时，经过主镜反射，将汇聚到主镜的焦点处，但光线尚未汇聚时，又受到以为焦点的凸双曲面镜的反射，穿过主镜中心的开孔后汇聚于另一个焦点处.以的中点为原点，为轴，建立平面直角坐标系.若米，凹抛物面镜的口径为米，凸双曲面镜的口径为1米，要使副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜的中央孔洞，则孔洞直径最小为___________米. 【答案】 【分析】根据抛物线C的焦点坐标为，求得其方程；根据，求得的坐标，由，求得的纵坐标，再根据，求得其横坐标，再利用得到答案. 【详解】因为曲线C的焦点坐标为， 所以，则抛物线C的方程为， 因为， 所以，则，解得, ， 设，又，所以， 易知，则 则，解得， 根据题意，从点反射，与轴的交点，此时孔洞半径最小，即. 易知，则, 即，解得,直径为. 所以要使副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜的中央孔洞，则孔洞直径最小为. 故答案为：. 33．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则双曲线E的离心率为________． 【答案】/ 【分析】设，由三角函数表达出其他边长，由双曲线定义求出，从而利用勾股定理求出，从而得到离心率. 【详解】如图，由⊥，，可得， 在Rt中，由，不妨设，则， 由勾股定理得， 又由双曲线的定义可得，， 根据可得，解得， 所以，， 故在中，，即， 故， 故双曲线E的离心率为． 故答案为：. 考点十二 由直线与双曲线的位置关系求参 34．如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论直线与双曲线的右支只有一个交点的临界情况，即直线与双曲线右支相切或直线与双曲线的渐近线平行求对应参数值，数形结合确定参数范围. 【详解】将直线代入到双曲线中消得：， 若直线与双曲线右支相切时，，则（负值舍）， 由的渐近线为，则时直线与双曲线右支有一个交点，如下图示， 要使直线与双曲线的右支有两个公共点，由图知. 故选： 35．已知曲线C的方程是．设过点的直线的倾斜角为，若直线与曲线C恰有3个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质，结合圆和双曲线方程的特点，利用数形结合思想、导数的几何意义、分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，，它表示双曲线的一部分； 当时，，它表示圆的一部分； 当时，，显然不成立，不表示任何曲线； 当时，，它表示双曲线的一部分， 所以曲线C的图象如下图所示： 两条双曲线的渐近线方程为， 当直线与平行时，即时，此时直线与曲线C恰有2个不同的交点， 要想直线与曲线C恰有3个不同的交点，只需， 当时，， 设切点为，切线的斜率为， 所以切线方程为，把的坐标代入， 得， 切线的斜率为， 当直线与该切线平行时，即时，此时直线与曲线C恰有2个不同的交点， 要想直线与曲线C恰有3个不同的交点，只需， 综上所述：的取值范围是. 36．已知双曲线的左、右焦点分别为，渐近线方程为．过的直线与交于两点，且当轴时，． (1)求的方程； (2)设直线与双曲线交于两点（位于轴同侧），若以线段为直径的圆经过坐标原点，试判断圆的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据渐近线方程建立间关系由双曲线渐近线方程得，然后根据建立间关系，从而求出双曲线的方程； （2）假设以线段为直径的圆的面积存在最小值，设均位于轴右侧．当直线的斜率不存在时，求出交点坐标，由，化简可得圆的半径，从而求出圆的面积，当直线的斜率存在时，设直线的方程为。联立双曲线方程，由韦达定理可得，利用，化简可得，从而可得，令，则，化简即可求解. 【详解】（1）由渐近线方程建立间关系，由双曲线渐近线方程为可知， 所以． 由题知，当轴时，将代入双曲线方程可得， 设，则， 又，即，化简得， 结合，解得， 故双曲线的方程为． （2）假设以线段为直径的圆的面积存在最小值． 根据双曲线的对称性，设均位于轴右侧． 如图①，当直线的斜率不存在时， 设直线的方程为，， 因为以为直径的圆经过原点，所以，故，所以， 又，所以，即，所以圆的半径， 故圆的面积为． 如图②，当直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 联立消得， 所以， 整理得，， 因为均在轴右侧，所以，则． 由得，即， 所以， 整理得， 所以 ， 令，即， 因为，所以， 故 ， 所以此时圆的面积． 综上，当直线的斜率不存在时，圆的面积取得最小值． 考点十三 中点弦及对称问题 37．已知双曲线（，），斜率为1的直线l与双曲线C的两支分别交于M，N两点，且M，N的中点为，若右顶点A在以线段为直径的圆内，则此双曲线的实半轴a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则，， ，N两点均在双曲线C上，， 由①-②得， 知，，即，即，， 设直线MN的方程为，即， 联立得， 消去y并整理得，， 则，． ， 令，解得或，因为故． 故选:C． 38．如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. (1)求点的坐标，及双曲线的离心率； (2)若线段AB的中点为，求直线的方程； (3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)过定点，定点坐标为． 【分析】（1）根据给定条件，求出，，即可求得左顶点坐标以及离心率； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式求解； （3）利用韦达定理及数量积的坐标表示求出的关系即可得解. 【详解】（1）由题可得：， 所以双曲线C的左顶点为，双曲线的离心率为： （2）由消去整理得，， 则，且， 设，则， 由为的中点，可得， 解得，满足， 所以直线l的方程为，即. （3）由（2）知，．且， 则 ， 因以为直径的圆恒过点P，则有， 即，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 39．已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． (1)求的渐近线方程． (2)若是的右支上一点，且，求． (3)是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，倾斜角为. 【分析】（1）根据虚轴长得出，再结合渐近线方程计算求解； （2）应用双曲线定义结合是的右支上一点得出结合计算求值； （3）假定存在，利用中点弦问题列式求解并验证即得. 【详解】（1）因为双曲线的虚轴长为，所以，所以， 所以的渐近线方程为，即； （2）因为双曲线定义及是的右支上一点，所以， 又因为，所以； （3）假设存在直线l，设，则， 两式相减得， 由的中点为， 得， 因此直线的斜率， 双曲线的渐近线方程为，而，则直线与双曲线相交， 所以存在直线满足要求，直线的斜率为，的倾斜角为. 考点十四 定点、定值问题 40．已知双曲线经过，两点， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，点（异于点，），的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值． 【详解】（1）（方法1）当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 由题意得，，解得，双曲线方程为． 当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 由题意得，，方程组无解． 综上，双曲线方程为． （方法2）设双曲线方程为，则， 解得，，所求双曲线方程为． （2）由已知得直线的斜率存在，设其方程为，设， 所以， 所以， 由题意知，，， 又因为的平分线与轴垂直，所以， 即，所以， 即， 所以， 即，所以或， 当时，直线的方程为， 即直线过点，不符合题意，所以，设倾斜角为， 即，，即直线的倾斜角为定值． 41．已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； (1)求双曲线的实轴长与离心率； (2)求面积的最小值； (3)设直线与双曲线交于，两点，且.证明：直线过定点； 【答案】(1)实轴长，离心率 (2). (3)证明见解析 【分析】（1）由双曲线方程求得，再根据实轴长及离心率的定义求解； （2）先求出弦长，再求出点到直线的最小距离，即可得到 面积的最小值，而点到直线的最小距离，可转化为平行于直线且与双曲线的右支相切的切点到直线的距离； （3）设，的坐标分别为，,由利用向量垂直分析确定直线的斜率不为，并设直线的方程为，与双曲线方程联立消去后，利用韦达定理结合条件，根据垂直向量数量积的性质求得，得到直线的方程即可求得其所经过的定点. 【详解】（1）由题意，得，， 所以双曲线的实轴长离心率； （2）由（1）知，直线的方程为， 设，由，消去得， , 设平行于直线且与双曲线的右支相切的切线方程为，切点为. 联立，消去，得， 令，得 解得， 当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意， 因此， ，. 因此点到直线的距离， 所以的面积的最小值为. （3）证明：由（1）知，设，的坐标分别为，. 当直线的斜率为时，，， 则 当时， ，解得， 则，中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为； 设直线的方程为， 联立方程，消去后整理，得， 则，， ， 由，得， 所以 ， 即 ， 化简，得解得或. 当时，直线过点，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线过定点. 42．已知圆和定点，动点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，设曲线为点的轨迹． (1)求曲线的方程； (2)设，斜率为的直线与曲线交于，两点，直线，分别与曲线交于，两点； （ⅰ）若直线，的斜率之和为0，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据垂直平分线性质得，结合Q在直线PE上，分Q在线段延长线和线段上两种情况，推导为定值，对照双曲线定义确定曲线类型，再计算参数得轨迹方程； （2）（ⅰ）设直线方程，与曲线Γ的方程联立，得韦达定理关系；根据直线，的斜率之和为0，列出方程求得直线中参数，确定定点，证明结论；（ⅱ）设直线的方程，与曲线Γ联立，利用韦达定理可求出A点坐标，同理求B点坐标；结合直线斜率为2的条件，得到坐标满足的方程，即可得直线的方程，从而证明结论. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 线段的垂直平分线与直线交于点，故， 当线段的垂直平分线与射线相交时，， 当线段的垂直平分线与射线相交时，， 所以， 故点的轨迹是以为焦点的双曲线，设其方程为， 则，则， 故点的轨迹的方程为； （2）（i）设直线， 联立，得， 则，， ， 所以 ，解得， 故直线l的方程为，即直线过定点； （ii）设，则直线的方程为，其中， 联立，可得， 则，将以及代入可得： ， 则，所以，则， 同理， 设直线，代入点A的坐标得， 整理得，同理可得， 所以可知直线的方程为，即， 令，解得， 即直线过定点. 考点十五 最值与参数取值范围问题 43．已知双曲线，过点的直线与的上、下两支分别交于点，． (1)若点是上的动点，求的最小值； (2)设为坐标原点，直线，的斜率分别为，， （i）若，求直线的方程； （ii）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）利用两点间的距离公式，结合配方法，可求的最小值. （2）设直线：，与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示出，，进而用表示出， （i）根据，求出，可得直线的方程； （ii）利用的取值范围，可确定的取值范围. 【详解】（1）设，则， 所以， 即当时，. （2）如图： 设与联立，有， 由，得， 设，，则，， 得， 则， （i）当时，，直线的方程为； （ii）因为直线，存在斜率，所以， 故， 所以， 即的取值范围． 44．已知双曲线的右焦点为，左顶点为，，圆，到圆上点的距离的最大值为3. (1)求的方程； (2)已知过点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交圆的另一点于，. （i）证明：； （ii）记四边形的面积为，的面积为，求的最小值. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）8 【分析】（1）左顶点到右焦点的距离及右焦点到单位圆上点的最大距离，分别得到关于的方程，求解即可； （2）（i）设过右焦点的直线参数方程，与双曲线联立，利用韦达定理计算直线和的斜率乘积即可证明； （ii）设直线 和 的方程，分别联立双曲线和单位圆，求得点 的坐标，将面积比表示为关于斜率的函数，通过换元化简，利用基本不等式及函数单调性求得最小值. 【详解】（1）依题意，，设，则， 到圆上点的距离的最大值为3，所以，所以，故，， 所以的方程为； （2）（ⅰ）设直线，，， 由可得，， 所以，， ， 所以； （ⅱ）不妨设直线，，， 由，可得，解得， 同理可得，， 由可得，解得， 同理可得，， 由题意，得，，故， 设的面积为，则， 易知， 令，当且仅当时取等号，则， 令，函数在单调递增， 故当时，取得最小值；. 所以的最小值为8. 45．已知双曲线，过点的直线与双曲线交于、两点. (1)若，且直线垂直于轴，求； (2)若，设在第一象限，双曲线的左顶点为，若为等腰三角形，求点的横坐标； (3)若分别为双曲线的左右焦点，点是点关于轴对称的点，若存在直线使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)4或； (3) 【分析】（1）求出坐标即可； （2）设，分、、三种情况讨论，利用两点间距离公式求解； （3）分斜率是否为0讨论，若直线斜率不为0，设直线，与双曲线方程联立，根据韦达定理化简，得出的关系式，再结合且求出范围即可. 【详解】（1）令，则，得，故； （2）设满足，， ①当时，， 解得（舍去）或， ②当时，， 得（舍去）或， ③若，则，不符合题意； 综上所述，点的横坐标为4或； （3）①当直线斜率为0时，，则为双曲线的两个顶点，且重合， 则，舍去； ②若直线斜率不为0，设， 设直线， 联立，得， 则且，得且， 由韦达定理得， 因为，所以 因为， 所以， 则， 则， 即， 则， 即， 得， 即，得， 由，，，得， 若，对称轴为，则； 若，对称轴为，则， 因为，所以实数的取值范围为. 考点十六 双曲线的切线问题 46．已知曲线和曲线. (1)若曲线上两个不同点A、B的横坐标分别为，求证：直线的方程：； (2)若直线与曲线相切，求证：； (3)若曲线上任意点向曲线引两条切线交于另两点为，求证：直线与曲线相切. 【分析】（1）根据斜率公式以及点斜式即可求解直线方程； （2）联立直线与曲线方程可得，根据判别式为0即可求解； （3）根据以及（2）中得QR的方程：，验证（2）的结论即可求解. 【详解】（1）设，，因为A，B在曲线上，所以有： ，易知， 所以直线AB的斜率. 根据点斜式方程，直线AB过点，则直线AB的方程为. 将代入上式得：， 展开可得：, 化简得， 即，得证. （2）将直线：代入曲线，可得：， 展开并整理得：. 因为直线l与曲线相切，所以此一元二次方程的判别式. 则 展开得：， 化简可得，得证. （3）设P，Q，R三点横坐标分别为，，， 结合（1）可知直线PQ的方程：， 直线PQ与曲线相切，再结合（2）中得：. 整理得： 再整理：. 同理可得， 所以直线既过点又过点 即直线QR的方程：. 再次结合（2）可推算： , 所以，直线QR与曲线相切. 47．已知双曲线过点，. (1)求双曲线C的渐近线方程. (2)若过双曲线C上的动点作一条切线l，证明：直线l的方程为. (3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2)证明如下： 当切线斜率存在时，不妨设切线方程为，因为点在双曲线C上， 所以，联立， 消去y并整理得， 此时，即， 所以，又，所以， 解得， 所以切线方程为，即； 当切线斜率不存在时，即时，切点为，切线方程为，满足； 综上，直线l的方程为. (3) 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程即可求解双曲线的标准方程，然后求解渐近线即可； （2）分类讨论，设出切线方程，联立方程利用判别式法求得斜率，即可求出切线方程； （3）联立方程求得点A和B的坐标，进而求出，结合渐近线的夹角，代入三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为双曲线过点，，所以， 解得，所以双曲线C的标准方程为，所以双曲线C的渐近线方程为. （2）略 （3）由（1）知双曲线C的渐近线方程为，此时两渐近线与x轴的夹角均为， 即，设，由（2）可知切线方程为， 联立，解得，即， 此时，同理可得， 所以的面积 .    48．已知双曲线（，）的两条渐近线互相垂直，右焦点F到渐近线的距离为1. (1)求C的方程. (2)设A为C上一动点，C在点A处的切线为l，过点F作l的垂线，垂足为P. （i）证明：点P到原点O的距离为定值； （ii）当点P与A不重合时，过点P作C的另一条切线，切点为B，直线AB与两坐标轴的交点分别为M，N，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）若点A的坐标为时，则点P与A重合，坐标也为，到原点的距离为1. 若点A的坐标为（），则， 设l的方程为，与C的方程联立， 消去y，得， 由，结合，得，则l的方程为. 由题得，则l的垂线FP的方程为. 设点，将l和垂线FP的方程联立，得 ，解得，即， 则. 综上，点P到原点O的距离为定值1. （ii）2 【分析】（1）求出C的两条渐近线,根据条件，可求得，根据点到直线距离公式，可求出a值，即可得答案. （2）（i）若点A的坐标为时，分析可得点P到原点距离为1，若点A的坐标为（）时，设出l的方程，与双曲线联立，根据判别式，可得直线l的方程，进而可得l的垂线FP的方程，联立可得P点坐标，化简整理，即可得答案. （ii）求出PA、PB的方程，整理可得直线AB的方程，求出M、N点坐标，可得的表达式，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）由题意C的两条渐近线分别为，， 则，可得，所以，即. 由右焦点到渐近线的距离为1，得， 解得，则，故C的方程为. （2）（i）略 （ii）记，.由（i）知，，. 由于点P在这两条直线上，所以， 因此直线AB的方程为. 不妨设点M在x轴上，点N在y轴上，则，. 故， 当且仅当时取等号，因此的最小值为2. 【点睛】 考点十七 与双曲线有关的新定义题 49．在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角，利用公式，可得到点.现将双曲线绕原点按逆时针旋转得到双曲线. (1)求双曲线的标准方程； (2)以双曲线的右顶点为圆心作半径为1的圆，直线与圆相交于，两点，求； (3)在（2）的条件下，是圆上的动点，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，设曲线上任意一点绕原点按逆时针旋转后的坐标为，列式运算得解； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，求得弦长； （3）根据题意，的面积范围，即求点到直线的距离范围， 利用圆的性质求解. 【详解】（1）设曲线上任意一点绕原点按逆时针旋转后的坐标为， 则即 得，则， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1），可得圆心到直线的距离，则. （3）圆心到直线的距离， 点到直线距离的最大值为，最小值为， 所以面积的最大值为，最小值为. 故面积的取值范围为. 50．在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，变成另一点，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点绕原点逆时针旋转后得点，且旋转变换的表达式为，曲线的旋转变换也如此． (1)将点绕原点逆时针旋转得到点，求点坐标； (2)已知曲线，绕原点逆时针旋转得到曲线． （ⅰ）求曲线的方程； （ⅱ）P为曲线上一点，P不在x轴上，过P作交曲线于B，D两点，求证：BD与曲线在P点处的切线垂直． 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）设，且，， 由题意可知，过点的切线斜率存在，故设切线方程为， 联立，得， 则， 即 ， 则， 当直线的斜率存在时，设直线，， 联立，得， 则， 则， ， 因为，所以 ， 则， 即，即， 因为直线不过点，所以， 则，得， 则，此时BD与曲线在P点处的切线垂直； 当直线的斜率不存在时，设直线，其中或，， 联立，得，则， 则 ，不符合题意. AI 综上，BD与曲线在P点处的切线垂直． 【分析】（1）由旋转公式可得； （2）（ⅰ）设曲线上任意一点为，将其绕原点逆时针旋转得到点，根据旋转公式可得； （ⅱ）设，再设切线方程为，根据得出，再分类讨论，设，根据得出，当直线的斜率不存在时，求证即可求证. 【详解】（1）由题意可得，，则； （2）（ⅰ）设曲线上任意一点为，且，将其绕原点逆时针旋转得到点， 则，得， 则，即， 故曲线的方程为； （ⅱ）略 51．在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为、，其离心率为，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线．已知双曲线在其上一点处的切线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）在双曲线的方程中，令，结合已知条件求出点的坐标，根据“等线”的定义可得出关于、、的方程组，解出、的值，即可得出双曲线的方程； （2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可. （3）利用给定条件和新定义证明即可. 【详解】（1）解：在双曲线的方程中，令，解得， 因为直线为的等线，显然点在直线的上方，故有， 又、，有，，， 解得，， 所以的方程为． （2）解：设，由题意有方程为，① 渐近线方程为，联立得，， 故， 所以是线段的中点，因为、到过原点的直线距离相等， 则过原点点的等线必定满足：、到该等线距离相等，且分居两侧， 所以该等线必过点，即直线的方程为， 由，解得，故． 所以. 所以， 所以，所以． （3）证明：设，由，所以，， 故曲线的方程为， 由①知切线为，也为，即，即． 易知与在的右侧，在的左侧，分别记、， 到的距离为、、， 由（2）知，， 所以， 由得， 因为， 所以直线为的等线． 1．（2024·全国“极光杯”竞赛）（多选题）设双曲线，则（    ） A．的实轴长为2 B．的焦距为4 C．的离心率为2 D．的渐近线方程为 【答案】AD 【分析】由题意得，由此即可逐一判断每一选项. 【详解】由题意，所有， 所以的实轴长为2，的焦距为，的离心率为，的渐近线方程为. 故选：AD. 2．（2024·全国“鱼塘杯”竞赛）设焦距相同的椭圆和双曲线相交于分别位于第一象限､第二象限的两点，两圆锥曲线的公共左焦点为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设右焦点，则，结合椭圆与双曲线的定义计算即可求解. 【详解】椭圆的半焦距为，则， 所以，设右焦点，则， 所以. 故选：D 3．（2026高二下·全国·竞赛）已知双曲线的左，右焦点分别为，.以的实轴为直径作圆，又过作的切线交的右支于点.若，则的离心率为__________. 【答案】 【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为,在中运用正弦定理，最后根据双曲线的定义得到，即可得解. 【详解】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 所以， 所以，，， 设，， 由，即，则，，， 在中， ， 由正弦定理得， 所以，， 则， 又，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率.   4．（2026高三下·新疆·竞赛）已知为坐标原点，曲线与曲线交于点，若的外接圆经过点，则曲线的方程为__________. 【答案】 【分析】设点，，为与轴的交点，利用O、M、P、N四点共圆、相交弦定理得到与的关系，代入曲线求参数，即可得. 【详解】如图，设点，，为与轴的交点，则， 因为O、M、P、N四点共圆， 由相交弦定理得，解得， 所以， 代入曲线得，解得（舍去）或. 故曲线的方程为. 5．（2024·全国集英苑冬季联赛）椭圆经过双曲线的焦点，则 ． 【答案】1 【分析】将双曲线的焦点坐标代入椭圆方程，解方程求得的值即可. 【详解】由题可得双曲线的焦点坐标为，代入椭圆方程得，解得. 6．（2025高三下·重庆·竞赛）已知双曲线的左、右焦点分别为，若过点的直线与双曲线交于两点，且，，则双曲线的离心率为_______. 【答案】 【分析】设点及，再应用双曲线定义结合边的关系计算求解，最后计算离心率即可. 【详解】不妨在双曲线靠近的这一支上，取中点，则. 设，由双曲线的第一定义知， 从而. 由知，可得. 又由及可得， 解得. 于是，可得离心率. 故答案为：. 7．（2024·清华大学强基计划）双曲线C：，斜率为1的直线l交C于A，B两点，D为C上另一点，，，重心分别为P，Q，外心为M，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】由中点弦的结论可得，，又，可得，即可得到双曲线的离心率. 【详解】在中，取中点，由P为的重心，则P在上， 设，则， 则有， 两式作差得，， 可得， 则 则，即， 同理可得，， 又，所以，又， 可得， 所以，进而． 8．（2024·南京大学强基计划）双曲线，过左、右焦点作平行于y轴的直线交双曲线于A，B，C，D，若ABCD构成正方形，求双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题意表示出，再由化简可求出离心率. 【详解】， 当时，，， 则，所以， 所以， 因为为正方形，所以， 所以，化简得 所以， 所以，解得， 因为，所以 9．（2025·重庆高中数学联赛初赛）已知双曲线的左、右焦点分别为，若过点的直线与双曲线交于两点，且，，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】设点及，再应用双曲线定义结合边的关系计算求解，最后计算离心率即可. 【详解】不妨在双曲线靠近的这一支上，取中点，则. 设，由双曲线的第一定义知， 从而. 由知，可得. 又由及可得， 解得. 于是，可得离心率. 10．（2024·广东汕头数学竞赛）已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为，设四边形的周长为，面积为S，则 . 【答案】40 【分析】设，，根据圆的性质可知，利用勾股定理结合双曲线的定义可得，即可得结果. 【详解】设，， 由在以为直径的圆上可得：， 故，且四边形为矩形， 由双曲线可知：， 即， 又因为，则， 可得， 则， 所以. 11．（2024·广东肇庆能力竞赛）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】由，的平分线与直线PQ垂直，结合图像，根据双曲线的定义，找出各边的关系，列出等式，求解. 【详解】依题意，由， 得，即的平分线与直线PQ垂直， 如图，设的平分线与直线PQ交于点D， 则，，又， 所以，所以，． 由题得，，设，，， 在中，，，则，， 由双曲线的性质可得，解得， 则，所以在中，， 又，，所以， 即，整理得，所以． 12．（2024·山东泰安冬季竞赛）已知A为双曲线的左顶点，F为双曲线C的右焦点，以实轴长为直径的圆交其中一条渐近线于点P（点P在第二象限），PA平行于另一条渐近线，且，则 . 【答案】 【分析】先利用线线平行和渐近线的关系得到是等边三角形，进而得到，再利用三角形的面积求出，，，再利用余弦定理进行求解. 【详解】如图，连接PF，交另一条渐近线于点Q， 因为，所以， 所以是等边三角形，所以， 则，即； 又因为，所以， 解得，，， 在中，，，， 由余弦定理，得. 13．（2025高二上·安徽·竞赛）双曲线经过点． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)双曲线的右焦点为，经过的直线与的右支交于两点A，B（不同于点），设直线AQ，AB，BQ的斜率分别为，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入双曲线方程，解出，从而得到渐近线方程； （2）设过右焦点的直线的斜率为，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得到和，再将斜率条件转化为关于的对称式：，，从而得到，排除后，由韦达定理列出方程求出，最后验证范围即可. 【详解】（1）由题意可得，解得，即， 故双曲线的渐近线方程为． （2）由（1）可知双曲线的方程为，右焦点的坐标为， 将直线AB的方程代入， 消去可得，， 则， 由韦达定理可得， 由可得即， 变形可得所以，或， 当时，直线AB经过点，不符合题意； 所以，即，解得． 14．（2024·贵州贵阳“圆周率”竞赛）已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. （1）求实数的值； （2）证明：直线与直线的斜率之积是定值； （3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上. 【分析】（1）根据双曲线的离心率列方程求出实数的值；（2）设点的坐标为，点的坐标为，利用条件确定与、之间的关系，再结合点在双曲线上这一条件，以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点、的坐标分别为、，结合（2）得到，，引入参数，利用转化为相应的条件，利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式，进而证明点恒在定直线上；证法二是设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件进行等价转化为，结合韦达定理化简为，最后利用点在直线上得到，从而消去得到 ，进而证明点恒在定直线上. 【详解】（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为，由于，解得， 故双曲线的方程为； （2）设点的坐标为，点的坐标为，易知点， 则，， ，因此点的坐标为， 故直线的斜率，直线的斜率为， 因此直线与直线的斜率之积为， 由于点在双曲线上，所以，所以， 于是有 （定值）； （3）证法一：设点 且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点、，由（2）知，，， 设，则，即， 整理得， 由①③，②④得，， 将，，代入⑥得，⑦， 将⑦代入⑤得，即点恒在定直线上； 证法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为， 由， 消去得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点、， 则有， 设点，由，得， 整理得， 将②③代入上式得， 整理得，④ 因为点在直线上，所以，⑤ 联立④⑤消去得，所以点恒在定直线. 15．（2024·广东肇庆能力竞赛）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值． 【分析】（1）设双曲线，依题意可得，解得即可； （2）设直线，，求得，联立方程组，利用弦长公式，求得，，得到，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）设双曲线，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0， 设直线，，其中， 双曲线的渐近线为， 因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以， 将的方程与联立，可得， 设，则，， 所以 ， 用替换，可得， 所以． 令，所以， 则， 当，即时，等号成立， 故四边形面积的最小值为． 【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $