第2章 专题5 有理数的巧算与规律问题提优练习 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 以运算律为基础，系统整合巧算七法与规律三类问题，构建“方法-题型-规律”三阶训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数的巧算|7类方法（运算律/凑整/拆分等）|提炼交换律、裂项相消等具体技巧，强调算理优化|从运算律（基础）到巧算技巧（应用），形成“原理-方法-变式”递进链条| |有理数的规律问题|3类问题（乘方/数塔/幻方）|归纳数阵、幻方的观察与推理方法，渗透类比思想|从具体等式到抽象规律，培养从数学角度观察、探究现实世界的创新意识|

专题5 有理数的巧算与规律问题 有理数的巧算 一、活用运算律 运算律： ①加法交换律：； ②加法结合律：； ③乘法交换律：； ④乘法结合律： ⑤乘法分配律：. 1. 交换律 1. 计算： (1) ； (2) . 2. 分配律和结合律 2. 计算的结果是（ ） A. 1 B. －1 C. 10 D. －10 3. 计算：(1) 17.48×37－174.8×1.9＋1.748×820=________； (2) ________. 4. 阅读下列材料： 计算：. 解法①：原式. 解法②：原式的倒数为，所以原式. (1) 上述解法中，你认为解法________是错误的； (2) 计算：. 二、凑整法 1. 运用加法运算律凑整 1. 计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 2. 运算或化简后凑整 2. 如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：________. 3. 计算： (1) ； (2) ； (3) . 三、拆分法 1. 拆分为多项的和或差 如： 2. 拆分为多项的乘积 如： 1. 若1024×63=p，则1024×64的值可表示为（ ） A. D. 2. 对于两个数，，则（ ） A. D. 无法确定的大小 3. 计算：(1) ________； (2) 124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68=________； (3) 2023×1011×1012×________. 4. 计算： (1) ； (2) . 5. 学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题： 计算：，看谁算得又快又对. 有两位同学的解法如下. 小铭：原式. 小俊：原式________. (1) 请补全小俊的解题过程. (2) 通过上面的解法对你的启发，你认为有其他的解法吗？如果有，请把它写出来. (3) 用最简便的方法计算：. 四、分组求和法 1. 近似项分组求和 1. 计算： (1) 一4.4－； (2) . 2. 互消项分组求和 2. 计算： (1) 1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋....＋2021＋2022－2023－2024＋2025=________； (2) ________. 3. 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如： (1) 根据上面的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式(不要计算出结果)： ①________；②________. (2) 计算：. 五、裂项相消法 1. 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论.阅读感知：在异分母分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫作裂项.类似地，对于可以用裂项的方法变形为.类比上述方法，解决以下问题. 【类比探究】(1) 猜想并写出： 【理解运用】(2) 类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】(3) 探究并计算：. 2. 计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 六、倒序相加法 1. 高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”.许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错.聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程. 解：设①， 则②， ①＋②，得(即左、右两边分别相加)，所以③，所以. 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”.请你利用“倒序相加法”解答下面的问题. (1) 计算：； (2) 请你观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现的类似③式，猜想：________； (3) 至少用两种方法计算：. 2. 计算： (1) . 七、错位相减法 1. 阅读材料，回答问题. 材料一：因为，，所以. 材料二：求的值. 解：设①， 则②， ②－①，得， 所以，即，所以. 这种方法我们称为“错位相减法”. (1) 填空：. (2) “棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下国际象棋(国际象棋棋盘共有64个小方格)，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏.阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒米，第三格放四粒米，第四格放八粒米……按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了. ①第64格中应放________粒米. ②设国王输给阿基米德的总米粒数为，求 2. (1) (2) . 有理数的规律问题 一、乘方 1. 观察下列等式： ① ② ③ ④ ...... 根据此规律，第10个等式的右边应该是，则的值是（ ） A. 45 B. 54 C. 55 D. 65 2. 请你先计算，然后根据发现的规律解决问题：已知，则________.(用科学记数法表示) 3. 观察下面三行数： ① ② .③ (1) 第①行数的第个数是________. (2) 请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第个数是________；同理直接写出第③行数的第个数是________. (3) 取每行的第个数，这三个数的和能否等于－509?如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由. 二、数塔 1. 如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，那么第7行第3个数为（ ） A. 2. 如图所示，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行.图中数6为第2行、从左向右第2个数；数－24为第4行、从左向右第3个数，那么第11行、从左向右第4个数为________. 3. 把自然数依次排成以下数阵： 如果规定横为行，纵为列，如数8排在第2行第3列.已知1＋2＋3＋...＋n=. (1) 排在第10行第5列的是哪个数? (2) 排在第98行第3列的是哪个数？ 三、幻方 1. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”(如图①).“洛书”是一种关于天地空间变化脉络的图案，它是以实心点与空心点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合.“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方(如图②).三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字(数字不重复使用)安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等. (1) 根据“洛书”中表达的意思，将图②中的三阶幻方补充完整； (2) 如图③是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将0，1，3，4，7这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； (3) 如图④，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”.将－11，－9，－7，－5，－3，－1，2，4，6，8，10，12这12个数填入恰当的位置(数不重复使用)，使每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和都相等，则________.(注：) 2. 幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中.有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成的，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等.如图①是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图②也是这种特殊的三角形幻方. (1) 若，则处的数值为________. (2) ①用含的式子表示________； ②x的值为________. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5 有理数的巧算与规律问题 有理数的巧算 一、活用运算律 运算律： ①加法交换律：； ②加法结合律：； ③乘法交换律：； ④乘法结合律： ⑤乘法分配律：. 1. 交换律 1. 计算： (1) ； (2) . 答案：(1) 原式. (2) 原式. 2. 分配律和结合律 2. 计算的结果是（ ） A. 1 B. －1 C. 10 D. －10 答案：A 3. 计算：(1) 17.48×37－174.8×1.9＋1.748×820=________； (2) ________. 答案：(1) 1748 (2) 99900 4. 阅读下列材料： 计算：. 解法①：原式. 解法②：原式的倒数为，所以原式. (1) 上述解法中，你认为解法________是错误的； (2) 计算：. 答案：(1) ① 解析：解法①是错误的，除法没有分配律. (2) 原式的倒数为，所以原式. 二、凑整法 1. 运用加法运算律凑整 1. 计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 答案：(1) 原式. (2) 原式. (3) 原式. (4) 原式. 2. 运算或化简后凑整 2. 如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：________. 答案： 3. 计算： (1) ； (2) ； (3) . 答案：(1) 原式. (2) 原式. (3) 原式. 三、拆分法 1. 拆分为多项的和或差 如： 2. 拆分为多项的乘积 如： 1. 若1024×63=p，则1024×64的值可表示为（ ） A. D. 答案：C 2. 对于两个数，，则（ ） A. D. 无法确定的大小 答案：A 3. 计算：(1) ________； (2) 124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68=________； (3) 2023×1011×1012×________. 答案：(1) (2) (3) 4. 计算： (1) ； (2) . 答案：(1) . (2) . 5. 学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题： 计算：，看谁算得又快又对. 有两位同学的解法如下. 小铭：原式. 小俊：原式________. (1) 请补全小俊的解题过程. (2) 通过上面的解法对你的启发，你认为有其他的解法吗？如果有，请把它写出来. (3) 用最简便的方法计算：. 答案：(1) (2) 还有其他的解法： (3) . 四、分组求和法 1. 近似项分组求和 1. 计算： (1) －4.4－； (2) . 答案：(1) 原式 (2) 原式 2. 互消项分组求和 2. 计算： (1) 1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋....＋2021＋2022－2023－2024＋2025=________； (2) ________. 答案：(1) 1 解析： (2) －1012 解析：6)－1012. 3. 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如： (1) 根据上面的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式(不要计算出结果)： ①________；②________. (2) 计算：. 答案：(1) ①15－9 ②π－3.14 (2) 五、裂项相消法 1. 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论.阅读感知：在异分母分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫作裂项.类似地，对于可以用裂项的方法变形为.类比上述方法，解决以下问题. 【类比探究】(1) 猜想并写出： 【理解运用】(2) 类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】(3) 探究并计算：. 答案：(1) (2) 由(1)得，原式 (3) 2. 计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 答案：(1) 原式. (2) 原式. (3) 原式. (4) 原式 六、倒序相加法 1. 高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”.许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错.聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程. 解：设①， 则②， ①＋②，得(即左、右两边分别相加)，所以③，所以. 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”.请你利用“倒序相加法”解答下面的问题. (1) 计算：； (2) 请你观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现的类似③式，猜想：________； (3) 至少用两种方法计算：. 答案：(1) 设①，则1②，①＋②，得，所以，即. (2) (3) 方法一：. 方法二：设，则1001，两式相加得，则1500500，即. 2. 计算： (1) . 答案：(1) 设，则，所以. (2) 设，则有，两式相加得，即，故原式. 七、错位相减法 1. 阅读材料，回答问题. 材料一：因为，，所以. 材料二：求的值. 解：设①， 则②， ②－①，得， 所以，即，所以. 这种方法我们称为“错位相减法”. (1) 填空：. (2) “棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下国际象棋(国际象棋棋盘共有64个小方格)，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏.阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒米，第三格放四粒米，第四格放八粒米……按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了. ①第64格中应放________粒米. ②设国王输给阿基米德的总米粒数为，求 答案：(1) 9 (2) ① ②由题意得，所以，即. 2. (1) (2) . 答案：(1) 设①，则②， 则②－①，得. (2) 设①，所以②，所以②－①得.设，所以，所以，所以，所以，所以，所以. 有理数的规律问题 一、乘方 1. 观察下列等式： ① ② ③ ④ ...... 根据此规律，第10个等式的右边应该是，则的值是（ ） A. 45 B. 54 C. 55 D. 65 答案：C 2. 请你先计算，然后根据发现的规律解决问题：已知，则________.(用科学记数法表示) 答案：. 3. 观察下面三行数： ① ② .③ (1) 第①行数的第个数是________. (2) 请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第个数是________；同理直接写出第③行数的第个数是________. (3) 取每行的第个数，这三个数的和能否等于－509?如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由. 答案：(1) (2) 解析：由题中的数据可得，第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是2，则第②行数的第个数是，第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是1，则第③行数的第个数是. (3) 取每行的第个数，这三个数的和能等于－509，令，得10，即取每行的第10个数，这三个数的和能等于－509. 二、数塔 1. 如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，那么第7行第3个数为（ ） A. 答案：D 2. 如图所示，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行.图中数6为第2行、从左向右第2个数；数－24为第4行、从左向右第3个数，那么第11行、从左向右第4个数为________. 答案：－208 3. 把自然数依次排成以下数阵： 如果规定横为行，纵为列，如数8排在第2行第3列.已知1＋2＋3＋...＋n=. (1) 排在第10行第5列的是哪个数? (2) 排在第98行第3列的是哪个数？ 答案：(1) 因为第1行第1列的数是1，第2行第1列的数是3，，第3行第1列的数是6，6=1＋2＋3，第4行第1列的数是，所以第行第1列的数是，则第13行第1列的数为.所以第1行第14列的数为92，第2行第13列的数为第10行第5列的数为101. (2) 由(1) 得第100行第1列的数为，所以第99行第2列的数为5049，第98行第3列的数为5048. 三、幻方 1. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”(如图①).“洛书”是一种关于天地空间变化脉络的图案，它是以实心点与空心点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合.“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方(如图②).三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字(数字不重复使用)安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等. (1) 根据“洛书”中表达的意思，将图②中的三阶幻方补充完整； (2) 如图③是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将0，1，3，4，7这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； (3) 如图④，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”.将－11，－9，－7，－5，－3，－1，2，4，6，8，10，12这12个数填入恰当的位置(数不重复使用)，使每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和都相等，则________.(注：) 答案： (3) －10或11 2. 幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中.有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成的，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等.如图①是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图②也是这种特殊的三角形幻方. (1) 若，则处的数值为________. (2) ①用含的式子表示________； ②x的值为________. 答案：(1) 1 解析：由题图可知，每个三角形三个顶点处数的和是，所以.因为，所以.因此. (2) ① 解析：. ②－10 解析：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $