第五章《一元一次方程》 小升初暑假单元自测卷 2026—2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 七年级数学第五章《一元一次方程》单元自测卷，暑假使用，满分100分/120分钟，以实际情境与创新题型覆盖方程应用、性质及解等核心知识，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题36分|方程应用（利润/水费）、等式性质、一元一次方程定义|结合《孙子算经》古题，考查抽象能力| |填空题|4题12分|方程解、无解问题、代数式关系|换元法解一元一次方程，体现推理意识| |解答题|7题52分|解方程、新定义（成双方程/差解方程）、数轴动点、销售盈利、方案设计|以英语听力挑战赛积分、奖品兑换方案为情境，突出模型意识与创新应用|

第五章《一元一次方程》单元自测卷（解析版） 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分100分。 2.考试范围：七年级数学第五章 第一部分 选择题(共30分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．六一期间，某商店将售价130元的书包按8折出售可获利24元，则每个书包的进价是(    ) A．65元 B．80元 C．100元 D．104元 【答案】B 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设每个书包的进价是元，根据“某商店将售价130元的书包按8折出售可获利24元”列方程求解，正确列出等量关系是解题的关键 【详解】解：设每个书包的进价是元， ， ． 答：每个书包的进价是80元． 故选：B． 2．收费标准如下：用水每月不超过，按0.8元收费，如果超过，超过部分按1.2元收费．已知某用户某月交水费6元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意可知，该用户这个月用水超过，设这个月用水，列方程求解即可． 【详解】解：（元）元， ∴该用户这个月用水超过， 设这个月用水， 则， 解得：， 即该用户这个月用水． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答． 3．下列运用等式的基本性质变形，错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．要注意等式的性质：性质、等式两边加同一个数或式子结果仍得等式；性质、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．依据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A、根据等式的性质可知原变形正确，故此选项不符合题意； B、根据等式的性质可知原变形正确，故此选项不符合题意； C、根据等式的性质可知原变形正确，故此选项不符合题意； D、根据等式的性质可知原变形错误，正确的结果是，故此选项符合题意． 故选：D． 4．如果是关于x的一元一次方程，那么a的值是（   ） A．1 B．3 C．1或3 D．或 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】解题的关键是根据一元一次方程的定义．此类题目可严格按照定义解题．若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程． 【详解】解：由一元一次方程的特点得， 即，或， 解得：或． 故选：C． 5．若是一元一次方程 的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得出，代入代数式计算即可． 【详解】解：是一元一次方程 的解 ， ， 故选：A ． 6．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 7．下列方程变形正确的是（   ） A．方程，去括号，得 B．方程，移项，得 C．方程，未知数的系数化为1，得 D．方程，去分母，得 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，根据去分母、去括号、移项、系数化为1这些变形解答即可． 【详解】解：A、方程，去括号，得，故此选项不符合题意； B、方程，移项，得，故此选项不符合题意； C、方程，未知数的系数化为1，得，故此选项不符合题意； D、方程，去分母，得，故此选项符合题意． 故选：D． 8．《孙子算经》中记载：今有四人共车，二车空：三人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，最终剩余2辆车，若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元一次方程，设有辆车，根据“每4人乘一车，最终剩余2辆车，若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”列出一元一次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设有辆车， 由题意可得：， 故选：A． 9．马小虎计算一个数乘以13，再减84，由于粗心，把乘号看成除号，减号看成加号，但得数是正确的，这道题的正确得数是（　　） A．169 B．85 C．84 D．71 【答案】B 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出一元一次方程成为解题的关键． 设这个数为x，根据题意利用两种运算的得数正确列出方程求出这个数，再按题意进行运算即可求出这道题的正确得数． 【详解】解：设这个数为x，则由题意可列方程： ， ， ， ， 所以这个数为13， 所以这道题的正确得数是． 故选：B． 10．定义运算“*”为，若，则（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次方程．根据定义将变形为一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：B． 11．四名同学用接力的方式解方程，约定：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丁 D．乙和丙 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤，进行判断即可．去分母时，要注意常数项不要漏乘最小公倍数，去括号和移项时，要注意变号． 【详解】解：， 去分母得：，故甲同学计算正确； 去括号得：，故乙同学计算错误； 因为每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算， 所以移项得，，丙同学计算正确； 系数化为1得：，丁同学计算错误． 故选：C． 12．如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 先将方程的根代入原方程并化简得，由题可知，当a，b为定值时，对任意的k成立，因此可得，易求a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：将，代入原方程并化简得， ∵当a，b为定值时，对任意的k成立， ∴，解得：， ∴． 故选：B． 第二部分 非选择题 (共70分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 13．若是关于的一元一次方程的解，则的值是_____． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．先把方程的解代入方程得：，再把所求代数式的前两项提取公因式2，然后把整体代入求值即可． 【详解】解：把代入方程得：， 故答案为：． 14．已知关于的方程无解，则的值为______． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 方程整理后，由方程无解得到x前的系数为0即可得到关于的方程，求出a的值即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．设，，且，则的值是_______． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】此题主要考查了绝对值，解一元一次方程，利用绝对值的性质把已知条件代入得出一元一次方程，然后解方程即可，正确利用绝对值的性质分析是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴ ， 故答案为：． 16．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解___________． 【答案】6 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据两个方程的关系，第二个方程中的相当于第一个方程中的，据此即可求解，理解两个方程之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程中的， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共52分） 17．解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，步骤为:去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． （1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1即可求出解； （2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1即可求出解． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 原方程可化为． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 18．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否为“成双方程”； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1)方程与方程不是互为成双方程 (2) 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据题意，分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义验证即可求解； （2）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：方程与方程不是互为“成双方程”，理由如下： 解，得， 解，得， 因为， 所以方程与方程不是互为“成双方程”． （2）解，得， 解，得， 因为关于的方程与方程互为“成双方程”， 所以， 所以． 19．山西某中学举行英语对话听力挑战赛，每位选手共挑战轮，每轮个题目，每轮结果呈现形式为（其中答对题，答错题），每种不同的结果产生的积分也不相同．甲、乙、丙三位同学的挑战结果如下表： 第轮 第轮 第轮 第轮 总积分 甲 乙 丙 (1)结果为，积___________分；结果为，积___________分． (2)设的结果积分，请利用方程的知识，求的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】（1）解：设结果为积分，根据乙同学的总积分可得： ，解得， 故结果为积分； 设结果为积分，根据甲同学的总积分可得： ，解得， 故结果为积分； 故答案为：；． （2）解：根据题意列方程为：， 解得， 故的值为． 20．如图，数轴上A，B两点所对应的数分别是a，b，其中a＝，b＝． (1)求a，b的值； (2)求A，B两点之间的距离； (3)一动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，另一动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动．若点C，点D同时出发，在数轴上点N处相遇，求点N对应的有理数． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离以及一元一次方程的应用等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）运用有理数的运算法则进行计算即可求解； （2）根据数轴的性质可得A，B两点间的距离等于点B表示的数减去点A表示的数，计算有理数的减法即可； （3）设同时出发秒后相遇，当C、D两点相遇时，运动的总路程为A，B两点之间的距离，据此建立方程，解方程得：4秒后C、D两点相遇，故，因为，据此即可求解． 【详解】（1）， ， 故，； （2）A，B两点之间的距离为； （3）设同时出发秒后相遇，得， 解得， 故, ， ， 故点N对应的有理数是． 21．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为，且，则方程是差解方程． 请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否是差解方程； (2)若关于的一元一次方程是差解方程，求的值． 【答案】(1)是 (2) 【知识点】有理数的减法运算、解一元一次方程（三）——去分母、整式的加减运算 【分析】本题考查解一元一次方程的应用， （1）求出方程的解，再根据差解方程的意义得出即可； （2）根据差解方程得出关于的方程，求出方程的解即可； 能理解差解方程的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴是差解方程； （2）∵关于的一元一次方程， 解得：， 又∵关于的一元一次方程是差解方程， ∴， 解得：． 22．某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？ 【答案】每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】设每件衬衫降价x元，根据销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标，列出方程求解即可． 【详解】解：设每件衬衫降价x元，依题意有 120×400+（120﹣x）×100=80×500×（1+45%）， 解得x=20． 答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标． 23．根据表中的素材，完成下面的任务： 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔每支10元，笔记本每本5元． 素材2 学校用1100元购买这种钢笔和笔记本，其数量之比为． 素材3 文具店开展“满送”优惠活动，每满130元送1张兑换券，满260元送2张兑换券，以此类推．学校花费1100元后，将兑换券全部用于商品兑换．最终，笔记本与钢笔数量相同． 问题解决 任务1 探究购买方案 分别求出兑换前购买钢笔和笔记本的数量． 任务2 确定兑换方式 求出用于兑换钢笔的兑换券的张数． 【答案】任务1：购买钢笔80支，笔记本60本；任务2：用张券兑换钢笔 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程．任务1：设购买钢笔支，笔记本本，由题意可得，计算求结果即可，任务2先求出兑换卷的数量，设张券兑换钢笔，张券兑换笔记本，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：任务1：设购买钢笔支，笔记本本，由题意可得： ， 即， 解得． 答：购买钢笔80支，笔记本60本． 任务2：， 送8张兑换券． 设张券兑换钢笔，张券兑换笔记本，由题意可得： ， 解得：． 答：用张券兑换钢笔． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章《一元一次方程》单元自测卷（原卷版） 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分100分。 2.考试范围：七年级数学第五章 第一部分 选择题(共36分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．六一期间，某商店将售价130元的书包按8折出售可获利24元，则每个书包的进价是(    ) A．65元 B．80元 C．100元 D．104元 2．收费标准如下：用水每月不超过，按0.8元收费，如果超过，超过部分按1.2元收费．已知某用户某月交水费6元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 3．下列运用等式的基本性质变形，错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如果是关于x的一元一次方程，那么a的值是（   ） A．1 B．3 C．1或3 D．或 5．若是一元一次方程 的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 7．下列方程变形正确的是（   ） A．方程，去括号，得 B．方程，移项，得 C．方程，未知数的系数化为1，得 D．方程，去分母，得 8．《孙子算经》中记载：今有四人共车，二车空：三人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，最终剩余2辆车，若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（   ） A． B． C． D． 9．马小虎计算一个数乘以13，再减84，由于粗心，把乘号看成除号，减号看成加号，但得数是正确的，这道题的正确得数是（　　） A．169 B．85 C．84 D．71 10．定义运算“*”为，若，则（    ） A． B．1 C．3 D． 11．四名同学用接力的方式解方程，约定：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丁 D．乙和丙 12．如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 第二部分 非选择题 (共70分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 13．若是关于的一元一次方程的解，则的值是_____． 14．已知关于的方程无解，则的值为______． 15．设，，且，则的值是_______． 16．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解___________． 三、解答题（共52分） 17．解下列方程． (1)； (2)． 18．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否为“成双方程”； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 19．山西某中学举行英语对话听力挑战赛，每位选手共挑战轮，每轮个题目，每轮结果呈现形式为（其中答对题，答错题），每种不同的结果产生的积分也不相同．甲、乙、丙三位同学的挑战结果如下表： 第轮 第轮 第轮 第轮 总积分 甲 乙 丙 (1)结果为，积___________分；结果为，积___________分． (2)设的结果积分，请利用方程的知识，求的值． 20．如图，数轴上A，B两点所对应的数分别是a，b，其中a＝，b＝． (1)求a，b的值； (2)求A，B两点之间的距离； (3)一动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，另一动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动．若点C，点D同时出发，在数轴上点N处相遇，求点N对应的有理数． 21．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为，且，则方程是差解方程． 请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否是差解方程； (2)若关于的一元一次方程是差解方程，求的值． 22．某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？ 23．根据表中的素材，完成下面的任务： 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔每支10元，笔记本每本5元． 素材2 学校用1100元购买这种钢笔和笔记本，其数量之比为． 素材3 文具店开展“满送”优惠活动，每满130元送1张兑换券，满260元送2张兑换券，以此类推．学校花费1100元后，将兑换券全部用于商品兑换．最终，笔记本与钢笔数量相同． 问题解决 任务1 探究购买方案 分别求出兑换前购买钢笔和笔记本的数量． 任务2 确定兑换方式 求出用于兑换钢笔的兑换券的张数． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $