第二单元 三角形的再认识（易错专项讲义）数学北师大版五年级上册（新教材）

该小学数学第二单元“三角形的再认识”易错专项讲义，通过“易错题型分类+核心知识点梳理”构建知识体系，将三角形内角和、三边关系、多边形内角和三大模块的易错点分点提炼，清晰呈现各知识点的逻辑联系与重难点分布。 讲义亮点在于“易错点精准剖析+分层练习设计”，如内角和强调“反向核验角度和为180°”培养推理意识，三边关系通过“第三边取值范围计算”发展应用意识。题型精讲结合选择、填空、解答题，易错巩固题涵盖基础辨析与实际问题，帮助不同层次学生掌握方法，为教师实施精准复习教学提供有力支持。

第二单元 三角形的再认识易错专项讲义 易错题型01 三角形的内角和 易错题型02 三角形三边关系 易错题型03 多边形的内角和 易错题型01 三角形的内角和 1、同时满足「三角形三个内角的和固定为180°、符合平面几何定义」的推导结果，才是本单元认可的三角形内角和合规结论，随意拼凑角度得到的不符合内角和逻辑的数值不能作为有效运算依据。 2、计算三角形未知内角度数时，要依托内角和180°的基准做减法运算，不能主观篡改内角和的固定数值，得到完全偏离正确结果的角度。 3、判断三个指定角度能否组成三角形时，要将三个角度的度数直接求和验证是否等于180°，不能仅凭视觉上的“看起来合理”就直接判定可组成三角形，忽略内角和的核心判定标准。 4、反向核验角度计算结果的合理性时，将算出的未知角和另外两个已知角相加求和，最终得到的总度数必须严格等于180°，不能出现求和后数值不等于180°的逻辑矛盾。 5、计算等腰三角形的未知内角度数时，要先确认等腰三角形两个底角完全相等的属性，再结合内角和规则推导，不能直接默认所有角的度数都相等，混淆等腰和等边三角形的属性差异。 6、标注三角形内角计算的最终结果时，必须明确标注角度单位“°”，避免出现漏写单位、把角度和长度单位错配的问题，导致角的大小指代完全失真。 7、计算直角三角形的未知锐角度数时，要先锚定直角固定为90°的前提，用90°减去已知锐角的度数直接得到剩余锐角的度数，不能忽略直角的90°属性，强行用180°做多余的分步运算。 8、同一道三角形内角和相关的运算过程中，内角和180°的固定基准、不同类型三角形的角的属性判定标准必须完全统一，不能中途随意更改内角和的数值定义，打乱运算逻辑的严谨性。 9、运用三角形内角和解决实际问题时，要先锚定「先确认三角形类型的角的属性、再依托内角和基准推导未知角、核验三个角度和为180°」的核心规则，不能直接硬套普通多边形的内角和运算逻辑，忽略三角形内角和的专属基准属性。 【题型精讲1】下面（    ）组是同一个三角形的三个内角。 A．90°    50°    41° B．57°    50°    63° C．95°    25°    60° D．100°    50°    50° 【易错巩固1】锐角三角形中任意两个内角的和一定大于（    ）。 A．80° B．90° C．100° D．110° 【易错巩固2】把一个等边三角形剪成两个完全相同的小三角形，每个小三角形中的两个锐角分别是（    ）。 A．45°，45° B．30°，60° C．45°，30° D．60°，60° 【易错巩固3】临临在探究三角形内角和时把三角形纸片撕成三个角，不小心和同桌平平的一个角混在了一起，那么图中（ ）°的角是平平的。 【易错巩固4】如图三角形ABC是一个等腰三角形，三角形ADC也是一个等腰三角形，已知∠1＝35°，∠3＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【易错巩固5】在一个三角形中，一个内角是86°，是另一个内角的2倍，第三个内角是（ ）°，这是一个（ ）三角形。 【易错巩固6】一个三角形花坛，花坛的最大角是120°，是最小角的6倍，这个三角形花坛的第三个角是多少度？按角分，这个花坛的形状是什么三角形？ 【易错巩固7】三角形是一个直角三角形，其中；三角形是一个等腰三角形，且，求的度数。 聪聪这样想：是等腰三角形的顶角，求顶角应该先求出等腰三角形的底角或的度数，是直角三角形的一个锐角，要求的度数，应看直角三角形另一个锐角的度数，而的度数题中已告知，所以能求出。请按聪聪的想法写一写计算过程。 易错题型02 三角形三边关系 1、同时满足「任意两边之和大于第三边、三条线段首尾顺次连接」的封闭图形才是合规的三角形，仅满足一组两边之和大于第三边的三条线段不能直接判定可以组成三角形。 2、判断三条线段能否组成三角形时，可优先验证两条较短线段的长度之和是否大于最长线段，不能跳过核心验证步骤直接凭视觉判定，得到错误结论。 3、已知三角形两条边的固定长度时，第三条边的长度必须小于两条已知边的长度之和，不能主观设定第三条边的长度大于等于两边之和，得到完全不符合三边逻辑的结果。 4、反向核验三边组合合理性时，将三条边两两求和做三次验证，三次求和结果都必须严格大于对应的第三条边长度，不能出现任意一组两边之和小于等于第三边的逻辑矛盾。 5、计算三角形第三边的取值范围时，要同时满足“第三边大于两条已知边的长度差、小于两条已知边的长度和”的双重约束，不能只套用单一的和的约束，忽略差的边界要求。 6、标注三角形边长相关计算的最终结果时，必须明确标注对应的长度单位，避免出现漏写单位、把长度单位和角度单位错配的问题，导致边长的实际指代完全失真。 7、判断等腰三角形的三边组合是否合规时，要先确认两条相等的腰长之和大于底边长度，不能直接默认两条边相等就一定能组成等腰三角形，忽略三边关系的核心约束。 8、同一道三角形三边关系的判定过程中，边长的数值基准、“任意两边之和大于第三边”的判定规则必须完全统一，不能中途随意更改边长的数值定义，打乱判定逻辑的严谨性。 9、运用三角形三边关系解决实际问题时，要先锚定「先排序三条边的长度、验证短边之和大于最长边、核验所有组合满足三边约束」的核心规则，不能直接硬套普通线段拼接的逻辑，忽略三角形三边的专属属性要求。 【题型精讲2】下列选项中，能围成三角形的一组线段是（    ）。 A．3cm，4cm，8cm B．5cm，6cm，11cm C．5cm，7cm，10cm D．2cm，2cm，5cm 【易错巩固1】一个三角形的两条边分别是4厘米、7厘米，第三条边不可能是（    ）厘米。 A．10 B．8 C．5 D．3 【易错巩固2】如图，一辆小汽车从A地出发，先向B地行驶，再向C地行驶，最后回到A地，两地之间的距离可能是（    ）。 A．18km B．21km C．26km D．53km 【易错巩固3】从长度分别是1cm、3cm、4cm、10cm的四根小棒中选取两根，与一根长6cm的小棒首尾相连围成一个三角形，那么选取的两根小棒的长度分别是（ ）cm和（ ）cm。 【易错巩固4】用小棒搭三角形。其中两根小棒分别长3厘米和5厘米，第三根的长度可能是（ ）厘米，也可能是（ ）厘米，还可能是（ ）厘米。（取整厘米数） 【易错巩固5】用每组三根小棒搭三角形，不能搭成三角形的是第（ ）组，理由是（ ）。 【易错巩固6】王伯伯要用篱笆围一块三角形的菜地。其中两条边分别用篱笆12米、9米。第三条边最短要用多长的篱笆才能围成三角形菜地？最长呢？（取整米数） 【易错巩固7】把一根24厘米长的铁丝剪成3段（每段都是整厘米数），再用这3段铁丝围一个等腰三角形（不包括3边相等的情况），这个等腰三角形的三条边分别长多少厘米？把不同的剪法写在表里。 底边长/厘米 腰长/厘米 易错题型03 多边形的内角和 1、同时满足「由n条线段首尾顺次连接围成的封闭平面图形、内角和符合固定推导逻辑」得到的结果，才是本单元认可的多边形内角和合规结论，脱离封闭多边形定义随意拼凑的不符合几何逻辑的数值不能作为有效运算依据。 2、计算多边形内角和时，要依托从一个顶点出发引出对角线将多边形拆分为若干个三角形的方法推导，不能主观跳过拆分步骤直接自定义内角和数值，得到完全偏离正确结果的度数。 3、判定一个n边形的内角和时，要严格套用多边形内角和通用公式，不能混淆不同边数多边形的内角和基准，把五边形内角和错等同于四边形内角和。 4、反向核验内角和计算结果的合理性时，将算出的总内角度数反向代入通用公式反推边数，得到的边数必须和题目给定的多边形边数完全匹配，不能出现反推边数和原始边数不一致的逻辑矛盾。 5、计算正多边形的单个内角度数时，要先用多边形内角和公式算出总内角和，再除以边数得到单角度数，不能直接用360°除以边数得到内角结果，混淆内角和外角的计算逻辑。 6、标注多边形内角和相关计算的最终结果时，必须明确标注角度单位“°”，避免出现漏写单位、把角度和长度单位错配的问题，导致角的大小指代完全失真。 7、计算边数大于3的多边形未知内角度数时，要先锚定对应边数的总内角和基准，用总内角和减去所有已知内角的度数和得到未知角的度数，不能忽略总内角和的固定约束，随意设定未知角的数值。 8、同一道多边形内角和的运算过程中，三角形内角和180°的基准、多边形内角和通用公式的判定标准必须完全统一，不能中途随意更改拆分三角形的计数逻辑，打乱运算的严谨性。 9、运用多边形内角和解决实际问题时，要先锚定「先确认多边形的边数、拆分得到对应数量的三角形、结合三角形内角和推导总内角和」的核心规则，不能直接硬套三角形内角和的单一运算逻辑，忽略不同边数多边形的内角和专属推导规则。 【题型精讲3】任意五边形的内角和是（    ）。 A．无法确定 B．360° C．540° D．720° 【易错巩固1】正六边形的内角和是（    ）。 A．540° B．720° C．900° 【易错巩固2】如图：将四边形沿虚线剪去一个100°的角，剩余图形的内角和是（    ）。 A．360° B．260° C．540° D．180° 【易错巩固3】如下图，已知在△ABC中，∠C＝70°，若沿虚线剪去∠C，则∠1＋∠2＝_______°。 【易错巩固4】三角形的内角和是180度，四边形的内角和是360度，五边形的内角和是540度，八边形的内角和是（ ）度。 【易错巩固5】如图：一辆小汽车沿正五边形跑道跑一圈，每次转向后，车的方向转过（ ）度。 【易错巩固6】一个零件如下图，当∠1＝40°，∠2＝25°，∠3＝90°时才符合要求，工人师傅在检验时，只量了∠4＝140°，就判断出这个零件不符合要求，你知道为什么吗？ 【易错巩固7】下图中∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是多少？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 三角形的再认识易错专项讲义 易错题型01 三角形的内角和 易错题型02 三角形三边关系 易错题型03 多边形的内角和 易错题型01 三角形的内角和 1、同时满足「三角形三个内角的和固定为180°、符合平面几何定义」的推导结果，才是本单元认可的三角形内角和合规结论，随意拼凑角度得到的不符合内角和逻辑的数值不能作为有效运算依据。 2、计算三角形未知内角度数时，要依托内角和180°的基准做减法运算，不能主观篡改内角和的固定数值，得到完全偏离正确结果的角度。 3、判断三个指定角度能否组成三角形时，要将三个角度的度数直接求和验证是否等于180°，不能仅凭视觉上的“看起来合理”就直接判定可组成三角形，忽略内角和的核心判定标准。 4、反向核验角度计算结果的合理性时，将算出的未知角和另外两个已知角相加求和，最终得到的总度数必须严格等于180°，不能出现求和后数值不等于180°的逻辑矛盾。 5、计算等腰三角形的未知内角度数时，要先确认等腰三角形两个底角完全相等的属性，再结合内角和规则推导，不能直接默认所有角的度数都相等，混淆等腰和等边三角形的属性差异。 6、标注三角形内角计算的最终结果时，必须明确标注角度单位“°”，避免出现漏写单位、把角度和长度单位错配的问题，导致角的大小指代完全失真。 7、计算直角三角形的未知锐角度数时，要先锚定直角固定为90°的前提，用90°减去已知锐角的度数直接得到剩余锐角的度数，不能忽略直角的90°属性，强行用180°做多余的分步运算。 8、同一道三角形内角和相关的运算过程中，内角和180°的固定基准、不同类型三角形的角的属性判定标准必须完全统一，不能中途随意更改内角和的数值定义，打乱运算逻辑的严谨性。 9、运用三角形内角和解决实际问题时，要先锚定「先确认三角形类型的角的属性、再依托内角和基准推导未知角、核验三个角度和为180°」的核心规则，不能直接硬套普通多边形的内角和运算逻辑，忽略三角形内角和的专属基准属性。 【题型精讲1】下面（    ）组是同一个三角形的三个内角。 A．90°    50°    41° B．57°    50°    63° C．95°    25°    60° D．100°    50°    50° 【答案】C 【分析】三角形的内角和为180°，将各个选项的三个角分别相加，看结果是否是180°，是180°的就可以组成一个三角形。据此解答。 【详解】A．90°＋50°＋41°＝140°＋41°＝181°，即这三个角不可能是一个三角形的三个内角。 B．57°＋50°＋63°＝107°＋63°＝170°，即这三个角不可能是一个三角形的三个内角。 C．95°＋25°＋60°＝120°＋60°＝180°，即这三个角可以是一个三角形的三个内角。 D．100°＋50°＋50°＝150°＋50°＝200°，即这三个角不可能是一个三角形的三个内角。 所以，95°、25°、60°是同一个三角形的三个内角。 【易错巩固1】锐角三角形中任意两个内角的和一定大于（    ）。 A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】B 【分析】三角形内角和为180°，锐角三角形的每个内角都小于90°，用内角和减去其中一个内角，得到的就是另外两个内角的和，由此可推出结果。 【详解】三角形内角和为，锐角三角形的任意一个内角都小于，则任意两个内角的和为：第三个内角，因为第三个内角，所以第三个内角。 锐角三角形中任意两个内角的和一定大于90°。 【易错巩固2】把一个等边三角形剪成两个完全相同的小三角形，每个小三角形中的两个锐角分别是（    ）。 A．45°，45° B．30°，60° C．45°，30° D．60°，60° 【答案】B 【分析】等边三角形三个内角均为60°，沿对称轴剪开得到两个完全相同的直角三角形，结合三角形内角和为180°即可求出小三角形的两个锐角。 【详解】等边三角形每个内角为，剪开后的小三角形是直角三角形，有一个角为，其中一个锐角等于原等边三角形的内角。 另一个锐角度数： 因此两个锐角分别为和。 【易错巩固3】临临在探究三角形内角和时把三角形纸片撕成三个角，不小心和同桌平平的一个角混在了一起，那么图中（ ）°的角是平平的。 【答案】60 【分析】三角形的内角和是180°，找出三个和是180度的角，剩下的就是平平的角。 【详解】因为53°＋50°＋77°＝180°，所以60°的角是平平的。 【易错巩固4】如图三角形ABC是一个等腰三角形，三角形ADC也是一个等腰三角形，已知∠1＝35°，∠3＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】35 110 【分析】等腰三角形两底角相等，三角形ABC是一个等腰三角形，所以∠1＝∠3。在等腰三角形ADC中，∠3＝∠CAD，三角形内角和180°，用180°减去两个底角的度数，就是顶角∠2的度数。 【详解】∠1＝35°，∠1＝∠3，所以∠3＝35°； ∠3＝∠CAD，所以∠CAD＝35°，∠2＝180°－35°×2＝180°－70°＝110°。 【易错巩固5】在一个三角形中，一个内角是86°，是另一个内角的2倍，第三个内角是（ ）°，这是一个（ ）三角形。 【答案】51 锐角 【分析】已知一个角86°，是第二个角的2倍，先用除法求出第二个内角度数；三角形内角和180°，用180°减去前两个角得到第三个角；根据三个角大小判断三角形类型：三个角都＜90°是锐角三角形。 【详解】86°÷2＝43° 180°－86°－43°＝94°－43°＝51° 所以第三个内角是51°。 三个内角分别是86°、43°、51°，全都小于90°，所以是锐角三角形。 【易错巩固6】一个三角形花坛，花坛的最大角是120°，是最小角的6倍，这个三角形花坛的第三个角是多少度？按角分，这个花坛的形状是什么三角形？ 【答案】40°；钝角三角形。 【分析】已知三角形内角和是180°，最大角是120°，且是最小角的6倍，首先利用除法求出最小角的度数，然后用内角和减去最大角和最小角求出第三个角的度数。最后根据最大角是钝角来判断三角形的形状。 【详解】120÷6＝20° 180°－120°－20°＝60°－20°＝40° 因为最大角是120°，120°＞90°是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。 答：这个三角形花坛的第三个角是40°；按角分，这个花坛的形状是钝角三角形。 【易错巩固7】三角形是一个直角三角形，其中；三角形是一个等腰三角形，且，求的度数。 聪聪这样想：是等腰三角形的顶角，求顶角应该先求出等腰三角形的底角或的度数，是直角三角形的一个锐角，要求的度数，应看直角三角形另一个锐角的度数，而的度数题中已告知，所以能求出。请按聪聪的想法写一写计算过程。 【答案】84° 【分析】此题考查了三角形的内角和是180°以及等腰三角形的两个底角相等的性质的综合应用。 【详解】∠1＝180°－∠ABC－∠3＝180°－90°－42°＝90°－42°＝48° ∠2＝∠1＝48° ∠4＝180°－∠1－∠2＝180°－48°－48°＝132°－48°＝84° 答：∠4的度数为84°。 易错题型02 三角形三边关系 1、同时满足「任意两边之和大于第三边、三条线段首尾顺次连接」的封闭图形才是合规的三角形，仅满足一组两边之和大于第三边的三条线段不能直接判定可以组成三角形。 2、判断三条线段能否组成三角形时，可优先验证两条较短线段的长度之和是否大于最长线段，不能跳过核心验证步骤直接凭视觉判定，得到错误结论。 3、已知三角形两条边的固定长度时，第三条边的长度必须小于两条已知边的长度之和，不能主观设定第三条边的长度大于等于两边之和，得到完全不符合三边逻辑的结果。 4、反向核验三边组合合理性时，将三条边两两求和做三次验证，三次求和结果都必须严格大于对应的第三条边长度，不能出现任意一组两边之和小于等于第三边的逻辑矛盾。 5、计算三角形第三边的取值范围时，要同时满足“第三边大于两条已知边的长度差、小于两条已知边的长度和”的双重约束，不能只套用单一的和的约束，忽略差的边界要求。 6、标注三角形边长相关计算的最终结果时，必须明确标注对应的长度单位，避免出现漏写单位、把长度单位和角度单位错配的问题，导致边长的实际指代完全失真。 7、判断等腰三角形的三边组合是否合规时，要先确认两条相等的腰长之和大于底边长度，不能直接默认两条边相等就一定能组成等腰三角形，忽略三边关系的核心约束。 8、同一道三角形三边关系的判定过程中，边长的数值基准、“任意两边之和大于第三边”的判定规则必须完全统一，不能中途随意更改边长的数值定义，打乱判定逻辑的严谨性。 9、运用三角形三边关系解决实际问题时，要先锚定「先排序三条边的长度、验证短边之和大于最长边、核验所有组合满足三边约束」的核心规则，不能直接硬套普通线段拼接的逻辑，忽略三角形三边的专属属性要求。 【题型精讲2】下列选项中，能围成三角形的一组线段是（    ）。 A．3cm，4cm，8cm B．5cm，6cm，11cm C．5cm，7cm，10cm D．2cm，2cm，5cm 【答案】C 【分析】判断三条线段能否围成三角形，只需验证较短两条线段的长度和是否大于最长线段的长度，大于则可以围成，否则不能。 【详解】A．，，不能围成三角形。 B．，，不能围成三角形。 C．，，能围成三角形。 D．，，不能围成三角形。 【易错巩固1】一个三角形的两条边分别是4厘米、7厘米，第三条边不可能是（    ）厘米。 A．10 B．8 C．5 D．3 【答案】D 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出第三边的长度范围，再判断选项即可。 【详解】（厘米），（厘米），第三条边的长度需要满足大于3厘米且小于11厘米，只有3厘米不符合该条件，因此第三条边不可能是3厘米。 【易错巩固2】如图，一辆小汽车从A地出发，先向B地行驶，再向C地行驶，最后回到A地，两地之间的距离可能是（    ）。 A．18km B．21km C．26km D．53km 【答案】C 【分析】根据三角形中两条短边之和大于第三边求解。 【详解】A．若AC＝18km，16＋18＝34（km），34＜37，两边之和小于第三边，排除； B．若AC＝21km，16＋21＝37（km），37＝37，两边之和等于第三边，排除； C．若AC＝26km，16＋26＝42（km），42＞37，两边之和大于第三边，正确； D．若AC＝53km，16＋37＝51（km），51＜53，两边之和小于第三边，排除； 【易错巩固3】从长度分别是1cm、3cm、4cm、10cm的四根小棒中选取两根，与一根长6cm的小棒首尾相连围成一个三角形，那么选取的两根小棒的长度分别是（ ）cm和（ ）cm。 【答案】3 4 【分析】三角形的三边规则是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行分析。 【详解】①选择1cm和3cm的小棒，1＋3＝4（cm），4＜6，无法围成三角形。 ②选择1cm和4cm的小棒，1＋4＝5（cm），5＜6，无法围成三角形。 ③选择1cm和10cm的小棒，1＋10＝11（cm），11＞6，10－1＝9（cm），9＞6，无法围成三角形。 ④选择3cm和4cm的小棒，3＋4＝7（cm），7＞6，4－3＝1（cm），1＜6，可以围成三角形。 ⑤选择3cm和10cm的小棒，3＋10＝13（cm），13＞6，10－3＝7（cm），7＞6，无法围成三角形。 ⑥选择4cm和10cm的小棒，4＋10＝14（cm），14＞6，10－4＝6（cm），6＝6，无法围成三角形。 选取的两根小棒的长度分别是3cm和4cm。 【易错巩固4】用小棒搭三角形。其中两根小棒分别长3厘米和5厘米，第三根的长度可能是（ ）厘米，也可能是（ ）厘米，还可能是（ ）厘米。（取整厘米数） 【答案】3 4 5 【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边”，可以确定第三边的取值范围。已知两边分别为3厘米和5厘米，第三边长度应大于两边之差，小于两边之和。在此基础上找出范围内的整厘米数，任选三个填入即可。 【详解】 第三边的长度小于已知两边之和：3＋5＝8（厘米） 第三边的长度大于已知两边之差：5－3＝2（厘米） 所以第三边的长度范围是大于2厘米且小于8厘米。 因为长度取整厘米数，所以第三边可能是3、4、5、6、7厘米。 【易错巩固5】用每组三根小棒搭三角形，不能搭成三角形的是第（ ）组，理由是（ ）。 【答案】（2） 不满足三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（合理即可） 【分析】较短的两根小棒长度和大于较长的小棒，则三根小棒能搭成三角形，否则不能搭成三角形。 【详解】（1）3＋4＞5，所以三根小棒能搭成三角形； （2）2＋2＜6，所以三根小棒不能搭成三角形； （3）3＋3＞3，所以三根小棒能搭成三角形； （4）3＋3＞5，所以三根小棒能搭成三角形。 所以，不能搭成三角形的是第（2）组，理由是不满足三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。（合理即可） 【易错巩固6】王伯伯要用篱笆围一块三角形的菜地。其中两条边分别用篱笆12米、9米。第三条边最短要用多长的篱笆才能围成三角形菜地？最长呢？（取整米数） 【答案】最短米，最长米 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边的长度，通过计算两边之和、两边之差，就能确定第三条边的取值范围；题目要求取整米数，在取值范围内找出最小、最大整数即为答案。 【详解】根据三角形三边关系：第三边＞两边之差，第三边＜两边之和。 两边之和：（米） 两边之差：（米） 因此第三条边长度范围：3米＜第三边＜21米。 因为篱笆长度取整米数， 最短长度：（米） 最长长度：（米） 答：第三条边最短要用米长的篱笆，最长要用米长的篱笆才能围成三角形菜地。 【易错巩固7】把一根24厘米长的铁丝剪成3段（每段都是整厘米数），再用这3段铁丝围一个等腰三角形（不包括3边相等的情况），这个等腰三角形的三条边分别长多少厘米？把不同的剪法写在表里。 底边长/厘米 腰长/厘米 【答案】 底边长/厘米 2 4 6 10 腰长/厘米 11 10 9 7 【分析】用等腰三角形周长减去底边长，再除以2就是每条腰长，需要每段都是整厘米数；最后再根据三角形任意两边之和大于第三边，判断能不能围成三角形。 【详解】底边长：1厘米，（24－1）÷2＝23÷2，腰长不是整厘米数； 底边长：2厘米，（24－2）÷2＝22÷2＝11（厘米），2＋11＞11，能围成三角形； 底边长：3厘米，（24－3）÷2＝23÷2，腰长不是整厘米数； 底边长：4厘米，（24－4）÷2＝20÷2＝10（厘米），4＋10＞10，能围成三角形； 底边长：5厘米，（24－5）÷2＝19÷2，腰长不是整厘米数； 底边长：6厘米，（24－6）÷2＝18÷2＝9（厘米），6＋9＞9，能围成三角形； 底边长：7厘米，（24－7）÷2＝17÷2，腰长不是整厘米数； 底边长：8厘米，（24－8）÷2＝16÷2＝8（厘米），此时3边相等，不符合要求。 底边长：9厘米，（24－9）÷2＝15÷2，腰长不是整厘米数； 底边长：10厘米，（24－10）÷2＝14÷2＝7（厘米），7＋7＞10，能围成三角形； 底边长：11厘米，（24－11）÷2＝13÷2，腰长不是整厘米数； 底边长：12厘米，（24－12）÷2＝12÷2＝6（厘米），6＋6＝12，不能围成三角形； 底边长：13厘米，（24－13）÷2＝11÷2，腰长不是整厘米数； 底边长：14厘米，（24－14）÷2＝10÷2＝5（厘米），5＋5＜14，不能围成三角形； 后面的数据腰长不是整厘米数或不能围成三角形。 填表略。 易错题型03 多边形的内角和 1、同时满足「由n条线段首尾顺次连接围成的封闭平面图形、内角和符合固定推导逻辑」得到的结果，才是本单元认可的多边形内角和合规结论，脱离封闭多边形定义随意拼凑的不符合几何逻辑的数值不能作为有效运算依据。 2、计算多边形内角和时，要依托从一个顶点出发引出对角线将多边形拆分为若干个三角形的方法推导，不能主观跳过拆分步骤直接自定义内角和数值，得到完全偏离正确结果的度数。 3、判定一个n边形的内角和时，要严格套用多边形内角和通用公式，不能混淆不同边数多边形的内角和基准，把五边形内角和错等同于四边形内角和。 4、反向核验内角和计算结果的合理性时，将算出的总内角度数反向代入通用公式反推边数，得到的边数必须和题目给定的多边形边数完全匹配，不能出现反推边数和原始边数不一致的逻辑矛盾。 5、计算正多边形的单个内角度数时，要先用多边形内角和公式算出总内角和，再除以边数得到单角度数，不能直接用360°除以边数得到内角结果，混淆内角和外角的计算逻辑。 6、标注多边形内角和相关计算的最终结果时，必须明确标注角度单位“°”，避免出现漏写单位、把角度和长度单位错配的问题，导致角的大小指代完全失真。 7、计算边数大于3的多边形未知内角度数时，要先锚定对应边数的总内角和基准，用总内角和减去所有已知内角的度数和得到未知角的度数，不能忽略总内角和的固定约束，随意设定未知角的数值。 8、同一道多边形内角和的运算过程中，三角形内角和180°的基准、多边形内角和通用公式的判定标准必须完全统一，不能中途随意更改拆分三角形的计数逻辑，打乱运算的严谨性。 9、运用多边形内角和解决实际问题时，要先锚定「先确认多边形的边数、拆分得到对应数量的三角形、结合三角形内角和推导总内角和」的核心规则，不能直接硬套三角形内角和的单一运算逻辑，忽略不同边数多边形的内角和专属推导规则。 【题型精讲3】任意五边形的内角和是（    ）。 A．无法确定 B．360° C．540° D．720° 【答案】C 【分析】计算多边形内角和可以将其分割为若干个三角形，三角形内角和为180°，边形可以分割出（n－2）个三角形，内角和就是（n－2）乘180°。 【详解】五边形可分割出的三角形个数：5－2＝3五边形内角和：3×180°＝540° 【易错巩固1】正六边形的内角和是（    ）。 A．540° B．720° C．900° 【答案】B 【分析】多边形内角和可通过拆分为若干个三角形推导，公式为：（边数－2）×180°，正六边形边数为6，代入公式计算即可。 【详解】 【易错巩固2】如图：将四边形沿虚线剪去一个100°的角，剩余图形的内角和是（    ）。 A．360° B．260° C．540° D．180° 【答案】C 【分析】根据图示可知，剩余的图形是一个五边形，多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此将多边形的边数代入公式计算出结果即可。 【详解】（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 【易错巩固3】如下图，已知在△ABC中，∠C＝70°，若沿虚线剪去∠C，则∠1＋∠2＝_______°。 【答案】250 【分析】三角形内角和是180°，四边形内角和是360°。用三角形内角和减去70°求出∠A＋∠B的度数；用四边形内角和减去∠A＋∠B的度数即可求出∠1＋∠2的度数。 【详解】∠A＋∠B＝180°－70°＝110° ∠1＋∠2＝360°－110°＝250°。 已知在△ABC中，∠C＝70°，若沿虚线剪去∠C，则∠1＋∠2＝250°。 【易错巩固4】三角形的内角和是180度，四边形的内角和是360度，五边形的内角和是540度，八边形的内角和是（ ）度。 【答案】 【分析】先从已知的三角形、四边形、五边形的内角和数据，推导多边形内角和与边数的关系，确定突破口是找到边数和对应内角和的通用公式。因为边形可以从一个顶点出发，连接不相邻的顶点，分割为个三角形，所以根据三角形内角和为，可得出多边形内角和公式为：，如果求八边形的内角和，那么将代入上述公式计算即可。 【详解】 【易错巩固5】如图：一辆小汽车沿正五边形跑道跑一圈，每次转向后，车的方向转过（ ）度。 【答案】72 【分析】如下图，小汽车每次转向转过的角度就是正五边形的一个外角，多边形的内角和＝180°×（边数－2），把数据代入先求出正五边形的内角和，由于正五边形的5个内角都相等，所以正五边形的内角和除以5即等于一个内角的度数，180°减去一个内角的度数即等于一个外角的度数，也就是车每次转向转过的度数，据此即可解答。 【详解】180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 540°÷5＝108° 180°－108°＝72° 一辆小汽车沿正五边形跑道跑一圈，每次转向后，车的方向转过72度。 【易错巩固6】一个零件如下图，当∠1＝40°，∠2＝25°，∠3＝90°时才符合要求，工人师傅在检验时，只量了∠4＝140°，就判断出这个零件不符合要求，你知道为什么吗？ 【答案】零件不合格。因为用360°减去与∠4相邻的角不等于140°。 【分析】四边形的内角和是360°，∠4与它相邻的内角的和是360°；用四边形的内角和减去∠1，∠2，∠3的度数算出与∠4相邻的内角；用360°减去与∠4相邻的角算出∠4的度数，如果等于140°，零件合格，如果不等于140°，零件不合格。 【详解】360°－∠1－∠2－∠3 ＝360°－40°－25°－90° ＝205° 360°－205°＝155° 155°≠140° 答：零件不合格。因为用360°减去与∠4相邻的角不等于140°。 【易错巩固7】下图中∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是多少？ 【答案】360° 【分析】由图可知：∠1＋∠6＝∠2＋∠7＝∠3＋∠8＝∠4＋∠9＝∠5＋∠10＝180°，且五边形内角和为（52）×180°，也就是∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝540°，再用180°×5540°即可算出正确答案。 【详解】由图可知：∠1＋∠6＝∠2＋∠7＝∠3＋∠8＝∠4＋∠9＝∠5＋∠10＝180° ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 ＝（52）×180° ＝3×180° ＝540° 那么∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10 ＝（180°∠1）＋（180°∠2）＋（180°∠3）＋（180°∠4）＋（180°∠5） ＝180°×5（∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5） ＝900°540° ＝360° 答：∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是360°。 【点睛】要计算这5个角的度数，必须认真观察，从中找出规律，经过观察发现∠1、∠6组成一个平角，同理，∠2、∠7等相邻的两个角也都是组成一个平角，其中∠1、∠2、∠3、∠4和∠5是一个五边形的内角，再经过转化后就可以计算出这些角度数的和。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $