第二单元 圆（易错专项讲义）数学北师大版六年级上册（新教材）

该小学数学第二单元“圆”易错专项讲义通过分类7大易错题型构建知识体系，系统梳理圆及组合图形的周长面积计算、阴影部分度量、概念辨析、圆环及方中圆问题等核心内容，以逻辑框架呈现公式应用与几何逻辑的内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于“易错点-精讲-巩固”三阶设计，如半圆环周长计算强调外围轮廓统计，圆中方问题结合对角线与直径关系推导，通过反向核验培养推理意识，几何直观助力理解。分层练习满足不同学生需求，教师可据此实施精准复习，提升学生应用能力。

第二单元 圆易错专项讲义 易错题型01 圆及组合图形的周长和面积计算 易错题型02 含圆的阴影部分的周长和面积 易错题型03 圆的概念、特点及对称性 易错题型04 运用圆的周长解决问题 易错题型05 运用圆的面积解决问题 易错题型06 运用圆环的面积解决问题 易错题型07 方中圆或圆中方的面积问题 易错题型01 圆及组合图形的周长和面积计算 1、同时满足「图形边界属性合规、周长面积计算逻辑匹配对应公式」推导得到的结果，才是本单元认可的圆及组合图形周长和面积计算的合规结果，脱离圆的定义、随意拼接数值得到的不符合几何逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、计算圆的周长时，要严格依托圆的周长公式 C=2πr 或 C=πd 运算，不能直接把圆的直径长度直接等同于周长，混淆直线段和曲线的长度计算逻辑。 3、计算圆的面积时，要严格依托圆的面积公式S=πr2 运算，不能错误将半径的平方直接等同于半径乘2，得到完全偏离正确值的面积结果。 3、反向核验计算结果的合理性时，将算出的周长、面积数值反向代入对应公式推导半径，得到的半径数值必须和题目给定的原始半径/直径条件完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 4、计算包含圆的部分弧段的组合图形周长时，要仅统计图形外围的所有曲线段和直线段长度，不能把图形内部的拼接边也计入周长统计，得到周长虚高的错误结果。 5、标注圆及组合图形周长、面积的最终结果时，必须明确标注对应的单位，周长标注长度单位、面积标注面积单位，避免出现单位错配的问题，导致度量结果的指代完全失真。 6、计算包含圆的重叠部分的组合图形面积时，要先通过容斥原理剔除重复统计的区域面积，不能直接将多个基础图形的面积直接相加，得到重复计算的错误总面积。 7、同一道圆及组合图形的计算过程中，圆周率π的取值标准、周长和面积的公式定义必须完全统一，不能中途随意更改π的取值，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲1】求图中这个半圆环的周长。（π取3.14） 【易错巩固1】求圆的周长和面积。 【易错巩固2】计算下面图形的周长。 【易错巩固3】求下边图形的面积。 【易错巩固4】求如图的面积。 易错题型02 含圆的阴影部分的周长和面积 1、同时满足「图形边界属性合规、周长面积计算逻辑匹配对应几何规则」推导得到的结果，才是本单元认可的含圆阴影部分的周长和面积的合规结果，脱离阴影区域边界定义、随意拼接数值得到的不符合几何逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、计算含圆阴影部分的周长时，要仅统计阴影区域的全部外围轮廓长度，不能直接套用完整圆的周长公式后直接相加，误将图形内部的拼接辅助边计入周长统计，得到虚高的错误周长结果。 3、计算含圆阴影部分的面积时，要优先通过“整体图形面积减去空白区域面积”的逻辑推导，不能直接将阴影区域的局部圆弧对应的扇形面积直接等同于阴影总面积，混淆圆弧边界和封闭区域的面积属性。 4、反向核验计算结果的合理性时，将算出的阴影周长、面积代入原图形的整体与空白区域的和差关系做逆运算，最终得到的数值必须和原图形的已知参数完全匹配，不能出现逆运算后数值不一致的逻辑矛盾。 5、计算由多个圆弧拼接而成的阴影周长时，要逐一核对每段圆弧对应的圆心角占整圆的比例，再通过对应比例计算单段弧长后求和，不能直接默认所有圆弧的长度都等于整圆周长的1/4，得到不符合圆心角实际占比的错误弧长。 6、标注含圆阴影部分的周长和面积的最终结果时，必须明确标注对应度量单位，周长标注长度单位、面积标注面积单位，避免出现单位错配的问题，导致度量结果的指代完全失真。 7、计算包含圆重叠区域的阴影面积时，要通过容斥原理剔除重复统计的区域，不能直接将多个基础图形的面积直接相加，得到重复计算重叠部分的错误总面积。 8、同一道含圆阴影部分的计算过程中，圆周率π的取值标准、周长和面积的公式定义必须完全统一，不能中途随意更改π的取值，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲2】求阴影部分的面积。（单位：cm） 【易错巩固1】求阴影部分的面积。 【易错巩固2】求阴影部分的面积。          【易错巩固3】计算下面图形中阴影部分的周长。 【易错巩固4】巧求下面阴影的周长。 （1）（2） 易错题型03 圆的概念、特点及对称性 1、同时满足「平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的封闭曲线」定义的图形才是标准圆，仅形态近似圆形但圆心到边缘距离不恒定的图形不属于本单元定义的圆。 2、判定直径和半径的2倍关系时，必须保证二者属于同一个圆，不能直接默认任意圆的直径都是其他圆半径的2倍，混淆不同圆的参数边界。 3、圆的对称轴是任意一条直径所在的直线，不能错误认为圆的对称轴是直径这条线段，混淆直线和线段的属性差异。 4、反向核验圆的对称性判定结果的合理性时，沿任意一条过圆心的直线对折圆，直线两侧的图形必须能够完全重合，不能出现对折后边缘无法对齐的逻辑矛盾。 5、同一个圆内所有半径的长度完全相等，所有直径的长度也完全相等，不能在同一个标准圆内出现半径长度不统一的情况，违背圆的定长属性。 6、标注圆的半径、直径相关结果时，必须明确标注对应的长度单位，避免出现漏写单位、把长度单位和角度单位错配的问题，导致圆的尺寸指代完全失真。 7、确定圆的位置要依托圆心的位置，确定圆的大小要依托半径的长度，不能混淆二者的作用，错误认为半径决定圆的位置、圆心决定圆的大小。 8、同一道圆的属性判定过程中，圆的定长定义、对称轴的判定标准必须完全统一，不能中途随意更改圆的核心属性定义，打乱判定逻辑的严谨性。 【题型精讲3】一个公园准备在入口处的正方形空地上布置一个花坛（涂色部分），花坛区域的面积是正方形面积的一半。下面不符合要求的设计是（    ）。 A． B． C． D． 【易错巩固1】一个圆的直径是6cm，以该圆的直径为三角形的底，三角形的顶点在圆周上运动，这个三角形的面积最大是（    ）cm2。 A．3 B．6 C．9 D．12 【易错巩固2】下列图形中，对称轴条数最少的是（    ）。 A． B． C． D． 【易错巩固3】如下图，这个图形有（ ）条对称轴，如果其中一个圆的直径是20厘米，那么其中一个圆的半径是（ ）厘米，长方形的长是（ ）厘米。 【易错巩固4】小军在整理玩具时，找到了一个直角三角形塑料板和一个中间有圆孔的长方形塑料板（如图）。若他想把直角三角形塑料板从长方形塑料板的圆孔中穿过去，则圆孔的直径至少为（ ）厘米。 易错题型04 运用圆的周长解决问题 1、同时满足「依托圆的周长定义、匹配对应周长公式」推导得到的结果，才是本单元认可的圆的周长相关问题的合规结果，脱离圆的周长本质属性随意拼凑的不符合几何逻辑的数值不能作为有效运算依据。 2、计算圆的周长时，要严格使用圆的周长公式 C=2πr 或 C=πd 运算，不能直接将圆的直径长度等同于周长，混淆直线段长度和曲线周长的度量逻辑。 3、计算半圆的周长时，要在半圆弧长的基础上额外加上一条直径的长度，不能直接将整圆周长除以2得到的半圆弧长直接等同于半圆的完整周长，遗漏直径的直边部分。 4、反向核验周长计算结果的合理性时，将算出的周长数值反向代入周长公式反推直径/半径，得到的参数必须和题目给定的原始条件完全匹配，不能出现反推后数值不一致的逻辑矛盾。 5、计算绕圆形物体滚动指定圈数的总路程时，要先算出单圈的圆周长，再乘以滚动的总圈数，不能直接用圆的直径乘以圈数得到总路程，混淆单圈周长的计算逻辑。 6、同一道圆的周长相关问题的运算过程中，圆周率π的取值标准、周长公式的判定规则必须完全统一，不能中途随意更改π的取值，打乱运算逻辑的严谨性。 7、运用圆的周长解决实际问题时，要先锚定「先明确问题对应的是完整圆还是部分圆弧、匹配对应周长公式、核验结果符合实际场景逻辑」的核心规则，不能直接硬套普通直线段的长度运算逻辑，忽略圆的曲线周长的专属属性。 【题型精讲4】如图，这个半圆的周长是20.56分米，它的半径是多少分米？ 【易错巩固1】动物园要修一个半圆形的孔雀活动区（不靠墙），活动区半径为8米，在活动区外侧安装一圈防护栏。防护栏的长度是多少米？ 【易错巩固2】一辆自行车，车轮的外直径是0.8米，如果它每分钟转200圈，通过一座长1004.8米的大桥，需要多少分钟？（取3.14） 【易错巩固3】人们通过适度的体育锻炼可以有效延缓衰老，减缓身体器官萎缩，增强抵抗力和免疫力。笑笑和奇思跑步锻炼身体，笑笑沿长为70米，宽为30米的长方形跑道跑步，奇思沿直径为60米的圆形跑道跑步，两人各跑完一周所用的时间相同，谁的速度快？为什么？（π取3.14） 【易错巩固4】如图，某小学计划修建一个周长为400米的运动场，若直道长要求设计为100米，则弯道半径应该设计为多少米？（结果保留一位小数） 易错题型05 运用圆的面积解决问题 1、同时满足「依托圆的面积定义、匹配对应面积公式」推导得到的结果，才是本单元认可的圆的面积相关问题的合规结果，脱离圆的面积本质属性随意拼凑的不符合几何逻辑的数值不能作为有效运算依据。 2、计算圆的面积时，要严格使用圆的面积公式 S=πr 2运算，不能错误将半径的平方等同于半径乘2，得到完全偏离正确值的面积结果。 3、计算半圆的面积时，要在完整圆面积的基础上除以2得到结果，不能直接将整圆周长除以2后套用面积公式，混淆半圆弧长和半圆面积的计算逻辑。 4、反向核验面积计算结果的合理性时，将算出的面积数值反向代入面积公式反推半径，得到的半径参数必须和题目给定的原始条件完全匹配，不能出现反推后数值不一致的逻辑矛盾。 5、标注圆的面积相关计算的最终结果时，必须明确标注对应的面积单位，避免出现漏写单位、把面积单位和长度单位错配的问题，导致面积的度量结果指代完全失真。 6、同一道圆的面积相关问题的运算过程中，圆周率π的取值标准、面积公式的判定规则必须完全统一，不能中途随意更改π的取值，打乱运算逻辑的严谨性。 7、运用圆的面积解决实际问题时，要先锚定「先明确问题对应的是完整圆还是部分扇形区域、匹配对应面积公式、核验结果符合实际场景逻辑」的核心规则，不能直接硬套普通矩形的面积运算逻辑，忽略圆的曲线封闭图形的专属面积属性。 【题型精讲5】有一个周长是3140m的圆形湖，在湖的中间有一个面积是5000m2的小岛。如果在湖中种上白莲，种白莲的面积是多少平方米？ 【易错巩固1】同学们在操场上围成圆圈做“丢手绢”游戏，乐乐绕圆圈跑一圈跑了12.56m。那么同学们所围成的圆的面积是多少平方米？ 【易错巩固2】李奶奶家的养鸡场（如图），一面靠墙，一面用竹篱笆围成半圆，它的半径是6m。 （1）修这个养鸡场用了多长的竹篱笆？ （2）李奶奶要扩建这个养鸡场，把它的半径增加2m。养鸡场的面积会增加多少？ 【易错巩固3】在红星小学“公筷公勺，我们都是健康侠”手抄报设计活动中，圆圆的作品脱颖而出。圆圆家时钟的分针长3厘米，她在设计手抄报的过程中，分针针尖走过了56.52厘米，则这个过程中分针扫过的面积是多少平方厘米？ 【易错巩固4】乐乐很喜欢用圆规来绘制一些图案，这天她用圆规在方格纸上画了一片“花瓣儿”。已知小方格纸的边长是10厘米，请你算算看： （1）这片“花瓣儿”的周长是多少厘米？ （2）求这片“花瓣儿”的面积。 易错题型06 运用圆环的面积解决问题 1、同时满足「依托圆环的定义、匹配圆环面积推导逻辑」得到的结果，才是本单元认可的圆环面积相关问题的合规结果，脱离圆环“两个同心圆之间的环形区域”的定义随意拼凑的不符合几何逻辑的数值不能作为有效运算依据。 2、计算标准圆环的面积时，要严格依托公式 S=π(R2−r2) 运算（其中R为外圆半径，r为内圆半径），不能错误将“外圆半径减内圆半径的差值”直接代入圆的面积公式，得到完全偏离正确值的面积结果。 3、计算仅已知内外圆直径的圆环面积时，要先将直径分别除以2得到对应的外圆半径和内圆半径，再代入圆环面积公式运算，不能直接将直径数值代入半径的位置计算，混淆直径和半径的参数边界。 4、反向核验圆环面积计算结果的合理性时，将算出的面积数值反向代入圆环面积公式反推内外圆的半径平方差，得到的差值必须和题目给定的原始半径参数完全匹配，不能出现反推后数值不一致的逻辑矛盾。 5、标注圆环面积相关计算的最终结果时，必须明确标注对应的面积单位，避免出现漏写单位、把面积单位和长度单位错配的问题，导致圆环面积的度量结果指代完全失真。 6、同一道圆环面积相关问题的运算过程中，圆周率π的取值标准、内外圆半径的参数判定规则必须完全统一，不能中途随意更改π的取值，打乱运算逻辑的严谨性。 7、运用圆环面积解决实际问题时，要先锚定「先确认内外圆属于同心圆、分别获取准确的半径参数、匹配对应完整圆环或扇环的面积公式」的核心规则，不能直接硬套普通完整圆的面积运算逻辑，忽略圆环“两圆相减得到环形区域”的专属属性。 【题型精讲6】解决问题。 一个圆形舞台，半径是2.5米，现在为了满足演出的需要，将舞台半径加宽了0.5米，现在舞台的面积比原来的面积大多少平方米？ 【易错巩固1】学校多功能厅原有一个直径为8米的半圆形舞台。计划将舞台半径增加2米。（如图） （1）扩建后舞台的面积增加了多少平方米？ （2）扩建完成后，在新舞台的外围边缘上等距离摆放花盆，每隔3.14米摆一盆，舞台的两端都不摆放花盆一共需要摆放多少盆花？ 【易错巩固2】在新能源汽车研发实验室中，工程师们正在设计一种新型的无线充电装置。该装置的核心部分是两个同心圆形的充电线圈，外圈线圈用于快速传输电能，内圈线圈则用于稳定电流。已知外圈线圈的直径为40厘米，内圈线圈的半径比外圈半径小8厘米。为了保证充电效率，需要在两个线圈之间的环形区域涂抹特殊的绝缘材料，每平方厘米绝缘材料的成本是0.5元。请问，制作这样一个无线充电装置，涂抹绝缘材料的总成本大约是多少元？（建议：先画示意图分析再解答（取3） 【易错巩固3】某市准备在中心广场的圆形音乐喷泉的四周，搭建一个宽度为6米的环形看台。 （1）这个环形看台的占地面积是多少平方米？ （2）如果在环形看台的外围圆周上每隔6.28米种一棵树，一共大约可以种多少棵树？ 【易错巩固4】学校有一个靠墙的半圆形小花圃，直径是8米。 （1）同学们用栅栏将这个小花圃围起来，至少需要栅栏多少米？ （2）在老师的指导下，同学们用石子在花圃周围摆了一条2米宽的小路，小路的面积是多少平方米？ 易错题型07 方中圆或圆中方的面积问题 1、同时满足「方中圆/圆中方的图形边界严格贴合、面积推导逻辑匹配对应几何约束」得到的结果，才是本单元认可的方中圆或圆中方面积问题的合规结果，脱离“正方形与圆的边界完全相切/顶点共圆”的定义随意拼凑的不符合几何逻辑的数值不能作为有效运算依据。 2、计算标准方中圆（正方形内最大内切圆）的面积时，要先明确圆的直径与正方形的边长完全相等的核心约束，不能随意自定义圆的直径参数，得到不符合内切关系的错误面积结果。 3、计算标准圆中方（圆内最大内接正方形）的面积时，要依托“正方形的对角线长度与圆的直径完全相等”的属性推导，不能直接默认正方形的边长等于圆的直径，混淆内接正方形的边长与圆直径的对应关系。 4、反向核验面积计算结果的合理性时，将算出的圆和正方形的面积反向代入对应边长、直径的关联关系做逆运算，得到的参数必须和题目给定的原始条件完全匹配，不能出现逆推后数值不一致的逻辑矛盾。 5、计算方中圆的阴影部分（正方形减去内切圆的剩余区域）面积时，要通过正方形总面积减去内切圆面积的逻辑推导，不能直接将圆的面积直接从正方形边长的平方中扣除，遗漏参数对应关系的校验步骤。 6、标注方中圆或圆中方的面积相关计算的最终结果时，必须明确标注对应的面积单位，避免出现漏写单位、把面积单位和长度单位错配的问题，导致面积的度量结果指代完全失真。 【题型精讲7】在一个圆的内接正方形中（如图），涂色三角形的面积是108平方厘米，圆的面积是（    ）平方厘米。 A．432π B．216π C．108π D．无法计算 【易错巩固1】从一张边长为20cm的正方形纸上剪一个最大的圆，这个圆面积是（    ）cm2。 A．15.7 B．314 C．78.5 D．157 【易错巩固2】中国建筑中经常见到“外方内圆”与“外圆内方”的设计，其中蕴含着为人处世的朴素道理。如果图①中外面正方形的面积是64，则内圆的面积是（ ）；如果图②中外圆的面积是28.26，则圆内大正方形的面积是（ ）。 【易错巩固3】“外圆内方”和“外方内圆”是我国古代建筑物中常见的设计，也蕴含了中国人为人处事的朴素道理。下图是一扇“外方内圆”的景观窗户，正方形木框围成的面积是16平方分米，则正方形木框和圆形木框之间的面积（ ）平方分米。 【易错巩固4】奶奶剪的“福”字窗花采用了外圆内方的造型，窗花最外层圆形的周长是43.96厘米，那么中间最大正方形的面积是多少平方厘米？（π取3.14） / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 圆易错专项讲义 易错题型01 圆及组合图形的周长和面积计算 易错题型02 含圆的阴影部分的周长和面积 易错题型03 圆的概念、特点及对称性 易错题型04 运用圆的周长解决问题 易错题型05 运用圆的面积解决问题 易错题型06 运用圆环的面积解决问题 易错题型07 方中圆或圆中方的面积问题 易错题型01 圆及组合图形的周长和面积计算 1、同时满足「图形边界属性合规、周长面积计算逻辑匹配对应公式」推导得到的结果，才是本单元认可的圆及组合图形周长和面积计算的合规结果，脱离圆的定义、随意拼接数值得到的不符合几何逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、计算圆的周长时，要严格依托圆的周长公式 C=2πr 或 C=πd 运算，不能直接把圆的直径长度直接等同于周长，混淆直线段和曲线的长度计算逻辑。 3、计算圆的面积时，要严格依托圆的面积公式S=πr2 运算，不能错误将半径的平方直接等同于半径乘2，得到完全偏离正确值的面积结果。 3、反向核验计算结果的合理性时，将算出的周长、面积数值反向代入对应公式推导半径，得到的半径数值必须和题目给定的原始半径/直径条件完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 4、计算包含圆的部分弧段的组合图形周长时，要仅统计图形外围的所有曲线段和直线段长度，不能把图形内部的拼接边也计入周长统计，得到周长虚高的错误结果。 5、标注圆及组合图形周长、面积的最终结果时，必须明确标注对应的单位，周长标注长度单位、面积标注面积单位，避免出现单位错配的问题，导致度量结果的指代完全失真。 6、计算包含圆的重叠部分的组合图形面积时，要先通过容斥原理剔除重复统计的区域面积，不能直接将多个基础图形的面积直接相加，得到重复计算的错误总面积。 7、同一道圆及组合图形的计算过程中，圆周率π的取值标准、周长和面积的公式定义必须完全统一，不能中途随意更改π的取值，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲1】求图中这个半圆环的周长。（π取3.14） 【答案】34.26cm 【分析】通过观察图形可知，这个半圆环的周长等于直径是12厘米的圆周长的一半加上直径是6厘米的圆周长的一半，再加上环宽是2倍（即内外圆半径差的2倍，也就是内外圆的直径差）。根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×12÷2＋3.14×6÷2＋（12－6） ＝18.84＋9.42＋6 ＝34.26（cm） 这个半圆环的周长是34.26cm。 【易错巩固1】求圆的周长和面积。 【答案】21.98cm；38.465cm2 【分析】观察图形可知 ，圆的直径等于正方形的边长7cm，根据圆的周长公式C＝πd，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出圆的周长和面积。 【详解】3.14×7＝21.98（cm） 3.14×（7÷2）2 ＝3.14×3.52 ＝3.14×12.25 ＝38.465（cm2） 圆的周长是21.98cm，面积是38.465cm2。 【易错巩固2】计算下面图形的周长。 【答案】33.12dm 【分析】观察可知，这个图形的周长＝半径4厘米的圆的周长＋直径，据此列式计算。 【详解】4＋4＝8（dm） 3.14×8＋8 ＝25.12＋8 ＝33.12（dm） 【易错巩固3】求下边图形的面积。 【答案】18.28平方厘米 【分析】通过观察图可知，这个组合是由一个半圆形和一个三角形组成的，根据三角形的面积公式：S＝ab、圆的面积公式：S＝π（d÷2）2，代入数据计算，求出三角形和半圆的面积，再相加，即可得到这个组合图形的面积，据此解答。 【详解】×6×4＋3.14×（4÷2）2÷2 ＝×6×4＋3.14×22÷2 ＝×6×4＋3.14×4÷2 ＝12＋6.28 ＝18.28（平方厘米） 即这个图形的面积是18.28平方厘米。 【易错巩固4】求如图的面积。 【答案】17.72平方厘米 【分析】根据图示，图形面积等于长6厘米，宽4厘米的长方形面积减去半径是4÷2＝2（厘米）的半圆的面积，据此解答即可。 【详解】半径是：4÷2＝2（厘米） 图形的面积：6×4－3.14×÷2 ＝24－12.56÷2 ＝24－6.28 ＝17.72（平方厘米） 易错题型02 含圆的阴影部分的周长和面积 1、同时满足「图形边界属性合规、周长面积计算逻辑匹配对应几何规则」推导得到的结果，才是本单元认可的含圆阴影部分的周长和面积的合规结果，脱离阴影区域边界定义、随意拼接数值得到的不符合几何逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、计算含圆阴影部分的周长时，要仅统计阴影区域的全部外围轮廓长度，不能直接套用完整圆的周长公式后直接相加，误将图形内部的拼接辅助边计入周长统计，得到虚高的错误周长结果。 3、计算含圆阴影部分的面积时，要优先通过“整体图形面积减去空白区域面积”的逻辑推导，不能直接将阴影区域的局部圆弧对应的扇形面积直接等同于阴影总面积，混淆圆弧边界和封闭区域的面积属性。 4、反向核验计算结果的合理性时，将算出的阴影周长、面积代入原图形的整体与空白区域的和差关系做逆运算，最终得到的数值必须和原图形的已知参数完全匹配，不能出现逆运算后数值不一致的逻辑矛盾。 5、计算由多个圆弧拼接而成的阴影周长时，要逐一核对每段圆弧对应的圆心角占整圆的比例，再通过对应比例计算单段弧长后求和，不能直接默认所有圆弧的长度都等于整圆周长的1/4，得到不符合圆心角实际占比的错误弧长。 6、标注含圆阴影部分的周长和面积的最终结果时，必须明确标注对应度量单位，周长标注长度单位、面积标注面积单位，避免出现单位错配的问题，导致度量结果的指代完全失真。 7、计算包含圆重叠区域的阴影面积时，要通过容斥原理剔除重复统计的区域，不能直接将多个基础图形的面积直接相加，得到重复计算重叠部分的错误总面积。 8、同一道含圆阴影部分的计算过程中，圆周率π的取值标准、周长和面积的公式定义必须完全统一，不能中途随意更改π的取值，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲2】求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】32.5 【分析】 如图，将右侧弓形阴影割下，平移补到左侧半圆空白弓形处，此时阴影部分组成一个上底为5cm，下底为8cm，高为5cm的梯形，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据即可求解。 【详解】（5＋8）×5÷2 ＝13×5÷2 ＝65÷2 ＝32.5（） 【易错巩固1】求阴影部分的面积。 【答案】6.28cm2 【分析】 如图，将阴影小半圆补到空白处，阴影部分的面积等于半径2cm的半圆面积，半圆面积＝圆周率×半径的平方÷2。 【详解】3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（cm2） 【易错巩固2】求阴影部分的面积。          【答案】左图30.615；右图37.68 【分析】左图，大圆的半径是8cm，小圆的半径是（8－3）cm，用大圆的面积减去小圆的面积的差除以4即可算出阴影部分的面积。圆的面积S＝πr2。 右图，最大圆的半径是8cm，最小圆的半径是（8－2－2）cm，把左边的阴影补在右边空白部分；用最大圆的面积减去最小圆的面积的差除以4即可算出阴影部分的面积。圆的面积S＝πr2。 【详解】左图：8－3＝5（cm） （3.14×82－3.14×52）÷4 ＝（3.14×64－3.14×25）÷4 ＝（200.96－78.5）÷4 ＝122.46÷4 ＝30.615（cm2） 右图： 8－2－2＝4（cm） （3.14×82－3.14×42）÷4 ＝（3.14×64－3.14×16）÷4 ＝（200.96－50.24）÷4 ＝150.72÷4 ＝37.68（cm2） 【易错巩固3】计算下面图形中阴影部分的周长。 【答案】42.84cm 【分析】阴影部分可以转化为半径6cm的圆周长的一半和边长6cm的正方形，阴影部分的周长＝圆周长的一半＋正方形周长，圆周长的一半＝圆周率×半径，正方形周长＝边长×4。 【详解】3.14×6＋6×4 ＝18.84＋24 ＝42.84（cm） 【易错巩固4】巧求下面阴影的周长。 （1）（2） 【答案】（1）20.56dm （2）31.4cm 【分析】（1）阴影部分的周长等于正方形的两条边长，加上直径是4dm的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝πd计算。 （2）阴影部分的周长等于直径为（8＋2）cm的圆的周长的一半，再加上直径为8cm和2cm的两个小圆的周长的一半，也就是阴影部分的周长相当于一个直径是（8＋2）cm的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝πd计算。 【详解】（1）4×2＋3.14×4 ＝8＋12.56 ＝20.56（dm） （2）8＋2＝10（cm） 3.14×10＝31.4（cm） 易错题型03 圆的概念、特点及对称性 1、同时满足「平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的封闭曲线」定义的图形才是标准圆，仅形态近似圆形但圆心到边缘距离不恒定的图形不属于本单元定义的圆。 2、判定直径和半径的2倍关系时，必须保证二者属于同一个圆，不能直接默认任意圆的直径都是其他圆半径的2倍，混淆不同圆的参数边界。 3、圆的对称轴是任意一条直径所在的直线，不能错误认为圆的对称轴是直径这条线段，混淆直线和线段的属性差异。 4、反向核验圆的对称性判定结果的合理性时，沿任意一条过圆心的直线对折圆，直线两侧的图形必须能够完全重合，不能出现对折后边缘无法对齐的逻辑矛盾。 5、同一个圆内所有半径的长度完全相等，所有直径的长度也完全相等，不能在同一个标准圆内出现半径长度不统一的情况，违背圆的定长属性。 6、标注圆的半径、直径相关结果时，必须明确标注对应的长度单位，避免出现漏写单位、把长度单位和角度单位错配的问题，导致圆的尺寸指代完全失真。 7、确定圆的位置要依托圆心的位置，确定圆的大小要依托半径的长度，不能混淆二者的作用，错误认为半径决定圆的位置、圆心决定圆的大小。 8、同一道圆的属性判定过程中，圆的定长定义、对称轴的判定标准必须完全统一，不能中途随意更改圆的核心属性定义，打乱判定逻辑的严谨性。 【题型精讲3】一个公园准备在入口处的正方形空地上布置一个花坛（涂色部分），花坛区域的面积是正方形面积的一半。下面不符合要求的设计是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把整个大正方形空地，平均分成4个完全一样的小正方形，把每个小正方形的面积看作1份，那么大正方形的总面积就是4份。题目要求花坛面积是正方形面积的一半，也就是涂色部分的面积需要等于2份。通过拼接、计数涂色部分的面积份数，判断涂色部分是否等于大正方形总面积的一半。 【详解】A．把上方的涂色半圆向下平移拼接，刚好可以和下方的涂色部分组合成2个完整的小正方形，涂色总面积是2份，正好是大正方形面积的一半，符合要求。 B．涂色部分是一个大三角形，它的底等于大正方形的边长，高也等于大正方形的边长，三角形面积＝底×高÷2，得到的面积正好是大正方形的一半，也就是2份，符合要求。 C．4个小正方形里，每个小正方形的涂色部分都刚好占小正方形面积的一半，4个一半相加总和是2份，正好是大正方形面积的一半，符合要求。 D．通过将右下角的涂色部分拼接在右上角空白处，则涂色部分完整的小正方形有2个，剩下的涂色三角形占小正方形的一半，全部加起来涂色总面积是2.5份，2.5份比大正方形总面积的一半（2份）要大，不符合要求。 因此，不符合要求的设计是。 【易错巩固1】一个圆的直径是6cm，以该圆的直径为三角形的底，三角形的顶点在圆周上运动，这个三角形的面积最大是（    ）cm2。 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】已知三角形的底是圆的直径，长度固定。根据三角形面积公式，要使面积最大，高必须最大。当三角形的顶点在圆周上运动时，顶点到底边（直径）的最大距离等于圆的半径。据此求出最大高，再计算面积即可。 【详解】三角形的底等于圆的直径，即底为。 要使三角形面积最大，高应最大。 当顶点位于垂直于直径的半径端点时，高最大，最大高等于圆的半径。 圆的半径： 三角形最大面积： 【易错巩固2】下列图形中，对称轴条数最少的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，折痕所在的直线叫作它的对称轴，根据对称轴定义找出各图形对称轴的数量。 【详解】 A．该图形有无数条对称轴； B．该图形有2条对称轴； C．该图形有3条对称轴； D．该图形有3条对称轴。 对称轴条数最少的是。 【易错巩固3】如下图，这个图形有（ ）条对称轴，如果其中一个圆的直径是20厘米，那么其中一个圆的半径是（ ）厘米，长方形的长是（ ）厘米。 【答案】两/2 10 30 【分析】第1空，根据轴对称图形的特征，沿某一条对称轴对折后，两边能完全重合。 第2空，这两个圆的大小一样，根据在同一个圆内，半径长度是直径的一半。 第3空，长方形的长是3条半径的长度之和。 【详解】 20÷2＝10（厘米） 10×3＝30（厘米） 所以，这个图形有两条对称轴，其中一个圆的半径是10厘米，长方形的长是30厘米。 【易错巩固4】小军在整理玩具时，找到了一个直角三角形塑料板和一个中间有圆孔的长方形塑料板（如图）。若他想把直角三角形塑料板从长方形塑料板的圆孔中穿过去，则圆孔的直径至少为（ ）厘米。 【答案】2.4/ 【分析】只要直角三角形最短的高比空心圆孔的直径小，那么直角三角形塑料片就能从空心圆孔中穿过去。最短的高是斜边上的高，可以通过两条直角边的长算出三角形的面积，再求出斜边上的高，即可得到答案。 【详解】直角三角形的面积为4×3÷2＝6（平方厘米） 由三角形的面积求斜边上的高，高＝三角形的面积×2÷底 6×2÷5＝12÷5＝2.4（厘米） 圆孔直径至少等于三角形最短的高2.4厘米。 易错题型04 运用圆的周长解决问题 1、同时满足「依托圆的周长定义、匹配对应周长公式」推导得到的结果，才是本单元认可的圆的周长相关问题的合规结果，脱离圆的周长本质属性随意拼凑的不符合几何逻辑的数值不能作为有效运算依据。 2、计算圆的周长时，要严格使用圆的周长公式 C=2πr 或 C=πd 运算，不能直接将圆的直径长度等同于周长，混淆直线段长度和曲线周长的度量逻辑。 3、计算半圆的周长时，要在半圆弧长的基础上额外加上一条直径的长度，不能直接将整圆周长除以2得到的半圆弧长直接等同于半圆的完整周长，遗漏直径的直边部分。 4、反向核验周长计算结果的合理性时，将算出的周长数值反向代入周长公式反推直径/半径，得到的参数必须和题目给定的原始条件完全匹配，不能出现反推后数值不一致的逻辑矛盾。 5、计算绕圆形物体滚动指定圈数的总路程时，要先算出单圈的圆周长，再乘以滚动的总圈数，不能直接用圆的直径乘以圈数得到总路程，混淆单圈周长的计算逻辑。 6、同一道圆的周长相关问题的运算过程中，圆周率π的取值标准、周长公式的判定规则必须完全统一，不能中途随意更改π的取值，打乱运算逻辑的严谨性。 7、运用圆的周长解决实际问题时，要先锚定「先明确问题对应的是完整圆还是部分圆弧、匹配对应周长公式、核验结果符合实际场景逻辑」的核心规则，不能直接硬套普通直线段的长度运算逻辑，忽略圆的曲线周长的专属属性。 【题型精讲4】如图，这个半圆的周长是20.56分米，它的半径是多少分米？ 【答案】4分米 【分析】半圆的周长等于圆周长的一半加上2条半径的长度。设半径为r分米，根据圆周长的一半＋2条半径＝半圆的周长列方程求解。 【详解】解：设半径为r分米。 2×3.14×r÷2＋2r＝20.56 3.14r＋2r＝20.56 5.14r＝20.56 5.14r÷5.14＝20.56÷5.14 r＝4 答：它的半径是4分米。 【易错巩固1】动物园要修一个半圆形的孔雀活动区（不靠墙），活动区半径为8米，在活动区外侧安装一圈防护栏。防护栏的长度是多少米？ 【答案】41.12米 【分析】防护栏长度是半圆形活动区的周长，包含半圆弧长度和一条直径，先利用圆周长公式C＝2πr，π取3.14，求出圆的周长，再除以2求出半圆弧长，再加上直径长度求出总长度。 【详解】半圆弧长：2×3.14×8÷2 ＝6.28×8÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（米） 直径：8×2＝16（米） 总长：25.12＋16＝41.12（米） 答：防护栏长度是41.12米。 【易错巩固2】一辆自行车，车轮的外直径是0.8米，如果它每分钟转200圈，通过一座长1004.8米的大桥，需要多少分钟？（取3.14） 【答案】2分钟 【分析】根据圆的周长＝π×直径，代入数据，求出车轮的周长；再用车轮的周长×200，求出每分钟车轮走的路程，再用大桥的长度÷每分钟车轮走的路程，即可解答。 【详解】1004.8÷（3.14×0.8×200） ＝1004.8÷（2.512×200） ＝1004.8÷502.4 ＝2（分钟） 答：需要2分钟。 【易错巩固3】人们通过适度的体育锻炼可以有效延缓衰老，减缓身体器官萎缩，增强抵抗力和免疫力。笑笑和奇思跑步锻炼身体，笑笑沿长为70米，宽为30米的长方形跑道跑步，奇思沿直径为60米的圆形跑道跑步，两人各跑完一周所用的时间相同，谁的速度快？为什么？（π取3.14） 【答案】笑笑；长方形跑道的一周是200米，圆形跑道的一周大约是188.4米。时间相同，路程越长，速度越快，所以笑笑的速度比奇思的速度快。 【分析】先根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”代入数值计算出笑笑跑一周的路程；再根据“圆的周长＝πd（d为直径）”代入数值计算出奇思跑一周的路程；最后根据“速度＝路程÷时间”可知，时间相同，路程越长，速度越快，所以只要比较笑笑和奇思跑一圈的路程即可。 【详解】（70＋30）×2 ＝100×2 ＝200（米） 3.14×60＝188.4（米） 200＞188.4 答：笑笑的速度快，因为时间相同，路程越长，速度越快，所以笑笑的速度比奇思的速度快。 【易错巩固4】如图，某小学计划修建一个周长为400米的运动场，若直道长要求设计为100米，则弯道半径应该设计为多少米？（结果保留一位小数） 【答案】31.8米 【分析】由题意知：这个运动场的周长是400米，若直道长要求设计为100米，则剩下两个弯道的长度总和是（400－100－100）米，观察图形知：两个弯道组成一个整圆，根据圆的周长公式：，则圆的半径：，代入数据计算即可。 【详解】（400－2×100）÷2÷3.14 ＝（400－200）÷2÷3.14 ＝200÷2÷3.14 ＝100÷3.14 ≈31.8（米） 答：弯道半径应该设计为31.8米。 易错题型05 运用圆的面积解决问题 1、同时满足「依托圆的面积定义、匹配对应面积公式」推导得到的结果，才是本单元认可的圆的面积相关问题的合规结果，脱离圆的面积本质属性随意拼凑的不符合几何逻辑的数值不能作为有效运算依据。 2、计算圆的面积时，要严格使用圆的面积公式 S=πr 2运算，不能错误将半径的平方等同于半径乘2，得到完全偏离正确值的面积结果。 3、计算半圆的面积时，要在完整圆面积的基础上除以2得到结果，不能直接将整圆周长除以2后套用面积公式，混淆半圆弧长和半圆面积的计算逻辑。 4、反向核验面积计算结果的合理性时，将算出的面积数值反向代入面积公式反推半径，得到的半径参数必须和题目给定的原始条件完全匹配，不能出现反推后数值不一致的逻辑矛盾。 5、标注圆的面积相关计算的最终结果时，必须明确标注对应的面积单位，避免出现漏写单位、把面积单位和长度单位错配的问题，导致面积的度量结果指代完全失真。 6、同一道圆的面积相关问题的运算过程中，圆周率π的取值标准、面积公式的判定规则必须完全统一，不能中途随意更改π的取值，打乱运算逻辑的严谨性。 7、运用圆的面积解决实际问题时，要先锚定「先明确问题对应的是完整圆还是部分扇形区域、匹配对应面积公式、核验结果符合实际场景逻辑」的核心规则，不能直接硬套普通矩形的面积运算逻辑，忽略圆的曲线封闭图形的专属面积属性。 【题型精讲5】有一个周长是3140m的圆形湖，在湖的中间有一个面积是5000m2的小岛。如果在湖中种上白莲，种白莲的面积是多少平方米？ 【答案】780000平方米 【分析】根据圆的周长公式：c＝2πr，求出半径，再圆的面积公式s＝πr2，求出这个湖的总面积，用湖的总面积减去中间小岛的面积就是种白莲的面积。 【详解】3140÷2÷3.14 ＝1570÷3.14 ＝500（米） 3.14×5002－5000 ＝785000－5000 ＝780000（平方米） 答：种白莲的面积是780000平方米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的在实际生活中的应用。 【易错巩固1】同学们在操场上围成圆圈做“丢手绢”游戏，乐乐绕圆圈跑一圈跑了12.56m。那么同学们所围成的圆的面积是多少平方米？ 【答案】12.56平方米 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr，可得圆的半径r＝C÷2π，代入数据即可求得圆的半径，将半径值带入圆的面积公式即可得解。 【详解】12.56÷3.14÷2＝2（米） 3.14×22＝12.56（平方米） 答：同学们所围成的圆的面积是12.56平方米。 【点睛】本题主要考查圆的周长、面积公式，解题的关键是将实际问题抽象成几何问题。 【易错巩固2】李奶奶家的养鸡场（如图），一面靠墙，一面用竹篱笆围成半圆，它的半径是6m。 （1）修这个养鸡场用了多长的竹篱笆？ （2）李奶奶要扩建这个养鸡场，把它的半径增加2m。养鸡场的面积会增加多少？ 【答案】（1）18.84米；（2）43.96平方米 【分析】由题意可知：篱笆的长度就等于这个半圆的弧长，将数据代入圆的周长公式计算即可；将数据带入圆的面积公式，分别求出扩建前后半圆的面积，求差即可。 【详解】（1）3.14×6×2÷2 ＝18.84×2÷2 ＝18.84（米） 答：修这个养鸡场用了18.84米的竹篱笆。 （2）3.14×（6＋2）2÷2－3.14×62÷2 ＝3.14×32－3.14×18 ＝3.14×14 ＝43.96（平方米） 答：养鸡场的面积会增加43.96平方米。 【点睛】此题主要考查圆的周长和面积的计算方法的灵活应用。 【易错巩固3】在红星小学“公筷公勺，我们都是健康侠”手抄报设计活动中，圆圆的作品脱颖而出。圆圆家时钟的分针长3厘米，她在设计手抄报的过程中，分针针尖走过了56.52厘米，则这个过程中分针扫过的面积是多少平方厘米？ 【答案】84.78平方厘米 【分析】已知分针长3厘米，即分针扫过的圆的半径是3厘米。根据圆的周长公式C＝2πr，代入数值即可得分针转一圈的长度；因为分针针尖总共走过了56.52厘米，所以用总长度除以转一圈的长度，即可得分针转动的圈数；再根据圆的面积公式S＝πr2，代入数值可得分针转一圈扫过的面积；最后用分针转一圈扫过的面积乘分针转动的圈数即可。 【详解】3.14×2×3 ＝6.28×3 ＝18.84（厘米） 56.52÷18.84＝3（圈） 3.14×32×3 ＝3.14×9×3 ＝28.26×3 ＝84.78（平方厘米） 答：这个过程中分针扫过的面积是84.78平方厘米。 【易错巩固4】乐乐很喜欢用圆规来绘制一些图案，这天她用圆规在方格纸上画了一片“花瓣儿”。已知小方格纸的边长是10厘米，请你算算看： （1）这片“花瓣儿”的周长是多少厘米？ （2）求这片“花瓣儿”的面积。 【答案】（1）62.8厘米；（2）114平方厘米 【分析】（1）看图可知，花瓣的周长是由两个半径是10厘米的四分之一圆的弧长，以及一个半径是（10×2）厘米的四分之一圆的弧长。圆周长＝2πr，据此先求出半径是10厘米圆的周长，再除以4乘2，求出两个半径是10厘米的四分之一圆的弧长。再根据圆周长公式求出半径是（10×2）厘米圆的周长，再除以4，求出半径是（10×2）厘米的四分之一圆的弧长。将这两部分相加，即可求出这片“花瓣儿”的周长。 （2）如图：连接大正方形左下角和右上角的顶点，画出一条对角线。根据画好的图可知，这片花瓣在对角线上方的部分是可以剪拼到左下方的。圆面积＝πr2，据此求出半径是（10×2）厘米圆的面积。将圆面积除以4，求出四分之一圆的面积。三角形面积＝底×高÷2，据此求出三角形的面积。将四分之一圆的面积减去三角形的面积，即可求出花瓣的面积。 【详解】（1）2×3.14×10÷4×2＋2×3.14×（10×2）÷4 ＝2×3.14×10÷4×2＋2×3.14×20÷4 ＝62.8÷4×2＋125.6÷4 ＝31.4＋31.4 ＝62.8（厘米） 答：这片“花瓣儿”的周长是62.8厘米。 （2）如图： 10×2＝20（厘米） 3.14×202÷4－20×20÷2 ＝3.14×400÷4－20×20÷2 ＝314－200 ＝114（平方厘米） 答：这片“花瓣儿”的面积是114平方厘米。 易错题型06 运用圆环的面积解决问题 1、同时满足「依托圆环的定义、匹配圆环面积推导逻辑」得到的结果，才是本单元认可的圆环面积相关问题的合规结果，脱离圆环“两个同心圆之间的环形区域”的定义随意拼凑的不符合几何逻辑的数值不能作为有效运算依据。 2、计算标准圆环的面积时，要严格依托公式 S=π(R2−r2) 运算（其中R为外圆半径，r为内圆半径），不能错误将“外圆半径减内圆半径的差值”直接代入圆的面积公式，得到完全偏离正确值的面积结果。 3、计算仅已知内外圆直径的圆环面积时，要先将直径分别除以2得到对应的外圆半径和内圆半径，再代入圆环面积公式运算，不能直接将直径数值代入半径的位置计算，混淆直径和半径的参数边界。 4、反向核验圆环面积计算结果的合理性时，将算出的面积数值反向代入圆环面积公式反推内外圆的半径平方差，得到的差值必须和题目给定的原始半径参数完全匹配，不能出现反推后数值不一致的逻辑矛盾。 5、标注圆环面积相关计算的最终结果时，必须明确标注对应的面积单位，避免出现漏写单位、把面积单位和长度单位错配的问题，导致圆环面积的度量结果指代完全失真。 6、同一道圆环面积相关问题的运算过程中，圆周率π的取值标准、内外圆半径的参数判定规则必须完全统一，不能中途随意更改π的取值，打乱运算逻辑的严谨性。 7、运用圆环面积解决实际问题时，要先锚定「先确认内外圆属于同心圆、分别获取准确的半径参数、匹配对应完整圆环或扇环的面积公式」的核心规则，不能直接硬套普通完整圆的面积运算逻辑，忽略圆环“两圆相减得到环形区域”的专属属性。 【题型精讲6】解决问题。 一个圆形舞台，半径是2.5米，现在为了满足演出的需要，将舞台半径加宽了0.5米，现在舞台的面积比原来的面积大多少平方米？ 【答案】8.635平方米 【分析】增加的面积是圆环的面积，先求出加宽后的圆形舞台的半径，再代入圆环面积公式计算。圆环的面积＝π×（R2－r2）。 【详解】2.5＋0.5＝3（米） 3.14×（32－2.52） ＝3.14×（9－6.25） ＝3.14×2.75 ＝8.635（平方米） 答：现在舞台的面积比原来的面积大8.635平方米。 【易错巩固1】学校多功能厅原有一个直径为8米的半圆形舞台。计划将舞台半径增加2米。（如图） （1）扩建后舞台的面积增加了多少平方米？ （2）扩建完成后，在新舞台的外围边缘上等距离摆放花盆，每隔3.14米摆一盆，舞台的两端都不摆放花盆一共需要摆放多少盆花？ 【答案】（1）31.4平方米 （2）5盆 【分析】（1）扩建后增加的面积实际上是一个半圆环的面积。首先根据原直径求出原半径，再根据半径增加量求出新半径。利用圆环面积公式S＝π（R2－r2）求出圆环面积再除以2，求出半圆环的面积。 （2）“外围边缘”指新舞台的半圆弧长，即圆周长的一半，再根据“两端都不摆放”的植树问题，间隔数＝圆周长的一半÷间距，棵数＝间隔数－1，求解。圆的周长C＝2πr。 【详解】（1）原舞台的半径：8÷2＝4（米） 扩建后新舞台的半径：4＋2＝6（米） 3.14×（62－42）÷2 ＝3.14×（36－16）÷2 ＝3.14×20÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（平方米） 答：扩建后舞台的面积增加了31.4平方米。 （2）2×3.14×6÷2 ＝3.14×6 ＝18.84（米） 间隔数：18.84÷3.14＝6（个） 盆数：6－1＝5（盆） 答：一共需要摆放5盆花。 【易错巩固2】在新能源汽车研发实验室中，工程师们正在设计一种新型的无线充电装置。该装置的核心部分是两个同心圆形的充电线圈，外圈线圈用于快速传输电能，内圈线圈则用于稳定电流。已知外圈线圈的直径为40厘米，内圈线圈的半径比外圈半径小8厘米。为了保证充电效率，需要在两个线圈之间的环形区域涂抹特殊的绝缘材料，每平方厘米绝缘材料的成本是0.5元。请问，制作这样一个无线充电装置，涂抹绝缘材料的总成本大约是多少元？（建议：先画示意图分析再解答（取3） 【答案】384元 【分析】首先需要根据外圈直径求出外圈半径，再根据内圈半径与外圈半径的差值求出内圈半径。绝缘材料涂抹在两个线圈之间的环形区域，因此需要利用圆环面积公式求出面积，注意题目要求取3。最后根据“总价单价数量”求出总成本。 【详解】外圈半径：（厘米） 内圈半径：（厘米） 圆环面积： （平方厘米） 总成本：（元） 答：涂抹绝缘材料的总成本大约是384元。 【易错巩固3】某市准备在中心广场的圆形音乐喷泉的四周，搭建一个宽度为6米的环形看台。 （1）这个环形看台的占地面积是多少平方米？ （2）如果在环形看台的外围圆周上每隔6.28米种一棵树，一共大约可以种多少棵树？ 【答案】（1）565.2平方米 （2）18棵 【分析】（1）圆环的面积（其中R为外圆半径，r为内圆半径），根据题意，内圆直径为24米，且环宽为6米，利用求出内圆半径，再利用“环宽”求出外圆半径，最后利用圆环面积公式进行计算。 （2）要在环形看台的外围圆周上每隔6.28米种一棵树，需先利用求出外圆的周长，再利用周长÷间距求出间隔数，最后根据封闭图形中的植树问题中，植树棵数＝间隔数进行计算。 【详解】（1）（米） （米） （平方米） 答：这个环形看台的占地面积是565.2平方米。 （2） （米） （棵） 答：一共大约可以种18棵树。 【易错巩固4】学校有一个靠墙的半圆形小花圃，直径是8米。 （1）同学们用栅栏将这个小花圃围起来，至少需要栅栏多少米？ （2）在老师的指导下，同学们用石子在花圃周围摆了一条2米宽的小路，小路的面积是多少平方米？ 【答案】（1）12.56米 （2）31.4平方米 【分析】（1）根据圆的周长＝求出直径为8米的圆的周长，再除以2即可求出需要栅栏多少米； （2）根据圆的面积求出半径为8÷2＝4米的圆的面积，和半径为4＋2＝6米的圆的面积，二者作差再除以2即可求出小路的面积是多少平方米。 【详解】（1）3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（米） 答：至少需要栅栏12.56米。 （2）[3.14×（8÷2＋2）2－3.14×（8÷2）2]÷2 ＝[3.14×（4＋2）2－3.14×42]÷2 ＝[3.14×62－3.14×42]÷2 ＝[3.14×36－3.14×16]÷2 ＝[113.04－50.24] ÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（平方米） 答：小路的面积是31.4平方米。 易错题型07 方中圆或圆中方的面积问题 1、同时满足「方中圆/圆中方的图形边界严格贴合、面积推导逻辑匹配对应几何约束」得到的结果，才是本单元认可的方中圆或圆中方面积问题的合规结果，脱离“正方形与圆的边界完全相切/顶点共圆”的定义随意拼凑的不符合几何逻辑的数值不能作为有效运算依据。 2、计算标准方中圆（正方形内最大内切圆）的面积时，要先明确圆的直径与正方形的边长完全相等的核心约束，不能随意自定义圆的直径参数，得到不符合内切关系的错误面积结果。 3、计算标准圆中方（圆内最大内接正方形）的面积时，要依托“正方形的对角线长度与圆的直径完全相等”的属性推导，不能直接默认正方形的边长等于圆的直径，混淆内接正方形的边长与圆直径的对应关系。 4、反向核验面积计算结果的合理性时，将算出的圆和正方形的面积反向代入对应边长、直径的关联关系做逆运算，得到的参数必须和题目给定的原始条件完全匹配，不能出现逆推后数值不一致的逻辑矛盾。 5、计算方中圆的阴影部分（正方形减去内切圆的剩余区域）面积时，要通过正方形总面积减去内切圆面积的逻辑推导，不能直接将圆的面积直接从正方形边长的平方中扣除，遗漏参数对应关系的校验步骤。 6、标注方中圆或圆中方的面积相关计算的最终结果时，必须明确标注对应的面积单位，避免出现漏写单位、把面积单位和长度单位错配的问题，导致面积的度量结果指代完全失真。 【题型精讲7】在一个圆的内接正方形中（如图），涂色三角形的面积是108平方厘米，圆的面积是（    ）平方厘米。 A．432π B．216π C．108π D．无法计算 【答案】B 【分析】由图可知：涂色三角形是一个等腰直角三角形，两条直角边都是半径：r；即涂色三角形的面积，据此计算出的具体数值，再通过圆的面积公式：，代入数据计算即可。 【详解】，则 所以圆的面积：（平方厘米） 【易错巩固1】从一张边长为20cm的正方形纸上剪一个最大的圆，这个圆面积是（    ）cm2。 A．15.7 B．314 C．78.5 D．157 【答案】B 【分析】从边长为20cm的正方形纸上剪一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，即圆的直径为20cm，则半径为20÷2＝10cm。根据圆的面积公式S＝πr2（r为半径，π取3.14），把半径代入公式计算即可。 【详解】圆的直径等于正方形的边长。 20÷2＝10（cm） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（cm2） 这个圆面积是314cm2。 故答案为：B 【易错巩固2】中国建筑中经常见到“外方内圆”与“外圆内方”的设计，其中蕴含着为人处世的朴素道理。如果图①中外面正方形的面积是64，则内圆的面积是（ ）；如果图②中外圆的面积是28.26，则圆内大正方形的面积是（ ）。 【答案】 50.24 18 【分析】正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr²，三角形的面积＝底×高÷2； 图①外面正方形的边长等于内圆的直径，根据64＝8×8可知外面正方形的边长是8dm，则内圆的直径为8dm 图②圆内正方形的对角线等于外圆的直径，对角线可以把正方形分成2个底等于外圆的直径（2r），高等于外圆的半径（r）的三角形，则正方形的面积＝2r×r÷2×2＝2r²，先用外圆的面积除以π求出r²，再把r²代入2r²中计算即可。 【详解】①64＝8×8 内圆面积：3.14×（8÷2）² ＝3.14×4² ＝3.14×16 ＝50.24（dm²） r²＝28.26÷3.14＝9 圆内正方形的面积＝2r×r÷2×2＝2r² ＝2×9 ＝18（dm²） 【易错巩固3】“外圆内方”和“外方内圆”是我国古代建筑物中常见的设计，也蕴含了中国人为人处事的朴素道理。下图是一扇“外方内圆”的景观窗户，正方形木框围成的面积是16平方分米，则正方形木框和圆形木框之间的面积（ ）平方分米。 【答案】3.44 【分析】求出正方形的边长，再结合“外方内圆”的特征，正方形的边长就是圆的直径，进而依据半径与直径的关系求出圆的半径，由圆的面积公式代入半径求出圆的面积，最后用正方形面积减去圆的面积，即可得到两者之间的面积差。 【详解】因为4×4＝16，所以正方形边长为：16÷4＝4（分米） 半径：4÷2＝2（分米） 圆的面积：＝＝＝＝12.56（平方分米） 面积差：16－12.56＝3.44（平方分米） 所以，正方形木框和圆形木框之间的面积是3.44平方分米。 【易错巩固4】奶奶剪的“福”字窗花采用了外圆内方的造型，窗花最外层圆形的周长是43.96厘米，那么中间最大正方形的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】98平方厘米 【分析】圆周长＝2r＝d，那么将圆周长除以3.14可求出圆的直径，再除以2可求出圆的半径。画出中间的最大的正方形的一条对角线，发现这条对角线将正方形平均分成两个三角形。每个三角形的底和圆的直径相等，高和圆的半径相等。三角形面积公式＝底×高÷2，据此求出一个三角形的面积，再乘2求出两个三角形的面积，即圆中间最大正方形的面积。 【详解】如图： 43.96÷3.14＝14（厘米） 14÷2＝7（厘米） 14×7÷2×2 ＝98÷2×2 ＝49×2 ＝98（平方厘米） 答：中间最大正方形的面积是98平方厘米。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $