第05讲 逻辑用语的参数问题讲义(思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳)-2026-2027学年高中数学逻辑用语专题（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦常用逻辑用语中参数问题核心考点，涵盖命题真假判断、全称与存在量词应用、充分必要条件转化等内容，按考情分析、知识要点、解题策略、题型归纳的逻辑架构组织，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题通法，真题训练强化实战能力，帮助学生系统突破逻辑推理与参数运算难点。 讲义突出逻辑转化与数学建模特色，如将全称量词命题转化为函数恒成立问题，用分离参数法求最值，培养学生数学思维与表达能力。设置基础变式与综合拓展分层练习，配合典型例题精讲，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径，助力学生提升逻辑推理与参数问题解决的应考能力。

第05讲 常用逻辑用语中常考参数问题 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 3 题型归纳 3 题型01：根据命题的真假求参数（范围） 3 题型02：根据全称量词存在量词命题真假求参数 4 一：根据判别式法求参 4 二：分离参数法 6 三: 根据全称量词命题的真假求参数 7 四：根据存在量词命题的真假求参数问题 11 五：综合 15 题型03：根据命题否定的真假求参数 18 题型04：充分不必要条件求参 20 题型05：根据必要不充分条件求参数取值范围 25 题型06：根据充要条件求参数 29 1. 题型：多选、单选高频中档题；融合充要条件、全称/存在量词。 2. 两大主干考法： ① 根据充分、必要条件关系求参数范围； ② 含有∀、∃命题真假，求解参数（衔接恒成立、能成立）。 3. 典型易错：集合包含关系搞反；区间端点等号取舍出错；混淆恒成立与能成立模型。 1. 能把充分必要条件转化为集合包含关系； 2. 熟练将量词命题真假转化为函数最值问题； 3. 规范处理区间边界，理清推出方向，避免范围颠倒。 一、根据充分、必要条件求参数 1、解题思路：分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解，最后要注意区间端点值的检验。 2、充分、必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由可得，p是q的充分条件， ①若，则p是q的充分不必要条件； ②若，则p是q的必要条件； ③若，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若且，则p是q的既不充分也不必要条件． 3、充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 二、解决含有量词的命题求参问题的思路 1、全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； 2、存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常时假设存在满足条件爱你的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数。 1. 充要条件类参数 若p则q，设p对应集合A，q对应集合B，则小充分，大必），再列不等式求解，单独验证端点。 2. 全称、存在量词类参数 命题为真，转化为恒成立/能成立最值模型；命题为假，可先求其否定为真，简化运算。 3. 通用步骤 化简命题对应范围→转化集合关系或最值模型→列式求解→检验端点。 速记：充分看子集，量词看最值，端点必检验。 题型01：根据命题的真假求参数（范围） 【典型例题】（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】ABD 【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可. 【详解】因为方程有实数根，所以，解得或， 故当，，时符合条件. 故选：ABD. 【变式训练1-1】若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【分析】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解，最后再求并集即可. 【详解】若甲命题为真乙命题为假，则，可得，即； 若甲命题为假乙命题为真，则，可得或，即； 综上所述，实数x的取值范围是. 故答案为： 【变式训练1-2】若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可． 【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为． 综上可得当或时，方程有实数解． 故答案为：或 题型02：根据全称量词存在量词命题真假求参数 1.首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意． 2.其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围． 具体如下： (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 注：(1)含参数的全称量词命题为真时，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可通过构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围． (2)存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立．　 一：根据判别式法求参 【典型例题1】若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为“，”为假命题， 所以“，”是真命题， 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是． 故选：A． 【典型例题2】已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若方程有两个不等的负根，则，解得； 因为命题为真，所以实数的取值范围为. （2）若方程无实根，则，解得. 若真假时，，解得； 若假真时，，解得. 综上，得. 【变式训练2-1-1】若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为“，”是真命题，所以，解得. 故选：C. 【变式训练2-1-2】（多选）已知命题，.若为假命题，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】BC 【详解】若命题为真命题，则，解得，则当命题为假命题时，. 故选：BC 【变式训练2-1-3】若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】命题“”是真命题，则，解得. 故答案为：. 【变式训练2-1-4】已知，命题． (1)判断是全称量词命题，还是存在量词命题； (2)若均为真命题，求的取值范围． 【答案】(1)是存在量词命题，是全称量词命题 (2) 【详解】（1）因为符号“”表示“存在一个”，“存在一个”是存在量词， 所以是存在量词命题． 因为符号“”表示“所有”，“所有”是全称量词， 所以是全称量词命题． （2）若为真命题，则，解得． 若为真命题，则，解得． 因为均为真命题，所以的取值范围为． 二．分离参数法 【典型例题1】已知命题是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为命题是真命题， 所以不等式在上恒成立， 等价于即可， 因为 所以即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【典型例题2】已知“，”为真命题；“，”为真命题，那么p，q的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】“，”为真命题，则，“，”为真命题，则， 故选：C． 【变式训练2-2-1】已知集合，若命题“，恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得时，， 则，解得， 故答案为： 【变式训练2-2-2】已知命题，命题，若命题和命题都是真命题，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】命题，即， 因为，所以. 命题， 则，即或. 因为命题和命题都是真命题， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 三:根据全称量词命题的真假求参数 【典型例题1】若命题“时，”是假命题，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为命题“时，”是假命题， 所以命题“时，”是真命题， 即有， 易知当，有最小值0, 所以. 故选：C 【典型例题2】已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得“”为真命题，即，即时，，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为命题“”为假命题， 所以“”为真命题， 所以， 所以当时，， 根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值， 所以， 故选：A. 【典型例题3】已知集合，． (1)若，求； (2)若命题P：“，”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法及集合的补集和交集的定义即可求解； （2）根据（1）的结论及真命题的定义，结合子集的定义即可求解. 【详解】（1）当时， ，则  . （2）由（1）知，，， 由命题P：“，”是真命题可知： 故或，解得：或 实数a的取值范围为或． 【变式训练2-3-1】若，是真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用参变量分离法可得出，当时，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围. 【详解】对任意的，，则， 因为，则，则，. 故选：C. 【变式训练2-3-2】若命题“，”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分离参数法求解，把参数分离出来求解的最大值即可. 【详解】由已知，，则 ，即， 所以的取值范围是.故选：C. 【变式训练2-3-3】若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】命题“”为假命题，”是真命题， 方程有实数根，则，解得，故选：A. 【变式训练2-3-41】（多选）给定命题，都有.若命题为假命题，则实数可以是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【解析】由于命题为假命题，所以命题的否定：，是真命题. 当时，则，令，所以选项A正确； 当时，则，令，所以选项B正确； 当时，则，，不成立，所以选项C错误； 当时，则，，不成立，所以选项D错误.故选：AB 【变式训练2-3-5】“”是真命题，则m的范围是 【答案】 【解析】对于命题：对任意，不等式恒成立， 而，有， ∴，∴命题为真时，实数m的取值范围是. 故答案为: 【变式训练2-3-6】若命题“”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据全称命题的定义和性质结合不等式进行求解即可. 【详解】命题“”为真命题， 则有判别式，解得. 故答案为：. 【变式训练2-3-7】已知集合，，若命题，是真命题，则m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由于命题，是真命题， 所以, 当时，，解得； 当时，， 解得， 综上，m的取值范围是． 故答案为：． 【变式训练2-3-8】对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，所以，由不等式恒成立，得，解得，或，故实数的取值范围为或. 故答案为：或. 【变式训练2-3-9】是否存在整数m，使得命题“”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】存在，，理由见解析 【解析】假设存在整数m，使得命题“”是真命题． 当时，， ，解得． 又m为整数，． 故存在整数，使得命题“”是真命题． 【变式训练2-3-10】已知命题，，命题，.若p为真命题、q为假命题，求实数m的取值范围. 【答案】 【解析】由命题p是真命题，则， 对恒成立，即对恒成立. 当时，，所以，即； 由命题q是假命题，则，使得为真命题， 即关于x的方程有实数根： ①当时，有实数根； ②当时；依题意得，即且， 综上①②，可得. 因为p为真命题、q为假命题，所以实数m的取值范围是. 【变式训练2-3-11】已知命题，，命题，. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【解析】（1）若命题p为真命题，则对恒成立，因此，解得. 因此，实数m的取值范围是. （2）若命题q为真命题，则，即，解得或. 因此，实数m的取值范围是或； 若命题p，q至少有一个为真命题， 可得或或. 所以实数的取值范围或. 四：根据存在量词命题的真假求参数问题 【典型例题1】已知∃x∈R，不等式不成立，则下列关于a的取值不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】转化为成立，利用判别式法求解. 【详解】解：因为∃x∈R，不等式不成立， 所以成立， 则， 解得. 故选：BCD 【典型例题2】若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】由题意得：“，使得”是真命题， 即，解得：， 故实数的取值范围是. 故答案为： 【典型例题3】集合，，且.若命题q：“”是真命题，求m的取值范围. 【解析】q为真，则，因为， 所以，解得，则, 若，则，解得， 则若，. 即m的取值范围为. 【变式训练2-4-1】已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当时，命题为真命题，当时，需，最后综合讨论结果，可得答案． 【详解】命题为真命题等价于不等式有解． 当时，不等式变形为，则，符合题意； 当时，，解得； 当时，总存在，使得； 综上可得实数的取值范围为． 故选：B 【变式训练2-4-2】命题，使得成立.若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是假命题，得出为真命题，利用恒成立知识求解. 【详解】因为是假命题，所以为真命题，即，使得成立. 当时，显然符合题意； 当时，则有，且，解得. 故选：A. 【变式训练2-4-3】已知．若p为假命题，则a的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据命题为假，则命题的否定为真，转化为恒成立问题，列不等式求参. 【详解】因为p为假命题，所以，为真命题， 故当时，恒成立． 因为当时，的最小值为， 所以，即a的取值范围为． 故选：A. 【变式训练2-4-4】命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由题意，可知该命题的否定“，”为真命题，即可得该方程无实数根，根据求解. 【详解】因为“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 所以方程无实数根， ，解得. 故选：B 【变式训练2-4-5】若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知=“，使得”成立，即方程有实数解， 所以.故选：D 【变式训练2-4-6】已知命题”为真命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】为真命题，即方程在范围内有实根， 故，故. 故答案为： 【变式训练2-4-7】若“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出方程的解，即可判断. 【详解】由，解得或， 又“，”是假命题，所以. 故答案为： 【变式训练2-4-8】若命题：，，命题：，，若和都是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据全称命题与特称命题，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由命题是真命题，根据二次函数的性质，可得； 由命题为真命题，根据二次函数的性质，可得，解得. 综上可得，. 故答案为： 【变式训练2-4-9】已知两个方程：，，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】/ 【解析】当有实根时，，解得； 当有实根时，，解得； 因为两个方程至少有一个有实根，所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练2-4-10】已知集合，或. (1)求、； (2)若集合，且，为假命题，求的取值范围. 【解析】（1）已知集合，或， 则或，，或. （2）因为，为假命题，则，为真命题，所以，. ①当时，即当时，，则成立； ②当时，即当时，，由题意可得或， 解得或，此时. 综上所述，或. 【变式训练2-4-11】已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）由，根据，分类求参数即可； （2）命题是真命题即，先求时，的取值范围或， 进而可得时的取值范围. 【详解】（1）若，满足，此时，即， 当时，要使，则，即，即， 综上实数的取值范围为或. （2）命题：“，使得”是真命题，等价于， 若时， 当，满足，此时，即， 当时，， 若，则满足或， 即或， 综上若，得或， 则当时，即实数的取值范围是. 【变式训练2-4-12】已知集合，且. (1)若“”是真命题，求实数m的取值范围. 【解析】，则，解得， “”是真命题，则， 若，则或，解得，因为，所以， 所以当，， 综上所述. 【变式训练2-4-13】已知命题，，命题，. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【解析】（1）若命题p为真命题，则对恒成立， 即，因此，解得. 因此，实数m的取值范围是. （2）若命题q为真命题，则方程有两不等实根， 所以，则，解得或. 因此，实数m的取值范围是或. （3）若命题p，q至少有一个为真命题，即p或q为真命题， 则结合（1）（2）得或， 因此，实数m的取值范围是 五：综合 【典型例题1】已知集合，，且. (1)若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求m的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据命题p为真命题，得到，从而得到不等式组，求出m的取值范围； （2）根据命题q为真命题，得到，从而得到不等式组，求出m的取值范围. 【详解】（1）命题p：“，”是真命题，故， 所以，解得， 故m的取值范围是. （2）由于命题q为真命题，则， 因为，所以，所以, 当时，一定有， 要想满足，则要满足，解得， 故时，， 故m的取值范围为. 【典型例题2】已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根．若命题p，q一个为真命题，一个为假命题时，求实数m的取值范围． 【答案】 【解析】由命题方程有两个不等的负实根，可得，解得； 命题方程无实根， 可得，解得， 当p真q假时，可得，解得； 当p假q真时，可得，解得， 综上可得，实数的取值范围. 【变式训练2-5-1】已知命题：∃，；命题：∀，.若、都为假命题，则实数的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1] 【答案】A 【详解】p，q都是假命题．由p：∃，为假命题， 得∀，，∴. 由q：∀，为假，得∃， ∴，得或.∴.故选A. 【变式训练2-5-2】已知集合，，且. (1)若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题p为真命题，得到，从而得到不等式组，求出m的取值范围； （2）根据命题q为真命题，得到，从而得到不等式组，求出m的取值范围. 【详解】（1）命题p：“，”是真命题，故， 所以，解得， 故m的取值范围是. （2）由于命题q为真命题，则， 因为，所以，所以, 当时，一定有， 要想满足，则要满足，解得， 故时，， 故m的取值范围为. 【变式训练2-5-3】（1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A. （2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值. 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）讨论二次项系数是否为0，并结合判别式大于0求解； （2）分离参数即可求解. 【详解】（1）方程有两个不同的实数解， 则当为唯一解，不合题意舍去； 所以且，解得且， 故集合且 （2）命题“， ”为真命题， 则对恒成立，即， 故实数a的最小值为2. 【变式训练2-5-4】已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解. 【详解】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 题型03：根据命题否定的真假求参数 【典型例题1】若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若“”为真命题，则A错误， 又“”为假命题，则“”为真命题，则B,D错误， 则集合可以是.故选：C 【典型例题2】（多选）已知∃x∈R，不等式不成立，则下列关于a的取值不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】转化为成立，利用判别式法求解. 【详解】解：因为∃x∈R，不等式不成立，所以成立， 则，解得.故选：BCD 【典型例题34】若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【解析】若甲命题为真乙命题为假，则，可得，即； 若甲命题为假乙命题为真，则，可得或，即； 综上所述，实数x的取值范围是. 故答案为： 【变式训练3-1】已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】由题意可得该命题的否定为真，进而讨论与结合二次函数的性质判断即可. 【详解】命题，为假命题，则，. 当时满足题意；当时，有，解得. 综上有 故选：ABC 【变式训练3-2】已知命题p：x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，若是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥3 【答案】D 【分析】根据给定条件写出命题，再由全称量词命题是真命题即可得解. 【详解】因命题p：∃x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，则有命题：x∈{x|1<x<3}，x-a<0， 又是真命题，即x∈{x|1<x<3}，a>x恒成立，于是得a≥3， 所以实数a的取值范围是a≥3.故选：D 【变式训练3-3】命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】是假命题，则为真命题，即有实数根，分类讨论与时的情况即可. 【详解】当时，即有实数根，解得，故符合要求； 当时，即有，解得且；综上所述，.故选：B. 【变式训练3-4】已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】问题等价于有解，即或，解得答案. 【详解】已知问题等价于有解，即或，解得. 故答案为： 【变式训练3-5】已知命题，命题，若命题p和都是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据命题的真假求出的范围，取交集可得答案. 【详解】当为真时，； 当为真时，，即； 因为命题p和都是真命题，所以且或. 故答案为：. 【变式训练3-6】已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【详解】因为为假命题，所以为真命题， 则，使为真命题，所以 命题，都有为真命题，所以， 故实数的取值范围为． 故答案为：． 【变式训练3-7】设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)或. 【解析】（1）若命题为真命题， 则，解得， 所以实数的取值范围为. （2）若命题为真命题，解得， 当真假时，，得； 当假真时，，得； 综上所述，实数的取值范围为或. 题型04：充分不必要条件求参 解题方法 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． (3)充分必要条件与集合包含之间的关系． 【典型例题1】（多选）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】ABD 【分析】根据是的充分不必要条件，得到是的真子集，再分情况讨论即可得到的可能取值. 【详解】因为的两个根为3和5，所以， 是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以或或， 当时，满足即可， 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是0，，. 故选：ABD. 【典型例题2】若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式得，再由题设知是的真子集，列不等式组求参数范围 【详解】由可得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 所以，解得， 故实数的取值范围是， 故选：C 【典型例题3】已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 【典型例题4】已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，依题意可得，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为或，， 令，， 因为是的充分不必要条件，所以， 所以. 故选：D 【变式训练4-1】“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，只需在上的最大值小于等于， 其中，故，解得， 因为，但， 所以是“，”为真命题的一个充分不必要条件，C正确； 其他三个选项均不是充分不必要条件.故选：D 【变式训练4-2】已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的充分条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意：：，：， ：或；：或， 由于是的充分条件， 所以，所以. 故选：B 【变式训练4-3】已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式得的范围，再由充分不必要条件的定义得出的范围． 【详解】解：由，得，由题意，得，即． 故选：D． 【变式训练4-4】若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．-1或 【答案】B 【分析】根据充分条件的定义列方程求，再检验所得结果是否符合条件要求即可. 【详解】因为“”是“”的充分条件，所以时，，所以，解得：或. 当时，可化为：， 解得：，此时“”是“”的充要条件，应舍去； 当时，可化为：， 解得：或，此时“”是“”的充分不必要条件. 故.故选：B 【变式训练4-5】“”是“”的充分不必要条件，若，则取值可以是 （满足条件即可）. 【答案】0（答案不唯一，满足且均可）. 【解析】因为“”是“”的充分不必要条件，且， 所以且，故可取0， 故答案为：0（答案不唯一，满足且均可） 【变式训练4-6】已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意，得，但， ∴，∴，即， 故答案为． 【变式训练4-7】已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出； （2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可. 【详解】（1）因为，又， 所以. （2）或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 【变式训练4-8】已知集合，，， （1）求，，； （2）若是的充分而不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；；；（2） 【解析】（1）， ，， 又或， . （2）是的充分而不必要条件， ， 当时，有，即； 当时，有，即， 综上所述，实数m的取值范围为. 【变式训练4-9】已知集合,,全集． （1）当时,求; （2）若是成立的充分不必要条件,求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）或 【解析】（1）由题知,当时,, 所以或, 因为, 所以或, 所以或; （2）由题知是成立的充分不必要条件,故是的真子集, ①当时,,解得, ②当时，即或, 解得:或, 综上:或. 【变式训练4-10】设集合，，. (1)，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围. 【解析】（1）由题意知当时，，故或， 而，故； （2）由“”是“”的充分不必要条件，可得BA， 故当时，，符合题意； 当时，需满足，且中等号不能同时取得， 解得， 综合以上，m的取值范围为或. 【变式训练4-11】已知全集，集合，. (1)当时，求和； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【解析】（1）当时，集合， 因为，所以. 所以， （2）因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以是的真子集，而不为空集， 所以，因此. 【总结提升】 根据充要条件求解参数范围的方法及注意点 (1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2) 端点取值慎取舍：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误 题型05：根据必要不充分条件求参数取值范围 必要不充分条件 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围 【典型例题1】若“”是“”的一个必要不充分条件，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别不等式，根据“”是“”的一个必要不充分条件，列不等式即可得出． 【详解】解：不等式整理得，解得 则“”是“”一个必要不充分条件，所以. 故选：B. 【典型例题2】已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，当时，， 因为全集，则或，或， 因此，或. （2）易知集合为非空集合， 因为是的必要不充分条件，则，所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 【典型例题3】已知集合， (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围． 请从①且；②“”是“”的必要条件；这两个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【解析】（1）当时，，所以 （2）若选择条件①，由且得：， 当时，，即； 当时，，即 或，即或，所以或， 综上所述：的取值范围为：或． 若选择条件②，由“”是“”的必要条件得：， 即，所以． 【典型例题4】已知集合或，． （1）求实数的取值范围，使它成为的充要条件； （2）求实数的一个值，使它成为的一个充分不必要条件； （3）求实数的取值范围，使它成为的一个必要不充分条件． 【解析】（1）的充要条件是，所以实数的取值范围是． (2)由(1)知,的充要条件是, 则当时,是的一个充分但不必要条件; 比如是所求的一个充分但不必要条件.(答案不唯一) (3)求实数a的取值范围,使它成为的一个必要但不充分条件就是另求一个集合,故是它的一个真子集. 如果时,未必有, 但是时,必有, 故是所求的一个必要但不充分条件.(答案不唯一) 【变式训练5-1】若​是​的必要不充分条件，则实数​的取值范围（    ） A． B． ​ C． ​ D． 【答案】B 【分析】根据前者是后者得必要不充分条件，得到，再利用数轴得到不等式，得到的范围. 【详解】是的必要不充分条件，， ，解得. 故选 ：B. 【变式训练5-2】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所有⫋，所以， 即实数的取值范围为． 故选：A． 【变式训练5-3】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，即，解得， 故选：B. 【变式训练5-4】若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【分析】根据必要不充分条件列不等式，由此求得正确答案. 【详解】若“或”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或， 所以AD选项符合，BC选项不符合. 故选：AD 【变式训练5-5】设命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解出两个不等式，若令的解集为，的解集为，则由是的必要不充分条件，可得，从而可求出实数的取值范围. 【详解】由，得，解得，令， 由，得，令， 因为是的必要不充分条件，所以，所以，解得， 即实数的取值范围是，故选：C 【变式训练5-6】已知实数满足，其中；实数x满足,若是的必要条件，求实数的取值范围． 【解析】因为，即集合； 实数x满足,，即集合． 又因为是的必要条件，所以， 所以， 解得. 所以实数的取值范围为：. 【变式训练5-7】已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用并集概念求解，先求出，然后再求解即可； （2）根据题意知集合是集合的真子集，分和讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合，，所以； 又或，则. （2）因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，由题意或，所以； 综上所述：的取值范围为. 【变式训练5-8】已知. (1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由; (2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由. 【解析】（1）要使是的充要条件，则 即，此方程组无解. 所以不存在实数，使是的充要条件. （2）要使是的必要条件，则， 当时，，解得 当时，，解得 要使，则有，解得，所以 综上可得，当时，是的必要条件. 题型06：根据充要条件求参数 解题方法 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 【典型例题1】方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 【典型例题2】若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【答案】 【分析】解不等式，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】解不等式得， 因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得， 所以，. 故答案为：. 【典型例题3】当时，函数中的变量随的增大而增大的充要条件是 ． 【答案】 【解析】若，则，变量随的增大而增大； 若，则必有，得． 综上，所求的充要条件是． 故答案为： 【典型例题4】设集合，若集合，，则的充要条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由题意，可得， 因为，所以，解得，反之亦成立， 所以的充要条件是． 故选：A． 【变式训练6-1】方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 【变式训练6-2】方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） 已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由两个集合相等可求得参数．由已知，， 由p是q充要条件得，因此解得， 故选：C. 【变式训练6-3】方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） 若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【答案】 【解析】解不等式得， 因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得， 所以，. 故答案为：. 【变式训练6-4】方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） 若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】3 【解析】由得，故， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得， 所以实数m的取值是3. 故答案为：3. 【变式训练6-5】方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） 集合中至多有一个元素的充要条件是   . 【答案】或 【解析】由已知得方程至多一个根， 或，解得 故答案为或 【变式训练6-6】方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） 已知，，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在，理由见解析 【分析】利用题给条件列出关于m的方程组，解之求得m的值，进而判断出不存在实数m使p是q的充要条件. 【详解】若p是q的充要条件，则， 所以，即，此方程组无解，所以m不存在． 故不存在实数m，使得p是q的充要条件． 【变式训练6-7】方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） 已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 【答案】(1)； (2)； (3)不存在. 【分析】（1）根据必要条件的定义可得，进而可得，即得； （2）根据补集的定义及必要条件的定义可得，进而即得； （3）根据充要条件的概念可得，进而即得. 【详解】（1）因为是的必要条件， 所以，又，， 所以， 解得， 即实数的取值范围是； （2）若是的必要条件，则⇒， 所以， 又或，或， 所以， 解得， 故实数的取值范围； （3）若是的充要条件，则， 所以， 方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 常用逻辑用语中常考参数问题 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 3 题型归纳 3 题型01：根据命题的真假求参数（范围） 3 题型02：根据全称量词存在量词命题真假求参数 3 一：根据判别式法求参 4 二：分离参数法 4 三: 根据全称量词命题的真假求参数 5 四：根据存在量词命题的真假求参数问题 6 五：综合 7 题型03：根据命题否定的真假求参数 8 题型04：充分不必要条件求参 8 题型05：根据必要不充分条件求参数取值范围 10 题型06：根据充要条件求参数 11 1. 题型：多选、单选高频中档题；融合充要条件、全称/存在量词。 2. 两大主干考法： ① 根据充分、必要条件关系求参数范围； ② 含有∀、∃命题真假，求解参数（衔接恒成立、能成立）。 3. 典型易错：集合包含关系搞反；区间端点等号取舍出错；混淆恒成立与能成立模型。 1. 能把充分必要条件转化为集合包含关系； 2. 熟练将量词命题真假转化为函数最值问题； 3. 规范处理区间边界，理清推出方向，避免范围颠倒。 一、根据充分、必要条件求参数 1、解题思路：分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解，最后要注意区间端点值的检验。 2、充分、必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由可得，p是q的充分条件， ①若，则p是q的充分不必要条件； ②若，则p是q的必要条件； ③若，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若且，则p是q的既不充分也不必要条件． 3、充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 二、解决含有量词的命题求参问题的思路 1、全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； 2、存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常时假设存在满足条件爱你的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数。 1. 充要条件类参数 若p则q，设p对应集合A，q对应集合B，则小充分，大必），再列不等式求解，单独验证端点。 2. 全称、存在量词类参数 命题为真，转化为恒成立/能成立最值模型；命题为假，可先求其否定为真，简化运算。 3. 通用步骤 化简命题对应范围→转化集合关系或最值模型→列式求解→检验端点。 速记：充分看子集，量词看最值，端点必检验。 题型01：根据命题的真假求参数（范围） 【典型例题】（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】ABD 【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可. 【详解】因为方程有实数根，所以，解得或， 故当，，时符合条件. 故选：ABD. 【变式训练1-1】若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【变式训练1-2】若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 题型02：根据全称量词存在量词命题真假求参数 1.首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意． 2.其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围． 具体如下： (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 注：(1)含参数的全称量词命题为真时，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可通过构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围． (2)存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立．　 一：根据判别式法求参 【典型例题1】若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 【变式训练2-1-1】若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1-2】（多选）已知命题，.若为假命题，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 【变式训练2-1-3】若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 . 【变式训练2-1-4】已知，命题． (1)判断是全称量词命题，还是存在量词命题； (2)若均为真命题，求的取值范围． 二．分离参数法 【典型例题1】已知命题是真命题，则的取值范围是 . 【典型例题2】已知“，”为真命题；“，”为真命题，那么p，q的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2-2-1】已知集合，若命题“，恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 【变式训练2-2-2】已知命题，命题，若命题和命题都是真命题，求实数的取值范围. 三:根据全称量词命题的真假求参数 【典型例题1】若命题“时，”是假命题，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典型例题3】已知集合，． (1)若，求； (2)若命题P：“，”是真命题，求实数a的取值范围． 【变式训练2-3-1】若，是真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-3-2】若命题“，”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3-3】若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-3-41】（多选）给定命题，都有.若命题为假命题，则实数可以是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2-3-5】“”是真命题，则m的范围是 【变式训练2-3-6】若命题“”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【变式训练2-3-7】已知集合，，若命题，是真命题，则m的取值范围为 ． 【变式训练2-3-8】对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【变式训练2-3-9】是否存在整数m，使得命题“”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练2-3-10】已知命题，，命题，.若p为真命题、q为假命题，求实数m的取值范围. 【变式训练2-3-11】已知命题，，命题，. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 四：根据存在量词命题的真假求参数问题 【典型例题1】已知∃x∈R，不等式不成立，则下列关于a的取值不正确的是（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是________. 【典型例题3】集合，，且.若命题q：“”是真命题，求m的取值范围. 【变式训练2-4-1】已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4-2】命题，使得成立.若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4-3】已知．若p为假命题，则a的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【变式训练2-4-4】命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式训练2-4-5】若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4-6】已知命题”为真命题，则实数的取值范围为 . 【变式训练2-4-7】若“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【变式训练2-4-8】若命题：，，命题：，，若和都是真命题，则实数的取值范围是______． 【变式训练2-4-9】已知两个方程：，，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是 ． 【变式训练2-4-10】已知集合，或. (1)求、； (2)若集合，且，为假命题，求的取值范围. 【变式训练2-4-11】已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【变式训练2-4-12】已知集合，且. (1)若“”是真命题，求实数m的取值范围. 【变式训练2-4-13】已知命题，，命题，. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 五：综合 【典型例题1】已知集合，，且. (1)若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求m的取值范围． 【典型例题2】已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根．若命题p，q一个为真命题，一个为假命题时，求实数m的取值范围． 【变式训练2-5-1】已知命题：∃，；命题：∀，.若、都为假命题，则实数的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1] 【变式训练2-5-2】已知集合，，且. (1)若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求m的取值范围． 【变式训练2-5-3】（1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A. （2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值. 【变式训练2-5-4】已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 题型03：根据命题否定的真假求参数 【典型例题1】若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】（多选）已知∃x∈R，不等式不成立，则下列关于a的取值不正确的是（　　） A． B． C． D． 【典型例题34】若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【变式训练3-1】已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【变式训练3-2】已知命题p：x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，若是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥3 【变式训练3-3】命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【变式训练3-4】已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是 . 【变式训练3-5】已知命题，命题，若命题p和都是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【变式训练3-6】已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，为假命题，则实数的取值范围是 ． 【变式训练3-7】设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，一真一假，求实数的取值范围. 题型04：充分不必要条件求参 解题方法 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． (3)充分必要条件与集合包含之间的关系． 【典型例题1】（多选）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 【典型例题2】若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典型例题3】已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典型例题4】已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．-1或 【变式训练4-5】“”是“”的充分不必要条件，若，则取值可以是 （满足条件即可）. 【变式训练4-6】已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 【变式训练4-7】已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式训练4-8】已知集合，，， （1）求，，； （2）若是的充分而不必要条件，求实数m的取值范围. 【变式训练4-9】已知集合,,全集． （1）当时,求; （2）若是成立的充分不必要条件,求实数的取值范围． 【变式训练4-10】设集合，，. (1)，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围. 【变式训练4-11】已知全集，集合，. (1)当时，求和； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【总结提升】 根据充要条件求解参数范围的方法及注意点 (1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2) 端点取值慎取舍：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误 题型05：根据必要不充分条件求参数取值范围 必要不充分条件 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围 【典型例题1】若“”是“”的一个必要不充分条件，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【典型例题3】已知集合， (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围． 【典型例题4】已知集合或，． （1）求实数的取值范围，使它成为的充要条件； （2）求实数的一个值，使它成为的一个充分不必要条件； （3）求实数的取值范围，使它成为的一个必要不充分条件． 【变式训练5-1】若​是​的必要不充分条件，则实数​的取值范围（    ） A． B． ​ C． ​ D． 【变式训练5-2】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【变式训练5-5】设命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-6】已知实数满足，其中；实数x满足,若是的必要条件，求实数的取值范围． 【变式训练5-7】已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式训练5-8】已知. (1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由; (2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由. 题型06：根据充要条件求参数 解题方法 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 【典型例题1】方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【典型例题2】若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【典型例题3】当时，函数中的变量随的增大而增大的充要条件是 ． 【变式训练6-1】方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【变式训练6-2】方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） 已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练6-3】方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） 若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【变式训练6-4】方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） 若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【变式训练6-5】方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） 集合中至多有一个元素的充要条件是   . 【变式训练6-6】方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） 已知，，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练6-7】方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） 已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $