第07讲 集合新定义讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+配套习题）-2026-2027学年高考数学二轮复习专题（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦集合新定义专题，涵盖新概念、新运算、跨模块综合等核心考点，按基础性质到压轴探究的逻辑层次展开，通过知识要点梳理、解题策略指导、分层题型归纳和巩固提升训练，帮助学生建立新定义问题的分析框架和推理路径。 资料以数学抽象和逻辑推理为核心，创新设计“五步法”解题流程，如在新运算题型中先拆解自定义规则，再用Venn图转化为交并补运算。设置基础、中档、压轴三级训练题组，配合典型例题精讲和即时反馈，有效培养学生数学阅读和现场学习能力，为教师把控复习节奏、提升学生应考效率提供系统支持。

第07讲 高考集合新定义 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 4 知识要点 5 解题策略 9 题型归纳 9 题型01：新定义-集合与集合性质 9 题型02：定义集合的新概念 11 题型03：定义集合的新运算 21 题型04：定义集合的新性质 28 题型05：定义集合的新背景 33 题型06: 集合与数列交汇问题 35 题型07：集合与数论交汇问题 44 题型08：集合映射交汇问题 45 题型09：集合与函数交汇问题 48 题型10：集合与三角函数综合题 49 题型11：集合与导数综合题 50 题型12：最值问题 50 巩固提升 52 一.命题定位与分值 1. 试卷位置 常规基础卷：选择第1–3题，5分基础创新题； 新高考/北京/上海卷：常作为多选压轴、填空拔高，部分地区压轴解答题以集合新定义为探究载体，区分度极高。 2. 核心考查素养 紧扣高考数学四大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学阅读、数学建模，是检验学生现场学习能力的典型题型。 3. 命题底层逻辑 题干给出课本无记载的全新规则（概念/运算/性质），不超集合基础框架，但要求当场读懂、当场套用、严谨推理，拒绝死记硬背，规避套路刷题。 二.四大主流命题类型（高频考向） 1. 新概念定义（最高频） 对集合元素、子集、数集赋予专属名称：孤立元、完美集、规范数集、k阶子集、优划分、伴随集等； 设问：判断、计数、构造满足条件的子集、求参数范围。 2. 集合新运算定义 自定义符号：差集、对称差、积集、*运算、⊕运算； 本质：基于交、并、补、元素筛选的复合规则，先套新规则再做常规集合运算。 3. 新性质/新关系定义 规定两集合、元素之间特殊等价/包含关系：正交集合、平衡集、封闭集； 常考证明：交、并集是否保留该性质、存在性证明。 4. 跨模块综合新定义（拔高压轴） 融合数论、函数、平面点集、数列、不等式； 如坐标点集划分、整数子集差值、函数定义域集合新规则，难度最大。 三.命题难度分层与阅卷特点 1. 基础档（选择单题5分） 有限集合、文字简短、只需枚举验证，全员必拿分；陷阱：忽略空集、端点、重复元素。 2. 中档档（多选/填空） 含参数、无限数集、分类讨论，易错点：定义条件漏读、主观套用固有集合性质。 3. 压轴探究档（解答） 多小问递进：举例→构造→证明→一般化结论；侧重逻辑书写、存在性论证、反例构造，拉开高分段差距。 四.近年命题趋势 1. 阅读量持续加大，文字抽象化，强化信息提取能力； 2. 从单一有限集转向无限实数集、整数集、二维点集综合； 3. 强调“现场学习”：题干自带例题辅助理解，要求学生自主归纳方法； 4. 结合开放性设问：写出满足条件集合、举反例否定命题，弱化纯计算，强化推理表达。 五.核心易错点（高考高频丢分点） 1. 读题跳字，遗漏定义限定条件（整数、非空子集、互不相等）； 2. 用固有集合结论主观类推新定义，不严格按题干规则； 3. 无限集合不会用特值检验、分类讨论不完整； 4. 证明题逻辑断层，全称/特称量词混用，不会举反例。 （一）基础达标目标（全员必须掌握，保底5分） 1. 知识目标 ① 牢固掌握集合底层工具：元素与集合关系∈/∉、子集、交并补、Venn图、数轴表示、空集特殊性； ② 能完整拆解新定义文字，把文字条件转化为等式、不等式、约束语句，标注所有限制词（任意、存在、非空、整数）； ③ 熟练有限集枚举法，通过代入简单数字、单点验证理解新规则。 2. 能力目标 ① 数学阅读：快速定位定义核心句，剔除无关描述； ② 标准化解题四步流程：读定义翻译→特例验证→套用规则运算→回代检验边界； ③ 独立完成全部基础型新定义单选，零失误。 3. 应试目标 常规集合创新选择题，3分钟内稳定拿满分，不出现概念性低级错误。 （二）中档提升目标（冲100–120分核心突破） 1. 知识目标 ① 熟练三类题型通法：新概念计数、新运算复合化简、含参数集合范围求解； ② 掌握数形结合工具：数轴处理数集参数、Venn图分析集合相交结构、平面坐标系处理点集新定义； ③ 区分全称命题、特称命题证明思路：任意则任取元素推导；存在则构造一组实例；错误命题直接举反例推翻。 2. 能力目标 ① 分类讨论思维：按子集元素个数、参数正负、区间边界分类不重不漏； ② 转化能力：把陌生新定义问题等价转化为方程、不等式、排列计数等熟悉题型； ③ 规范书写：填空、多选写出关键推导步骤，避免凭直觉选答案。 3. 应试目标 攻克多选、填空拔高类集合新定义，参数范围、子集计数类题目失分控制在1题以内。 （三）压轴培优目标（120+高分突破，适配强基、冲刺名校） 1. 知识目标 ① 掌握探究型新定义解答题完整逻辑链：举例感知→猜想规律→严谨证明→推广一般结论； ② 熟练封闭性、集合划分、最优构造类证明模板； ③ 打通跨模块综合：集合+数论、集合+函数、二维点集新定义综合推理。 2. 能力目标 ① 抽象归纳：从有限特例提炼通用性质，自主总结新定义自带运算规律； ② 严谨逻辑表达：证明题分层书写，量词清晰，论据完整； ③ 逆向思维：根据结论反向构造符合定义的集合，快速构造反例。 3. 应试目标 完整完成集合背景压轴探究题，多小问递进不卡壳，证明过程逻辑无漏洞。 通用核心学习总目标（综合课标+高考评价体系） 1. 价值目标：培养自主接收陌生数学规则、独立推理的自学能力，适应高考“信息创新”命题导向； 2. 思维目标：建立“规则优先”思维——一切结论以题干新定义为准，不依赖固有经验，培养严谨数学逻辑； 3. 解题目标：形成固定解题范式，消除对“陌生新题型”的畏难心理，做到遇新定义有清晰解题路径； 4. 素养目标：通过集合新定义训练，同步提升数学阅读、符号转化、分类讨论、推理论证四大核心能力，辐射函数、数列、几何所有创新题型。 新定义主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解. 解决集合新定义问题的着手点： （1）正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识． （2）合理利用集合性质：运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的关键． （3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明． 集合新定义问题处理步骤 ①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么 ②看：看所求是什么？ ③代：将已知条件代入新定义的要素 ④解：结合数学知识进行解答 常用知识点 1、容斥原理 基本公式：（1）； （2） （3） 2、集合的性质 （1）等幂律； （2）同一律， （3）互补律； （4）交换律； （5）结合律， （6）分配律，； （7）吸收律； （8）反演律（摩根律）， 3、集合的笛卡尔积 定义：设为两个集合，以中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做集合与的笛卡尔积（又称直称），记作，即 集合的笛卡尔积满足如下运算法则： （1）； （2）笛卡尔积对并集和交集的分配律： ； 4、有限集的阶 有限集的元素的数目叫做这个集合的阶，记作（或）． 5、集合的整体性质 已知集合．如果由性质能推出中每个元素都满足的性质，那么就是的一个必要条件．设，显然有． 6、集合的局部性质 设集合．如果条件是条件的充分条件，那么集合是集合的子集，即．这里是集合中部分元素的性质． 7、集合分划 定义：把一个集合分成个非空的子集：，如果： （1）； （2）， 那么，这些子集的全体叫做集合的一个-分划． 8、分类原则 设所研究的对象的全体形成集合是的一组非空子集，且 （1）； （2）， 那么，这组子集叫做研究对象的全体的一个-分类，其中每一个子集叫做所研究对象的一个类． 9、最小数原理 最小数原理I：设是自然数集的一个非空子集，则中必有最小数． 最小数原理II：设是实数集的一个有限的非空子集，则中必有最小数． 推论：设是实数集的一个有限的非空子集，则中必有最大数． 10、加法原理 我们先来看覆盖（A）的一个简单的特殊情形． 如果子集族既满足（i），又满足 那么覆盖就是有限集的一个一分划． 对于有限集的一分划，我们有下面非常有用的结论． 加法原理设为非空有限集，是的一个由非空子集构成的分划，那么 加法原理是组合数学中一个基本的计数原理．在实际运用中可根据问题的不同背景赋予有限集的元素不同的含义． 11、特殊的映射 定义1：如果在映射下，集合中任何元素在集合中都至少有一个原像，那么称映射为到上的满射． 定义2：如果在映射下，集合中不同的元素在中有不同的像，那么称映射为到的单射． 定义3：如果映射同时是到上的满射和单射，那么称映射是到上的一一映射（或双射）． 定义4：如果映射为满射，且对集合中的每一个元素，在集合中恰有个原像，那么称映射是到上的-倍数映射． 配套通用解题方法论（对应学习目标落地） 1. 拆定义：圈关键词、限定条件、新符号，翻译成代数语言； 2. 试特例：取简单有限元素代入，弄懂规则运行方式； 3. 做转化：回归交并补、方程、不等式、计数基础工具； 4. 分情况：有限集枚举、无限集分类、参数讨论； 5. 验结果：检查空集、端点、特殊值，验证是否完全符合定义。 题型01：新定义-集合与集合性质 【典型例题】设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.例如，判断是否为集合：当时，此时；当时，此时；当时，此时.所以是集合. (1)判断集合和是否为集合；（直接写出答案，结论不需要证明） (2)若集合为集合，求出所有集合，并说明理由； (3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数． 【变式训练1-1】设为正整数，集合，对于集合中2个元素，若，则称具有性质．记为中的最小值． (1)当时，若，判断是否具有性质．如果是，求出；如果不是，说明理由； (2)当时，若具有性质，求的最大值； (3)给定不小于3的奇数，对于集合中任意2个具有性质的元素，求的最大值． 【变式训练1-2】已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. (1)若集合具有性质，求的最小值； (2)已知集合具有性质，求证： ①对任意的都有；    ②； (3)已知集合具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 【变式训练1-3】已知集合，其中且．若，且对集合A中的任意两个元素，都有，则称集合A有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)若集合具有性质． ①求证：的最大值大于等于； ②写出元素个数最多的集合A． 【变式训练1-4】集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合中的元素个数.当时，设是集合中所有元素按从小到大顺序的一种排列，记集合. (1)已知集合，求的值； (2)已知集合，若，求的值； (3)已知，记集合或. （ⅰ）当时，证明：的充要条件是； （ⅱ）若，求的所有可能取值. 【变式训练1-5】已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同） (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 题型02：定义集合的新概念 与集合新定义有关的创新问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识来解决新定义的集合创新问题．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点,弄清新定义的性质；按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决 【典型例题1】若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 【典型例题3】若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． (1)判断是否为“集合”，说明理由； (2)若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； (3)求所有满足条件的“集合”． 【典型例题4】已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为. (1)写出的一个优划分，使其满足； (2)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足； (3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且. 【典型例题5】设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称：为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作.若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作. 例如：对于集合，，存在一一对应关系，因此. (1)已知集合，，试判断是否成立?请说明理由； (2)证明：①； ②. 【变式训练2-1】已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【变式训练2-2】定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．6 C．14 D．15 【变式训练2-3】定义：差集且．现有两个集合、，则阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】定义为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合M的所有非空子集依次记为、、…、，则 . 【变式训练2-5】定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集且，那么称子集族构成集合的 一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为（ ） A．3 B．4 C．14 D．16 【变式训练2-6】对于非负整数集合（非空），若对任意，都有，或者，则称为一个好集合，以下记为的元素个数． (1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可） (2)设集合，，若集合为好集合，求出、、，所满足的条件．（需说明理由） 【变式训练2-7】大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C．Ü D． 【变式训练2-8】已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． (1)判断集合和集合是否具有“包容”性； (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 【变式训练2-9】已知有限集，若，则称为“完全集”. (1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由； (2)若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于； (3)若为“完全集”，且，求. 【变式训练2-10】定义两个维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集. (1)求2的完美3维向量集； (2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由； (3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和. 【变式训练2-11】已知集合（，），若存在数阵满足： ①； ②． 则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”． (1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值； (2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个； (3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由． 【变式训练2-12】已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【变式训练2-13】已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对. 条件①：； 条件②：. (1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由； (2)试证明不存在8元完备数对. 【变式训练2-14】给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和. (1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个5元理想数集，求证：； (3)当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值. 注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数. 【变式训练2-15】设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集，，…，满足： ①，，…，均非空； ②，，…，中任意两个集合交集为空集； ③． 则称，，…，为集合A的一个m阶分拆． (1)若，写出集合A的所有2阶分拆（其中，与，为集合A的同一个2阶分拆）； (2)若，，为A的2阶分拆，集合所有元素的平均值为P，集合所有元素的平均值为Q，求的最大值； (3)设，，为正整数集合（，）的3阶分拆．若，，满足任取集合A中的一个元素构成，其中，且与中元素的和相等．求证：n为奇数． 【变式训练2-16】已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域． (1)求元素个数最小的数环； (2)证明：记，证明：是数域； (3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由． 【变式训练2-17】设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”: ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明:对于任意，都有； ②若存在，使得，记,证明：中的所有奇数都属于. 【变式训练2-18】设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”. (1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若为集合的“相关数”，证明：； (3)给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值. 【变式训练2-19】设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为. (1)直接写出的所有自邻集； (2)若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数； (3)若，求证：. 【变式训练2-20】设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；.若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集. (1)当时，已知集合，.分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由； (2)当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值； (3)已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例. 【变式训练2-21】设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集，，…，满足： ①，，…，均非空； ②，，…，中任意两个集合交集为空集； ③． 则称，，…，为集合A的一个m阶分拆． (1)若，写出集合A的所有2阶分拆（其中，与，为集合A的同一个2阶分拆）； (2)若，，为A的2阶分拆，集合所有元素的平均值为P，集合所有元素的平均值为Q，求的最大值； (3)设，，为正整数集合（，）的3阶分拆．若，，满足任取集合A中的一个元素构成，其中，且与中元素的和相等．求证：n为奇数． 【变式训练2-22】集合称为三元有序数组集，对于，互不相等，令，其中，． (1)当时，试求出和； (2)证明：对于任意的中的三个数至多有一个为0； (3)证明：存在．当时，向量满足． 【变式训练2-23】给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和. (1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个5元理想数集，求证：； (3)当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值. 注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数. 【变式训练2-24】设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合： ①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.则称集合为集合的“集”. (1)若集合，求的“集”； (2)若三元集存在“集”，且中恰含有4个元素，求证：； (3)若存在“集”，且，求的最大值. 【变式训练2-25】设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”． (1)判断是否是的“可分离子集”，并说明理由； (2)设复数z满足，其中分别表示z的实部和虚部．证明：是的“可分离子集”当且仅当． 【变式训练2-26】已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． (1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； (2)若，证明：； (3)设，若，求的最小值． 【变式训练2-27】已知集合，若存在数阵满足： ①； ②. 则称集合为“好集合”，并称数阵T为的一个“好数阵”. (1)已知数阵为的一个“好数阵”，试写出x，y，z，w的值： (2)若集合为“好集合”，证明的“好数阵”必有偶数个； (3)判断是否为“好集合”.若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由. 【变式训练2-28】设整数集合，其中，且对于任意，若，则． (1)请写出一个满足条件的集合A； (2)证明：任意，． 【变式训练2-29】对任意正整数n，记集合，．，，若对任意都有，则记． (1)写出集合和； (2)证明：对任意，存在，使得； (3)设集合．求证：中的元素个数是完全平方数． 【变式训练2-30】设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有. (1)判断集合和是否为集合，说明理由； (2)若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数； (3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数. 【变式训练2-31】已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 【变式训练2-32】集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 【变式训练2-33】对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是． (1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素； (2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过； (3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是． 【变式训练2-34】定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）. 定义2：集合上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族，它满足以下条件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中. (1)族，族，判断族与族是否为集合的拓扑； (2)设有限集为全集 （i）证明：； （ii）族为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑. 【变式训练2-35】已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 题型03：定义集合的新运算 与集合运算有关的创新问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等,从而达到解决问题的目的． 【典型例题1】设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 【典型例题2】定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 【典型例题3】已知集合，，定义集合A、B间的运算，则集合（    ） A． B． C． D． 【典型例题4】已知集合，集合，且满足，，与恰有一个成立.对于定义，以及，其中. 例如. (1)若，，求的值及的最大值； (2)从中任意删去两个数，记剩下的数的和为，求的最小值（用表示）； (3)对于满足的每一个集合，集合中是否都存在三个不同的元素，，，使得恒成立？请说明理由. 【典型例题5】高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 【典型例题6】设数阵，其中．设，其中且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”表示“将经过变换得到，再将经过变换得到以此类推，最后将经过变换得到．记数阵中四个数的和为． (1)若，写出经过变换后得到的数阵，并求的值； (2)若，求的所有可能取值的和； (3)对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过． 【典型例题7】已知为所有元有序数组所组成的集合.其中（）. 对于中的任意元素，定义，的距离： 若，为的子集，且有个元素，并且满足任意，都存在唯一的，使得，则称为“好集”. (1)若，，，，，，求，及的值； (2)当时，求证：存在“好集”，且“好集”中不同元素的距离为5； (3)求证：当时，“好集”不存在. 【变式训练3-1】定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】定义集合运算：.若集合，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．16 C．32 D．64 【变式训练3-3】已知集合，集合，定义、间的运算且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】定义集合运算：．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【变式训练3-6】设集合，定义与的一个运算“”为：，其中． (1)试举出两组集合M、N，分别计算； (2)对上述集合M、N，计算，由此你可以得到什么一般性的结论？ (3)举例说明与之间的关系． 【变式训练3-7】非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有；（2）存在使对一切都有，则称是关于运算的融洽集；现有下列集合及运算：①是非负整数集，：实数的加法； ②是非负整数集，：实数的乘法； ③，：实数的乘法； 其中为融洽集的个数是（    ）. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练3-8】对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练3-9】（多选）对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【变式训练3-10】已知数集及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”），如果对一切，都有，那么就说，集合对运算“*”是封闭的． (1)设，判断对通常的实数的乘法运算是否封闭？ (2)设，且，问对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论． 【变式训练3-11】称代数系统为一个有限群，如果 1、为一个有限集合，为定义在上的运算(不必交换)， 2、 3、称为的单位元 4、，存在唯一元素使称为的逆元有限群，称为的子群.若，定义运算. (1)设为有限群的子群，为中的元素. 求证: (i)当且仅当； (ii)与元素个数相同. (2)设为任一质数.上的乘法定义为，其中[x]为不大于的最小整数.已知构成一个群，求证:(其中表示个作运算) 【变式训练3-12】定义一类集合：对于集合，若都满足，则称为“单位有界集”；在集合中定义一种运算：若，，定义.现对单位有界集进行如下操作：第一步，从中任取两个元素、，将中除了、以外的元素构成的集合记为，令；第二步，若集合还是单位有界集，则继续任取两个元素，将中除了以外的元素构成的集合记为，令；依次类推…… (1)对于任意的单位有界集，判断是否仍然为单位有界集．若是，请证明；若不是，请举出反例； (2)证明：若，则； (3)当时，对集合进行步上述操作，当只有一个元素时停止，求所有满足条件的． 【变式训练3-13】对于非空有限整数集X，，定义，对现有两个非空有限整数集A，B，已知且． (1)当时求集合B； (2)证明：； (3)当且时，任取构造函数问：当a，b取何值时，的最小值最小? 【变式训练3-14】已知集合，任取，，定义，其中表示，中的最大值，例如，. (1)当且时，写出满足的所有元素； (2)设，满足，求的最大值和最小值； (3)若的子集满足：，成立，求集合中元素个数的最大值. 【变式训练3-15】已知正整数集合,对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有,则称集合具有性质.记是集合中的最大值. (1)判断集合和集合是否具有性质，直接写出结论； (2)若集合具有性质，求证：； (3)若集合具有性质，求的最大值. 【变式训练3-16】对给定的正整数，令，对任意的，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述集合的特征：； (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求证：中的元素个数小于． 【变式训练3-17】已知集合，对于，，定义与之间的距离为． (1)已知，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：． 【变式训练3-18】对给定的正整数，令，对任意的，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述集合的特征：； (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求证：中的元素个数小于． 【变式训练3-19】已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【变式训练3-20】已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 【变式训练3-21】对于集合，定义运算符“”两式恰有一式成立}，表示集合中元素的个数． (1)设，求； (2)对于有限集，证明，并求出固定后使该式取等号的的数量；（用含的式子表示） (3)若有限集满足，则称有序三元组为“联合对”，定义，． ①设，求满足的“联合对”的数量；（用含的式子表示） ②根据（2）及（3）①的结果，求中“联合对”的数量． 【变式训练3-22】已知实数集，定义：（与可以相同）．记为集合中的元素个数． (1)若，请直接给出和； (2)若均为正数，且，求的最小值； (3)若，求证：． 【变式训练3-23】在计算机科学中，维数组是一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于维数组，定义与的差为与之间的距离为． (1)若维数组，证明：； (2)证明：对任意的数组，有； (3)设集合，若集合中有个维数组，记中所有两元素间的距离的平均值为，证明：． 题型04：定义集合的新性质 与集合性质有关的问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数 学知识来解决有关的集合性质的问题 【典型例题1】若集合A具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A； (Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A． 则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　) (1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q是“好集”； (3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A． A．0 B．1 C．2 D．3 【典型例题2】若数集具有性质P：对任意的，，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【典型例题3】已知集合.对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P. (1)当时，试判断集合和是否具有性质P?并说明理由； (2)当时，若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P?并说明理由； (3)当时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 【典型例题4】给定正整数，设集合.对于集合中的任意元素和，记.设，且集合，对于中任意元素，若，则称具有性质. (1)是否存在集合具有性质，若存在，请写出的表达式，若不存在，请说明理由； (2)判断集合是否具有性质？若具有，求的值；若不具有，请说明理由； (3)是否存在具有性质的集合？若存在，请找出来；若不存在，请说明理由. 【典型例题5】设正整数，，，这里. 若，且，则称具有性质. (1)当时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值； (2)若具有性质： ①求证：； ②求的值. 【变式训练4-1】设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是 . 【变式训练4-2】设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题： ①若A具有性质P，则A可以是有限集； ②若具有性质P，且，则具有性质P； ③若具有性质P，则具有性质P； ④若A具有性质P，且，则不具有性质P. 其中所有真命题的序号是 . 【变式训练4-3】已知集合，表示集合中的元素个数，当集合的子集满足时，称为集合的二元子集. 若对集合的任意个不同的二元子集，均存在对应的集合满足：①；②；③，则称集合具有性质. (1)当时，若集合具有性质，请直接写出集合的所有二元子集以及的一个取值； (2)当时，判断集合是否具有性质？并说明理由； (3)当时，若集合具有性质，求的最小值. 【变式训练4-4】已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. (1)若集合具有性质，求的最小值； (2)已知集合具有性质，求证： ①对任意的都有； ②； (3)已知集合具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 【变式训练4-5】已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. (1)集合具有性质，求的最小值； (2)已知具有性质，求证：； (3)已知具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 【变式训练4-6】对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P． (1)设，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）． (2)若，且集合具有性质P，求x的值； (3)若X具有性质P，且，q为常数且，求证：． 【变式训练4-7】设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质. (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明； (2)若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质； (3)设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由. 【变式训练4-8】已知数集具有性质P：对任意的k，，使得成立． (1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； (2)若，求A中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合A； (3)求证：． 【变式训练4-9】给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质． (1)分别判断集合与是否具有性质； (2)若集合具有性质，求的值； (3)若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合． 【变式训练4-10】给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． (1)判断集合是否具有性质？说明理由； (2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明． 【变式训练4-11】已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【变式训练4-12】已知集合（），S是集合A的子集，若存在不大于n的正整数m，使集合S中的任意一对元素，，都有，则称集合S具有性质P. (1)当时，试判断集合和是否具有性质P？并说明理由； (2)当时，若集合S具有性质P，那么集合是否具有性质P？并说明理由； (3)当，时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 【变式训练4-13】已知正实数构成的集合 (1)若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质. ①当，时，判断集合，是否具有性质，并说明理由； ②设集合，其中数列为等比数列，且公比为2，判断集合是否具有性质并说明理由. (2)若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.设集合具有性质且中的所有元素能构成等差数列.问：集合中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. 【变式训练4-14】已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【变式训练4-15】已知为正整数，集合具有性质：“对于集合中的任意元素，，且，其中”. 集合中的元素个数记为． (1)当时，求； (2)当时，求的所有可能的取值； (3)给定正整数，求． 题型05：定义集合的新背景 解决这类问题应仔细阅读题目，理解题目中给出的集合背景或规则．这包括集合的元素定义、集合之间的关系、集合的运算规则等．根据题目背景和问题要求，构建合适的数学模型或逻辑模型．例如，可以使用集合论中的基本概念和运算来构建模型．如果题目中涉及到复杂的集合运算或关系，可以考虑使用图形或表格来辅助理解 【典型例题1】群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“.”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对任意的，有； ②对任意的，有； ③存在，使得对任意的，有称为单位元； ④对任意的，存在，使，称与互为逆元. 则称关于“.”新构成一个群.则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集关于数的加法构成群 C．实数集关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 【典型例题2】对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作．下列结论中正确的个数为（ ） ①若曲线是一个点，则点集所表示的图形的面积为； ②若曲线是一个半径为的圆，则点集所表示的图形的面积为； ③若曲线是一个长度为的线段，则点集所表示的图形的面积为； ④若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为． A．1 B．2 C．3 D．4 【典型例题3】我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）． (1)若空间向量，求及； (2)对于空间向量．若，求证：，若，则； (3)若空间向量的坐标满足，当时，求证：． 【典型例题4】我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）． (1)若空间向量，求及； (2)对于空间向量．若，求证：，若，则； (3)若空间向量的坐标满足，当时，求证：． 【变式训练5-1】（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，， 中的每个元素都小于中的每个元素，称为戴德金分割．下列结论正确的是（    ） A．是一个戴德金分割 B．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，没有最小元素 C．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，有一个最小元素 D．存在一个戴德金分割，使得没有最大元素，也没有最小元素 【变式训练5-2】在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组表示，在三维空间中点的坐标可用三个有序数组表示，一般地在维空间中点A的坐标可用n个有序数组表示，并定义n维空间中两点，间的“距离”． (1)若，，求； (2)设集合．元素个数为2的集合M为的子集，且满足对于任意，都存在唯一的使得，则称M为“的优集”．证明：“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7． 【变式训练5-3】对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足： I．，； II．，； Ⅲ．，，； Ⅳ．，，． 对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群．    (1)直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）； (2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，． ①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群； ②已知H是群G的一个子群，e，分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明； ③写出群S的所有子群． 【变式训练5-4】拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面，定义对，，其度量（距离）并称为一度量平面．设，，称平面区域为以为心，为半径的球形邻域． (1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集； (2)证明：中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集； (3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集． 题型06:集合与数列交汇问题 若新定义与数列有关，可利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识 【典型例题1】已知是等差数列，，存在正整数，使得，，.若集合中只含有4个元素，则t的可能取值有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【典型例题2】已知数列：1，，，3，3，3，，，，，，，即当（）时，，记（）. (1)求的值； (2)求当（），试用、的代数式表示()； (3)对于，定义集合是的整数倍，，且，求集合中元素的个数. 【典型例题3】对于集合且，定义且.集合A中的元素个数记为，当时，称集合A具有性质. (1)判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)设集合，且具有性质，若中的所有元素能构成等差数列，求的值； (3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. 【典型例题4】对于由m个正整数构成的有限集，记，特别规定，若集合M满足：对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A､B，使得成立，则称集合M为“满集”， （1）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由； （2）若由小到大能排列成公差为d()的等差数列，求证：集合M为“满集”的必要条件是或2； （3）若由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M是“满集” 【变式训练6-1】称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记为集合包含的好整点的个数．若，则正整数的最小值是（    ） A．1976 B．1977 C． D． 【变式训练6-2】已知数列的通项公式为，其中常数． (1)若，求的值； (2)若前10项的和为1551，试分析的单调性； (3)对于常数t，记集合，试求当与t变化时，集合中元素个数的最大值． 【变式训练6-3】集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”. （1）判断集合、是否为“好集合”； （2）若集合是“好集合”，求的值； （3）“好集合”的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 【变式训练6-4】设集合，其中，，在M的所有元素个数为K（，2≤K≤n）的子集中，我们把每个K元子集的所有元素相加的和记为（，2≤K≤n），每个K元子集的最大元素之和记为（，2≤K≤n），每个K元子集的最小元素之和记为（，2≤K≤n）． (1)当n＝4时，求、的值； (2)当n＝10时，求的值； (3)对任意的n≥3，，给定的，2≤K≤n，是否为与n无关的定值？若是，请给出证明并求出这个定值：若不是，请说明理由． 【变式训练6-5】已知等差数列的公差，数列满足，集合. （1）若，求集合； （2）若，求使得集合恰好有两个元素； （3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值. 【变式训练6-6】设自然数，若由n个不同的正整数，，…，构成的集合满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P． (1)试分别判断在集合与是否具有性质P，不必说明理由； (2)已知集合具有性质P． ①记，求证：对于任意正整数，都有； ②令，，求证：； (3)在（2）的条件下，求的最大值． 【变式训练6-7】若无穷数列满足：是正实数，当时，，则称是“数列”． (1)若是“数列”且，写出的所有可能值； (2)设是“数列”，证明：是等差数列的充分必要条件是单调递减； (3)若是“数列”且是周期数列（即存在正整数，使得对任意正整数，都有，求集合的元素个数的所有可能取值． 【变式训练6-8】已知集合，若且，则称 为集合生成的一个“交错数”，所有“交错数”组成的集合称为集合生成的交错集 （1）写出集合生成的交错集； （2）若集合，求证：集合的交错数各不相同； （3）无穷数列的前项和为，且对任意都有.记，判断集合生成的交错集与正整数集的关系，并说明理由. 【变式训练6-9】定义：有限非空数集的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合，其“积数”. （1）若有限数集，求证：集合的所有非空子集的“积数”之和满足； （2）根据（1）的结论，对于有限非空数集（），记集合A的所有非空子集的“积数”之和，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明； （3）若有限集， ①试求由中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和奇数； ②试求由中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数. 【变式训练6-10】设非空实数集中存在最大元素和最小元素，记. (1)已知，，且，求实数. (2)设，，是否存在实数，使得？若存在，求出所有满足条件的实数，若不存在说明理由. (3)设，函数在区间上值域记为，若对任意，函数都满足，求的取值范围. 【变式训练6-11】设函数，定义集合，集合． (1)若，写出相应的集合和； (2)若集合，求出所有满足条件的； (3)若集合只含有一个元素，求证：． 【变式训练6-12】已知某类数集中有个元素，这些元素的和为且它们的某种排列可以构成等差数列，我们就称这样的集合为“好集”.对于一系列互不相同的正整数，若好集满足：，，中的元素个数至多为1，且存在某些使它们的并集（）中元素的某种排列也为等差数列，我们就称可以构成“优集合”.特别的，规定下标最小的好集. (1)证明：好集可以构成优集合. (2)若好集可以构成优集合，证明：不全为偶数. (3)若好集可以构成优集合，试判断是否能为以1为首项的等比数列？若能，请求出所有的通项；若不能，请说明理由. 【变式训练6-13】对于一个元正整数集，如果它能划分成个不相交的二元子集的并集，即，且存在，使得，则称这个偶数为可分数.例如，由于二元子集满足，则称2为可分数. (1)判断4和6是否为可分数，并说明理由； (2)求小于81的最大可分数； (3)记小于的可分数的个数为，令，记为数列的前项和，证明：. 【变式训练6-14】已知数列，记集合. (1)若数列为，写出集合； (2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； (3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值． 【变式训练6-15】已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． (1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； (2)若，证明：； (3)设，若，求的最小值． 【变式训练6-16】设为给定的正奇数，定义无穷数列：若是数列中的项，则记作. (1)若数列的前6项各不相同，写出的最小值及此时数列的前6项； (2)求证：集合是空集； (3)记集合正奇数，求集合.（若为任意的正奇数，求所有数列的相同元素构成的集合.） 【变式训练6-17】已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)设表示不超过的最大整数（如：），求集合中元素的个数． 【变式训练6-18】已知A为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.设.例如当时，，，，所以. (1)若，求的值； (2)设A是由3个正实数组成的集合且，；，证明：为定值； (3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意，设，.已知，，且对任意，，求数列的通项公式. 【变式训练6-19】正整数集合，且，，中所有元素和为，集合. (1)若，请直接写出集合； (2)若集合中有且只有两个元素，求证“为等差数列”的充分必要条件是“集合中有个元素”； (3)若，求的最小值，以及当取最小值时，最小值. 【变式训练6-20】已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数. (1)若，求的值； (2)若，且，求； (3)证明：存在，满足 使得． 【变式训练6-21】设集合．对于给定有穷数列，及序列，，定义变换：将数列的第项加1，得到数列；将数列的第列加，得到数列…；重复上述操作，得到数列，记为． (1)给定数列和序列，写出； (2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由； (3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，证明：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为“”． 【变式训练6-22】已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列． (1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； (2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4； (3)若为连续可表数列，且，求证：． 【变式训练6-23】已知数列，记集合. (1)若数列为，写出集合； (2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； (3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值． 【变式训练6-24】已知，集合其中. (1)求中最小的元素； (2)设，，且，求的值； (3)记，，若集合中的元素个数为，求. 【变式训练6-25】已知集合，定义：当时，把集合中所有的数从小到大排列成数列，数列的前项和为.例如：时，，. (1)写出，并求； (2)判断88是否为数列中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由； (3)若2024是数列中的某一项，求及的值. 【变式训练6-26】将2024表示成5个正整数，，，，之和，得到方程①，称五元有序数组为方程①的解，对于上述的五元有序数组，当时，若，则称是密集的一组解. (1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由； (2)方程①的解中共有多少组是密集的? (3)记，问是否存在最小值?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 【变式训练6-27】设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为. (1)直接写出的所有自邻集； (2)若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数； (3)若，求证：. 【变式训练6-28】在数列中，设是数列的前项和，并规定，定义集合，中元素的个数为. (1)在数列中，若，，，，，，，，求； (2)若，满足， ①证明：集合非空； ②证明：当，时，. 【变式训练6-29】已知集合具有性质：对任意且，与至少一个属于． (1)分别判断集合与是否具有性质，并说明理由； (2)具有性质，当时，求集合； (3)记，求． 【变式训练6-30】已知A为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.设.例如当时，，，，所以. (1)若，求的值； (2)设A是由3个正实数组成的集合且，；，证明：为定值； (3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意，设，.已知，，且对任意，，求数列的通项公式. 题型07：集合与数论交汇问题 集合与数论交汇问题通常涉及集合的元素和数论的性质，如整除性、质数、最大公约数、最小公倍数等．解决这类问题的关键在于准确理解集合的元素和数论性质之间的关系，合理构建集合模型，灵活运用各种解题方法，并进行严格的推理和验证．通过多做类似的题目，积累经验，可以提高解题的效率和准确性． 【典型例题1】若集合且，则称构成的一个二次划分.任意给定一个正整数，可以给出整数集的一个次划分，其中表示除以余数为的所有整数构成的集合.这样我们得到集合，称作模的剩余类集.模的剩余类集可定义加减乘三种运算，如，（其中为除以的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过定义倒数就可以了，但不是所有中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域.那么下面说法错误的是（    ） A．能构成素域当且仅当是素数 B． C．是最小的素域（元素个数最少） D． 【典型例题2】离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为． (1)若，求； (2)对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中； (3)已知．对，令．证明：． 【变式训练7-1】由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合M满足：对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A，B，使得成立，则称集合为“满集”. (1)分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由； (2)若集合为“满集”，求的值： (3)若为满集，，求的最小值. 【变式训练7-2】对给定的整数，若在数集中任取个元素，都可以通过这个元素进行加减乘除四则运算（每个元素都必须使用且只能使用1次），使其结果为的整数倍，则称整数具有性质. (1)若，，请分别判断5是否具有性质和，并说明理由； (2)求证：3具有性质，其中表示整数集； (3)若12具有性质，求的最小值，其中表示整数集. 【变式训练7-3】将2024表示成5个正整数，，，，之和，得到方程①，称五元有序数组为方程①的解，对于上述的五元有序数组，当时，若，则称是密集的一组解. (1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由； (2)方程①的解中共有多少组是密集的? (3)记，问是否存在最小值?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 题型08：集合映射交汇问题 【典型例题1】设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射． (1)试在上给出一个非单射的映射； (2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则； (3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有． 【典型例题2】若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B． 设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记． (1)若，，写出Y，并求； (2)若，，求所有的总和； (3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）． 【变式训练8-1】若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B． 设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记． (1)若，，写出Y，并求； (2)若，，求所有的总和； (3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）． 【变式训练8-2】若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B． 设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记． (1)若，，写出Y，并求； (2)若，，求所有的总和； (3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）． 【变式训练8-3】设，是非空集合，定义二元有序对集合为和的笛卡尔积.若，则称是到的一个关系.当时，则称与是相关的，记作.已知非空集合上的关系是的一个子集，若满足，有，则称是自反的：若，有，则，则称是对称的；若，有，，则，则称是传递的.且同时满足以上三种关系时，则称是集合中的一个等价关系，记作~. (1)设，，，，求集合与； (2)设是非空有限集合中的一个等价关系，记中的子集为的等价类，求证：存在有限个元素，使得，且对任意，； (3)已知数列是公差为1的等差数列，其中，，数列满足，其中，前项和为.若给出上的两个关系和，请求出关系，判断是否为上的等价关系.如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合. 【变式训练8-4】设为非空集合，定义（其中表示有序对），称的任意非空子集为上的一个关系.例如时，与都是上的关系.设为非空集合上的关系.给出如下定义：①（自反性）若对任意，有，则称在上是自反的；②（对称性）若对任意，有，则称在上是对称的；③（传递性）若对任意，有，则称在上是传递的.如果上关系同时满足上述3条性质，则称为上的等价关系.任给集合，定义为. (1)若，问：上关系有多少个？上等价关系有多少个？（不必说明理由） (2)若集合有个元素，的非空子集两两交集为空集，且，求证：为上的等价关系. (3)若集合有个元素，问：对上的任意等价关系，是否存在的非空子集，其中任意两个交集为空集，且，使得？请判断并说明理由. 题型09：集合与函数交汇问题 【典型例题】已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【变式训练9-1】已知非常数函数的定义域为D，如果存在正数T，使得对任意x∈D，都有恒成立，则称函数具有性质． (1)分别判断下列函数是否具有性质，并说明理由； ①；    ②． (2)若具有性质，，，表示的前n项和，，若恒成立，求a的取值范围； (3)设连续函数具有性质，且存在M＞0，使得对任意x∈R，都有成立，求证：是周期函数． 【变式训练9-2】（1）已知集合，且，求实数的取值范围； （2）已知函数（常数）问：是否存在整数，使该函数在区间上是严格减函数，并且函数值不恒为负？若存在，求出符合条件的，若不存在，请说明理由． 【变式训练9-3】已知，不等式的解集为，不等式的解集. (1)求集合： (2)设函数的定义域为，若，求实数的取值范围； (3)若函数在上严格单调递减，求实数的取值范围. 【变式训练9-4】记集合． (1)若，求证：； (2)设集合且，若，，求的取值范围； (3)若，求证：． 【变式训练9-5】对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合. (1)分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由， ①；②； (2)若（）是集合中的元素，求的最小值； (3)若，求证：是的充分不必要条件. 题型10：集合与三角函数综合题 【典型例题】已知是等差数列，，存在正整数，使得，，.若集合中只含有4个元素，则t的可能取值有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练10-1】已知的三边长之比为5∶6∶9，记的三个内角的正切值所组成的集合为M，则集合M中的最大元素为 ． 【变式训练10-2】对开区间，定义，当实数集合为段（为正整数）互不相交的开区间的并集时，定义，若对任意上述形式的的子集，总存在，使得，其中，则的最大值为 . 题型11：集合与导数综合题 【典型例题】对任意数集，满足表达式为且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为 . 【变式训练11-1】已知定义在上的函数（是自然对数的底数）满足，且，删除无穷数列、、、、、中的第项、第项、、第项、、，余下的项按原来顺序组成一个新数列，记数列前项和为. (1)求函数的解析式； (2)已知数列的通项公式是，，，求函数的解析式； (3)设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意、，都有，设称为集合的一个“阈度”；记集合，试问集合存在“阈度”吗？若存在，求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由； 题型12：最值问题 【典型例题】全集，，，若中存在两个非空子集，，满足，，则称，是的一个“组合分拆”，用表示集合的所有元素的和． (1)若． ①若，，求； ②若为偶数，证明：； (2)若，为给定的偶数，关于的方程存在有理数解，求的最小值，并写出取得最小值时的一个集合． 【变式训练12-1】记集合，为集合（）的两个子集，且满足，.定义：（，分别表示集合，中所有元素的和）. (1)当时，求的所有可能的值； (2)求的最小值； (3)设为不超过的自然数，且与的奇偶性相同，证明：存在，，使得. 【变式训练12-2】对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． (1)若，，请直接写出集合和； (2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； (3)若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 【变式训练12-3】设，，…，是1，2，…，（且）的一个排列.数列满足为，，（）的中位数，规定，.将中的所有取值构成的集合记为. (1)当时，求和； (2)求中所有元素之和的最大值； (3)求中元素个数的最小值. 【变式训练12-4】已知集合，定义集合． (1)若，写出集合； (2)若，且对任意，如果，则存在，使得，求证：； (3)给定整数，若存在集合满足：对任意，存在，且，使得，求的最小值． 1．给定正整数，设集合，对，，，两数中至少有一个数属于，则称集合具有性质. (1)设集合，，请直接写出，是否具有性质； (2)若集合具有性质，求的值； (3)若具有性质的集合恰有6个元素，且，求集合． 2．设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 3．（1）已知集合，，若集合，其中，，满足，写出所有符合条件的C； （2）集合，，从M，N中各自等概率地取出一个元素a和b，，求X的数学期望； （3）若集合，，满足，，考虑以下2500个数（可以相同）：，，对，设为k在上面2500个数中出现的次数，证明：. （注：表示，，…，中最小的数，.） 4．已知集合，集合满足，当取不同值时，各不相同．记的所有元素之和为，将数列的所有项重新排列为，使得． (1)当时，求． (2)当时，证明：成等差数列． (3)设，证明：． 5．已知集合，集合，记集合中的元素个数为.若集合中存在三个元素，使得，则称集合为集合的一个“幸福集”. (1)当时，判断集合是否有“幸福集”； (2)当时，写出集合的三元“幸福集”的个数，并列举； (3)当时，若集合中的元素个数为，证明：集合必有“幸福集”. 6．已知有限数列，其中，.在中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为的一个子列，对某一给定正整数，若对任意的，均存在的相应子列，使得该子列的各项之和为，则称具有性质. (1)判断：，，，，，，是否具有性质？说明理由； (2)若，是否存在具有性质？若存在，写出一个，若不存在，说明理由； (3)若，且存在具有性质，求的取值范围. 7．设为不小于2的正整数，集合，对集合中任意两个元素和，记，其中. (1)设，，求和的值； (2)从集合中随机取一个元素，求为偶数的概率； (3)设，从集合中任取两个元素和，，求集合的元素个数最大值（用表示）． 8．十进制与二进制是常见的数制，其中十进制的数据是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数码来表示的数，基数为10，进位规则是“逢十进一”，借位规则是“借一当十”；二进制的数据是由0，1这两个数码来表示的数，基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”；例如：十进制的数20对应二进制表示的数为，二进制的数对应十进制表示的数为15．用表示非空的整数集合A的所有元素的和，已知集合，，i=1，2，…，n且．（一个数，不特别说明，默认为十进制）. (1)写出“37”对应二进制表示的数及“”对应的十进制数； (2)若集合，，，，求与的所有可能值组成的集合； (3)若，且对每个正整数，都存在A的子集S，使得，求的最小值． 9．对于给定集合，若存在非负实数，对任意的满足：成立，则称集合具有性质. (1)证明：集合具有性质； (2)若集合具有性质，求的最小值； (3)若集合具有性质，求的最大值. 10．设为给定的正整数，称有序数组是二进数组．是由个互不相同的二进数组构成的集合，对于中的任意两个元素和，称是特征值．记的所有特征值中出现次数最多的数值为． (1)设，求和的值； (2)若对任意，均有，求的最大值； (3)若，证明：，其中表示不超过的最大整数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 高考集合新定义 目 录 思维导图 3 高考分析 3 学习目标 5 知识要点 6 解题策略 10 题型归纳 10 题型01：新定义-集合与集合性质 10 题型02：定义集合的新概念 22 题型03：定义集合的新运算 86 题型04：定义集合的新性质 123 题型05：定义集合的新背景 153 题型06: 集合与数列交汇问题 165 题型07：集合与数论交汇问题 226 题型08：集合映射交汇问题 236 题型09：集合与函数交汇问题 248 题型10：集合与三角函数综合题 259 题型11：集合与导数综合题 262 题型12：最值问题 265 巩固提升 276 一.命题定位与分值 1. 试卷位置 常规基础卷：选择第1–3题，5分基础创新题； 新高考/北京/上海卷：常作为多选压轴、填空拔高，部分地区压轴解答题以集合新定义为探究载体，区分度极高。 2. 核心考查素养 紧扣高考数学四大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学阅读、数学建模，是检验学生现场学习能力的典型题型。 3. 命题底层逻辑 题干给出课本无记载的全新规则（概念/运算/性质），不超集合基础框架，但要求当场读懂、当场套用、严谨推理，拒绝死记硬背，规避套路刷题。 二.四大主流命题类型（高频考向） 1. 新概念定义（最高频） 对集合元素、子集、数集赋予专属名称：孤立元、完美集、规范数集、k阶子集、优划分、伴随集等； 设问：判断、计数、构造满足条件的子集、求参数范围。 2. 集合新运算定义 自定义符号：差集、对称差、积集、*运算、⊕运算； 本质：基于交、并、补、元素筛选的复合规则，先套新规则再做常规集合运算。 3. 新性质/新关系定义 规定两集合、元素之间特殊等价/包含关系：正交集合、平衡集、封闭集； 常考证明：交、并集是否保留该性质、存在性证明。 4. 跨模块综合新定义（拔高压轴） 融合数论、函数、平面点集、数列、不等式； 如坐标点集划分、整数子集差值、函数定义域集合新规则，难度最大。 三.命题难度分层与阅卷特点 1. 基础档（选择单题5分） 有限集合、文字简短、只需枚举验证，全员必拿分；陷阱：忽略空集、端点、重复元素。 2. 中档档（多选/填空） 含参数、无限数集、分类讨论，易错点：定义条件漏读、主观套用固有集合性质。 3. 压轴探究档（解答） 多小问递进：举例→构造→证明→一般化结论；侧重逻辑书写、存在性论证、反例构造，拉开高分段差距。 四.近年命题趋势 1. 阅读量持续加大，文字抽象化，强化信息提取能力； 2. 从单一有限集转向无限实数集、整数集、二维点集综合； 3. 强调“现场学习”：题干自带例题辅助理解，要求学生自主归纳方法； 4. 结合开放性设问：写出满足条件集合、举反例否定命题，弱化纯计算，强化推理表达。 五.核心易错点（高考高频丢分点） 1. 读题跳字，遗漏定义限定条件（整数、非空子集、互不相等）； 2. 用固有集合结论主观类推新定义，不严格按题干规则； 3. 无限集合不会用特值检验、分类讨论不完整； 4. 证明题逻辑断层，全称/特称量词混用，不会举反例。 （一）基础达标目标（全员必须掌握，保底5分） 1. 知识目标 ① 牢固掌握集合底层工具：元素与集合关系∈/∉、子集、交并补、Venn图、数轴表示、空集特殊性； ② 能完整拆解新定义文字，把文字条件转化为等式、不等式、约束语句，标注所有限制词（任意、存在、非空、整数）； ③ 熟练有限集枚举法，通过代入简单数字、单点验证理解新规则。 2. 能力目标 ① 数学阅读：快速定位定义核心句，剔除无关描述； ② 标准化解题四步流程：读定义翻译→特例验证→套用规则运算→回代检验边界； ③ 独立完成全部基础型新定义单选，零失误。 3. 应试目标 常规集合创新选择题，3分钟内稳定拿满分，不出现概念性低级错误。 （二）中档提升目标（冲100–120分核心突破） 1. 知识目标 ① 熟练三类题型通法：新概念计数、新运算复合化简、含参数集合范围求解； ② 掌握数形结合工具：数轴处理数集参数、Venn图分析集合相交结构、平面坐标系处理点集新定义； ③ 区分全称命题、特称命题证明思路：任意则任取元素推导；存在则构造一组实例；错误命题直接举反例推翻。 2. 能力目标 ① 分类讨论思维：按子集元素个数、参数正负、区间边界分类不重不漏； ② 转化能力：把陌生新定义问题等价转化为方程、不等式、排列计数等熟悉题型； ③ 规范书写：填空、多选写出关键推导步骤，避免凭直觉选答案。 3. 应试目标 攻克多选、填空拔高类集合新定义，参数范围、子集计数类题目失分控制在1题以内。 （三）压轴培优目标（120+高分突破，适配强基、冲刺名校） 1. 知识目标 ① 掌握探究型新定义解答题完整逻辑链：举例感知→猜想规律→严谨证明→推广一般结论； ② 熟练封闭性、集合划分、最优构造类证明模板； ③ 打通跨模块综合：集合+数论、集合+函数、二维点集新定义综合推理。 2. 能力目标 ① 抽象归纳：从有限特例提炼通用性质，自主总结新定义自带运算规律； ② 严谨逻辑表达：证明题分层书写，量词清晰，论据完整； ③ 逆向思维：根据结论反向构造符合定义的集合，快速构造反例。 3. 应试目标 完整完成集合背景压轴探究题，多小问递进不卡壳，证明过程逻辑无漏洞。 通用核心学习总目标（综合课标+高考评价体系） 1. 价值目标：培养自主接收陌生数学规则、独立推理的自学能力，适应高考“信息创新”命题导向； 2. 思维目标：建立“规则优先”思维——一切结论以题干新定义为准，不依赖固有经验，培养严谨数学逻辑； 3. 解题目标：形成固定解题范式，消除对“陌生新题型”的畏难心理，做到遇新定义有清晰解题路径； 4. 素养目标：通过集合新定义训练，同步提升数学阅读、符号转化、分类讨论、推理论证四大核心能力，辐射函数、数列、几何所有创新题型。 新定义主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解. 解决集合新定义问题的着手点： （1）正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识． （2）合理利用集合性质：运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的关键． （3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明． 集合新定义问题处理步骤 ①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么 ②看：看所求是什么？ ③代：将已知条件代入新定义的要素 ④解：结合数学知识进行解答 常用知识点 1、容斥原理 基本公式：（1）； （2） （3） 2、集合的性质 （1）等幂律； （2）同一律， （3）互补律； （4）交换律； （5）结合律， （6）分配律，； （7）吸收律； （8）反演律（摩根律）， 3、集合的笛卡尔积 定义：设为两个集合，以中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做集合与的笛卡尔积（又称直称），记作，即 集合的笛卡尔积满足如下运算法则： （1）； （2）笛卡尔积对并集和交集的分配律： ； 4、有限集的阶 有限集的元素的数目叫做这个集合的阶，记作（或）． 5、集合的整体性质 已知集合．如果由性质能推出中每个元素都满足的性质，那么就是的一个必要条件．设，显然有． 6、集合的局部性质 设集合．如果条件是条件的充分条件，那么集合是集合的子集，即．这里是集合中部分元素的性质． 7、集合分划 定义：把一个集合分成个非空的子集：，如果： （1）； （2）， 那么，这些子集的全体叫做集合的一个-分划． 8、分类原则 设所研究的对象的全体形成集合是的一组非空子集，且 （1）； （2）， 那么，这组子集叫做研究对象的全体的一个-分类，其中每一个子集叫做所研究对象的一个类． 9、最小数原理 最小数原理I：设是自然数集的一个非空子集，则中必有最小数． 最小数原理II：设是实数集的一个有限的非空子集，则中必有最小数． 推论：设是实数集的一个有限的非空子集，则中必有最大数． 10、加法原理 我们先来看覆盖（A）的一个简单的特殊情形． 如果子集族既满足（i），又满足 那么覆盖就是有限集的一个一分划． 对于有限集的一分划，我们有下面非常有用的结论． 加法原理设为非空有限集，是的一个由非空子集构成的分划，那么 加法原理是组合数学中一个基本的计数原理．在实际运用中可根据问题的不同背景赋予有限集的元素不同的含义． 11、特殊的映射 定义1：如果在映射下，集合中任何元素在集合中都至少有一个原像，那么称映射为到上的满射． 定义2：如果在映射下，集合中不同的元素在中有不同的像，那么称映射为到的单射． 定义3：如果映射同时是到上的满射和单射，那么称映射是到上的一一映射（或双射）． 定义4：如果映射为满射，且对集合中的每一个元素，在集合中恰有个原像，那么称映射是到上的-倍数映射． 配套通用解题方法论（对应学习目标落地） 1. 拆定义：圈关键词、限定条件、新符号，翻译成代数语言； 2. 试特例：取简单有限元素代入，弄懂规则运行方式； 3. 做转化：回归交并补、方程、不等式、计数基础工具； 4. 分情况：有限集枚举、无限集分类、参数讨论； 5. 验结果：检查空集、端点、特殊值，验证是否完全符合定义。 题型01：新定义-集合与集合性质 【典型例题】设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.例如，判断是否为集合：当时，此时；当时，此时；当时，此时.所以是集合. (1)判断集合和是否为集合；（直接写出答案，结论不需要证明） (2)若集合为集合，求出所有集合，并说明理由； (3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数． 【解析】（1）对于， 由于当时，此时；当时，此时；当时，此时. 所以集合是集合， 对于， 由于当时，此时； 故不是集合， 综上可知集合是集合，不是集合， （2）当时，， 当时，， 当时，， 不妨设，由集合互异性可知： 则且互为相反数， 若，可得，不符合题意， 则，可得， 当时，，不符合题意， 当时，解得，或，，不符合题意， 当时，解得，或，，不符合题意， 当时，解得，或，，符合题意， 所以集合或， （3）假设中元素全为正实数，不妨设， 当时，， 当时，， 当时，， 由于， ， 所以， ①当中元素至少个大于时，此时，， ②所以中元素至多个大于，此时， ，， 所以， 可得，可得， 即不成立， ③所以中元素小于等于，即， ， 此时， 包含以下几种情况： 第一种：， 可得，可得， 即不成立， 第二种：当时， 可得，可得， 即不成立， 第三种：当或时， 可得，可得， 即，即不成立， 由①②③都错，可知假设集合中全为正实数为错误命题，所以集合中不全为正实数. 【变式训练1-1】设为正整数，集合，对于集合中2个元素，若，则称具有性质．记为中的最小值． (1)当时，若，判断是否具有性质．如果是，求出；如果不是，说明理由； (2)当时，若具有性质，求的最大值； (3)给定不小于3的奇数，对于集合中任意2个具有性质的元素，求的最大值． 【解析】（1）因为，所以具有性质； 因为， 所以． （2）方法：1： 由性质得，所以， 因为， 所以， 则，，， 所以， 所以， 又因为当时， 具有性质， 且， 所以的最大值为1． 方法2： 先用反证法证明， 假设， 由，则， 所以，同理， 所以， 由， 所以， 与已知矛盾，假设不成立， 所以， 当时，， 此时， 所以的最大值为1． （3）由性质可得， 所以①，且②， 在①中不妨设， 在②中不妨设， 由对称性可以设， 所以， 所以 ，即， 因为存在，（其中有个个）， （其中有个，个）具有性质， 并且， ， ， 所以， 综上最大值为． 【变式训练1-2】已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. (1)若集合具有性质，求的最小值； (2)已知集合具有性质，求证： ①对任意的都有；    ②； (3)已知集合具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 【解析】（1）集合具有性质，则对任意的，都有，即， ，解得且，可得的最小值是. （2）①由题意，，又， ，可得， ②由①可得. （3）由（2）知，，又，可得，因此，同理，， 又，，则也均成立. 当时，取，则，可知. 又当时，，则，即. 因此集合中元素个数的最大值为7. 【变式训练1-3】已知集合，其中且．若，且对集合A中的任意两个元素，都有，则称集合A有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)若集合具有性质． ①求证：的最大值大于等于； ②写出元素个数最多的集合A． 【解析】（1）由题知，集合， ， 该集合不具有性质． （2）①因为， 不妨设，则， 故， 故的最大值大于等于． ②对任意正整数，，与①类似可得， 又显然，， 所以， 故， 所以， 又，且k为正整数，当或5时，， 所以的最小值为11， 所以，即． 又集合符合性质P， 所以元素个数最多的集合. 【变式训练1-4】集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合中的元素个数.当时，设是集合中所有元素按从小到大顺序的一种排列，记集合. (1)已知集合，求的值； (2)已知集合，若，求的值； (3)已知，记集合或. （ⅰ）当时，证明：的充要条件是； （ⅱ）若，求的所有可能取值. 【答案】(1)；(2)2；(3)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2 【解析】（1）当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 综上，结合集合中元素的互异性，. （2）（2）由（1）知，且， 且同时成立，解得，所以， 又， 所以. （3）（3）（ⅰ）先证充分性.因为，所以，且. 从而可以设，其中， 此时中的元素为，故. 再证必要性.设，其中. 注意到和集中的最小元素为，最大元素为， 因为， 所以中间三个元素可以是，也可以是， 它们是对应相等的，所以有， 即. 故，得证. （ⅱ）①若，由（ⅰ）小问的分析知， 设，其中， 此时中的元素为，这与条件矛盾. ②取，其中， 容易验证此时中的元素为，符合条件， 所以可以取2. （注：构造方式不唯一，集合中的元素满足有一个，其余均为即可.） ③若，设，其中. 结合知，，其中， 至少存在两个不同的正整数，使得. 不妨设是符合这一条件最小的正整数，是符合这一条件最大的正整数. 注意到 （*）， 这是中的个不同的元素. 根据的定义我们有， 即，（★） 当时，由的最小性知，即， 此时我们有， 因此，与（★）矛盾， 当时，有， 由此说明：是中的元素，但与（*）式中的个元素均不相等. 同理，根据的定义有是中的元素，但与（*）式中的个元素均不相等. 因为，所以，此时，矛盾. 注：个元素也可以按照其他从小到大的顺序排列，然后找出不同于这个元素的其他元素. 综上，的取值只能为2. 【变式训练1-5】已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同） (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)1348 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据集合相等的概念，证明即可； （3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）因为集合，，， 所以由，可得， ，可得． （2）由于集合，， 则T集合的元素在0，，，，，，中， 且，， 而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者， 故即，故， 故中的4个元素为0，，，， 且，，与，，重复， 而，故即， 而，故，故或， 若，则，，与题设矛盾； 故即. （3）设满足题意，其中， 则， ∴，，∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即，∴． 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即， 故m的最小值为674，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1348． 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 题型02：定义集合的新概念 与集合新定义有关的创新问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识来解决新定义的集合创新问题．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点,弄清新定义的性质；按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决 【典型例题1】若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误； 对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误； 对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误， 对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确；故选：D. 【典型例题2】给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 【答案】C 【解析】集合中，，则， 即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集； 集合，， ， 即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集.故选：C 【典型例题3】若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． (1)判断是否为“集合”，说明理由； (2)若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； (3)求所有满足条件的“集合”． 【答案】(1)不是，理由见解析；(2)；(3)，其中. 【解析】（1）因为，所以不是“一集合”． （2）设． 若，则或． 由，解得（舍去），此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 若，则或， 由，解得，此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 综上，所有满足条件的集合为． （3）若“集合”为双元素集， 不妨设，则或， 由，则，而，故，此时； 由，则，而，显然不存在正整数解； 所以，“集合”为，其中． 若“集合”含有两个以上的元素， 设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为， 则是“集合”中的元素， 若，解得， 若，则，矛盾， 若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解． 故所有满足条件的“集合”为，其中． 【典型例题4】已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为. (1)写出的一个优划分，使其满足； (2)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足； (3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且. 【解析】（1）由题因为， 所以若使，则可以， 此时，满足题意. （2）根据题意对于任意点集，不妨设， 且，，， 若，则，令， 则，此时恒有； 若，则，可令， 此时，则，满足题意； 若，则，令， 此时，则，满足题意； 若，则，则 令， 此时，则，满足题意； 所以对于任意点集，都存在的一个优划分，满足. （3）不妨设， 若，则B取其中一点即可满足； 若， 则必存在正整数k使得， 则有，于是， 又因为 ，当且仅当时取等号； 于是取， 即可满足且，命题得证. 【典型例题5】设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称：为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作.若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作. 例如：对于集合，，存在一一对应关系，因此. (1)已知集合，，试判断是否成立?请说明理由； (2)证明：①； ②. 【解析】（1）设，，令 则C与D存在一一对应，所以集合. （2）①取函数，其中，，两个集合之间存在一一对应，故. 备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为，值域为即可， 如：或等等均可， ②设，， 假设，即存在对应关系：为一一对应， 对于集合B中的元素，，，至少存在一个（，且）与这三个集合中的某一个对应，所以集合A中必存在. 记，则，故， 从而存在，使得； 若，则，矛盾； 若，则，矛盾. 因此，不存在A到B的一一对应，所以. 【变式训练2-1】已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【答案】B 【解析】集合，，定义， 则，元素个数为5， 故集合的所有真子集的个数为 故选：B 【变式训练2-2】定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．6 C．14 D．15 【答案】B 【解析】因为，，， 所以，又集合有3个元素， 当时，即时，满足题意， 当时，即，（舍去）时，，不符合题意， 当时，即时，满足题意， 当时，即，（舍去）时，，不符合题意. 综上，，故所构成集合的非空真子集的个数为. 故选：B 【变式训练2-3】定义：差集且．现有两个集合、，则阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合中阴影部分表示的集合为且 集合中阴影部分元表示的集合为且， 故整个阴影部分表示， 故选：D. 【变式训练2-4】定义为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合M的所有非空子集依次记为、、…、，则 . 【答案】215 【分析】构造函数，分析题意知，集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1. 【详解】设， 则集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1， 令，则展开式中所有项的系数之和为， 所以. 故答案为：. 【变式训练2-5】定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集且，那么称子集族构成集合的 一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为（ ） A．3 B．4 C．14 D．16 【答案】B 【解析】依题意，， 的2划分为，共3个， 的3划分为，共1个， 故集合的所有划分的个数为4.故选：B. 8.（多选）若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则是3阶聚合点集 B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集 C．若，则不是阶聚合点集 D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件 【答案】ACD 【解析】对于A，由可得，故是3阶聚合点集，即A正确； 对于B，对任意的点集，总存在，使得是1阶聚合点集，故B错误； 对于C，因，而，故不是阶聚合点集，即C正确； 对于D，因是阶聚合点集等价于， 因，可得，又因，依题意可得，反之也成立， 故“是阶聚合点集”是“”的充要条件，即D正确.故选：ACD. 【变式训练2-6】对于非负整数集合（非空），若对任意，都有，或者，则称为一个好集合，以下记为的元素个数． (1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可） (2)设集合，，若集合为好集合，求出、、，所满足的条件．（需说明理由） 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据好集合的新定义来确定元素； （2）根据满足好集合的新定义来确定元素所满足的特征. 【详解】（1）， （2）由题意：，故，即， 考虑、，可知， ∴或． 若，则考虑，， ∵，∴，则， ∴，但此时，不满足题意； 若，此时，满足题意， ∴，其中、为相异正整数． 【变式训练2-7】大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C．Ü D． 【答案】ABC 【分析】对于ABC，举例分析判断，对于D，利用直积的定义分析判断即可. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：ABC 【变式训练2-8】已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． (1)判断集合和集合是否具有“包容”性； (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 【答案】(1)集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性 (2)1 (3)，，，或． 【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可； （2）根据“包容”性的定义，能得到，分类讨论，得出a和b的值，即可得出结果； （3）由集合C的子集有64个，推出集合C中共有6个元素，且，再由条件，推出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果. 【详解】（1）（Ⅰ）集合中的，， 所以集合不具有“包容”性． 集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性． （2）（Ⅱ）已知集合具有“包容”性，记，则， 易得，从而必有， 不妨令，则，且， 则， 且， ①当时，若，得，此时具有包容性； 若，得，舍去；若，无解； ②当时，则，由且，可知b无解， 故． 综上，． （3）（Ⅲ）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且，又，且C中既有正数也有负数， 不妨设， 其中，，， 根据题意， 且， 从而或． ①当时，， 并且由，得，由，得， 由上可得，并且， 综上可知； ②当时，同理可得． 综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个， 分别是，，， 或． 【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。此题中，确定出后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成. 【变式训练2-9】已知有限集，若，则称为“完全集”. (1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由； (2)若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于； (3)若为“完全集”，且，求. 【答案】(1)是，理由见解析；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由， ， 所以， 故集合是“完全集”. （2）由题设，令， 则，是方程的两个不同的正实数根， 所以或（舍），即， 又，，若，都不大于2，则，矛盾， 所以，至少有一个大于2. （3）不妨令，则，所以， 当，即，故，显然无解，不满足； 当，即，只能有，，， 故存在一个“完全集”； 当，，即， 又， 且， 此时，显然有矛盾， 所以时不存在“完全集”； 综上，. 【变式训练2-10】定义两个维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集. (1)求2的完美3维向量集； (2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由； (3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和. 【解析】（1）由题意知，集合中含有3个元素（），且每个元素中含有三个分量， 因为，所以每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0. 所以，，， 又， 所以2的完美3维向量集为. （2）依题意，完美4维向量集B含有4个元素（），且每个元素中含有四个分量，， （i）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； （ii）当时，，不满足条件③，舍去； （iii）当时，， 因为，故与至多有一个在B中， 同理：与至多有一个在B中，与至多有一个在B中， 故集合B中的元素个数小于4，不满足条件①，舍去； （iv）当时，，不满足条件③，舍去； （v）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 综上所述，不存在完美4维向量集. （3）依题意，的完美维向量集含有个元素（），且每个元素中含有个分量， 因为，所以每个元素中有个分量为1，其余分量为0， 所以（*）， 由（2）知，，故， 假设存在，使得，不妨设. （i）当时，如下图， 由条件③知，或（）， 此时，与（*）矛盾，不合题意. （ii）当时，如下图， 记（）， 不妨设，，， 下面研究，，，，的前个分量中所有含1的个数. 一方面，考虑，，，，中任意两个向量的数量积为1， 故，，，（）中至多有1个1， 故，，，，的前个分量中， 所有含1的个数至多有个1（**）. 另一方面，考虑（）， 故，，，，的前个分量中，含有个1，与（**）矛盾，不合题意. 故对任意且，，由（*）可得. 【变式训练2-11】已知集合（，），若存在数阵满足： ①； ②． 则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”． (1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值； (2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个； (3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由． 【解析】（1）由“好数阵”的定义，知，，，，故，，，，进一步得到，. 从而，，，. （2）如果是一个“好数阵”，则，. 从而，. 故也是一个“好数阵”. 由于是偶数，故，从而. 这就说明两数阵和的第1行第2列的数不相等，从而是不同的数阵. 设全体“好数阵”构成的集合为，并定义映射如下： 对，规定. 因为由中的元素构成的数阵只有不超过种，故是有限集合. 而 ， 这就表明，从而是满射，由是有限集，知也是单射，从而是一一对应. 对“好数阵”，已证两数阵和是不同的数阵，故. 同时，对两个“好数阵”，，如果，则；如果，则. 所以当且仅当. 最后，对，由，称2元集合为一个“好对”. 对，若属于某个“好对”，则或，即或. 由于，故无论是还是，都有. 这表明，每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个. （3）若是“好数阵”，则有 ， 所以，这表明一定是偶数. 若，设是“好数阵”，则，从而， 故. 由于，故，同理. 若，设，则，故，从而. 进一步有，而，故. 假设，设，则，故，则，. 由于，，故，. 此时，从而，，但此时，矛盾； 所以，故，分别尝试所有24种可能的对应方式，知符合条件的“好数阵”有，； 若，则，从而. 若，则或. 若，则，，分别尝试3种可能，知符合条件的“好数阵”有，. 若，则，，若，则，或且，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有； 若，则，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有； 若，则，假设，由于，，故，矛盾，所以. 对尝试所有组合，知符合条件的“好数阵”有，，，. 综上，全部的“好数阵”有，，，，，，，，，， 其中，满足的有，，，. 综上，是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，. 若，由于此时不是偶数，所以不存在“好数阵”，从而不是“好集合”. 【变式训练2-12】已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【答案】(1)不具有，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断； （2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”； （3）首先证明充分性，存在三个互不相同的，使得均属于 证明满足性质的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的，再证明均属于，即可证明. 【详解】（1）集合不具有性质，理由如下： （i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③ （ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，， 则有，即，不满足条件②， 综上所述，可得集合不具有性质. （2）证明：由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即，不合题意， 当时，由，得，即，或（舍）， 因为是偶数，所以集合， 令，解得， 显然， 所以集合是集合的“期待子集”得证. （3）证明： 先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于， 不妨设，令，，，则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数， 所以， 因为， 所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”. 综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质”和“期待子集”的定义. 【变式训练2-13】已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对. 条件①：； 条件②：. (1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由； (2)试证明不存在8元完备数对. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用元完备数对的定义推理判断即得. （2）令，根据元完备数对的定义确定的所有可能情况，再导出矛盾即可. 【详解】（1）当时，由，得，不符合题意， 所以不存在3元完备数对； 当时，当，，，时， 满足且，符合题意， 所以为4元完备数对. （2）假设存在8元完备数对， 当时，令，则，且， 则有以下三种可能：①；②；③ 当时，于是，即， 由，得或， 而，则有， 因此，，…，，分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1， 由得或，与已知矛盾，则当时，不存在8元完备数对； 当或时，同理不存在8元完备数对， 所以不存在8元完备数对. 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 【变式训练2-14】给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和. (1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个5元理想数集，求证：； (3)当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值. 注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数. 【解析】（1）设的随影数集分别为， 则， 所以集合是理想数集，集合不是理想数集. （2）不妨设集合且，即. 为理想数集，，则，且，使得. 当时，. 当且仅当且时，等号成立； 当时，. 当且仅当且时，等号成立； 当时，. 当且仅当时，等号成立. 综上所述：. （3）设. 为理想数集. ，且，使得. 对于，同样有. 下先证对元理想数集，有. 不妨设集合中的元素满足.即. 为理想数集， ，且，使得. 当时，， 当且仅当且时，等号成立； 当时，，当且仅当且时，等号成立； 当时，. 当且仅当时，等号成立. . .当且仅当时，等号成立. . 理数. 当且仅当或时，等号成立. 理数的最小值为. 【变式训练2-15】设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集，，…，满足： ①，，…，均非空； ②，，…，中任意两个集合交集为空集； ③． 则称，，…，为集合A的一个m阶分拆． (1)若，写出集合A的所有2阶分拆（其中，与，为集合A的同一个2阶分拆）； (2)若，，为A的2阶分拆，集合所有元素的平均值为P，集合所有元素的平均值为Q，求的最大值； (3)设，，为正整数集合（，）的3阶分拆．若，，满足任取集合A中的一个元素构成，其中，且与中元素的和相等．求证：n为奇数． 【解析】（1），集合A的所有2阶分拆是：；；. （2）依题意，不妨设，， 则， 而， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值是. （3）依题意，，，与中元素的和相等， 设与中元素的和为，集合中所有元素之和为，于是， ①当集合中存在元素为奇数时， 因为是偶数，于是是奇数，对于任意，均有， 因此此时集合中的元素均为奇数，因为为奇数，且只有奇数个奇数的和为奇数， 所以n为奇数； ②当集合中存在元素为偶数时， 因为是偶数，于是是偶数，对于任意，均有， 因此此时集合中的元素均为偶数，对于一个偶数，均存在正整数和奇数，使得， 显然集合中的元素除以2，仍然满足条件，将集合中的元素不断除以2，直至有一个奇数， 此时，由①可得n为奇数， 综上得：n为奇数. 【变式训练2-16】已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域． (1)求元素个数最小的数环； (2)证明：记，证明：是数域； (3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由． 【解】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素， 若，则，可知为数环； 若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最小的数环； 综上所述：元素个数最小的数环为. （2）设，可知，则有： ， ， ， 因为，则， 可知，所以是数环； 若，可知，满足①； 若，则， 因为，则， 可知，满足②； 综上所述：是数域. （3）不一定是数域，理由如下： 1.若，显然均为数域，且是数域； 2.设，可知，则有： ， ， ， 因为，则， 可知，所以是数环； 若，可知，满足①； 若，则， 因为，则， 可知，满足②； 综上所述：是数域. 例如：，例如， 但， 所以不是数域； 综上所述：不一定是数域. 【变式训练2-17】设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”: ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明:对于任意，都有； ②若存在，使得，记,证明：中的所有奇数都属于. 【解】（1）解：不是. 理由如下：取，则，说明不是“无和划分”. （2）解：①假设存在，使得, 记的最小值为，则； 设B中最小的元素为，则，所以， 所以，（否则与矛盾）， (否则与 矛盾)，所以 ， 因为 ，所以 不同属于， 所以 这与矛盾，所以假设不成立. ②因为是“无和划分”, 且存在, 使得 记i的最小值为， 所以 ， 由①知 ， 因为, 所以 ，所以， 设中最小的元素为, 若，则，所以 ， 所以 (否则与 矛盾)， 所以 (否则 与 矛盾)， 所以 ，又因为 和 不同属于C，所以 ， 这与 矛盾， 所以，即， 所以，所以，所以， 所以(否则与 矛盾)，所以 ， 若，则与 和 矛盾， 所以所以, (否则与 矛盾)， (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意奇数 都有 ， 所以为偶数(否则， 与2∈B和 矛盾), 所以 均为奇数. 因为 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 所以 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意大于，小于或等于的奇数都属于集合， 综上所述，中的所有奇数都属于集合. 【变式训练2-18】设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”. (1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若为集合的“相关数”，证明：； (3)给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值. 【解】（1）解：当时，， ①对于的含有5个元素的子集， 因为，所以5不是集合的“相关数”； ②的含有6个元素的子集只有， 因为，所以6是集合的“相关数”． （2）证明：考察集合的含有个元素的子集， 中任意4个元素之和一定不小于， 所以一定不是集合的“相关数”； 所以当时，一定不是集合的“相关数”， 因此若为集合的“相关数”，必有， 即若为集合的“相关数”，必有. （3）解：由（2）得， 先将集合的元素分成如下组：， 对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合， 再将集合的元素剔除和后，分成如下组：， 对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合， 这一组与上述三组中至少一组无相同元素， 不妨设与无相同元素，此时这4个元素之和， 所以集合的“相关数”的最小值为. 【变式训练2-19】设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为. (1)直接写出的所有自邻集； (2)若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数； (3)若，求证：. 【解】（1）由题意可得，的所有自邻集有：； （2）对于的含5个元素的自邻集， 不妨设. 因为对于，都有或，，2，3，4，5， 所以，，或. 对于集合，，，，， 因为，所以，，2，3，4，5， ， 所以. 因为，，或. 所以，， 或， 所以对于任意或，，2，3，4，5， 所以集合也是自邻集. 因为当为偶数时，， 所以. 所以对于集合的含5个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应. 所以，的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数. （3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，， 当时，，， 显然. 下面证明：. ①自邻集含有，，这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为 因为，，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素是， 所以含有，，这三个元素的自邻集的个数为. ②自邻集含有，这两个元素，不含，且不只有，这两个元素， 记自邻集除，之外最大元素为，则，每个自邻集去掉，这两个元素后，仍为自邻集. 此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为个； 其中含有最大数为2的集合个数为， 含有最大数为3的集合个数为，， 含有最大数为的集合个数为. 则这样的集合共有个. ③自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个. 综上可得， 所以， 故时，得证. 【变式训练2-20】设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；.若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集. (1)当时，已知集合，.分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由； (2)当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值； (3)已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例. 【答案】(1)是的完美子集，不是的完美子集 (2) (3)一定为的完美子集，理由见解析 【分析】（1）根据完美子集得定义，设，列出方程组求得即可判断； （2）由题意存在，使得，列出方程组，解方程组求出的值即可求解； （3）假设存在不全为的实数满足，不妨设，则，由结合已知条件即可得出结论. 【详解】（1）， 即， 所以 ， 所以， 所以是的完美子集， ， 即， 所以 ， 所以，解得， 所以不是的完美子集； （2）由 得， 则 ， 因为不是的完美子集， 所以存在，使得， 即， 由集合的互异性可得且且， 所以且， 由，得， 所以，， 所以， 即， 所以，所以或， 当时，，解得， 所以存在，使得， 当时，因为，所以，不符题意， 所以； （3）一定为的完美子集， 假设存在不全为的实数满足， 不妨设，则，否则与假设矛盾， 由，其中， 得，则， 所以， 这与，即矛盾， 所以假设不成立， 所以，所以， 所以一定为的完美子集. 【点睛】关键点点睛：求解集合新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和转化思想，将不熟悉的数学问题转化为熟悉的问题求解. 【变式训练2-21】设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集，，…，满足： ①，，…，均非空； ②，，…，中任意两个集合交集为空集； ③． 则称，，…，为集合A的一个m阶分拆． (1)若，写出集合A的所有2阶分拆（其中，与，为集合A的同一个2阶分拆）； (2)若，，为A的2阶分拆，集合所有元素的平均值为P，集合所有元素的平均值为Q，求的最大值； (3)设，，为正整数集合（，）的3阶分拆．若，，满足任取集合A中的一个元素构成，其中，且与中元素的和相等．求证：n为奇数． 【答案】(1)；；； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的定义直接写出所有2阶分拆作答. （2）令，设出集合及所其元素和，根据定义求出的元素和，求出结合不等式性质求解作答. （3）设、及中元素的和，按为奇数、偶数推理判断作答. 【详解】（1），集合A的所有2阶分拆是：；；. （2）依题意，不妨设，， 则， 而， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值是. （3）依题意，，，与中元素的和相等， 设与中元素的和为，集合中所有元素之和为，于是， ①当集合中存在元素为奇数时， 因为是偶数，于是是奇数，对于任意，均有， 因此此时集合中的元素均为奇数，因为为奇数，且只有奇数个奇数的和为奇数， 所以n为奇数； ②当集合中存在元素为偶数时， 因为是偶数，于是是偶数，对于任意，均有， 因此此时集合中的元素均为偶数，对于一个偶数，均存在正整数和奇数，使得， 显然集合中的元素除以2，仍然满足条件，将集合中的元素不断除以2，直至有一个奇数， 此时，由①可得n为奇数， 综上得：n为奇数. 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义进行集合的分拆并结合集合元素的性质，分类讨论，进行推理判断解决. 【变式训练2-22】集合称为三元有序数组集，对于，互不相等，令，其中，． (1)当时，试求出和； (2)证明：对于任意的中的三个数至多有一个为0； (3)证明：存在．当时，向量满足． 【答案】(1)；. (2)证明见解析. (3)证明见解析. 【分析】（1）计算出得到其周期为3，而，最后即可得到； （2）假设存在,取第一次出现至少两个0的位置,则，设且，则推理出，解出，则,矛盾，与假设矛盾，即证明； （3）设三个数中最大的为,记作,通过（2）中结论排除若单调递减的情况，则存在,使得,根据定义，不妨设，设，所以，故，则，最终得证. 【详解】（1）因为,所以, ,故从起以3为周期循环, 因为,故， （2）反证:假设存在,取第一次出现至少两个0的位置,依题意， 不妨设且，则, 故, 所以 则或， 所以或,得， 所以,矛盾; 综上,对于任意的中的三个数至多有一个为0; （3）设三个数中最大的为,记作, 因为, 所以, 若单调递减，由可得存在,使得, 由（2）的证明可得,这与题设矛盾， 所以不可能单调递减，即存在,使得, 根据的定义,可得中三个数中必有0, 通过（2）已经证明至多一个0,则三个数中只有一个数为0, 不妨设,设, 所以，即， 故，则 所以存在,当时,向量满足. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用反证法，假设存在,取第一次出现至少两个0的位置，通过逻辑推理得，从而得证，第3问的关键是对单调性的讨论. 【变式训练2-23】给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和. (1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个5元理想数集，求证：； (3)当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值. 注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数. 【答案】(1)集合是理想数集，集合不是理想数集 (2)证明见解析 (3)1024144 【分析】（1）由理想数集的定义即可判断； （2）为了方便说明，假定元素间一个有序关系为，从而分三种情况，，，讨论即可得证； （3）首先通过分类讨论证明，对元理想数集，有.从而有，即，通过放缩与等差数列求和即可得解. 【详解】（1）设的随影数集分别为， 则， 所以集合是理想数集，集合不是理想数集. （2）不妨设集合且，即. 为理想数集，，则，且，使得. 当时，. 当且仅当且时，等号成立； 当时，. 当且仅当且时，等号成立； 当时，. 当且仅当时，等号成立. 综上所述：. （3）设. 为理想数集. ，且，使得. 对于，同样有. 下先证对元理想数集，有. 不妨设集合中的元素满足.即. 为理想数集， ，且，使得. 当时，， 当且仅当且时，等号成立； 当时，，当且仅当且时，等号成立； 当时，. 当且仅当时，等号成立. . .当且仅当时，等号成立. . 理数. 当且仅当或时，等号成立. 理数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：关键是通过分类讨论证明，对元理想数集，有，由此即可顺利得解. 【变式训练2-24】设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合： ①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.则称集合为集合的“集”. (1)若集合，求的“集”； (2)若三元集存在“集”，且中恰含有4个元素，求证：； (3)若存在“集”，且，求的最大值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)4. 【分析】 （1）根据定义直接求解； （2）利用反证法推矛盾即可证明； （3）设，结合（2）的结论推出不成立，结合定义和得即可求解. 【详解】（1） 若，由题意可得，，，，即，此时，满足题意， 假设集合中还有第四个元素为，则由题意可知：若，即，则，∴不成立； 若，则，∴或9或27，矛盾.故集合中无四个元素，所以集合. （2） 设集合，不妨设， 假设，即，则且， 由②知，注意到，故有，即，所以， 故，即，因为集合中有4个元素，故设， 由②可得：若，则，∴，矛盾； 若，，则或或，所以或或，与集合元素的互异性矛盾， 假设错误，故. （3） ，，不妨设， 所以，，又，故，同理可得， 若，与（2）类似得，从而必有， 对任意的，有，即，所以，即. 若，即，，故，，，， 所以，即，从而必有， 对任意的，必有，即，所以，即. 综上，得，又时，有，符合题意， 所以的最大值为4 【变式训练2-25】设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”． (1)判断是否是的“可分离子集”，并说明理由； (2)设复数z满足，其中分别表示z的实部和虚部．证明：是的“可分离子集”当且仅当． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取复平面上的圆，得到复数1，2，3在复平面上对应的点都在圆内，复数i在复平面上对应的点在圆外，得到结论； （2）先证明必要性，令复数，取复平面上的圆，得到是的“可分离子集”；再证明充分性，只需证当时，不是的“可分离子集”，得到结论. 【详解】（1）是，理由如下： 取复平面上的圆， 则复数1，2，3在复平面上对应的点都在圆内． 而， 故复数i在复平面上对应的点在圆外． 因此，是的“可分离子集”． （2）必要性：当时，令复数， 取复平面上的圆， 则在复平面上对应的点在圆周上， 又， 故1在复平面上对应的点在圆外． 由， ， 知． 故在复平面上对应的点在圆外． 因此，当时，是的“可分离子集”． 充分性：只需证当时，不是的“可分离子集”． 假设存在复平面上的一个圆，使得在复平面上对应的点在圆内或圆周上，且1，在复平面上对应的点在圆外． 设圆心表示的复数为．再设． 由知 ， 故． 由知 ， 故． 进而，， 由知， 故， 进而． 这与矛盾，故所假设的圆在复平面上不存在． 即当时，不是的“可分离子集”，充分性证毕， 综上，是的“可分离子集”当且仅当. 【点睛】集合新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 【变式训练2-26】已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． (1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； (2)若，证明：； (3)设，若，求的最小值． 【答案】(1)31是可表数，1024不是可表数，理由见解析； (2)证明见解析； (3)8 【分析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可； （2）根据定义判定则有，从而可知，利用集合间的基本关系得出中最多含有个元素，解不等式即可证明； （3）利用第二问的结论可设，有，然后利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实确定的最小值为满足成立的，代入求即可. 【详解】（1）31是，1024不是，理由如下： 由题意可知， 当时，有， 显然若时，， 而， 故31是可表数，1024不是可表数； （2）由题意可知若，即， 设，即使得， 所以，且成立，故， 所以若，则， 即中的元素个数不能超过中的元素， 对于确定的，中最多有个元素， 所以； （3）由题意可设，使， 又， 所以，即， 而， 即当时，取时，为可表数， 因为， 由三进制的基本事实可知，对任意的，存在， 使， 所以 ， 令，则有， 设， 由的任意性，对任意的， 都有， 又因为，所以对于任意的，为可表数， 综上，可知的最小值为，其中满足， 又当时，， 所以的最小值为. 【点睛】难点点睛：第二问关键是根据定义可确定中元素互为相反数，再利用集合间的基本关系确定元素个数的关系计算即可；第三问利用第二问的结论可设，有，利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实设任意的，存在，使，得出并结合定义确定为可表数，从而确定的最小值为满足成立的，代入求即可. 【变式训练2-27】已知集合，若存在数阵满足： ①； ②. 则称集合为“好集合”，并称数阵T为的一个“好数阵”. (1)已知数阵为的一个“好数阵”，试写出x，y，z，w的值： (2)若集合为“好集合”，证明的“好数阵”必有偶数个； (3)判断是否为“好集合”.若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由. 【答案】(1)，，，；(2)证明见解析；(3)不是“好集合”； 是“好集合”，且满足,,,,的好数阵有四个：；；；． 【解析】（1）由“好数阵”的定义， 知，，，,,,,4,5,， 故，，，,,，进一步得到，， 从而，，，． （2）如果是一个“好数阵”， 则，. 从而， . 故也是一个“好数阵”. 由于是偶数，故，从而. 所以数阵和的第1行第2列的数不相等， 故是不同的数阵. 设全体“好数阵”构成的集合为S，并定义映射如下： 对，规定. 因为由中的元素构成的数阵只有不超过种，故是有限集合. 而 ， 即，从而是满射，由是有限集，知也是单射，故是一一对应. 对于“好数阵”， 已证数阵和是不同的数阵， 故. 同时，对两个“好数阵”，，如果，则； 如果，则.所以，当且仅当. 最后，对，由，称2元集合为一个“好对”. 对，若属于某个“好对”，则或，即或. 由于，故无论是还是，都有. 所以每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍， 从而“好数阵”必有偶数个. （3）设是集合的一个“好数阵”， 由题意得；， 相加得：， 即， 当时，，与矛盾；所以不是“好集合”． 当时，，若,,,,， 因为,,,,，,,,,， 所以,,,,只有以下两种可能：,5,9,8,和,5,9,7,， （i）若,,,,,5,9,8,，则,,,,,2,4,6,， 使的只有，使的有两种可能：，或， 情形一：时，只有，，，可得； 情形二：时，只有，，，可得； （ii）若,,,,,5,9,7,，则,,,,,2,3,6,， 使的只有，使的有两种可能：，或， 情形一：时，只有，，，可得， 情形二：时，只有，，，可得， 综上，不是“好集合”； 是“好集合”，且满足,,,,的好数阵有四个： ；；；． 【变式训练2-28】设整数集合，其中，且对于任意，若，则． (1)请写出一个满足条件的集合A； (2)证明：任意，． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可设，满足条件即可得解； （2）根据满足任意，要证的形式，考虑反证法即可证明. 【详解】（1）令，满足， 当时，若满足，则成立， 即可写出一个满足条件的集合. （2）假设存在一个使得， 令，其中且， 由题意，得， 由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾， 所以任意，． 【点睛】关键点点睛：利用反证法证明第二问，假设存在一个使得，首先把拆成是解题推理的关键，其次利用集合是整数构成的，且最大是解题的另外一个关键点. 【变式训练2-29】对任意正整数n，记集合，．，，若对任意都有，则记． (1)写出集合和； (2)证明：对任意，存在，使得； (3)设集合．求证：中的元素个数是完全平方数． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合与的定义，写出集合和即可； （2）任取，令，只需证明，即可证明结论成立； （3）通过集合、、的定义，说明满足条件的解对与方程的两解组成对是一一对应的关系.进而证明中的元素个数是完全平方数. 【详解】（1）， （2）任取，令，则， 同时，且， 则，所以对任意，存在，使得； （3）设方程：①，② 是方程①的解，是方程②的解； 若，，， 即是一个满足条件的解对， 令（，2，…，n），则， 则（，，…，）是方程①的解， 即当是满足条件的解对时， 是方程①的一对解对； 反之是方程①的解时， 令，则是满足条件的解对． 即满足条件的解对与方程①的两解组成对 是一一对应的关系． 所以满足条件解对个数，即中的元素个数是完全平方数． 【变式训练2-30】设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有. (1)判断集合和是否为集合，说明理由； (2)若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数； (3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数. 【答案】(1)是集合，不是集合； (2)中大于1的元素的可能个数为. (3)见解析 【分析】（1）由集合的定义即可得出答案； （2）由题意可得，不妨设，分类讨论，，和结合集合的性质即可得出答案； （3）根据已知新定义，分类讨论、反证法进行求解、证明. 【详解】（1）集合是集合， 当时，； 当时，； 当时，； 集合不是集合， 取，则，不满足题中性质. （2）当时，， 当时，， 当时，， 所以. 不妨设， ①若，因为，从而，与矛盾； ②若，因为，故， 所以. 经验证，此时是集合，元素大于1的个数为； ③若，因为，所以与矛盾； ④若，因为，故， 所以. 经验证，此时是集合，元素大于1的个数为； 综上：中大于1的元素的可能个数为. （3）假设集合中全为正实数. 若中至少两个正实数大于，设，则， 取，则， 而，从而，矛盾； 因此中至多有1个正实数大于. 当时，设， 若， 当时，， 当时，， 当时，， 由于， ， 所以， 所以. 因为， 所以 ，矛盾. 因此当时，. 当时，集合中至少有4个不同的正实数不大于， 设， 因为是有限集，设，其中. 又因为集合中至少有4个不同的正实数不大于， 所以，且存在，且使互不相同， 则， 当时，， 当时，， 于是， 与矛盾. 因此，中元素不能全为正实数. 【点睛】思路点睛：对于与集合有关的新定义问题，注意根据定义检验，另外在问题解决的过程中，注意局部性质与整体性质的关系，注意利用已有的结果来解决后面的问题. 【变式训练2-31】已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据子集的定义， 即可求解； （2）取，求得，再利用反证法假设，推得，与矛盾即可. 【详解】（1）当时，，所以的所有子集为：. （2）当时，取，因为，所以是的子集，此时符合题意； 若，设且， 根据题意，，其中， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，与矛盾， 综上所述，只有满足题意. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是在讨论时，利用反证法假设，推得，与矛盾，由此即可顺利得解. 【变式训练2-32】集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 【答案】(1)不是“可分集合”，为“可分集合” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由“可分集合”的定义判断； （2）不妨设，讨论当在集合中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立； （3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明. 【详解】（1）解：对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“可分集合”， 对于，集合所有元素之和为. 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意. 综上所述，集合是“可分集合”. （2）证明：不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③得，矛盾，由①④得，矛盾， 由②③得矛盾，由②④得矛盾， 故当时，集合一定不是“可分集合”． （3）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同， ①若为奇数，则为奇数，易得为奇数， ②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“可分集合”， 若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知为奇数 综上，集合中元素个数为奇数. 【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性. 【变式训练2-33】对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是． (1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素； (2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过； (3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是． 【答案】(1)、 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“协同子集”的定义直接写出另外两个元素； （2）若为的一个“协同子集”，考虑元素，进行判断证明即可； （3）根据“协同子集”的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意可知，中两个元素分别为和，这两个元素第个分量都是， 故中另外两个元素分别为、. （2）解：对于，考虑元素； 显然，、、，对于任意的，、、不可能都为， 可得、不可能都在“协同子集”中． 又因为取定，则一定存在且唯一，而且， 由的定义知道，，，， 这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为，所以中元素个数不超过． （3）证明：，， 定义元素、的乘积为，显然． 我们证明“对任意的，都有.” 假设存在、使得， 则由（2）知，． 此时，对于任意的，、、不可能同时为，矛盾，所以． 因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积， 根据上面的结论，我们知道， 显然这个元素的分量不能都为，不妨设， 根据的定义，可以知道中所有元素的第个分量都为． 下面再证明的唯一性： 若还有，即中所有元素的第个分量都为， 此时由（2）可知集合中元素个数至多为个，矛盾． 所以结论成立． 【点睛】方法点睛：解决集合新定义问题的方法： （1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． （2）用“协同子集”的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用“协同子集”的性质． 【变式训练2-34】定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）. 定义2：集合上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族，它满足以下条件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中. (1)族，族，判断族与族是否为集合的拓扑； (2)设有限集为全集 （i）证明：； （ii）族为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑. 【答案】(1)都是集合的拓扑 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据集合的拓扑定义判断即可； （2）（i）根据集合的拓扑定义证明充要性即可； （ii）结合（i）的结论，根据集合的拓扑定义证明. 【详解】（1）族，都是集合的拓扑. （2）（i）设，则， 故存在整数使，因此，得. 设，则存在整数使，故， 因此，得 （ii）因为，，所以，； 设为的任意子集，则， ， 因为，故； ， 因为，故. 【点睛】方法点睛：解决集合创新型问题的方法：（1）紧扣定义，首项分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能够运用到具体的解题过程中；（2）用好集合性质，集合性质时破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在关键之处用好集合的性质. 【变式训练2-35】已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集” (2)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断即可. （2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可； 【详解】（1）因为， 对于集合，令，解得，显然，， 所以是集合的“期待子集”； 对于集合，令，则， 因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集” （2）先证明必要性： 当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得， 不妨设，令，，，则，即条件中的①成立； 又，所以，即条件中的②成立； 因为， 所以为偶数，即条件中的③成立； 所以集合满足条件. 再证明充分性： 当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数， 记，，， 由③得，由①得，由②得， 所以， 因为，，，所以，，均属于， 即集合是集合的“期待子集” 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 函数 题型03：定义集合的新运算 与集合运算有关的创新问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等,从而达到解决问题的目的． 【典型例题1】设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】B 【解析】集合，集合 ， ，共有10个元素.故选：B． 【典型例题2】定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 【答案】D 【分析】列举出满足条件的元素a，b并求出其和，据互异性，即可得出新集合的元素个数，进一步求出其子集个数. 【详解】因为，且， 所以， 可知集合中共有5个元素， 所以集合的所有子集的个数为. 故选：D. 【典型例题3】已知集合，，定义集合A、B间的运算，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，， 所以，所以. 故选：D 【典型例题4】已知集合，集合，且满足，，与恰有一个成立.对于定义，以及，其中. 例如. (1)若，，求的值及的最大值； (2)从中任意删去两个数，记剩下的数的和为，求的最小值（用表示）； (3)对于满足的每一个集合，集合中是否都存在三个不同的元素，，，使得恒成立？请说明理由. 【答案】(1)1，2 (2) (3)存在，理由见解析 【分析】（1）表示出和，求的值及的最大值； （2）由的定义求删去的两个数后剩下的数和的范围，结合的定义．列不等式并判断等号成立，可得出结论； （3）的定义可知：，可找到三个不同的元素，，，使得. 【详解】（1）， ，，， 所以； ，， ，最大，则，，所以最大值为. （2）设中的最大值为，由定义，， 若存在，， 则，，，，进而，，矛盾. 于是除外，剩余的由定义，中恰有个元素，， 设删去的两个数为，，则， 构造，删去，，恰好取得等号. 所以的最小值为. （3）结论：集合中存在满足条件的三个不同的元素，，，证明如下： 设，中的一个最大值为，由得 于是，，进而 考虑， 由于，，而 于是一定存在不同于，的，使得， 进而，于是， 取，，即可. 【点睛】方法点睛： 集合新定义问题，要紧紧围绕新定义的概念和运算法则，对问题进行分析整理后求解. 【典型例题5】高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见详解 (3)答案见详解 【分析】（1）根据的定义直接运算求解； （2）根据的定义结合充分必要条件分析证明； （3）设，则，，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， . （2）若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的充分条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. （3）设， 则，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围. 若取到最大值，则，即， 可得，即， 所以. 【典型例题6】设数阵，其中．设，其中且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”表示“将经过变换得到，再将经过变换得到以此类推，最后将经过变换得到．记数阵中四个数的和为． (1)若，写出经过变换后得到的数阵，并求的值； (2)若，求的所有可能取值的和； (3)对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过． 【答案】(1)， (2)0 (3)证明见解析 【分析】（1）由，，求出数阵经过变化后的矩阵，进而可求得的值； （2）分情况讨论，结合题意分析求解； （3）分和两种情况讨论，推导出变换后数阵的第一行和第二行的数字之和，由此能证明的所有可能取值的和不超过． 【详解】（1）因为， 经过变换后得到的数阵， 经过变换后得到的数阵， 所以. （2）若，则，可得； 若，则，可得； 若，则，可得； 若其中一个为3，另外两个属于，则， 可得； 若，则，可得； 若，其中一个为3，另外一个属于， 则，可得； 若，其中一个为3，另外一个属于， 则，可得； 若，则，可得； 综上所述：的所有可能取值的和为. （3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共个，经过变换后第一行均变为、； 含有且不含的子集共个，经过变换后第一行均变为、； 同时含有和的子集共个，经过变换后第一行仍为、； 不含也不含的子集共个，经过变换后第一行仍为、． 所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为 . 若，则的所有非空子集中，含有的子集共个，经过变换后第一行均变为、； 不含有的子集共个，经过变换后第一行仍为、． 所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为． 同理，经过变换后所有的第二行的所有数的和为． 所以的所有可能取值的和为， 又因为、、、，所以的所有可能取值的和不超过． 【点睛】方法点睛：从定义知识的新情景问题入手这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义，再运用新定义解决问题，然后得出结论, 【典型例题7】已知为所有元有序数组所组成的集合.其中（）. 对于中的任意元素，定义，的距离： 若，为的子集，且有个元素，并且满足任意，都存在唯一的，使得，则称为“好集”. (1)若，，，，，，求，及的值； (2)当时，求证：存在“好集”，且“好集”中不同元素的距离为5； (3)求证：当时，“好集”不存在. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意直接代入运算求解； （2）对任意，定义，可得，结合“好集”的定义分析证明； （3）先证对于任意，可知均存在，使得，对的以为基础，结合定义分析证明. 【详解】（1）因为，，， 则，， ，， 所以. （2）对任意，定义， 对任意， 因为，则， 可得， 对于任意，可得有2个元素， 若，则，满足“好集”的定义； 若，则，满足“好集”的定义； 综上所述：为“好集”，且， 即当时，存在“好集”，且“好集”中不同元素的距离为5. （3）显然， 先证：当时，对任意的 ，含有的“好集”只能是， 反证：假设存在“好集”， 则对于任意，可得， 则，可得，不满足“好集”的定义， 例如，则，可取， 则，即存在，使得， 结合可得：就相当于对0，1的顺序进行重组， 对于任意，可知均存在，使得， 当时，对任意， 定义，其中， 可知：对任意，其中， 可知， 反证：假设存在“好集”， 则对任意，以为基础构建“好集”， 对任意， 对任意的，均有，与之对应的项只能是和， 每个均有2种选择，共有种组合可能， 按照以上构建方法得到的元素， 可知对任意，均存在，使得，， 所以必然存在， 使得， 故假设不成立，所以当时，“好集”不存在. 【点睛】关键点睛：新定义问题要充分理解定义，可以通过举例和推理去理解定义，对于本题可以利用反证法来分析证明. 【变式训练3-1】定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以，． 故选：C． 【变式训练3-2】定义集合运算：.若集合，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【解析】因为， 所以. 因为，所以. 故的子集个数为. 故选：D. 【变式训练3-3】已知集合，集合，定义、间的运算且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据集合新定义可得结果.因为集合，集合， 所以. 故选：B 【变式训练3-4】定义集合运算：．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，令或3，或3，则或或，则，因为，故． 故选：D. 【变式训练3-5】对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【解析】如图：若，不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合，，， 若，具有包含关系，不妨设是的真子集， 对于（1）:图中，，图中，所以， 故（1）正确； 对于（2）：图中，成立， 图中，，， 所以成立，故（2）正确； 对于（3）：若，则；故（3）正确； 所以其中所有正确结论的序号是（1）（2）（3）， 故选：D. 【变式训练3-6】设集合，定义与的一个运算“”为：，其中． (1)试举出两组集合M、N，分别计算； (2)对上述集合M、N，计算，由此你可以得到什么一般性的结论？ (3)举例说明与之间的关系． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)，答案见解析. 【分析】（1）先举出两组满足题意的集合M、N；再根据题目中定义的运算即可得出答案. （2）先根据题目中定义的运算计算；再结合（1）的结果即可得出；最后根据题目中的集合M、N及定义的运算即可得出一般结论. （3）先举出三组满足题意的集合，再根据题目中定义的运算即可得出答案. 【详解】（1）不妨设， 则； 或设， 则等． （2）对， 则； 对， 则． 由（1）知，. 由此猜测，对任意集合，总有． 证明如下： 对任意，有，其中； 又，则．于是． 对任意，有，其中； 又，则．于是． 因此. （3）设， 则，于是； 又，于是． 因此． 【变式训练3-7】非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有；（2）存在使对一切都有，则称是关于运算的融洽集；现有下列集合及运算：①是非负整数集，：实数的加法； ②是非负整数集，：实数的乘法； ③，：实数的乘法； 其中为融洽集的个数是（    ）. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】对于①：对于任意非负整数，则仍为非负整数，即；取，则，故①为融洽集； 对于②：对于任意非负整数，则仍为非负整数，即；取，则，故②为融洽集； 对于③：设，，则，即；满足；取，则，满足，故③为融洽集； 所以融洽集的个数是个， 故选：D 【变式训练3-8】对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】设，， 则， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是.故选：B 【变式训练3-9】（多选）对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【解析】A选项，且，则， 故，且中元素不能出现在中，故，A正确； B选项，且，则， 即与是相同的，所以，B正确； C选项，因为，所以，故，C错误； D选项，， 其中，， 故， 而， 故，D错误.故选：AB 【变式训练3-10】已知数集及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”），如果对一切，都有，那么就说，集合对运算“*”是封闭的． (1)设，判断对通常的实数的乘法运算是否封闭？ (2)设，且，问对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论． 【解析】（1）设是A中任意两个元素，其中， 那么． 因为，所以， 故数集A对通常的乘法运算封闭． （2）数集对通常的乘法运算不封闭，证明如下： 取，则，但， 故数集对通常的乘法运算不封闭. 【变式训练3-11】称代数系统为一个有限群，如果 1、为一个有限集合，为定义在上的运算(不必交换)， 2、 3、称为的单位元 4、，存在唯一元素使称为的逆元有限群，称为的子群.若，定义运算. (1)设为有限群的子群，为中的元素. 求证: (i)当且仅当； (ii)与元素个数相同. (2)设为任一质数.上的乘法定义为，其中[x]为不大于的最小整数.已知构成一个群，求证:(其中表示个作运算) 【解析】（1）（i）如果，则，， 从而. 另一方面，如果， 则有，， 即，从而， 即， 从而， 反之由得到， 类似讨论得中的元素也全都属于，证毕； （ii）我们首先构造一个到的满射， 这直接由的定义得到， 另一方面，我们证明这个映射同时也是单射， 事实上，若对， 两边左乘， 则有，从而两集合间有一一映射， 故元素个数相等； （2）我们有如下断言:， 假设是使得的最小正整数， 则(其中表示个作.运算)在运算下构成的一个子群， 记作， 而由（1）的结论可知，这一集族中的集合有相同的元素个数， 且两两不交(若有两个集合相交，则推得， 由（1）（i）得两集合相同)从而它们构成的一个划分，从而有， 因而. 【变式训练3-12】定义一类集合：对于集合，若都满足，则称为“单位有界集”；在集合中定义一种运算：若，，定义.现对单位有界集进行如下操作：第一步，从中任取两个元素、，将中除了、以外的元素构成的集合记为，令；第二步，若集合还是单位有界集，则继续任取两个元素，将中除了以外的元素构成的集合记为，令；依次类推…… (1)对于任意的单位有界集，判断是否仍然为单位有界集．若是，请证明；若不是，请举出反例； (2)证明：若，则； (3)当时，对集合进行步上述操作，当只有一个元素时停止，求所有满足条件的． 【解析】（1）是，证明如下： 从中任取两个元素、，，， 要证明是单位有界集，只需证明， 因为，其中， 所以，即； 因为，其中， 所以，即，所以仍然为单位有界集. （2）因为， ， 所以. （3）由（1）（2）知都为“单位有界集”，所定义的运算具有结合律， 又，即定义的运算具有交换律， 不妨先取， 因为，所以，所以， 再取，，所以， 类似的，，， 所以. 【变式训练3-13】对于非空有限整数集X，，定义，对现有两个非空有限整数集A，B，已知且． (1)当时求集合B； (2)证明：； (3)当且时，任取构造函数问：当a，b取何值时，的最小值最小? 【答案】(1)为，，，. (2)证明见详解 (3)当时的最小值为 【分析】（1）,可得可能为，然后逐一讨论检验即可； （2）由集合的新定义，逐一取值迭代，由集合的有限性进行检验取舍； （3）由可知，中元素，必为的解，进而可得，接着可得，再求出最小值，即可得到a，b取何值时，的最小值最小. 【详解】（1） 因为,，所以可能为， 当时，不满足非空，不合题意； 当时，所以， ， 当时，所以， ， 当时，所以，,, ,,,,, 又，可得为，，，. （2）设,因为，所以， 又，所以， 取则，，， 无限迭代，而为有限集，不合题意，舍去；即 取则，， 可得集合可为 ； 取则， ，， 可得集合可为； 取则，又所以 取则， ，， 可得集合可为， 取则， ，， 无限迭代，而为有限集，不合题意，舍去；即 同理当或,且时不符合为有限集，舍去； 故由上可得集合可为，，， 所以， （3）当且时 设,则， 时，不为整数，不合题意； 时，不为整数，不合题意； 所以，又则， 任取构造函数 所以， 又， ， 即当时的最小值为. 【点睛】方法点睛：从新情境中获取信息，搭建相关的集合知识网络，将其运用到新情境中，整体进行迁移运用. 【变式训练3-14】已知集合，任取，，定义，其中表示，中的最大值，例如，. (1)当且时，写出满足的所有元素； (2)设，满足，求的最大值和最小值； (3)若的子集满足：，成立，求集合中元素个数的最大值. 【答案】(1)或 (2)的最大值为， 当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，的最小值为. (3) 【分析】（1）可以先列出所有可能情况，再按照定义式逐个判断是否满足题意； （2）对分奇偶性讨论即可； （3）用反证法说明仅有两种情况满足题意，从而得出结论. 【详解】（1）因为，且， 所以满足的所有元素或； （2）因为， 所以，， 因为， 所以中有个量的值为 1，个量的值为 0. 于是， 而，满足题意，此时取得最大值， 当为偶数时， 当时，则有个元素均为1、另个元素均为0，于是取得最小值， 这是因为若，则至少有一个元素不同，于是； 当为奇数时， 中为1的元素个数不同，于是， 当只有一个元素不同时，则取得最小值， 这是因为若至少有两个元素不同，； 综上：的最大值为， 当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，的最小值为. （3）， 则，中满足的元素至多有一个， 否则中满足第个分量等于0的元素存在两个，即有，，， 则，，与已知矛盾； 故中可能有的元素分为以下两种情况： （1）每个分量都是1的，至多存在1个， （2）某个分量是0的至多各有1个，总计个， 所以，， 当 或时，满足题意且. 故所求最大值为. 【变式训练3-15】已知正整数集合,对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有,则称集合具有性质.记是集合中的最大值. (1)判断集合和集合是否具有性质，直接写出结论； (2)若集合具有性质，求证：； (3)若集合具有性质，求的最大值. 【答案】(1)集合具有性质；集合不具有性质； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据定义直接判断得到答案. （2）确定，变换，计算得到证明. （3）确定，得到，确定，再根据均值不等式计算最值得到答案. 【详解】（1），则； ；， 故集合具有性质； ，故， 故集合不具有性质； （2）， 故，故，即， 集合具有性质，故， . （3）集合具有性质，则，，，， ， 故， 又，故，即，，， 当为偶数时当且仅当，即时等号成立， 当为奇数时等号不成立，，故，即， 故， 综上所述：，故的最大值为. 【点睛】关键点睛：本题考查了集合综合应用，意在考查学生的计算能力，转换能力和综合应用能力，其中根据集合中元素的大小关系，确定，再利用绝对值的性质计算是解题的关键. 【变式训练3-16】对给定的正整数，令，对任意的，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述集合的特征：； (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求证：中的元素个数小于． 【答案】(1)，， (2) (3)证明详见解析 【分析】（1）根据与的距离的定义，直接求出的最小值即可； （2）一方面先证明A中元素个数至多有个元素，另一方面证明存在集合中元素个数为个满足题意，进而得出A中元素个数的最大值； （3）设，定义的邻域，先证明对任意的， 中恰有2021个元素，再利用反证法证明，于是得到中共有个元素，但中共有个元素，所以，进而证明结论． 【详解】（1）依题意可得，，． （2）（a）一方面：对任意的， 令， 则，故， 令集合，则， 则且和的元素个数相同， 但中共有个元素，其中至多一半属于， 故中至多有个元素． (b)另一方面：设是偶数， 则对任意的，，， 都有中的元素个数为， 易得与奇偶性相同， 故为偶数， 又，则，所以， 注意到，且它们的距离为2， 故此时满足题意， 综上，中元素个数的最大值为． （3）当时，设且， 设， 则对任意的，定义的邻域， （a）一方面：对任意的，中恰有2021个元素， 事实上， ①若，则，恰有一种可能；， ②若，则与，恰有一个分量不同，共2020种可能； 综上， 中恰有2021个元素， （b）对任意的，， 事实上，若， 不妨设，， 则，这与矛盾， 由（a）和（b）可得中共有个元素， 但中共有个元素，所以，即， 注意到是正整数，但不是正整数，上述等号无法取到， 所以，集合中的元素个数小于． 【点睛】关键点睛：本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题． 【变式训练3-17】已知集合，对于，，定义与之间的距离为． (1)已知，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：． 【答案】(1)、、、； (2)； (3)见解析 【分析】 （1）根据题中定义可得的所有情形； （2）分、两种情况，利用绝对值三角不等式可求得的最大值； （3）表示出，结合定义，可得，即中任意两元素不相等，可得中至多有个元素，即可得证． 【详解】（1）已知，，且， 所以，的所有情形有：、、、； （2）设，， 因为，则， 同理可得， 当时，； 当时，. 当，时，上式等号成立. 综上所述，； （3）记， 我们证明．一方面显然有．另一方面，且， 假设他们满足．则由定义有， 与中不同元素间距离至少为相矛盾． 从而． 这表明中任意两元素不相等．从而． 又中元素有个分量，至多有个元素． 从而． 【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在； （2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质. 【变式训练3-18】对给定的正整数，令，对任意的，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述集合的特征：； (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求证：中的元素个数小于． 【解析】（1）依题意可得，，． （2）（a）一方面：对任意的， 令， 则，故， 令集合，则， 则且和的元素个数相同， 但中共有个元素，其中至多一半属于， 故中至多有个元素． (b)另一方面：设是偶数， 则对任意的，，， 都有中的元素个数为， 易得与奇偶性相同， 故为偶数， 又，则，所以， 注意到，且它们的距离为2， 故此时满足题意， 综上，中元素个数的最大值为． （3）当时，设且， 设， 则对任意的，定义的邻域， （a）一方面：对任意的，中恰有2021个元素， 事实上， ①若，则，恰有一种可能；， ②若，则与，恰有一个分量不同，共2020种可能； 综上， 中恰有2021个元素， （b）对任意的，， 事实上，若， 不妨设，， 则，这与矛盾， 由（a）和（b）可得中共有个元素， 但中共有个元素，所以，即， 注意到是正整数，但不是正整数，上述等号无法取到， 所以，集合中的元素个数小于． 【变式训练3-19】已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【解析】（1）; （2）首先，； 其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者-- ①当时，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到 进而，从而 所以或者. （3）估值+构造  需要分类讨论中非负元素个数. 先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： 中没有负数． 不妨设，则 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明 情况二： 中至少有一个负数． 设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素. 不妨设 其中为正整数，． 于是有 以上是中的个非正数元素：另外，注意到 它们是中的5个正数．这表明 综上可知，总有- 另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13. 【变式训练3-20】已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 【答案】(1)，，， (2)4 (3)证明见详解 【分析】根据条件，可列出（1）（2）中所有满足条件的；对（3），分情况讨论，寻找使是倍数的集合. 【详解】（1）所有可能的集合为：，，，. （2）不妨设：，由于，且， 所以. 由题意，是12的倍数时，或. 当时，因为， 所以当且仅当时，成立，故符合题意. 当时， 若，则，故或符合题意； 若，则，故符合题意； 若，则，无解. 综上，所有可能的集合为，，，. 故满足条件的集合的个数为. （3）（1）当时，设，则 ， 这个数取个值，故其中有两个数相等. 又因为，于是， 从而互不相等，互不相等， 所以存在，使得. 又因，故. 则，则，结论成立. （2）当时，不妨设， 则（），在这个数中任取3个数，. 若与都是的倍数，， 这与矛盾. 则至少有2个数，它们之差不是的倍数，不妨设不是的倍数. 考虑这个数：，，，，，. ①若这个数除以的余数两两不同，则其中必有一个是的倍数，又，且均不为， 故存在，使得. 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立. ②若这个数除以的余数中有两个相同，则它们之差是的倍数，又，均不是的倍数， 故存在，使得. 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立. 综上，存在非空集合，使得是的倍数. 【点睛】关键点点睛：如何找到非空集合，使得是的倍数是问题的关键. 【变式训练3-21】对于集合，定义运算符“”两式恰有一式成立}，表示集合中元素的个数． (1)设，求； (2)对于有限集，证明，并求出固定后使该式取等号的的数量；（用含的式子表示） (3)若有限集满足，则称有序三元组为“联合对”，定义，． ①设，求满足的“联合对”的数量；（用含的式子表示） ②根据（2）及（3）①的结果，求中“联合对”的数量． 【答案】(1)；(2)；(3)①② 【解析】（1）对于，故； 对于，故； 对于，故； 对于，故， 即. （2）画出Venn图，如图，将划分成7个集合， 则，， 故不等式成立，当且仅当时取等号， 等价于，等价于，故当且仅当取等号. 设，其中集合与无交集， 由于，故有， 即为的某一子集，有种，从而使上式取等的有个. （3）①设，有，故有种取法， 对于每一个，知中每一个元素有两种情形：或， 且中每一个元素有两种情形：或， 故共有两种选择，也就是这样的有种， 对于每一个，由（2）知B有种取法. 故由乘法原理，这样的“联合对”有个. ②由①知，中“联合对”的数量为(二项式定理)， 故中“联合对”的数量为. 【变式训练3-22】已知实数集，定义：（与可以相同）．记为集合中的元素个数． (1)若，请直接给出和； (2)若均为正数，且，求的最小值； (3)若，求证：． 【答案】(1)，；(2)24；(3)证明见解析 【解析】（1），； （2）一方面，积有个，另一方面，积有个， 故，当中所有元素互素时，等号成立． 要使得时，最小，可令中所有元素互素， 此时，，解得：， 故的最小值为24； （3）考虑集合中所有元素变为原来的相反数时，集合不改变， 不妨设中正数个数不少于负数个数． ①当中元素均为非负数时，设， 于是，， 此时，集合中至少有，，，…，，，，…，这18个元素， 即； ②当中元素至少有一个为负数时， 设是中全体元素，且， 于是，． 由是中的个元素，且非正数； 又是中的7个元素，且为正数， 故中元素不少于17个，即； 另外，当时，， 满足，故． 【变式训练3-23】在计算机科学中，维数组是一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于维数组，定义与的差为与之间的距离为． (1)若维数组，证明：； (2)证明：对任意的数组，有； (3)设集合，若集合中有个维数组，记中所有两元素间的距离的平均值为，证明：． 【解析】（1）设与中对应项中同时为0的有个，同时为1的有个， 则对应项不同的为个，所以． 所以； （2）设， 因为， ， 所以， 因为． 所以当时，， 当时，， 所以； （3）记集合中所有两个元素间距离的总和为， 则． 设集合中所有元素的第个位置的数字共有个个0， 则， 因为， 所以， 所以， 所以. 题型04：定义集合的新性质 与集合性质有关的问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数 学知识来解决有关的集合性质的问题 【典型例题1】若集合A具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A； (Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A． 则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　) (1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q是“好集”； (3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】(1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为当－1∈B,1∈B，－1－1＝－2∉B，这与－2∈B矛盾．(2)有理数集Q是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时， ∈Q，所以有理数集Q是“好集”．(3)因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A. 【典型例题2】若数集具有性质P：对任意的，，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【答案】B 【解析】因为与均不属于数集，所以A错误； 因为，，，，，都属于数集，所以B正确； 由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误； 易知是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B. 【典型例题3】已知集合.对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P. (1)当时，试判断集合和是否具有性质P?并说明理由； (2)当时，若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P?并说明理由； (3)当时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 【答案】(1)集合B不具有性质P，集合具有性质P，理由见解析；(2)具有，理由见解析；(3)1333 【解析】（1）当时，集合，， 则集合B不具有性质P，理由如下： 因为对于任意不大于n的正整数m，都可以找到该集合中的两个元素， 使得成立； 集合具有性质P，理由如下： 因为可取，对于该集合中的任意一对元素， 都有； （2）当时，集合， 若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质P，理由如下： 首先因为集合，任取，其中， 因为，所以， 从而，即，故, 由于S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m， 使得对于S中的任意一对元素，都有， 对于上述正整数m，从集合中任取一对元素， 其中，则有， 故集合具有性质P. （3）设集合S有k个元素，由第（2）问可知，若集合S具有性质P， 那么集合一定具有性质P， 任给，则x与中必有一个不超过1000， 所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000， 不妨设S中有t（）个元素不超过1000， 由集合S具有性质P可知存在正整数， 使得对于S中的任意一对元素，都有， 所以一定有， 又，故， 因此集合A中至少有t个元素不在子集S中， 故，即，结合k为正整数，可得， 当时，取， 则可知集合S中任意两个元素，都有， 即集合S具有性质P，而此时集合S中有1333个元素， 因此集合S中元素个数的最大值为1333. 【典型例题4】给定正整数，设集合.对于集合中的任意元素和，记.设，且集合，对于中任意元素，若，则称具有性质. (1)是否存在集合具有性质，若存在，请写出的表达式，若不存在，请说明理由； (2)判断集合是否具有性质？若具有，求的值；若不具有，请说明理由； (3)是否存在具有性质的集合？若存在，请找出来；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)不存在，理由见解析；(2)具有，12；(3)不存在，理由见解析 【解析】（1）由题意可知表示集合有2个元素，且，， 则或，均无法满足， 所以不存在集合具有性质. （2）对于， 则，同理， 而，同理， 所以具有性质. 且. （3）假设存在集合具有性质，易知集合中有4个元素且. ①若，则，不符合4个元素，舍去； ②若，则，， 又， 所以不满足，舍去； ③若，则， 又， 所以这3组每组至多只能有一个包含于，所以至多只有3个元素，矛盾，舍去； ④若，则，， 又，所以不满足，舍去； ⑤若，则，只有一个元素，舍去. 综上，不存在具有性质的集合. 【典型例题5】设正整数，，，这里. 若，且，则称具有性质. (1)当时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值； (2)若具有性质： ①求证：； ②求的值. 【解】（1）对集合，记其元素个数为. 先证明2个引理. 引理1：若具有性质，则. 引理1的证明：假设结论不成立. 不妨设，则正整数，但， 故一定属于某个，不妨设为. 则由知存在正整数，使得. 这意味着对正整数，有， ，但，矛盾. 所以假设不成立，从而一定有，从而引理1获证. 引理2：若具有性质，则，且. 证明：取集合. 注意到关于正整数的不等式等价于， 而由引理1有，即. 结合是正整数，知对于正整数，当且仅当， 这意味着数列恰有项落入集合，即. 而两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数， 故中的元素属于且仅属于某一个，故. 所以， 从而，这就证明了引理2的第一个结论； 再考虑集合中全体元素的和. 一方面，直接由知中全体元素的和为，即. 另一方面，的全部个元素可以排成一个首项为，公差为的等差数列. 所以的所有元素之和为. 最后，再将这个集合的全部元素之和相加， 得到中全体元素的和为. 这就得到，所以有 . 即，从而，这就证明了引理2的第二个结论. 综上，引理2获证. 回到原题. 将从小到大排列为，则， 由引理2的第一个结论，有. 若，则， 所以每个不等号都取等，从而，故； 情况1：若，则，矛盾； 情况2：若，则，所以，得. 此时如果，则，矛盾； 如果，则，从而，故； 如果，由于，设，，则，. 故对于正整数对，有， 从而，这与矛盾. 综上，的取值只可能是或. 当时，；当时，. 所以的所有可能取值是和. （2）①由引理1的结论，即知； ②由引理2的第二个结论，即知. 【变式训练4-1】设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是 . 【答案】①③ 【解析】对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确； 对于②，若A具有性质P，且，假设也具有性质P， 设，在中任取一个，此时可证得，否则若， 由于也具有性质P，则，与矛盾，故， 由于A具有性质P，也具有性质P， 所以， 而，这与矛盾， 故当且A具有性质P时，则不具有性质P， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故②错误. 对于③，取，则，，，， 又具有性质P，，， ， 所以具有性质P，故③正确； 对于④，取，，，， 但，故④错误； 故答案为：①③ 【变式训练4-2】设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题： ①若A具有性质P，则A可以是有限集； ②若具有性质P，且，则具有性质P； ③若具有性质P，则具有性质P； ④若A具有性质P，且，则不具有性质P. 其中所有真命题的序号是 . 【答案】①②④ 【解析】对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确； 对于②，取，则，，，，又具有性质P，，，，所以具有性质P，故②正确； 对于③，取，，，，但，故③错误； 对于④，若A具有性质P，且，假设也具有性质P， 设，在中任取一个，此时可证得，否则若，由于也具有性质P，则，与矛盾，故， 由于A具有性质P，也具有性质P， 所以， 而，这与矛盾， 故当且A具有性质P时，则不具有性质P， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故④正确. 故答案为：①②④ 【变式训练4-3】已知集合，表示集合中的元素个数，当集合的子集满足时，称为集合的二元子集. 若对集合的任意个不同的二元子集，均存在对应的集合满足：①；②；③，则称集合具有性质. (1)当时，若集合具有性质，请直接写出集合的所有二元子集以及的一个取值； (2)当时，判断集合是否具有性质？并说明理由； (3)当时，若集合具有性质，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)不具有，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据集合A具有性质的定义即可得出答案； （2）当时，利用反证法即可得出结论； （3）首先利用反证法证明，然后证明，当时，，再结合抽屉原理分析即可得出结论. 【详解】（1）集合的所有元素个数为2的子集有：， 满足题意的集合可以是：或或，此时 ，   或者也可以是：，此时. （2）集合不具有性质，理由如下： 反证法：假设存在集合，即对任意的，， ，    则取，，，,（任意构造，符合题意即可）， 此时由于，由抽屉原理可知，，， 与题设矛盾，假设不成立，因此集合不具有性质. （3）首先证明， 反证法：假设，由集合具有性质，则存在集合， 对任意，，， 则取，，，···， ，，（任意构造，符合题意即可）， 此时由于，由抽屉原理可知，，， 与题设矛盾，假设不成立，因此. 然后证明：， 当时，，由抽屉原理可知， 存在， 不妨设为，取，， 设，此时， 且，                  故符合题意，综上可知. 【点睛】关键点点睛：此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键. 【变式训练4-4】已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. (1)若集合具有性质，求的最小值； (2)已知集合具有性质，求证： ①对任意的都有； ②； (3)已知集合具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 【答案】(1)(2)①证明见解析；②证明见解析；(3)，理由见解析 【解析】（1）集合具有性质，则对任意的，都有，即， ，解得且，可得的最小值是. （2）①由题意，，又， ，可得， ②由①可得. （3）由（2）知，，又，可得，因此，同理，， 又，，则也均成立. 当时，取，则，可知. 又当时，，则，即. 因此集合中元素个数的最大值为7. 【变式训练4-5】已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. (1)集合具有性质，求的最小值； (2)已知具有性质，求证：； (3)已知具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 【解析】（1）由性质定义知：，且， 所以的最小值为6. （2）由题设，且， 所以， 所以，得证. （3）由（2）知：， 同（2）证明得且，故，又， 所以在上恒成立， 当，取，则，故， 当，则，即. 综上，集合中元素个数的最大值为7. 【变式训练4-6】对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P． (1)设，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）． (2)若，且集合具有性质P，求x的值； (3)若X具有性质P，且，q为常数且，求证：． 【答案】(1)，具有性质； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据向量集Y的定义，结合的元素，直接写出，再判断是否满足性质即可； （2）根据性质的定义，任取，，讨论的取值，结合的范围，即可求得的取值； （3）根据性质的定义推出为定值，结合，即可推证. 【详解】（1）根据向量集的定义可得： ， 若，则存在，使得， 同理亦可证明对任意，也满足性质， 故具有性质P． （2）对任意a，，都存在c，，使得， 即对于，都存在，使得，其中a，b，c，， 因为集合具有性质P， 选取，，则有， 假设，则有，解得，这与矛盾， 假设，则有，解得，这与矛盾， 假设，则有，解得，这与矛盾， 假设，则有，解得，满足，故； 经检验，集合具有性质P． （3）证明：取，设且满足， 由得，从而s，t异号， ∵－1是x中唯一的负数， ∴s，t中一个为－1，另一个为1，故． 因为，所以， X具有性质P，取，， 设，因为，且c，d中的正数大于等于1， 所以只能， 所以，． 又X中只有个大于1的正数， 即， 且，这个大于1的正整数都属于集合X， 所以只能，，…， 即， 即． 【点睛】关键点点睛：处理本题第三问的关键是能够根据性质的定义，推出，以及为定值，进而根据X中只有个大于1的正数解决问题. 【变式训练4-7】设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质. (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明； (2)若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质； (3)设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意直接写出根据定义证明即可； （2）根据性质可知，分别说明集合中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可； （3）令集合，设，可得，令，且，①， ，这与矛盾；②，得，因此，这与矛盾综上可得到结论． 【详解】（1）恰含有两个元素且具有性质的集合； 证明：； （2）若集合具有性质，不妨设，由非空数集具有性质，有. ①，易知此时集合具有性质. ②数集只含有两个元素，不妨设， 由，且，解得：，此时集合具有性质. ③实数集含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素， 则有，由于集合具有性质， 所以有，这说明集合具有性质； （3）不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质， 由于非空实数集具有性质，令集合， 依题意不妨设， 因为集合具有性质，所以， 若，则， 因为非空实数集具有性质，故，这与矛盾， 故集合不是单元素集， 令，且， ①，可得，即，这与矛盾； ②，由于，所以，因此，这与矛盾 综上可得：不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质. 【点睛】方法点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，逻辑推理，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 【变式训练4-8】已知数集具有性质P：对任意的k，，使得成立． (1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； (2)若，求A中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合A； (3)求证：． 【答案】(1)不具有，具有，理由见解析 (2)75；或 (3)证明见解析 【分析】（1）由，所以数集不具有性质P，同理根据集合性质P的概念，可判断具有性质P； （2）由（1）结合数集的性质P的概念，满足，分类讨论，即可求得数集A； （3）根据数集的性质P的定义，可得，所以，满足 ，累加即可证明． 【详解】（1）因为，所以数集不具有性质P， 因为，所以数集具有性质P； （2）由，所以A的元素都是整数， 构造或具有性质P， 此时元素和为75且是最小值； 下面证明： 假设集合满足， （存在性显然，因为满足的数集只有有限个） 第一步：首先说明集合中至少有7个元素， 因为集合具有性质P： 对任意的k，，使得成立， 又， 所以，所以， 所以， ， 又， 所以， 所以； 第二步：证明， 若，设， 因为，为了使最小， 在集合中一定不含有元素，使得，从而， 假设，根据性质P，对，有，使得， 显然，而， 而此时集合中至少还有4个不同于的元素， 从而，矛盾； 所以，进而； 同理可证：， 那么根据性质P，有，使得， 我们需要考虑如下几种情况： ①，此时集合中至少需要一个大于等于4的元素，才能得到8， 所以A中所有元素的和大于76， ②，此时集合中至少需要一个大于等于4的元素，才能得到7， 所以A中所有元素的和大于76， ③假设，同上，此时集合的和最小，为75； ④当，此时集合的和最小，最小值为75； 所以A中所有元素的和最小，最小值为75， 此时或； （3）因为集合具有性质P： 即对任意的，使得成立， 又因为， 所以，所以， 所以， ， 将上述不等式相加得：， 所以． 【点睛】关键点点睛：第二问采用枚举法即可证明，根据题设信息，不断的确定集合中的具体元素，将抽象问题具体化，从而证明出结论，过程中需用反证法证明猜想. 【变式训练4-9】给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质． (1)分别判断集合与是否具有性质； (2)若集合具有性质，求的值； (3)若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合． 【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质 (2) (3)，，或 【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足； （2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解； （3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解. 【详解】（1）集合中的，， 所以集合不具有性质， 集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质； （2）若集合具有性质，记，则， 令，则，从而必有， 不妨设，则，且， 令，，则，且，且， 以下分类讨论： 1）当时，若，此时，满足性质； 若，舍；若，无解； 2）当时，则，注意且，可知无解； 经检验符合题意， 综上； （3）首先容易知道集合中有0，有正数也有负数， 不妨设，其中，， 根据题意， 且，从而或， 1）当时，， 并且，， 由上可得，并且， 综上可知； 2）当时，同理可得， 据此，当中有包含6个元素，且时，符合条件的集合有5个， 分别是，，或. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定满足性质的集合里面有0，再对其他元素进行讨论. 【变式训练4-10】给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． (1)判断集合是否具有性质？说明理由； (2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明． 【答案】(1)具有性质，理由见解析； (2)不存在，证明见解析. 【分析】（1）根据定义计算即可判定； （2）根据定义对进行讨论，一一计算即可证明. 【详解】（1）对于集合， 根据定义可知，且符合定义， 所以具有性质； （2）假设存在具有性质，根据定义易知中有4个元素且， ①若，则，没有4个元素，不符题意舍去； ②若，则， 而，不符题意舍去； ③若，则， 而， 故中至多包含3个元素，不符题意舍去； ④若，则， 而，不符题意舍去； ⑤若，则，没有4个元素，不符题意舍去； 综上可知：不存在具有性质的集合. 【点睛】思路点睛：第二问需要根据定义得出，从而分五种情况进行讨论，讨论时依次得出集合的可能情况结合定义验证判定即可. 【变式训练4-11】已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【答案】(1)不具有，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断； （2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”； （3）首先证明充分性，存在三个互不相同的，使得均属于 证明满足性质的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的，再证明均属于，即可证明. 【详解】（1）集合不具有性质，理由如下： （i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③ （ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，， 则有，即，不满足条件②， 综上所述，可得集合不具有性质. （2）证明：由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即，不合题意， 当时，由，得，即，或（舍）， 因为是偶数，所以集合， 令，解得， 显然， 所以集合是集合的“期待子集”得证. （3）证明： 先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于， 不妨设，令，，，则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数， 所以， 因为， 所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”. 综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质”和“期待子集”的定义. 【变式训练4-12】已知集合（），S是集合A的子集，若存在不大于n的正整数m，使集合S中的任意一对元素，，都有，则称集合S具有性质P. (1)当时，试判断集合和是否具有性质P？并说明理由； (2)当时，若集合S具有性质P，那么集合是否具有性质P？并说明理由； (3)当，时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质，理由见解析 (2)具有性质，理由见解析；(3) 【解析】（1）集合不具有性质，集合具有性质，理由如下： 当时，，， ， 因为对于任意不大于10的，都可以找到该集合中的两个元素， 使得成立， 因为可取，对于该集合中的任意一对元素，， 都有，， 故集合不具有性质，集合具有性质； （2）具有性质，理由如下： 当时，， ，任取，其中， 因为，所以， 从而，即，故， 因为集合具有性质，故存在不大于100的正整数， 使得对于中的任意一对元素，都有， 对于上述正整数，从中任取一对元素， 其中，则有， 故集合具有性质； （3）由（2），若集合具有性质，则集合也具有性质. 若，则，则和至少有一个不超过， 则和中至少有一个集合，该集合至少有一半的元素不超过， 设集合中一共有个元素，不妨设中至少有个元素（）不超过， 不妨设为均不超过， 因为若存在不大于的正整数，使集合中的任意一对元素，都有， 则称集合具有性质. 则均不在集合中， 所以集合至少有个元素不在集合中，则， 例如符合题意， 则 【变式训练4-13】已知正实数构成的集合 (1)若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质. ①当，时，判断集合，是否具有性质，并说明理由； ②设集合，其中数列为等比数列，且公比为2，判断集合是否具有性质并说明理由. (2)若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.设集合具有性质且中的所有元素能构成等差数列.问：集合中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)①集合不具有性质，集合具有性质，理由见解析；②集合具有性质，理由见解析； (2)存在，最大值为4. 【解析】（1）①集合不具有性质，集合具有性质： ，中元素个数不具有性质； ，中元素个数具有性质. ②若集合具有性质，设， 假设当时有成立，则有， 等式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，则不成立， 因此中元素个数，所以集合具有性质. （2）不妨设， 则在集合中，， 又中的所有元素能构成等差数列，设公差为， 则， 即，于是， 当时，是集合A中互不相同的4项， 从而中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾， 当时，，即成等差数列，且公差也为， 则中的元素从小到大的前三项为，且第四项只能是或， （i）若第四项为，则，从而， 于是，中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾； （ii）若第四项为，则，有， 而，即，于是， 因此中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾，则， 取，，则集合A具有性质， 所以集合A中的元素个数存在最大值，最大值为4. 【变式训练4-14】已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【解析】（1）集合不具有性质，理由如下： （i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③ （ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，， 则有，即，不满足条件②， 综上所述，可得集合不具有性质. （2）证明：由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即，不合题意， 当时，由，得，即，或（舍）， 因为是偶数，所以集合， 令，解得， 显然， 所以集合是集合的“期待子集”得证. （3）证明： 先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于， 不妨设，令，，，则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数， 所以， 因为， 所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”. 综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【变式训练4-15】已知为正整数，集合具有性质：“对于集合中的任意元素，，且，其中”. 集合中的元素个数记为． (1)当时，求； (2)当时，求的所有可能的取值； (3)给定正整数，求． 【解析】（1）时，集合中的元素为，， 所以． （2）时，首先证明，且． 在中，令，得，从而有． 在中，令，得． 又， 故，从而有． 考虑，即，， 此时为最大值． 现交换与，使得，此时． 现将逐项前移，直至．在前移过程中，显然不变，这一过程称为1次“移位”． 依此类推，每次“移位”的值依次递减．经过有限次移位，一定可以调整为交替出现 注意到为奇数，所以为最小值． 所以的所有可能取值为． （3）由题设，在中，有个，个，显然，从中选个，其余为的种数共有种．下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足，记该数为． 如果不满足，则一定存在最小的正整数 ，使得，且． 将统统改变符号， 这一对应为： ， 从而将变为个，个组成的有序数组． 因此，就是个，个组成的有序数组的个数，即． 所以. 题型05：定义集合的新背景 解决这类问题应仔细阅读题目，理解题目中给出的集合背景或规则．这包括集合的元素定义、集合之间的关系、集合的运算规则等．根据题目背景和问题要求，构建合适的数学模型或逻辑模型．例如，可以使用集合论中的基本概念和运算来构建模型．如果题目中涉及到复杂的集合运算或关系，可以考虑使用图形或表格来辅助理解 【典型例题1】群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“.”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对任意的，有； ②对任意的，有； ③存在，使得对任意的，有称为单位元； ④对任意的，存在，使，称与互为逆元. 则称关于“.”新构成一个群.则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集关于数的加法构成群 C．实数集关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 【答案】D 【解析】A：由且，使，但，不存在，使，不正确； B：由且，都有，但，不存在，使，不正确； C：由且，使，但，不存在，使，不正确； D：对所有的，可设，则， ①满足加法结合律，即，有； ②，使得，有； ③，设，使，正确.故选：D. 【典型例题2】对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作．下列结论中正确的个数为（ ） ①若曲线是一个点，则点集所表示的图形的面积为； ②若曲线是一个半径为的圆，则点集所表示的图形的面积为； ③若曲线是一个长度为的线段，则点集所表示的图形的面积为； ④若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设点， 对于①，若曲线表示点，则， 化简可得， 所以，点集所表示的图形是以点为圆心，半径为2的圆及其内部， 所以，点集所表示的图形的面积为，①对； 对于②，若曲线表示以点为圆心，半径为2的圆， 设为曲线上一点，当点在曲线内时，， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以，可得，此时； 当点在曲线外时，， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以，，可得，此时， 当点在曲线上时，线段的长不存在最小值， 综上所述，或，即或， 所以，点集所表示的图形是 夹在圆和圆的区域（但不包括圆的圆周）， 此时，点集所表示的图形的面积为，②错； 对于③，不妨设点曲线为线段，且， 当点与点重合时，由①可知，则点集表示的是以点为圆心，半径为1的圆， 当点与点重合时，则点集表示的是以点为圆心，半径为1的圆， 故当点在线段上滑动时，点集表示的区域是 一个边长为2的正方形和两个半径为1的半圆所围成的区域， 此时，点集的面积为，③对； 对于④，若曲线是边长为9的等边三角形，设等边三角形为， 因为，，则， 由③可知，点集构成的区域由矩形、、， 以及分别由点为圆心，半径为1，圆心角为的三段圆弧， 和夹在等边三角形和等边三角形中间的部分（包括边界）， 因此，，则， 所以，点集所表示的图形的面积为，④对. 综上所述：正确的序号为①③④，共3个.故选：C. 【典型例题3】我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）． (1)若空间向量，求及； (2)对于空间向量．若，求证：，若，则； (3)若空间向量的坐标满足，当时，求证：． 【解析】（1）由，知， 所以，； （2）依题意，，，则有， 所以，当且仅当时取等号， 又因为，所以，，互不相同， 故，若，则； （3）由，得，则有①， 由及①，可得 ， ， ， 以上各式相加，得. 由及①，当时，， 所以， 即. 【典型例题4】我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）． (1)若空间向量，求及； (2)对于空间向量．若，求证：，若，则； (3)若空间向量的坐标满足，当时，求证：． 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）由，知， 所以，； （2）依题意，，，则有， 所以，当且仅当时取等号， 又因为，所以，，互不相同， 故，若，则； （3）由，得，则有①， 由及①，可得 ， ， ， 以上各式相加，得. 由及①，当时，， 所以， 即. 【变式训练5-1】（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，， 中的每个元素都小于中的每个元素，称为戴德金分割．下列结论正确的是（    ） A．是一个戴德金分割 B．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，没有最小元素 C．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，有一个最小元素 D．存在一个戴德金分割，使得没有最大元素，也没有最小元素 【答案】BD 【解析】对于A，因为，所以A错误． 对于B，设，满足戴德金分割， 则有一个最大元素1，没有最小元素，所以B正确． 对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素， 则不能同时满足，所以C错误． 对于D，设，满足戴德金分割， 此时中没有最大元素，中也没有最小元素，所以D正确．故选：BD 【变式训练5-2】在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组表示，在三维空间中点的坐标可用三个有序数组表示，一般地在维空间中点A的坐标可用n个有序数组表示，并定义n维空间中两点，间的“距离”． (1)若，，求； (2)设集合．元素个数为2的集合M为的子集，且满足对于任意，都存在唯一的使得，则称M为“的优集”．证明：“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题，得到，结合裂项法求和，即可求解； （2）根据新定义得到，，构造有2个元素，由为整数，得到存在为“的优集”，设，，推得，，显然矛盾，即可得证. 【详解】（1）解：因为，，，则， 所以. （2）证明：定义：对任意，规定， 对任意，， 由于，，，容易得， 所以，得结论：，， 构造有2个元素，由为整数， 当时，则满足M为“的优集”的定义， 当时，则，满足M为“的优集”的定义， 所以存在为“的优集”， 若M中的两个点，有一个位置相同，不妨设为第一个位置， 则设，， 则取，则有，，显然矛盾， 所以M中的两个点每一个位置均不同，即，显然， 即“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是. 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 【变式训练5-3】对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足： I．，； II．，； Ⅲ．，，； Ⅳ．，，． 对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群．    (1)直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）； (2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，． ①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群； ②已知H是群G的一个子群，e，分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明； ③写出群S的所有子群． 【答案】(1)答案见解析；(2)①证明见解析；②答案见解析，证明见解析；③证明见解析. 【解析】（1）依题意，正三角形的对称变换如下：绕中心作的旋转变换； 绕中心作的旋转变换； 绕中心作的旋转变换； 关于对称轴所在直线的反射变换； 关于对称轴所在直线的反射变换； 关于对称轴所在直线的反射变换， 综上，.（形式不唯一） （2）①Ⅰ.，，； Ⅱ.，，， ， 所以； Ⅲ. ， 而，所以； Ⅳ.， ； 综上可知，集合对于给定的新运算*来说能作成一个群. ②，，证明如下： 先证明：由于是的子群，取，则，， 根据群的定义，有，，所以， 所以，即， 即，所以. 再证明：由于，，， 所以，所以， 所以，所以. ③的所有子群如下： ， ，， ， 【变式训练5-4】拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面，定义对，，其度量（距离）并称为一度量平面．设，，称平面区域为以为心，为半径的球形邻域． (1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集； (2)证明：中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集； (3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集． 【解析】（1）设这两个球形邻域分别为，， 为和的交集． ①若与不相交，则； ②若与相交，则 且 故或且． （2）我们约定集合族是指以集合为元素的集合，其并运算为 表示集合族的所有集合的并集 回到原题，设这两个球形邻域分别为，，为和的交集． ①若与不相交，则，即可以看作零个球形邻域的并集； ②若与相交，则取， 令，构造球形邻域． 因为对于，有 故，这说明． 由于是中任取的一点，这说明， 继而 即可被表示为若干个球形邻域的并集． 命题得证． （3）①先证充分性：当的一个子集可以写为若干球形邻域的并时，其必为开集． 设，由（2）可知可看作若干个球形邻域的并集， 即 则，使得，故是开集．充分性证毕． ②再证必要性：若的一个子集是开集，则其可被表示为若干个球形邻域的并集． 设是一个开集，由情况①得，使得，所以 即 故可被表示为若干个球形邻域的并集．必要性证毕． 题型06:集合与数列交汇问题 若新定义与数列有关，可利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识 【典型例题1】已知是等差数列，，存在正整数，使得，，.若集合中只含有4个元素，则t的可能取值有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】当时，，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合； 当时，，取，此时，满足条件； 当时，，即，即， 所以，或，（舍）， 故解得，此时在单位圆上的5等分点， 取到的，，，，，不可能取到4个不同的正弦值，故不满足； 当时，，取，此时，满足条件； 当时，，取，此时，满足条件； 当时，，取，此时，满足条件； 故选：C 【典型例题2】已知数列：1，，，3，3，3，，，，，，，即当（）时，，记（）. (1)求的值； (2)求当（），试用、的代数式表示()； (3)对于，定义集合是的整数倍，，且，求集合中元素的个数. 【答案】(1)； (2)，()； (3)1024. 【知识点】数列新定义、集合新定义、分组（并项）法求和、求等差数列前n项和 【分析】（1）由得，然后根据求和公式结合条件即得； （2）分别求出为奇数时和为偶数时的表达式，最后用n、k的代数式表示即可； （3）由题可得为整数，然后结合条件及等差数列求和公式即得. 【详解】（1）依题意：（）， 由得， 所以 ； （2）① 当为奇数时，为偶数， ； ②当为偶数时，为奇数， ； 综上：，()； （3）由（2）知，当时， ，， 因为是的整数倍， 所以为整数， 所以为奇数，由得， 所以满足条件的的个数为， 所以集合中元素的个数为. 【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 【典型例题3】对于集合且，定义且.集合A中的元素个数记为，当时，称集合A具有性质. (1)判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)设集合，且具有性质，若中的所有元素能构成等差数列，求的值； (3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)集合具有性质，集合不具有性质，理由见解析 (2)的值分别为4，5或5，9 (3)存在最大值，最大值为4 【知识点】集合新定义、利用等差数列的性质计算、等差中项的应用 【分析】（1）根据集合A具有性质的定义进行判断，可得答案； （2）写出中的所有元素，分类讨论，结合等差数列的性质，列出相应的方程组，解得答案； （3）一数列新定义得在集合中，，得到，由此分类讨论，可确定n的取值，可得答案. 【详解】（1），故集合具有性质. 故集合不具有性质 （2）因集合具有性质， 故. （i）若， 则 ,解得 , 经检验，符合题意，故的值分别为4，5. （ii）若， 则 ,解得, 经检验，符合题意，故的值分别为5，9. （3）不妨设， 则在集合中，. 又中的所有元素能构成等差数列，设公差为， 则， 即，故. 当时，是集合A中互不相同的4项， 从而，与集合A具有性质矛盾. 当时，，即成等差数列，且公差也为， 故中的元素从小到大的前三项为， 且第四项只能是或. （i）若第四项为，则，从而， 于是，故，与集合A具有性质矛盾. （ii）若第四项为，则，故. 另一方面，，即. 于是， 故，与集合具有性质矛盾. 因此，. 由（2）知，时，存在集合A具有性质， 故集合中的元素个数存在最大值，最大值为4. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题，综合考查了学生的阅读理解接受并理解新信息的能力，解答的关键是理解新定义的含义并能依此解决问题，其中还要注意分类讨论与整合的思想方法. 【典型例题4】对于由m个正整数构成的有限集，记，特别规定，若集合M满足：对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A､B，使得成立，则称集合M为“满集”， （1）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由； （2）若由小到大能排列成公差为d()的等差数列，求证：集合M为“满集”的必要条件是或2； （3）若由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M是“满集” 【答案】（1）集合是“满集”，集合不是“满集”，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【知识点】等差数列的简单应用、等比数列的简单应用、数学归纳法、集合新定义 【解析】（1）分别求出和的子集，根据满集的定义说明即可； （2），对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A，B，使得成立，当时，可得或，可得，又时，不存在M的子集A，B，使得，可得； （3）可以数学归纳法证明. 【详解】（1）集合是“满集”，集合不是“满集”. 对于集合，，且共有4个子集：，，， 当k分别取1，2，3时，由；；； 故是“满集”； 对于集合，，且共有4个子集：，，， 当时，不存在的两个子集A，B，使得， 故不是“满集”； （2）∵，，…，由小到大能排列成公差为d()的等差数列， ∴，记 ∵M为“满集”， ∴对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A，B，使得成立， 当时，由，及知或， 若，则， ∴，此时， 若，则，在M的真子集中，最大，必有，此时，. 综上可得：∴ 若，当时，∵， ∴不存在M的子集A，B，使得，∴， 综合得：集合M为“满集”的必要条件是，d=1或2； （3）可得， 下面用数学归纳法证明： 任意，任意，存在的一个子集，使得， 当时显然成立， 设时结论也成立， 那么当时，任意的， 如果，根据归纳假设，存在的一个子集使得，此时也是的一个子集，结论成立， 如果，那么， 又， 所以， 所以， 根据归纳假设，存在的子集使得， 再令，结论成立， 所以任意，存在M的一个子集A，使得， 再令，则， 所以集合M是“满集”. 【点睛】本题考查集合的新定义问题和数列的应用，解题的关键是正确理解满集的定义. 【变式训练6-1】称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记为集合包含的好整点的个数．若，则正整数的最小值是（    ） A．1976 B．1977 C． D． 【答案】B 【解析】一方面：由题意，，使得不等式恒成立， 注意到， 等号成立当且仅当，即， 所以正整数应该满足， 另一方面：当时， 我们证明：成立， 证明过程如下： 注意到， 所以， ，记，则，， ， 即成立， 综合以上两方面，可知正整数的最小值是1977.故选：B. 【变式训练6-2】已知数列的通项公式为，其中常数． (1)若，求的值； (2)若前10项的和为1551，试分析的单调性； (3)对于常数t，记集合，试求当与t变化时，集合中元素个数的最大值． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)2. 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、求等比数列前n项和、判断或写出数列中的项、判断数列的增减性 【分析】（1）根据给定条件，代入计算即得. （2）利用等差数列、等比数列前n项和公式求出，再作差分析判断数列单调性即可. （3）作差，按分析判断数列的单调性，进而确定的解的个数即得答案. 【详解】（1）由，得，由，得，解得， 所以. （2）依题意，数列的前10项的和为，于是，解得， 对任意正整数， 则当时，；当时，，从而，并且， 所以数列从首项至第4项严格递减，从第四项起数列严格递增. （3）对任意正整数， 则当时，恒成立，因此数列严格递增，此时集合中的元素至多有1个； 而当时，，则当时，， 当时，，当时，， 因此数列的单调性为先严格递减(可能没有这一部分)，随后有相邻两项相等(也可能没有这一部分)，最终严格递增， 因此集合中的元素个数不会超过2， 而当时，1和2都是中的元素，所以集合中元素个数的最大值为2. 【点睛】关键点睛：涉及求数列最大项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答. 【变式训练6-3】集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”. （1）判断集合、是否为“好集合”； （2）若集合是“好集合”，求的值； （3）“好集合”的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）为“好集合”，不是“好集合”，理由见解析；（2）；（3）最大值为，理由见解析. 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、集合新定义 【分析】（1）写出集合、所对应的集合、，结合“好集合”的定义判断可得出结论； （2）将集合所对应的集合写出来，将集合中的元素由小到大依次排列，根据等差数列的定义可求得实数的值； （3）利用反证法证明出当时，通过“好集合”的定义推出矛盾，结合（2）中的结论可得结果. 【详解】（1）集合对应的集合，故集合为“好集合”. 集合对应的集合，集合的元素个数为，且， 故集合不是“好集合”； （2）集合对应的集合，且， 集合中的元素由小到大排列的顺序为、、、、、或、、、、、， 若数列、、、、、为等差数列，则这个等差数列的公差为， 所以，，解得； 若数列、、、、、为等差数列，则这个等差数列的公差为， 则，不合乎题意. 综上所述，； （3）“好集合”中元素个数存在最大值，理由如下： 由（2）可知，即为“好集合”，以下证明都不是好集合. 不妨设，记， 集合中所有元素从小到大排列为，构成的等差数列的公差为， 显然，，. 第一步，证明“好集合”的元素个数. （反证法）假设，以下分和两种情况进行讨论. ①若，可得，所以，，， 所以，，，， 在此后的两项和中，最小， 所以，，可得， 余下的项中，和较小，因为， 所以，，，则， 而，这与“集合中的元素个数为”矛盾； ②若，则，，余下的项中，和较小. （i）若，则，所以，， 这与“集合中的元素个数为”矛盾； （ii）若，则，， 在此后的两项之和中，最小， 所以，，所以，， 同理可得，所以，，这与“集合中的元素个数为”矛盾. 综上，假设不成立，所以，. 第二步，证明也不合乎要求. 当时，显然，，，，， 所以，，则，， 故，，， 因为，所以，、、、成等差数列，故， 这与“集合中的元素个数为”矛盾. 综上所述，“好集合”中的元素个数存在最大值. 【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在； （2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质. 【变式训练6-4】设集合，其中，，在M的所有元素个数为K（，2≤K≤n）的子集中，我们把每个K元子集的所有元素相加的和记为（，2≤K≤n），每个K元子集的最大元素之和记为（，2≤K≤n），每个K元子集的最小元素之和记为（，2≤K≤n）． (1)当n＝4时，求、的值； (2)当n＝10时，求的值； (3)对任意的n≥3，，给定的，2≤K≤n，是否为与n无关的定值？若是，请给出证明并求出这个定值：若不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)4620 (3)与n无关，为定值，证明过程见解析. 【知识点】集合新定义、组合数的性质及应用、组合数的计算、求等差数列前n项和 【分析】（1）将3元子集用列举法全部列举出来，从而求出、的值；（2）用组合知识得到每个元素出现的次数，进而用等差数列求和公式进行求解；（3）用组合及组合数公式先求出，再求出与的和，进而求出及比值. 【详解】（1）当时，，则3元子集分别为，则，. （2）当n＝10时，4元子集一共有个，其中从1到10，每个元素出现的次数均有次，故 （3）与n无关，为定值，证明过程如下： 对任意的n≥3，，给定的，2≤K≤n， 集合的所有含K个元素的子集个数为，这个子集中，最大元素为n的有个，最大元素为的有个，……，最大元素为的有个，……，最大元素为的有个，则①，其中，所以 ， 这个子集中，最小元素为1的有个，最小元素为2的有个，最小元素为3的有个，……，最小元素为（m+1）的有个，……，最小元素为的有个，则②，则①+②得：，所以，故，证毕. 【点睛】集合与组合知识相结合，要能充分利用组合及组合数的公式进行运算，当然在思考过程中，可以用简单的例子进行辅助思考. 【变式训练6-5】已知等差数列的公差，数列满足，集合. （1）若，求集合； （2）若，求使得集合恰好有两个元素； （3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值. 【答案】（1）；（2）或；（3） 【知识点】等差数列的简单应用、单位圆与周期性、根据元素与集合的关系求参数 【分析】（1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列周期为，从而得到；（2）恰好有两个元素，可知或者，求解得到的取值；（3）依次讨论的情况，当时，均可得到符合题意的集合；当时，对于，均无法得到符合题意的集合，从而通过讨论可知. 【详解】（1）， ，， ，，， 由周期性可知，以为周期进行循环 （2），， 恰好有两个元素 或 即或 或 （3）由恰好有个元素可知： 当时，，集合，符合题意； 当时，， 或 因为为公差的等差数列，故 又，故 当时，如图取，，符合条件    当时，， 或 因为为公差的等差数列，故 又，故 当时，如图取，，符合条件 当时，， 或 因为为公差的等差数列，故 又，故 当时，如图取时，，符合条件 当时，， 或 因为为公差的等差数列，故     又，故 当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，,不符合条件； 当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，不是整数，故不符合条件； 当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或 若，即，不是整数， 若，即，不是整数， 故不符合条件； 综上： 【点睛】本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量关系，从而得到的取值，再根据集合的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确定满足条件的；对于无法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的综合应用能力要求较高，属于难题. 【变式训练6-6】设自然数，若由n个不同的正整数，，…，构成的集合满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P． (1)试分别判断在集合与是否具有性质P，不必说明理由； (2)已知集合具有性质P． ①记，求证：对于任意正整数，都有； ②令，，求证：； (3)在（2）的条件下，求的最大值． 【答案】(1)不具有性质.具有性质. (2)见解析 (3)的最大值为. 【知识点】集合新定义、利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】（1）根据集合S具有性质P的定义结合反例可判断两个集合是否具有性质. （2）①根据也具有性质及其子集的个数可证；②根据①可证. （3）不妨设，利用（2）的结论可证，从而可求最大值. 【详解】（1）对于集合，因为，故集合的元素和相等， 故不具有性质. 对于，其共有15个非空子集： ， ， 各集合的和分别为：，，它们彼此相异， 故具有性质. （2）①因为具有性质，故对于任意的，也具有性质， 否则有两个非空子集，它们的元素和相等， 而也是的子集，故不具有性质，矛盾. 注意到共有个非空子集，每个子集的元素和相异， 且子集的和最大为，最小为，故. ②因为， 故 ， 由①可得，故. （3）不妨设， 设，则，由（2）可得，且. 而 ， 故， 当且仅当时等号成立， 即此时任意的正整数，即 故此时时等号成立，故的最大值为. 【点睛】思路点睛：对于与集合有关的新定义问题，注意根据定义检验，另外在问题解决的过程中，注意局部性质与整体性质的关系，注意利用已有的结果来解决后面的问题. 【变式训练6-7】若无穷数列满足：是正实数，当时，，则称是“数列”． (1)若是“数列”且，写出的所有可能值； (2)设是“数列”，证明：是等差数列的充分必要条件是单调递减； (3)若是“数列”且是周期数列（即存在正整数，使得对任意正整数，都有，求集合的元素个数的所有可能取值． 【答案】(1)所有可能值为，0，2，8 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【知识点】集合综合、数列新定义、数列周期性的应用、充要条件的证明 【分析】（1）根据定义写出即可； （2）利用已知条件，证明充分条件以及必要条件即可； （3）方法1：因为为周期数列，推出为周期数列，根据周期性推导出结果即可；方法2：设第一次出现大于的项为，则， 所以，与为周期数列矛盾，所以， 后面的分析与方法1一样. 【详解】（1）所有可能的情况有：，0， ，0，1，， ，0，2，，2，0，0，， 故的所有可能值为，0，2，8． （2）因为，所以或． 当是等差数列时，假设，则． 此时，而，矛盾，所以． 于是公差，所以单调递减； 当单调递减时，对任意，， 又，所以，从而是等差数列； 综上，是等差数列的充分必要条件是单调递减； （3）方法1：因为为周期数列，所以， 所以为周期数列，又， 所以 设一个周期里：， 因为，所以， 所以为定值， 因为，所以， 取，则有个， 取， 则有个， 取， 则有个， 取， 则有个， 依次取数得到1~1010个，个数最多有1011个. 方法2：设第一次出现大于的项为，则， 所以，与为周期数列矛盾， 所以， 取，则有个， 取， 则有个， 取， 则有个， 取， 则有个， 依次取数得到1~1010个，个数最多有1011个. 【变式训练6-8】已知集合，若且，则称 为集合生成的一个“交错数”，所有“交错数”组成的集合称为集合生成的交错集 （1）写出集合生成的交错集； （2）若集合，求证：集合的交错数各不相同； （3）无穷数列的前项和为，且对任意都有.记，判断集合生成的交错集与正整数集的关系，并说明理由. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）的交错集等于正整数集，理由见解析. 【知识点】数学归纳法证明其他问题、集合新定义 【分析】（1）根据集合称为集合生成的交错集的定义直接求得； （2）设，和为集合的两个不同交错数，分进行讨论，分别证明； （3）由题意求出，则为正整数，即，然后利用数学归纳法进行证明. 【详解】（1）由题意，集合生成的交错集为； （2）证明：则数列和数列不全相等 若x≠y，不妨设， 则 而 即， 同理，若，时，也可证明， 因为数列和数列不全相等，故总有.即集合的交错数各不相同. （3）由题意，，，故.显然，为正整数，即； 下面用数学归纳法证明，对任意正整数，均可表示为集合的一个交错数. 显然，，，，，且. 即形如的正整数都是集合的交错数，假设，时，有， 于是，当时，，根据归纳假设，存在数列， 使得 故 即可表示为集合的一个交错数. 综上，任意正整数均可表示为集合的一个交错数， 于是，所以，即的交错集等于正整数集.. 【点睛】（1）数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. （2）与自然数n有关的数学问题可以利用数学归纳法进行证明. 【变式训练6-9】定义：有限非空数集的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合，其“积数”. （1）若有限数集，求证：集合的所有非空子集的“积数”之和满足； （2）根据（1）的结论，对于有限非空数集（），记集合A的所有非空子集的“积数”之和，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明； （3）若有限集， ①试求由中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和奇数； ②试求由中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数. 【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）①；②. 【知识点】推理证明解决探究问题、集合新定义 【分析】（1）写出的所有非空子集，然后计算积数，并变形可证； （2）猜想，用数学归纳法证明； （3）设的元素个数为奇数个的所有非空子集的“积数”之和为，元素个数为偶数个的所有非空子集的“积数”之和为，则，构造集合，则，的元素个数为奇数个的所有非空子集的“积数”之和为，元素个数为偶数个的所有非空子集的“积数”之和为， 两者结合可得． 【详解】（1）证明：集A有七个非空子集 “积数”之和， 即 （2）解：有限数集，可得数集A中的所有非空子集的“积数”之和； 下面，证明（数学归纳法），改变一下记号，的积数和记为． 当时， 命题成立； 当时，，假设命题成立； 当时，由于，即在原来A中k个元素的基础上增加一个元素，那么集合中所有非空子集含盖了A中的所有非空子集，并增加了含有元素的子集，共 个 故它的“积数”之和包括，再增加了，即 因此，对一切命题成立. （3）解，有限数集的所有子集的积数之和 ， 设集合的所有非空子集的“积数”之和为，由于的所有非空子集包含元素个数为偶数个和奇数个两类，那么设元素个数为奇数个的所有非空子集的“积数”之和为，元素个数为偶数个的所有非空子集的“积数”之和为，则 再构造集合的所有非空子集的“积数”之和为，其元素个数为奇数个的所有非空子集的“积数”之和为，元素个数为偶数个的所有非空子集的“积数”之和为，则 . 所以奇数＝，偶数＝． 【点睛】本题考查集合新定义，解题关键是理解新定义，把问题转化为实数和的问题．考查归纳推理与数学归纳法，考查构造法，第（3）关键就是引入新集合，奇数＋奇数，则－奇数＋奇数，从而易得结论． 【变式训练6-10】设非空实数集中存在最大元素和最小元素，记. (1)已知，，且，求实数. (2)设，，是否存在实数，使得？若存在，求出所有满足条件的实数，若不存在说明理由. (3)设，函数在区间上值域记为，若对任意，函数都满足，求的取值范围. 【答案】(1). (2)存在，. (3). 【知识点】集合新定义、根据二次函数的最值或值域求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）根据题设新定义有，即可求实数. （2）根据二次函数的性质，讨论、、求的最值，结合定义求满足对应的实数，即可确定存在性. （3）根据对数复合函数的单调性易知在，上递减，由题设及对数的运算性质将问题转化为在上恒成立，即可求的取值范围. 【详解】（1）由题设有：，可得. （2）当时，，， ∴，可得与前提矛盾； 当，即时，，，， ∴，可得与前提矛盾； 当，即时，， ∴要使，则， 若，可得，则，易知，满足条件； 若，可得，同上也满足条件； 综上，存在使. （3）令，易知：在，上递减，而递增， ∴在，上递减， ∴，， 要使，即， ∴，整理得，又，， ∴在上恒成立，且开口向上、对称轴，， ∴只需，可得. 【点睛】关键点点睛：第三问，判断复合函数的单调性并求最值，根据新定义及对数的运算性质将问题转化为一元二次不等式在给定闭区间上恒成立，求参数范围. 【变式训练6-11】设函数，定义集合，集合． (1)若，写出相应的集合和； (2)若集合，求出所有满足条件的； (3)若集合只含有一个元素，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【知识点】集合新定义、根据集合中元素的个数求参数、根据二次函数零点的分布求参数的范围、与二次函数相关的复合函数问题 【分析】（1）由、解得，可得，； （2）由得或，然后由，，方程只有一个实数解0，得， 转化为有唯一实数解0，可得答案； （3）由条件，有唯一解，得有解，分有唯一解、有两个解，结合的图像和实数解的个数可得答案. 【详解】（1），，由解得或，由解得，所以，． （2）由 ， 得或， ，，而方程只有一个实数解0，所以， 即只需有唯一实数解0，所以． （3）由条件，有唯一解，所以有解， ①若有唯一解，则，且有唯一解，结合图像可知，所以，所以．②若有两个解， 则，且两个方程，总共只有一个解，结合图像可知有唯一解，所以，，所以，且的对称轴，所以，所以． 综上，． 【点睛】本题主题考查了二次函数与二次方程之间的关系的相互转换，方程根与系数的应用，考查了系数对新定义的理解能力及计算能力. 【变式训练6-12】已知某类数集中有个元素，这些元素的和为且它们的某种排列可以构成等差数列，我们就称这样的集合为“好集”.对于一系列互不相同的正整数，若好集满足：，，中的元素个数至多为1，且存在某些使它们的并集（）中元素的某种排列也为等差数列，我们就称可以构成“优集合”.特别的，规定下标最小的好集. (1)证明：好集可以构成优集合. (2)若好集可以构成优集合，证明：不全为偶数. (3)若好集可以构成优集合，试判断是否能为以1为首项的等比数列？若能，请求出所有的通项；若不能，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)能， 【解析】（1），，，（答案不唯一） （2）由于集合公差不影响结果，不妨设其公差为2.记，由等差数列的性质： 若全为偶数，则为偶数 ，而中的元素同样满足上述性质， 所以互为相反数的元素一定属于同一集合 而，所以中必有一个集合的元素公差为2，且公差必为偶数 不妨设，， ①的公差为2：则中有一个公差为， 那么另一个集合元素公差为且与中至少有一个不为， 不妨设，则中至少有一个集合必然存在公差为2和或的项， 这与中的元素的某种排列为等差数列矛盾，舍去； ②的公差不为2：则此时的相邻两项中包含的个元素， 这些元素中必有连续的不超过项来自公差为2的集合（不妨设为）， 那么中集合元素公差应不为2，这时，中元素必然存在公差为2与不为2的项， 这与中的元素的某种排列为等差数列矛盾，舍去， 故不全为偶数. （3）能.设的公比为，总项数为（为偶数）或（为奇数）， 因为，所以项数最多的集合公差最小为2，总项数至少为 ①为大于2的偶数，下试证：，即证： 而 ②为大于2的奇数，，由此说明：时不符合题意 ③时，给中元素从小到大编号：. 令，，， ，...，， 所有中元素总数为：，又假设，则： ，等式两边奇偶性不同，可以证明， 中最大元素为，故编号与集合中的元素一一对应， 由等差数列的性质：再证明：集合中任意两个下标和为的项其值和为， 这样令中编号为的元素为0，公差为1就得到了一系列： 成立， 所以. 【变式训练6-13】对于一个元正整数集，如果它能划分成个不相交的二元子集的并集，即，且存在，使得，则称这个偶数为可分数.例如，由于二元子集满足，则称2为可分数. (1)判断4和6是否为可分数，并说明理由； (2)求小于81的最大可分数； (3)记小于的可分数的个数为，令，记为数列的前项和，证明：. 【答案】(1)不是可分数；是可分数；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）令，①，； ②，；③，， 综上所述，不是可分数， 令，，由，， 则是可分数. （2）由，且，则令， 由，且， 则是小于最大的可分数. （3）设偶数为可分数，则存在使得， 由可知二元子集中两元素和的最大值为， 于是集合中所有大于等于的整数所在二元子集中两元素之和均为， 于是必定与在同一个二元子集中， 必定与在同一个二元子集中， 必定与在同一个二元子集中， 若，由可知不属于集合， 故无法对进行分组，此时不是可分数； 若，则分组之后还剩下大于等于的整数， 此时不是可分数； 若，则分组之后还剩下， 因为，则是可分数等价于也是可分数， 若，则可将划分成以下各组：， 每组中两元素之和均为，因此此时是可分数， 由于小于的可分数的个数为，则， 又小于3的可分数只能为2，则，于是， 故是首项为，公比为2的等比数列， 则，于是， 又， 因此. 【变式训练6-14】已知数列，记集合. (1)若数列为，写出集合； (2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； (3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值． 【解析】（1）由题意可得，，， 所以. （2）假设存在，使得， 则有， 由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同， 又，， 所以中必有大于等于的奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾， 故不存在，使得. （3）首先证明时，对任意的都有， 因为， 由于与均大于且奇偶性不同， 所以为奇数，对任意的都有， 其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和， 若正整数，其中， 则当时，由等差数列的性质可得： ，此时结论成立， 当时，由等差数列的性质可得： ，此时结论成立， 对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项， 由前面证明可知正整数不是中的项， 所以的最大值为. 【变式训练6-15】已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． (1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； (2)若，证明：； (3)设，若，求的最小值． 【解析】（1）31是，1024不是，理由如下： 由题意可知， 当时，有， 显然若时，， 而， 故31是可表数，1024不是可表数； （2）由题意可知若，即， 设，即使得， 所以，且成立，故， 所以若，则， 即中的元素个数不能超过中的元素， 对于确定的，中最多有个元素， 所以； （3）由题意可设，使， 又， 所以，即， 而， 即当时，取时，为可表数， 因为， 由三进制的基本事实可知，对任意的，存在， 使， 所以 ， 令，则有， 设， 由的任意性，对任意的， 都有， 又因为，所以对于任意的，为可表数， 综上，可知的最小值为，其中满足， 又当时，， 所以的最小值为. 【变式训练6-16】设为给定的正奇数，定义无穷数列：若是数列中的项，则记作. (1)若数列的前6项各不相同，写出的最小值及此时数列的前6项； (2)求证：集合是空集； (3)记集合正奇数，求集合.（若为任意的正奇数，求所有数列的相同元素构成的集合.） 【解析】（1）由题意，因为是正奇数， 当时，由，得，，这与前6项各不相同矛盾，不合题意； 当时，由，得，，，不合题意； 当时，由，得，，，，，符合题意； 综上，的最小值为5，此时数列的前6项为：. （2）证明：假设集合非空， 当时，，又是正奇数，，而，不合题意， 当时，，若，则需，又是正奇数，不合题意， 设中元素的最小值为（显然， 因为，所以，因此为奇数，且. 若，则为偶数， 但此时应有，与矛盾； 若，则，即，与的最小性矛盾. 因此假设不成立，集合为空集. （3）猜想. 因为，以下只需证对任意大于1的奇数，. 若，则，故只需证必存在. 由（2）知无穷数列中所有的项都属于集合， 因此必存在，使得，取其中的值最小的一组. 若，则； 若，则必有，与的最小性矛盾； 若，则必有，也与的最小性矛盾. 因此只能，因此，即. 综上，. 【变式训练6-17】已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)设表示不超过的最大整数（如：），求集合中元素的个数． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意可知， 因为， 所以， 解得，所以， ，故． （2）因为，所以，所以． 因为， 所以当时，，则，又，故； 当时，，则，故； 当时，，则，故； 当时，，则，故， 依次类推，当时，，则，故， 由于集合中的元素互异，需要减去重复出现的元素， 所以集合中元素的个数为 个． 【变式训练6-18】已知A为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.设.例如当时，，，，所以. (1)若，求的值； (2)设A是由3个正实数组成的集合且，；，证明：为定值； (3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意，设，.已知，，且对任意，，求数列的通项公式. 【解析】（1）当时，，， ，所以； （2）设，其中， 则， ， 因， ， 因， 所以，，，， 又 ， ，， 所以， 因，，， ， ， 因，，，， 所以，，，， ，，， 所以 所以为定值； （3）， 若， 则， , 故， ， 此时，不符合题意， 故， 猜想，下面给予证明， 当时，显然成立， 假设当，时，都有成立，即， 此时，， 故，， ，符合题意， ， 则， ， 若， 的元素个数小于 的元素个数， 则有， 不符合题意，故， 综上，对于任意的，都有， 故数列的通项公式. 【变式训练6-19】正整数集合，且，，中所有元素和为，集合. (1)若，请直接写出集合； (2)若集合中有且只有两个元素，求证“为等差数列”的充分必要条件是“集合中有个元素”； (3)若，求的最小值，以及当取最小值时，最小值. 【解析】（1） （2）若为等差数列， 不妨设 ，且， ， ， ， 中有个元素， “为等差数列”是“集合中有个元素”充分条件 若集合中有个元素，则至少有如下有个元素 又有如下个元素 ， ， ， “为等差数列”是“集合中有个元素”必要条件 综上，“为等差数列”是“集合中有个元素”充要条件. （3）由题意，， ， 又 ，且此时，最小值为. 【变式训练6-20】已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数. (1)若，求的值； (2)若，且，求； (3)证明：存在，满足 使得． 【解】（1）由题意可知：， 当时，则，故； 当时，则，故； 当时，则故； 当时，则，故； 综上所述：，，，. （2）由题意可知：，且， 因为，且，则对任意恒成立， 所以， 又因为，则，即， 可得， 反证：假设满足的最小正整数为， 当时，则；当时，则， 则， 又因为，则， 假设不成立，故， 即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以. （3）因为均为正整数，则均为递增数列， （ⅰ）若，则可取，满足 使得； （ⅱ）若，则， 构建，由题意可得：，且为整数， 反证，假设存在正整数，使得， 则，可得， 这与相矛盾，故对任意，均有. ①若存在正整数，使得，即， 可取， 满足，使得； ②若不存在正整数，使得， 因为，且， 所以必存在，使得， 即，可得， 可取， 满足，使得； （ⅲ）若， 定义，则， 构建，由题意可得：，且为整数， 反证，假设存在正整数，使得， 则，可得， 这与相矛盾，故对任意，均有. ①若存在正整数，使得，即， 可取， 即满足，使得； ②若不存在正整数，使得， 因为，且， 所以必存在，使得， 即，可得， 可取， 满足，使得. 综上所述：存在使得． 【解题技法】若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 【变式训练6-21】设集合．对于给定有穷数列，及序列，，定义变换：将数列的第项加1，得到数列；将数列的第列加，得到数列…；重复上述操作，得到数列，记为． (1)给定数列和序列，写出； (2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由； (3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，证明：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为“”． 【解】（1）由题意得； （2）假设存在符合条件的，可知的第项之和为，第项之和为， 则，而该方程组无解，故假设不成立， 故不存在符合条件的； （3）我们设序列为，特别规定. 必要性： 若存在序列，使得为常数列. 则，所以. 根据的定义，显然有，这里，. 所以不断使用该式就得到，，必要性得证. 充分性： 若. 由已知，为偶数，而，所以也是偶数. 我们设是通过合法的序列的变换能得到的所有可能的数列中，使得最小的一个. 上面已经证明，这里，. 从而由可得. 同时，由于总是偶数，所以和的奇偶性保持不变，从而和都是偶数. 下面证明不存在使得. 假设存在，根据对称性，不妨设，，即. 情况1：若，则由和都是偶数，知. 对该数列连续作四次变换后，新的相比原来的减少，这与的最小性矛盾； 情况2：若，不妨设. 情况2-1：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相比原来的至少减少，这与的最小性矛盾； 情况2-2：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相比原来的至少减少，这与的最小性矛盾. 这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的都有. 假设存在使得，则是奇数，所以都是奇数，设为. 则此时对任意，由可知必有. 而和都是偶数，故集合中的四个元素之和为偶数，对该数列进行一次变换，则该数列成为常数列，新的等于零，比原来的更小，这与的最小性矛盾. 综上，只可能，而，故是常数列，充分性得证. 【变式训练6-22】已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列． (1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； (2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4； (3)若为连续可表数列，且，求证：． 【解】（1），，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列． （2）若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾； 当时,数列，满足，，，，，，，， ． （3），若最多有种，若，最多有种，所以最多有种， 若，则至多可表个数，矛盾, 从而若,则，至多可表个数， 而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ， 则所有数之和，， ，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个， （仅一种方式）， 与2相邻， 若不在两端,则形式， 若，则（有2种结果相同，方式矛盾）， ， 同理 ，故在一端，不妨为形式， 若,则 （有2种结果相同，矛盾），同理不行， ，则 （有2种结果相同，矛盾），从而， 由于,由表法唯一知3,4不相邻,、 故只能，①或，② 这2种情形， 对①：，矛盾， 对②：，也矛盾，综上， 当时，数列满足题意， ． 【变式训练6-23】已知数列，记集合. (1)若数列为，写出集合； (2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； (3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值． 【解】（1）由题意可得，，， 所以. （2）假设存在，使得， 则有， 由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同， 又，， 所以中必有大于等于的奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾， 故不存在，使得. （3）首先证明时，对任意的都有， 因为， 由于与均大于且奇偶性不同， 所以为奇数，对任意的都有， 其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和， 若正整数，其中， 则当时，由等差数列的性质可得： ，此时结论成立， 当时，由等差数列的性质可得： ，此时结论成立， 对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项， 由前面证明可知正整数不是中的项， 所以的最大值为. 【变式训练6-24】已知，集合其中. (1)求中最小的元素； (2)设，，且，求的值； (3)记，，若集合中的元素个数为，求. 【解析】（1）中的最小元素为. （2）由题得，设，. ①当时，或或或或或. 经检验，当时，，符合题意， 所以. ②当时，或或或. 经检验，当时，，符合题意， 所以. ③当时，不符合题意. 因此，或10. （3）设，则，其中， ，所以， 设，则. 因为， 所以 . 因为， 所以，所以， 又因为，所以. 【变式训练6-25】已知集合，定义：当时，把集合中所有的数从小到大排列成数列，数列的前项和为.例如：时，，. (1)写出，并求； (2)判断88是否为数列中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由； (3)若2024是数列中的某一项，求及的值. 【解析】（1）因为，此时， ， . （2）当时，， 是数列中的项， 比它小的项分别有个， 有个， 有个， 所以比88小的项共有个，故88是数列的第30项. （3）是数列中的项，故， 则当时，， 方法一：比它小的项分别有以下7种情况： ①个数字任取7个得个， ②，得个， ③，得个， ④，得个， ⑤，得个， ⑥，得个， ⑦，得个， 所以比2024小的项共有个， 其中 故2024是数列的第329项，即. 方法二：共有元素个， 最大的是，其次为， 所以2024是数列的第项，即. 在总共项中，含有的项共有个，同理都各有个，所以，则. 【变式训练6-26】将2024表示成5个正整数，，，，之和，得到方程①，称五元有序数组为方程①的解，对于上述的五元有序数组，当时，若，则称是密集的一组解. (1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由； (2)方程①的解中共有多少组是密集的? (3)记，问是否存在最小值?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）若等于同一常数， 根据等差数列的定义可得构成等差数列，所以， 解得，与矛盾， 所以不存在一组解，使得等于同一常数； （2）因为， 依题意时，即当时，， 所以，， 设有个，则有个，由，解得， 所以，，，，中有个，个， 所以方程①的解共有组. （3）因为平均数， 又方差，即， 所以，因为为常数，所以当方差取最小值时取最小值， 又当时，即，方程无正整数解，故舍去； 当时，即是密集时，取得最小值， 且. 【变式训练6-27】设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为. (1)直接写出的所有自邻集； (2)若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数； (3)若，求证：. 【解析】（1）由题意可得，的所有自邻集有：； （2）对于的含5个元素的自邻集， 不妨设. 因为对于，都有或，，2，3，4，5， 所以，，或. 对于集合，，，，， 因为，所以，，2，3，4，5， ， 所以. 因为，，或. 所以，， 或， 所以对于任意或，，2，3，4，5， 所以集合也是自邻集. 因为当为偶数时，， 所以. 所以对于集合的含5个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应. 所以，的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数. （3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，， 当时，，， 显然. 下面证明：. ①自邻集含有，，这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为 因为，，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素是， 所以含有，，这三个元素的自邻集的个数为. ②自邻集含有，这两个元素，不含，且不只有，这两个元素， 记自邻集除，之外最大元素为，则，每个自邻集去掉，这两个元素后，仍为自邻集. 此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为个； 其中含有最大数为2的集合个数为， 含有最大数为3的集合个数为，， 含有最大数为的集合个数为. 则这样的集合共有个. ③自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个. 综上可得， 所以， 故时，得证. 【变式训练6-28】在数列中，设是数列的前项和，并规定，定义集合，中元素的个数为. (1)在数列中，若，，，，，，，，求； (2)若，满足， ①证明：集合非空； ②证明：当，时，. 【答案】(1)；(2)①证明见解析；②证明见解析. 【解析】（1）因为，，，，，，，，， 因为， 所以，所以， （2）①证明：由已知得， 若对中的任意正整数 ，满足， 则，即，所以； 若在中存在 ，使得为中从左到右出现的第一个正数， 则，所以. 综上所述，集合非空. ②由集合非空，设(不妨设从小到大排列)， 显然. 由集合的定义知，且是使得成立的最小的， 即是中最大的，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以， 即. 由的定义得， 因为，所以， 因为，所以，即， 因为是中最大的，所以，即 ， 所以，所以， 因为，所以， 因为，所以，所以. 【变式训练6-29】已知集合具有性质：对任意且，与至少一个属于． (1)分别判断集合与是否具有性质，并说明理由； (2)具有性质，当时，求集合； (3)记，求． 【答案】(1)集合具有性质，集合不具有性质 (2) (3) 【分析】（1）由性质定义判断即可； （2）由定义知，，可得，再由，，可分析出，即可得解； （3）由得，再由，可得，，即可得到，，，，，累加即可得到的值，进而代入求解即可得答案. 【详解】（1）集合中，因为，，， ，，，， 所以集合具有性质； 集合中，因为，，所以集合不具有性质； （2）因为，且具有性质， 由于，所以， 则，所以， 又因为，所以，则， 由集合的互异性可知，，而，所以， 故集合； （3）因为具有性质， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 所以，，，，， 所以， 即， 所以， 故. 【点睛】方法点睛：集合新定义问题的处理方法： ①找：要抓住新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，然后找出要素分别是什么； ②看：看所求是什么？ ③代：将已知条件代入新定义的要素； ④解：结合数学知识进行解答. 【变式训练6-30】已知A为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.设.例如当时，，，，所以. (1)若，求的值； (2)设A是由3个正实数组成的集合且，；，证明：为定值； (3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意，设，.已知，，且对任意，，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题中的定义，列举出，即可； （2）先列举，，，中可能元素，根据集合的互异性判断元素个数差即可； （3）类比（1）（2）当数列由到，为保证成立，则必有其成等差数列，故猜想，可用数学归纳法给予证明. 【详解】（1）当时，，， ，所以； （2）设，其中， 则， ， 因， ， 因， 所以，，，， 又 ， ，， 所以， 因，，， ， ， 因，，，， 所以，，，， ，，， 所以 所以为定值； （3）， 若， 则， , 故， ， 此时，不符合题意， 故， 猜想，下面给予证明， 当时，显然成立， 假设当，时，都有成立，即， 此时，， 故，， ，符合题意， ， 则， ， 若， 的元素个数小于 的元素个数， 则有， 不符合题意，故， 综上，对于任意的，都有， 故数列的通项公式. 【点睛】关键点点睛：本题的核心是利用集合的新定义，列举集合中元素，注意集合的互异性，进而得到集合的元素个数. 题型07：集合与数论交汇问题 集合与数论交汇问题通常涉及集合的元素和数论的性质，如整除性、质数、最大公约数、最小公倍数等．解决这类问题的关键在于准确理解集合的元素和数论性质之间的关系，合理构建集合模型，灵活运用各种解题方法，并进行严格的推理和验证．通过多做类似的题目，积累经验，可以提高解题的效率和准确性． 【典型例题1】若集合且，则称构成的一个二次划分.任意给定一个正整数，可以给出整数集的一个次划分，其中表示除以余数为的所有整数构成的集合.这样我们得到集合，称作模的剩余类集.模的剩余类集可定义加减乘三种运算，如，（其中为除以的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过定义倒数就可以了，但不是所有中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域.那么下面说法错误的是（    ） A．能构成素域当且仅当是素数 B． C．是最小的素域（元素个数最少） D． 【答案】D 【解析】能构成素域当且仅当是素数，理由如下： 当为素数时，除0外，均与互素，此数记作， 对于，考虑， 若，则为的倍数， 而为素数，故，故为的倍数，即， 故存在，使得即可定义除法. 当能构成素域，若是不素数，则， 故对于，存在，使得，故为的倍数， 故存在整数，使得，故， 但，且为非零的整数，故不成立，故是素数. 综上：能构成素域当且仅当是素数，A正确； 因为，所以，B正确； 根据A选项，由于2为最小的素数，有2个元素，元素个数最少， 所以是最小的素域（元素个数最少），C正确； 因为，所以，D错误；故选：D. 【典型例题2】离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为． (1)若，求； (2)对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中； (3)已知．对，令．证明：． 【答案】(1)1；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）若，又注意到，所以. （2）【方法一】：当时，此时，此时，， 故， 此时. 当时，因相异，故， 而，故互质. 记， 则，使得， 故，故， 设，则， 因为除以的余数两两相异， 且除以的余数两两相异， 故，故， 故，而其中， 故即. 法2：记，，， 其中，，k是整数，则， 可知． 因为1，a，，…，两两不同， 所以存在，使得， 即可以被p整除，于是可以被p整除，即． 若，则，，因此，．   记，，，其中l是整数， 则， 即． （3）【方法二】：当时，由（2）可得，若，则也成立. 因为，所以. 另一方面， . 由于，所以. 法2：由题设和（2）的法2的证明知： ， ． 故 ． 由（2）法2的证明知，所以． 【变式训练7-1】由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合M满足：对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A，B，使得成立，则称集合为“满集”. (1)分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由； (2)若集合为“满集”，求的值： (3)若为满集，，求的最小值. 【答案】(1)为“满集”,不是“满集”；(2)；(3) 【解析】（1）， 当时，取的子集为，则， 当时，取的子集为，则， 当时，取的子集为，则， 故为“满集”. 而，设为的两个子集， 若，则， 则，故，，矛盾，故不是“满集”. （2）若，则，取， 依题意，存在设为的两个子集，使得， 则， 而或，若，则， 这与矛盾，故即，此时， 因，故对的任意真子集，总有， 故不成立，而时，， 故对的任意子集，总不成立，即不成立即. （3）因为为满集，由（2）可得， 若，对于集合，考虑集合对的总数， 因为中的任意一个元素，可放置在中的任何一个， 故集合对的总数为， 由这些集合对得到的的不同个数最多为， 这与集合为满集矛盾. 所以，取， 此时， 下证：为满集. 证明：考虑集合 设，则， ， 若，则， 否则，设与中从左到右第一个不对应相等的项的下标， 则，不妨设， 若， 则 ， 而， 故，与矛盾， 若， 同理可得，与矛盾， 若， 则 而， 故，与矛盾， 故中的元素两两相异. 中的最小值为0，最大值为， 故. （i）任意的，则， 因为， 故， 构造集合如下：若，则，若，则， 故. （ii）若，故， 由（i）中分析可得存在集合，使得， 其中，令，则. 由（i）（ii）可得为满集，故的最小值为. 【变式训练7-2】对给定的整数，若在数集中任取个元素，都可以通过这个元素进行加减乘除四则运算（每个元素都必须使用且只能使用1次），使其结果为的整数倍，则称整数具有性质. (1)若，，请分别判断5是否具有性质和，并说明理由； (2)求证：3具有性质，其中表示整数集； (3)若12具有性质，求的最小值，其中表示整数集. 【答案】(1)5不具有性质，5具有性质；(2)证明见解析；(3)的最小值是 【解析】（1）若从中选和两个元素，进行四则运算均得不到的整数倍， 所以5不具有性质， 若从中任选两个元素，则通过相减即可得到的整数倍， 所以5具有性质； （2）若任取两个元素之一是三的倍数， 则他们的乘积是的倍数，若任取的两个元素被除都余或， 则他们的差是的倍数，若任取的两个元素一个被除余，另一个被除余， 则他们的和是的倍数，所以3具有性质； （3）设任取两个元素一个为，另一个为， 取，，易证明，，，均不是的倍数， 所以任取两个元素不能凑出的倍数， 设任取三个元素分别为， 若至少两个余数相同，则两个余数相同的数的差一定是的倍数， 故差与另一个数的乘积为4的倍数. 若这三个元素除的余数相异， 第一种情况，若有个元素是的倍数，这三个元素的乘积为的倍数， 第二种情况，3个数都不是4的倍数， 设，，， 则，则是的倍数， 已经证明任意三个元素可以凑出的倍数， 根据（2）可知任意两个元素可以凑出的倍数，根据题意这两个数不能再使用， 取这两个数，然后再任取个数，按照以上证明方法凑出的倍数， 它们的乘积就是的倍数，所以的最小值是. 【变式训练7-3】将2024表示成5个正整数，，，，之和，得到方程①，称五元有序数组为方程①的解，对于上述的五元有序数组，当时，若，则称是密集的一组解. (1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由； (2)方程①的解中共有多少组是密集的? (3)记，问是否存在最小值?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) (3)存在，最小值为. 【分析】（1）若等于同一常数，则构成等差数列，根据等差数列下标和性质得到，推出矛盾即可得解； （2）依题意时，即当时，，则，，即可求出，，，，中有个，个，从而得解； （3）由方差公式得到（为方差），从而得到当方差取最小值时取最小值，从而推出是密集，即可求出的最小值. 【详解】（1）若等于同一常数， 根据等差数列的定义可得构成等差数列，所以， 解得，与矛盾， 所以不存在一组解，使得等于同一常数； （2）因为， 依题意时，即当时，， 所以，， 设有个，则有个，由，解得， 所以，，，，中有个，个， 所以方程①的解共有组. （3）因为平均数， 又方差，即， 所以，因为为常数，所以当方差取最小值时取最小值， 又当时，即，方程无正整数解，故舍去； 当时，即是密集时，取得最小值， 且. 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题关键是理解题意，第三问的关键是方差公式的应用. 题型08：集合映射交汇问题 【典型例题1】设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射． (1)试在上给出一个非单射的映射； (2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则； (3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明过程见解析 (3)证明过程见解析 【分析】 （1）结合单射的定义举出符合条件的例子即可； （2）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可； （3）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可. 【详解】（1）由题意不妨设，当（非0）互为相反数时，满足题意； （2）一方面若是单射，且，则，即（否则若，有，矛盾）， 另一方面，若对任意，由可以得到， 我们用反证法证明是单射， 假设不是单射，即存在，有， 又由可以得到，即，这就产生了矛盾， 所以是单射， 综上所述，命题得证； （3）一方面若是单射，则由可得， 同理存在单射，使得，，有， 另一方面，若存在映射，使对任意，有， 我们用反证法来证明是单射， 若不是单射，即存在，有， 又若，则由题意，这与产生矛盾， 所以此时是单射， 综上所述，命题得证. 【点睛】 关键点点睛：后面两问的关键是结合单射的定义、反证法从两方面来说明，由此即可顺利得证. 【典型例题2】若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B． 设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记． (1)若，，写出Y，并求； (2)若，，求所有的总和； (3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解； （2）对1，，5是否属于B进行分类讨论，求出对应所有Y中的总个数，进而求解； （3）由题意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以． （2）对1，，5是否属于B进行讨论： ①含1的B的个数为，此时在映射f下，； 不含1的B的个数为，此时在映射f下，； 所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10； ②含5的B的个数为，此时在映射f下，； 不含5的B的个数为，此时在映射f下，； 所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10； ②含的B的个数为，此时在映射f下，，； 不含的B的个数为，此时在映射f下，，； 所以所有y中的总个数和的总个数均为20． 综上，所有的总和为． （3）对于给定的，考虑在映射f下的变化． 由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共个， 所以在映射f下变为； 不含的子集B共个，在映射f下变为； 所以在映射f下得到的所有的和为． 同理，在映射f下得到的所有（）的和． 所以所有的总和为． 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点. 【变式训练8-1】若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B． 设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记． (1)若，，写出Y，并求； (2)若，，求所有的总和； (3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）． 【解析】（1）由题意知，， 所以． （2）对1，，5是否属于B进行讨论： ①含1的B的个数为，此时在映射f下，； 不含1的B的个数为，此时在映射f下，； 所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10； ②含5的B的个数为，此时在映射f下，； 不含5的B的个数为，此时在映射f下，； 所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10； ②含的B的个数为，此时在映射f下，，； 不含的B的个数为，此时在映射f下，，； 所以所有y中的总个数和的总个数均为20． 综上，所有的总和为． （3）对于给定的，考虑在映射f下的变化． 由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共个， 所以在映射f下变为； 不含的子集B共个，在映射f下变为； 所以在映射f下得到的所有的和为． 同理，在映射f下得到的所有（）的和． 所以所有的总和为． 【变式训练8-2】若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B． 设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记． (1)若，，写出Y，并求； (2)若，，求所有的总和； (3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）． 【解析】（1）由题意知，， 所以． （2）对1，，5是否属于B进行讨论： ①含1的B的个数为，此时在映射f下，； 不含1的B的个数为，此时在映射f下，； 所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10； ②含5的B的个数为，此时在映射f下，； 不含5的B的个数为，此时在映射f下，； 所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10； ②含的B的个数为，此时在映射f下，，； 不含的B的个数为，此时在映射f下，，； 所以所有y中的总个数和的总个数均为20． 综上，所有的总和为． （3）对于给定的，考虑在映射f下的变化． 由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共个， 所以在映射f下变为； 不含的子集B共个，在映射f下变为； 所以在映射f下得到的所有的和为． 同理，在映射f下得到的所有（）的和． 所以所有的总和为． 【变式训练8-3】设，是非空集合，定义二元有序对集合为和的笛卡尔积.若，则称是到的一个关系.当时，则称与是相关的，记作.已知非空集合上的关系是的一个子集，若满足，有，则称是自反的：若，有，则，则称是对称的；若，有，，则，则称是传递的.且同时满足以上三种关系时，则称是集合中的一个等价关系，记作~. (1)设，，，，求集合与； (2)设是非空有限集合中的一个等价关系，记中的子集为的等价类，求证：存在有限个元素，使得，且对任意，； (3)已知数列是公差为1的等差数列，其中，，数列满足，其中，前项和为.若给出上的两个关系和，请求出关系，判断是否为上的等价关系.如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合. 【解析】（1）由，， ， 当时，有，当时，有，当时，有， 有， 又，， 当时，有，当时，有，当时，有， 则； （2）是中的一个等价关系，由自反性可知，故不为空集， 若，不妨假设， 必有与，由自反性可知即， 再由传递性可知， ，则，而，即， 于是由传递性有，故， ， 同理可证明，， 综上所述，，总有或， 任取构成，又任取构成， 再任取构成， 以此类推，是有限集合， 结合上述结论可知必存在有限个元素， 使得，其中； （3），，， 故，，必存在. 由题意可知当时，有， 整理即：， 将代入得：， 即， 数列为等差数列，设其公差为. 当时，有，显然成立. 当时，，，即数列不为常数列， 则， ， ，即， 由. 而， ， 而，显然此方程无解， ，与题意矛盾， 综上所述只有. . ，由于数列不为常数列， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 故为奇数. . ， 而为奇数，与一奇一偶，，，，三奇一偶或两奇两偶， 又，，，，不可能三奇一偶， 故，均为奇数，，均为偶数或，均为偶数，，均为奇数. . 当时，， 是自反的； 当，将，与，取值对调， 则，是对称的； 当与，即， 其中，，为奇数，，，为偶数或，，为偶数，，，为奇数， ，是传递的， 综上所述，是上的等价关系， 其中. 【变式训练8-4】设为非空集合，定义（其中表示有序对），称的任意非空子集为上的一个关系.例如时，与都是上的关系.设为非空集合上的关系.给出如下定义：①（自反性）若对任意，有，则称在上是自反的；②（对称性）若对任意，有，则称在上是对称的；③（传递性）若对任意，有，则称在上是传递的.如果上关系同时满足上述3条性质，则称为上的等价关系.任给集合，定义为. (1)若，问：上关系有多少个？上等价关系有多少个？（不必说明理由） (2)若集合有个元素，的非空子集两两交集为空集，且，求证：为上的等价关系. (3)若集合有个元素，问：对上的任意等价关系，是否存在的非空子集，其中任意两个交集为空集，且，使得？请判断并说明理由. 【解析】（1）由题意得，共有个元素，则有个非空子集，即上的关系有个. 所有等价关系,,,,,共有个. （2）证明：令， 因为的非空子集两两交集为空集，且 设，则除了集合外，其余集合不包含. 则，又因为，则，即在上是自反的. 设，则除了集合外，其余集合不包含. 则，又因为，则，即在上是对称的. 设，则除了集合外，其余集合不包含. 则， 又因为， 则，即在上是传递的. 综上所述，为上的等价关系 （3）令， 因为为上的等价关系，则为集合的非空子集. 因为的非空子集两两交集为空集，且 设，则除了集合外，其余集合不包含. 则，必有，则. 设，则除了集合外，其余集合不包含. 则，则必有，故， 设，则除了集合外，其余集合不包含. 则，则，必有，则. 故，不管集合中有几个元素，都能保证，则. 综上所述，对上的任意等价关系，存在的非空子集，其中任意两个交集为空集，且，使得. 题型09：集合与函数交汇问题 【典型例题】已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由函数在区间上的单调性求参数、由对数函数的单调性解不等式、集合新定义 【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解； （2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性； （3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解. 【详解】（1）由定义得，. （2）证明： 必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，， 时，， 所以； 综上，. 【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立. 【变式训练9-1】已知非常数函数的定义域为D，如果存在正数T，使得对任意x∈D，都有恒成立，则称函数具有性质． (1)分别判断下列函数是否具有性质，并说明理由； ①；    ②． (2)若具有性质，，，表示的前n项和，，若恒成立，求a的取值范围； (3)设连续函数具有性质，且存在M＞0，使得对任意x∈R，都有成立，求证：是周期函数． 【答案】(1)函数具有性质，函数不具有性质； (2)或； (3)证明见解析. 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数新定义 【分析】(1)根据性质的定义判断，(2)由条件求，再由数列求和公式求，解不等式求；(3)由条件证明函数具有性质，由此证明是周期函数． 【详解】（1）因为，所以， 所以函数具有性质， 因为，所以， 所以函数不具有性质； （2）因为具有性质，所以 又，， 所以， ， 所以， 所以， ， 所以， 所以， 当时，，， 因为， 所以，即， 所以， 因为恒成立，所以， 所以， 当时，可化为，解不等式可得， 当时，可化为，化简可的， 所以或； （3）设在区间上的最大值为， 因为函数具有性质，, 若，则，，， ，所以， 即函数在区间上的最大值为， 令，则, 所以当取比大的整数时，则，与条件矛盾， 若，则，，， ，所以， 即函数在区间上的最大值为， 令，则, 所以当取比大的整数时，则，与条件矛盾， 故,所以函数具有性质， 即，所以是周期函数． 【点睛】函数的新定义问题的解决的关键在于准确理解定义. 【变式训练9-2】（1）已知集合，且，求实数的取值范围； （2）已知函数（常数）问：是否存在整数，使该函数在区间上是严格减函数，并且函数值不恒为负？若存在，求出符合条件的，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或. 【知识点】几何意义解绝对值不等式、分式不等式、根据函数的单调性求参数值、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）求解绝对值不等式与分式不等式可得集合，再根据集合的包含关系列不等式组求解；（2）利用分离常数法将函数化为，由函数单调递减，根据反比例函数的性质可得，再将函数值不恒为负转化为在上有解，从而得在上有解，即得在上有解，求解得的范围，再结合可求解出值. 【详解】（1）求解，得， 所以集合， 求解，得， 所以集合， 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为函数， 要使该函数在上是严格减函数， 由反比例函数的性质可得，，得. 要使函数值不恒为负，则在上有解， 即在上有解，因为， 只需，即在上有解， 解得，又且， 所以或 【变式训练9-3】已知，不等式的解集为，不等式的解集. (1)求集合： (2)设函数的定义域为，若，求实数的取值范围； (3)若函数在上严格单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】分式不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题、由函数在区间上的单调性求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）根据不等式的解集为，即可求解的值，不等式，利用移项，通分，转化不等式求解． （2）问题转化为：不等式在，上有解，再用分离参数法求解即可； （3）函数单调性问题转化为不等式恒成立处理即可. 【详解】（1）不等式的解集为，即．可得：， 不等式的解集为，显然，解得，， 不等式可写成，，解得，，，即，； （2）函数的定义域为， 且，问题等价转化为：不等式在，上有解， 分离参数得，，其中，，所以，， 由于，，，所以，， 故实数的取值范围为：． （3）若函数在上单调递减， 则在上恒成立，即，恒成立， 解得： 【变式训练9-4】记集合． (1)若，求证：； (2)设集合且，若，，求的取值范围； (3)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析． 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、定义法判断或证明函数的单调性、根据元素与集合的关系求参数、判断元素与集合的关系 【分析】（1）由定义法可得到函数的单调性，进而得到函数最值；（2）由题意得到，故得到解不等式组即可得到结果；（3）设，，可判断出，又因为，故可得到最终结果. 【详解】（1）， 设 故函数为增函数 函数值域为： 故得证. （2）由题意得到 解得. （3）设 又 故得证 【变式训练9-5】对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合. (1)分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由， ①；②； (2)若（）是集合中的元素，求的最小值； (3)若，求证：是的充分不必要条件. 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）判断①时，取结合定义进行分析；判断②时，根据的结果进行分析； （2）分别考虑： ，然后根据定义结合对数运算以及对数函数单调性分析出时，时，由此可确定出的最小值； （3）根据定义直接分析充分性，证明必要性成立时取，然后分析在上的单调性，由此推出矛盾完成证明. 【详解】（1）①不是. 当时，， ， 所以不是集合中的元素； ②是. ，， 所以是集合中的元素. （2）当时，，， ， 因为，在上单调递减， 故成立，即； 若，令，， ， 因为，在上单调递减， 所以，因此， 综上所述，的最小值为1. （3）充分性：因为，所以，，，进而， 同理，相加得，即，所以充分性满足； 必要性：设，，， 所以，此时，当时，， 所以在上单调递减，因此，所以必要性不满足； 综上所述，是的充分不必要条件. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，涉及参数范围求解、充分不必要条件的证明等问题，对学生的分析与推理能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键：证明充分性时，通过将和加起来，以此证明；证明必要性时，构造并分析的单调性是证明的关键. 题型10：集合与三角函数综合题 【典型例题】已知是等差数列，，存在正整数，使得，，.若集合中只含有4个元素，则t的可能取值有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】集合新定义、等差数列的应用、由单位圆求三角函数值 【分析】考虑不符合题意，时，列举出满足条件的集合，再考虑时不成立，得到答案. 【详解】当时，，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合； 当时，，取，此时，满足条件； 当时，，即，即， 所以，或，（舍）， 故解得，此时在单位圆上的5等分点， 取到的，，，，，不可能取到4个不同的正弦值，故不满足； 当时，，取，此时，满足条件； 当时，，取，此时，满足条件； 当时，，取，此时，满足条件； 故选：C 【点睛】思路点睛：关于新定义集合的思路有： （1）根据题意，先写出几项，找出规律； （2）找到新集合和旧集合之间的关系； （3）分情况讨论，结合题意，找出适合的答案即可. 【变式训练10-1】已知的三边长之比为5∶6∶9，记的三个内角的正切值所组成的集合为M，则集合M中的最大元素为 ． 【答案】/ 【知识点】集合新定义、余弦定理解三角形、已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】首先得出，再结合余弦定理以及平方关系、商数关系即可求解. 【详解】如图所示： 不失一般性，不妨分别设，则由余弦定理有， 故是钝角，是锐角， 则由大边对大角可得，所以， 又函数在上递增，此时，在上递增，此时， 所以三个内角的正切值最大为， ，， 所以集合M中的最大元素为. 故答案为：. 【变式训练10-2】对开区间，定义，当实数集合为段（为正整数）互不相交的开区间的并集时，定义，若对任意上述形式的的子集，总存在，使得，其中，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、函数不等式恒成立问题、集合新定义、半角公式 【分析】利用三角函数的公式和性质解不等式，再结合任意和存在把不等式问题转化成最值问题，求出最值即可得解. 【详解】不等式平方可得 解得 设集合，发现对任意，， 根据题意知，当，恒成立； 当时，因为对任意的的子集不等式都成立，所以让大于等于的最大值，即，又因为总存在，使，所以让的最大值大于等于，即；正好取最大值时，也取得最大值，所以，解得； 综上所述，最大值为. 故答案为：. 【点睛】恒成立和存在问题的解题思路： ①恒成立，则；存在，则； ②恒成立，则；存在，则. 题型11：集合与导数综合题 【典型例题】对任意数集，满足表达式为且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为 . 【答案】643 【知识点】集合新定义、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质并作出图象，求出集合B，进而求得答案作答. 【详解】，当或时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值0，当时，该函数取得极小值，图象如图：    观察图象知，当与图像有一个公共点时，相应的有1种取法； 当与图像有两个公共点时，相应的有种取法； 当与图像有三个公共点时，相应的有种取法， 直线与函数图象的交点个数可能的取值如下： ， 对应的函数个数为， . 所以集合中元素之和为643. 故答案为：643 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 【变式训练11-1】已知定义在上的函数（是自然对数的底数）满足，且，删除无穷数列、、、、、中的第项、第项、、第项、、，余下的项按原来顺序组成一个新数列，记数列前项和为. (1)求函数的解析式； (2)已知数列的通项公式是，，，求函数的解析式； (3)设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意、，都有，设称为集合的一个“阈度”；记集合，试问集合存在“阈度”吗？若存在，求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数列新定义、集合新定义、分组（并项）法求和、简单复合函数的导数 【分析】（1）由可求得、的值，进而可得出函数的解析式； （2）对分奇数和偶数两种情况讨论，求出的表达式，根据可得出的表达式； （3）分为奇数、偶数两种情况讨论，求出、关于的表达式，求出的取值范围，可得出的取值范围，即可得出集合“阈度”的取值范围. 【详解】（1）解：因为，则， 若，即，解得，则， 因为，可得，因此，. （2）解：当为奇数时，设，则， 此时，此时； 当为偶数时，设，则， 此时，，此时. 综上所述，. （3）解：， 因为，，其中， 所以，数列的奇数项构成以为首项，公比为的等比数列， 数列中的偶数项构成以为首项，公比为的等比数列， ①当为偶数时，， 则， 此时，随着的增大而增大，则； ②当为奇数时，， ， 此时，随着的增大而增大，则. 因此，当且，的值在区间内，则， 故集合“阈度”的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查集合“阈度”的取值范围，解题的关键在于对分奇数、偶数两种情况讨论，求出关于的表达式，结合数列的单调性求出的取值范围，进而根据题中定义求出集合“阈度”. 题型12：最值问题 【典型例题】全集，，，若中存在两个非空子集，，满足，，则称，是的一个“组合分拆”，用表示集合的所有元素的和． (1)若． ①若，，求； ②若为偶数，证明：； (2)若，为给定的偶数，关于的方程存在有理数解，求的最小值，并写出取得最小值时的一个集合． 【解析】（1）①此时，， 由题可得，则； ②由题可得， . 若，则. 当为偶数，设，则. 注意到 ，其中， 则不为整数，这与题意不合，故. （2）此时， 则. 则， 要使方程存在有理数解，则方程判别式，. 注意到， 则， 因，则， 则，其中， 则， 注意到，若为正实数， 则，当且仅当时取等号， 且在单调递减，在时单调递增. 则当为正整数时，取离最近的整数， 即或时取最小值，则. 即的最小值为. 注意到 又， 则， 即取得最小值时的一个集合可以为： 【变式训练12-1】记集合，为集合（）的两个子集，且满足，.定义：（，分别表示集合，中所有元素的和）. (1)当时，求的所有可能的值； (2)求的最小值； (3)设为不超过的自然数，且与的奇偶性相同，证明：存在，，使得. 【解析】（1）若，由于，的对称性，只需考虑以下情况： ，，； ，，；，，； ，，；，，； ，，；，，； ，，. 所以的所有可能值为：，，，，，. （2）首先计算时： 令，， 观察可知，，且集合，均有项，且这首尾相加为， 所以，所以，即此时的最小值为0. 对于其它情况： 当时，由为奇数， 由（1）知为奇数， 考虑的子集，中有项， 那么参照上面证明存在，满足，现令，， 可知，即此时最小值为1； 当时，为奇数，为奇数.考虑的子集，中有项， 那么参照上面证明存在，满足， 现令，，可知，即此时最小值为1； 当时，为偶数，为偶数， 考虑的子集，中有项， 那么参照上面证明存在，满足，现令，，可知，即此时最小值为0. 综上所述可知当或时，， 或时，. （3）首先证明与的奇偶性相同： 由题意知 所以，因为是偶数，所以对于任意的，，与的奇偶性相同. 下面用数归法证明：当与奇偶性相同且时，存在，满足. 当或时，由（2）可知存在，满足， 假设时成立（为小于且与其奇偶性相同自然数）， 即此时存在，满足，由于，不妨令，若此时，则可令，），那么， 即说明时命题成立， 若此时，必存在正整数满足且（否则有，， 此时有），令，， 此时，满足：，即时命题立，由归纳法可知命题成立. 当时，令，，，综上所述命题成立. 【变式训练12-2】对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． (1)若，，请直接写出集合和； (2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； (3)若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 【解析】（1），. （2）最大值即：集合的非空子集为个，所以最多有31个元素， 可能构造如下：， 则集合中任意两个非空子集中得元素乘积不同，从而集合中的数字由大于1的因子组成； 最小值：不妨设，显然有， 则， 则至少有11个元素， 可能的构造如下：，集合中的元素成等比数列即可. （3）中至少有13个元素，可能得构造如下：， 所以， 证明如下： 考虑对集合进行分类：，，， 设，，，表示集合中元素的个数， 则，， 设，在对集合进行分类： ，，， 设，，，分析与的关系： 对集合中的元素：，则， 则①； 对集合中的元素：②； 对集合中的元素：， 则， 则③； ①+②+③得到 ， 因为，则当时，，当或时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立， 从而元素个数至少为13. 【变式训练12-3】设，，…，是1，2，…，（且）的一个排列.数列满足为，，（）的中位数，规定，.将中的所有取值构成的集合记为. (1)当时，求和； (2)求中所有元素之和的最大值； (3)求中元素个数的最小值. 【解析】（1）当时，1，2，3无论按何种顺序排列，中位数只能是2，故. 当时，在1，2，3，4中任取3个数：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3，4， 中位数只能为2或3，所以. （2）显然，不存在使得或， 故中所有元素的和， 且当时，有. 此时成立. （3）注意到对于任意，， 记中元素个数的最小值为，由（1）可知，，. 考虑的情形： 对于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作为中位数； 不妨，考虑三元素组，，，至少产生2个不同的中位数. ①若此时中位数为，，不妨，则，. 所以三元组将产生新的中位数，所以； ②若此时的中位数为，，则，，. 若，则三元组产生新的中位数； 若，则三元组产生新的中位数.所以. ③同理可知，若此时中位数为，；，也有； 所以，，. 下面证明：. 比较下面两个数列： （ⅰ），，…，，，. （ⅱ），，…，，，，，，. 其中，，…，和，，…，具有相同的大小顺序. 因此，这两个数列的前个三元数组所对应的中位数个数相同. 因此，只需要比较数列（ⅰ）中三元组，和数列（ⅱ）中三元组 ，，，，. 因为，数列（ⅱ）中至少增加1个新的中位数，故结论成立. 因为若，的中位数在前面未出现， 则，的中位数在前面也不会出现. 对于新增的中位数，若，的2个中位数在前面出现过， 则，的中位数在前面也出现过，至少新增的中位数. 综上：（）. 下面给出一种构造： ①当时，构造：， 此时，满足. ②当时，构造：， 此时，满足. ③当时，构造： ， 此时，满足. 【变式训练12-4】已知集合，定义集合． (1)若，写出集合； (2)若，且对任意，如果，则存在，使得，求证：； (3)给定整数，若存在集合满足：对任意，存在，且，使得，求的最小值． 【解析】（1） （2）证明：不妨设． 假设， 则当时，， 当时，， 同理，当时， ， 所以均为集合中不同元素． 而共11个数，与中只有10个数矛盾． 所以． 所以． （3）不妨设中元素满足． 由题可知，存在． 使得，且均不与相等． 所以． 所以． 同理存在． 使得，且均不与相等． 所以． 所以． 所以． 若，则． 所以． 与矛盾． 所以，所以． 所以，即． 又时，若为偶数，设， 取，显然符合题意； 若为奇数，设， 取，显然符合题意． 所以的最小值是． 1．给定正整数，设集合，对，，，两数中至少有一个数属于，则称集合具有性质. (1)设集合，，请直接写出，是否具有性质； (2)若集合具有性质，求的值； (3)若具有性质的集合恰有6个元素，且，求集合． 【解析】（1）因为集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减， 两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质， 集合中的，， 所以集合不具有性质， 所以集合具有性质，集合不具有性质； （2）记，易知， 令， 所以， 由集合具有性质， 所以，       不妨设，则，且， 令，， 则，且，且， ①当时，显然， 因为，所以， 所以，解得，         此时，具有性质； ②当时，则， 因为且， 所以，， 所以，解得， 此时，与题意不符（舍）， 综上，， 故； （3）记，易知， 令， 所以， 由集合具有性质， 所以， 不妨设，， 此时， 若，显然， 所以， 由集合具有性质， 所以，， 因为且与互为相反数， 所以，两个数中必然一正一负， 所以中有0，有正数也有负数， 下面对中元素的正负个数进行讨论： （1）当中有1个负数，4个正数时， 不妨设，， 因为均大于， 所以均不属于， 由集合具有性质， 所以， 因为， 所以不可能同时等于， 所以此时集合不具有性质，舍去； （2）当中有4个负数，1个正数时， 不妨设时，， 因为均小于， 所以均不属于， 由集合具有性质， 所以， 因为， 所以不可能同时等于， 所以此时集合不具有性质，舍去； （3）当中有2个负数，3个正数时， 不妨设时，，， 因为， 所以， 由集合具有性质， 所以， 因为， 所以， 即，① 因为均大于， 所以均不属于， 由集合具有性质， 所以，， 因为，， 所以，，， 故，，，， 所以，，，② 由①②，得， 于是：. （4）当中有3个负数，2个正数时， 由（3），同理可得， 由此，当恰有6个元素，且时，可得符合条件的集合有5个， 分别是，，， ，. 2．设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 【解析】（1）∵，，，，， ∴具有性质． （2）假设具有性质，那么有1不能有4，有2不能有5，有3不能有6， 那么集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾， ∴不可能具有性质． （3）．将这11个数分为，，，，，，，7个集合， ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10； 选7则不选3，11；则只剩4，8，又不能同时选，故1，2，3．．．，11中属于集合的元素个数不超过5个． ②5，6，7选2个， 若选5，6，则1，2，9，10，7不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选5，7，则1，3，9，11，6不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． ③5，6，7中只选1个，又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个， 由上可知，属于集合的元素至多只有5个 3．（1）已知集合，，若集合，其中，，满足，写出所有符合条件的C； （2）集合，，从M，N中各自等概率地取出一个元素a和b，，求X的数学期望； （3）若集合，，满足，，考虑以下2500个数（可以相同）：，，对，设为k在上面2500个数中出现的次数，证明：. （注：表示，，…，中最小的数，.） 【解析】（1），，，. （2）1出现50次，2、3出现49次，4、5出现48次，…，98、99出现1次，100出现0次. 故 . （3）不妨设， 即满足的组数， 刚只需且，这样的组数有组. 由基本不等式， 而为所有小于11的，的数量，即， 故，即证. 4．已知集合，集合满足，当取不同值时，各不相同．记的所有元素之和为，将数列的所有项重新排列为，使得． (1)当时，求． (2)当时，证明：成等差数列． (3)设，证明：． 【解析】（1）当时，集合，其子集及其对应的为： ①空集：；②：；③：；④：； 重新排列之后：； （2）当时，设， 其中，， 由得，去除的相同元素， 设剩余元素中最大的元素为，设剩余元素中最大的元素为， ， 若，则同理由， 所以对任意的，，即恒成立， 由题意可知，， 因为对任意的，，恒成立，且， 所以，所以， 故，所以成等差数列； （3）①若，， 即， ②若不包含于，则，， 不妨设， 则，，， 由，得， 设， 由，，得， 因为，所以，则， 所以， 因为，所以，因为，，所以， ， 即，得， ，所以， 即， 综上所述：. 5．已知集合，集合，记集合中的元素个数为.若集合中存在三个元素，使得，则称集合为集合的一个“幸福集”. (1)当时，判断集合是否有“幸福集”； (2)当时，写出集合的三元“幸福集”的个数，并列举； (3)当时，若集合中的元素个数为，证明：集合必有“幸福集”. 【解析】（1）方法一： 当时，，由，得或或或， 逐一比较与的大小，都不满足，所以集合无“幸福集”. 方法二： 设（，且）为集合的一个三元“幸福集”， 则，，，由，得，所以， 当时，的最小值为4，即集合中的最大元素与最小元素之差至少是4. 因为，且集合， 因此集合中至少要有5个元素（提示：集合中的元素是连续自然数），即，即. 由上述结论可知，当时，集合无“幸福集”. （2）方法一： 当时，，若存在，使得， 则，所以（当，时取等号），，则，， ①若，则，，所以或， 当时，为奇数且，故只能取7，而时，，与矛盾； 当时，为偶数且，故只能取8，而时，，与矛盾. ②若，则，，当时，无解； 当时，无解；当时，，故， 从而得到了一个集合，为. ③若，则，， 当时，无解；当时，无解；当时，，故或， 从而得到了两个集合，为，. ④若，则，，当时，，故， 从而得到了一个集合，为； 当时，，故，从而得到了三个集合，为，，. ⑤若，则，， 此时，，故，从而得到了四个集合，为，，，. 因此，集合的三元“幸福集”的个数为11. 方法二： 由（1）中的证明过程可知，集合的三元“幸福集”为（，且）， 当时，， ①当，时，可取4，5，6，7，则集合的三元“幸福集”为，，，； ②当，时，，则集合的三元“幸福集”为； ③当，时，可取4，5，6，则集合的三元“幸福集”为，，； ④当，时，可取4，5，则集合的三元“幸福集”为，； ⑤当，时，，则集合的三元“幸福集”为. 因此，集合的三元“幸福集”的个数为11. （3）当时，若集合中的元素个数为， 设集合且. 利用反证法，假设集合没有“幸福集”， 即对于集合中任意三个元素，均有， 则，， 记，于是， 所以, 又， 所以， 与矛盾， 所以假设不成立，从而集合必有“幸福集”. 6．已知有限数列，其中，.在中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为的一个子列，对某一给定正整数，若对任意的，均存在的相应子列，使得该子列的各项之和为，则称具有性质. (1)判断：，，，，，，是否具有性质？说明理由； (2)若，是否存在具有性质？若存在，写出一个，若不存在，说明理由； (3)若，且存在具有性质，求的取值范围. 【解析】（1）根据定义知取，有； 取，有， 取，有， 即对任意，都存在的相应子列，使得该子列的各项之和为， 所以：，，，，，，具有性质； （2）不能，理由如下： 假设，具有性质， 因为，所以M的任意四项和小于4， 所以， 则对于M的任意四项子列S，不妨设， 有， 又具有性质，，所以M的任意三项和小于3， 故不存在的子列其各项和为3，与具有性质矛盾， 所以时，不存在具有性质； （3）由题可知，时，又，所以， 由（2）道理相同可知，， 取， 因为， ，， 所以具有性质， 综上. 7．设为不小于2的正整数，集合，对集合中任意两个元素和，记，其中. (1)设，，求和的值； (2)从集合中随机取一个元素，求为偶数的概率； (3)设，从集合中任取两个元素和，，求集合的元素个数最大值（用表示）． 【解析】（1）对应数位上数字的奇偶性不同，计算结果如下表所示： 奇数 奇数 0 奇数 偶数 0 偶数 奇数 0 偶数 偶数 1 所以；． （2）集合的元素个数共有， 任意元素，首先考虑三个位置的奇偶性，因为满足为偶数，所以三个位置有0个偶数或2个偶数． 三个位置有0个偶数，即全为奇数，共有（种）不同元素； 三个位置有2个是偶数，另一个为奇数，共有（种）不同元素， 所以为偶数的概率为． （3）首先将中任意元素各位置上的数字，若为奇数记成0，若为偶数记成1． 从元素改写后的中任取两个元素和，因为，所以和相同位置不能同为1． 所以下列个元素可以在同一个集合中： ①；②，，，，． 下证，元素改写后的中的元素个数不超过． 假设中含有个元素，排成如下行列： ，其中，，， 记第行的和，第列的和，则． 因为， ，矛盾！ 所以元素改写后的中元素个数不超过． 对于上述元素改写后含个元素的集合， 第①类元素：，即各位置都为奇数的，共个， 对于第②类，每种形式元素只能含有1个．（假设含型元素两个，不妨设，，则，矛盾） 故集合的元素个数最大值为． 8．十进制与二进制是常见的数制，其中十进制的数据是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数码来表示的数，基数为10，进位规则是“逢十进一”，借位规则是“借一当十”；二进制的数据是由0，1这两个数码来表示的数，基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”；例如：十进制的数20对应二进制表示的数为，二进制的数对应十进制表示的数为15．用表示非空的整数集合A的所有元素的和，已知集合，，i=1，2，…，n且．（一个数，不特别说$