第三章《整式及其加减》单元测试 2026～2027学年北师大版七年级上册数学

**基本信息** 北师大版七年级上册数学第三章《整式及其加减》单元卷，以神舟二十三号、杨辉三角等时代与文化情境为载体，覆盖整式概念、合并同类项等核心知识，通过基础巩固与规律探究梯度设计，培养数学抽象、运算推理素养，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|整式定义、代数式表示、合并同类项|结合长白山温泉购物等生活情境，考查概念辨析| |填空题|5题|整体代入、不含某项求系数|以连续奇数排列、杨辉三角为背景，渗透规律探究| |解答题|8题|化简求值、实际应用、规律探究|设计数正方形、和谐数定义等综合题，体现数学思维与创新应用|

2026~2027学年北师大版七年级上册数学第三章《整式及其加减》单元测试 一．选择题（共10小题） 1．在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥8y2+2x﹣1中，整式的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．长白山某温泉广场用温泉水煮鸡蛋、玉米被游客们津津乐道．已知一个鸡蛋售价为m元，一根玉米售价为n元，则购买3个鸡蛋和4根玉米共需（　　） A．7mn元 B．12mn元 C．（3n+4m）元 D．（3m+4n）元 3．甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 4．已知m+n＝﹣2，mn＝4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值是（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣32 D．32 5．下列单项式与3xy进行加减运算后，结果仍为单项式的是（　　） A．2x B．7y C．5x2 D．4xy 6．能用代数式2a+4表示的是（　　） A． B． C． D． 7．下列计算正确的是（　　） A．2a+a＝2a2 B．﹣2a2+a2＝﹣a2 C．2a+3b＝5ab D．a2+a2＝a4 8．如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个邻边长为a，b的长方形，然后分别以a+x，b+x为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得x的值为（　　） A．65 B．68 C．70 D．75 9．如图，在小正方形内分别填入整式，若要使横向三个整式之和与纵向三个整式之和相等，则“？”处应填的整式为（　　） A．0 B．﹣6ab C．6ab D．7ab 10．观察下列关于a的单项式，探究其规律：+a，﹣3a2，+5a3，﹣7a4，+9a5，…，按照上述规律，第2026个单项式是（　　） A．+2026a2026 B．﹣4052a2026 C．+4051a2026 D．﹣4051a2026 二．填空题（共5小题） 11．已知a﹣3b＝2，则7+2a﹣6b＝　 　 ． 12．多项式2x2﹣3kxy﹣3y2+6xy﹣7中不含有xy项，则k的值为　 　 ． 13．中国是茶的故乡，传统茶艺文化源远流长．某茶社准备购进甲、乙两种茶叶礼盒，已知甲种礼盒每盒的进价是乙种礼盒的2倍，若设乙种礼盒每盒的进价为x元，则购3盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒一共需要的费用为　 　 元． 14．将连续奇数1，3，5，7，9……排成如图所示的数表． 用长方形框在如图所示的数表中任意框出九个数，将长方形框上下左右移动，可框住另外九个数．若这九个数中最小的数是171，则最大的数是 　 　 ． 15．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．如图，杨辉三角给出（a+b）n（n＝1，2，3，4…）展开式的系数规律（按a的降幂排列），则将展开后的式子中，含x2024项的系数为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．先化简，再求值：，其中． 17．计算：已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求x2﹣（a+b+cd）x+（a+b）2025+ （﹣cd）2024的值． 18．已知代数式：A＝x2﹣3y+4． （1）若，y＝3m，请用含m的代数式表示A； （2）若x＝y＝n，试判断A＞1是否恒成立，并说明理由． 19．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体．试按提示解答下面问题． （1）已知A+B＝3x2﹣5x+1，A﹣C＝﹣2x+3x2﹣5，求当x＝2时B+C的值． 提示：B+C＝（A+B）﹣（A﹣C）． （2）若代数式2x2+3y+7的值为8，求代数式6x2+9y+8的值． 提示：把6x2+9y+8变形为含有2x2+3y+7的形式． 20．5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，学校购进了甲、乙两种航天科普图书，甲种图书每本厚0.8厘米，乙种图书每本厚1.2厘米．现将两种图书按图示方式摆放在长为84厘米的书架上． （1）若两种图书共90本恰好摆满该书架，问书架上甲、乙两种图书各有多少本？ （2）若书架上已摆放了10本甲种图书，求最多还可以摆放多少本乙种图书？ 21．【综合实践】 【项目前景】王老师教七年级学生做数正方形小游戏．问图1（2×2）中有多少个正方形，孩子一眼就看出有5个正方形，接着问图2（3×3）中有多少个正方形，孩子安静下来，不到半分钟，说有14个正方形； 老师说：“你们真棒!”，问哪位小朋友能说出图3（4×4）中有多少个正方形，我手中的这个玩具就给谁!大概1分钟，大家都异口同声的回答，有30个．老师先是高兴，接着慌了，手中只有一个玩具，于是打电话找班主任求助! 【数据分析与运用】（1）花有重开日，人无再少年，作为新时代的我们，更应该努力学习． 任务1：图3中有30个正方形幼儿园小朋友是如何想出来的，请帮助小朋友写出正确的过程． 任力2：图4（2026×2026）中，设正方形的个数为S，T＝1+2+3+…+2026，则　 　 ． 参考公式：． （2）任务3：如图5，我们将正方形改为（4×10）的长方形，请帮助计算它有多少个正方形？ 22．【阅读材料】 定义：如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“和谐数”． 注：． 举例①：四位数1538． 因为15+38＝53，所以1538是“和谐数”． 举例②：四位数2637． 因为26+37＝63，所以2637是“和谐数”． （1）【类比推理】请判断四位数3846是否为“和谐数”，并说明理由； （2）【探究性质】小明经观察发现“和谐数”1538中，1+8＝9；“和谐数”2637中，2+7＝9．于是猜想：对于任意一个“和谐数”，都有a+d＝9．请你判断小明的猜想是否正确，并说明理由． 23．有一个游戏，规则如下：甲、乙、丙、丁四人围坐一圈，每人各抽取一张数字互不相同的正整数卡牌． 每个人分别和左右两位相邻的同学比对卡牌数字，按以下规则计算每一次比对的结果： ①若自身数字小于对方数字，先计算大数减小数，再将差值乘2； ②若自身数字大于对方数字，直接计算大数减小数． 最后，每个人把和左边、右边邻座各自比对算出的结果相加，然后报出相加后的值． 例：如图1，若四位同学分别抽到：2、1、3、4，甲同学所报数字为：（2﹣1）+2×（4﹣2）＝5，乙同学所报数字为：2×（2﹣1）+2×（3﹣1）＝6． （1）求图1中丙同学所报的数； （2）如图2，若甲、乙、丙、丁抽到数字分别为：3、x、y、10，且3＜x＜y＜10．已知乙报出数字7，丙报出数字6，求x、y的值； （3）如图3，若甲、乙、丙、丁所报数字分别为：4、3、5、12，已知四位同学抽到的数字之和为41，且甲抽到的数字不是最小的，问甲同学抽到的卡牌数是多少？ 2026~2027学年北师大版七年级上册数学第三章《整式及其加减》单元测试 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥8y2+2x﹣1中，整式的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：式子，，，8y2+2x﹣1，符合整式的定义，是整式； 式子，分母中含有字母，不是整式． 故整式有4个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式． 2．长白山某温泉广场用温泉水煮鸡蛋、玉米被游客们津津乐道．已知一个鸡蛋售价为m元，一根玉米售价为n元，则购买3个鸡蛋和4根玉米共需（　　） A．7mn元 B．12mn元 C．（3n+4m）元 D．（3m+4n）元 【分析】求购买3个鸡蛋和4根玉米所用的钱数，用3个鸡蛋的总价+4根玉米的总价即可． 【解答】解：∵一个鸡蛋售价为m元，一根玉米售价为n元， ∴购买3个鸡蛋和4根玉米的总费用为（3m+4n）元． 故选：D． 【点评】本题考查列代数式，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解． 3．甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【分析】设甲正方形边长为a，乙正方形边长为b，且a＞b．由题意可知两个正方形的面积和为a2+b2＝10．观察图1，阴影部分是一个等腰梯形，其上底与下底之和恰好为a+b，梯形的高也等于a+b，因此梯形的面积可表示为，接下来利用完全平方公式（a+b）2＝a2+b2+2ab，代入已知数据得16＝10+2ab，于是 ab＝3．再计算（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝10﹣6＝4，所以 a﹣b＝2．最后看图2，阴影部分是大正方形面积减去小正方形面积，即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×2＝8． 【解答】解：设甲正方形边长为a，乙正方形边长为b， 由题意可知：图1中阴影部分为梯形，故面积为（a+b）（a+b）＝8， 两个正方形面积之和为：a2+b2＝10， 所以2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝16﹣10＝6，（a+b）2＝16， 所以（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝10﹣6＝4， 所以a+b＝4，a﹣b＝2， 所以图2中阴影部分面积为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×4＝8， 故选：B． 【点评】本意主要考查了梯形面积公式、完全平方公式的灵活运用，以及从几何图形中抽象代数关系并进行整体代换的能力．解题的关键在于正确识别图1阴影为梯形，并准确建立的方程，再通过平方关系转化为对a+b与a﹣b的求解．本题巧妙地将几何面积与代数恒等式结合，避免直接求边长，体现了整体求差的数学思想． 4．已知m+n＝﹣2，mn＝4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值是（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣32 D．32 【分析】将代数式去括号、合并同类项后变形为5mn﹣6（m+n），再整体代入计算求值即可． 【解答】解：∵m+n＝﹣2，mn＝4， ∴2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn） ＝2mn﹣6m﹣6n+3mn ＝2mn+3mn﹣6m﹣6n ＝5mn﹣6（m+n） ＝5×4﹣6×（﹣2） ＝20+12 ＝32， 故选：D． 【点评】本题考查了整式加减的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意利用整体思想解题的方法． 5．下列单项式与3xy进行加减运算后，结果仍为单项式的是（　　） A．2x B．7y C．5x2 D．4xy 【分析】根据题意找出单项式3xy的同类项即可． 【解答】解：单项式4xy与3xy进行加减运算后，结果仍为单项式， 故选：D． 【点评】本题考查了单项式，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 6．能用代数式2a+4表示的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据每个选项计算即可判断． 【解答】解：A、线段AB的长是2+a+4＝6+a，故此选项不符合题意； B、组合图形的面积是2（a+4）＝2a+8，故此选项不符合题意； C、长方形的周长是2（a+2）＝2a+4，故此选项符合题意； D、圆柱的体积是4a，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了代数式，根据图形列出代数式是解题的关键． 7．下列计算正确的是（　　） A．2a+a＝2a2 B．﹣2a2+a2＝﹣a2 C．2a+3b＝5ab D．a2+a2＝a4 【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：A、2a+a＝3a≠2a2，故A错误； B、﹣2a2+a2＝﹣a2，故B正确； C、2a+3b≠5ab，故C错误； D、a2+a2＝2a2≠a4，故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型． 8．如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个邻边长为a，b的长方形，然后分别以a+x，b+x为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得x的值为（　　） A．65 B．68 C．70 D．75 【分析】根据图示得出，两式相加，消去a，b，即可求出x的值． 【解答】解：由图可得， ①+②，得2x+a+b＝140+a+b， 即2x＝140， ∴x＝70． ∴根据图中数据可求得x的值为70． 故选：C． 【点评】本题考查列代数式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 9．如图，在小正方形内分别填入整式，若要使横向三个整式之和与纵向三个整式之和相等，则“？”处应填的整式为（　　） A．0 B．﹣6ab C．6ab D．7ab 【分析】根据题意可知“？”为：（2ab+ab+ab）﹣（﹣3ab+ab），然后计算即可． 【解答】解：由题意可得， “？”为：（2ab+ab+ab）﹣（﹣3ab+ab） ＝4ab﹣（﹣2ab） ＝4ab+2ab ＝6ab， 故选：C． 【点评】本题考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 10．观察下列关于a的单项式，探究其规律：+a，﹣3a2，+5a3，﹣7a4，+9a5，…，按照上述规律，第2026个单项式是（　　） A．+2026a2026 B．﹣4052a2026 C．+4051a2026 D．﹣4051a2026 【分析】找出单项式的系数和指数的规律，进而作答即可． 【解答】解：关于a的单项式，探究其规律：+a，﹣3a2，+5a3，﹣7a4，+9a5，…， a＝（﹣1）1+1（2×1﹣1）a1， ﹣3a2＝（﹣1）2+1（2×2﹣1）a2， 5a3＝（﹣1）3+1（2×3﹣1）a3， ﹣7a4＝（﹣1）4+1（2×4﹣1）a4， 9a5＝（﹣1）5+1（2×5﹣1）a5， ∴第n个单项式为（﹣1）n+1（2n﹣1）an， ∴第2026个单项式为（﹣1）2026+1（2×2026﹣1）a2026＝﹣4051a2026． 故选：D． 【点评】本题考查了单项式的规律问题，正确进行计算是解题关键． 二．填空题（共5小题） 11．已知a﹣3b＝2，则7+2a﹣6b＝　11　 ． 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：∵7+2a﹣6b＝2a﹣6b+7， ∴当a﹣3b＝2时，原式＝2a﹣6b+7＝2（a﹣3b）+7＝2×2+7＝11． 故答案为：11． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 12．多项式2x2﹣3kxy﹣3y2+6xy﹣7中不含有xy项，则k的值为　2　 ． 【分析】先把多项式合并，然后令xy项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵多项式2x2﹣3kxy﹣3y2+6xy﹣7＝（6﹣3k）xy+2x2﹣3y2﹣7不含xy项， ∴6﹣3k＝0， 解得k＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 13．中国是茶的故乡，传统茶艺文化源远流长．某茶社准备购进甲、乙两种茶叶礼盒，已知甲种礼盒每盒的进价是乙种礼盒的2倍，若设乙种礼盒每盒的进价为x元，则购3盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒一共需要的费用为　11 x 元． 【分析】先根据甲、乙两种礼盒进价的数量关系，表示出甲种礼盒每盒的进价，再根据“总费用＝甲种礼盒总进价+乙种礼盒总进价”列式，合并同类项即可得到结果． 【解答】解：由题意得，购买3盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒的总费用为：3×2x+5x＝6x+5x＝11x． 故答案为：11x． 【点评】本题考查了列代数式，理解题意是关键． 14．将连续奇数1，3，5，7，9……排成如图所示的数表． 用长方形框在如图所示的数表中任意框出九个数，将长方形框上下左右移动，可框住另外九个数．若这九个数中最小的数是171，则最大的数是 　207　 ． 【分析】设框柱的最小的数是x，该行最后一个数框柱的数是x+4，x+4下方框柱的最后一个数是x+36，由题可知x＝171，则可求最大的数的值． 【解答】解：从数表可知，横行后一个数比前一个数多2，竖行后一个数比前一个数多16， 设框柱的最小的数是x， ∴该行最后一个数框柱的数是x+4， ∴x+4下方框柱的最后一个数是x+4+16×2＝x+36， ∵x＝171， ∴x+36＝171+36＝207， 故答案为：207． 【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过数表，发现数字横、竖方向数字的变化规律是解题的关键． 15．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．如图，杨辉三角给出（a+b）n（n＝1，2，3，4…）展开式的系数规律（按a的降幂排列），则将展开后的式子中，含x2024项的系数为　2026　 ． 【分析】根据题干中的图形总结规律即可求得答案． 【解答】解：由题意得对于（x）2026展开式的第（k+1）项（按x的降幂排列）应为系数×x2026﹣k×（）k＝系数×x2026﹣2k， 我们需要x2024项， 令2026﹣2k＝2024， 解得：k＝1， 对应杨辉三角中，（a+b）n的第2项（k＝1）系数为n， 那么（x）2026展开式中含x2024项的系数为2026， 故答案为：2026． 【点评】本题考查数式规律问题，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 16．先化简，再求值：，其中． 【分析】先去括号，再合并同类项，然后代入求值即可． 【解答】解： ＝5a2﹣3ab+6b2﹣7a2+4ab﹣6b2 ＝﹣2a2+ab， 当时， 原式． 【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，正确计算是解题的关键． 17．计算：已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求x2﹣（a+b+cd）x+（a+b）2025+（﹣cd）2024的值． 【分析】化为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得a+b＝0，cd＝1，x＝±2，再代值计算即可． 【解答】解：根据题意可知，a+b＝0，cd＝1，|x|＝2， ∴x＝±2， 当x＝2时， 原式＝22﹣（0+1）×2+02025+（﹣1）2024＝4﹣2+0+1＝3； 当x＝﹣2时， 原式＝（﹣2）2﹣（0+1）×（﹣2）+02025+（﹣1）2024＝4+2+0+1＝7． 【点评】本题考查了代数式求值，相反数，倒数，绝对值，掌握相应的定义是关键． 18．已知代数式：A＝x2﹣3y+4． （1）若，y＝3m，请用含m的代数式表示A； （2）若x＝y＝n，试判断A＞1是否恒成立，并说明理由． 【分析】（1）将已知的x和y代入代数式A＝x2﹣3y+4，化简整理即可得到结果； （2）将x＝y＝n代入A，配方后利用平方数的非负性得到A的取值范围，即可判断结论． 【解答】解：（1）已知A＝x2﹣3y+4，，y＝3m， 代入得：； （2）由条件可得：A＝n2﹣3n+4， 配方得： ， ∴， 又∵， ∴A＞1恒成立． 【点评】本题考查了列代数式，理解题意是关键． 19．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体．试按提示解答下面问题． （1）已知A+B＝3x2﹣5x+1，A﹣C＝﹣2x+3x2﹣5，求当x＝2时B+C的值． 提示：B+C＝（A+B）﹣（A﹣C）． （2）若代数式2x2+3y+7的值为8，求代数式6x2+9y+8的值． 提示：把6x2+9y+8变形为含有2x2+3y+7的形式． 【分析】（1）按提示把A+B和A﹣C整体代入可得B+C的表达式，然后再将x＝2代入计算即可； （2）由2x2+3y+7＝8可得2x2+3y＝1，然后按提示对代数式进行变形，最后整体代入计算即可． 【解答】解：（1）∵A+B＝3x2﹣5x+1，A﹣C＝﹣2x+3x2﹣5， ∴B+C＝（A+B）﹣（A﹣C＝（3x2﹣5x+1）﹣（﹣2x+3x2﹣5）＝﹣3x+6， ∴当x＝2时， B+C＝﹣3x+6＝﹣3×2+6＝0； （2）∵2x2+3y+7＝8， ∴2x2+3y＝1， ∴6x2+9y+8 ＝3（2x2+3y）+8 ＝3×1+8 ＝11． 【点评】本题考查了代数式求值，掌握代数式求值的方法是关键． 20．5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，学校购进了甲、乙两种航天科普图书，甲种图书每本厚0.8厘米，乙种图书每本厚1.2厘米．现将两种图书按图示方式摆放在长为84厘米的书架上． （1）若两种图书共90本恰好摆满该书架，问书架上甲、乙两种图书各有多少本？ （2）若书架上已摆放了10本甲种图书，求最多还可以摆放多少本乙种图书？ 【分析】（1）根据题意，建立方程进行计算即可； （2）根据题意，列出不等式进行计算即可． 【解答】解：（1）设甲种图书x本，乙种图书（90﹣x）本， 则0.8x+1.2（90﹣x）＝84， 解得x＝60， 则90﹣x＝30， 答：甲种图书60本，乙种图书30本； （2）设还可以摆放y本乙种图书， 则10×0.8+1.2y≤84， 解得y， 所以最多还可以摆放63本乙种图书． 【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据题意得出方程及不等式进行计算是解题的关键． 21．【综合实践】 【项目前景】王老师教七年级学生做数正方形小游戏．问图1（2×2）中有多少个正方形，孩子一眼就看出有5个正方形，接着问图2（3×3）中有多少个正方形，孩子安静下来，不到半分钟，说有14个正方形； 老师说：“你们真棒!”，问哪位小朋友能说出图3（4×4）中有多少个正方形，我手中的这个玩具就给谁!大概1分钟，大家都异口同声的回答，有30个．老师先是高兴，接着慌了，手中只有一个玩具，于是打电话找班主任求助! 【数据分析与运用】 （1）花有重开日，人无再少年，作为新时代的我们，更应该努力学习． 任务1：图3中有30个正方形幼儿园小朋友是如何想出来的，请帮助小朋友写出正确的过程． 任力2：图4（2026×2026）中，设正方形的个数为S，T＝1+2+3+…+2026，则　1351　 ． 参考公式：． （2）任务3：如图5，我们将正方形改为（4×10）的长方形，请帮助计算它有多少个正方形？ 【分析】（1）任务一：分析每种边长的正方形的个数，求和即可； 任务二：根据前三个图总结出规律可得，再计算出，最后求比值即可； （2）任务三：分别计算每种边长的正方形的个数，求和即可． 【解答】（1）任务一：边长为1的正方形有42个，边长为2的正方形有32个，边长为3的正方形有22个，边长为4的正方形有12个， ∴正方形的个数一共有12+22+32+42＝30（个）． 任务二：根据题干总结规律可得，， ， ∴； 故答案为：1351． （2）任务三：如图， 边长为1的正方形每一行有10个，共4行， ∴共有4×10个； 边长为2的正方形每一行有9个，共3行， ∴共有3×9个； 边长为3的正方形每一行有8个，共2行， ∴共有2×8个； 边长为4的正方形每一行有7个，共1行， ∴共有1×7个； 综上，正方形个数为4×10+3×9+2×8+1×7＝90（个）． 【点评】本题考查规律型：数字的变化类，，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．【阅读材料】 定义：如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“和谐数”． 注：． 举例①：四位数1538． 因为15+38＝53，所以1538是“和谐数”． 举例②：四位数2637． 因为26+37＝63，所以2637是“和谐数”． （1）【类比推理】请判断四位数3846是否为“和谐数”，并说明理由； （2）【探究性质】小明经观察发现“和谐数”1538中，1+8＝9；“和谐数”2637中，2+7＝9．于是猜想：对于任意一个“和谐数”，都有a+d＝9．请你判断小明的猜想是否正确，并说明理由． 【分析】（1）根据题意验证四位数3846是否满足“和谐数”的定义即可； （2）根据得到10a+b+10c+d＝10b+c，再变形成a+d＝9b﹣9c﹣9a＝9（b﹣c﹣a），得到a+d是9的倍数，再根据a与d的取值范围得到3≤a+d≤17，从而得到a+d＝9． 【解答】解：（1）是，理由如下： ∵38+46＝84 ∴3846是“和谐数” （2）猜想正确，理由如下： ∵，， ∴10a+b+10c+d＝10b+c， ∴10a﹣9b+9c+d＝0， 由10a+b+10c+d＝10b+c可得10a+d＝9b﹣9c＝9（b﹣c）， 因此10a+d是9的倍数． 又因为10a+d＝9a+（a+d）， ∴a+d是9的倍数， ∵1≤a≤9，1≤d≤9且a≠d， ∴3≤a+d≤17， ∴a+d＝9． 【点评】本题考查整式的加减，正确进行计算是解题关键． 23．有一个游戏，规则如下：甲、乙、丙、丁四人围坐一圈，每人各抽取一张数字互不相同的正整数卡牌． 每个人分别和左右两位相邻的同学比对卡牌数字，按以下规则计算每一次比对的结果： ①若自身数字小于对方数字，先计算大数减小数，再将差值乘2； ②若自身数字大于对方数字，直接计算大数减小数． 最后，每个人把和左边、右边邻座各自比对算出的结果相加，然后报出相加后的值． 例：如图1，若四位同学分别抽到：2、1、3、4，甲同学所报数字为：（2﹣1）+2×（4﹣2）＝5，乙同学所报数字为：2×（2﹣1）+2×（3﹣1）＝6． （1）求图1中丙同学所报的数； （2）如图2，若甲、乙、丙、丁抽到数字分别为：3、x、y、10，且3＜x＜y＜10．已知乙报出数字7，丙报出数字6，求x、y的值； （3）如图3，若甲、乙、丙、丁所报数字分别为：4、3、5、12，已知四位同学抽到的数字之和为41，且甲抽到的数字不是最小的，问甲同学抽到的卡牌数是多少？ 【分析】（1）依照比对规则计算求和； （2）根据报数规则列出二元一次方程组，结合取值范围求解； （3）借助奇偶性锁定最小值持有者，利用数值相邻关系建立方程，检验筛选得到甲的数字． 【解答】解：（1）根据游戏规则进行计算：（3﹣1）+（4﹣3）×2＝4； （2），解得，且检验符合题意； （3）抽到最小卡牌的同学报的数必为偶数， ∴丁抽到最小数． 设甲乙丙丁分别为a，b，c，d． 2（a﹣d）+2（c﹣d）＝12， ∴a+c﹣2d＝6， ∴a+c＝6+2d为偶数， ∴a，c同奇偶． 无论或，乙报的数必为偶数． ∵乙报的数是3， ∴b的大小必在a，c之间，且a，c中有一个为（b+1），另一个为（b﹣1）． ∴2（b+1+b﹣1﹣2d）＝12， ∴b﹣d＝3． 解方程组， 解得b＝11． ∴或． 经检验，不合题意，舍去． 故甲抽到的数为10． 【点评】本题为新定义代数推理综合题，考查阅读理解、奇偶分析、方程建模、分类验证的综合逻辑推理能力． 学科网（北京）股份有限公司 $