专题03 集合的运算（11大题型+能力训练）-2025-2026学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题1.3 集合的运算 知识点一、交集及其性质 1.交集的定义：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 2.交集的性质： ①；②，；③； ④； ⑤若，则； 3.文氏图表示：可以用文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 知识点二、并集及其性质 1.并集的定义：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 1. 并集的性质： 1　 ；②，；③； ④；⑤若，则； 3.文氏图表示：可以用文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 ， 如图其中阴影部分表示A∪B． （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B 知识点三、全集、补集及其性质 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 【常用结论】 （1）． （2）,． 题型01：交集的运算 【例1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】且 所以， 故选：C 【跟踪训练】 1.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意用列举法表示出集合；再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意， 所以. 故选：C. 2.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求集合，利用集合的交集运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 3.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合定义可求得集合，由交集定义可求得结果. 【解答过程】当时，；当时，； 当时，；当时，； ，. 故选：B. 4.已知,，则 . 答案： 答案：； 5.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求集合，利用集合的交集运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 题型02：根据交集的运算结果求集合或参数 【例2】已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）先求解出方程的根，则集合可知，再求解出的根，则可确定出集合，根据得到，从而可求解出的可取值，则的值可求； （2）根据得到，分别考虑当为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出的取值. 【详解】（1）由得或，所以， 由得或，所以， 因为，所以， 所以或，所以或； （2）因为，所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得， 当时，，无解， 【跟踪训练】 1.已知集合，集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集的定义即可求得结果. 【详解】因为集合，集合，且，所以， 故选：B 2.方程的解集为，方程的解集为，且，那么的值等于 . 【答案】-25 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】4是两方程的公共解，代入即可. 【详解】，所以，故，此时,，满足 所以. 故答案为：-25 3.设，集合,． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）转化成求与的交点问题，联立求解. （2）转化为与没有交点，联立，判别式，即可得到答案. 【详解】（1）由，得，解得， 所以. （2）由,得， 由已知方程的判别式， 从所以． 故实数的取值范围为． 题型03：并集的运算 【例3】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先得，再由集合的并集运算可得. 【解答过程】， 故， 故选：D. 【跟踪训练】 1.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】因为集合， 所以. 故选：D. 2.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确集合的元素，再将集合与集合的元素合并起来得到并集. 【详解】依题意，，所以． 故选：D． 3.若集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【解题思路】先化简集合B，再求并集，从而可得结果. 【解答过程】因为集合，， 所以， 所以中元素的个数为 故选：C. 4.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求集合，再利用并集的运算求解即可. 【详解】集合的不等式为：，可求解为． 所以集合． 从而集合的并集为：． 故选：B． 题型04：根据并集的运算结果求集合或参数 【例4】已知，且，若，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】由得，由得，求解即可. 【详解】由得，即. 由得，解得. 故实数的取值范围为 【跟踪训练】 1.若集合，，且，则的取值范围是 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】直接根据并集的概念计算得到答案. 【详解】集合，，且，则. 故答案为：. 2.已知集合满足则实数的值为 ． 【答案】1或或0 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据并集结果得到等式，依次求解并确定是否符合要求即可. 【详解】因为，所以或或， 若，解得或，当时出现两个1，矛盾；当时符合要求； 若，解得或，经验证都符合要求； 若，解得或者，由上知不符合，经验证时符合， 所以或或或 故答案为：1或或0 3.已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程先确定集合的元素，由，，逐一验证所有可能符合情况即可. 【详解】方程的两根为或 ，. 可能为 (1)    时，，符合 (2)    时，，符合 (3)    时，，符合 综上，实数m组成的集合为 故选：D 题型05：补集的运算 【例5】已知全集，，，求，，． 【答案】，， 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】先求出，再结合交集及补集运算求解即可. 【详解】因为, 所以，，. 【跟踪训练】 1.设全集为，集合，则 ． 【答案】 【分析】先解一元二次不等式再根据补集定义计算即可. 【详解】由， 则． 故答案为：. 2.设全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】利用补集的定义可得出结合. 【详解】因为全集，集合，则. 故答案为：. 3.已知全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】列举法改写集合A，再应用补运算求集合. 【详解】由题设，又，故. 故答案为： 题型06：根据补集的运算结果求集合或参数 【例6】已知集合，集合，且，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、补集的概念及运算 【分析】根据并集的结论得集合的包含关系，再由包含关系得结论． 【详解】因为，所以， 又，所以， 故答案为：． 【跟踪训练】 1.已知为实数，全集.若，则 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集运算性质即可求. 【详解】因为， ， 所以. 故答案为： 2.已知全集，集合，，是否存在实数a，使得？ 【答案】存在实数a，使得.理由见解析. 【分析】根据集合补集和交集的定义，即可判断. 【详解】存在实数a，使得.理由如下： 由题意， 所以或， 又因为当时，，不符合条件，故舍去； 当时，，，符合条件； 综上，存在实数a，使得. 3.已知集合，，，求实数a的值. 【答案】 【分析】根据补集的定义得出关于a的方程，分类讨论两种情况：且或且，对每一种情况求解a的值，并且代入集合中进行验证得解. 【详解】由已知得： （1）且，由解得，代入中不满足，故不成立； （2）且，由得或， 当时，不满足， 当时，满足， 且时，，，满足题意， 所以. 题型07交集、并集、补集的综合运算 【例7】若全集为的子集，且，，则 . 【答案】 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据题意画出韦恩图即可得知. 【详解】，，作出韦恩图，如图所示：    则. 故答案为： 【跟踪训练】 1.已知全集，集合，则 ． 【答案】 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据并集、补集运算求解即可. 【详解】因为， 所以，， 故答案为： 2.已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合并集的定义求，再根据交集的定义求结论. 【详解】因为，， 所以，又， 所以， 故选：A． 3.已知全集，，， ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】用列举法表示全集，再根据集合间运算求解. 【详解】由题意得，， ∵ ∴， ∴. 故答案为：. 题型08：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 【例8】已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算 【分析】利用并集的定义得，从而得，根据集合包含关系列不等式求解. 【详解】全集，集合，， 所以或， 所以． 集合或，且， 所以或， 解得或， 即的范围为． 故答案为：. 【例9】已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【解题思路】已知，这意味着集合与集合在中的补集没有交集，那么集合是集合的子集.接下来通过分析集合的边界与集合边界的关系来确定的取值范围. 【解答过程】. 因为，所以. 由于，要满足， 当，即，解得. 当，则有.解得：. 综上，m的取值范围为. 故选：A. 【例10】设，，，. (1)求a、b的值及A、B； (2)求. 【答案】(1)，，，； (2). 【知识点】根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】（1）根据得到，将代入方程，求出，，从而求出A、B； （2）求出，从而得到. 【详解】（1）因为，故， 所以，， 解得：，， 故，； （2），. 【跟踪训练】 1．已知集合，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由求出，进而得集合，根据集合的并集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，所以.         故选：D. 2.设集合，，全集，且，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】根据集合，全集，得，再根据，求解的范围． 【详解】集合， 全集，∴． 又，， 则，即的范围是． 3.设，. (1)若，求实数的值； (2)若全集为，，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)且且且 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】（1）解出集合，根据可知是方程的两根，求出的值，然后结合检验即可得解； （2）分析可得，分两种情况讨论：，根据可求得的范围；，分析可知，、不是方程的根，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，，且， 则是方程的根， 所以，，解得或， 当时，，此时，，合乎题意； 当时，，此时，，合乎题意. 综上所述，或. （2）对于方程，， 因为全集为，，则，分以下几种情况讨论： 当时，则，可得，此时，，合乎题意； 当时，则，可得， 因为，则、都不是方程的根， 所以，， 解得且且且， 此时，或或或. 综上所述，实数的取值范围是且且且. 题型09：韦恩图的应用 【例11】设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】阴影在，内，而不在内，即在内，故阴影表示的集合是． 【例12】设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最大值与最小值的差为 . 【答案】 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交并补混合运算 【分析】根据阴影部分进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】阴影部分表示， 若，真子集有个. 若，真子集有个. 所以真子集个数的最大值与最小值的差为. 故答案为： 【跟踪训练】 1.如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合韦恩图的表示方法，利用集合的运算法则，结合选项，即可求解. 【详解】解：由题意得，阴影部分的区域内的元素且， 所以阴影部分可表示为或或. 故选：D. 2.图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据集合的运算即可得到答案. 【详解】 在阴影部分区域内任取一个元素，则或， 故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 3.已知表示集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先通过识别Venn图得知阴影部分表示的是集合，然后根据交集的内涵进行判断即可. 【详解】由题中Venn图得，阴影部分表示的集合是， 因为， 所以． 故选：A. 题型10：新定义运算 【例13】定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B．C．D．若，则 【答案】A 【分析】根据题设新定义的概念以及集合的基本运算法则计算即可得结果. 【详解】对于A，由，则， 所以，故A正确； 对于B，由，所以，故B错误； 对于C,由，则， 由，，则， 所以，，则， 所以，故C错误； 对于D，当时，结合选项B知，，故D错误. 故选：A. 【例14】对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（       ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】由韦恩图分别表示集合，，，再逐一判断（1）（2）（3）即可得正确选项. 【详解】如图：若，不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合，，， 若，具有包含关系，不妨设是的真子集， 对于（1）: 图中，，图中，所以， 故（1）正确； 对于（2）：图中，成立， 图中，，， 所以成立，故（2）正确； 对于（3）：若，则；故（3）正确； 所以其中所有正确结论的序号是（1）（2）（3）， 故选：D. 【跟踪训练】 1.对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设定义求出和，再求出即可． 【详解】对于集合，，定义且，， 设，， 则，， 所以. 故选：C． 2.已知集合，，定义运算，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则符合要求的集合M有6个 D．中所有元素之和为15. 【解题思路】根据题意可得，进而可判断AD；根据补集和并集运算判断B；对于C：分析可知，进而列举求解. 【解答过程】由已知条件可得. 对于选项A：显然，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以，故B错误； 对于选项C：若，即， 则满足条件的集合M有：、、、、、，共6个，故C正确； 对于选项D：中所有元素之和为，故D错误. 故选：C. 题型11：综合提升 【例15】已知集合，，． (1)若，求中元素的个数； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）化简集合直接根据交集运算即可； （2）化简集合C，根据交集为空集列出不等式求解. 【详解】（1）当时，， 所以， 故中元素的个数为. （2）由， 可得，解得， 故a的取值范围为. 【例16】已知集合，集合. （1）若，求实数的值. （2）若，求实数的取值范围. （3）若，，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）；（3）. 【分析】（1）将代入集合中，解方程可求得的值，验算可得结果； （2）由知，由此得到所有可能的结果，由此分类讨论每种可能性即可得到结果； （3）由知，分别在，和三种情况下确定的解，综合可得结果. 【详解】 （1），，即，解得：或； 当时，，满足； 当时，，满足； 综上所述：或； （2），，可能的结果为，，，； ①当时，，解得：； ②当时，，解得：； 若，则，不满足； 若，则，不满足； ③当时，，解得：或； 若，则，不满足； 若，则，满足； ④当时，，方程组无解； 综上所述：实数的取值范围为； （3），； 当时，由（2）知：，满足； 当时，由（2）知：；若，则； 当时，由（2）知：或；若，则且； 综上所述：实数的取值范围为. 一、填空题 1．（24-25上海金山高一上期中）已知集合，，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的概念即可得解. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 2．（2024上海闵行一模）设集合，，则 ． 【答案】/ 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 3．（24-25延安中学高一上期中）已知集合，，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】求出方程组的解，根据集合交集的含义，即可得答案. 【详解】解，得或， 故， 故答案为： 4．（2023奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】由，所以分和两种情况求解即可 【详解】当时，满足，此时，得， 当时，因为，，， 所以，解得， 综上或， 所以实数的取值范围是 故答案为： 5．（2023·上海奉贤·二模）已知集合，，若，则 ． 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】由交集定义可得答案. 【详解】因，，，则，故. 故答案为： 6．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，则 . 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【分析】由并集运算即可求解. 【详解】因为，， 所以 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，且，则 . 【答案】2 【知识点】并集的概念及运算 【分析】由题意可得，可求. 【详解】因为，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 8．（24-25宝山中学高一上期中）集合，，如果，则的值是 . 【答案】/0.0625 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数、根据两个集合相等求参数 【分析】利用可得，再结合两个集合的约束条件求出即得. 【详解】由，得，因此方程与为同一方程， 则，解得， 所以. 故答案为： 9．（24-25复兴高级中学高一上期中）设集合，，，则 . 【答案】 【知识点】交并补混合运算 【分析】直接利用集合的计算规律计算即可. 【详解】由题可知，，所以. 故答案为： 10．（24-25高一上·上海静安·期末）设全集为，若的子集集合，子集，则= 【答案】 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据一元二次方程以及一元一次不等式组，可得集合，根据补集与交集的运算，可得答案. 【详解】由，，解得或，则； 由，解得，则，可得或； 所以. 故答案为：. 11．（23-24高一上·上海长宁·期中）如果全集含有10个元素，都是的子集，含有2个元素，含有4个元素，含有3个元素，则含有 个元素. 【答案】3 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、利用Venn图求集合 【分析】根据题意作出维恩图，由维恩图可求得结果. 【详解】因为全集含有10个元素，都是的子集，含有2个元素，含有4个元素，含有3个元素， 所以作出维恩图如图所示，则，得， 所以集合中含有的元素个数为个， 故答案为：3 12．（23-24上海徐汇高一上期中）已知全集，集合，若，则实数t的取值范围为________ 【答案】或 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】由得，再分类讨论讨论和，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为， 当时，，则，此时满足； 当时，，则，解得； 综上，或. 二、选择题 13．（24-25嘉定区高一上阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意，，解得或， 所以. 故选：B 14．（2024·广西·高二校联考期中）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据集合的并运算即可求解. 【详解】由题设，所以，故其中元素共有4个． 故选：B 15．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）如图表示图形阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、利用Venn图求集合 【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是B的元素且C的元素，或是A的元素”，由韦恩图与集合之间的关系可得答案． 【详解】图中阴影部分表示元素满足：是A中的元素，或者是B与C的公共元素 故可以表示为，也可以表示为：. 故选：B． 16.（2024华师二附中高一期中）对于集合，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果. 【详解】集合，， 则 ， ， 由定义可得：且 ， 且 ， 所以，选项 ABD错误，选项C正确. 故选：C． 三、解答题 17．（2024上海·高一专题练习）设集合，，如果，求实数a的取值范围. 【答案】或. 【分析】根据，得到，分， B中只有一个元素和 B中有两个元素讨论求解. 【详解】易得. 又，所以. ①当时，，解得； ②当B中只有一个元素时，，解得， 经检验，时，，符合题意； ③当B中有两个元素，即时， 由，解得. 综上所述，实数a的取值范围为或. 18．（24-25上海徐汇区高一上期末）已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【知识点】补集的概念及运算、并集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）应用集合的并补运算求集合； （2）根据包含关系列不等式求参数范围即可. 【详解】（1）由题设，则或， 所以或. （2）由且恒成立，即为非空集， 所以或，即或. 19．（24-25大同中学高一上期中）已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 【解题思路】（1）根据交集结果有求，再由并集结果有，结合根与系数关系求参数值； （2）由包含关系并讨论、求对应参数值，即可得. 【解答过程】（1）由，故，可得，则， 又，则，故； 所以，； （2）由， 若，即，满足题设， 若，即，则，或， 综上，或或. 20．（24-25上海高一上课时作业）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）先求得，根据，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式（组），即可求解； （2）解：由（1）知：集合，根据题意，分，和，三种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】（1）解：由，即，可得，所以， 因为，所以， 当时，有，解得，满足题意； 当时，则满足，解得，即， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由（1）知：集合，， ①当时，则满足，解得； ②当时，则满足，此时满足条件的m不存在； ③当时，则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围为． 21．（24-25闵行区高一上期中）集合，，， (1)试求实数a的取值范围，使； (2)若为整数集，是否存在正数，满足？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1)或； (2)不存在,理由见解析； 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）解不等式可得集合，再对实数a的取值范围进行分类讨论即可得出论； （2）由（1）中的结论并根据交集结果分类讨论即可求得结果. 【详解】（1）解不等式可得， 解不等式可得或， 因此可得； 当时，，不合题意； 当时，解得， 若，可得，解得； 当时，解得， 若，可得，解得； 综上可知，实数a的取值范围为或； （2）由（1）可知或， 显然，且； 因此只需满足即可， 又因为a为正数， 可知时，，因为 可得，解得，此时无解； 因此不存在满足题意的 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题1.3 集合的运算 知识点一、交集及其性质 1.交集的定义：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 2.交集的性质： ①；②，；③； ④； ⑤若，则； 3.文氏图表示：可以用文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 知识点二、并集及其性质 1.并集的定义：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 1. 并集的性质： 1　 ；②，；③； ④；⑤若，则； 3.文氏图表示：可以用文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 ， 如图其中阴影部分表示A∪B． （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B 知识点三、全集、补集及其性质 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 【常用结论】 （1）． （2）,． 题型01：交集的运算 【例1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4.已知,，则 . 5.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型02：根据交集的运算结果求集合或参数 【例2】已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1.已知集合，集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.方程的解集为，方程的解集为，且，那么的值等于 . 3.设，集合,． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 题型03：并集的运算 【例3】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3.若集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 4.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型04：根据并集的运算结果求集合或参数 【例4】已知，且，若，求实数的取值范围． 【跟踪训练】 1.若集合，，且，则的取值范围是 2.已知集合满足则实数的值为 ． 3.已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 题型05：补集的运算 【例5】已知全集，，，求，，． 【跟踪训练】 1.设全集为，集合，则 ． 2.设全集，集合，则 ． 3.已知全集，集合，则 ． 题型06：根据补集的运算结果求集合或参数 【例6】已知集合，集合，且，则实数a的取值范围是 . 【跟踪训练】 1.已知为实数，全集.若，则 2.已知全集，集合，，是否存在实数a，使得？ 3.已知集合，，，求实数a的值. 题型07交集、并集、补集的综合运算 【例7】若全集为的子集，且，，则 . 【跟踪训练】 1.已知全集，集合，则 ． 2.已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 3.已知全集，，， ． 题型08：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 【例8】已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 . 【例9】已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【例10】设，，，. (1)求a、b的值及A、B； (2)求. 【跟踪训练】 1．已知集合，，若，则（ ） A． B． C． D． 2.设集合，，全集，且，求实数的取值范围． 3.设，. (1)若，求实数的值； (2)若全集为，，求实数的取值范围. 题型09：韦恩图的应用 【例11】设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【例12】设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最大值与最小值的差为 . 【跟踪训练】 1.如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 2.图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 3.已知表示集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 题型10：新定义运算 【例13】定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B．C．D．若，则 【例14】对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（       ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【跟踪训练】 1.对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，，定义运算，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则符合要求的集合M有6个 D．中所有元素之和为15. 题型11：综合提升 【例15】已知集合，，． (1)若，求中元素的个数； (2)若，求a的取值范围． 【例16】已知集合，集合. （1）若，求实数的值. （2）若，求实数的取值范围. （3）若，，求实数的取值范围. 一、填空题 1．（24-25上海金山高一上期中）已知集合，，则 . 2．（2024上海闵行一模）设集合，，则 ． 3．（24-25延安中学高一上期中）已知集合，，则 . 4．（2023奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是_____________. 5．（2023·上海奉贤·二模）已知集合，，若，则 ． 6．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，则 . 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，且，则 . 8．（24-25宝山中学高一上期中）集合，，如果，则的值是 . 9．（24-25复兴高级中学高一上期中）设集合，，，则 . 10．（24-25高一上·上海静安·期末）设全集为，若的子集集合，子集，则= 11．（23-24高一上·上海长宁·期中）如果全集含有10个元素，都是的子集，含有2个元素，含有4个元素，含有3个元素，则含有 个元素. 12．（23-24上海徐汇高一上期中）已知全集，集合，若，则实数t的取值范围为________ 二、选择题 13．（24-25嘉定区高一上阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 14．（2024·广西·高二校联考期中）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）如图表示图形阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 16.（2024华师二附中高一期中）对于集合，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（2024上海·高一专题练习）设集合，，如果，求实数a的取值范围. 18．（24-25上海徐汇区高一上期末）已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 19．（24-25大同中学高一上期中）已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 20．（24-25上海高一上课时作业）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 21．（24-25闵行区高一上期中）集合，，， (1)试求实数a的取值范围，使； (2)若为整数集，是否存在正数，满足？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $