专题01 集合综合问题六重难点题型（高效培优专项训练）数学沪教版高一必修第一册

**基本信息** 聚焦上海高一集合核心考点，以6大题型构建从基础到压轴的递进训练体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合基础|21题|元素性质辨析、集合表示规范|从集合定义到元素特性，构建概念认知框架| |运算应用|14题|交并补常规运算、文氏图应用|运算规则→集合关系→实际情境应用| |进阶突破|25题|子集计数、参数反求、新定义与点集综合|从确定性问题到开放探究，培养数学思维与创新意识|

专题01 集合综合问题六重难点题型 题型一 集合的识别与元素性质(月考必考题) 题型二 交集、并集、补集的常规运算(月考必考题) 题型三 子集、真子集问题（上海高一期中高频重点） 题型四 已知交、并集结果反求参数（上海高一期中高频重点） 题型五 集合新定义问题（上海月考、期中压轴） 题型六 点集综合问题（上海月考、期中压轴拓展压轴） 题型一：集合的识别与元素性质(月考必考题) 1．（23-24高一上·上海嘉定·阶段检测）下列字母表示“自然数集”“整数集”“有理数集”“实数集”，其排列顺序正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合 B．方程的所有解的集合可表示为 C．和是相等集合 D．很小的实数可以构成集合 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，且，则__________． 5．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为____________. 6．（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，且，则的值为_____. 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合为空集，则实数的取值范围是___________ 8．（25-26高一上·上海金山·期中）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 9．（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________. 10．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 11．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 题型二：交集、并集、补集的常规运算(月考必考题) 1．（24-25高一上·上海·期中）若全集，非空集合M、N满足，则下列集合中表示空集的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海松江·期中）设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·期中）若集合，，则______． 4．（25-26高一上·上海·期中）已知全集，集合，则_______． 5．（24-25高一上·上海松江·阶段检测）已知集合，，则_____． 6．（25-26高一上·上海·期末）设全集，集合，集合，则______. 7．（24-25高一上·上海静安·期末）设全集为，若的子集集合，子集，则=___________ 8．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）设全集，求 (1)； (2)； (3)． 9．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知全集，方程的解集是，集合，.求，，. 题型三：子集、真子集问题（上海高一期中高频重点） 1．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·期中）设集合，则满足的集合的子集最多个数是（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 3．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知集合，若集合是的个不同子集，且为的真子集，则的最大值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）若集合的没有真子集，则实数________． 5．（25-26高一上·上海·期中）适合条件的集合的个数_________个. 6．（25-26高一上·上海·期中）若集合有2个子集，则实数的值为_______． 7．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知集合满足，则符合条件的集合个数有__________个． 8．（25-26高一上·上海松江·期中）已知由自然数组成的元集合，非空集合，且对任意，都有，当时，则所有满足条件的集合的元素的和为__________. 9．（25-26高一上·上海·期中）集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则__________. 题型四：已知交、并集结果反求参数（上海高一期中高频重点） 1．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，若，则__________. 2．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为______． 3．（25-26高一上·上海·期中）设，，且，则实数组成的集合是_______. 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，全集为. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合． (1)设集合，求； (2)已知，设集合，若，求的取值范围． 6（25-26高一上·上海·期中）设全集为，，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）设集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 9．（25-26高一上·上海·期中）已知集合或，. (1)求； (2)若，当时，求实数的取值范围； (3)若，当时，求实数的取值范围. 题型五：集合新定义问题（上海月考、期中压轴） 1．（25-26高一上·上海浦东新·期中）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（   ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一上·山东·期中）在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26高一上·上海·期末）已知非空数集满足：若任意，则，且，给出以下命题：①若是有限集，则；②若，则；③若，则；④存在集合，使得；则真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）在本题中，我们把且叫做集合A与B的差集，记作．设，，则________________． 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）设是中两个子集，对于，定义：，若对任意，若，则用描述法表示集合___________ 6．（23-24高一上·上海徐汇·阶段检测）设集合A是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称k为集合A的一个“孤立元”，给定集合，由M中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有______个． 题型六：点集综合问题（上海月考、期中压轴拓展压轴） 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合，，则________． 2．（23-24高一上·上海普陀·阶段检测）若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是______. 3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）已知集合，定义集合：，则中的子集个数为___________ 4．（24-25高三上·上海·开学考试）已知全集，若集合，且对任意，均存在，使得：，则称集合为“对称对点集”.给出如下集合： （1）；    （2）； （3）；    （4）. 其中是“对称对点集”的序号为__________（写出所有正确的序号） 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合综合问题六重难点题型 题型一 集合的识别与元素性质(月考必考题) 题型二 交集、并集、补集的常规运算(月考必考题) 题型三 子集、真子集问题（上海高一期中高频重点） 题型四 已知交、并集结果反求参数（上海高一期中高频重点） 题型五 集合新定义问题（上海月考、期中压轴） 题型六 点集综合问题（上海月考、期中压轴拓展压轴） 题型一：集合的识别与元素性质(月考必考题) 1．（23-24高一上·上海嘉定·阶段检测）下列字母表示“自然数集”“整数集”“有理数集”“实数集”，其排列顺序正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【详解】“自然数集”记作，“整数集”记作， “有理数集”记作， “实数集”记作. 故选：D 2．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 【答案】C 【详解】由方程组可得：，即， 若，则，不成立，方程组无解； 若，则，可得，即方程组只有一组解. 对于A：存在无数个实数k（），使得方程组的解集是单元素集，故A正确； 对于B：有且仅有一个实数，使得方程组的解集为空集，故B正确； 对于C：不存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集，故C错误； 对于D：如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集，故D正确； 故选：C. 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合 B．方程的所有解的集合可表示为 C．和是相等集合 D．很小的实数可以构成集合 【答案】C 【详解】对于A，没有元素，有一个元素，不是同一集合，错误； 对于B，由元素的互异性可知，错误； 对于C，由可知：，正确； 对于D，由元素的确定性可知，错误， 故选：C 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，且，则__________． 【答案】 【详解】集合，则，解得且， 由，则，故. 故答案为： 5．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为____________. 【答案】0或 【详解】因为，则，解得或. 故答案为：0或. 6．（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，且，则的值为_____. 【答案】 【详解】因为，，且， 所以或， 解得或或 ， 根据集合的元素的互异性可得，且， 所以，此时，，满足， 所以. 故答案为： 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合为空集，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【详解】由可得， 当，即时，方程无解，即为空集. 故答案为： 8．（25-26高一上·上海金山·期中）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 【答案】 【详解】由题意可知，所以根据集合元素的互异性可知， 则，此时需，即，所以. 故答案为： 9．（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________. 【答案】2 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. 故答案为：2. 10．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 11．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【详解】（1）当时，即，则，， ，，所以. （2）假设集合是单元素集， 由，则，得，整理得与实数平方为非负数矛盾， 所以集合不可能是单元素集. （3）由，得且，，于是， ，所以. 题型二：交集、并集、补集的常规运算(月考必考题) 1．（24-25高一上·上海·期中）若全集，非空集合M、N满足，则下列集合中表示空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】可用图表示集合，，如下： 观察图形，得，，，，A是，BCD不是. 故选：A 2．（25-26高一上·上海松江·期中）设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】图中阴影部分的集合是. 故选：B. 3．（25-26高一上·上海·期中）若集合，，则______． 【答案】 【详解】因为，，所以. 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海·期中）已知全集，集合，则_______． 【答案】 【详解】根据题意得. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海松江·阶段检测）已知集合，，则_____． 【答案】 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 可得集合，且集合， 所以. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海·期末）设全集，集合，集合，则______. 【答案】 【详解】由集合，集合可得， 又全集，因此. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海静安·期末）设全集为，若的子集集合，子集，则=___________ 【答案】 【详解】由，，解得或，则； 由，解得，则，可得或； 所以. 故答案为：. 8．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）设全集，求 (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）由于， 故； （2）由题意知，故； （3）由题意得，故. 9．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知全集，方程的解集是，集合，.求，，. 【答案】； 【详解】因为方程的解集是， 所以由根与系数的关系可得， 故，， 所以，， 又， 所以. 题型三：子集、真子集问题（上海高一期中高频重点） 1．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 2．（25-26高一上·上海·期中）设集合，则满足的集合的子集最多个数是（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】因为集合，则满足， 所以集合的元素可能是2个，3个，4个， 所以集合的子集最多个数是个. 故选：C 3．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知集合，若集合是的个不同子集，且为的真子集，则的最大值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】的子集有： ， 要满足为的真子集，且的最大， 由8个子集可知：两个元素的子集最多一个， 若两个元素的子集有两个，任意两个的并集都是，不符合题意， 单元素子集最多两个， 若单元素子集有3个，，并集为，不符合题意， 再包含一个空集， 举例：符合题意. 即的最大值是， 故选：B 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）若集合的没有真子集，则实数________． 【答案】 【详解】因为集合没有真子集， 所以，即无解，则. 故答案为：0 5．（25-26高一上·上海·期中）适合条件的集合的个数_________个. 【答案】 【详解】由题意知集合中元素的个数可以为个， 当集合中元素的个数为个时，可以为：； 当集合中元素的个数为个时，可以为：、； 当集合中元素的个数为个时，可以为：. 综上所述：适合条件的集合有个. 故答案为：4 6．（25-26高一上·上海·期中）若集合有2个子集，则实数的值为_______． 【答案】或 【详解】因为集合有个子集，所以方程有且只有一个根. 当时，方程可化为，解得，满足条件； 当时，若方程有且只有一个根，则，解得； 综上，实数的值为或. 故答案为：或. 7．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知集合满足，则符合条件的集合个数有__________个． 【答案】 【详解】因为，则中一定含有元素，又， 所以符合条件的集合个数相当于求集合的真子集个数，故有个. 8．（25-26高一上·上海松江·期中）已知由自然数组成的元集合，非空集合，且对任意，都有，当时，则所有满足条件的集合的元素的和为__________. 【答案】288 【详解】当时，， 由是的非空子集，且时，，得中有偶数个元素， 当中有两个元素时，集合可以为，，，，元素总和为：； 当中有四个元素时，集合可以为集合，，，中任取两个的并集， 集合共有6种情况，元素总和为：； 当中有六个元素时，集合可以为集合，，，中任取三个的并集，集合共有4种情况，元素总和为：； 当中有八个元素时，，元素之和为：，所以所有满足条件的集合的元素和为：. 故答案为：288. 9．（25-26高一上·上海·期中）集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则__________. 【答案】 【详解】的所有非空子集为分为以下几种情况， ①含0的子集个，这些子集均满足乘积为0， ②不含0，不含，但含有其他元素的子集，有（去掉空集）个， ③不含0，含有且含有其他元素的子集，有个， ④只含的子集一个，此时乘积为， 其中②③中的集合是一一对应的，且为相反数，其乘积之和为0， 综上，. 故答案为： 题型四：已知交、并集结果反求参数（上海高一期中高频重点） 1．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，若，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以，且， 当时，，此时满足，故符合条件； 当时，，则，因为， 所以或，所以或； 综上所述，的取值为， 故答案为：. 2．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】因为集合，，且， 当是空集时，，所以； 当不是空集时，集合中是非负数， 所以，无解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为：. 3．（25-26高一上·上海·期中）设，，且，则实数组成的集合是_______. 【答案】 【详解】由， 当时，，满足，故； 当时，，由可得：， 所以或解得或， 即实数组成的集合是， 故答案为： 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，全集为. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）此时，则，； （2）当时显然满足要求，故，即 当时，则有，即 综上得. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合． (1)设集合，求； (2)已知，设集合，若，求的取值范围． 【详解】（1）由二次函数的性质可得， 所以集合，又， 所以. （2）因为，所以， 所以当时，，即， 当时，，解得， 所以的取值范围为. 6（25-26高一上·上海·期中）设全集为，，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【详解】（1）根据题意可得：，则 （2） 若，有，解得； 若，，解得 综上所述：的取值范围为 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以 ， 当时，由，得，符合， 当时，由得，解得，即， 综上，的取值范围为； （2）当时，，此时，不符合题意； 当时，由得或，所以， 当时，，要使得，则，解得， 当时，，要使得，则，解得， 综上，的取值范围为. 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）设集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）对于集合，解得：或，所以， 因为,所以，那么可能是，也可能是，或， 对于 当时，方程变为，方程无解，此时，满足； 当时，解方程，解得，即， 若 ，则，解得；若，则，解得； 若，则不可能同时等于，这种情况不成立； 综上，实数a的取值范围 （2）因为，所以，那么可能是，也可能是，或， 对于集合， 其方程的判别式 当时，，即，解得：； 当是单元素集时，，即，解得：或， 当时，方程变为， 解得，此时，满足， 当时，方程变为， 解得，此时，不满足，舍去； 当时，是方程的两个根， 根据韦达定理可得 ，即 解第一个方程得，解第二个方程得，两个方程的解不一致，这种情况不成立. 综上，实数的取值范围. 9．（25-26高一上·上海·期中）已知集合或，. (1)求； (2)若，当时，求实数的取值范围； (3)若，当时，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）当时，，满足； 当时，，由得，解得； 当时，，由得，解得. 综上，实数的取值范围是. （3）当时，，解得； 当时，，由得或，即或. 结合，得或. 综上，实数的取值范围是. 题型五：集合新定义问题（上海月考、期中压轴） 1．（25-26高一上·上海浦东新·期中）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（   ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】对于①：， 当，时，， 但，不满足闭集合的定义，故①错误； 对于②：， 任意，可设，，， 则，， 由，， 所以，且，故集合为闭集合．故②正确； 对于③：设， 任意，可设，，， 则，， 由，， 所以，且，则集合为闭集合． 由②分析可知也为闭集合． ， 当，时，， 但，即不是闭集合，故③错误； 对于④：设，若，则，， 则都为闭集合，又，且， 不存在，使得，即不存在，使得，故④错误； 故选：B. 2．（24-25高一上·山东·期中）在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】取，，满足题意，此时； 若，若， 因为和，故， 因为，故， 此时考虑元素8：因为且，故； 因为且，故， 所以8无法划分，与矛盾， 当时，类似推导可得矛盾，例如：若，则， 进而，元素无法划分，矛盾； 故正整数n的最大值为7． 故选：B. 3．（25-26高一上·上海·期末）已知非空数集满足：若任意，则，且，给出以下命题：①若是有限集，则；②若，则；③若，则；④存在集合，使得；则真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①：是有限集，若， 所以为无限集，与是有限集矛盾， 所以，因此本序号说法正确； ②：，例如取，显然不成立，所以本序号说法不正确； ③：若，例如取，所以不成立，所以本序号说法不正确； ④：设， 显然当时， ， 当时，， 当时，， ， 当时，， 当时，， 所以符合题中定义，因此本序号说法正确. 故选：B 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）在本题中，我们把且叫做集合A与B的差集，记作．设，，则________________． 【答案】 【详解】因为，， 所以，， 所以. 故答案为： 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）设是中两个子集，对于，定义：，若对任意，若，则用描述法表示集合___________ 【答案】 【详解】对于任意，，则的值一个为0，另一个为1， 即，必有，或时，必有， 所以A、B的关系为，又， 则， 故答案为： 6．（23-24高一上·上海徐汇·阶段检测）设集合A是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称k为集合A的一个“孤立元”，给定集合，由M中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有______个． 【答案】7 【详解】由题意，若是由M中的3个元素组成的集合， 当且1为孤立元，则；当且2为孤立元，则； 当且3为孤立元，则；当且4为孤立元，则； 当且5为孤立元，则；当且6为孤立元，则； 当且7为孤立元，则；当且8为孤立元，则； 当且9为孤立元，则； 要使不含有“孤立元”：若，则，进而有，即满足； 若且，则，进而有，即满足； 若且，则，进而有，即满足； 依次类推，都满足， 综上，由M中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有7个. 故答案为：7 题型六：点集综合问题（上海月考、期中压轴拓展压轴） 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合，，则________． 【答案】 【详解】把代入得， 解得或（舍）， 则，或， 所以. 2．（23-24高一上·上海普陀·阶段检测）若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是______. 【答案】4 【详解】根据定义有或， ，则，这是一个边长为的正方形，面积为， 同理，，也都形成一个边长为的正方形，面积都是， 所以. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）已知集合，定义集合：，则中的子集个数为___________ 【答案】231 【详解】由题意，集合， 可得集合中有5个元素，即5个点，如图所示的图中的黑点， 集合中有15个元素，即15个点， 即图中长方形内部及长方形的边上的整点， 又由或或或或或或，共由7个值； 或或或或，共由5个值； 所以集合中的元素可看作图中长方形边上除去四个顶点外的整点，共有个， 所以集合中的子集个数为个. 故答案为：. 4．（24-25高三上·上海·开学考试）已知全集，若集合，且对任意，均存在，使得：，则称集合为“对称对点集”.给出如下集合： （1）；    （2）； （3）；    （4）. 其中是“对称对点集”的序号为__________（写出所有正确的序号） 【答案】（1）（4） 【详解】对于（1），显然，且对任意，取，此时， 且，故（1）符合题意； 对于（2），若，，则， 所以与同号，而同号的两个数相加不可能等于0，故（2）不符合题意； 对于（3），若，，而当时，， 此时如果有，就意味着，但事实上，故（3）不符合题意； 对于（4），显然，且对任意，即，取， 此时有，即，且满足，故（4）符合题意. 故答案为：（1）（4）. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $