第二章有理数 2.4有理数的加法与减法（知识精讲+题型讲解+课后练习） 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

本讲义聚焦初中数学有理数的加法与减法，系统梳理加法法则（同号、异号、与0相加）、运算律（交换律、结合律）、减法法则（转化为加法）及加减混合运算，以有理数基本概念为基础构建从基础到综合的学习支架。 资料通过分层例题、变式练习及易错点提醒，融合分类讨论、实际应用等题型，培养学生运算能力、推理意识与应用意识，如含绝对值的求值题提升推理能力，水库水位问题发展应用意识，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

有理数2.4 有理数的加法与减法 知识点 1 有理数的加法法则 有理数的加法法则是进行一切有理数运算的基础，必须结合“符号”和“绝对值”两方面来判断。 【重点】加法的结果叫做“和”，和的符号与加数的符号不一定相同。 有理数加法法则： (1) 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； (2) 异号两数相加，绝对值相等时和为 0（互为相反数）；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； (3) 一个数同 0 相加，仍得这个数。 【精选例题 1-1】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【解析】 (1) 同号（正），取正号，绝对值相加：，故 。 (2) 同号（负），取负号，绝对值相加：，故 。 (3) 异号，，取 号，用大减小：，故 【易错】异号相加取“绝对值较大者”的符号，不是第一个数的符号。 (4) 异号，，取负号，，故 。 (5) 互为相反数相加得 。 (6) 一个数同 0 相加仍得原数：。 【精选例题 1-2】 已知 |a|=5，|b|=3，且 a<b，求 a+b 的值。 【解析】由 |a|=5 得 a=±5；由 |b|=3 得 b=±3。满足 a<b 的情况： • 若 a=5，则需 5<b，但 b 最大为 3，不成立； • 若 a=-5，则 -5<3 与 -5<-3 均成立，故 b=3 或 b=-3。 于是 a+b=-5+3=-2 或 a+b=-5+(-3)=-8。 【易错】含绝对值的求值题必须分类讨论，且要用 a<b 检验取舍，不能漏解也不能多解。 【变式练习 1-1】计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【变式练习 1-2】 若 |x|=3，|y|=5，且 x>y，求 x+y 的值。 知识点 2 有理数加法的运算律 有理数加法满足以下运算律，可使计算简便： • 加法交换律：a + b = b + a； • 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。 【重点】运用运算律的核心思想是“凑整、同号结合、互为相反数结合、同分母结合”，从而化繁为简。 【易错】交换加数位置时，要连同它前面的符号一起移动，不能只移数字不移项号。 【精选例题 2-1】 计算：。 【解析】将负数结合、正数集中： 【精选例题 2-2】 计算：。 【解析】互为相反数的 与 结合，分母相同的结合： 【变式练习 2-1】 计算：。 【变式练习 2-2】 计算：。 知识点 3 有理数的减法法则 有理数减法是加法的逆运算，核心是把“减法”转化为“加法”： 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即 【重点】法则可简记为“减变加，减数变相反数”，被减数保持不变。 【易错】转化时只变一次号——减号变加号、减数变相反数，被减数绝对不能变号；常见错误是把被减数也取反。 【精选例题 3-1】计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【解析】 (1) 。 (2) 。 (3) 。 (4) 。 (5) 。 【精选例题 3-2】 若 a<0，b>0，判断 a-b 与 0 的大小关系。 【解析】a-b = a+(-b)。因为 a<0，且 b>0 所以 -b<0，两个负数相加仍为负，所以 a-b<0。 【变式练习 3-1】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式练习 3-2】 若 m>0，n<0，则 m-n __0（填 >、< 或 =）；若 x<0，y<0，则 x-y 的符号与 ____ 有关。 知识点 4 有理数的加减混合运算 在一个算式里，既有加法又有减法时，可先把所有减法统一成加法，再按加法运算律计算。 步骤： 1. 减法化加法：将每个 “-(某数)” 改写为 “+(某数的相反数)”； 2. 省略加号和括号，写成 “代数和” 形式； 3. 两种读法：（1）按运算符号读，如“a 加 b 减 c”；（2）按性质和读，如“正 a、正 b、负 c 的和”。 【易错】去掉括号时，括号前是 “+” 号，括号内各项符号不变；括号前是 “−” 号，括号内各项都要变号，如 。 【精选例题 4-1】 计算：。 【解析】先统一成加法： 【精选例题 4-2】 把 写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法。 【解析】省略括号与加号后为：。 读法一（按运算）：20 减 3 加 5 减 7； 读法二（按性质）：20、−3、5、−7 的和。 【变式练习 4-1】 计算：。 【变式练习 4-2】 把 写成省略括号的和的形式。 题型 有理数加减中的符号与分类讨论 这类题常把相反数、倒数、绝对值等概念融合在一起，关键是先把这些特殊关系转化为具体数值，再分类讨论。 【精选例题】 已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的绝对值是 2，求 a+b-cd+m 的值。 【解析】由题意：。 原式 = • 当 m = 2 时，原式 = −1 + 2 = 1； • 当 m = −2 时，原式 = −1 + (−2) = −3。 故值为 1 或 −3。 【变式练习】 已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值是 3，求 2(a+b)-3cd+x 的值。 题型 ★ 有理数加减法的实际应用 将实际问题中的“上升/下降、收入/支出、向东/向西”等转化为正负数，再进行加减混合运算。 【重点】“代数和”表示最终状态，“绝对值之和”表示总路程/总耗量。 【精选例题】 某水库以正常水位为 0 m，记录一周内每日水位变化（单位：m，上升记正、下降记负）： (1) 周末水库水位相对正常水位是上升还是下降？变化多少？ (2) 若警戒水位为 +1.0 m，本周末是否超过警戒水位？ 【解析】(1) 总变化：，即水位无净变化（不升不降）。 (2) 周末水位为 0 m，因为 0 < 1.0，所以未超过警戒水位。 （数轴示意：正常水位居中 0，上升为正、下降为负；警戒水位 +1.0 m 高于周末水位 0 m，故未超警戒。） 【变式练习】 小明骑自行车从家出发沿东西大街练习，向东记正、向西记负，行驶记录（单位：km）： (1) 最后小明在家的什么方向，距家多远？ (2) 若每千米耗电 0.1 度，这一天共耗电多少度？ 题型 ★ 新定义运算与规律探究 先严格按照题目给定的新运算规则代入，再结合有理数的加减法则化简、判断。 【精选例题】 定义新运算“⊕”：a⊕b = a + b − ab，例如 2⊕3 = 2 + 3 − 2 × 3 = −1。 (1) 求 (−2)⊕4 的值； (2) 判断该运算是否满足交换律，并说明理由。 【解析】(1) 。 (2) 因为 ，而 ，二者相等，所以满足交换律。 【变式练习】 规定 a∗b = (a + b) − (a − b)，求 (−3)∗(−5) 的值，并探究 a∗b 与哪个简单运算等价。 【易错点提醒·重点归纳】 1. 异号相加符号错：应取“绝对值较大的加数”的符号，而不是第一个加数的符号。如 (+6)+(−8) 结果为负（因 |−8| > |+6|），不是正。 2. 减法转化只变一次号：a − b = a + (−b)，仅减号变加号、减数变相反数，【易错】被减数不能变号。例如 (−3)−(−7) = (−3)+(+7) = 4，不是 (−3)+(−7)。 3. 去括号符号错：括号前是 “−” 号时，脱括号后括号内各项都要变号，如 a − (b − c) = a − b + c，常见漏变第二项。 4. “0”的运算：0 加任何数得原数；0 减某数等于该数的相反数（0 − a = −a）；互为相反数的两数和为 0。 5. 带分数运算：如 −2⅓ 表示 −(2+⅓)，通分或化假分数时易把整数部分漏掉，建议化为 −7/3 再计算。 6. 运算律误用：只有把减法统一成加法后，才能任意交换、结合；直接对减法算式“随意结合”会得到错误结果。 【巩固练习】 1. 计算 = ____。 2. 计算 = ____。 3. 计算 = ____。 4. 计算 = ____。 5. 计算 = ____。 6. 计算 = ____。 7. 计算 = ____。 8. 计算 = ____。 9. 下列计算正确的是（ ）。A. B. C. D. 。 10. 若 ，且 a、b 异号，则 = ____。 11. 计算：。 12. 计算：。 13. 用运算律计算：。 14. 计算 = ____。 15. 计算 = ____。 16. 计算 = ____。 17. 计算 = ____。 18. 计算 = ____。 19. 若 ，则 __0（填 >、< 或 =）。 20. 计算：。 21. 把 写成省略括号的和的形式。 22. ★ 已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数， 的绝对值是 ，求 的值。 23. ★ 某日气温变化记录（单位：℃）：。求这 6 次变化的总代数和，并说明它表示的物理意义。 24. ★ 小明从 A 地出发，向东走记正，行走记录（单位：km）：。求最终位置（相对 A 地）及总路程。 25. ★ 求 的最小值，并指出此时 的取值范围。 参考答案 【变式练习 1-1】 (1) −30； (2) +5； (3) 0； (4) −1.5； (5) +6.5。 【变式练习 1-2】 |x|=3 ⇒ x = ±3，|y|=5 ⇒ y = ±5。由 x>y：当 x=3 时只能 y=−5（因 3>−5 成立，3>5 不成立），故 x+y = 3+(−5) = −2；当 x=−3 时 y=−5（−3>−5 成立），故 x+y = −3+(−5) = −8。答案：−2 或 −8。 【变式练习 2-1】 (−2.4)+(+3.5)+(−4.6)+(+5.5) = [(−2.4)+(−4.6)]+[(+3.5)+(+5.5)] = −7+9 = 2。 【变式练习 2-2】 (−1/2)+(+3/4)+(−1/4)+(+1/2)+(−3/4) = [(−1/2)+(+1/2)] + [(+3/4)+(−1/4)] + (−3/4) = 0 + 1/2 − 3/4 = −1/4。 【变式练习 3-1】 (1) −14； (2) 6； (3) −1/5； (4) 0.5。 【变式练习 3-2】 m>0，n<0 ⇒ m−n = m+(−n) > 0，填 ">"；x<0，y<0 ⇒ x−y = x+(−y)，符号取决于 |x| 与 |y| 的大小（若 |x|>|y| 则负，若 |x|<|y| 则正），填 "x、y 的绝对值大小"。 【变式练习 4-1】 (−12)−(−7)+(−5)−(+4)+(+9) = −12+7−5−4+9 = (−12−5−4)+(7+9) = −21+16 = −5。 【变式练习 4-2】 (−1/2) − (+3) − (−1/4) + (−1) 写成省略括号的和的形式：−1/2 − 3 + 1/4 − 1。 【变式练习（分类讨论）】 a+b=0，cd=1，|x|=3 ⇒ x=±3。原式 = 2×0 − 3×1 + x = −3+x；当 x=3 时为 0，当 x=−3 时为 −6。答案：0 或 −6。 【变式练习（★应用）】 (1) 位置：−2+8−3−9+3+1+4−5−1 = (−2−3−9−5−1)+(8+3+1+4) = −20+16 = −4，即在家正西 4 km 处。 (2) 总路程：2+8+3+9+3+1+4+5+1 = 36 km，耗电 36 × 0.1 = 3.6 度。 【变式练习（★新定义）】 (−3)∗(−5) = [(−3)+(−5)] − [(−3)−(−5)] = (−8) − (+2) = −8 − 2 = −10； 探究：a∗b = (a+b) − (a−b) = a+b−a+b = 2b，即等价于"2 倍的第二个数 b"，与 a 无关（代入 b=−5 得 2b=−10，与上式一致）。 【巩固练习】 1. 13； 2. −13； 3. 3； 4. −5； 5. 0； 6. −12； 7. 1； 8. −1/2（−4/6 + 1/6 = −3/6 = −1/2）； 9. B（A 应为 −8，C 应为 −4，D 应为 0）； 10. 3 或 −3（a=7, b=−4 得 3；a=−7, b=4 得 −3）； 11. 2（负数结合、正数结合：(−2.4−4.6)+(3.5+5.5) = −7+9 = 2）； 12. 1/2（(−1/2+1/2)+(3/4−1/4) = 0+1/2）； 13. 3（[−13+(−7)]+[8+15] = −20+23 = 3）； 14. 9； 15. 3； 16. −7； 17. −7； 18. −1/4（−3/4+1/2 = −3/4+2/4 = −1/4）； 19. >（x−y = x+(−y)，−y>0，两正数相加为正）； 20. −2（(−9)+(−5)+7+3+2 = −14+12 = −2）； 21. −15+3+6−8； 22. (a+b)−cd+m = 0−1+m = −1+m；当 m=3 时为 2，当 m=−3 时为 −4。答案：2 或 −4； 23. 总代数和：−2+3−1+4−3+1 = (−2−1−3)+(3+4+1) = −6+8 = 2。表示相对初始温度最终升高了 2 ℃； 24. 最终位置：−3+5−2+4−6+1 = (−3−2−6)+(5+4+1) = −11+10 = −1，即在 A 地西 1 km 处；总路程：3+5+2+4+6+1 = 21 km； 25. |x−1| 表示 x 到 1 的距离，|x+2| = |x−(−2)| 表示 x 到 −2 的距离。当 −2 ≤ x ≤ 1 时两距离之和最小，最小值 = 1−(−2) = 3。答案：最小值 3，此时 −2 ≤ x ≤ 1。 学科网（北京）股份有限公司 $