重难点01 三角形中七大角度模型（讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦三角形七大角度模型（8字、飞镖、A字、风筝、双内角平分线、双外角平分线、内外角平分线），从基础图形关系到角平分线应用，构建从图形识别到角度计算的学习支架，系统梳理各模型的角度关系及证明方法。 资料通过“知识点讲解+证明+即学即练+题型精析+变式巩固”的阶梯式设计，以飞镖模型证明培养推理意识，折叠问题练习强化几何直观，综合题提升应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过典型例题与变式练习查漏补缺，夯实三角形角度计算能力。

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十三章 三角形 重难点01三角形中七大角度模型 理新知 教材全盘梳理 《◇知识点一8字模型 8字模型：两条线段相交形成形似数字“8”的图形，相交形成两组对顶三角形，上方两个角的度数之和， 等于下方两个角的度数之和。若AC与BD交于点O,则∠A+∠B=∠C+∠D。 D 证明： △ABO中：∠A+∠B+∠AOB=180 △CDO中：∠C+∠D+∠COD=180° .∠AOB=∠COD(对顶角相等) ∴.∠A+∠B=∠C+∠D 《◇即学即练 1.如图，将△ABC沿过点C的直线MN翻折得△AB'C,若∠ACA'=∠BCB=100°，∠A=32°，则∠B的 度数为() M A.68 B.649 c.58 D.50° 1/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【分析】 【详解】解：根据翻折，得∠A=∠A=32°， 又∠BCB'=∠A+∠B=100°， ∠B=68°. 故选：A 《。知识点三 飞镖模型 飞镖模型：图形整体轮廓像飞镖，由一个大三角形内部凹进去一个顶点构成凹四边形，凹顶点处的大角， 等于外侧三个小角相加。凹四边形ABDC中，∠BDC=∠A+∠B+∠C。 B 证明： 延长BD交AC于E ∠BEC=∠A+∠B(三角形外角等于不相邻两内角和) BDC=∠BEC+∠C 代入得：∠BDC=∠A+∠B+∠C 《◇即学即练 2.如图，点O是△ABC内一点，∠A=60°，B0、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BOC等于 () 2/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B」 C A.110° B.120° C.130° D.无法确定 【答案】B 【详解】解：：∠A=60°， .∠ABC+∠ACB=180°-60°=120° :BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠08C+∠0CB=(∠4BC+∠ACB)=60, .∠B0C=180°-（∠0BC+∠0CB)=180°-60°=120° 故选：B 【点睛】此题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理和角 平分线的定义 《父知识点三A字模型 A字模型：图形呈大写“A”形状，三角形两条边向外延长形成两个外角，这两个外角相加的度数，等于 180°加上三角形顶角的度数。∠DBC、∠ECB为△ABC的外角，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A。 B D 证明： ∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC 两式相加：∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ABC+∠ACB .∠ABC+∠ACB=180°-∠A ∴.∠DBC+∠ECB=180°+∠A 3/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 《今即学即练 3.如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D,交AC于点E,则∠BDE+∠CED=(). B A.180° B.215° C.235% D.245 【答案】D 【分析】 【详解】 解：∠A=65°， .∠ADE+∠AED=180°-65°=115°， .∠BDE+∠CED=360°-115°=245°， 故选：D 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于I80°是解题的关键。 《◇知识点四风筝型 风筝模型：三角形两条侧边向外延伸，内部取一点连接两侧边形成封闭图形，三角形顶角与内部点形成的 角相加，等于两条延长线上外侧两个外角之和。满足∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE。 D 证明： 连接AF 4/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ∠DBF=∠BAF+∠BFA,∠FCE=∠CAF+∠CFA 两式相加：∠DBF+∠FCE=(∠BAF+∠CAF)+(∠BFA+∠CFA) 整理得：∠DBF+∠FCE=∠BAC+∠BFC 。即学即练 4.如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在 边BC上，若∠A=50°，则∠1+∠2+∠3+∠4=一. D 4 【答案】230°/230度 【详解】解：∠A=50°， aABC中，∠B+∠C=130°， 又：∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠C=180° ∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠C)=360°-130°=230° 故答案为：230° ◇知识点五双内角平分线模型 双内角平分线模型：在任意三角形中，两个内角的角平分线相交于内部一点，该交点形成的钝角，等于 90°加上原三角形顶角的一半。△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,交点为D,则 2BDC=90+52A, 5/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明： 设∠DBC=X,∠BCD=y ∠A+2x+2y=180°→x+y=90-1 ∠A ∠BDC=180°-(x+y)=90°+ 2<A 《个即学即练 5.如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的角平分线，∠BDC=120°，则∠A的度数为() 0 A.40° B.50° C.60° D.75 【答案】C 【分析】 【详解】解：：BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB, :.∠ABC=2∠DBC,∠ACB=2∠DCB :∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°， .∠A+2(LDBC+∠DCB)=180°，∠A+2(180°-∠BDC)=180°， ∴.∠A=2∠BDC-180°， 而∠BDC=120° ∴.∠A=2×120°-180°=60° 故选：C 6/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◇知识点六 双外角平分线模型 双外角平分线模型：三角形两个外角的角平分线相交于三角形外侧一点，交点形成的锐角，等于90°减去 原三角形顶角的一半，BD、m平分△ABC的两个外角，交于点D,则∠BDC=90-号∠A。 E D 证明： 设∠CBD=X,∠BCD=y 2x+2y=180°+∠A→x+y=90°+1 人A ∠BDC=180-(x+y)=90°-号∠A 《◇即学即练 6.如图，在△ABC中，∠ABC=∠C,∠ABC的角平分线与外角∠EAC的角平分线交于点D. E D B (I)求证：AD‖BC: (2)若∠BAC=36°，求∠ADB的度数. 【答案】(1)见解析 (2)360 【分析】 7/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)∠B+∠C+∠BAC=180°，∠CAD+∠EAD+∠BAC=180° ∴.∠B+∠C=∠CAD+∠EAD :∠ABC=∠C,∠CAD=∠EAD ∴.∠C=∠CAD :ADII BC: (2).∠BAC=36° ∠ABc=∠C=00-∠B4C)=72 :BD平分∠ABC :∠ABD=∠CBD=∠ABC=36° ADI BC .∠ADB=∠CBD=36° 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的概念，平行线的性质和判断，解题的关键是熟练掌握 以上知识点， 《。知识点七内外角平分线模型 内外角平分线模型：三角形一个内角平分线与另一个角的外角平分线相交，交点形成的角，恰好等于原三 角形顶角的一半。BD平分内角∠ABC,CD平分外角∠ACE,两线交于D,则∠D=)∠A 证明： ∠ACE=∠A+∠ABC,即2∠ACD=∠A+2∠DBC ∠ACD=∠D+∠DBC,代入得2（∠D+∠DBC)=∠A+2∠DBC 化简得∠D=号∠A 2 《◇即学即练 7.如图，在△ABC中，∠A=8O°，BF平分外角∠CBD,CF平分外角∠BCE,BG平分∠CBF,CG平分 8/42 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BCF,求∠G的度数. B G E 【答案】115° 【详解】解：：∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC, .∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC, :∠ACB+∠A+∠ABC=180°， .∠DBC+∠ECB=∠A+180°=80°+180°=260° :BF平分外角∠DBC,CF平分外角LECB, ∠FBC=DBc,∠rCB∠ECB, ∠FBC+∠FCB=(DBc+∠ECB)=130 :BG平分∠CBF,CG平分∠BCF, ∠GBC=,∠FBC,∠GCB=)∠FCB, ZGBC+ZGCB-(C+ZFCB)=6 ∴.∠G=180°-（∠GBC+∠GCB)=180°-65°=115° 通题型 解题能力构建 。题型018字模型 典例精引粉 例1.如图线段DG,EM,FN两两相交于B,C,A三点，则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是 (). 9/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B y G A.180 B.360° C.540 D.720 【答案】B 【详解】解：在△AMN中，∠M+∠N+∠MAN=180°，则∠M+∠N=180°-∠MAN: 在△CGF中，∠G+∠F+∠FCG=180°，则∠G+∠F=180°-∠FCG: 在△BDE中，∠D+∠E+∠DBE=180°，则∠D+∠E=180°-∠DBE: :.∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N=540°-(LMAN+∠DBE+∠FCG), :∠MAN=∠BAC,∠DBE=∠ABC,∠ACB=∠FCG, 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=1I80°，则∠MAN+∠DBE+∠FCG=180°， ∴.∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N=540°-180°=360°， 故选：B 变式巩固 变式1-1.如图，AB和CD相交于点O,∠A=∠C,则下列结论中不能完全确定正确的是() D A Q C B A.∠B=∠DB.∠1=∠A+∠DC.∠2>∠D D.∠C=∠D 【答案】D 【详解】：∠A+∠AOD+∠D=180°，∠C+∠COB+∠B=180°，∠A=∠C,∠AOD=∠BOC, ∠B=∠D, ∠1=∠2=∠A+∠D, .∠2>∠D, 故选项A,B,C正确， 10/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选D. 【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键、 变式1-2.如图，已知直线AB、CD相交于点O,∠C=80°，∠A=40°，∠B=90°，∠D= 【答案】30°/30度 【详解】解：，∠C=80°，∠A=40°， :.∠A0C=180°-∠C-∠A=180°-80°-40°=60° .∠BOD=∠AOC=60°， :∠B=90° :.∠D=180°-∠B-∠B0D=180°-90°-60°=30°， 故答案为：30°。 变式1-3.如图，已知∠A=60°，∠B=40°，∠C=30°，则∠D+∠E等于 B 【答案】50°/50度 【详解】解：如图，连接BC.设DC与BE交于点F, E B1.F2c:∠A=60,∠ABE=40,∠4CD=30 ∴.∠1+∠2=180°-∠A-∠ABE-∠ACD=180°-60°-40°-30°=50° ∠D+∠E+∠DFE=180°，∠1+∠2+∠BFC=180°，∠BFC=∠DFE, ∠D+∠E=∠1+∠2=50°， 故答案为：50° 11/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 >题型02飞镖模型 典例1精1析 例2.如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E,交AC于点F.若∠A=36°，∠D=14°，则∠ACB 的度数为() B A.50° B.65° C.68° D.70° 【答案】C 【详解】解：：DE⊥AB,∠A=36° ∴.∠AFE=90°-∠A=54° ∴.∠CFD=∠AFE=54° ∴.∠ACB=∠CFD+∠D=54°+14°=68 变|式巩1固 变式2-L.如图，点D,E分别在线段AB,BC上，连接AE,CD相交于点F,若∠A=30°，∠C=20°， B=55°，则∠EFD的度数为 【答案】105° 【详解】解：∠C=20°，∠B=55°， ∠ADF=LB+∠C=55°+20°=75°， ∠A=30°， ∠DFE=∠A+∠ADF=30°+75°=105°， 故答案为：105° 变式2-2.如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，则a、B、Y三个角的数量关系为( 12/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a+B+y=60° B.a-B+y=60 C.a+B-y=60° D.a+2p-y=60° 【答案】B 【详解】解：如图， 由图形得au+x=60°，B+x+y=60°，y+y=60°」 .x=60°-a,x+y=60°-B,y=60°-y, .60°-a+60°-y=60°-B, a-B+y=60°， 故选：B。 变式2-3.如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C,且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不变.为了 舒适，需调整∠E的大小，使∠EFD=130°，则图中∠E应() 20° 30° 50°\ C60° A AB A.增加10° B.减少10° C.增加20 D.减少20° 【答案】A 【详解】解：延长EF交CD于点G,如图， 13/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20G 309 50° C60 AK B :∠CAB=50°，∠CBA=60°， .∠ACB=180°-50°-60°=70°， .∠ECG=∠ACB=70°， :.∠DGF=∠E+∠ECG=∠E+70°， :∠D+∠DGF=∠EFD. .20°+∠E+70°=130°， .∠E=40°， ∴.∠E增加40°-30°=10°， 故选：A >题型03A字模型 典1例1精」析 例3.如图，D,E两点分别在△ABC的两边AB,AC上，连接DE,已知∠I+∠2=a,则∠A=() D A.a-90° B.180°-a C.a-180° D.360°- 【答案】C 【分析】 【详解】解：，∠ADE=180°-∠1，∠AED=180°-∠2， :.∠ADE+∠AED=360°-(1+∠2)=360°-a, ,∠ADE+∠AED+∠A=180°， 14/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠A=180°-（∠ADE+∠AED)=180°-(360°-a)=a-180°， 故选：C 变|式巩固 变式3-1.如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，DE∥BC.若∠A=63°，∠AED=55° 则∠B的大小为() A.54 B.62 C.64° D.74 【答案】B 【详解】解：DE∥BC, .∠C=∠AED=55°， ,∠A=63°， ∴.∠B=180°-∠A-∠C=62° 变式3-2.如图，在△ADE与△BFC中，点B在AE上，点A、D在FC上，且∠F=30°，∠E=45°， ∠D=90°，则∠ABF的度数为() E B 45° A A.30° B.15° C.60° D.25° 【答案】B 【详解】解：：∠E=45,∠D=90°，∠DAE+∠D+∠E=180°， ∠DAE=45°， ,∠DAE=∠F+∠ABF,∠F=30°， .∠ABF=45°-30°=15°」 变式3-3.如图，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,△ABC的外角的平分线CD 15/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所在直线与∠ABC的平分线交于点D,与△ABC的外角的平分线BE交于点E.有下列结论：① ∠DBE=90°：②∠B0C=110°；③∠D=20°；④∠E=70°；⑤∠E+∠DCF=90°+∠ABD.其中正确的结 论有() E A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】D 【详解】解：：BD是∠ABC的平分线，BE是△ABC的外角的平分线， :∠DBE=∠D8C+∠CBE=)×180°=90°，故0正确： 2 :∠ABC,∠ACB的平分线交于点O, ∠ABD=∠08c-Aac,20cB=∠4c0-4C8, 又，∠A=40° ∠0BC+∠0cB=(∠ABC+∠AC8)=080-∠A=70 ∠B0C=180°-(L0BC+∠0CB)=180°-70°=110°，故②正确： CD平分∠ACF, LDCF-ACF. ∠4CF=∠MC+∠A'∠DCF=∠OBC+ZD'∠ABD=∠OBC=)∠ABC, ∴2∠OBC+2∠D=∠ABC+∠A=∠ACF=2∠DCF, .2∠D=∠A, :∠D=)∠A=20°，故③正确： 2 如图， 16/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠MBC=∠A+∠ACB∠BCN=∠A+∠ABC∠ACB+∠A+∠ABC=180° :∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=18O°+∠A, :BE平分∠MBC,CE平分∠BCN, ∴.∠MBC=2∠EBC,∠BCN=2∠BCE, ∠E8C+∠BC8=0r+5A=10， ∠E=180°-(LEBC+∠ECB)=70°，故④正确： :CD平分∠ACF,BD平分∠ABC, ∠DCF=5ABC+A=∠1BD+20, ∠E=70°， ∴.∠E+∠DCF=70°+∠ABD+20°=90°+∠ABD,故⑤正确： 综上正确的有：①②③④⑤ 故选：D 。题型04风筝模型 典1例1精1析 例4.在△ABC中，∠B=40°，将△ABC沿直线DE折叠，点B与点B1重合，则∠ADB1+∠CEB1的度数为 () A.30° B.80° C.60° D.100° 【答案】B 【详解】连接BB1, 17/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B B 由折叠的性质得：∠DBE=∠DBE-40°，DB-DB1,EB=EBL, ∴.∠DBB=∠DBB,∠EBB=∠EBB, ,'∠ADB1=∠DBB1+∠DBB, ∠CEB1=∠EBB1+∠EBB, ∴.∠ADB1+∠CEB=∠DBB1+∠DBB+∠EBB1+LEBB=∠DBE+∠DBE-80°， 故选：B 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键 变|式巩1固 变式41.如图，把一张三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠(3个顶点不重合)，则 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为() 6 D B 4入 B E M A.180° B.270° C.360° D.450° 【答案】C 【详解】解：连接AA,BB,CC',如图所示： 7 B 2 折叠 18/42 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DAE=∠DA'E,∠MB'N=∠MBN,∠QC'P=∠QCP 依题意，∠I=∠DAA'+∠DAA,∠2=∠AAE+∠AA'E, :∠DAA'+∠A'AE=∠DAE,∠DAA+∠AAE=∠DAE, ∴.∠I+∠2=∠DAE+∠DA'E=2∠DAE, 同理得∠3+∠4=∠MB'N+∠MBN=2∠MBN, 同理得∠5+∠6=LQC'P+∠QCP=2∠Q0CP, .∠MBN+∠QCP+∠DAE=180° .∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2x(∠MBN+∠QCP+∠DAE)=360° 变式4-2.如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB=AE,AC=AD, ∠BAD=∠EAC,∠C=50°，求∠D的大小. D 图1 图2 【答案】∠D=50° 【详解】解：，∠BAD=∠EAC, ∴.∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD, .∠BAC=∠EAD, ∴.在△ABC和△AED中， AB=AE ∠BAC=∠EAD AC=AD .△ABC≌△AED(SAS). ∴.∠D=∠C=50° 【点睛】此题考查了三角形全等的性质和判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质和判定方法， 全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等.判定三角形全等的方法有：SSS,SAS, AAS,ASA,L(直角三角形). 变式4-3.如图，在△ABC中.点D是BC上一点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED,点B的对应点为点 19/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E,∠BAD=∠ABC=26°，则∠CDE的度数为 E 【答案】76 【详解】解：：∠BAD=∠ABC=26°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED, ∠ADC=26°+26°=52°， ∴∠ADE=∠ADB=180°-52°=128°， ∠CDE=128°-52°=76°. 故答案为：76 。题型05双内角平分线模型 典例精析 例5.如图，在△ABC中，∠A=84°，点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC、∠OCB角 平分线的交点，若∠P=100°，则∠ACB的度数是() C A.42° B.60° C.56 D.65° 【答案】C 【详解】解：设∠BCP=∠PCO=x,∠BOP=∠COP=y, ∠P=100°， ∴.∠PCO+∠COP=x+y=80° .2x+2y=160° .∠0BC=180°-(ZB0C+∠BC0)=180°-(2x+2)=180°-160°=20°， :BO平分∠ABC, ∠ABC=40°， 20/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=84°， .∠ACB=180°-40°-84°=56°. 故选：C 变式巩固 变式5-1.如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O,直线A0与BC相交于点D, AE⊥BC于点E,∠ABC=60°，∠ACB=40°，则∠BOC=度，∠DAE=度. A B ED C 【答案】 130 10 【详解】解：：△ABC中，OB,OC分别为∠ABC,∠ACB的角平分线，∠ABC=60°，∠ACB=40°， :.∠AC0=∠BC0=30°，∠AB0=∠CB0=20° .∠B0C=180°-∠CB0-∠BC0=180°-20°-30°=130°， :∠ABC=60°，∠ACB=40°， .∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=80° 又AD是∠BAC的角平分线， ∠DAB=)∠BAC=40 ,AE⊥BC, ∴.∠AEB=90° ∴.∠BAE=90°-∠ABC=30° ∴.∠DAE=∠BAD-∠BAE=40°-30°=10° 故答案为：130,10 变式5-2.如图，在△ABC中，BE为角平分线，D为边AB上的一点（不与点A,B重合），连接CD交BE 于点O. 21/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①)当CD为高时，若∠ABC=60°，求∠BOC的度数： (2)当CD为角平分线时，若∠A=80°，求∠B0C的度数. 【答案】(1)∠B0C=1209 (2)∠B0C=1309 【分析】 【详解】(1)解：：BE平分∠ABC,∠ABC=60°， .∠OBD=5∠ABC=30°， :CD是△ABC的高， ∠0DB=90°， :.∠BOC=∠ODB+∠OBD=120°： (2):CD平分∠ACB,BE平分∠ABC, 20c-48c,20c8=号4CR, ∠08c+∠0cB(ABc+∠4CB)=80-∠A)=90-A, ∴2B0C=180-(0Bc+20CB)=0+54=90°+号x80=130. 变式5-3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AE是∠BAC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线， AE与CF相交于O,AD是△ABC的高，求∠BAD和∠AOC的度数. 0 D E 【答案】∠BAD=40°，∠AOC=115° 【详解】解：，AD是△ABC的高，∠B=50°， 22/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .Rt△ABD中，∠BAD=90°-50°=40° :∠BAC=90°，∠B=50° ∴.△ABC中，∠ACB=90°-50°=40° ,AE是∠BAC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线， ∠CE=∠B4C=45,∠ACF-54CB=20, ∴.△A0C中，∠A0C=180°-45°-20°=115° 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握三角形内 角和等于180°。 ◆题型06双外角平分线模型 典|例精」析 例6.如图，已知△ABC,BD与CD分别是外角∠EBC和外角∠ECF的角平分线，若∠D=62°，则∠A= B 【答案】56 【分析】 【详解】解：LD=62°， ∠DBC+∠DCB=180°-62°=118° ~BD与CD分别是外角∠EBC和外角∠ECF的角平分线， .∠EBC+∠FCB=2(∠DBC+∠DCB)=236° ∠ABC+∠ACB=180°+180°-（∠EBC+∠FCB)=124°， ∠A=180°-（∠ABC+∠ACB)=56°， 故答案为：56 变式6-1.在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P,∠ABC的外角平分线与∠ACB的外 23/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角平分线相交于点2.若∠Q=55°，则LBPC=。 【答案】125 【分析】 【详解】解：如图：∠Q=55°， :.∠QBC+∠QCB=180°-∠Q=125° ,∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点O, :.∠EBC=2∠QBC,∠FCB=2∠QCB :.∠EBC+∠FCB=2(LQBC+∠QCB)=250° .∠ABC+∠ACB=180°-∠EBC+180°-∠FBC=360°-250°=110°. ,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P, 2Psc-ABc,∠ncB=ACB, 2 :∠PBC+∠PCB=,(∠ABC+∠ACB)=55°， .∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=125° B 故答案为：125， 变式6-2.如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长 FB和GC交于点H.设∠A=a,∠H=B,则a与B之间的数量关系为 24/42 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G d 【答案】B=90°1 【详解】解：由三角形外角性质可得，∠ABD=a+∠ACB,∠ACE=a+∠ABC, :BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线， ∠D8F-BD-a+Z4c.∠BcG-acE-a+∠4c. BCBM=LDBF)a+LACB),∠BCH=∠ECG=)a+LABC) ∠CBH+∠BCH+∠H=180°， :a+∠AcB+a+∠ABC+=-I0, &a+B+(∠ACB+∠ABC)=180, a+A+2080-a）=180, 即B=90- 2, 故答案为：B=90°-1。 a 变式6-3.如图，在△ABC中，∠A=20°，∠EBC,∠DCB为△ABC的外角，∠EBC与∠DCB的平分线交于点 A,∠EBA与∠DCA的平分线交于点A,,∠EBA与∠DCA的平分线相交于点A,当两条角平分线无交 点时，则n的值为 A D 【答案】3 【详解】：∠A=20°， .∠ABC+∠ACB=180°-20°=160°， 25/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EBC+∠DCB=360°-160°=200°， 又：BA和CA分别平分∠EBC和LDCB, ∠4Bc=EBC,∠4CB-DcB, ∴∠A8C+∠4CB-EBC+∠DcB)=x200=100. .∠A=180°-（∠ABC+∠A,CB)=180°-100°=80°， BA和CA,分别平分∠EBA和∠DCA, ∴∠4B4=2∠EB4,24C4=∠DC4, ·.∠EBA+LDCA=LEBC+LDCB-(LABC+∠ACB)=100°， ∠AB4+Z4C4=(EBA+∠DC4)=50 .∠A,BC+∠A,CB=100°+50°=150°」 ∠4=180°-150°=30°， 同理可得，∠A,BC+∠A,CB=175°， .∠4=180°-175°=5°， ∠A,BC+∠A,CB=187.5°， 187.5°>180°， 无法组成三角形，即两条角平分线无交点， 故n的值为3 故答案为：3。 >题型07内外角平分线模型 典例精」标 例7.如图，BA和CA分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA是∠ABD的角平分线，CA,是 ∠ACD的角平分线，BA是∠A,BD的角平分线，CA是∠A,CD的角平分线，依此下去，若∠A=u,则 ∠A026为 26/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二----- B C D 【答案】226 【详解】解：：BA和CA分别是△ABC的内角平分线和外角平分线， ∠A8c=ABc,∠4CD-AcD, :∠ACD=∠A+∠ABC, 4cn-号A+号4c,即∠4cDA+∠ABC. 又：∠ACD=∠A+∠ABC, 同理可得：44=会 1 44=. ∠4-g ·当n=2026时，∠4s=2 故答案为：22026， 变式巩固 变式7-1.已知△ABC中，∠A=70°，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角角平分线，交点为D, 则∠D= 27/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】35 【详解】解：，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角角平分线， :∠CBD=)∠ABC,∠DCE=∠ACE, 2 ,∠ACE是△ABC的外角，∠DCE是△BCD的外角， ∠ACE=∠A+∠ABC=70°+∠ABC,∠DCE=∠CBD+∠D. ∴.∠D=∠DCE-∠CBD 1 -2∠ACE-∠CBD -0+4BC)-2C0 =35° 故答案为：35， 【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与其 不相邻的两个内角之和。 变式7-2.如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P;若∠BPC=25°，则 ∠A= 【答案】50°150度 【详解】解：，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P, .2LCBP=∠ABC,2∠DCP=LACD :∠BPC=∠DCP-∠CBP,且∠BPC=25°， .∠DCP-∠CBP=25°， :∠A=∠ACD-∠ABC, 28/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A=2∠DCP-2∠CBP=2×(∠DCP-∠CBP)=2×25°=50°， 故答案为：50° 变式7-3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE是△ABC的角平分线，CD⊥AB,垂足为D,延长CE与外 角∠ABG的平分线交于点F.若∠A=60°，则∠DCE+∠F=一· BG 【答案】45°45度 【详解】解：CD⊥AB,∠A=60, .∠ADC=90°，∠ACD=30°， :CE平分∠ACB,∠ACB=90°， 2AcE=∠Bc8=4CB=45 ∴.∠DCE=∠ACE-∠ACD=45°-30°=15， ∠ABG=∠A+∠ACB=150°， BF平分∠ABG :∠FBG=1∠ABG=750, 21 :∠FBG=∠F+∠FCB .∠F=75°-45°=30°， ∴.∠DCE+∠F=15°+30°=45 【点睛】利用三角形的内角和定理，角平分线的定义，高的性质求解即可，解题的关键是熟练掌握基本知 识。 刷好题课时巩固精炼 1.如图，在aCEF中，∠E=80°，∠F=55°，AB∥CF,AD∥CE,连接BC,CD,则∠A的度数是 () 29/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.45 B.50° C.55° D.80° 【答案】A 【详解】解：如图，延长EC交AB于点G, B G D:∠E=80°∠F=55° ∴∠ECF=180°-80°-55°=45°， AB‖CF, .∠BGE=∠ECF=45°， :AD∥CE, .∠A=∠BGE=45°， 故选：A, 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键 2.如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,点B、F分别在边BC、AC上，∠FEC=28°，∠AEF=2LAFE, ∠ABC的角平分线与∠AEF的角平分线交于点P,则∠P的度数为() 30/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.62 B.56° C.76° D.58 【答案】B 【详解】解：，∠ABC-2LC,BP平分∠ABC, ∴.∠PBC-LC, 设∠C=x, 则∠PBC, ∠FEC-28°， ∴.∠AFE=x+28°， ,∠AEF-2∠AFE, .∠AEF=2x+56°， :EP平分∠AEF, .∠FEP=x+28, '∠PEC=LP+∠PBC, .x+28+28°=∠P+x, ∴.∠P-56°， 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是 解题的关键 3.如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交 于点P,AB∥CD,∠P=15,∠CFP=100°，则∠ABP的大小为() 图1 图2 A.100° B.95° C.90° D.85° 【答案】D 【详解】解：，∠P=15,∠CFP=100°」 .∠PDC=∠CFP-∠P=85°， .AB II CD, 31/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABP=∠PDC=85°， 故选：D 4.将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形纸片上，直尺的两个顶点M,N分别落在AB,BC边 上，并与AC交于点P和2，若LBMN=60°，∠A=100°，则∠NOC的度数为() B N A.130° B.100° C.60° D.50° 【答案】A 【详解】解：根据题意得：∠PMN=90°， ∴.∠BMN+∠AMP=90°， ,∠BMN=60°， ∴.∠AMP=30°， :∠A=100°， .∠APM=50°， :MP∥Ng. :.∠APM=∠AQN=50° ∴.∠WQC=180°-50°=130° 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC,点E、F分别是边AB、AC上的动点，连接EF,将 △ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则 ∠A的度数是() 折叠 D B B E A.60° B.45o C.60°或45 D.30°或45° 【答案】C 【分析】 【详解】解：：△CDF中，∠ACB=90°，且△CDF是等腰三角形， 32/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CF=CD .∠CFD=∠CDF=45°， 连接DA, 设∠DAE=x°，由对称性可知，AF=FD,AE=DE, ·.∠FAD=∠FDA,LDAE=∠ADE .·∠CFD=∠FAD+∠FDA,∠DEB=∠DAE+∠ADE :∠RAD=∠FDA=)∠CFD=22.59,∠DEB=2, 2 分类如下： ①如图1，当DE=DB时，∠B=∠DEB=2x°， E 图1 由∠CDE=∠DEB+∠B,得45+22.5+x=4x, 解得：x=22.5 此时∠B=∠DEB=45°， ∠A=90°-∠B=45°： ②如图2，当BD=BE时， 则∠BDE=∠DEB=2x°， 故∠B=(180-4x)°， 由∠CDE=∠DEB+∠B得：45+22.5+x=2x+180-4x, 解得x=37.5, B 图2 此时∠B=(180-4x)°=30°， ∠A=90°-∠B=60°： 33/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③DE=BE时， 则∠BDE=∠B, 故∠B= 180-2x=(90-x)°， 2 由∠CDE=∠DEB+∠B得45+22.5+x=2x+90-x 此方程无解. DE=BE不成立： 综上所述，∠A的度数是45°或60°」 故选：C 6.在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果 ∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠D=35°，∠E=72°，那么∠F=_°. B 【答案】70 【详解】解：延长BE、CF,交于点G,连接AG,如图， A F B .∠AGB=180°-∠B-∠BAG,∠AGC=180°-∠C-∠CAG ∴.∠AGB+∠AGC=180°-∠B-∠BAG+180°-∠C-∠CAG=360°-∠B-∠C-∠BAC=253°， .∠CGB=360°-（∠AGB+∠AGC)=107° ∠BED=72°， .∠GED=108°， :.∠GFD=360°-∠GED-∠D-∠CGB=110°， 34/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CFD=70°. 故答案为：70. 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理.正确的作出辅助线是解题关键 7.如图，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,△ABC的外角的平分线CD所在直 线与∠ABC的平分线交于点D,与△ABC的外角的平分线BE交于点E.有下列结论：①∠D=20°；② LBOC=100°；③∠E=∠DOC;④BE⊥BD;⑤DEI‖AB.所有正确结论的序号是 【答案】①③④ 【详解】解：：BD平分∠ABC,CD平分∠ACF, ∠Dc=∠ABc,∠DcF=)∠4Cr. 2 :∠ACF=∠ABC+∠A,∠DCF=∠DBC+∠D, ∠D=∠DCF-∠D8c=∠4cF-∠ABc)=<A, :∠A=40°， ∠D=20°，故①正确： BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB, :∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB. .∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB) =18o-<48c+∠4c) =1w-08wr-<d 900+号∠4=90°+20° =110°，故②错误： :CO平分∠ACB,CD平分∠ACF, 35/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠0cD=∠0C1+∠4CD∠4CB+∠4CF)=x180=90, .∠D0C=90°-∠D=90°-20°=70°， 如图， D B 平分 ，平分 .BE ∠MBC CE ∠NCB EBC-1 MBc,∠ECB=5<NcB, .∴∠E=180°-（∠EBC+∠ECB) =I80-∠MBc+∠NcB) =180-360-∠4Bc-∠4c8) =180-80+∠0-=90-∠4=70， ∠E=∠DOC,故③正确： :BD平分∠ABC,BE平分∠MBC, ∠DBE=∠DBc+∠CBE=∠ABC+∠MBC)=2XI80=0, BE⊥BD,故④正确： 若DEI‖AB,则∠A=∠ACD, <acD-4cr-e4+∠i0. 2 ∠A=(<A+∠ABC),即∠ABC=∠A=40,圈目未给出∠ABC=40°，故⑤不-定正确. 综上所述，正确的结论有①③④. 8.如图，△ABC中，点P是BA延长线上的一点，PD⊥CB于点D,∠BCA的平分线与∠BPD的平分线交于 点F.当∠BAC=50°时，则∠PFC的度数为 36/42 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A 【答案】110°/110度 【详解】解：如图所示，设PD交CF于点O, B A :PD⊥CB, .∠BPD=90°-∠B,∠PQF=∠CQD=90°-∠BCF. PF平分∠BPD, &∠DPF=5∠BPD=,90-∠B), ,CF平分∠BCA, LBCF-Z8CA. :∠BCA=180°-∠BAC-∠B=180°-50°-∠B=130°-∠B, ∠BcF-5030-∠周， :∠P0r=90r-∠BcF=90w-0830-∠， .∠PFC+∠PQF+∠DPF=180°， 2Prc-I8ow-∠2P0r-∠PF=1s-030-∠间]00-∠A=1Io. 故答案为：110°」 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键 9.如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，CD与BD交于点D. 37/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若∠A=40°，则∠D=」 (2)若∠A=90°，则∠D= (3)若∠A=120°，则∠D= (④)综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的正确性. 【答案】(1)20° (2)45 3)60 ④∠D=)A,证明见解析 【分析】 【详解】(I)解：：BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线， 2CBD-Ac,∠DcE-4cE. D=∠DcE-∠CBD-54CE-Ac-4CE-∠ABc)-A=20 (2)解：~BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线， ∠CBD-Aac,∠DcE-ACE, D=∠DcE-∠CBD-∠ACE-ABc-ACE-∠ABC)-号A=45. (3)解：~BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线， ∠CBD=ABC,∠DCE=ACE, 2D=∠DcE-∠CD-4cE-Ac-(4cE-∠c)-A-60 ④解：D4, 证明：，BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线， 38/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠CBD= ∠ABC,∠DCE=∠ACE」 2 ∴∠D=∠DcE-∠CBD-ACE-ABc-(ACE-∠ABC)-5A 10.在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACD(D为BC延长线上一点)的角平分线交于A,点E为BA延 长线上一点，连接EC,∠AEC与∠ACE的角平分线交于点O, B D (1)求∠Q与∠EAC的数量关系. (2)求∠Q与∠4的数量关系. 【答案】（山∠Q=90°+∠EAC (2)∠Q=180°-∠A 【分析】 【详解】(1)解：：∠AEC与∠ACE的角平分线交于点O, L0EC-LAEC.Z0CE-ACE :∠AEC+∠ACE=180°-∠EAC, 0EC0CC(AECAC)EC. :∠Q=180°-∠0BC-∠0cE=90+BAc: (2)解：，∠ABC的角平分线与∠ACD(D为BC延长线上一点)的角平分线交于A, 、.∠ABC=2∠ABC,∠ACD=2∠ACD :∠ACD=∠BAC+∠ABC,∠ACD=∠ABC+∠A, ·.∠BAC+2∠ABC=2(∠ABC+∠A), .∠BAC=2∠A, 39/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BAC=180°-∠EAC, .∠EAC=180°-2∠A, 20=90+5B4C :∠0=90°+90°-∠A=180°-∠A. 11.Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠I, ∠PEB=∠2，∠DPE=∠a. B D B 图(1) 图(2) E B A (1)若点P在线段AB上，如图(1)所示，且∠a=55°，则∠1+∠2=： (2)若点P在边AB上运动，如图(2)所示，则∠，1，∠2之间的关系为： 3)若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动(CE<CD),请直接写出∠a,∠I,∠2之间的关系为_： (④若点P运动到△ABC形外，请自行画出一种情况，并直接写出∠，∠A,∠2之间的关系为_. 【答案】(1)145 (2)∠1+∠2=90°+∠a (3)∠2-∠1=90°+∠a或∠2=∠1+90°或∠1-∠2=∠a-90° (④∠2=90°+1-a,对应图见解析 【分析】 【详解】(1)解：：Rt△ABC中，∠C=90°， .∠B+LA=90°o, :∠BPE=180°-∠B-∠2，∠APD=180°-∠A-∠1. .∠BPE+∠APD+∠DPE=180°=180°-∠B-∠2+180°-∠A-∠1+∠a, .∠a=55° :.180°=180°-90°-∠2+180°-∠1+55°， 40/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠2+∠1=145°， 故答案为：145°， (2)解：Rt△ABC中，∠C=90°， ∴.∠B+∠A=90°。， .∠BPE=180°-∠B-∠2，∠APD=180°-∠A-∠1， ∠BPE+∠APD+∠DPE=180°=180°-∠B-∠2+180°-∠A-∠1+∠a, :.180°=180°-90°-∠2+180°-∠1+∠a, .∠1+∠2=90°+∠a, 故答案为：∠1+∠2=90°+∠a: (3)解：如图1， E B 图1 图2 B A 图3 .∠2=∠C+∠1+∠a, .∠2-∠1=90°+∠a: 如图2，∠a=0°，∠2=∠1+90°； 如图3，，∠2=∠1-∠a+∠C, .∠1-∠2=∠a-90° 故答案为：∠2-∠1=90°+∠a或∠2=1+90°或∠1-∠2=∠a-90° (4)解：如图， ④ 41/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠PFD=∠EFC, .180°-∠PFD=180°-∠EFC, ∴.∠a+180°-∠1=∠C+180°-∠2， :.∠2=90°+∠1-∠a 故答案为：∠2=90°+∠1-α 42/42可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十三章 三角形 重难点01三角形中七大角度模型 理新知 教材全盘梳理 《◇知识点一8字模型 8字模型：两条线段相交形成形似数字“8”的图形，相交形成两组对顶三角形，上方两个角的度数之和， 等于下方两个角的度数之和。若AC与BD交于点O,则∠A+∠B=∠C+∠D。 D 证明： △ABO中：∠A+∠B+∠AOB=180 △CDO中：∠C+∠D+∠COD=180° .∠AOB=∠COD(对顶角相等) ∴.∠A+∠B=∠C+∠D 《◇即学即练 1.如图，将△ABC沿过点C的直线MN翻折得△AB'C,若∠ACA'=∠BCB=100°，∠A=32°，则∠B的 度数为() M A.68 B.649 c.58 D.50° 1/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 《◇知识点二飞镖模型 飞镖模型：图形整体轮廓像飞镖，由一个大三角形内部凹进去一个顶点构成凹四边形，凹顶点处的大角， 等于外侧三个小角相加。凹四边形ABDC中，∠BDC=∠A+∠B+∠C。 D B 证明： 延长BD交AC于E C ∠BEC=∠A+∠B(三角形外角等于不相邻两内角和) ∠BDC=∠BEC+∠C 代入得：∠BDC=∠A+∠B+∠C 《◇即学即练 2.如图，点O是△ABC内一点，∠A=60°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BOC等于 () A.110° B.120° C.130° D.无法确定 2/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◇知识点三 A字模型 A字模型：图形呈大写“A”形状，三角形两条边向外延长形成两个外角，这两个外角相加的度数，等于 180°加上三角形项角的度数。∠DBC、∠ECB为△ABC的外角，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A。 C D 证明： ∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC 两式相加：∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ABC+∠ACB .'∠ABC+∠ACB=180°-∠A .∠DBC+∠ECB=180°+∠A 。即学即练 3.如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D,交AC于点E,则∠BDE+∠CED=(). D A.180° B.215° C.235 D.2450 ◇知识点四 风筝型 风筝模型：三角形两条侧边向外延伸，内部取一点连接两侧边形成封闭图形，三角形顶角与内部点形成的 角相加，等于两条延长线上外侧两个外角之和。满足∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE。 3/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明： 连接AF ∠DBF=∠BAF+∠BFA,∠FCE=∠CAF+∠CFA 两式相加：∠DBF+∠FCE=(∠BAF+∠CAF)+(∠BFA+∠CFA) 整理得：∠DBF+∠FCE=∠BAC+∠BFC 《。即学即练 4.如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点落在 边BC上，若∠A=50°，则∠1+∠2+∠3+∠4=一. 入人4 《◇知识点五 双内角平分线模型 双内角平分线模型：在任意三角形中，两个内角的角平分线相交于内部一点，该交点形成的钝角，等于 90°加上原三角形顶角的一半。△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,交点为D,则 ∠BDC=90+1∠A。 4/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 证明： 设∠DBC=X,∠BCD=y ∠A+2x+2y=180°→x+y=90°- 2 ∠A ∠BDC=180°-(x+y)=90+ 2<A 《。即学即练 5.如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的角平分线，∠BDC=120°，则∠A的度数为() D A.40° B.50° C.60° D.75o 《◇知识点六双外角平分线模型 双外角平分线模型：三角形两个外角的角平分线相交于三角形外侧一点，交点形成的锐角，等于90°减去 原三角形顶角的一半。BD、CD平分△ABC的两个外角，交于点D,则∠BDC=90-)∠A。 证明： 5/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设∠CBD=X,∠BCD=y 2x+2y=180+∠A→x+y=90+号∠A ∠BDC=180'-(x+y)=90- 2<A 。即学即练 6.如图，在△ABC中，∠A=80°，BF平分外角∠CBD,CF平分外角∠BCE,BG平分∠CBF,CG平分 LBCF,求∠G的度数. 《◇知识点七内外角平分线模型 内外角平分线模型：三角形一个内角平分线与另一个角的外角平分线相交，交点形成的角，恰好等于原三 角形顶角的一平，BD平分内角∠ABC,CD平分外角∠ACL,两线交于D,则∠D方A。 E 证明： ∠ACE=∠A+∠ABC,即2∠ACD=∠A+2∠DBC ∠ACD=∠D+∠DBC,代入得2（∠D+∠DBC)=∠A+2∠DBC 6/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 化简得∠D=∠A 2 。即学即练 7.如图，在△ABC中，∠ABC=∠C,∠ABC的角平分线与外角∠EAC的角平分线交于点D. E (I)求证：AD∥BC. (2)若∠BAC=36°，求∠ADB的度数. 通题型 解题能力构建 ◆题型018字模型 典1例1精析 例1.如图线段DG,EM,FN两两相交于B,C,A三点，则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是 (). 7/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B G A.180° B.360° C.540 D.720 变式巩固 变式1-1.如图，AB和CD相交于点O,∠A=∠C,则下列结论中不能完全确定正确的是() D B A.∠B=∠DB.∠1=∠A+∠DC.∠2>∠D D.∠C=∠D 变式1-2.如图，已知直线AB、CD相交于点0，∠C=80°，∠A=40°，∠B=90°，∠D= 变式1-3.如图，已知∠A=60°，∠B=40°，∠C=30°，则LD+∠E等于 ◆题型02飞镖模型 典1例精1析 例2.如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E,交AC于点F,若∠A=36°，∠D=14°，则∠ACB 的度数为() 8/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B C D A.50° B.65 C.68 D.70° 变式|巩固 变式2-1.如图，点D,E分别在线段AB,BC上，连接AE,CD相交于点F,若∠A=30°，∠C=20°， ∠B=55°，则∠EFD的度数为 变式2-2.如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，则α、B、Y三个角的数量关系为( A.a+B+y=60° B.a-B+y=60° C.a+B-y=60° D.a+2B-y=60° 变式2-3.如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C,且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不变.为了 舒适，需调整∠E的大小，使∠EFD=130°，则图中∠E应() E 200← 30° 50° ,60° A AB A.增加10° B.减少10 C.增加20° D. 减少20° 9/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 >题型03A字模型 典例1精析 例3.如图，D,E两点分别在△ABC的两边AB,AC上，连接DE,已知∠I+∠2=a,则∠A=() D E 2 A.a-90° B.180°-a C.a-180° D.360°-a 变式巩固 变式3-1.如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，DE∥BC.若∠A=63°，∠AED=55 则∠B的大小为() A.54° B.62° C.64° D.74° 变式3-2.如图，在△ADE与△BFC中，点B在AE上，点A、D在FC上，且∠F=30°，∠E=45°， ∠D=90°，则∠ABF的度数为( E B 45 A.30° B.15 C.60° D.25 变式3-3.如图，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,△ABC的外角的平分线CD 所在直线与∠ABC的平分线交于点D,与△ABC的外角的平分线BE交于点E.有下列结论：① LDBE=90°；②∠B0C=110°；③∠D=20°；④∠E=70°；⑤LE+∠DCF=90°+∠ABD.其中正确的结 10/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 论有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 。题型04风筝模型 典1例1精1析 例4.在△ABC中，∠B=40°，将△ABC沿直线DE折叠，点B与点B1重合，则∠ADB1+LCEB1的度数为 () B B.< A.30° B.80° C.60° D.100 变式巩固 变式41.如图，把一张三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠(3个顶点不重合)，则 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为() 6 B A2---- M --B A.180° B.270° C.360° D.450 变式4-2.如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB=AE,AC=AD, ∠BAD=∠EAC,∠C=50°，求∠D的大小. 11/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 图1 图2 变式4-3.如图，在△ABC中.点D是BC上一点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED,点B的对应点为点 E,∠BAD=∠ABC=26°，则∠CDE的度数为°. 03- ◆题型05双内角平分线模型 典例1精析 例5.如图，在△ABC中，∠A=84°，点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC、∠OCB角 平分线的交点，若∠P=100°，则∠ACB的度数是() B A.42° B.60° C.560 D.65° 变式巩1固 变式5-1.如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O,直线AO与BC相交于点D, AE⊥BC于点E,∠ABC=60°，∠ACB=40°，则∠BOC=度，∠DAE=度， 12/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A C ED 变式5-2.如图，在△ABC中，BE为角平分线，D为边AB上的一点（不与点A,B重合），连接CD交BE 于点O B C (1)当CD为高时，若∠ABC=60°，求∠BOC的度数： (2)当CD为角平分线时，若∠A=80°，求∠BOC的度数. 变式5-3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AE是∠BAC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线， AE与CF相交于O,AD是△ABC的高，求∠BAD和∠AOC的度数. A B D E 13/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型06双外角平分线模型 典例精析 例6.如图，已知△ABC,BD与CD分别是外角∠EBC和外角∠ECF的角平分线，若LD=62°，则∠A= 变式6-1.在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P,∠ABC的外角平分线与∠ACB的外 角平分线相交于点.若∠Q=55°，则∠BPC= Q 变式6-2.如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长 FB和GC交于点H.设∠A=a,∠H=B,则a与B之间的数量关系为 G H 变式6-3.如图，在△ABC中，∠A=20,∠EBC,∠DCB为△ABC的外角，∠EBC与LDCB的平分线交于点 A,∠EBA与∠DCA的平分线交于点A,,∠EBA,1与∠DCA的平分线相交于点A,当两条角平分线无交 点时，则n的值为」 14/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D ◆题型07内外角平分线模型 典例精析 例7.如图，BA和CA分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA是∠ABD的角平分线，CA是 ∠ACD的角平分线，BA是∠A,BD的角平分线，CA是∠A,CD的角平分线，依此下去，若∠A=a,则 ∠A2026为 -- B C D 变式巩1固 变式7-1.已知△ABC中，∠A=7O°，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角角平分线，交点为D, 则∠D= C 变式7-2.如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P;若∠BPC=25°，则 ∠A= 变式7-3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE是△ABC的角平分线，CD⊥AB,垂足为D,延长CE与外 角LABG的平分线交于点P.若∠A=60°，则∠DCE+∠F=一 15/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B G 刷好题 课时巩固精炼 1.如图，在△CEF中，∠E=80°，∠F=55°，AB∥CF,AD∥CE,连接BC,CD,则∠A的度数是 () A.45° B.50° C.55 D.80° 2.如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,点E、F分别在边BC、AC上，∠FEC=28°，∠AEF=2∠AFE, LABC的角平分线与∠AEF的角平分线交于点P,则∠P的度数为() A.62° B.56° C.76 D.58 3.如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交 于点P,AB∥CD,∠P=159,∠CFP=100°，则∠ABP的大小为() 16/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 A.100° B.95 C.90° D.85 4.将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形纸片上，直尺的两个顶点M,N分别落在AB,BC边 上，并与AC交于点P和2，若∠BMN=60°，∠A=100°，则∠NQC的度数为() M BN A.130° B.100° C.60° D.50° 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC,点E、F分别是边AB、AC上的动点，连接EF,将 △ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则 ∠A的度数是() 折叠 D B E A.60° B.45° C.60°或45 D.30°或45° 6.在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果 ∠A=52°，∠B=25,∠C=30°，∠D=35,∠E=72°，那么∠F=°. B 7.如图，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,△ABC的外角的平分线CD所在直 线与∠ABC的平分线交于点D,与△ABC的外角的平分线BE交于点E.有下列结论：①LD=20°；② ∠BOC=100°；③∠E=∠DOC:④BE⊥BD;⑤DE‖AB.所有正确结论的序号是 17/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C F 8.如图，△ABC中，点P是BA延长线上的一点，PD⊥CB于点D,∠BCA的平分线与∠BPD的平分线交于 点F.当∠BAC=50°时，则∠PFC的度数为 D B A 9.如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，CD与BD交于点D. D E (1)若∠A=40°，则∠D= (2)若∠A=90°，则∠D=: (3)若∠A=120°，则∠D=一. (4)综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的正确性. 10.在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACD(D为BC延长线上一点)的角平分线交于A,点E为BA延 长线上一点，连接EC,∠AEC与∠ACE的角平分线交于点O, 18/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B D (I)求∠Q与∠EAC的数量关系. (2)求∠Q与∠4的数量关系. 11,R△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠I, ∠PEB=∠2，∠DPE=∠a. E D 图(1) 图(2) E (1)若点P在线段AB上，如图(1)所示，且La=55°，则∠1+∠2=： (2②)若点P在边AB上运动，如图(2)所示，则∠α，1，∠2之间的关系为： (③)若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动(CE<CD),请直接写出∠α，L,∠2之间的关系为_： (④若点P运动到△ABC形外，请自行画出一种情况，并直接写出∠α，I,∠2之间的关系为_· 19/19