1.5 角平分线(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

三角形的证明及其应用 第一章 角平分线（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角 M D 的平分线相交于点P,连接AP。 (1)求证：AP平分∠BAC的外角∠CAM。 (2)过点C作CE⊥AP,E是垂足，并延长CE交BM于点D。 求证：CE=ED。 【分析】(1)过点P作PT⊥BC于点T,PS⊥AC于点S,PQ⊥ 例题图 BA,交BA的延长线于点Q,根据角平分线的性质证出PQ=PS=PT, M D 再根据角平分线的判定定理即可得出。 (2)根据ASA证明△AED≌△AEC即可。 【证明】(1)如图，过点P作PT⊥BC于点T,PS⊥AC于点S, PQ⊥BA,交BA的延长线于点Q ,∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P, 例题答图 .PQ=PT,PS=PT。∴.PQ=PS。∴AP平分∠DAC,即AP平分∠BAC的外角∠CAM。 (2).AP平分∠BAC的外角∠CAM,∴.∠DAE=∠CAE。 .CE⊥AP,∴.∠AED=∠AEC=90°。又AE=AE,∴.△AED≌△AEC(ASA)。∴.CE=ED。 【点拨】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理及全等三角形的性质和判定的应用。 解此题的关键是能正确作出辅助线并证出PQ=PS和△AED≌△AEC。 基础巩固L达标闯关 1.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线相交于点D,∠DBC=35°，∠DCB=30°， 则∠BAD= 2.如图，∠AOB=150°，OP平分∠AOB,PD⊥OB于点D,PC∥OB交OA于点C。若 PD=4,则OC的长为 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，BD,CE交于点 F,连接AF。下列结论：①BD=CE;②BF⊥CF;③AF平分∠CAD;④∠AFE=45°。其中正 35 口数学 八年级下册（北师大版） 确结论的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 4.下列说法错误的是() A.三角形任意两个角的平分线的交点都在三角形内部 B.三角形任意两个角的平分线的交点到三角形三边的距离都相等 C.三角形任意两个角的平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等 D.三角形任意两个角的平分线的交点都在第三个角的平分线上 5.如图，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40，其三 条角平分线将△ABC分为三个三角形，则SAAm:S△D:S△C4o等于() A.3:4:5 B.2:3:4 C.1:2:3 D.1:1:1 第5题图 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，E是BC上一点，AE交CD 于点F,且∠CEF=∠CFE,EG⊥AB于点G。求证：CE=EG。 D G 第6题图 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC于 点D,OE⊥AC于点E,OF⊥AB于点F,且BC=8cm,AC=6cm,求OE,OF,OD的长。 E 第7题图 36 三角形的证明及其应用 第一章 能力提升坤综合拓展 多多e 8.如图，已知∠ABC,射线BC上有一点D。 求作：等腰三角形PBD,使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部， 且点P到∠ABC两边的距离相等。 第8题图 9.如图，已知AD是△ABC的角平分线，AB=8,AC=6。 (I)求SAARD:S△Am的值。 (2)求80的值。 (3)若BC=12,求BD的长。 D 第9题图 中考链接©真题演练 卡多多 10.(2024·无锡)如图，在△ABC中，AB>AC。 (1)作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D,使得DB=DC。(不写作法，保留 作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若∠BAC=90°，AB=7,AC=5,求AD的长。 第10题图 ⑦数学 八年级下册（北师大版） ∠A=∠PDA。EF是BD的垂直平分线，.EB=ED。∠BCN的平分线，EP⊥AM于点P,ED⊥BC于点D, .∠B=∠EDB。.∠C=90°，..∠A+∠B=90°。.∠PDA+ EQ⊥AN于点Q,∴EP=ED,EQ=ED。EP=EQ。又 ∠EDB=90°。∴.∠PDE=180°-∠PDA-∠EDB=180°-90°= EP⊥AM,EQ⊥AN,.点E在∠NAM的平分线上。 90°。DE⊥DP。(2)如图，连接PE,设DE=x, 7.(1)证明：在△ADF和△AEF中，AD=AE(或 则EB=ED=x,CE=8-x。PA=2,AC=6,∴PC=4。在 OD=OE),FD=FE,AF=AF,∴.△ADF≌△MEF(SSS)。 Rt△PCE和Rt△PDE中，PE=PC+CE,PE=PD+ ∠DAFLEAF。AP平分∠BAC。(2)解：如图，过 DE2,∴42+(8-x)2=22+x2。解得x=4.75,则DE=4.75。 点P作PG⊥AC于点G,:AP平分∠BAC,PQ⊥AB, 11.解：（1)AB=AC,∠A=50°，.∠B= ∠ACB=65°。DM是AB的垂直平分线，∴.∠BDM= .PG-PQ-3.S0w-ScwtSor..AB+P0+]AC+PG= 90°。∴∠DMB=25°。(2)图形略。此时点M在BC 18。(AB+AC)PQ=36。AB=7,PQ=3,AC=5。 边上。同(1)方法可得∠DMB=40°。(3)∠DMB A (0) 的度数等于顶角度数的一半，即∠DWB=a。证明： 4B=AC,L1=0,∠B3180r-LA)-90-2a。又 ∠DMB+∠B=90r,∠DMB=e (4)成立。等 P 腰三角形一腰的垂直平分线与底边所在直线相交所夹 第7题答图 的角（锐角）等于顶角度数的一半。 8.(1)证明：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB, 12.313.C ∠C=90°，即CD⊥AC,DC=DE。在Rt△FCD和 4线段的垂直平分线（第2课时）】 Rt△BED中，DC=DE,DF=DB,Rt△FCD≌Rt△BED 1.A2.D3.B4.C (HL)。.CF=EB。(2)解：AB=AF+2BE。理由：由 5.提示：分别过点A,B,C作BC,AC,AB的垂(I)得，DC=DE,又AD=AD,Rt△ACD≌Rt△AED 线，垂足分别为D,E,F,则AD,BE,CF即为所求，；(HL)。AC=AE。AB=AE+BE=AF+FC+BE=AF42BE。 作图略。 *9.（1)证明：AC平分∠MAN,∠MAN=120°， 6.解：(1)如图，△ABC即为所求。(2)这 ∴.∠CAB=∠CAD=60°。：∠ABC=∠ADC=90°，∴.∠ACB= 样的直线不唯一。①作线段OB的垂直平分线AC。②作 ∠ACD=30。AB=4DAC。AB+AD=4C。 (2) 长方形OA'BC、直线A'C,则直线AC和直线A'C即 为所求的直线。设A(m,0),C(0,n),由勾股定理， 成立。证明：如图，过点C分别 M 得AB=AA'2+A'B,BC=BC2+CC2,即m2=(6-m)P+42, 作AM,AN的垂线，垂足分别 a46,解得m号是4号0，c0,是》 为E,F。AC平分∠MAN, n .CE=CF。.·∠ABC+∠ADC=180°， A FB N 易得直线AC的函数表达式为y=-号+号，则点 ∠ADC+∠CDE=180°，.∠CDE= 第9题答图 ∠ABC。.'∠CED=∠CFB=90°. A'(6,0),C'(0,4),易得直线A'C的函数表达式为 .∴.△CED≌△CFB(AAS)。.ED=FB。.AB+AD=AF+ BF+AE-ED=AF+AE。由(1)AF+AE=AC,AB+AD= AC。(3)V3 10.C11.B12.A 5角平分线（第2课时）】 1.25°2.83.C4.C5.B 6.证明：CD⊥AB,.∠DAE+∠DFA=90°。 ∠CEF-∠CFE,∠DFA=∠CFE,∴∠DAE+∠CEF=90°。 又.·∠ACB=90°，.∠CAE+∠CEF=90°。∴.∠CAE= 第6题答图 第8题答图 ∠DAE。AE是∠CAD的平分线。又GE⊥AB, 7.B8.如图，△ABC即为所求。 ∠ACB=90°，·.CE=EG。 5角平分线（第1课时） 7.解：O为△ABC的三条角平分线的交点， 1.32.123.B4.D OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,∴.OD=OE=OF。 5.证明：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥ ∠ACB=90°，BG-=8cm,AC-6cm,Sa=2BCAC= AC,DE=DF。又AD=AD,.Rt△ADE≌Rt△ADF。 AE=AF。AD垂直平分EF。 ×8x6=24(cm)。由勾股定理，得AB=VBC+HC 6.证明：BE,CE分别为△ABC的外角∠CBM, 10cm设0D=OE-OF=xCm,":S△i-S△Bx+S△0A+S△A= 参考答案与提示 7BC-0D+4AC-0E+2AB-0R,38+76+7 D在AB的右侧且AD∥BC。(3)解：过点A作AD ∥DB交CB的延长线于点D',则将该图形转化为例题 10x=12x。12,x=24。解得x=2。∴.0D=0E=0F=2cm。 中的基本图形。 8.解：如图，：点P到∠ABC两边的距离相等， ∴点P在∠ABC的平分线上。线段BD为等腰三角 形PBD的底边，.PB=PD。点P在线段BD的垂直平 分线上。.点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直 平分线的交点。 第1题答图 2.解：(1)①思路1：如图1，延长CB至点E, 使BE=CD,连接AE。∠ADC+∠ABC=18O°，∠ABE+ ∠ABC=180°，.∠ADC=∠ABE。又AD=AB,BE= CD,.△ADC≌△ABE(SAS)。.∠ACD=∠AEB, D G AC=AE。.∠ACD=∠ACB=∠AEB。AC平分∠BCD。 第8题答图 第9题答图 思路2：如图2，过点A分别作BC,CD的垂线，垂 足分别为E,F。.∠AEB=∠AFD=90°。∠ADC+ 9.解：(1)如图，过点D作DE⊥AB于点E, ∠ABC=180°，∠ADC+∠ADF=180°，.∠ABE=∠ADF。 DF⊥AC于点F,AD是△ABC的角平分线，.DE= 又AD=AB,△ABE≌△ADF(AAS)。.AE=AF。 .器-泥8号 (2)如图，过 :AC平分∠BCD。 思路1是构造等腰三角形，将证∠ACD与∠ACB 点A作AG1BC于点G,:题=ABDE=BDAC S△4 AC.DF DC·AG， 之间的关系，转换为等腰三角形两个底角之间的关系， ·BD-AB4 器是号。3)由2)知，器光号， 思路2构造两条垂线段，将证∠ACD与∠ACB之间的 关系，转化为两条垂线段相等问题。思路1的本质是 且aC2.即0号m9 利用等腰三角形的性质证明，思路2的本质是利用角 7 的平分线的判定定理。 10.解：(1)如图1，AD即为所求。(2)如 ②CD+BC=V2AC。理由：如图3，延长CB至点 图2，过点D作DE⊥AB交AB于点E,过点D作 E,使BE=CD,连接AE。同思路1方法证明△ADC≌ DF⊥AC交AC于点F,∠AED=∠AFD=90°。AD是 △ABE(AS),∴AC=AE,∠EAB=∠CAD。∴.∠CAE= ∠BAC的平分线，∠BAC=90°，DE=DF,∠BAD= ∠CAD=45°。∴.∠ADE=∠ADF-45°。AE=DE,AF= ∠DAB=90°。.CE=V2AC。BC+BE=CD+BC= DF。AE=AF=ED=DF。设AE=AF=ED=DF=x,∴BE= V2AC。(2)答案不唯一：①如图，在四边形 AB-AE=7-x,FC=AC-AF=5-x。在Rt△BED中，BD2= ABCD中，对角线AC平分∠BCD,∠ABC+∠ADC= ED24BE=2+(7-x)2。在Rt△CFD中，CD=DF2+FC=x2+ 180°，求证：AB=AD;②如图，在四边形ABCD中， (5-x)2。DB=DC,.DB2=DC,即x2+(7-x)2=x2+(5-x)2。 对角线AC平分∠BCD,AB=AD,求证：∠ABC+ 解得x=6。.AD=VAF+DF=V6+6=6V2。 ∠ADC=180°；③如图，在四边形ABCD中，对角线 AC平分∠BCD,∠ABC+∠ADC=180°，∠DAB=120°， 猜想线段AC,BC,CD之间的数量关系，并证明。 (3)∠DAE=2∠DBE。理由：由(1)知AC平分 ∠BCD,∴∠ACB=∠ACD。又CD=CE,CA=CA, △ACD≌△ACE(SAS)。·AE=AD=AB。.∠ABD= ∠ADB,∠ABE=∠AEB。·2∠ABD+2∠ABE+∠ADE+ D D ∠AED=180°，.2∠DBE+∠ADE+∠AED=180°。又·. 图1 图2 ∠DAE+∠ADE+∠AED=180°，.∠DAE=2∠DBE 第10题答图 ☆问题解决策略：反思 1.(1)证明：在BC上截取BE=AD,连接AE。 .AD∥BC.∠ABC=90°，∴.∠DAB=180°-∠ABC=90°。 ∠ABC=∠DAB。又AB=AB,.△ABD≌△BAE。 .AE=BD,∠D=∠AEB。.·∠D=2∠C,∴.∠AEB=2∠C。 :∠AEB=∠C+∠CAE,∠C=∠CAE。.CE=AE=BD。 图1 图2 图3 BC=CE+BE,BE=AD,.BC=BD+AD。(2)解：点 第2题答图