专题06 有理数章末易错压轴题型18易错8压轴（专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数章节易错点与压轴题，通过18类易错题型夯实基础概念，8类压轴题型突破综合应用，构建从基础到拔高的递进式训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错题型|18类，含正负数应用、绝对值化简等|针对概念辨析与运算陷阱，结合生活情境题|从有理数定义到数轴、绝对值、运算的概念生成链，强化符号意识与运算能力| |压轴题型|8类，含动点问题、规律探究等|综合几何意义与分类讨论，涉及新定义运算与跨学科应用|以数轴为载体，融合数形结合思想，培养抽象能力与模型意识，衔接中考命题趋势|

专题06 有理数章末易错压轴题型 常考题型·精准突破 考点一 有理数易错题型 易错题型一：正数与负数 易错题型二：正负数的实际应用 易错题型三：有理数的概念与分类 易错题型四：数轴的三要素及其表示 易错题型五：数轴上两点之间的距离 易错题型六：利用数轴比较有理数的大小 易错题型七：数轴上的整点覆盖问题 易错题型八：求绝对值 易错题型九：绝对值的非负性 易错题型十：绝对值的化简 易错题型十一：相反数 易错题型十二：有理数的四则运算 易错题型十三：有理数的简便运算 易错题型十四：有理数的实际应用 易错题型十五：有理数的乘方运算 易错题型十六：程序流程图 易错题型十七：算24点 易错题型十八：科学记数法 考点二 有理数压轴题型 压轴题型一：数轴上的动点问题（难） 压轴题型二：数轴上的规律探究（难） 压轴题型三：绝对值的几何意义（难） 压轴题型四：绝对值的化简（分类讨论）（难） 压轴题型五：有理数的规律运算（难） 压轴题型六：有理数的新定义运算（难） 压轴题型七：有理数的实际应用综合（难） 压轴题型八：二进制计算 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数易错题型 ◆题型1 正数与负数 1．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列六个数、1.010010001、、0、、，其中负数有（     ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了负数：小于0的数是负数，根据负数的意义求解即可． 【详解】解：在、1.010010001、、0、、中，属于负数的是：、、共3个， 故选：A． 2．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）学习正负数后，甲、乙两名同学提出不同看法： 甲：带有“”号的数是负数； 乙：是正数，不是负数 对于这两名同学的看法，正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】D 【分析】此题主要考查了正数和负数的定义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确正数和负数的定义，并且注意这个特殊的数字，既不是正数也不是负数． 【详解】对于甲同学的看法，为正数，所以甲说带有“”号的数是负数是不对的； 对于乙同学的看法，大于的数叫正数，小于的数叫负数，既不是正数也不是负数，所以乙说是正数，不是负数是不对的． 综上，甲、乙两名同学的看法均不对． 故选：D． 3．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）古人常用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．例如“红色算筹”表示的数是．则“黑色算筹”表示的数是______． 【答案】 【详解】 解：“红色算筹”表示的数是．则“黑色算筹”表示的数是． ◆题型2 正负数的实际应用 4．（2026·河南三门峡·三模）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 所以满足题意的范围是， 观察各选项，只有B符合题意．． 5．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）一种方便面的包装袋上印有“面饼净含量：克”的字样，表示这种方便面面饼的标准净重是95克，加工这种面饼，其净重最大可以是________． 【答案】97克 【分析】本题考查了正负数的意义． 根据包装袋上“克”的标注，表示净重允许有正负2克的偏差，因此最大净重为标准重量加上正偏差． 【详解】解：由题意，净重范围为克至克， 故最大净重为97克． 故答案为：97克． 6．（24-25七年级上·福建厦门·期中）萌萌帮家庭记录6个月的生活收支账目如下表（用正数表示收入，用负数表示支出，单位：万元）． 时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月 收入 支出 (1)萌萌家月支出最大的是哪个月？ (2)萌萌家6个月的总收入和总支出各是多少万元？ (3)萌萌家平均每月的支出是多少万元？ 【答案】(1)一月份支出最大 (2)总收入：（万元）；总支出：（万元） (3)（万元） 【分析】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示，利用了有理数的加法运算． （1）根据有理数的大小比较，可得答案； （2）根据有理数的加法运算，可得答案 （3）根据有理数的加法运算，可得总支出，根据有理数的除法，可得平均支出． 【详解】（1）， 故一月份支出最大； （2）总收入为：（万元）， 总支出为：（万元） （3）平均支出：（万元）． ◆题型3 有理数的概念与分类 7．（25-26七年级上·四川泸州·期中）把下列各数填在相应的横线上∶ ①，②，③，④0，⑤2025，⑥， ⑦，⑧⑨，⑩ ． (1)正有理数集合{ …}； (2)负有理数集合{ …}； (3)负分数集合{ …}； (4)非负整数集合{ …}． 【答案】(1)，2025，， (2)，， ， (3)， ， (4)0，2025 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟知非负整数、负分数、正有理数及负有理数的定义是解题的关键． （1）根据正有理数定义判断； （2）根据负有理数定义判断； （3）根据负分数定义求解； （4）根据非负整数的定义求解． 【详解】（1）解：所给各数中的正有理数有：，2025，， ； （2）解：所给各数中的负有理数有：，， ，； （3）解：所给各数中的负分数有：， ，； （4）解：所给各数中的非负整数有：0，2025 ． 8．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）把下列各数的序号填在相应的横线内： ①1；②；③π；④0；⑤3.12112111211112……；⑥；⑦． (1)整数： ； (2)负分数： ； (3)非负数： ； (4)有理数： ． 【答案】(1)①④ (2)②⑥⑦ (3)①③④⑤ (4)①②④⑥⑦ 【分析】本题考查了有理数的分类，有理数的定义，解题的关键是掌握整数、负分数、非负数、有理数的定义． 根据整数、负分数、非负数、有理数的定义即可填空求解． 【详解】（1）解：整数有：1，0， 故答案为：①④； （2）解：， ∴负分数有：，，， 故答案为：②⑥⑦； （3）解：非负数有，，0，3.12112111211112……， 故答案为：①③④⑤； （4）解：有理数有：，，0，，， 故答案为：①②④⑥⑦． 9．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合里(请在横线上填写序号)． ①， ②0， ③ ，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 负有理数集合{ …}； 整数集合{ …}； 负分数集合{ …}； 非负整数集合{ …} 【答案】①③④⑥⑧；①②⑤⑥；③④⑧；②⑤ 【分析】本题考查了有理数的分类，按照有理数的分类填写即可． 【详解】解： ；；； 负有理数集合{①③④⑥⑧…}； 整数集合{①②⑤⑥…}； 负分数集合{③④⑧…}； 非负整数集合{②⑤…}． 故答案为：①③④⑥⑧；①②⑤⑥；③④⑧；②⑤． ◆题型4 数轴的三要素及其表示 10．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 【答案】见解析 【分析】本题考查数轴．根据数轴上的点表示整数或小数即可． 【详解】解：如图： 11．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）下列图形表示数轴正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴的三要素是解题的关键；因此此题可根据数轴的三要素“正方向、原点及单位长度”进行排除选项即可． 【详解】解：根据数轴的三要素“正方向、原点及单位长度”可得：下列图形表示数轴正确的是B选项 故选B． 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了数轴，理解数轴定义：有原点，正方向和单位长度是解答关键． 先根据数轴的定义补充完整数轴，再将各数表示的数轴上即可． 【详解】解：如图所示． ◆题型5 数轴上两点之间的距离 13．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上点P所表示的数为x，则下列说法正确的是（     ） A．在x和0之间有3个负数 B．与3相比，x离0更近一些 C．在x和之间有5个整数 D．x比大 【答案】C 【详解】解：A、在x和0之间有无数个负数，原说法不正确，该选项不符合题意； B、与3相比，x离0更远一些，原说法不正确，该选项不符合题意； C、在x和之间有5个整数，原说法正确，该选项符合题意； D、x比小，原说法不正确，该选项不符合题意． 14．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段检测）在数轴上有三个点A、B、C，且点A到点B的距离是5个单位长度，若点B表示的数是，点C表示的数是，则点A到点C的距离为______． 【答案】2或8 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 根据点B表示的数和点A到点B的距离，求出点A表示的数有两种可能，再结合点C表示的数，计算点A到点C的距离 【详解】解：∵点B表示的数为，点A到点B的距离为个单位长度， 因此点A表示的数为或． 又∵点C表示的数为2， 故点A到点C的距离为或． 故答案为2或8 15．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是______． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为______． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． 【答案】(1)4 (2) (3)2或6 【分析】本题主要考查数轴的特点，掌握数轴的三要素，数轴上点与有理数的对应关系是解题的关键 ． （1）根据点A表示的数，确定原点，由此即可求解； （2）根据数轴上中点的计算即可求解； （3）根据题意，运用数轴上两点之间距离的计算方法，分类讨论即可． 【详解】（1）解：点A表示的数是，则原数如图所示， ∴点B表示的数为4， 故答案为：4； （2）解：点A表示的数是，点B表示的数为4， ∴到A、B两点的距离相等的点表示的数为， ∴则P点表示的数为， 故答案为：； （3）解：点B表示的数为4， ∴当点C在点B左边时，点C表示的数为2；当点C在点B的右边时，点C表示的数为6， 故答案为：2或6． ◆题型6 利用数轴比较有理数的大小 16．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，数轴上的刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，，． 【答案】(1)4 (2) 把下列各数在数轴上表示，如图所示： 【分析】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点表示即可得原点位置，进一步得到点所表示的数； （2）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）解：如图，为原点，点所表示的数是4， 故答案为：4； （2）解：，， 由数轴可知：． 17．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）画数轴，把下列各数及其相反数记在数轴上，然后把这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，， 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查了绝对值、去括号、乘方运算、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数大小等知识，熟练掌握利用数轴比较有理数大小的方法是解题关键．首先将，，，进行化简，再将这些数及其相反数表示在数轴上，然后比较大小即可． 【详解】解：，，， ，，，的相反数分别为，，， 各数及其相反数在数轴上表示如下： ． 18．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在数轴上把下列各数表示出来，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来： ，，0，，，4 【答案】数轴见解析，， 【分析】本题主要考查有理数的大小比较，解题的关键是把各数正确的表示在数轴上；先把不是最简形式的数化简，再根据数轴上的点表示的数从左到右越来越大即可得到结果； 【详解】解：，，， 表示在数轴上如下： ∴， ∴． ◆题型7 数轴上的整点覆盖问题 19．（24-25七年级上·江苏常州·阶段检测）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为_____厘米． 【答案】3或2 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键． 由于若火柴棒的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若火柴棒的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点，据此分析即可求解． 【详解】解：长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，． ∴长度为m的火柴棒能盖住的3个整点时，火柴棒的长度厘米或，即厘米， 故答案为：3或2． 20．（2025·江苏盐城·模拟预测）在数轴上有一段线段，长度为，，该线段在数轴上运动，除原点外，这条线段覆盖的整数点最少为____． 【答案】 【分析】根据可得当，且这条线段的起点不在整数点时，这条线段覆盖的整数点最少，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当，且这条线段的起点不在整数点时，这条线段覆盖的整数点最少，最少整数点为个， ∵若覆盖过程中包含原点，据题意整数点除原点外， ∴最少整数点为（个）． 21．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 【详解】解：当起点在整点时，盖住的整点个数为； 当起点不在整点时，设线段的区间为，其中a不是整数，则盖住的整点个数为． 线段盖住的整点个数为4或5． 故选：D． ◆题型8 求绝对值 22．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如果，则______，如果，则______．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的定义与化简，根据绝对值的性质求解即可. 绝对值等于一个正数的数有两个，且互为相反数，化简绝对值需先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号． 【详解】解：根据绝对值的定义，若，则. 当时， 解得． 当时， 由， 故， 因此． 因为，所以， 根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得： ． 23．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）若，，且在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧，则_____． 【答案】或 【分析】本题考查了已知绝对值求这个数，根据数轴比较大小． 先根据绝对值求出，，再根据数轴得到，，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧 ∴ 即， ∴或 故答案为：或 24．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义和性质，代数式求值，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）由绝对值的意义可得，，，进而可得，或，，代入代数式即可求解； （2）由可得，即得或，得到，或，，代入代数式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或； （2）解：∵，，， ∴， ∴或， ∴，或，， ∴或， ∴的值或． ◆题型9 绝对值的非负性 25．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，，且，则（   ） A．3 B．7 C． D．3或7 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，代数式求值；根据绝对值的性质可得，再由，可得，然后分别代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，； 当时，； 故选：D． 26．（25-26七年级上·贵州黔东南·期中）若，且__________． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值非负性，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据非负数的性质，绝对值和平方均非负，它们的和为零则每个部分均为零，分别求出x，m． 【详解】解：由，得； 由，得； 代入，得，即． 因此． 故答案为：1． 27．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）已知在数轴上有三点，，，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．沿，，三点中的一点折叠数轴． (1)求a，b的值； (2)若另外两点互相重合，则点C表示的数是_________． 【答案】(1)， (2)，，5 【分析】本题考查了数轴，非负数的性质，解题的关键是掌握数轴知识，非负数的性质． （1）根据已知条件非负数的性质可得出，的值； （2）由（1）得知，表示的数分别为，1，再分情况讨论，当折叠中心分别为、、点时求点表示的数． 【详解】（1）解：、满足． ，， ，； （2）解：由（1）得点，点表示的数分别为，1， 当以点为中心折叠，点、点互相重合， ， ， ， 点表示的数为； 当以点为中心折叠，点、点互相重合， ， ， 点表示的数为； 当以点为中心折叠，点、点互相重合，，，点表示的数为5． 综上所述点表示的数是：，，5． 故答案为：，，5． ◆题型10 绝对值的化简 28．（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知，且，则的值是（   ） A．6或 B．6或 C．10或 D．6或10 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 先根据，得到p与q的值，然后结合，选取满足条件的p，q的值，分别计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴当时，； 当时，； ∴的值为10或． 故选：C． 29．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知，且，求___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义和绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．由绝对值的意义和绝对值的非负性可确定m和n的值，再代入中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴当时， 当时，， 故答案为：或． 30．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知． (1)若同号，则___________； (2)若异号，请求出的值（写出解答过程）； (3)若，请求出的值（写出解答过程）． 【答案】(1)7或 (2)7或，解答过程见详解 (3)7或3，解答过程见详解 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、代数式求值等知识，注意分情况讨论是解题关键． （1）根据绝对值的性质可得，结合同号，可知或，然后分别代入求解即可； （2）结合异号可得或，然后分别代入求解即可； （3）结合可得或，然后分别代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵同号， ∴或， 当时，可有， 当时，可有， 综上所述，7或． 故答案为：7或； （2）∵， ∴， ∵异号， ∴或， 当时，可有， 当时，可有， 综上所述，7或． （3）∵， ∴， ∵， ∴或， 当时，可有， 当时，可有， 综上所述，7或3． ◆题型11 相反数 31．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，在单位长度为1的数轴上有三个点，，． (1)若点表示的数是，直接写出点，表示的数． (2)若点，所表示的数互为相反数，求出点表示的数． (3)若点与原点之间的距离为，求出点表示的数． 【答案】(1)点，表示的数分别为和 (2)点表示的数为 (3)点表示的数为或 【分析】本题考查了相反数的定义、利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离； （1）根据数轴，直接写出点，表示的数． （2）根据点，所表示的数互为相反数得出点表示的数为，结合数轴即可求解． （3）分两种情况，原点在点的左侧或右侧分别讨论，即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数是， ∴点，表示的数分别为和； （2）解：∵之间的距离为个单位长度，点，所表示的数互为相反数， ∴点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为． （3）解：当原点在点的左侧时，则点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为； 当原点在点的右侧时，则点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为； 综上，点表示的数为或． 32．（25-26七年级上·河南周口·期中）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，掌握相关知识是解题的关键．判断每组数是否互为相反数，需化简表达式后比较符号是否相反、绝对值相等． 【详解】解：① ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故①符合题意； ② ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故②符合题意； ③ ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故③符合题意； ④ ∵，，与1符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故④符合题意； ⑤ ∵，与两者相等， ∴与不是相反数，故⑤不符合题意， 综上，互为相反数的有4组， 故选：C． 33．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）若与互为相反数，则的值在数轴上对应的数应为____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了互为相反数的性质、非负数的性质、用数轴上的点表示数等知识点，求得a、b的值是解题的关键． 由与互为相反数，则，再根据非负数的性质可得、，然后代入，再结合数轴即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，，解得：，， ∴， ∴在数轴上对应的数应为5． 故答案为：5． ◆题型12 有理数的四则运算 34．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 35．（25-26七年级上·江苏南通·期中）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，加法运算律以及乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据加法结合律简便计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （3）根据乘法分配律简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 36．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6)（简便运算） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据有理数加法交换律和结合律，在运用加法运算法则即可求解； （2）根据有理数乘除混合运算法则即可求解； （3）化简绝对值，再根据有理数加减混合运算即可； （4）先算括号里的，再算乘除，最后算加减即可； （5）根据乘法分配律进行简便运算即可； （6）先对原式变形为，再利用乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． （6）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数加法交换律和结合律，有理数乘除混合运算法则，有理数四则混合运算法则，乘法分配律，熟练掌握运算法则是解题的关键． ◆题型13 有理数的简便运算 37．（25-26六年级上·山东烟台·期中） 利用运算律有时能进行简便计算 例1   例2   请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)99900 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算、乘法运算律，解答的关键是熟知运算法则和运算顺序． （1）将化为，然后利用乘法分配律求解即可； （2）利用乘法分配律求解即可； （3）利用有理数的乘方运算和乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：． ； （2）解： ； （3）解： ． 38．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数乘法运算律，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）把原式变形为，据此计算求解即可； （2）利用乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数乘法分配律，是解题的关键． （1）根据有理数乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型14 有理数的实际应用 40．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于 200元 不予优惠 低于500 元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500 元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物550元， 他实际付款 元． (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付 元(用含x的代数式表示)． (3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为a元，用含a的代数式表示两次购物王老师实际付款多少元？ 【答案】(1) (2)，； (3)两次购物实际付款元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，列代数式，整式的加减，理解题意是解题的关键． （）根据题意列出算式计算即可； （）根据题意列出代数式即可； （）由第一次购物的货款为元，可得王老师第二次购物的货款为元， 且第二次购物的货款超过元， 再分别表示出第一次和第二次实际付款，再相加即可求解； 【详解】（1）解：， ∴王老师一次性购物550元，他实际付款元， 故答案为：； （2）解：当小于元但不小于时，他实际付款元，当大于或等于元时，他实际付款元， 故答案为：，； （3）解：∵王老师两次购物货款合计800元，且第一次购物的货款为元， ∴王老师第二次购物的货款为元， 且第二次购物的货款超过元， ∴王老师第一次实际付款为元，第二次实际付款为元， ∴王老师两次购物实际付款金额为元 ． 41．（25-26七年级上·广东河源·期中）某自行车厂一周计划生产1050辆自行车，平均每天生产150辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (2)该厂实行计件工资制，每辆车50元，超额完成任务每辆奖10元，少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)26辆 (2)53040元 【分析】本题考查正负号的应用，有理数混合运算的实际应用： （1）产量最多的一天是星期六，最少的一天是星期五，根据有理数的减法法则计算即可； （2）先计算出一周产量，得出超产还是减产，按照工资计算方式即可求解． 【详解】（1）解：（辆）， 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆； （2）解：一周总产量为：（辆）， 超产：（辆）， （元）， 答：该厂工人这一周的工资总额是53040元． 42．（25-26七年级上·浙江台州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节水的目的，该市自来水收费价格见表格（水费按月结算）： 每月用水量 单价（元/立方米） 不超过8立方米的部分 2.5 超过8立方米的部分 3 (1)若某户居民2月份用水6立方米，则应收水费多少元？ (2)若某户居民3月份共用水12立方米，则应收水费多少元？ (3)若某户居民4月份共用水x立方米，则应收水费多少元？（用含的式子表示） 【答案】(1)该户居民2月份用水6立方米，则应收水费15元 (2)该户居民3月份用水12立方米，则应收水费32元 (3)该户居民4月份共用水立方米，当时，应收水费元，当时，应收水费元 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和列出相应的代数式是解答本题的关键． （1）根据自来水收费价格按照每月用水量分段进行计算即可； （2）根据自来水收费价格按照每月用水量分段进行计算即可； （3）利用用水量的范围确定单价分段计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，水费（元）， 答：该户居民2月份用水6立方米，则应收水费15元； （2）解：由题意得，水费（元）， 答：该户居民3月份用水12立方米，则应收水费32元； （3）解：当时，则应收水费（元）， 当时，则应收水费（元）， 答：该户居民4月份共用水立方米，当时，应收水费元，当时，应收水费元． ◆题型15 有理数的乘方运算 43．（25-26七年级上·浙江台州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算以及有理数乘方逆运算，解题的关键是熟练运用运算律和乘方逆运算法则． （1）利用加法结合律，将同分母的分数结合起来进行计算； （2）利用有理数乘方逆运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 44．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则，是解题的关键． （1）先计算括号内的计算，再算乘方，接着进行乘法运算，最后进行加法运算； （2）先计算乘方和绝对值，再进行除法运算，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： （2）解： 45．（25-26六年级上·上海·单元复习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． ◆题型16 程序流程图 46．（25-26七年级上·江苏常州·期中）一组“数转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是4，则输出的结果为244，若输出的结果为109，则输入的最小正整数是（   ） A．3 B．5 C．13 D．37 【答案】B 【分析】本题考查程序框图，看懂程序，按程序计算求解是解决问题的关键． 将四个选项中的值分别代入计算后，比较的大小即可得到答案． 【详解】解：①当，计算；计算；计算；计算；输出； ②当，计算；计算；计算；输出； ③当，计算；计算；输出； ④当，计算；输出； ， 输入的最小正整数是， 故选：B． 47．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第次输出的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查找规律，解题的关键是通过计算前几次的输出结果，找出循环规律，再根据规律计算第2025次的输出结果． 先按照运算程序依次计算前几次的输出结果，找出循环规律，再根据循环规律和除法运算确定第2025次的输出结果． 【详解】解：根据运算程序，依次计算输出结果： 第1次输入（偶数），输出； 第2次输入（偶数），输出； 第3次输入（偶数），输出； 第4次输入（偶数），输出； 第5次输入（奇数），输出； 第6次输入（偶数），输出； 第7次输入（奇数），输出； 第8次输入（偶数），输出； 第9次输入（偶数），输出； 第10次输入（奇数），输出； 从第5次开始，输出结果以、、为一个周期循环． 除去前4次后后余的次数：（次）． 再计算循环的次数和余数：，其中余数为2． 这意味着第2025次输出结果是循环节中的第2个，即3． 故选：C． 48．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）小慧设计了一个如图的运算程序，程序每执行一次运算后按条件进行判断，然后输出结果或继续执行下一次运算． (1)当，，时， ①若输入，输出结果为__________； ②若输入执行2次运算后输出的结果等于，求的值． (2)当时，若输入的值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，请直接写出输入的值为__________．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；② (2) 【分析】此题考查了程序框图与有理数的四则混合运算，一元一次方程的应用． （1）①利用程序图进行计算即可；②根据2次运算后输出的结果等于列方程求解即可； （2）表示出第1次和第2次输出的结果，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：①当，，时， 第1次：， 第2次：， ∴若输入，则运算执行2次后输出，输出结果为21． 故答案为：21； ②第1次： 第2次：， 由题意，得， ∴． 故答案为：5； （2）解：第1次：， 第2次：， 由题意，得， 解得． 故答案为：． ◆题型17 算24点 49．（24-25六年级上·山东烟台·期中）24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了“24点”运算．根据图片列出算式即可． 【详解】解：由图可知小凡抽到：2，3，4，5， 则凑成24的算式是，或，或， 故答案为：（答案不唯一）． 50．（2025七年级上·全国·专题练习）小明和小刚玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（四张牌必须都用且每张牌上的数字只能用一次），使运算结果等于24．其中“J”代表11、“Q”代表12、“K”代表13． (1)小明抽取的四张牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； (2)小刚抽取的四张牌分别是方块3，梅花3，黑桃7，梅花7，请帮小刚列出一个结果等于24的算式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，24点的计算方法，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算，24点的计算方法计算即可； （2）根据有理数的混合运算，24点的计算方法计算即可． 【详解】（1）解：或或．（答案不唯一，合理即可） （2）解：． 51．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是 ； (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．则这个最小的商为 ； (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一），运算过程见解析． 【分析】（1）找出两个数字，要使其积最大，必须是同号相乘，即可作答； （2）找出两个数字，要使其商最小，必须是异号，即可作答； （3）利用24点游戏规则判断即可． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵ ∴这两张卡片上的数字分别是，此时积最大； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：，， ∵， ∴这个最小的商为； 故答案为：； （3）解：由题意得： ． ◆题型18 科学记数法 52．（2026·江苏南通·二模）“苏超”持续带动南通消费，5月9日晚，南通队主场对阵南京队，全市72个第二现场人潮涌动，观赛氛围火热．当天，全市共接待游客约480800人次．将480800用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 53．（2026·江苏徐州·模拟预测）2026年春节假期，徐州市文旅市场迎来强劲增长．县域乡村活动丰富，舞龙舞狮、村晚、音乐节、“村界杯”足球赛等轮番上演，我市某重点景区单日接待游客超人次，数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【分析】将整数表示为科学记数法，需满足形式，其中，为整数，等于原数的整数位数减． 【详解】解：科学记数法的标准形式为，其中，为整数. 原数是位整数， 因此，， 可得． 54．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）2026年3月29日，扬州半程马拉松鸣枪开跑，这是扬马创办20周年的里程碑赛事，也是赛事升级为世界田联白金标后的首次亮相．本次赛事规模达23000人，数23000用科学记数法可表示为______________． 【答案】 【分析】根据科学记数法的定义，确定和的值，即可求解． 【详解】解：． 考点二 有理数压轴题型 ◆题型1 数轴上的动点问题 55．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 56．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 57．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． ◆题型2 数轴上的规律探究 58．（25-26七年级上·海南海口·期中）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2025 C．2025 D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2025. 故选：B． 59．（25-26七年级上·山东日照·期末）如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离．先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2026次跳动的点表示的数，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为． ∴点与点O的距离是：． 故答案为：． 60．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 【答案】(1)B表示的数为：5；C表示的数为 (2)①左；②6秒，此时点M表示的数为；③8秒，此时点M表示的数为； (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，有理数的四则运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到点到原点的距离为，再由点A和点B不重合，点B表示的数为5，再用点B表示的数减去点C到点的距离即可求出点C表示的数，最后在数轴上表示出点A，点B，点C即可； （2）①设运动时间为t，由于，且点M的运动速度大于点N的运动速度，故只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度；②二者相遇前运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数；③二者相遇后运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数； （3）根据题意可得动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度，据此求出2025次运动后点P表示的数，再由第2025次点P是向左运动2025个单位长度进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点与点到原点的距离相等， ∴点到原点的距离为， ∵点A和点B不重合， ∴点B表示的数为5， ∵点在原点的左侧，且到点的距离为7， ∴点C表示的数为， （2）解：①设运动时间为t， ∵，且点M的运动速度大于点N的运动速度， ∴只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度， 故答案为：左 ②当M、N相遇前二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； ③当M、N相遇后二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； （3）解：有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……， ∴动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度， ∴第2025次运动后点P向右运动个单位长度，即此时点P表示的数为， ∵第2025次点P是向左运动2025个单位长度， ∴表示的数为． ◆题型3 绝对值的几何意义 61．（25-26七年级上·山东滨州·期中）【问题情境】：点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； 【独立思考】：试用数轴探究：当时的值为 ． 【实践探究】：利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 【答案】【问题情境】：；；【独立思考】：或；【实践探究】：最小值为；可取的整数为：，，，，，，， 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离的表示方法、绝对值的几何意义，关键是灵活应用知识点解题； 【问题情境】由题干所给公式即可填写；【独立思考】逆向思考：寻找数轴上到的距离是的数即可填写结果；【实践探究】观察数轴寻找到的距离之和最小值的整数即可填写． 【详解】解：【问题情境】∵、两点之间的距离， ∴数轴上表示和的两点之间的距离是：， 数轴上表示和的两点之间的距离表示为：， 故答案为：；； 【独立思考】∵数轴上到的距离是的数是：， ∴或； 【实践探究】∵数轴上到的距离之和最小的数，且为整数， ∴． 62．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）同学们都知道，表示1与之差的绝对值，实际上也可以理解为1与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)同理，表示数轴上实数所对的点分别到和1006所对的两点距离相等，则_______________； (3)类似地，表示数轴上实数所对的点分别到和2所对的两点距离之和，若，则________________； (4)由以上探究，猜想对于任何实数，是否有最小值？如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)或3 (4)有，最小值为3． 【分析】本题考查数轴与绝对值，一元一次方程，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）直接计算即可； （2）根据题意得，x所对点为和所对点的中点，根据中点公式即可求解； （3）根据和2所对的两点距离之和为9，得到或，分类讨论：①当时，②当时，逐个计算即可； （4）表示数轴上实数x所对点到和6对的两点距离之和，结合数轴可知最小值为． 【详解】（1）解：． 故答案为：3． （2）由题意知，实数x所对点到和1006所对的两点距离相等， ， 故答案为：； （3）， ∴或 ①当时， ， ， 解得； ②当时， ， ， 解得； 故答案为：或3； （4）表示数轴上实数x所对点到和6所对的两点距离之和， 结合数轴可知，当时，有最小值，最小值为． 63．（25-26七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 【答案】(1)8，，或 (2)①x的取值范围是；②6，1；x应该取和3之间的位置（包括和3） (3)应该选择在小区C设置配送点，理由： 设在小区A，B，C，D，E设配送点，距离之和分别为： 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 因为， 所以应该选择在小区设置配送点． 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解前两空；第三空根据绝对值的概念求解即可； （2）根据数轴上的两点距离的几何意义可直接进行求解； （3）设在小区A，B，C，D，E设配送点，分别计算相应的距离之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是； 数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为； 若，则或， 所以或． 故答案为：8；；7或． （2）解：①由题意知， 即数轴上表示的点到和3两点的距离之和为4， 而与3之间的距离为4， 所以的取值范围是； ②表示数轴上表示的点到，1和4三点的距离之和 当表示的点正好在表示1的点处时，三个距离之和最小，最小值是6，此时． 故答案为：6；1． 可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和，要使这个距离之和等于4，x应该取和3之间的位置（包括和3）． （3）略 ◆题型4 绝对值的化简（分类讨论） 64．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知有理数a，b，c，d满足，其中，且，则式子的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的化简， 利用已知条件和，结合，推导出和，从而简化原表达式并计算值． 【详解】解：∵， ∴. 原式 ． ∵且， ∴，故， ∵， ∴. 由和，得，即， ∴. ∴原式． 故选：A． 65．（25-26七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据绝对值的性质化简求值即可； （2）根据有理数的加法和乘法运算法则可得三个数中必定有两个正数，一个负数，可设，，，再根据绝对值的性质化简求值即可； （3）分四种情况，根据绝对值的性质化简求值即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； （2）解：， ，，， 由可知，中有一个负数或三个负数； 若均为负数，则与矛盾， 故中必为两正一负， 分情况讨论： ①，，， ； ②，，， ； ③，，， 综上，的值为； （3）解：①当，，都为正数时，则原式； ②当，，中只有一个负数时， 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； ③当，，中有两个负数时， 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； ④当，，都是负数时，则原式； 综上所述，所求式子的值是． 66．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）如果的最小值是a，，那么的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数的乘法，利用绝对值的意义确定值和的符号是解答的关键． 先求的最小值，利用数轴上两点距离和的性质，得，由和，推出，再计算所求表达式各项的值，求和为． 【详解】解：根据绝对值的意义，当时，取得最小值，值为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． ◆题型5 有理数的规律运算 67．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 【答案】(1) (2)①306；②468． 【分析】（1）仿照已知等式，得出规律，写出第⑤个等式即可； （2）利用得出的规律计算各式即可． 【详解】（1）解：第⑤个等式：； 故答案为：； （2）解：①； ② ． 【点睛】本题主要考查了对数字变化规律的考查，有理数的乘法，熟练掌握运算规律是解此题的关键． 68．（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）如我们把从1开始的几个连续自然数的立方和记作，那么有： ， ， ， …… 观察上面的规律，完成下面各问题： （1）依规律，求的值； （2）依规律，求的值； （3）依规律，求的值． 【答案】（1）3025；（2）24200；（3）669375． 【分析】（1）根据规律将其转化为有理数的乘方运算即可得； （2）根据有理数乘方的逆运算和（1）的结论即可得； （3）计算即可得． 【详解】（1）， ， ， ； （2）， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握理解已知规律，将所求式子正确转化为有理数的乘方运算式子是解题关键． 69．（25-26七年级上·福建漳州·期中）探究规律，完成相关题目．类比有理数的乘方，我们定义：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算，叫做除方，例如，记作，读作“2的圈2次方”；，记作，读作“的圈3次方”；一般地，（），特别地，一个数可以看作这个数本身的圈1次方． (1)有理数的除法可以转化为乘法，那么有理数的除方能否转化为有理数的乘方进行运算呢？请你由特殊到一般探究有理数除方的运算： ， ， ， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________； (2)归纳： 当时，；当时，________； 当且n为整数时，________； (3)应用上述规律，计算：． 【答案】(1)，， (2)1； (3)11 【分析】（1）根据题中的新定义计算即可得到结果； （2）归纳总结得到规律即可； （3）利用得出的结论计算即可得到结果． 【详解】（1）， ， ； （2）； （也可以写成）； 故答案为：1； （3） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ◆题型6 有理数的新定义运算 70．（24-25七年级上·吉林·期末）用符号“f”定义一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…；（2），，，，…．利用以上规律计算：______． 【答案】0 【分析】本题主要考查了新定义运算中的规律探究，熟练掌握从已知运算中总结对应规律并代入计算是解题的关键．先从已知运算结果中总结出正整数和分数对应的运算规律，再代入计算和，最后求差值． 【详解】解： 对于正整数，， ∴ ． ∵ 对于的整数，有” ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 71．（25-26七年级上·陕西西安·期中）【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 【答案】（1）0，；（2）；（3）；（4）或， 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据定义的运算法则计算各式即可； （2）根据定义的运算法则计算即可； （3）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后将原式变形后代入数值计算即可； （4）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后确定a，b的值即可． 【详解】解：（1），， 故答案为：0；； （2） ． （3）， ， ． （4）整数、满足， 当与同号时， ，， ，， ，． 当与异号时， ，， ， ，， ，． 综上，或，． 72．（25-26七年级上·河南南阳·期中）阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．” 小明写出了一些按照（加乘）运算法则进行运算的式子： ；；；；； (1)归纳：类比有理数运算法则，归纳出（加乘）运算的运算法则，请你把下面内容补充完整： 两数进行（加乘）运算时，同号得________，异号得________，并把绝对值________；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于________________； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)拓展：若，直接写出的值． 【答案】(1)正 负 相加 这个数的绝对值 (2) (3)3或1 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算法则． （1）根据题目中的例子可以总结出（加乘）运算的运算法则； （2）根据（1）中的结论可以解答本题； （3）根据（1）中的结论和分类讨论的方法可以解答本题． 【详解】（1）解：两数进行（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于这个数的绝对值， 故答案为：正，负，相加，这个数的绝对值； （2） ； （3）， ， 当时，， 得， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为3或1． ◆题型7 有理数的实际应用综合 73．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）综合实践：根据背景素材，探索解决问题． 爷爷的生日快到了，小丽打算先去几家店铺购买一些生日礼物，然后到饭店为爷爷庆生． 素材1 准备计划路线图：家→礼品店→蛋糕店→水果店→饮料店→饭店； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，她这天行车里程（单位：）如下：，，，，； 素材3 出租车价目表： 起步价（不超过时）车费8元， 超过时，超过部分每千米收费2元． 问题解决 任务1 问饭店在小丽家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算打车从礼品店到蛋糕店所用的车费； 任务3 现在打车有优惠，实际付费满10元即将获赠一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能在以后打车时每次只能使用一张）．说说小丽在该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 【答案】任务1：饭店在小丽家的西边处；任务2：礼品店到蛋糕店所需费用14元；任务3：水果店到饮料店后领优惠券，蛋糕店到水果店用7折券，水果店到饮料店后领优惠券，饮料店到饭店用7折券,最低总车费为53元 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用．根据题意正确列式是解题的关键． 任务1：根据题意列出算式计算即可； 任务2：根据题意列出算式计算即可； 任务3：水果店到饮料店后领优惠券，蛋糕店到水果店用7折券，水果店到饮料店后领优惠券，饮料店到饭店用7折券． 【详解】解：任务1：由题意可得：， 答：饭店在小丽家的西边处； 任务2：由题意可得：（元）， 答：礼品店到蛋糕店所需费用14元； 任务3：由题意可得： 家到礼品店所需费用：8元， 礼品店到蛋糕店所需费用：14元，领一张8折优惠券和一张7折优惠券， 蛋糕店到水果店所需费用（用7折优惠券）：（元）， 水果店到饮料店所需费用：（元），领一张8折优惠券和一张7折优惠券， 饮料店到饭店所需费用（用7折优惠券）：（元）， ∴总车费：（元）， 答：水果店到饮料店后领优惠券，蛋糕店到水果店用7折券，水果店到饮料店后领优惠券，饮料店到饭店用7折券,最低总车费为53元． 74．（25-26七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何选择订购方案最划算？ 素材1 古茗奶茶店里出售的两款饮料价格如下：珍珠奶茶12元/杯，杨枝甘露17元/杯；另外可额外添加小料：椰果1元/份，多肉2元/份． 素材2 某外卖平台为促进消费，实行免配送费活动并给每个用户账号发放3张“18元代金券”，单笔订单满55元限用1张．（如：单笔金额为110元的订单，实付金额为：元） 素材3 莉莉等12人组成的研学小组准备订购下午茶，经统计7人想喝珍珠奶茶，5人想喝杨枝甘露． 问题解决 分析规划 任务1 单笔订单购买12杯饮料，实际支付多少元？ 任务2 莉莉发现将珍珠奶茶和杨枝甘露的订单分开2笔下单更划算，共需支付 元． 确定方案 任务3 莉莉的下单方案是最划算的方案吗？如果是，请说明理由；如果不是，请你求出最划算的下单方案的金额． 【答案】任务1：169元；任务2：133元；任务3：119元 【分析】本题考查有理数的四则混合运算的应用，理解题意，得到最优方案是解答的关键． 任务1：根据题中单价乘杯数求解支付费用即可； 任务2：分别求得分两笔下单的费用，各自减去“18元代金券”，可求得实际支付费用； 任务3：用完三张“18元代金券”可得到最划算的费用，即就是拼单，可分三笔下单支付，每笔费用必须满55元或者费用大于且最接近55元，也可以用添加小料凑单完成． 【详解】解：任务1：由题意，（元）， 答：单笔订单购买12杯饮料，实际支付169元； 任务2：分两单支付： 购买珍珠奶茶支付（元）， 购买杨枝甘露支付（元）， ∴珍珠奶茶和杨枝甘露的订单分开2笔下单，共需支付为（元）； 任务3：莉莉的下单方案不是最划算的方案； 最划算的方案为： 第一单：购买5杯珍珠奶茶，实际支付（元）； 第二单：购买2杯珍珠奶茶，2杯杨枝甘露，实际支付（元）， 第三单：购买3杯杨枝甘露，再添加4份椰果或2份椰果、1份多肉或2份多肉，实际支付（元）， 三单共需支付（元）． 75．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）密室闯关 小明一行人国庆假期去益智密室闯关，在最后的环节遇见了一个9颗亮红灯的密码箱（这9颗灯的材质完全相同，如图1），密码箱边上有一张解码规则说明 【数学抽象】聪明的小伙伴们打算用数学知识解决问题，他们记每次同时切换颗灯的颜色，9颗灯分别记为，，，，，，，，（如图2），探究得出可以用“”和“”分别表示一颗灯“亮红光”和“亮绿光”，计算这9颗灯分别表示的数的乘积，则上述问题的目标是将乘积从变为． 【初步探究】 （1）当时，最少经过___________次操作后，所有的灯都能亮绿光； （2）当时，经过一次操作后，有4颗灯切换颜色，可以用算式表示，因为，所以经过一次操作后不能使所有的灯都亮绿光，因此解码失败；如果经过两次操作，能否使所有的灯都亮绿光？请仿照上述说理过程，列出算式说明； （3）当时，经过多次操作后，能否使所有的灯都亮绿光？若能，最少需要几次操作？若不能，请说明理由； 【深入思考】 （4）当时，经过多次操作后，可以使所有的灯都亮绿光．小明他们判断出了最少的操作次数，并写出了第一次的操作过程：“第一次：切换，，，，的颜色”，请参照小明的书写格式、写全他们剩下的操作步骤． 【答案】（1）3； （2）不能，理由如下， 列式为：； （3）经过多次操作后，不能使所有的灯都亮绿光，理由如下： 当时，每次操作的变化是，无论操作多少次，结果都是， ∴当时，经过多次操作后，不能使所有的灯都亮绿光； （4）最少为3次，第二次：切换C，D，E，F，G的颜色，第三次：切换C，D，E，H，I的颜色． 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是正确理解题意． （1）由于有9颗灯，每次同时切换颗灯的颜色，则至少需要3次操作； （2）通过列式即可说理； （3）当时，每次操作的变化是，那么无论操作多少次，结果都是，故不能； （4）根据题意即可列出剩余的操作步骤． 【详解】解：（1）∵有9颗灯，每次同时切换颗灯的颜色， ∴至少经过次操作后，所有的灯都能亮绿光， 故答案为：3； （2）略 （3）略 （4）当时，经过3次操作后，可以使所有的灯都亮绿光，具体步骤如下： 第一次：切换A，B，C，D，E的颜色； 第二次：切换C，D，E，F，G的颜色； 第三次：切换C，D，E，H，I的颜色． ∴剩下的操作步骤： 第二次：切换C，D，E，F，G的颜色，第三次：切换C，D，E，H，I的颜色． ◆题型8 二进制计算 76．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据题意得出1011=1×23+0×22+1×21+1，求出即可 【详解】1011=1×23+0×22+1×21+1=11， 即二进制中的1011相当于十进制中的11. 故答案选C. 【点睛】考查了有理数的乘方，结合计算机教学，主要考查学生的理解能力、阅读能力和计算能力． 77．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）进位制是人们为了计数和方便而约定的计数系统，各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数： ． （1）将58转换为二进制数的结果为______； （2）在二进制中计算______； （3）在八进制中计算______； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解不同进制数转换的方法． （1）利用除以2取余数的方法求解即可； （2）根据二进制加法计算法则（进位1）计算求解即可； （3）根据八进制乘法满8进1求解即可． 【详解】解：（1），余数为0； ，余数为1； ，余数为0； ，余数为1； ，余数为1； ，余数为1， ∴将58转换为二进制数的结果为， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）八进制乘法满8进1， 则，记2，进位1； ，记7，无进位； ，记0，进位1， ∴ 故答案为：． 78．（25-26七年级上·重庆合川·期末）【探究学习】其他进制数和十进制数之间的相互转换． 探究1：①把二进制数改写成十进制数；②把三进制数改写成十进制数． ①方法：把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可．②方法：把三进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数3的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． 探究2：③把十进制数89改写成二进制数；④把十进制数257改写成三进制数． ③方法：把十进制数89改写成二进制数，用这个十进制数89连续除以2，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来：，这样就化成了二进制数，这种方法是“除以2倒取余数”． ④方法：把十进制数257改写成三进制数，用这个十进制数257连续除以3，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来：，这样就化成了三进制数，这种方法是“除以3倒取余数”．      (1)“二进制”化为十进制数为______；“六进制数”化为十进制数为______． (2)计算（结果转化为十进制）： (3)有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，表示成三进制，当x为偶数时，表示成七进制．如：二进制明码“1101”化为十进制为13，13为奇数，化成三进制为“111”，所以译成密码为111，请将二进制明码“110110”译成密码为________（直接写结果）． (4)合川桃片专卖店推出不同重量的密封礼盒（重量为整斤数），由于制作工艺特殊，店铺规定顾客只能购买整盒，不能拆开重新包装．通过灵活搭配这几种规格的礼盒（同一订单每种礼盒最多搭配一个），竟然可以恰好满足任何1斤到15斤（整斤数）的订单需求（即订单斤数等于若干礼盒重量之和），利用二进制解决：店家至少需要推出________种不同重量的密封礼盒（直接写结果）． 【答案】(1)9，205 (2)209 (3)105 (4)4 【分析】本题考查了二进制与十进制的转换，有理数的乘方，有理数的加法等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）参照方法①②计算即可； （2）参照方法①②计算即可； （3）先将变为十进制数，判断是偶数还是奇数，再参照方法③④计算即可； （4）将十进制数15转化为二进制数，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：9，205； （2）解： ； （3）解：， 54为偶数时，需要表示成七进制． ． 故答案为：105； （4）解：由题意知， ， 店家至少需要推出4种不同重量的密封礼盒，重量分别为1斤，2斤，4斤，8斤， 故答案为：4． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【分析】根据题意明确第n次对折后的厚度为，根据，求出n的最小整数值即可． 【详解】解：设对折次后整叠纸总厚度为． 由题意得， ． ，，， ， 至少要对折8次． 2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知、 、 三个数在数轴上对应点的位置如图所示下列几个判断：  ； ； ； ；的值一定是正数．其中正确的个数有（）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】首先根据数轴确定、 、 大小关系，再根据结论逐个判断对错即可． 【详解】解：由数轴可知 ， ∵ ， ∴ ， ∴ 结论错误， ∵ ， ∴、 异号， ∴， ∴ 结论正确， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 结论正确， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ 结论错误， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴值一定是正数， ∴ 结论正确， 综上所述正确个数有个． 3．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 4．（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题利用零点分段法化简绝对值方程，确定x的取值范围，找出范围内所有整数x，再计算它们的和即可． 【详解】解：令得，令得， ∴分三种情况讨论： 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，等式恒成立，故此区间内所有x都满足方程； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 综上，满足方程的x的范围是， 其中整数为， 计算和得． 5．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：当时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为，…… 由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 6．（2026·河南洛阳·三模）外卖员小李年月送餐单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于公里 大于公里 占比 送餐费 元/单 元/单 则小李年月份的送餐收入为_____元． 【答案】 【分析】先根据总订单数和对应占比分别算出两类送餐距离的订单量，再结合各自单餐费用，列式计算求出小李月份的送餐总收入． 【详解】解：由表格数据可得，总送餐收入为 （元）． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）已知，，则( )． 【答案】 【分析】根据混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 8．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）如图1，点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度，则数轴上点所对应的数为______． 【答案】 【分析】分别求出数轴上和刻度尺上点A和点C的距离，则可求出刻度尺上在数轴上表示的长度，再求出刻度尺上点A和点B的距离，进而求出数轴上点A和点B的距离，则可得到答案． 【详解】解：∵在数轴上点A表示的数为，点C表示的数为， ∴在数轴上点A与点C的距离为； ∵在刻度尺上，数字0对应点A，数字对应点C， ∴在刻度尺上点A与点C的距离为， ∴刻度尺上在数轴上表示个单位长度， ∵在刻度尺上点对应刻度， ∴在刻度尺上点A与点B的距离为， ∴在数轴上点A与点B的距离为， ∴． 9．（2025七年级下·重庆涪陵·竞赛）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 【答案】 【分析】的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和，可得当x在1和9之间的5时距离的和最小，据此求解即可． 【详解】解：的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和， ∴根据绝对值的几何意义可得，当x在1和9之间的5时距离的和最小， 那么当时，， ∴式子的最小值是． 10．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ 【答案】或或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 根据有理数的运算法则列式即可． 【详解】解：由图可得，符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 11．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）点A为数轴上的一点，动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B．若点B到原点的距离为6个单位长度，则点A表示的数是________． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，熟练掌握数轴的动点问题是解题关键． 根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，分点B在原点的左侧和右侧两种情况进行求解即可． 【详解】∵点B与原点的距离是个单位长度， ∴点B表示的数为或， ∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B， ∴点A表示的数为或； 故答案为：或． 12．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）在a，b，c，d，e中，每个字母的值恰好是，0，2这三个数值中的一个，若，则____． 【答案】6或14 【分析】本题主要考查了带字母的绝对值化简，有理数加法运算，根据已知条件，字母取值仅为、0、2，且和为，通过设未知数表示各值的个数，解方程得到两种可能情况，分别计算绝对值之和． 【详解】解：设字母中的个数为x，0的个数为y，2的个数为z，则满足方程组： ， 由第二式化简得， 即， 代入第一式得， 即， 所以， 由于，且、、为非负整数， 解得：时、； 时、； 当、、时，即一个、三个0、一个2，绝对值之和为： ； 当、、时，即两个、三个2，绝对值之和为： ． 故答案为：6或14． 13．（25-26七年级上·江苏南通·期中）进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一，一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：（）．例如：十进制数可以表示为，即；二进制数可以表示为，即．请将十进制数89转换为二进制数为______． 【答案】 【分析】本题考查了将十进制数转换为二进制数． 将十进制数转换为二进制数，采用除2取余法，即将十进制数连续除以2，记录每次的余数，直到商为0，然后将余数逆序排列，得到二进制表示． 【详解】解： 将余数从下往上排列，得到二进制数． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·福建福州·期中）如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的△、⊙分别表示一个数，则的值为____． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数的乘法计算，求出这8个数字的和，进而可得横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和，进一步可求出⊙表示的数，则可确定△表示的数，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都为， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：或1． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】先算乘方、绝对值，再算除法，最后从左到右依次进行加减运算即可． 【详解】解： ． 16．（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)11988 (2)99900 【分析】（1）将所求式子变形为，再结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，再结合乘法运算律计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 【答案】(1)1， (2)D (3)12 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，，且，则，故正确； D．，或1，故错误；故选D； （3） 19．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 20．（25-26七年级上·江苏南通·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 【答案】（1）①142；②；（2）①；②；（3）51 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用． （1）根据题意将三进制化为十进制即可求解． （2）根据题意，类比十进制的运算规则，在相应进位制下进行计算即可求解． （3）根据题意例题进行计算先求得，，根据即可求解． 【详解】（1）①把 ， 故答案为： ② ， 即：． （2）① ② （3）∵， ， ， ， ，，且、为正整数， ，， 故答案为： 21．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）【概念认识】 规定数轴上两点之间的距离可以用右侧的点表示的数减去左侧点表示的数来计算． 点A、B、C在数轴上，点B与点A之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则称是的友好点，如图1，点都在数轴上，是原点，点是的友好点，也是的友好点． 【问题再现】 （1）如图1，在B、C中，_________是的友好点． 【问题探究】 （2）如图2，点E、M、F在数轴上，点E表示的数是a，点M表示的数是10，点表示的数是，且满足点到的距离大于点到点的距离． ①若M是的友好点，求的值； ②是否存在的值，使是的友好点； 【问题解决】 （3）如图1，点D以每秒1个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动，同时，点以每秒4个单位长度的速度，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴正半轴运动，设运动时间为秒，求当是的友好点时，的值． 【答案】（1）；（2）①；②不存在；（3）的值为或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解友好点的定义． （1）根据友好点的定义求解即可； （2）①当是的友好点时，则，可得方程，再解方程即可；②当是的友好点时，则，可得方程，再解方程，判断解是否符合题意即可； （3）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，由点是的友好点，得到，即可建立方程求解． 【详解】解：（1）由数轴可得，，， 此时，则点B不是的友好点； 此时，则点C是的友好点， 故答案为：； （2）①当是的友好点时，则 ∴， 解得：； ②当是的友好点时，则， ∴， 解得：， 当时，， 不满足点到的距离大于点到点的距离，舍去， 即不存在的值，使是的友好点； （3）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点是的友好点， ∴， ∴， 解得或 综上所述，的值为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 有理数章末易错压轴题型 常考题型·精准突破 考点一 有理数易错题型 易错题型一：正数与负数 易错题型二：正负数的实际应用 易错题型三：有理数的概念与分类 易错题型四：数轴的三要素及其表示 易错题型五：数轴上两点之间的距离 易错题型六：利用数轴比较有理数的大小 易错题型七：数轴上的整点覆盖问题 易错题型八：求绝对值 易错题型九：绝对值的非负性 易错题型十：绝对值的化简 易错题型十一：相反数 易错题型十二：有理数的四则运算 易错题型十三：有理数的简便运算 易错题型十四：有理数的实际应用 易错题型十五：有理数的乘方运算 易错题型十六：程序流程图 易错题型十七：算24点 易错题型十八：科学记数法 考点二 有理数压轴题型 压轴题型一：数轴上的动点问题（难） 压轴题型二：数轴上的规律探究（难） 压轴题型三：绝对值的几何意义（难） 压轴题型四：绝对值的化简（分类讨论）（难） 压轴题型五：有理数的规律运算（难） 压轴题型六：有理数的新定义运算（难） 压轴题型七：有理数的实际应用综合（难） 压轴题型八：二进制计算 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数易错题型 ◆题型1 正数与负数 1．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列六个数、1.010010001、、0、、，其中负数有（     ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）学习正负数后，甲、乙两名同学提出不同看法： 甲：带有“”号的数是负数； 乙：是正数，不是负数 对于这两名同学的看法，正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 3．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）古人常用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．例如“红色算筹”表示的数是．则“黑色算筹”表示的数是______． ◆题型2 正负数的实际应用 4．（2026·河南三门峡·三模）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）一种方便面的包装袋上印有“面饼净含量：克”的字样，表示这种方便面面饼的标准净重是95克，加工这种面饼，其净重最大可以是________． 6．（24-25七年级上·福建厦门·期中）萌萌帮家庭记录6个月的生活收支账目如下表（用正数表示收入，用负数表示支出，单位：万元）． 时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月 收入 支出 (1)萌萌家月支出最大的是哪个月？ (2)萌萌家6个月的总收入和总支出各是多少万元？ (3)萌萌家平均每月的支出是多少万元？ ◆题型3 有理数的概念与分类 7．（25-26七年级上·四川泸州·期中）把下列各数填在相应的横线上∶ ①，②，③，④0，⑤2025，⑥， ⑦，⑧⑨，⑩ ． (1)正有理数集合{ …}； (2)负有理数集合{ …}； (3)负分数集合{ …}； (4)非负整数集合{ …}． 8．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）把下列各数的序号填在相应的横线内： ①1；②；③π；④0；⑤3.12112111211112……；⑥；⑦． (1)整数： ； (2)负分数： ； (3)非负数： ； (4)有理数： ． 9．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合里(请在横线上填写序号)． ①， ②0， ③ ，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 负有理数集合{ …}； 整数集合{ …}； 负分数集合{ …}； 非负整数集合{ …} ◆题型4 数轴的三要素及其表示 10．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 11．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）下列图形表示数轴正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． ◆题型5 数轴上两点之间的距离 13．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上点P所表示的数为x，则下列说法正确的是（     ） A．在x和0之间有3个负数 B．与3相比，x离0更近一些 C．在x和之间有5个整数 D．x比大 14．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段检测）在数轴上有三个点A、B、C，且点A到点B的距离是5个单位长度，若点B表示的数是，点C表示的数是，则点A到点C的距离为______． 15．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是______． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为______． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． ◆题型6 利用数轴比较有理数的大小 16．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，数轴上的刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，，． 17．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）画数轴，把下列各数及其相反数记在数轴上，然后把这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，， 18．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在数轴上把下列各数表示出来，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来： ，，0，，，4 ◆题型7 数轴上的整点覆盖问题 19．（24-25七年级上·江苏常州·阶段检测）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为_____厘米． 20．（2025·江苏盐城·模拟预测）在数轴上有一段线段，长度为，，该线段在数轴上运动，除原点外，这条线段覆盖的整数点最少为____． 21．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 ◆题型8 求绝对值 22．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如果，则______，如果，则______．化简：______． 23．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）若，，且在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧，则_____． 24．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． ◆题型9 绝对值的非负性 25．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，，且，则（   ） A．3 B．7 C． D．3或7 26．（25-26七年级上·贵州黔东南·期中）若，且__________． 27．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）已知在数轴上有三点，，，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．沿，，三点中的一点折叠数轴． (1)求a，b的值； (2)若另外两点互相重合，则点C表示的数是_________． ◆题型10 绝对值的化简 28．（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知，且，则的值是（   ） A．6或 B．6或 C．10或 D．6或10 29．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知，且，求___________． 30．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知． (1)若同号，则___________； (2)若异号，请求出的值（写出解答过程）； (3)若，请求出的值（写出解答过程）． ◆题型11 相反数 31．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，在单位长度为1的数轴上有三个点，，． (1)若点表示的数是，直接写出点，表示的数． (2)若点，所表示的数互为相反数，求出点表示的数． (3)若点与原点之间的距离为，求出点表示的数． 32．（25-26七年级上·河南周口·期中）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 33．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）若与互为相反数，则的值在数轴上对应的数应为____． ◆题型12 有理数的四则运算 34．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) (4) 35．（25-26七年级上·江苏南通·期中）计算 (1) (2) (3) 36．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6)（简便运算） ◆题型13 有理数的简便运算 37．（25-26六年级上·山东烟台·期中） 利用运算律有时能进行简便计算 例1   例2   请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： (1) (2) (3) 38．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）简便计算： (1)； (2)． 39．（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）简便运算： (1)； (2)． ◆题型14 有理数的实际应用 40．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于 200元 不予优惠 低于500 元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500 元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物550元， 他实际付款 元． (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付 元(用含x的代数式表示)． (3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为a元，用含a的代数式表示两次购物王老师实际付款多少元？ 41．（25-26七年级上·广东河源·期中）某自行车厂一周计划生产1050辆自行车，平均每天生产150辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (2)该厂实行计件工资制，每辆车50元，超额完成任务每辆奖10元，少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 42．（25-26七年级上·浙江台州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节水的目的，该市自来水收费价格见表格（水费按月结算）： 每月用水量 单价（元/立方米） 不超过8立方米的部分 2.5 超过8立方米的部分 3 (1)若某户居民2月份用水6立方米，则应收水费多少元？ (2)若某户居民3月份共用水12立方米，则应收水费多少元？ (3)若某户居民4月份共用水x立方米，则应收水费多少元？（用含的式子表示） ◆题型15 有理数的乘方运算 43．（25-26七年级上·浙江台州·期中）计算： (1)； (2)． 44．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）计算： (1) (2) 45．（25-26六年级上·上海·单元复习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) ◆题型16 程序流程图 46．（25-26七年级上·江苏常州·期中）一组“数转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是4，则输出的结果为244，若输出的结果为109，则输入的最小正整数是（   ） A．3 B．5 C．13 D．37 47．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第次输出的结果为（　　） A． B． C． D． 48．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）小慧设计了一个如图的运算程序，程序每执行一次运算后按条件进行判断，然后输出结果或继续执行下一次运算． (1)当，，时， ①若输入，输出结果为__________； ②若输入执行2次运算后输出的结果等于，求的值． (2)当时，若输入的值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，请直接写出输入的值为__________．（用含的代数式表示） ◆题型17 算24点 49．（24-25六年级上·山东烟台·期中）24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是___________． 50．（2025七年级上·全国·专题练习）小明和小刚玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（四张牌必须都用且每张牌上的数字只能用一次），使运算结果等于24．其中“J”代表11、“Q”代表12、“K”代表13． (1)小明抽取的四张牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； (2)小刚抽取的四张牌分别是方块3，梅花3，黑桃7，梅花7，请帮小刚列出一个结果等于24的算式． 51．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是 ； (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．则这个最小的商为 ； (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） ◆题型18 科学记数法 52．（2026·江苏南通·二模）“苏超”持续带动南通消费，5月9日晚，南通队主场对阵南京队，全市72个第二现场人潮涌动，观赛氛围火热．当天，全市共接待游客约480800人次．将480800用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 53．（2026·江苏徐州·模拟预测）2026年春节假期，徐州市文旅市场迎来强劲增长．县域乡村活动丰富，舞龙舞狮、村晚、音乐节、“村界杯”足球赛等轮番上演，我市某重点景区单日接待游客超人次，数据用科学记数法表示为________． 54．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）2026年3月29日，扬州半程马拉松鸣枪开跑，这是扬马创办20周年的里程碑赛事，也是赛事升级为世界田联白金标后的首次亮相．本次赛事规模达23000人，数23000用科学记数法可表示为______________． 考点二 有理数压轴题型 ◆题型1 数轴上的动点问题 55．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 56．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 57．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． ◆题型2 数轴上的规律探究 58．（25-26七年级上·海南海口·期中）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2025 C．2025 D．2025 59．（25-26七年级上·山东日照·期末）如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 60．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． ◆题型3 绝对值的几何意义 61．（25-26七年级上·山东滨州·期中）【问题情境】：点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； 【独立思考】：试用数轴探究：当时的值为 ． 【实践探究】：利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 62．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）同学们都知道，表示1与之差的绝对值，实际上也可以理解为1与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)同理，表示数轴上实数所对的点分别到和1006所对的两点距离相等，则_______________； (3)类似地，表示数轴上实数所对的点分别到和2所对的两点距离之和，若，则________________； (4)由以上探究，猜想对于任何实数，是否有最小值？如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 63．（25-26七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． ◆题型4 绝对值的化简（分类讨论） 64．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知有理数a，b，c，d满足，其中，且，则式子的值为（    ） A． B． C．2 D．4 65．（25-26七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． 66．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）如果的最小值是a，，那么的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 ◆题型5 有理数的规律运算 67．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 68．（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）如我们把从1开始的几个连续自然数的立方和记作，那么有： ， ， ， …… 观察上面的规律，完成下面各问题： （1）依规律，求的值； （2）依规律，求的值； （3）依规律，求的值． 69．（25-26七年级上·福建漳州·期中）探究规律，完成相关题目．类比有理数的乘方，我们定义：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算，叫做除方，例如，记作，读作“2的圈2次方”；，记作，读作“的圈3次方”；一般地，（），特别地，一个数可以看作这个数本身的圈1次方． (1)有理数的除法可以转化为乘法，那么有理数的除方能否转化为有理数的乘方进行运算呢？请你由特殊到一般探究有理数除方的运算： ， ， ， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________； (2)归纳： 当时，；当时，________； 当且n为整数时，________； (3)应用上述规律，计算：． ◆题型6 有理数的新定义运算 70．（24-25七年级上·吉林·期末）用符号“f”定义一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…；（2），，，，…．利用以上规律计算：______． 71．（25-26七年级上·陕西西安·期中）【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 72．（25-26七年级上·河南南阳·期中）阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．” 小明写出了一些按照（加乘）运算法则进行运算的式子： ；；；；； (1)归纳：类比有理数运算法则，归纳出（加乘）运算的运算法则，请你把下面内容补充完整： 两数进行（加乘）运算时，同号得________，异号得________，并把绝对值________；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于________________； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)拓展：若，直接写出的值． ◆题型7 有理数的实际应用综合 73．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）综合实践：根据背景素材，探索解决问题． 爷爷的生日快到了，小丽打算先去几家店铺购买一些生日礼物，然后到饭店为爷爷庆生． 素材1 准备计划路线图：家→礼品店→蛋糕店→水果店→饮料店→饭店； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，她这天行车里程（单位：）如下：，，，，； 素材3 出租车价目表： 起步价（不超过时）车费8元， 超过时，超过部分每千米收费2元． 问题解决 任务1 问饭店在小丽家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算打车从礼品店到蛋糕店所用的车费； 任务3 现在打车有优惠，实际付费满10元即将获赠一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能在以后打车时每次只能使用一张）．说说小丽在该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 74．（25-26七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何选择订购方案最划算？ 素材1 古茗奶茶店里出售的两款饮料价格如下：珍珠奶茶12元/杯，杨枝甘露17元/杯；另外可额外添加小料：椰果1元/份，多肉2元/份． 素材2 某外卖平台为促进消费，实行免配送费活动并给每个用户账号发放3张“18元代金券”，单笔订单满55元限用1张．（如：单笔金额为110元的订单，实付金额为：元） 素材3 莉莉等12人组成的研学小组准备订购下午茶，经统计7人想喝珍珠奶茶，5人想喝杨枝甘露． 问题解决 分析规划 任务1 单笔订单购买12杯饮料，实际支付多少元？ 任务2 莉莉发现将珍珠奶茶和杨枝甘露的订单分开2笔下单更划算，共需支付 元． 确定方案 任务3 莉莉的下单方案是最划算的方案吗？如果是，请说明理由；如果不是，请你求出最划算的下单方案的金额． 75．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）密室闯关 小明一行人国庆假期去益智密室闯关，在最后的环节遇见了一个9颗亮红灯的密码箱（这9颗灯的材质完全相同，如图1），密码箱边上有一张解码规则说明 【数学抽象】聪明的小伙伴们打算用数学知识解决问题，他们记每次同时切换颗灯的颜色，9颗灯分别记为，，，，，，，，（如图2），探究得出可以用“”和“”分别表示一颗灯“亮红光”和“亮绿光”，计算这9颗灯分别表示的数的乘积，则上述问题的目标是将乘积从变为． 【初步探究】 （1）当时，最少经过___________次操作后，所有的灯都能亮绿光； （2）当时，经过一次操作后，有4颗灯切换颜色，可以用算式表示，因为，所以经过一次操作后不能使所有的灯都亮绿光，因此解码失败；如果经过两次操作，能否使所有的灯都亮绿光？请仿照上述说理过程，列出算式说明； （3）当时，经过多次操作后，能否使所有的灯都亮绿光？若能，最少需要几次操作？若不能，请说明理由； 【深入思考】 （4）当时，经过多次操作后，可以使所有的灯都亮绿光．小明他们判断出了最少的操作次数，并写出了第一次的操作过程：“第一次：切换，，，，的颜色”，请参照小明的书写格式、写全他们剩下的操作步骤． ◆题型8 二进制计算 76．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 77．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）进位制是人们为了计数和方便而约定的计数系统，各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数： ． （1）将58转换为二进制数的结果为______； （2）在二进制中计算______； （3）在八进制中计算______； 78．（25-26七年级上·重庆合川·期末）【探究学习】其他进制数和十进制数之间的相互转换． 探究1：①把二进制数改写成十进制数；②把三进制数改写成十进制数． ①方法：把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可．②方法：把三进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数3的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． 探究2：③把十进制数89改写成二进制数；④把十进制数257改写成三进制数． ③方法：把十进制数89改写成二进制数，用这个十进制数89连续除以2，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来：，这样就化成了二进制数，这种方法是“除以2倒取余数”． ④方法：把十进制数257改写成三进制数，用这个十进制数257连续除以3，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来：，这样就化成了三进制数，这种方法是“除以3倒取余数”．      (1)“二进制”化为十进制数为______；“六进制数”化为十进制数为______． (2)计算（结果转化为十进制）： (3)有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，表示成三进制，当x为偶数时，表示成七进制．如：二进制明码“1101”化为十进制为13，13为奇数，化成三进制为“111”，所以译成密码为111，请将二进制明码“110110”译成密码为________（直接写结果）． (4)合川桃片专卖店推出不同重量的密封礼盒（重量为整斤数），由于制作工艺特殊，店铺规定顾客只能购买整盒，不能拆开重新包装．通过灵活搭配这几种规格的礼盒（同一订单每种礼盒最多搭配一个），竟然可以恰好满足任何1斤到15斤（整斤数）的订单需求（即订单斤数等于若干礼盒重量之和），利用二进制解决：店家至少需要推出________种不同重量的密封礼盒（直接写结果）． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知、 、 三个数在数轴上对应点的位置如图所示下列几个判断：  ； ； ； ；的值一定是正数．其中正确的个数有（）． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 5．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河南洛阳·三模）外卖员小李年月送餐单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于公里 大于公里 占比 送餐费 元/单 元/单 则小李年月份的送餐收入为_____元． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）已知，，则( )． 8．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）如图1，点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度，则数轴上点所对应的数为______． 9．（2025七年级下·重庆涪陵·竞赛）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 10．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ 11．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）点A为数轴上的一点，动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B．若点B到原点的距离为6个单位长度，则点A表示的数是________． 12．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）在a，b，c，d，e中，每个字母的值恰好是，0，2这三个数值中的一个，若，则____． 13．（25-26七年级上·江苏南通·期中）进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一，一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：（）．例如：十进制数可以表示为，即；二进制数可以表示为，即．请将十进制数89转换为二进制数为______． 14．（25-26七年级上·福建福州·期中）如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的△、⊙分别表示一个数，则的值为____． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算：． 16．（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）计算： (1)； (2)． 17．（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 18．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 19．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 20．（25-26七年级上·江苏南通·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 21．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）【概念认识】 规定数轴上两点之间的距离可以用右侧的点表示的数减去左侧点表示的数来计算． 点A、B、C在数轴上，点B与点A之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则称是的友好点，如图1，点都在数轴上，是原点，点是的友好点，也是的友好点． 【问题再现】 （1）如图1，在B、C中，_________是的友好点． 【问题探究】 （2）如图2，点E、M、F在数轴上，点E表示的数是a，点M表示的数是10，点表示的数是，且满足点到的距离大于点到点的距离． ①若M是的友好点，求的值； ②是否存在的值，使是的友好点； 【问题解决】 （3）如图1，点D以每秒1个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动，同时，点以每秒4个单位长度的速度，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴正半轴运动，设运动时间为秒，求当是的友好点时，的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $