专题05 有理数的新定义运算与规律探究问题10大题型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

专题05 有理数的新定义运算与规律探究问题 题型一：有理数的新定义运算 题型二：数轴相关的新定义问题 题型三：二进制计算问题 题型四：含乘方的规律计算题 题型五：比较大小的规律题 题型六：干支纪年的规律题 题型七：幻方类规律题 题型八：裂项相消法规律题 题型九：错位相减法规律题 题型十：含绝对值的规律计算题 题型一：有理数的新定义运算 1．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在学习完（有理数）后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣，帮助有理数的运算，定义：一种新运算“⊕”，规则如下：，（a，b不相等） (1)___________；___________；___________． (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 2．（25-26七年级上·重庆潼南·期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题． 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ； ； ． 请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ． (2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 3．（25-26七年级上·吉林松原·期中）小明同学借助于有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：对于任意有理数，都有． (1)求的值； (2)试用，说明，新定义的运算不满足交换律． 4．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 5．（25-26七年级上·河南焦作·期中）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3-1=2，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数853是否为“极差数”？_____．（填“是”或“不是”） 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为______； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 题型二：数轴相关的新定义问题 6．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，． (1)①、两点之间的距离是__________； ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 7．（25-26七年级上·广东深圳·期末）定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为，0，2，满足，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”； (2)若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数是 ； (3)若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数． 8．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）对于数轴上A，B，M，N四点，给出如下定义：当点M在线段上（不与点A，B重合），称为点M关于线段的“内差距”；当点N在线段AB外，称为点N关于线段的“外差距”． 如图，点A表示的数为，点B表示的数为4．若点M表示的数为，则“内差距”；若点N表示的数为5，则“外差距”． (1)已知点A表示的数为，点B表示的数为3． ①若点M关于线段的“内差距”，求证：点M是线段AB的中点； ②若点M表示的数为m，点M关于线段的“内差距”为，点N关于线段的“外差距”为，且，求m的值； (2)点A表示的数为x，，点Q关于线段的“外差距”，原点O关于线段的“内差距”，若，求点Q表示的数． 9．（25-26七年级上·北京东城·期中）对于数轴上的点，给出如下定义：若在数轴上存在点，使得点到点的距离是点到点距离的倍（为有理数），则称点为点的倍关联点． (1)当时． ①点表示的数为2，点表示的数为点3，点P位于原点O和点之间，求点表示的数？ ②点表示的数为2，点表示的数为点3，则点表示的数为_______． (2)点表示的数为t，点表示的数为，点位于点，之间（可以与，重合），直接写出的取值范围． 10．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在数轴上，点表示的数为0，点表示的数为． 给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“闭距离”． 如图1，若，点表示的数为3，当点与点重合时，线段的长最大，值是4，则点与线段的“闭距离”为4． (1)如图2，在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为2． ①当时，点与线段的“闭距离”为___________； ②若点与线段的“闭距离”为3，求的值； (2)在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若线段上存在点，使得点与线段的“闭距离”为5，直接写出的最大值与最小值． 题型三：二进制计算问题 11．（25-26七年级上·广西百色·期末）综合与实践 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．在日常生活中我们最常用的是十进制（逢十进一），而计算机内部使用的是二进制（逢二进一）．二进制只用和两个数字，各数位权重是的幂次．例如，二进制可以表示为： ， 因此等于十进制数． 请解决以下问题 (1)问题一：将二进制数转换为十进制数，写出转换过程． (2)问题二： ①计算二进制加法：，写出计算过程． ②先将和分别转换为十进制数，再用十进制加法计算它们的和． ③将第①问的二进制加法结果转换为十进制数，对比第②问的结果，你发现了什么？ 12．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）综合实践 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统 约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作： 八进制数，记作： 二进制数，记作： 且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n 进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：二进制数（10010）2转十进制数为： ． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1 （1）十进制数，转二进制数得 ； （2）十进制数89，转八进制数得 ； （3）二进制数转十进制数得 任务2 二进制只有0和1两个数字，这正好和电路的断和通两种状态相对应，因此，在计算机内部使用二进制，计算机在进行运算时都是以二进制数进行运算，二进制运算就是逢二进一，再把运算结果转化为十进制数，并输出结果、请根据二进制运算法则：数位对齐，逢二进一，完成下面运算． （结果用二进制表示）． 13．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）我们平时用的是十进制数，例如，，表示十进制数要用到10个数字：0，1，2，…，9在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数：0，1．例如，在二进制中，1101表示十进制数的，110000表示十进制数的． 请你计算一下： (1)二进制中的数110101等于十进制的数是多少？ (2)仿照二进制的算法，八进制中的2507等于十进制的数是多少？ (3)二进制中，计算． 14．（第2章综合与实践进位制的认识与探究-【勤径学升】2024-2025学年新教材七年级上册数学同步练测配套教师用书（人教版2024）） 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，表示具体数时采用“逢十进一”的原则，而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，表示具体数时“逢二进一”．二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的运算也和十进制数的运算类似 任务一 问：如何把十进制数103转化成二进制整数？ 任务二 问：如何把十进制数0．125转化为二进制小数？ 任务三 问：二进制是否也有循环小数？ 反思与评价 （1）将十进制数35化成二进制数为 ．二进制小数（0．101）2化为十进制分数是 ． （2）将十进制分数化成二进制小数： ， （3）在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将化为分数形式． 设…①，则…②． ②－①，得，即，于是得到． 同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数． 请将二进制循环小数（）2化成十进制分数，保留计算过程 15．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践 知识回顾：通过对“进位制的认识与探究”的学习我们知道，进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，十进制逢十进一，基数是10，使用0~9十个数记数；计算机常用的记数形式是二进制，二进制逢二进一，基数是2，使用0和1两个数字记数，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，二进制数和十进制数之间可以相互转换．（规定：当时，，例：） 例： 任务一： （1）将转换成十进制数的结果为_______，将35转换成二进制数的结果为________． 类比探究：二进制加法运算的基本原理与十进制相同，不同的是十进制逢十进一，二进制逢二进一． 例： 任务二： （2）①计算： ②将①中结果转化为十进制数 迁移应用： （3）已知将八进制数转换成十进制数的算法与二进制数的算法类似， ①请将98转化为八进制数． ②请将转化为八进制数． 题型四：含乘方的规律计算题 16．（25-26七年级上·江西赣州·期中）观察下列各式： ；；；；…… (1)根据你发现的规律，计算算式的值：； (2)请用一个含的算式表示这个规律：； (3)根据发现的规律，请计算算式：的值（写出必要的解题过程）． 17．（25-26七年级上·山西临汾·期中）观察下列等式： … (1)根据你发现的规律，写出第5个等式． (2)请用含有正整数n的等式表示上述规律． (3)利用你发现的规律计算： 18．（25-26六年级上·山东烟台·期中）与幂有关的规律探究，一般是研究幂的个位数字的规律探究问题．常用的方法是先求出前几个数的个位数字，从中发现循环的规律，然后判断需要探求的数的个位数字处于循环规律中的第几个，最终得到答案． (1)先观察，后计算： 观察算式：你能发现的个位数字是由 种数字组成，分别是 ；直接写出的个位数字是 ； (2)探究：的个位数字是多少？试着写出推导过程； (3)直接写出的结果的个位数字是 ． 19．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④____________； (2)试用含有的式子表示这一规律：____；（为正整数） (3)请计算：． 20．（25-26七年级上·云南昭通·期中）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； …… (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式； (2)根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式； (3)请利用上述规律计算：． 题型五：比较大小的规律题 21．（24-25七年级上·福建三明·期中）通过问题解决策略“归纳”的学习，你能用归纳策略比较两个数和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先研究它的一般形式，即比较和的大小（n是正整数），然后我们从分析，2，3，…这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论． (1)通过计算，比较下列各组中两个数的大小（填“”“”或“”） ①______            ②______            ③______ ④______            ⑤______            ⑥______ (2)从（1）中的结果经过归纳，猜想出和的大小关系； (3)试根据上面的归纳猜想得到的一般结论，试比较下面两个数的大小：______ 22．（25-26七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 在比较与的大小时，若利用绝对值法比较，则需要进行分数的通分，因为分母较大，所以比较繁琐．我们也可以使用如下的方法比较大小： 因为，，所以，所以． (1)填空：上述方法是先通过找中间量______来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“______大的负数反而小”进行判断． (2)利用上述方法比较与的大小． 23．（2025七年级上·全国·专题练习）比较与的大小可用以下方法： ，，， ，即． (1)你能对照上述方法比较与的大小吗？ (2)比较与的大小． 24．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段检测）问题：你能比较和这两个数的大小吗？ 为了解决这个问题，我们可以先写出它的一般形式，即比较与（n为正整数）的大小，然后，我们从分析，，…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论． (1)① ；② ；③ ；④ ；⑤ ； (2)从第（1）题的结果归纳，猜想和的大小关系； (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较和的大小． 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）【观察】 （1）比较大小： ①，； ②，； ③，； ④，． 【归纳】 （2）通过（1）中的大小比较，猜想并归纳出与的大小关系，并说明满足什么关系时，成立． 【应用】 （3）当时，的取值范围是 ． （4）若，求的值． 题型六：干支纪年的规律题 26．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）【例读理解】 “干支（）纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，以下是关于干支纪年的素材，请阅读后解决问题． 素材①：干支是天干和地支的总称，十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，即：甲子，乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、……、辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑、……，每个组合代表一年，60年为一个循环，也称60年一甲子． 素材②：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干的计算方法是：年份减3，除以10后，所得的余数； 地支的计算方法是：年份减3，除以12后，所得的余数． 以2025年为例， 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 素材③：十二地支又与十二生肖依次顺位相对应为：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪． 【解决问题】 (1)杨振宁，1922年10月1日出生于中国安徽合肥，是世界著名物理学家、诺贝尔物理学奖获得者，他被公认为20世纪最重要的物理学家之一，其工作深刻影响了现代物理学的发展，他不仅在国际上享有崇高声誉，也为中国科学事业的发展作出了重要贡献．用干支纪年法判断他出生于农历______年，他的属相是______； (2)2025年9月3日，北京天安门广场举行了盛大阅兵式，这是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年活动的重要组成部分，80年前的1945年用干支纪年法是农历______年； 下列历史事件与公元纪年时间对应错误的是（   ） A．辛亥革命——1911年    B．戊戌变法——1898年 C．癸卯学制——1904年    D．甲申之变——1645年 27．（25-26七年级上·湖北恩施·期中）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减，除以所得的余数；地支的计算方法是：年份减，除以所得的余数．以年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得，年为农历庚子年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断年为农历___________年． 28．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）【阅读理解】 沪科版新教材七年级上册第206页《综合与实践》里提到了一种中国自古以来就一直使用的纪年方法：干支纪年，以下是关于干支纪年的素材，请阅读后解决问题． 素材①：干支是天干和地支的总称，十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，即：甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、……、辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑、……，每个组合代表一年，60年为一个循环，也称60年一甲子． 素材②：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干的计算方法是：年份减3，除以10后，所得的余数； 地支的计算方法是：年份减3，除以12后，所得的余数． 以2024年为例，天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 素材③：十二地支又与十二生肖依次顺位相对应为：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪． 【解决问题】 (1)获得诺贝尔医学奖的中国科学家屠呦呦生于公历1930年，用干支纪年法她生于农历______年，她的属相是______年； (2)今年是伟大祖国75周年华诞，75年前的1949年用干支纪年法是农历______年； (3)六十甲子中有农历丁卯、丁丑、丁亥、丁酉、……，会不会出现“丁午”年？请说明理由． 29．（25-26七年级上·广西玉林·阶段检测）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减，除以所得的余数；地支的计算方法是：年份减，除以所得的余数；若余数为，则天干序号为，地支序号为．以年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，年为农历庚辰年． 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律，推断年为农历（    ） A．乙巳年 B．戊申年 C．乙申年 D．丙午年 30．（25-26七年级上·北京东城·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表农历年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2024年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2049年为农历______年． 题型七：幻方类规律题 31．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）综合实践 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．李老师在数学活动课中带领同学探究课本页“填幻方”． 【基本感知】 图1是“洛书”，“洛书”就是在一个9方格幻方中填入数字“1，2，3，4，5，6，7，8，9”（如图 2）， 从图2中，我们可以观察到以下规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等． 【深入探究】 （1）给出一组数“”，观察发现这9个数与幻方图2中的9个数“1，2，3，4，5，6，7，8，9”之间的关系是：_____________________． （2）请依据幻方图2的排列方式，将“”填入到幻方图3中，使得满足图2发现的规律． （3）根据以上探究过程，请将“”这9个数填入到幻方图4中，使得满足图2发现的规律． 【拓展应用】 （4）如图5所示，标注了其中三个数的位置，请你用含有的代数式直接表示出幻方中的数． 32．（25-26七年级上·河南许昌·期中）三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等，我们称为“积幻方”．下左图是“和幻方”，右图为“积幻方”，则________． 4 3 8 m 1.5 9 5 1 n 2 7 6 6 1 4.5 33．（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍． (1)如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为______ (2)如图2所示，则幻和_______； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，则的值为_______ 34．（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）主题《神奇的幻方》 【阅读】幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如图1，把洛书用今天的数学符号翻译出来就是图2的三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为15． 【实践】（1）将，，，0，1，2，3，4，5这9个数中，除，1，2，4外的数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方． 【提升】（2）图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，可知的值为___________． 【拓展】（3）将幻方迁移到月历：图5是某月的月历，小河同学说：带阴影的方框中的9个数的和可以是243．小河的说法对吗？请判断并说明理由． 35．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）相传，大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方． 三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的倍．如图，是由、、、、、、、、所组成的一个三阶幻方，其幻和为，中心数为． (1)图也是由、、、、、、、、所组成的一个三阶幻方，求的值； (2)由、、、、、、、、生成的幻方称为基本三阶幻方，将基本三阶幻方中的每一个数都乘以或除以同一个正整数，在此基础上各数再加上或减去一个相同的正整数，可组成新三阶幻方，新三阶幻方的“幻和”也随之变化．如图，是由基本三阶幻方中各数都乘以再加上后生成的新三阶幻方，已知该新三阶幻方的“幻和”为的倍，且，求的值． 题型八：裂项相消法规律题 36．（25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 37．（25-26七年级上·四川成都·期中）阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算．如下所示： 方法应用：试用“裂项——消项”法解下面各题： (1)通过观察，计算的值________；（直接写出结果） (2)； (3)． 38．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）我们知道，高斯在小时候通过巧妙方法计算出了的结果．裂项相消法是另一种常用的求和方法（如，求和时可抵消中间项）．请结合这两种思路，回答以下问题． 【基础求和，巩固高斯法】 （1）直接用高斯求和法“（首项末项）项数”计算下列各题． ①； ②（用含有的代数式表示，为正整数）； ③． 【变式求和，运用裂项相消法】 （2）计算的值． 【综合应用，关联计算】 （3）若，求的值． 39．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：______； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 40．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：________； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 题型九：错位相减法规律题 41．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）阅读下面一段： 计算． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② ②①得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 42．（24-25七年级上·山东德州·期中）阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 43．（25-26七年级上·福建福州·期中）阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 44．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”，这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载． 【等比数列】 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，．．．，．．．． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，．．．为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列3，9，27，．．．的公比q为___，第5项是___． 【公式推导】 如果一个数列，，，．．．，．．．，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到： ，，，．．．，． 所以， ， ，．．． （2）由此，请你填空完成等比数列的通项（即第n项）公式___． 【拓广探究】 等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， 得， ∴． 【解决问题】（3）求的值； （4）直接写出的值． 45．（25-26七年级上·山东济南·期中）阅读材料，回答问题． 材料一：因为，，所以． 材料二：求的值． 解：设① 则② 用②-①得， 所以，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：（_______），（_______）． (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_______粒米．（用幂表示） ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 题型十：含绝对值的规律计算题 46．（25-26七年级上·青海西宁·期中）请观察下列算式，找出规律并填空 (1)①，②，③，④，…则第10个算式是______=______，第n个算式为______=______． (2)从以上规律中你可得到一些启示吗？根据你得到的启示，试解答下题：若有理数a、b满足，求的值． 47．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 48．（25-26七年级上·天津静海·阶段检测）观察下列各式的特征：；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_________；②_________； (2)当时，_________；当时，_________． (3)有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． (4)合理的方法计算：． 49．（25-26七年级上·云南红河·阶段检测）观察下列等式规律： 等式一：； 等式二：； 等式三：； 等式四：；…… 探寻规律，解答下列问题： (1)直接写出第五个等式； (2)计算：； (3)观察探究，并计算： ． 50．（24-25七年级上·全国·期中）观察下列各式： ① ； ② ； ③ ； ④ ； (1)按上述规律写出第五个等式： ________． (2)写出第n个等式： ________． (3)根据上述规律，计算： 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 有理数的新定义运算与规律探究问题 题型一：有理数的新定义运算 题型二：数轴相关的新定义问题 题型三：二进制计算问题 题型四：含乘方的规律计算题 题型五：比较大小的规律题 题型六：干支纪年的规律题 题型七：幻方类规律题 题型八：裂项相消法规律题 题型九：错位相减法规律题 题型十：含绝对值的规律计算题 题型一：有理数的新定义运算 1．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在学习完（有理数）后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣，帮助有理数的运算，定义：一种新运算“⊕”，规则如下：，（a，b不相等） (1)___________；___________；___________． (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 【答案】(1)，， (2)40 (3)不满足，理由见解析 【分析】本题考查了新运算，有理数的混合运算． （1）根据逐一计算可得； （2）根据法则，先计算，再计算可得； （3）计算和即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，，. 故答案为：，，； （2） ； （3）新运算“”不满足交换律． ， ， ， 新运算“”不满足交换律． 2．（25-26七年级上·重庆潼南·期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题． 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ； ； ． 请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ． (2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【答案】(1) 同号得正，异号得负，并把绝对值相加 等于这个数的绝对值 (2)加乘运算满足交换律，不满足结合律，举例见解析. 【分析】（1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算，再归纳可得：加乘运算的运算法则； （2）对于加乘运算的交换律， 可举例进行运算后再判断，对于加乘运算的结合律，可举例 进行运算后再判断即可. 【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得： ；；． 归纳可得： 两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值． （2）解：加法的交换律仍然适用， 例如： 所以 故加法的交换律仍然适用． 加法的结合律不适用， 例如： 所以 故加法的结合律不适用． 【点睛】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键. 3．（25-26七年级上·吉林松原·期中）小明同学借助于有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：对于任意有理数，都有． (1)求的值； (2)试用，说明，新定义的运算不满足交换律． 【答案】(1)60 (2)不满足，理由： ； ； ∴， 所以此运算不满足交换律． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）计算出与两式的值，即可做出判断． 【详解】（1）解： ． （2）略 4．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 【答案】(1)， (2)①；②不满足交换律，不一定成立 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及绝对值的非负性和偶次方的非负性，掌握理解新运算的定义是解题关键． （1）根据绝对值的非负性和偶次方的非负性即可求解． （2）①根据题中的新定义结合（1）中数字进行计算即可． ②求出和比较即可． 【详解】（1）解：由条件可知，， ，． 故答案为：，； （2）解：①； ②， ， 所以不一定成立． 5．（25-26七年级上·河南焦作·期中）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3-1=2，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数853是否为“极差数”？_____．（填“是”或“不是”） 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为______； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 理由：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴ ， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 【分析】本题考查数字类问题，整式加减的应用，旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为8， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）略 题型二：数轴相关的新定义问题 6．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，． (1)①、两点之间的距离是__________； ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 【答案】(1)①8；②4； (2)2 (3)3或11 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键． （1）①根据两点之间的距离即可求解；②根据新定义，求得即可求解； （2）根据新定义得到点C为的中点，进而求解即可； （3）根据新定义分两种情况：点D在线段上和点D在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）解：①∵、、为数轴上三点，分别对应，，． ∴、两点之间的距离是， 故答案为：8； ②由数轴知， ∴，则； （2）解：∵点C在数轴上且， ∴，则点C为的中点， ∴点C表示的数为； （3）解：因为D是数轴上一点，且，所以． 因为点A表示的数为，点B表示的数为5，所以． 当点D在点A，B之间时，点D表示的数为； 当点D在点B的右边时，点D表示的数为． 所以点D表示的数为3或11． 7．（25-26七年级上·广东深圳·期末）定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为，0，2，满足，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”； (2)若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数是 ； (3)若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键. （1）利用“倍分点”的定义即可求得答案； （2）设D点对应的数值为，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案； （3）利用“倍分点”的定义，结合点在点的右侧，分两种情况讨论即可求出答案. 【详解】（1），， ， ∴点是点的“倍分点”； 故答案为：； （2）解：， 设点对应的数值为， ①当时，， ， 解得：或； ②当时，， ， 解得：或； 综上所述，则点对应的数分别是,， 故答案为：； （3）解：， 当时，， ∵点在点的右侧， ∴此时点表示的数为， 当时，， ∵点在点的右侧， ∴此时点表示的数为， 综上所述，点表示的数为或． 8．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）对于数轴上A，B，M，N四点，给出如下定义：当点M在线段上（不与点A，B重合），称为点M关于线段的“内差距”；当点N在线段AB外，称为点N关于线段的“外差距”． 如图，点A表示的数为，点B表示的数为4．若点M表示的数为，则“内差距”；若点N表示的数为5，则“外差距”． (1)已知点A表示的数为，点B表示的数为3． ①若点M关于线段的“内差距”，求证：点M是线段AB的中点； ②若点M表示的数为m，点M关于线段的“内差距”为，点N关于线段的“外差距”为，且，求m的值； (2)点A表示的数为x，，点Q关于线段的“外差距”，原点O关于线段的“内差距”，若，求点Q表示的数． 【答案】(1)①见解析；②或 (2)或 【分析】本题考查线段的和差关系，绝对值，掌握“内差距”“外差距”的定义是解题的关键． （1）①由可得，进而可得；②先根据“外差距”的定义求出，进而可得，再根据，求出，分和两种情况，分别计算即可； （2）根据，可得，根据，可得，进而可得或4，或，分点Q在点A右侧与左侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：①∵点M关于线段的“内差距”， ∴， ∴， ∴点M是线段的中点； ②∵点N关于线段的“外差距”为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点M关于线段的“内差距”为， ∴， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 综上所述，m的值为或； （2）解：∵点Q关于线段的“外差距”， ∴， ∵原点O关于线段的“内差距”为，， ∴， ∴或， ∴或4， ∴或， 当点Q在点A右侧时，点A表示的数为x，点Q表示的数为，点B表示的数为， ∴或4， ∴点Q表示的数为9或17， 当点Q在点A左侧时，点A表示的数为x，点Q表示的数为，点B表示的数为， ∴或 ∴点Q表示的数为或， 综上所述，点Q表示的数为或. 9．（25-26七年级上·北京东城·期中）对于数轴上的点，给出如下定义：若在数轴上存在点，使得点到点的距离是点到点距离的倍（为有理数），则称点为点的倍关联点． (1)当时． ①点表示的数为2，点表示的数为点3，点P位于原点O和点之间，求点表示的数？ ②点表示的数为2，点表示的数为点3，则点表示的数为_______． (2)点表示的数为t，点表示的数为，点位于点，之间（可以与，重合），直接写出的取值范围． 【答案】(1)①1②4或 (2) 【分析】（1）表示出的距离和的距离，根据题意列式计算即可； （2）根据题意得出，设点表示的数为，用含的式子表示， 即可求出最终结果； 本题主要考查运用数轴和距离进行列式计算，解题的关键是利用数形结合的方法进行求解． 【详解】（1）①设点表示的数为， 点P位于原点和点之间， 故答案为：1 ②设点表示的数为， 解得：或 点B表示的数为：4或． （2）解：设点表示的数为， 点位于点之间（可以与重合） 整理： ． 10．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在数轴上，点表示的数为0，点表示的数为． 给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“闭距离”． 如图1，若，点表示的数为3，当点与点重合时，线段的长最大，值是4，则点与线段的“闭距离”为4． (1)如图2，在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为2． ①当时，点与线段的“闭距离”为___________； ②若点与线段的“闭距离”为3，求的值； (2)在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若线段上存在点，使得点与线段的“闭距离”为5，直接写出的最大值与最小值． 【答案】(1)①2；②或5 (2)m的最大值为4，最小值为 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴知识． （1）①认真读懂题意，按照“闭距离”的定义计算；②读懂题意，已知“闭距离”的值，求出m的取值； （2）按照m的正负值分情况讨论，计算出最大值、最小值． 【详解】（1）解：①根据题意可知，时，A到的最大值为的长， ∵， ∴点A与线段的“闭距离”为2， 故答案为：2； ②∵B点到的“闭距离”为3， ∴当时，， 当时，， ∴m的值为或5； （2）解：∵点C表示的数为，点D表示的数为，在线段上存在点G，使得点G与线段的“闭距离”为5， ∴当时，可得不等式组， ， 解得：， 当时，可得不等式组， ， 解得： 综上所述，或 ∴m的最大值为4，最小值为． 题型三：二进制计算问题 11．（25-26七年级上·广西百色·期末）综合与实践 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．在日常生活中我们最常用的是十进制（逢十进一），而计算机内部使用的是二进制（逢二进一）．二进制只用和两个数字，各数位权重是的幂次．例如，二进制可以表示为： ， 因此等于十进制数． 请解决以下问题 (1)问题一：将二进制数转换为十进制数，写出转换过程． (2)问题二： ①计算二进制加法：，写出计算过程． ②先将和分别转换为十进制数，再用十进制加法计算它们的和． ③将第①问的二进制加法结果转换为十进制数，对比第②问的结果，你发现了什么？ 【答案】(1)，过程见解析 (2)①，见解析；②，，；③，二进制加法结果与十进制加法结果一致 【分析】本题考查有理数的乘方运算，二进制与十进制的互化，二进制加法运算，理解二进制转十进制的方法是解题关键． （1）将二进制数从右到左按位权展开，每一位数字乘以的对应次幂后求和，即可转换为十进制数； （2）①对两个二进制数从右向左逐位相加，遵循“逢二进一”的规则完成加法运算；②先将两个二进制数分别展开转换为十进制数，再按十进制加法规则计算它们的和；③将①得到的二进制加法结果展开转换为十进制数，与问题二②的结果对比，发现两种进制下的运算结果一致． 【详解】（1）解：　据题可知， ． 答：． （2）①解：从右向左逐位相加，逢二进一， 可得． 答：． ②解：， ， ． ③解： ， 由②可知，二进制加法结果与十进制加法结果一致． 答：24，二进制加法结果与十进制加法结果一致． 12．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）综合实践 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统 约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作： 八进制数，记作： 二进制数，记作： 且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n 进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：二进制数（10010）2转十进制数为： ． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1 （1）十进制数，转二进制数得 ； （2）十进制数89，转八进制数得 ； （3）二进制数转十进制数得 任务2 二进制只有0和1两个数字，这正好和电路的断和通两种状态相对应，因此，在计算机内部使用二进制，计算机在进行运算时都是以二进制数进行运算，二进制运算就是逢二进一，再把运算结果转化为十进制数，并输出结果、请根据二进制运算法则：数位对齐，逢二进一，完成下面运算． （结果用二进制表示）． 【答案】任务一：①；②；③23．任务二： 【分析】本题主要考查了数的进制、含乘方的有理数的混合运算等知识点，理解题意、熟练掌握运算法则是解题的关键． 任务一：①按照材料2解答即可；②按照材料2解答即可；③根据材料1解答即可． 任务二：根据二进制运算法则“数位对齐，逢二进一”求解即可． 【详解】解：任务一：① 所以； ② 所以； ③． 任务二： 所以． 13．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）我们平时用的是十进制数，例如，，表示十进制数要用到10个数字：0，1，2，…，9在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数：0，1．例如，在二进制中，1101表示十进制数的，110000表示十进制数的． 请你计算一下： (1)二进制中的数110101等于十进制的数是多少？ (2)仿照二进制的算法，八进制中的2507等于十进制的数是多少？ (3)二进制中，计算． 【答案】(1)53 (2)1351 (3) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算： （1）根据题意计算出的结果即可； （2）根据题意计算出的结果即可． （3）根据题意， 【详解】（1）解；进制数中的“110101”表示十进制数中的； （2）解：由题意得，八进制数中的“2507”表示十进制数中的． （3）解：， ， ． 14．（第2章综合与实践进位制的认识与探究-【勤径学升】2024-2025学年新教材七年级上册数学同步练测配套教师用书（人教版2024）） 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，表示具体数时采用“逢十进一”的原则，而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，表示具体数时“逢二进一”．二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的运算也和十进制数的运算类似 任务一 问：如何把十进制数103转化成二进制整数？ 任务二 问：如何把十进制数0．125转化为二进制小数？ 任务三 问：二进制是否也有循环小数？ 反思与评价 （1）将十进制数35化成二进制数为 ．二进制小数（0．101）2化为十进制分数是 ． （2）将十进制分数化成二进制小数： ， （3）在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将化为分数形式． 设…①，则…②． ②－①，得，即，于是得到． 同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数． 请将二进制循环小数（）2化成十进制分数，保留计算过程 【答案】任务一：；任务二：；任务三：有；反思与评价：（1），；（2），；（3） 【分析】本题主要考查了乘方，二进制与十进制间的转化，一元一次方程的应用，有理数的混合运算，熟练掌握二进制与十进制的转化方法是解题的关键． 任务一：根据十进制与二进制间的关系求解即可； 任务二：根据十进制与二进制间的关系求解即可； 任务三：举例说明即可得到解答； 反思与评价：根据二进制与十进制间的关系解方程即可． 【详解】解： 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，表示具体数时采用“逢十进一”的原则，而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，表示具体数时“逢二进一”．二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的运算也和十进制数的运算类似 任务一 问：如何把十进制数103转化成二进制整数？ 答：，所以用二进制数码表示是，记为 任务二 问：如何把十进制数转化为二进制小数？ 答：，所以可以表示成二进制小数 ，这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制下用分子除以分母得到的二进制小数表示： 由于，所以，而可以类比十进制数一样做除法，只是商和余数都只能是0或1； ，所以， 任务三 问：二进制是否也有循环小数？ 答：有，如，由，可知 反思与评价 （1）将十进制数35化成二进制数为．二进制小数化为十进制分数是． （2）将十进制分数化成二进制小数： （3）在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将化为分数形式． 设①，则…②． ②－①，得，即，于是得到． 同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数． 请将二进制循环小数化成十进制分数，保留计算过程 解：设，则． 所以，所以，所以，所以 ． 15．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践 知识回顾：通过对“进位制的认识与探究”的学习我们知道，进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，十进制逢十进一，基数是10，使用0~9十个数记数；计算机常用的记数形式是二进制，二进制逢二进一，基数是2，使用0和1两个数字记数，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，二进制数和十进制数之间可以相互转换．（规定：当时，，例：） 例： 任务一： （1）将转换成十进制数的结果为_______，将35转换成二进制数的结果为________． 类比探究：二进制加法运算的基本原理与十进制相同，不同的是十进制逢十进一，二进制逢二进一． 例： 任务二： （2）①计算： ②将①中结果转化为十进制数 迁移应用： （3）已知将八进制数转换成十进制数的算法与二进制数的算法类似， ①请将98转化为八进制数． ②请将转化为八进制数． 【答案】(1)5， (2) ，27 (3) ， 【分析】本题考查了进制间的相互转换，做题的关键是找准进制间的相互转换规则． （1）根据已知，结合进制规律转化计算即可； （2）①根据二进制逢二进一计算即可， ②利用结合进制规律转化计算即可； （3）仿照二进制的做法求解八进制，再计算时现将二进制转化为十进制，继而化为八进制． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：5，； （2）①， ②； （3）， ∵由（2）知， ∴． 题型四：含乘方的规律计算题 16．（25-26七年级上·江西赣州·期中）观察下列各式： ；；；；…… (1)根据你发现的规律，计算算式的值：； (2)请用一个含的算式表示这个规律：； (3)根据发现的规律，请计算算式：的值（写出必要的解题过程）． 【答案】(1)91 (2) (3)2485 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，熟练掌握有理数混合运算顺序是解题的关键． （1）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （2）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （3）用的值减去的值，再类比所给的4个算式进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 17．（25-26七年级上·山西临汾·期中）观察下列等式： … (1)根据你发现的规律，写出第5个等式． (2)请用含有正整数n的等式表示上述规律． (3)利用你发现的规律计算： 【答案】(1) (2) (3)3025 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，有理数的乘方运算，解题的关键是找出规律． （1）根据示例，写出第5个等式即可； （2）根据示例，列出规律表达式即可； （3）根据规律进行求解即可． 【详解】（1）解：第5个等式为； （2）解：根据题意得，； （3）解： ． 18．（25-26六年级上·山东烟台·期中）与幂有关的规律探究，一般是研究幂的个位数字的规律探究问题．常用的方法是先求出前几个数的个位数字，从中发现循环的规律，然后判断需要探求的数的个位数字处于循环规律中的第几个，最终得到答案． (1)先观察，后计算： 观察算式：你能发现的个位数字是由 种数字组成，分别是 ；直接写出的个位数字是 ； (2)探究：的个位数字是多少？试着写出推导过程； (3)直接写出的结果的个位数字是 ． 【答案】(1)4，2、4、8、6，8 (2)7 (3)6 【分析】本题考查了数字型规律，有理数的乘方，解题的关键是： （1）根据已知算式的结果，直接归纳即可，再根据所得规律，计算2023除以4的余数，得到结果； （2）仿照（1）中找到规律，再计算2023除以4的余数，得到结果； （3）分别求出，，，，，找到规律，同法求出结果． 【详解】（1）解：发现的个位数字是由4种数字组成， 分别是2，4，8，6，共4个为一循环， ， ∴的个位数字是8， 故答案为：4，2、4、8、6，8； （2） 可得：个位数字分别是3，9，7，1，共4个为一循环， 而， ∴的个位数字是7； （3），，，，，…， 个位数字分别是2，2，6，0，共4个为一循环， ， ∴的结果的个位数字是6． 故答案为：6． 19．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④____________； (2)试用含有的式子表示这一规律：____；（为正整数） (3)请计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形和算式找到规律是解答本题的关键． （1）根据图形结合算式规律直接得到第个图案所代表的算式为：，得到答案； （2）根据图形结合算式规律可以找到一般规律：第个图案所代表的算式为：，写出答案． （3）根据（2）得出的一般规律，将，写成即可得到答案． 【详解】（1）解：由已知可知： 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； （2）由已知可知： 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 以此类推： 第个图案所代表的算式为：． 故答案为：． （3）根据（2）得出的一般规律， ， ， ． 20．（25-26七年级上·云南昭通·期中）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； …… (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式； (2)根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式； (3)请利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律． （1）根据题目中的式子，可以写出第四个等式； （2）根据题目中式子的特点可以写出第n个等式； （3）根据发现的规律，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：第四个等式：； （2）解：第n个等式：； （3）解： ． 题型五：比较大小的规律题 21．（24-25七年级上·福建三明·期中）通过问题解决策略“归纳”的学习，你能用归纳策略比较两个数和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先研究它的一般形式，即比较和的大小（n是正整数），然后我们从分析，2，3，…这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论． (1)通过计算，比较下列各组中两个数的大小（填“”“”或“”） ①______            ②______            ③______ ④______            ⑤______            ⑥______ (2)从（1）中的结果经过归纳，猜想出和的大小关系； (3)试根据上面的归纳猜想得到的一般结论，试比较下面两个数的大小：______ 【答案】(1)；；；；；； (2)当正整数时，；当正整数时，； (3) 【分析】（1）①根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ②根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ③根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ④根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ⑤根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ⑥根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； （2）根据（1）归纳总结即可得出结论； （3）根据（2）所得结论即可比较大小． 【详解】（1）解∶①∵，，， ∴； ②∵，，， ∴； ③∵，， ∴； ④∵，，， ∴； ⑤，，， ∴； ⑥∵，，， ∴， 故答案为：；；；；；； （2）解：由（1）可知：当正整数时，； 当正整数时，； （3）解：∵， ∴， 故答案为：． 22．（25-26七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 在比较与的大小时，若利用绝对值法比较，则需要进行分数的通分，因为分母较大，所以比较繁琐．我们也可以使用如下的方法比较大小： 因为，，所以，所以． (1)填空：上述方法是先通过找中间量______来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“______大的负数反而小”进行判断． (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较，根据阅读材料得出两个分数大小比较方法是解答本题的关键． （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可． 【详解】（1）解：上述方法是先通过找中间量来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“绝对值大的负数反而小”进行判断； 故答案为：；绝对值； （2）解：∵，， ∴， ∴． 23．（2025七年级上·全国·专题练习）比较与的大小可用以下方法： ，，， ，即． (1)你能对照上述方法比较与的大小吗？ (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数大小的比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． （1）根据与的大小得出结论即可； （2）根据与的大小得出结论即可． 【详解】（1）解：，，， ， ； （2）解：，，， ， ． 24．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段检测）问题：你能比较和这两个数的大小吗？ 为了解决这个问题，我们可以先写出它的一般形式，即比较与（n为正整数）的大小，然后，我们从分析，，…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论． (1)① ；② ；③ ；④ ；⑤ ； (2)从第（1）题的结果归纳，猜想和的大小关系； (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较和的大小． 【答案】(1)，，，，． (2)当时，；当时，． (3) 【分析】本题考查的是列代数式和数字的变化规律，有理数的乘方运算，根据题意找出数字间的变化规律是解题的关键． （1）根据有理数的计算规则计算并比较即可； （2）根据（1）的结果经过归纳总结即可； （3）根据（2）的归纳总结，即当且为正整数时，，即可得出结果． 【详解】（1）解：①， ∴， ②， ∴， ③ ∴， ④ ∴， ⑤ ∴； 故答案为：，，，，． （2）解：从（1）的结果经过归纳， 可以猜想出和的大小关系是： 当且为正整数时，； 当且为正整数时，； 故答案为：当且为正整数时，； 当且为正整数时，． （3）解：根据（2）的结论可得： 当且为正整数时，； 当且为正整数时，， ∵， ∴． 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）【观察】 （1）比较大小： ①，； ②，； ③，； ④，． 【归纳】 （2）通过（1）中的大小比较，猜想并归纳出与的大小关系，并说明满足什么关系时，成立． 【应用】 （3）当时，的取值范围是 ． （4）若，求的值． 【答案】（1）①  ②  ③  ④；（2）；当a，b同号或a，b中至少有1个为0时，成立；（3）；（4）或 【分析】本题考查绝对值，有理数的大小比较，有理数的加法，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）求出各个式子的绝对值，再比较大小即可； （2）根据（1）的结论，即可解答； （3）根据（2）中的结论，即可解答； （4）先确定m，n异号，再分类讨论：①当时，②当时，逐一分析求解即可． 【详解】解：（1）①，； ∴； ②，； ∴； ③，； ∴ ④，， ． 故答案为：①  ②  ③  ④． （2）与的大小关系：， 当a，b同号或a，b中至少有1个为0时，成立． （3）∵， ∴x，同号或x，中至少有1个为0， 即． 故答案为：． （4）∵， ∴， ∵当a，b同号或a，b中至少有1个为0时，成立． ∴m，n异号， ①当时， 由，得 ， 即 将代入，得 ， 即或， 解得或； ②当时， 由，得 ， 即 将代入，得 ， 即或， 解得或； 综上所述，的值为或． 题型六：干支纪年的规律题 26．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）【例读理解】 “干支（）纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，以下是关于干支纪年的素材，请阅读后解决问题． 素材①：干支是天干和地支的总称，十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，即：甲子，乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、……、辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑、……，每个组合代表一年，60年为一个循环，也称60年一甲子． 素材②：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干的计算方法是：年份减3，除以10后，所得的余数； 地支的计算方法是：年份减3，除以12后，所得的余数． 以2025年为例， 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 素材③：十二地支又与十二生肖依次顺位相对应为：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪． 【解决问题】 (1)杨振宁，1922年10月1日出生于中国安徽合肥，是世界著名物理学家、诺贝尔物理学奖获得者，他被公认为20世纪最重要的物理学家之一，其工作深刻影响了现代物理学的发展，他不仅在国际上享有崇高声誉，也为中国科学事业的发展作出了重要贡献．用干支纪年法判断他出生于农历______年，他的属相是______； (2)2025年9月3日，北京天安门广场举行了盛大阅兵式，这是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年活动的重要组成部分，80年前的1945年用干支纪年法是农历______年； 下列历史事件与公元纪年时间对应错误的是（   ） A．辛亥革命——1911年    B．戊戌变法——1898年 C．癸卯学制——1904年    D．甲申之变——1645年 【答案】(1)壬戌，狗 (2)乙酉，D 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是掌握天干地支纪年法的计算方法． （1）根据干支纪年法的计算方法求解即可； （2）根据干支纪年法的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1922年为农历壬戌年，对应戌狗， 故答案为：壬戌，狗； （2）解：天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1945年为农历乙酉年， 故答案为：乙酉； A、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1911年为农历辛亥年，正确，不符合题意； B、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1898年为农历戊戌年，正确，不符合题意； C、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1904年为农历甲辰年，而癸卯学制颁布的时候是1904.1.13是公历，但是古代是干支纪元，还属于光绪29年即癸卯年，故正确，不符合题意； D、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1645年为农历乙酉年，错误，符合题意； 故选：D． 27．（25-26七年级上·湖北恩施·期中）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减，除以所得的余数；地支的计算方法是：年份减，除以所得的余数．以年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得，年为农历庚子年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断年为农历___________年． 【答案】丁未 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，掌握天干，地支的确定方法，正确的列出算式，是解题的关键．根据干支纪年法的计算规则，通过有理数运算求余数，对应天干地支表即可得出年份． 【详解】解：计算天干：，余数为，对应天干丁； 计算地支：，余数为，对应地支未． 故年为农历丁未年． 故答案为：丁未． 28．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）【阅读理解】 沪科版新教材七年级上册第206页《综合与实践》里提到了一种中国自古以来就一直使用的纪年方法：干支纪年，以下是关于干支纪年的素材，请阅读后解决问题． 素材①：干支是天干和地支的总称，十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，即：甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、……、辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑、……，每个组合代表一年，60年为一个循环，也称60年一甲子． 素材②：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干的计算方法是：年份减3，除以10后，所得的余数； 地支的计算方法是：年份减3，除以12后，所得的余数． 以2024年为例，天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 素材③：十二地支又与十二生肖依次顺位相对应为：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪． 【解决问题】 (1)获得诺贝尔医学奖的中国科学家屠呦呦生于公历1930年，用干支纪年法她生于农历______年，她的属相是______年； (2)今年是伟大祖国75周年华诞，75年前的1949年用干支纪年法是农历______年； (3)六十甲子中有农历丁卯、丁丑、丁亥、丁酉、……，会不会出现“丁午”年？请说明理由． 【答案】(1)庚午，马 (2)己丑 (3)不会，理由见解析 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是掌握天干地支纪年法的计算方法． （1）根据干支纪年法的计算方法求解即可； （2）根据干支纪年法的计算方法求解即可； （3）由天干中的单数个的字对应的字是地支的单数个字可作出判断． 【详解】（1）解：∵屠呦呦生于公历1930年， ∴天干为：； 地支为：； ∴用干支纪年法她生于农历庚午年，她的属相是马年； （2）解：∵75年前是1949年， ∴天干为：； 地支为：； ∴用干支纪年法是农历己丑年； （3）解：∵与天干中的单数个的字对应的字是地支的单数个字，而丁是第4个，是双数， 与之相对的字只能是地支中的第双数个字， ∵午”的排名是单数， ∴不会出现“丁午”年． 29．（25-26七年级上·广西玉林·阶段检测）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减，除以所得的余数；地支的计算方法是：年份减，除以所得的余数；若余数为，则天干序号为，地支序号为．以年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，年为农历庚辰年． 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律，推断年为农历（    ） A．乙巳年 B．戊申年 C．乙申年 D．丙午年 【答案】D 【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据干支纪年法的计算方法分别确定出天干和地支，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴天干为丙， ∵， ∴地支为午， ∴年为丙午年， 故选：． 30．（25-26七年级上·北京东城·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表农历年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2024年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2049年为农历______年． 【答案】己巳 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的年数．根据题意，可以计算出2049年对应的天干和地支，从而可以写出2049年为农历哪一年． 【详解】解：由题意可得， 天干为：； 地支为：； 对照天干地支表得出，2049年为农历己巳年， 故答案为：己巳． 题型七：幻方类规律题 31．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）综合实践 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．李老师在数学活动课中带领同学探究课本页“填幻方”． 【基本感知】 图1是“洛书”，“洛书”就是在一个9方格幻方中填入数字“1，2，3，4，5，6，7，8，9”（如图 2）， 从图2中，我们可以观察到以下规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等． 【深入探究】 （1）给出一组数“”，观察发现这9个数与幻方图2中的9个数“1，2，3，4，5，6，7，8，9”之间的关系是：_____________________． （2）请依据幻方图2的排列方式，将“”填入到幻方图3中，使得满足图2发现的规律． （3）根据以上探究过程，请将“”这9个数填入到幻方图4中，使得满足图2发现的规律． 【拓展应用】 （4）如图5所示，标注了其中三个数的位置，请你用含有的代数式直接表示出幻方中的数． 【答案】（1）幻方图2中的9个数依次减5就得了这个9个数 （2）见解析（答案不唯一） （3）见解析（答案不唯一） （4） 【分析】本题考查有理数的加法运算及一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键． （1）观察两组数的数量关系，即可求解； （2）根据幻方的特点和规律，将数据分别填到表格中即可； （3）根据幻方的特点和规律，将数据分别填到表格中即可； （4）根据幻方的特点列出一元一次方程，即可得出结果． 【详解】解：（1）幻方图2中的9个数依次减5就得了这个9个数， 故答案为：幻方图2中的9个数依次减5就得了这个9个数； （2）如下图所示； 3 0 4 1 2 （3）如下图所示； 9 0 12 3 6 （4）根据规律可得，横着三个数的和等于对角线三个数的和， ∴， ∴． 32．（25-26七年级上·河南许昌·期中）三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等，我们称为“积幻方”．下左图是“和幻方”，右图为“积幻方”，则________． 4 3 8 m 1.5 9 5 1 n 2 7 6 6 1 4.5 【答案】8 【分析】本题主要考查有理数的乘方，代数式求值 ；根据积幻方的定义，每一横行、每一竖列上的三个数字之积均相等，利用已知条件求出公共积后，再结合行列积或对角线上相等的关系求出m和n的值，最终计算结果即可． 【详解】解：右图为积幻方， ∴其积为， ∴解得， ∴解得， ∴； 故答案为：8． 33．（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍． (1)如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为______ (2)如图2所示，则幻和_______； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，则的值为_______ 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，整式的加减，代数式求值，熟练掌握幻和的定义以及计算方法，是解题的关键： （1）根据幻和恰好等于中心数的3倍，进行求解即可； （2）根据幻和恰好等于中心数的3倍，进行求解即可； （3）根据“每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等”，分别列出等式，然后表示出代数式，的值，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：幻和为； 故答案为：15； （2）幻和为； 故答案为：； （3）解：∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形各顶点上数字之和相等， ∵， ∴，整理得， ，整理得：， ∴． 34．（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）主题《神奇的幻方》 【阅读】幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如图1，把洛书用今天的数学符号翻译出来就是图2的三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为15． 【实践】（1）将，，，0，1，2，3，4，5这9个数中，除，1，2，4外的数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方． 【提升】（2）图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，可知的值为___________． 【拓展】（3）将幻方迁移到月历：图5是某月的月历，小河同学说：带阴影的方框中的9个数的和可以是243．小河的说法对吗？请判断并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）小河同学的说法不对，见解析 【分析】本题考查了有理数的运算，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．． （1）根据题意填入数字即可； （2）根据题意得到，解方程即可得到答案； （3）设正中间的数为x，将九个数字分别表示出来即可． 【详解】解：（1）三个数的和为：， ∴， ， 如图所示． 3 2 5 1 0 4 （2）由题意知， 解得， 故答案为3． （3）小河同学的说法不对． 理由：设方框正中心的数是，则另外的数是，，，，，，，， 根据题意得， 解得27． 因为27在最后一列，所以带阴影的方框中的9个数的和不可以是243．小河同学的说法不对． 35．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）相传，大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方． 三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的倍．如图，是由、、、、、、、、所组成的一个三阶幻方，其幻和为，中心数为． (1)图也是由、、、、、、、、所组成的一个三阶幻方，求的值； (2)由、、、、、、、、生成的幻方称为基本三阶幻方，将基本三阶幻方中的每一个数都乘以或除以同一个正整数，在此基础上各数再加上或减去一个相同的正整数，可组成新三阶幻方，新三阶幻方的“幻和”也随之变化．如图，是由基本三阶幻方中各数都乘以再加上后生成的新三阶幻方，已知该新三阶幻方的“幻和”为的倍，且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查有理数，一元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，列出方程，进行解答，即可． （1）根据题意，则，求出的值； （2）根据题意，则，解出，；则得到中心数字，根据题意，则，分类讨论，的值，即可． 【详解】（1）由题意得，， ∴． （2）由题意得，， 解得：， ∴中心数字为， ∴， ∵与都是正整数， ∴当时，， ∴； ∴当时，， ∴； 综上所述，的值为，． 题型八：裂项相消法规律题 36．（25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）利用裂项法解答即可求解； （）把算式转化为，再利用裂项法解答即可求解； （）用裂项的方法变形为，进而计算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （） ； （） ． 37．（25-26七年级上·四川成都·期中）阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算．如下所示： 方法应用：试用“裂项——消项”法解下面各题： (1)通过观察，计算的值________；（直接写出结果） (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 对于（1），将原式整理为，再计算即可； 对于（2），仿照上述做法，应用裂项公式，提取公因数后消项即可； 对于（3），先提出负号，再将分母写成乘积的形式，然后裂项，消项即可． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 38．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）我们知道，高斯在小时候通过巧妙方法计算出了的结果．裂项相消法是另一种常用的求和方法（如，求和时可抵消中间项）．请结合这两种思路，回答以下问题． 【基础求和，巩固高斯法】 （1）直接用高斯求和法“（首项末项）项数”计算下列各题． ①； ②（用含有的代数式表示，为正整数）； ③． 【变式求和，运用裂项相消法】 （2）计算的值． 【综合应用，关联计算】 （3）若，求的值． 【答案】（1）① 210；② ；③ ；（2）；（3）40 【分析】本题主要考查数字的变化规律，理解高斯求和法和裂项相消法是解题的关键． （1）①直接利用高斯求和法计算即可； ②直接利用高斯求和法计算即可； ③直接利用高斯求和法计算即可； （2）观察题中所给出的例子，直接利用裂项相消法计算即可； （3）先用高斯求和法计算，用裂项相消法计算，再将计算结果代入等式即可计算出的值． 【详解】解：（1）① ； ② ； ③ ； （2） ； （3）， ， ∵， ∴， 解得． 39．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：______； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题． （1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想； （2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题； （3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由（1）得： ； （3） ． 40．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：________； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据题中材料即可得结果； （2）根据（1）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （3）先变形，再由阅读感知把每个分数进行裂项，最后进行加减乘运算即可． 【详解】解：（1）； （2） （3） 【点睛】本题是材料阅读题，考查了有理数的四则混合运算，关键是读懂题中的材料，根据材料提供的方法灵活应用． 题型九：错位相减法规律题 41．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）阅读下面一段： 计算． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② ②①得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握错位相减法，是解题的关键： （1）利用错位相减法进行计算即可； （2）利用错位相减法进行计算即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② ②①得，则． （2）设，① 则，② ①②得，则． 42．（24-25七年级上·山东德州·期中）阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字规律及有理数的混合运算，理解并掌握“错位相减法”，是解题的关键． （1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解； （2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以3，再错位相减求解． （3）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以a，再错位相减求解 【详解】（1）解：设， 则， 得：； （2）设， 则②， 得：， 所以， 即． （3）解：设①， 则②， ②−①得：， 所以， 即． 43．（25-26七年级上·福建福州·期中）阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘方的应用，掌握“错位相减法”是解题关键． （1）仿造例题，设，则，作差求解即可； （2）仿造例题，设，则，作差求解即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② 得，则． （2）解：设，① 则，② 得， 则． 44．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”，这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载． 【等比数列】 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，．．．，．．．． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，．．．为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列3，9，27，．．．的公比q为___，第5项是___． 【公式推导】 如果一个数列，，，．．．，．．．，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到： ，，，．．．，． 所以， ， ，．．． （2）由此，请你填空完成等比数列的通项（即第n项）公式___． 【拓广探究】 等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， 得， ∴． 【解决问题】（3）求的值； （4）直接写出的值． 【答案】（1）3，；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，数的规律探究．理解题意并正确的运算是解题的关键． （1）由题意知，，第5项是，计算求解即可； （2）由题意知，，然后作答即可； （3）令，则，，计算求解即可； （4）令，则，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，第5项是， 故答案为：3，； （2）解：由题意知，， 故答案为：； （3）解：令，则， ∴， 解得，， ∴． （4）解：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 45．（25-26七年级上·山东济南·期中）阅读材料，回答问题． 材料一：因为，，所以． 材料二：求的值． 解：设① 则② 用②-①得， 所以，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：（_______），（_______）． (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_______粒米．（用幂表示） ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 【答案】(1)9；7 (2)①；② 【分析】本题考查了数字类规律探索，弄清材料中的求解方法是解题的关键． （1）根据材料一给出的方法进行求解即可； （2）①根据题意先确定出前几个格中每个格放的米粒数，从中发现规律即可得答案；②先列出式子，再根据材料二的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：9；7 （2）解：①第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……， 按这个方法第n格放， ∴在第64格中应放粒米； 故答案为： ②解：根据题意得：①， 则②， 用得，， 所以． 题型十：含绝对值的规律计算题 46．（25-26七年级上·青海西宁·期中）请观察下列算式，找出规律并填空 (1)①，②，③，④，…则第10个算式是______=______，第n个算式为______=______． (2)从以上规律中你可得到一些启示吗？根据你得到的启示，试解答下题：若有理数a、b满足，求的值． 【答案】(1)；；；； (2) 【分析】（1）根据所给的算式，可找出规律，即可得出结果； （2）利用绝对值的非负性求得a、b，再根据得到的规律进行运算求值． 【详解】（1）解：根据规律得： 故答案为：；；；； （2）∵， ∴， ． 【点睛】本题主要是寻找规律及非负数得性质，再根据有理数的混合运算计算，根据题意找出相应规律是解题关键． 47．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法解答即可； （2）根据绝对值的化简方法运算即可； （3）根据绝对值的化简方法运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：①；②； （2）解：， 故答案为：； （3）解： 原式 ． 48．（25-26七年级上·天津静海·阶段检测）观察下列各式的特征：；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_________；②_________； (2)当时，_________；当时，_________． (3)有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． (4)合理的方法计算：． 【答案】(1)①；② (2)； (3)C (4) 【分析】绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0，然后根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简． （1）先比较有理数的大小，然后结合绝对值的性质即可化简； （2）根据绝对值的性质即可求解； （3）由数轴可知，，然后根据绝对值的性质即可求解； （4）根据绝对值的性质和有理数运算，化简绝对值并进行加减运算，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题目中的规律，可得 ①∵，∴； ②∵，∴． 故答案为：①；②； （2）当时，；当时，． 故答案为：；； （3）由数轴可知，， ∴． 故选：C； （4） ． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质、有理数运算等知识，解题的关键是根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简． 49．（25-26七年级上·云南红河·阶段检测）观察下列等式规律： 等式一：； 等式二：； 等式三：； 等式四：；…… 探寻规律，解答下列问题： (1)直接写出第五个等式； (2)计算：； (3)观察探究，并计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，从给定的等式中找到规律，是解题的关键： （1）仿照给出的等式写出算式即可； （2）去绝对值后进行计算即可； （3）去绝对值后，利用裂项相消法，进行计算即可． 【详解】（1）解：第五个等式为； （2）原式； （3）原式 ． 50．（24-25七年级上·全国·期中）观察下列各式： ① ； ② ； ③ ； ④ ； (1)按上述规律写出第五个等式： ________． (2)写出第n个等式： ________． (3)根据上述规律，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有理数的四则混合运算，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）分别从两个因数找规律，利用规律求解； （2）利用（1）的特点，总结归纳即可． （3）利用（1）中的规律，拆项求解． 【详解】（1）① ； ② ；③ ； ④ ； 第五个等式是：； 故答案为：； （2）由（1）归纳可得： 第n个等式：， 故答案为：； （3）解： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $