专题04 有理数的实际应用10大题型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数在实际场景中的应用，通过十大题型构建从概念到复杂问题的递进式训练体系，强化数学建模与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正负数应用|5题|相反意义量表示|以误差、体重等场景理解正负数本质| |行程问题|5题|方向与距离计算|数轴工具与有理数加减的结合应用| |销售问题|5题|折扣与利润核算|有理数乘法在经济问题中的拓展| |水流速度问题|5题|顺逆水速关系|建立速度模型深化运算能力| |分段收费问题|5题|阶梯计价规则|培养分类讨论的数学思维| |计件问题|5题|超产减产核算|正负数在生产统计中的综合应用| |算24点应用|5题|数字组合运算|提升有理数混合运算灵活性| |数轴应用题|5题|位置与距离分析|数形结合解决实际位置问题| |绝对值应用题|5题|误差与距离计算|绝对值几何意义的实际迁移| |混合运算应用|5题|综合场景计算|多知识点融合的复杂问题解决|

专题04 有理数的实际应用 题型一：正负数的实际应用 题型二：行程问题 题型三：销售问题 题型四：水流速度问题 题型五：分段收费问题 题型六：计件问题 题型七：算24点应用 题型八：数轴中的实际应用题 题型九：含绝对值的实际应用题 题型十：有理数混合运算的实际应用 题型一：正负数的实际应用 1．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 2．（25-26七年级上·天津南开·期中）某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 3．（25-26七年级上·河南新乡·阶段检测）已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）现代工业生产中，对产品的尺寸、质量等都设计了标准规格．但是，一般在实际加工中，每个产品不可能都做得与标准规格完全一样．通常在某个范围内，只要不影响使用，产品比标准规格稍大一点，或稍小一点，都属于合格品，而超出这个范围的产品就是不合格的了．在生产和检验产品时，怎样掌握合格品的尺度呢？通常在生产图纸上，对每个产品的合格范围有明确的规定．例如，图纸上注明一个零件的直径是时，表示直径，单位是毫米（）．这样标注表示零件直径的标准尺寸是，实际产品的直径最大可以是，最小可以是，在这个范围内的产品都是合格的．如果生产了一个零件的直径是，它合格吗？这里的给出了允许误差的大小．允许误差一般用正负数的形式写出． (1)直径为和直径为的零件是否合格？为什么？ (2)你知道还有哪些事件可以用正负数表示允许误差吗？请举例说明． 5．（24-25七年级上·山东临沂·期中）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重(单位：)的计算方式为：标准体重（年龄)2．下表是七年级某小组6位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 (1)表中哪几位同学的体重超出标准体重？分析该小组同学的体重超出或少于标准体重的情况． (2)表中哪位同学的体重最符合标准体重？要想了解同学的体重情况，除了判断正负数，还要考虑什么？据此进一步分析该小组同学的整体体重情况． 题型二：行程问题 6．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）滴滴出行为人们带来方便，滴滴司机小李某天上午运营的路线可以看作是在东西走向的大道上，若规定向东为正，行车记录情况（单位：千米）如下：，，，，，，． (1)当司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李与出车地点的距离是多少千米？ (2)在第几次记录时，小李距出发地最远？距离是多少千米？ (3)若小李的平均运营费为元/千米，成本为元/千米，求这天上午小李盈利多少元？ 7．（25-26七年级上·湖南益阳·期中）龙洲路是南北走向的国道（苏尼特左旗——北海）在益阳市区内的一段，一辆大货车在龙洲路上来回行驶，某一天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，向南为负方向，当天行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，，，．请你根据计算回答下列问题： (1)B地在A地何方，相距多少千米？ (2)汽车这一天共行驶多少千米？ (3)若汽车行驶时每千米耗油升，那么这一天共耗油多少升？ 8．（24-25七年级上·吉林松原·期中）某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分按每千米元收费． (1)若某人乘坐了不超过千米，则他应支付车费___________元；若乘坐了大于千米，则他应支付车费___________元．(用含有的代数式表示) (2)一出租车公司坐落于东西方向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送4批客人，行驶路程记录如下(规定向东为正，向西为负，单位：千米) 第1批 第2批 第3批 第4批 ①送完第批客人后，王师傅在公司的___________边(填“东”或“西”)，距离公司___________千米的位置． ②在整个过程中，王师傅共收到车费多少钱？ ③若王师傅的车平均每千米耗油升，则送完第批客人后，王师傅的车用了多少升油？ 9．（25-26七年级上·广东深圳·期中）深南大道是“滴滴”接单业务量最大、最繁忙的路线之一．“滴滴”快车陈师傅从上午在东西走向的深南大道上营运，共连续运载10批乘客，若规定向东为正，向西为负，陈师傅运载10批乘客的里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，． (1)将最后一批乘客送到目的地时，陈师傅在第一批乘客出发地的_____（选填“东”或“西”）面，距离出发地多少千米？ (2)若汽车每千米耗电0.15度，则上午陈师傅的汽车一共耗电多少度？ (3)若“滴滴”快车的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元，则陈师傅在上午一共收入多少元？ 10．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）出租车司机刘师傅某天上午从地出发，在东西方向的公路上行驶营运，如表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；表示空载，表示载有乘客，且乘客都不相同）． 次数 里程 载客 (1)刘师傅走完第次里程后，他在地的什么方向离地有多少千米？ (2)已知出租车每千米耗油约升，刘师傅开始营运前油箱里有升油，若少于升，则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油； (3)已知载客时千米以内收费元，超过千米后每千米收费元，问刘师傅这天上午走完次里程后的营业额为多少元？ 题型三：销售问题 11．（25-26七年级上·重庆·期中）某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下 一次性购物金额 优惠办法 少于 元 不予优惠 低于 元但不低于 元 以内全部九折优惠 元或超过 元 其中 元部分给予九折优惠， 超过 元部分给予八折优惠 (1)若陈老师一次性购物 元，他实际付款 元． (2)若陈老师实际付款 元，那么陈老师一次性购物可能多少元？ (3)如果陈老师两次去超市购物原价合计 元，第一次购物的原价为元，请用含的代数式表示这两次购物陈老师实际一共节省了多少元． 12．（25-26七年级上·海南海口·期中）某超市在双十一期间对顾客实行优惠政策，规定如下表： 一次性购物价格m（元） 优惠办法 不予优惠 全部按9折优惠 其中500元的部分给予9折优惠，超出500元的部分给予8折优惠 (1)若小惠一次购物原价400元，她实际付款 元； 若一次购物原价600元，她实际付款 元． (2)若小惠在该超市一次购物x元．当元时，她实际付款 元（用含x的代数式表示）． (3)如果小惠两次购物合计900元（原价），第一次购物的原价为元，用含的代数式表示两次购物实际付款一共多少元? 当元时，小惠两次购物一共节省了多少元? 13．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）近日，一个家电专卖店出了一个家电优惠表． 家电 电饭煲 冰箱 热水器 智能马桶 进价/元 150 2900 900 1200 原售价/元 310 ？ 1300 1900 现售价/元 230 3800 1110 1750 (1)冰箱原售价比智能马桶原售价贵了2100元，冰箱原售价是多少元？ (2)现卖出一个智能马桶，如果按原价售价，那么现营业额比原营业额少了多少元？ (3)老王家打算换热水器，趁着活动买了两个，店的利润是多少元？ (4)老板决定卖出去一个电饭煲就奖励营销员30元，如果卖出去了4台电饭煲后，那么老板可以赚多少元？ 14．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）小明爸爸上个星期五买进某公司股票1000股，每股27元，如表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）．[注：正负数表示与前一交易日比较的涨跌情况，如周一收盘时每股（元），如周二收盘时每股（元），另股票周六、周日休盘不交易] 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)通过上表你认为周三收盘时，每股是________元； (2)本周内每股最多是________元，最低是________元； (3)若买进股票需付成交额的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税，如果在星期五收盘前将股票全部卖出，小明爸爸盈亏多少元？请通过计算说明． 15．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）某超市在购物节期间举行优惠活动，规定如下： 一次性购物消费金额 优惠办法 少于元 不予优惠 低于元但不低于元 八折优惠 元或超过元 其中元给予八折优惠，超过元的部分给予七折优惠 (1)若王老师一次性购物消费元，他实际付款　　元． (2)若某顾客在该超市一次性购物消费元，则他实际付款多少元（用含的代数式表示）？ (3)如果王老师有两天去超市购物原价合计元，第一天购物的原价为元（大于且小于），用含的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元．当时，王老师两天一共节省了多少元？ 题型四：水流速度问题 16．（25-26七年级上·广东广州·开学考试）水流速度是每小时15千米，现在有船顺水而行，8小时行320千米．则逆水行320千米需几小时？ 17．（24-25七年级上·重庆·开学考试）甲乙两港相距360千米，一艘轮船在两港之间往返一次需要35小时，逆水航行比顺水航行多花5小时，现在有一艘与它同行的旅游船，其在静水中的速度是每小时12千米，这艘旅游船在两港之间往返一次需要多少小时？ 18．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）【流水行船】水库A与小镇B之间有一条河道，当水库不放水时，河道里的水不流动；当水库放水时，河道里的水匀速流动．在水库没有放水时，快艇M从A出发向B行驶了50分钟，经过了河道长度．此时水库放水，快艇又行驶河道长度，只用了20分钟．此时，驾驶员关闭快艇动力，任由快艇随河水漂流，又经过多少分钟快艇到达B? 19．（第06讲数论专题 口奥3-【暑假自学课】2023年新六年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用））一艘轮船顺水航行100千米，逆水航行64千米，共用9小时；顺水航行80千米、逆水航行128千米共用12小时．问：轮船的顺水速度与逆水速度各是多少？ 20．（25-26七年级上·河北·单元复习）甲、乙两船，甲船静水速度是水速的11倍，乙船静水速度是水速的7倍．船分别从 A 、B 两地同时出发，在A、B之间往返航行，出发后6小时第一次相遇．如果A在B上游，那么第一次相遇后，再过几小时两船第二次相遇？ 题型五：分段收费问题 21．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）“水是生命之源”，为了鼓励居民节约用水，某市水力公司规定按以下标准收取水费： 月用水量 单价（元） 不超出的部分 1 超出，不超出的部分 3 超出的部分 7 另：每立方米用水加收元的污水处理费 (1)根据上表，如果每月用水量不超过，实际每立方米收水费 元；如果月份某用户用水量为，那么该用户月份应该缴纳水费 元； (2)某用户月份共缴纳水费20元，计算该用户月份共用水量； (3)若该用户水表月份出了故障，只有的用水量计入水表中，这样该用户在月份只缴纳了44元水费，问：该用户月份实际应该缴纳水费多少元？ 22．（25-26七年级上·山东济南·期中）某市居民使用自来水按如下标准收费(水费按月缴纳)： 用户月用水量 单价 不超过的部分 元/ 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 (1)当时，明明家5月份用水量为，则该月需交水费______元；6月份明明家用水量为，则该月需交水费______元（直接写出答案）； (2)当时，亮亮家一个月用了的水，求亮亮家这个月应缴纳的水费； (3)设某户月用水量为n立方米，该户这个月应缴纳水费是多少元？（用含a，n的式子表示） 23．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）为了鼓励市民节约用水，合理利用水资源，大连市采用价格调控方式收取水费，居民使用自来水实施阶梯水价，以达到节水的目的． 大连市居民自来水实施阶梯水价标准情况如下表： 阶梯 月用水量（立方米） 水价（含污水处理费元/立方米） （元/立方米） 第一阶梯 （含6）部分 2 第二阶梯 （含10）部分 4 第三阶梯 10以上部分 6 请你根据表中提供的数据回答下列问题： (1)若该户居民1月份的用水量为4立方米，则应收水费______元，若该户居民2月份的用水量为8立方米，则应收水费______元； (2)若该户居民3月份的用水量为a立方米，则应收水费______元（用含a的代数式表示）； (3)若该户居民4月份的缴纳自来水费34元，求该户居民4月份用水量是多少立方米？4月份污水处理费是多少元？ (4)若该户居民5月份和6月份的总用水量为15立方米，已知6月份的用水量起过了5月份，设5月份的用水量为立方米，求该户居民5月份和6月份的总水费．（用含x的代数式表示） 24．（25-26七年级上·浙江金华·期中）某地区居民用电收费方式有以下两种： 方式一：未开通峰谷 阶梯递增电价 Ⅰ档（月用电量230度及以 下） Ⅱ档（月用电量231-420度 的部分） Ⅲ档（月用电量421度及以 上的部分） 0.50元／度 0.55元／度 0.80元／度 方式二：开通峰谷 时段 峰谷分时电价 Ⅰ档（月用电量230度及以下） Ⅱ档（月用电量231－420度的部分） Ⅲ档（月用电量421度及以上的部分） 高峰时段（8:00-22:00） 0.53元／度 0.58元／度 0.83元／度 低谷时段（8:00-22:00以外时间） 0.30元／度 0.35元／度 0.60元／度 (1)已知小明家3月的电费处于Ⅰ档，若开通峰谷电，则高峰时段电费比未开通峰谷时贵 元／度，低谷时段电费比未开通峰谷时节约 元／度． (2)已知小明家12月份用电500度．若未开通峰谷，需缴交电费多少元？ (3)经测算，小安家6-9月份平均每个月用电度（低谷总用电量占），其它月份平均每个月用电度（低谷用电量占）．则小安家全年能节约 元电费（用含的代数式表示）． 25．（25-26七年级上·天津和平·期中）材料：我国个人所得税起征点为每月元，具体规则如下： 免税条件：月收入低于元的居民个人无需缴纳个人所得税； 计税方式：超出元的部分按超额税率计算应纳税额． 应纳税所得额月工资收入元（起征点）专项扣除金额； 税率参考：具体适用税率见个人所得税税率表． 个人所得税税率表 应纳税所得额 税率 至元的部分 超过元至元的部分 10% 超过元至元的部分 材料：我国个人所得税专项附加扣除项目及金额主要有以下几个部分： 子女教育专项：每个子女受教育阶段可享受元定额扣除； 住房贷款利息专项：首套住房贷款可享受元定额扣除； 赡养老人专项：每个独生子女赡养两位老人可扣除金额元； 其它法定扣除项：如各类保险、公益捐赠等． 请根据以上内容，回答下列问题： (1)小张扣除各项费用后的应纳税所得额为元，请直接写出小张缴纳的税费为________元． (2)小李除有首套住房贷款外，其他不满足专项附加扣除项目，设小李税前月工资收入为元，会因公司效益不同有所变化，其变化范围在元到元之间（包括：元和元，即）． 计算当小李税前月工资收入为元时，他的税后月工资收入为多少元？ 请用含的代数式表示小李缴纳的税费为多少元? (3)小刘与妻子均为独生子女，需共同赡养四位老人（双方父母各两位）并养育一个在读初中的孩子．小刘每月工资收入为元，已申报赡养两位老人：妻子每月工资收入为元，已申报赡养两位老人．子女教育专项附加扣除可选择由小刘或妻子一方申报．请通过计算说明，由谁申报此项扣除能使小刘家庭缴纳的税费较少． 题型六：计件问题 26．（25-26七年级上·北京通州·期中）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)这一周最后三天共生产______辆； (2)这一周产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)①若该厂实行“每日计件工资制”，每生产一辆车可得70元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ ②若将①中的“每日计件工资制”改为“每周计件工资制”，其他条件不变，问：这一周该厂是实行“每日计件工资制”工人的工资高，还是实行“每周计件工资制”工人的工资高？请说明理由． 27．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）小明妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 (1)根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具 个； (2)根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具 个； (3)该厂实行“每周计件工资制”．每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另加奖3元；少生产一个则倒扣2元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？ (4)若将上面第（3）问中“实行每周计件工资制”改为“实行每日计件工资制”，其他条件不变，小明妈妈分别以按照周计件与按照日计件来计算这一周的工资，哪一个更多？请说明理由． 28．（24-25七年级上·广东韶关·期中）在韶关的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划一周生产竹制品和陶瓷1400件，平均每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷________件； (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ (4)若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下这一周成员的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 29．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）电动车厂计划每天平均生产n辆电动车（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正、少于计划产量记为负）： 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 实际生产量 (1)用含n的整式表示本周五天生产电动车的总数； (2)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得200元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖55元；少生产一辆扣60元，当时，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ (3)若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当时，在此方式下这一周工人的工资总额与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 30．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）根据素材，请你探索解决以下任务： 素材1：某加工厂生产某种零件，厂里规定每个工人每周要生产零件560个，平均每天生产80个． 素材2：该厂工人李师傅由于各种原因，每天实际生产数量与计划数量有些变化．下表是李师傅某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 0 （1）【任务1】根据表格数据可知李师傅星期四生产零件______个； （2）【任务2】根据表格数据可知李师傅本周实际生产零件______个； 素材3：该工厂为鼓励工人的积极性作如下规定：每生产一个零件可得工资10元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖8元；少生产一个则倒扣5元．该工厂实行两种工资结算制度：“每周计件工资制”和“每日计件工资制”，即分别按周和按天为单位时间结算工资． （3）【任务3】若李师傅选择“每周计件工资制”结算工资，那么李师傅这一周的工资总额是多少元？ （4）【任务4】精通数学的李师傅最终选择“每日计件工资制”来结算工资，你觉得李师傅的决定正确吗？请说明理由． 题型七：算24点应用 31．（25-26七年级上·全国·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 32．（25-26七年级上·河南新乡·期中）小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，并完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，如何抽取？最大值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，请直接写出运算的式子．（写出一种即可） 33．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）数学游戏题 (1)如图是一个三阶幻方，有9个数字构成，并且每横行，竖行和对角线上的3个数字的和都相等，试填出空格中的数． 14 9 16 (2)有一种“二十四点”的游戏（即算24游戏），其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24．例如对1，2，3，4，可作如下运算：（上述运算与视为相同方法的运算），在我们学过负数以后这个游戏仍可以玩，如，，4，5可以列出算式；现给出3，，6，四个数，请你写出一个算式使其结果为24． 34．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个数，将这四个数进行加减乘除四则运算，使其结果等于24． 例如对于1，2，3，4，可作如下运算：，  但是视为相同方法的运算． 以上四个数字也可以这么算：，但是视为相同方法的运算． 现有四个有理数：2，2，，，运用上述规则写出两种不同方法的算式，可以使用括号，使其运算的结果等于24 （注意：每一个数都必须使用，且每一个数只能使用一次） 列出算式并写出完整的计算过程： 35．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）“算24”的扑克牌游戏曾经风靡许多国家，深受青少年朋友的喜爱．这种游戏将两张王牌去掉，规定扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1．从扑克牌中按要求抽取若干张牌，将牌面所表示的数进行有理数的加、减、乘、除运算（每张牌用且只用一次），算得“24”即可． 【问题情境】 假设已抽取如下的牌，能不能根据牌面所表示的数算“24”呢？如果能，怎么算？ 可列算式：． 根据上图中4张牌，还可以列出不同的算式 ． 【思考探究】 （1）用两张牌算“24”：①；②；③；④用三张牌算“24”：可以将其中两张牌整合，转化为（1）中情况来思考，例如：抽到的牌为2、3、4，可以列式为，转化为（1）中的①．问题：抽到的牌为2、3、4，还可以转化为（1）中的③，即列式为 ． （2）用四张牌算“24”：可以一三分组，也可以两两分组，例如：抽到的牌为8、9、12、13，我们可以一三分组，列式为，转化为（1）中的①；请你用8、9、12、13四张牌进行有理数的加、减、乘、除运算再列一个算式，使得算式结果为24． （3）用五张牌算“24”：请你考虑这九个数字中，若恰巧五张牌的数字都相同（五个1，五个2，…五个9），会有哪些情况可以算出“24”． 题型八：数轴中的实际应用题 36．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图将一个滑块放在数轴上，数轴的1个单位长度为，滑块的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将滑块沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为18；若将滑块沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得到滑块长为_____ ． (2)在（1）的条件下，图中点所表示的数是_____，点所表示的数是_____． (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助子涵解决下面的问题： 一天，子涵跟数学老师聊天，老师聊起说：“我若是你现在这么大，你还要28年才出生；你若是我现在这么大，我都86岁，已经退休了，哈哈！”，请求出老师现在多少岁了？ 37．（25-26七年级上·北京·期中）某超市零食区同一排货架上放有薯片、巧克力、饼干、果冻等零食，其中薯片位于货架正中间左侧3米处，巧克力在薯片右侧5米处，饼干的位置到货架正中间的距离与巧克力到货架正中间的距离相等，且饼干在货架左侧．小明去超市买东西，他发现如果将这排货架按“左负右正”标注位置（单位：米），货架正中间作为原点0，那么这些零食的位置就可以在数轴上表示出来．若薯片、巧克力、饼干、果冻分别用点A，B，C，D表示，请回答下列问题： (1)请你帮小明画出数轴，并在数轴上分别标出A，B，C 的位置及其对应的数； (2)如果果冻与饼干距离6米，那么果冻与巧克力距离 米； (3)如果小明从0点出发，先后拿了饼干、薯片、巧克力，且他每走1米需要2 秒，他完成取货全程步行共耗时 秒 ． 38．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）AI物流机器人的路径优化 【背景材料】 某智慧物流园区里，一台AI物流机器人正在执行任务：要把A仓货物和B仓特殊物品运往C配送站．它的出发点和终点都是中央调度站（记作原点O），园区规定：向东方向为正方向，机器人的行动指令序列如下： 指令1：从O点出发，向西行驶到达A仓装载货物． 指令2：从A仓继续向西行驶2到达B仓装载特殊物品． 指令3：从B仓向东行驶9，到达C配送站卸货． 指令4：从C配送站返回中央调度站O． 作为园区的路径优化分析师，请你完成以下任务： 【任务】 (1)路径建模 以中央调度站（O）为原点，用表示1，画一条数轴，并在数轴上标出A仓、B仓和C配送站的位置． (2)数据分析 ①C配送站距离A仓有多远？请写出计算过程． ②这台AI机器人为完成此次任务，一共行驶了多少千米？ (3)批判性思考 工程师复盘任务数据时发现，当前的指令序列导致机器人重复经过了某些路段，这部分重复行驶的里程被视为“无效行驶”． ①请找出原指令序列中，机器人重复经过的路段，并计算无效行驶的总路程． ②在不改变“必须依次前往A、B、C三地”的前提下，能否通过调整优化指令来避免这些无效行驶？请简要说明你的结论和理由． (4)管理决策与系统优化 根据（3）问的分析结果，请你从整体调度策略（而非仅优化单次行驶指令）的角度，为物流园区的管理者提出一条能够从根本上减少或避免无效行驶的管理建议．（提示：可以考虑如何改变AI机器人的部署位置或任务分配模式．） 39．（25-26七年级上·全国·阶段检测）某饭店的外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向东走了到达小红家，继续向东走了到达小明家，然后又向西走了到达小刚家，最后回到饭店． (1)请以饭店为原点，以向东的方向为正方向，一个单位长度表示，画出数轴，并在数轴上用点分别表示出饭店、小红家、小明家、小刚家的位置． (2)小刚家距小红家有多远？ (3)若小红和小刚两个人同时分别从自己家出发，小红以的速度步行到小明家，小刚以的速度骑自行车到小明家，则两个人能否同时到达小明家？若不能同时到达，则谁先到达？ 40．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）七年级数学兴趣小组开展数学微项目学习，他们决定研究南宁地铁的运行． 素材一 如图是南宁地铁号线的线路图，为了研究方便，地铁运行过程中速度看成匀速，每相邻两站的间距都可近似看成相等．且相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒． 素材二 小安用数轴上的动点来表示地铁的运行，他以火车东站为原点建立了如图所示的数轴．其中数字表示佛子岭站，数字代表百花岭站．以此类推，动点每运动到一个整点时．都需要暂停秒，代表地铁到达停靠． 问题解决 探究 （）如图，数字表示________站 探究 （）如图，若小瑞从火车东站出发往南湖方向，出发时间为分钟，当分钟时，此时小瑞离火车东站距离多远？ （）若从原点出发，运动分钟到数字和数字之间（不含数字和数字），求点在数轴上表示的数（用含的代数式表示）． 探究 （）若小瑞在百花岭站上车，坐地铁往南湖方向，同时小安在万象城站上车，往南宁东站方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从百花岭站和万象城站出发，出发多久后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 题型九：含绝对值的实际应用题 41．（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端与点重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为_______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请直接写出爷爷和小红现在多少岁． 42．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 我们规定：点，在数轴上分别表示数，，则，两点的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____； （2）已知数轴上的点表示，点与点之间的距离是，则数轴上点所表示的数是______； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用新定义求式子的最小值，并求此时的值；（简单说理） 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区分别是兴园小区，梦园小区，竹园小区，名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少？（不用说理） 43．（25-26七年级上·全国·单元复习）在活动课上，名同学用橡皮泥各做了个乒乓球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表所示： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 (1)哪些同学做的乒乓球是符合要求的？ (2)在符合要求的乒乓球中，哪名同学做的质量最好？这名同学中，哪名同学做的质量最差？ (3)请你对这名同学按照做的乒乓球质量从最好到最差排名； (4)请你用学过的绝对值知识来说明解答以上问题的依据． 44．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】 （1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】 （1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】 如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 45．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离，若点表示的有理数为，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为___________；当取最小值时，可取的全部整数值有___________． (2)当的值最小时，的取值为___________，最小值是___________． (3)一条笔直的公路边有三个居民小区A、B、C和一个市民广场O，居民小区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，左侧1千米，右侧4千米．现要在该公路上建一个居民生活服务站点P，满足三个小区的居民购物需求，站点P有一辆货车负责向三个小区的居民免费运送所购生活物资．站点P每天向A小区，B小区，C小区运送购买物资各2次．物资运送车每往返1千米路程共需花费10元，每次只运送一个小区的物资．为了全天运送购买物资的总运费最少，请你思考站点P建在何处才能使一天的总运送费用最少？最少费用是多少？写出你的解答过程． 题型十：有理数混合运算的实际应用 46．（25-26七年级上·吉林·期末）根据以下素材完成任务： 如何制定奶茶订购方案 素材1：为庆祝七年(1)班获得运动会团体总分优胜奖，班主任李老师决定在某奶茶店订购单价为15元的奶茶共46杯奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，赠送1杯． 免费 某外卖下单 满20元起送（配送费另算），如有优惠券结算时可使用，每个订单只允许使用一张优惠券． 1元/单 注：下单后，每个订单结算时系统自动加收配送费． 素材2：该外卖平台赠送李老师6张优惠券（无门店限制）如下： ①1张“无门槛5元”优惠券；②2张“满28元可减13元”优惠券；③3张“满38元可减15元”优惠券． 问题1： ①李老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，共需花费 元； ②某顾客通过外卖下单： 若一单购买6杯奶茶，使用“满28元可减13元”优惠券则需花费 元；使用“满38元可减15元”优惠券则需花费 元．若一单购买杯奶茶，使用“无门槛5元”优惠券需花费 元； ③李老师在外卖分六次下单这46杯奶茶，并将6张优惠券全部使用，则她共花费了 元． 问题2：请帮助李老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过580元．确定订购的最低费用方式与数量：电话订购 杯，送 杯；外卖订购 杯．该方案订购总费用为 元． 问题3：若你现在打算共下四单外卖订购杯奶茶，则最低花费 元． 47．（25-26六年级上·上海普陀·期末）综合与实践： 周末小普同学和6名好友租了两辆专车从地一起去地看演出，途中一辆专车在离地还有18千米处发生故障，只得由另一辆专车将大家送达地，但此时距离地的演出开始还剩下50分钟，这时司机提出了如下两种方案： 方案一 先送4人，其余3人原地不动等待专车返回接送 相关数据： 专车行驶的平均速度：60千米/时． 乘客行走的平均速度：5千米/时． 每辆专车限乘5人（含司机）． 方案二 先送4人，其余3人先步行，途中与专车相遇后上车前行 (1)如果按方案一实施，那么他们能否赶上地的演出？并说明理由； (2)通过计算说明方案二能否保证他们在规定的时间到达地的演出现场； (3)小普同学认为方案一和方案二都不是最节省时间的方案，请你帮他设计一个方案并求出从故障地到达地演出现场的最短时间． 48．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 素材一：据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.22米，直道长84.39米；跑道的弯道是半圆形，跑道第一圈（最内圈边线）弯道半径为35.0米到38.0米之间． 素材二：某校根据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈（最内圈边线）弯道半径为36.50米的标准跑道（如图1）．按田径竞赛规程规定：第一分道计算线（又称运动员的实跑线）是距离内突沿外沿0.30米计算，其余各条分道计算线是距离里侧分道线外沿0.20米处计算．举例： 第一分道米 第二分道米 第三分道米 第四分道米 (1)如图，小明同学计算的第7分道_______米（结果含）； (2)如图，小明同学在为400米跑的选手划定起跑位置时，第二道选手应在第一道选手的起跑位置基础上向前延伸________米（取3.14，结果取整数）； (3)在一个标准的400米跑道上，甲、乙两人从同一位置同向出发，已知甲每分钟跑100米，乙每分钟跑80米，乙先跑2分钟后甲开始追乙，请求出在跑步过程中从甲起跑到甲、乙第二次相遇前，甲跑多少分钟两人相距10米？ 49．（25-26七年级上·天津·阶段检测）下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)填空：分析表中信息可知，球队胜一场积____________分，负一场积____________分． (2)求队已经比完的场比赛中的胜场数； (3)分析表中信息可知，队已经赛了场，积分，若此次篮球比赛共赛轮（每个球队各有场比赛），队希望最终积分达到分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 50．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、谷时段用电量、……”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网电力公司官网知道了电力公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择： 计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依次类推，总电费等于各档电费的总和； 计费方式二：“分档+分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和． 表1： 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 0.5 第二档 超过230且不超过420 0.55 第三档 超过420 0.8 表2： 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（8：00—22：00） （每度电在各档电价基础上加价0.05元） 谷时段（22：00—次日8：00） （每度电在各档电价基础上降低0.2元） (1)若小阳同学家选择计费方式一，1月份用电量为350度，求1月份应缴电费； (2)设小阳同学家某月的用电量为x度，，且峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，请用含x的式子表示两种计费方式应缴电费； (3)小阳同学家在2025年某月的电费为267.5元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰时段的用电量是多少? 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 有理数的实际应用 题型一：正负数的实际应用 题型二：行程问题 题型三：销售问题 题型四：水流速度问题 题型五：分段收费问题 题型六：计件问题 题型七：算24点应用 题型八：数轴中的实际应用题 题型九：含绝对值的实际应用题 题型十：有理数混合运算的实际应用 题型一：正负数的实际应用 1．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ (2)最接近规格的是⑦号试管．理由见解析 【分析】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）根据绝对值的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ （2）解：最接近规格的是⑦号试管． 理由：，，，，． 因为，所以最接近规格的是⑦号试管． 2．（25-26七年级上·天津南开·期中）某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 【答案】(1)周三； (2)减少了，减少了吨 (3)吨 (4)元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟悉相反意义的量是解题的关键． （1）根据表格作答即可； （2）把出入数据相加即可； （3）根据每周的变化推导即可； （4）运算出总出入的数量，再乘价钱即可求解． 【详解】（1）解：由表可得：周三水果变化量最大，最大变化量为（吨）； 故答案为：周三；； （2）解：， 答：这一周冷库里的水果减少了，变化了吨； （3）解：每周减少吨，则上周有（吨）， 答：一周前冷库里存有水果吨； （4）解：（元）， 答：这一周共需付元装卸费． 3．（25-26七年级上·河南新乡·阶段检测）已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 【答案】(1)编号为4的样品的大小最符合要求 (2)见解析 【分析】本题考查正负数的应用、绝对值的应用、有理数的大小比较，理解绝对值的性质是解答的关键． （1）先求得各数据的绝对值，再比较大小，根据绝对值最小的最符合要求即可解答； （2）比较各绝对值与、的大小，根据正品、次品和废品定义可得结论． 【详解】（1）解：，，，，， ∵， ∴编号为4的样品的大小最符合要求； （2）解：因为，，， 所以编号为1，2，4的样品是正品； 因为， 所以编号为3的样品是次品； 因为， 所以编号为5的样品是废品． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）现代工业生产中，对产品的尺寸、质量等都设计了标准规格．但是，一般在实际加工中，每个产品不可能都做得与标准规格完全一样．通常在某个范围内，只要不影响使用，产品比标准规格稍大一点，或稍小一点，都属于合格品，而超出这个范围的产品就是不合格的了．在生产和检验产品时，怎样掌握合格品的尺度呢？通常在生产图纸上，对每个产品的合格范围有明确的规定．例如，图纸上注明一个零件的直径是时，表示直径，单位是毫米（）．这样标注表示零件直径的标准尺寸是，实际产品的直径最大可以是，最小可以是，在这个范围内的产品都是合格的．如果生产了一个零件的直径是，它合格吗？这里的给出了允许误差的大小．允许误差一般用正负数的形式写出． (1)直径为和直径为的零件是否合格？为什么？ (2)你知道还有哪些事件可以用正负数表示允许误差吗？请举例说明． 【答案】(1)直径为的零件是合格的，直径为的零件是不合格的，理由见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据正负数的意义求出合适的范围，然后判断即可； （2）食品包装等都用正负数表示允许误差． 【详解】（1）解：根据题意，最大直径：， 最小直径：， ∵在范围内，不在范围内， ∴直径为的零件是合格的，直径为的零件是不合格的； （2）食品包装，化肥包装，机器零件的尺寸都是用正负数表示允许误差． 5．（24-25七年级上·山东临沂·期中）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重(单位：)的计算方式为：标准体重（年龄)2．下表是七年级某小组6位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 (1)表中哪几位同学的体重超出标准体重？分析该小组同学的体重超出或少于标准体重的情况． (2)表中哪位同学的体重最符合标准体重？要想了解同学的体重情况，除了判断正负数，还要考虑什么？据此进一步分析该小组同学的整体体重情况． 【答案】(1)表中六位同学有三位同学的体重超出标准体重，三位同学的体重少于标准体重 (2)前三位同学的体重比较符合标准体重，其中3号同学的体重最符合标准体重；后三位同学与标准体重相差过多，其中4号、5号同学肥胖严重，6号同学太瘦 【分析】本题主要考查正负数的应用，绝对值的意义． （1）根据表格中数据结合正负数的意义即可解答； （2）根据表正负数的意义即可得到哪位同学的体重最符合标准体重，再根据绝对值的意义即可解答． 【详解】（1）解：， 则表中有2号、4号、5号三位同学的体重超出标准体重；表中六位同学有三位同学的体重超出标准体重，三位同学的体重少于标准体重； （2）解：由于， 则3号同学的体重离标准体重最近，最符合标准体重； 要想了解同学的体重情况，除判断正负外，还要考虑绝对值的大小，绝对值越大，离标准体重越远，越不符合标准体重．因此，前三位同学的体重比较符合标准体重，其中3号同学的体重最符合标准体重；后三位同学与标准体重相差过多，其中4号、5号同学肥胖严重，6号同学太瘦． 题型二：行程问题 6．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）滴滴出行为人们带来方便，滴滴司机小李某天上午运营的路线可以看作是在东西走向的大道上，若规定向东为正，行车记录情况（单位：千米）如下：，，，，，，． (1)当司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李与出车地点的距离是多少千米？ (2)在第几次记录时，小李距出发地最远？距离是多少千米？ (3)若小李的平均运营费为元/千米，成本为元/千米，求这天上午小李盈利多少元？ 【答案】(1)千米 (2)在第三次记录时，小李距出发地最远，距离是千米 (3)元 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的运算，绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）把七次记录的结果相加，所得结果的绝对值即为答案； （2）分别计算出七次记录后与出发地的距离，比较即可得到答案； （3）先求出总路程，再用总路程乘以每千米的盈利即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 千米， 司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李与出车地点的距离是千米； （2）解：解：第一次记录时距离出发地10千米， 第二次记录时距离出发地千米， 第三次记录时距离出发地千米， 第四次记录时距离出发地千米， 第五次记录时距离出发地千米， 第六次记录时距离出发地千米， 第七次记录时距离出发地千米， 在第三次记录时，小李距出发地最远，距离是千米； （3）解：解： 千米， 元， 这天上午小李盈利元． 7．（25-26七年级上·湖南益阳·期中）龙洲路是南北走向的国道（苏尼特左旗——北海）在益阳市区内的一段，一辆大货车在龙洲路上来回行驶，某一天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，向南为负方向，当天行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，，，．请你根据计算回答下列问题： (1)B地在A地何方，相距多少千米？ (2)汽车这一天共行驶多少千米？ (3)若汽车行驶时每千米耗油升，那么这一天共耗油多少升？ 【答案】(1)在南方，6千米 (2)84千米 (3)126升 【分析】本题考查正负数的应用，有理数的运算，关键能够理解题意． （1）题干要求B地在A地何方，以及两地相距多少千米，所有数据进行相加判断即可． （2）题干要求汽车这一天共行驶多少千米，把数据的绝对值相加即可． （3）根据（2）问的结论以及汽车行驶时每千米耗油升，两数相乘即可． 【详解】（1）解：， 约定向北为正方向，向南为负方向， 故B地在A地南方，两地相距千米． （2）解： ， 故汽车这一天共行驶千米． （3）解：升， 故汽车一天共耗油升． 8．（24-25七年级上·吉林松原·期中）某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分按每千米元收费． (1)若某人乘坐了不超过千米，则他应支付车费___________元；若乘坐了大于千米，则他应支付车费___________元．(用含有的代数式表示) (2)一出租车公司坐落于东西方向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送4批客人，行驶路程记录如下(规定向东为正，向西为负，单位：千米) 第1批 第2批 第3批 第4批 ①送完第批客人后，王师傅在公司的___________边(填“东”或“西”)，距离公司___________千米的位置． ②在整个过程中，王师傅共收到车费多少钱？ ③若王师傅的车平均每千米耗油升，则送完第批客人后，王师傅的车用了多少升油？ 【答案】(1)， (2)①西；，②元，③升 【分析】本题考查了列代数式、正数和负数、有理数的混合运算的应用； （1）根据题意，可以用含的代数式表示出某人应支付的车费； （2）①将表格中的数据相加，即可解答本题； ②根据题意，可以计算出在整个过程中，王师傅收到车费； ③根据表格中的数据和题意，可以计算出送完第批客人后，王师傅共用了多少升油． 【详解】（1）解：由题意可得，某人乘坐了不超过千米，则他应支付车费元， 若乘坐了大于千米，则他应支付车费：元， 故答案为：，； （2）解：① ， 即送完第批客人后，王师傅在公司的西边，距离公司千米， 故答案为：西，； ②在整个过程中，王师傅共收到车费：元， 答：王师傅共收到车费元． ③ 升， 答：送完第批客人后，王师傅用了升油． 9．（25-26七年级上·广东深圳·期中）深南大道是“滴滴”接单业务量最大、最繁忙的路线之一．“滴滴”快车陈师傅从上午在东西走向的深南大道上营运，共连续运载10批乘客，若规定向东为正，向西为负，陈师傅运载10批乘客的里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，． (1)将最后一批乘客送到目的地时，陈师傅在第一批乘客出发地的_____（选填“东”或“西”）面，距离出发地多少千米？ (2)若汽车每千米耗电0.15度，则上午陈师傅的汽车一共耗电多少度？ (3)若“滴滴”快车的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元，则陈师傅在上午一共收入多少元？ 【答案】(1)东，距离第一批乘客出发地6千米． (2)9度． (3)170元． 【分析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，有理数混合运算的应用． （1）把记录的数字相加即可得到结果，结果为正则在东面，结果为负则在西面； （2）把记录的数字的绝对值相加，再乘以0.15，即可得答案； （3）先计算起步费总额，再将超过3千米的路程相加，所得的和乘以2，将起步费加上超过3千米的费用总额，即可得答案． 【详解】（1）解： （千米） 答：最后一批乘客的目的地在第一批乘客出发地的东面，距离第一批乘客出发地6千米； （2）解： （千米） （度） 答：上午陈师傅的汽车一共耗电9度； （3）解： （元） 答：陈师傅在上午一共收入170元． 10．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）出租车司机刘师傅某天上午从地出发，在东西方向的公路上行驶营运，如表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；表示空载，表示载有乘客，且乘客都不相同）． 次数 里程 载客 (1)刘师傅走完第次里程后，他在地的什么方向离地有多少千米？ (2)已知出租车每千米耗油约升，刘师傅开始营运前油箱里有升油，若少于升，则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油； (3)已知载客时千米以内收费元，超过千米后每千米收费元，问刘师傅这天上午走完次里程后的营业额为多少元？ 【答案】(1)刘师傅在地的西面，离地有千米； (2)不需要加油， 解：行驶的总路程：(千米)， 耗油量为：(升)， ， ​​​​​​​刘师傅这天上午中途可以不加油； (3)刘师傅这天上午走完次里程后的营业额为元． 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加法的实际应用，绝对值的应用，分段收费的计算，同时考查了有理数的混合运算． 把次走的里程加起来，结果为千米，结果为负数，所以在A地的西面，离A地有千米； 把次走的路程加起来，共走了千米，根据每千米耗油约升，可知共耗油升，因为油箱里原来有油升，可知还剩升，多于升，所以不需要加油； 根据收费标准，分别计算出次载客的收费，把次收的费加起来，就是刘师傅这天上午的营业额． 【详解】（1）解：(千米)， ​​​​​​​刘师傅在地的西面，离地有千米； （2）略 （3）解：第次载客收费：(元)， 第次载客收费：(元)， 第次载客收费：(元)， 第次载客收费：(元)， 总营业额为：(元). ​​​​​​​答：刘师傅这天上午走完次里程后的营业额为元. 题型三：销售问题 11．（25-26七年级上·重庆·期中）某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下 一次性购物金额 优惠办法 少于 元 不予优惠 低于 元但不低于 元 以内全部九折优惠 元或超过 元 其中 元部分给予九折优惠， 超过 元部分给予八折优惠 (1)若陈老师一次性购物 元，他实际付款 元． (2)若陈老师实际付款 元，那么陈老师一次性购物可能多少元？ (3)如果陈老师两次去超市购物原价合计 元，第一次购物的原价为元，请用含的代数式表示这两次购物陈老师实际一共节省了多少元． 【答案】(1) (2)或 (3)当时, 两次购物陈老师实际一共节省了元；当时, 两次购物陈老师实际一共节省了元 【分析】本题考查了列代数式、整式加减的应用等知识，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． （1）根据购物超过500元的优惠办法计算即可得； （2）设陈老师实际付款198元，分两种情况：少于200元和低于500元但不低于200元，根据优惠办法求解即可得； （3）先求出第二次购物的原价为元，再根据优惠办法列式，计算整式的加减，即可得答案． 【详解】（1）解：陈老师一次性购物元，他实际付款为：（元）； （2）解：若陈老师实际付款元，有两种可能： 一是一次性购物元，没有优惠； 二是一次性购物不少于200元时，则有九折优惠，实际付款元， 则陈老师一次性购物原价为 （元）． 所以，陈老师一次性购物可能是或元． （3）解：①当时，则第一次购物原价为元， 第一次购物优惠后实际付款元， 第二次购物原价为元，此时， 第二次购物实际付款为： 陈老师两次一共付款为：元， ∴节省：元； ②当时，则第一次购物原价为元， 第一次购物优惠后实际付款元， 第二次购物原价为元，此时， 第二次购物实际付款为： 陈老师两次一共付款为：元， ∴节省：元； 答：当时, 两次购物陈老师实际一共节省了元；当时, 两次购物陈老师实际一共节省了元． 12．（25-26七年级上·海南海口·期中）某超市在双十一期间对顾客实行优惠政策，规定如下表： 一次性购物价格m（元） 优惠办法 不予优惠 全部按9折优惠 其中500元的部分给予9折优惠，超出500元的部分给予8折优惠 (1)若小惠一次购物原价400元，她实际付款 元； 若一次购物原价600元，她实际付款 元． (2)若小惠在该超市一次购物x元．当元时，她实际付款 元（用含x的代数式表示）． (3)如果小惠两次购物合计900元（原价），第一次购物的原价为元，用含的代数式表示两次购物实际付款一共多少元? 当元时，小惠两次购物一共节省了多少元? 【答案】(1)360；530 (2) (3)元；小惠两次购物一共节省了105元 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值及有理数混合运算的应用，理解题意，找到题目中的数量关系是解本题的关键． （1）根据“一次性购物低于500元但不低于200元，9折优惠”，得一次性购物原价400元，则实际付款按计算，根据“一次性购物不低于500元，其中500元的部分给予9折优惠，超出500元的部分给予8折优惠”，得一次性购物原价600元，则实际付款为，计算即可得出答案； （2）当大于500元时，根据“其中500元的部分给予9折优惠，超出500元的部分给予8折优惠”，得实际付款折+（原价）折，列出代数式为，化简即可； （3）第一次购物原价属于不高于500元但不低于200元阶段，则实际付款代数式为，第二次购物原价为，大于500元，则实际付款代数式为，将两个代数式相加化简，即可得含表示的两次购物实际付款的代数式，再将代入代数式，得两次购物实际付款金额，即可计算两次购物一共节省的金额． 【详解】（1）解：若小惠一次购物原价400元，则实际付款为： （元）， 若一次购物原价600元，则实际付款为： （元）． （2）解：当时，她实际付款为： 元． （3）解：小惠第一次购物原价为元，则小惠第二次购物原价为元， 小惠第一次付款为元， 第二次付款为元， 小惠两次购物实际付款为元， 当时，小惠两次购物一共节省了：（元）， 答：用含的代数式表示两次购物实际付款一共元，当元时，小惠两次购物一共节省了105元． 13．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）近日，一个家电专卖店出了一个家电优惠表． 家电 电饭煲 冰箱 热水器 智能马桶 进价/元 150 2900 900 1200 原售价/元 310 ？ 1300 1900 现售价/元 230 3800 1110 1750 (1)冰箱原售价比智能马桶原售价贵了2100元，冰箱原售价是多少元？ (2)现卖出一个智能马桶，如果按原价售价，那么现营业额比原营业额少了多少元？ (3)老王家打算换热水器，趁着活动买了两个，店的利润是多少元？ (4)老板决定卖出去一个电饭煲就奖励营销员30元，如果卖出去了4台电饭煲后，那么老板可以赚多少元？ 【答案】(1)4000（元） (2)150（元） (3)420（元） (4)200（元） 【分析】本题考查了学生能根据统计表解决实际问题的能力 （1）根据加法的意义，用智能马桶原售价加上2100元即是冰箱原售价； （2）根据减法的意义，用一个智能马桶的原售价减去现售价即是所求； （3）根据“利润售价进价”求出一台的利润，乘2即是所求； （4）用每台电饭煲的利润减去奖励营业员的金额即是每台电饭煲的实际利润，然后乘4即可解答． 【详解】（1）（元）， 答：冰箱原售价是4000元． （2）（元）， 答：现营业额比原营业额少了150元． （3）（元）, （元）， 答：店的利润是420元． （4）（元）， （元）， 答：老板可以赚200元． 14．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）小明爸爸上个星期五买进某公司股票1000股，每股27元，如表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）．[注：正负数表示与前一交易日比较的涨跌情况，如周一收盘时每股（元），如周二收盘时每股（元），另股票周六、周日休盘不交易] 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)通过上表你认为周三收盘时，每股是________元； (2)本周内每股最多是________元，最低是________元； (3)若买进股票需付成交额的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税，如果在星期五收盘前将股票全部卖出，小明爸爸盈亏多少元？请通过计算说明． 【答案】(1)28 (2)30，； (3) 【分析】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的意义、有理数的加法运算是解题关键． （1）利用正数与负数的意义可得到星期三收盘时每股的价格； （2）分别计算出这周每天的股价，然后比较即可； （3）先计算以30元每股卖出所得，再计算买进股票所需费用，然后求出它们的差即可． 【详解】（1）解：星期三收盘时每股的价格为：（元）， 故答案为：28； （2）解：星期一收盘时每股的价格为：（元）， 星期二收盘时每股的价格为：（元）， 星期三收盘时每股的价格为：（元）， 星期四收盘时每股的价格为：（元）， 星期五收盘时每股的价格为： （元）， 所以本周内最高价是每股30元，最低价是每股元． 故答案为：30，； （3）解：小明爸爸在星期五收盘前将全部股票卖出所得 （元）， 小明爸爸买进股票的费用（元）， （元）， 所以小明爸爸盈利了元． 15．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）某超市在购物节期间举行优惠活动，规定如下： 一次性购物消费金额 优惠办法 少于元 不予优惠 低于元但不低于元 八折优惠 元或超过元 其中元给予八折优惠，超过元的部分给予七折优惠 (1)若王老师一次性购物消费元，他实际付款　　元． (2)若某顾客在该超市一次性购物消费元，则他实际付款多少元（用含的代数式表示）？ (3)如果王老师有两天去超市购物原价合计元，第一天购物的原价为元（大于且小于），用含的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元．当时，王老师两天一共节省了多少元？ 【答案】(1) (2)元或元或元 (3)这两天购物王老师实际一共付款元，共节省了元 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，已知字母的值求代数式的值，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，列式进行计算即可求解； （2）根据题意，列出代数式，即可求解； （3）根据题意分别求得两天购物的付款金额，然后相加即可求解，将代入化简后的式子进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意得：当小于时，他实际付款为元. 当小于但不小于时，他实际付款为元. 当大于或等于时，他实际付款为元. （3）解：由题意得：王老师第一天购物的实际付款为元. ∵王老师有两天去超市购物原价合计元，第一天购物的原价为元(大于元且小于元)， ∴第二天购物的原价为元，则的取值大于且小于. ∴王老师第二天购物的实际付款为元. ∴这两天购物王老师实际一共付款元. 当时，(元)， (元). 答：这两天购物王老师实际一共付款元，当时，王老师两天一共节省了元. 题型四：水流速度问题 16．（25-26七年级上·广东广州·开学考试）水流速度是每小时15千米，现在有船顺水而行，8小时行320千米．则逆水行320千米需几小时？ 【答案】32小时 【分析】本题考查了逆水行舟问题，明确顺水速度与逆水速度之间的关系是本题解题的关键．根据速度=路程÷时间，求出顺水速度，然后再减去两倍的水流速度，就是逆水速度，最后根据时间=路程÷速度求解即可． 【详解】解： （小时）． 答：逆水行320千米需32小时． 17．（24-25七年级上·重庆·开学考试）甲乙两港相距360千米，一艘轮船在两港之间往返一次需要35小时，逆水航行比顺水航行多花5小时，现在有一艘与它同行的旅游船，其在静水中的速度是每小时12千米，这艘旅游船在两港之间往返一次需要多少小时？ 【答案】64小时 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，先根据题意求出轮船的顺水速度和逆水速度，进而求出水流速度，再求出旅游船的顺水和逆水速度，再求出对应的时间即可得到答案． 【详解】解：小时，小时， 千米/小时，千米/小时， 千米/小时， 小时， 答：这艘旅游船在两港之间往返一次需要64小时． 18．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）【流水行船】水库A与小镇B之间有一条河道，当水库不放水时，河道里的水不流动；当水库放水时，河道里的水匀速流动．在水库没有放水时，快艇M从A出发向B行驶了50分钟，经过了河道长度．此时水库放水，快艇又行驶河道长度，只用了20分钟．此时，驾驶员关闭快艇动力，任由快艇随河水漂流，又经过多少分钟快艇到达B? 【答案】分钟 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，把河道长度看作整体“1”，那么水库没有放水时，快艇的速度为，水库放水时，快艇速度与水流速度的和为，进而可求出水流速度，用快艇随河水漂流的路程除以水流速度可得时间． 【详解】解： （分钟） 答：又经过分钟快艇到达B． 19．（第06讲数论专题 口奥3-【暑假自学课】2023年新六年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用））一艘轮船顺水航行100千米，逆水航行64千米，共用9小时；顺水航行80千米、逆水航行128千米共用12小时．问：轮船的顺水速度与逆水速度各是多少？ 【答案】20千米/小时； 16千米/小时 【分析】顺水航行100千米，逆水航行64千米，共用9小时，整体扩大2倍，顺水航行200千米，逆水航行128千米，共用时18小时，比顺水航行80千米、逆水航行128千米共用12小时，多用了6小时，那么顺水速度是每小时20千米，然后再计算逆水速度． 【详解】解：顺水航行100千米，逆水航行64千米，共用时9小时； 整体扩大2倍； 顺水航行200千米，逆水航行128千米，共用时18小时； （千米）； （小时） （） （小时） （小时） （） 答：轮船的顺水速度是20，逆水速度是16． 【点睛】本题考查的是流水行船的问题，解题方法在于转化． 20．（25-26七年级上·河北·单元复习）甲、乙两船，甲船静水速度是水速的11倍，乙船静水速度是水速的7倍．船分别从 A 、B 两地同时出发，在A、B之间往返航行，出发后6小时第一次相遇．如果A在B上游，那么第一次相遇后，再过几小时两船第二次相遇？ 【答案】第一次相遇后，再过13小时两船第二次相遇 【分析】本题中的甲船的速度、乙船的速度、水的速度、A、B两个码头之间的距离都不知道，只知道甲、乙两船的速度和水速之间的关系，所以我们可以把水速设为1千米/小时，则甲船在静水中的速度是（千米/小时），乙船在静水中的速度是（千米/小时），甲船顺水航行的速度是12千米/小时，乙船逆水航行的速度是6千米/小时．两船出发后6小时第一次相遇，所以A、B两个码头之间的距离是（千米）．甲、乙两船相遇后，甲船还需要再行驶（小时）到达B码头，这时乙船已经离开B码头（千米），正好走了一半的路程，乙船还需要再行驶9小时才能到达A码头，甲船在这9小时的时间内逆流而上行驶了（千米），离A码头还有（千米），甲船继续逆流而上，乙船顺流而下，两船变成了相遇问题，相遇时间（小时），所以第一次相遇与第二次相遇之间时间是（小时）． 【详解】设水速为1千米/小时，则 甲船在静水中的速度是（千米/小时），乙船在静水中的速度是：（千米/小时）， 甲船顺水航行的速度是（千米/小时），乙船顺水航行的速度是（千米/小时）， 甲船逆水航行的速度是（千米/小时），乙船逆水航行的速度是（千米/小时）， A、B两个码头之间的距离是（千米）． （小时） （小时） （小时） 答：第一次相遇后，再过13小时两船第二次相遇． 【点睛】本题主要考查了轮船相遇问题，可以把水速设为1千米/小时，甲、乙两船的速度在变化，所以逐步分析两船行驶的路程和速度是解题的关键． 题型五：分段收费问题 21．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）“水是生命之源”，为了鼓励居民节约用水，某市水力公司规定按以下标准收取水费： 月用水量 单价（元） 不超出的部分 1 超出，不超出的部分 3 超出的部分 7 另：每立方米用水加收元的污水处理费 (1)根据上表，如果每月用水量不超过，实际每立方米收水费 元；如果月份某用户用水量为，那么该用户月份应该缴纳水费 元； (2)某用户月份共缴纳水费20元，计算该用户月份共用水量； (3)若该用户水表月份出了故障，只有的用水量计入水表中，这样该用户在月份只缴纳了44元水费，问：该用户月份实际应该缴纳水费多少元？ 【答案】(1)；； (2)； (3)元． 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）第一空：水费单价污水处理费，得2元；第二空：分内、超的两段算费，相加得24元； （2）先排除的情况，得到该用户月份共用水量超出，不超出，计算水费即可； （3）计算出实际水量，分三段计算得实际水费． 【详解】（1）解：如果每月用水量不超过，实际每立方米收水费：元； 如果1月份某用户用水量为，那么该用户1月份应该缴纳水费：（元）， 故答案为：；； （2）解：因为， 所以超出的用水量是， 所以2月份共用； （3）解：因为， 所以实际用水量为， 实际应缴纳水费（元）． 22．（25-26七年级上·山东济南·期中）某市居民使用自来水按如下标准收费(水费按月缴纳)： 用户月用水量 单价 不超过的部分 元/ 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 (1)当时，明明家5月份用水量为，则该月需交水费______元；6月份明明家用水量为，则该月需交水费______元（直接写出答案）； (2)当时，亮亮家一个月用了的水，求亮亮家这个月应缴纳的水费； (3)设某户月用水量为n立方米，该户这个月应缴纳水费是多少元？（用含a，n的式子表示） 【答案】(1)16，32 (2)104元 (3)元 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及整式的加减，正确理解题干所给计算公式是解题的关键． （1）根据题干所给计算公式即可求得明明家月份需交水费； （2）根据题干所给计算公式即可求解； （3）当时，列式求出该用户应缴纳的水费即可． 【详解】（1）当时，明明家5月份用水量为， 则该月需交水费为：(元) 该户这个月应缴纳的水费为16元； 当时，明明家6月份用水量为， 由题意得：(元)； 故答案为：16，32； （2）（元） 答：亮亮家这个月应缴纳的水费为104元； （3）当时， 该用户应缴纳的水费为：(元)， 答：该户这个月应缴纳水费是元． 23．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）为了鼓励市民节约用水，合理利用水资源，大连市采用价格调控方式收取水费，居民使用自来水实施阶梯水价，以达到节水的目的． 大连市居民自来水实施阶梯水价标准情况如下表： 阶梯 月用水量（立方米） 水价（含污水处理费元/立方米） （元/立方米） 第一阶梯 （含6）部分 2 第二阶梯 （含10）部分 4 第三阶梯 10以上部分 6 请你根据表中提供的数据回答下列问题： (1)若该户居民1月份的用水量为4立方米，则应收水费______元，若该户居民2月份的用水量为8立方米，则应收水费______元； (2)若该户居民3月份的用水量为a立方米，则应收水费______元（用含a的代数式表示）； (3)若该户居民4月份的缴纳自来水费34元，求该户居民4月份用水量是多少立方米？4月份污水处理费是多少元？ (4)若该户居民5月份和6月份的总用水量为15立方米，已知6月份的用水量起过了5月份，设5月份的用水量为立方米，求该户居民5月份和6月份的总水费．（用含x的代数式表示） 【答案】(1)8，20 (2) (3)用水量是11立方米，污水处理费是元 (4)时，总水费元；时，总水费 元；时，总水费36元． 【分析】本题考查了分段计费问题，解题的关键是根据不同阶梯的收费标准，对用水量进行分段分析计算． （1）根据用水量所属阶梯，直接按对应水价计算（4立方米用第一阶梯价，8立方米分前6和后2立方米分别用第一、二阶梯价）． （2）将用水量分前6立方米（第一阶梯）和剩余立方米（第二阶梯），分别计费后求和． （3）先计算前两阶梯总水费，判断34元超出部分所属阶梯，求出对应水量后得总用水量，再算污水处理费． （4）根据5月用水量的范围分别对5月、6月的用水量分段计费，再求和得总水费． 【详解】（1）解：1月用水量4立方米（属于第1阶梯）： 水费元 2月用水量8立方米（前6立方米为第1阶梯，后2立方米为第2阶梯）： 水费元 故答案为：8，20； （2）用水量a立方米，前6立方米按第1阶梯，剩余立方米按第2阶梯： 水费元， 故答案为：； （3）解：第1阶梯（6立方米）水费：元 第2阶梯（立方米，共4立方米）水费：元 前两阶梯总水费：元 ∵4月缴费34元，超出28元的部分（元）属于第3阶梯， ∴对应水量：立方米 总用水量：立方米 污水处理费：元 （4）设5月用水量为x立方米，则6月用水量为立方米，且，即．需分情况讨论： 情况1：当时，6月用水量： 5月水费： 6月水费： 总水费： 情况2：当时，6月用水量： 5月水费： 6月水费： 总水费： 情况3：当时，6月用水量： 5月水费： 6月水费： 总水费： 综上所述：当时，总水费元；当时，总水费 元；当时，总水费36元． 24．（25-26七年级上·浙江金华·期中）某地区居民用电收费方式有以下两种： 方式一：未开通峰谷 阶梯递增电价 Ⅰ档（月用电量230度及以 下） Ⅱ档（月用电量231-420度 的部分） Ⅲ档（月用电量421度及以 上的部分） 0.50元／度 0.55元／度 0.80元／度 方式二：开通峰谷 时段 峰谷分时电价 Ⅰ档（月用电量230度及以下） Ⅱ档（月用电量231－420度的部分） Ⅲ档（月用电量421度及以上的部分） 高峰时段（8:00-22:00） 0.53元／度 0.58元／度 0.83元／度 低谷时段（8:00-22:00以外时间） 0.30元／度 0.35元／度 0.60元／度 (1)已知小明家3月的电费处于Ⅰ档，若开通峰谷电，则高峰时段电费比未开通峰谷时贵 元／度，低谷时段电费比未开通峰谷时节约 元／度． (2)已知小明家12月份用电500度．若未开通峰谷，需缴交电费多少元？ (3)经测算，小安家6-9月份平均每个月用电度（低谷总用电量占），其它月份平均每个月用电度（低谷用电量占）．则小安家全年能节约 元电费（用含的代数式表示）． 【答案】(1)0.03，0.2 (2)小明家12月份需缴纳283.5元电费 (3) 【分析】本题考查了列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出开通峰谷全年可节省的钱数． （1）根据两种收费方式分别计算即可； （2）利用需缴交电费超过420度的部分，列式计算即可求出结论； （3）观察方式一及方式二数据间的关系，可得出“高峰时段：每度电在各档电价基础上加价0.03元，低谷时段：每度电在各占电价基础上降低0.2元”，利用开通峰谷时多出的全年电费低谷时段全年的用电量高峰时段全年的用电量，可求出开通峰谷时节约的全年电费，由，可得出，进而可得出开通峰谷全年可节省元，由此可得出小安家要开通峰谷． 【详解】（1）解：（元／度）， （元／度）， 即若开通峰谷电，则高峰时段电费比未开通峰谷时贵0.03元／度，低谷时段电费比未开通峰谷时节约0.2元／度， 故答案为：0.03；0.2； （2）解：根据题意得： （元）， ∴若未开通峰谷，需缴交电费283.5元； （3）解： （元）， ∵， ∴， ∴开通峰谷全年可节省元， 故答案为：． 25．（25-26七年级上·天津和平·期中）材料：我国个人所得税起征点为每月元，具体规则如下： 免税条件：月收入低于元的居民个人无需缴纳个人所得税； 计税方式：超出元的部分按超额税率计算应纳税额． 应纳税所得额月工资收入元（起征点）专项扣除金额； 税率参考：具体适用税率见个人所得税税率表． 个人所得税税率表 应纳税所得额 税率 至元的部分 超过元至元的部分 10% 超过元至元的部分 材料：我国个人所得税专项附加扣除项目及金额主要有以下几个部分： 子女教育专项：每个子女受教育阶段可享受元定额扣除； 住房贷款利息专项：首套住房贷款可享受元定额扣除； 赡养老人专项：每个独生子女赡养两位老人可扣除金额元； 其它法定扣除项：如各类保险、公益捐赠等． 请根据以上内容，回答下列问题： (1)小张扣除各项费用后的应纳税所得额为元，请直接写出小张缴纳的税费为________元． (2)小李除有首套住房贷款外，其他不满足专项附加扣除项目，设小李税前月工资收入为元，会因公司效益不同有所变化，其变化范围在元到元之间（包括：元和元，即）． 计算当小李税前月工资收入为元时，他的税后月工资收入为多少元？ 请用含的代数式表示小李缴纳的税费为多少元? (3)小刘与妻子均为独生子女，需共同赡养四位老人（双方父母各两位）并养育一个在读初中的孩子．小刘每月工资收入为元，已申报赡养两位老人：妻子每月工资收入为元，已申报赡养两位老人．子女教育专项附加扣除可选择由小刘或妻子一方申报．请通过计算说明，由谁申报此项扣除能使小刘家庭缴纳的税费较少． 【答案】(1)； (2)小李的税后月工资收入为元；当时，小李缴纳的税费为；当时，； (3)小刘申报子女教育专项扣除使家庭缴纳的税费较少． 【分析】本题考查了有理数运算的应用，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）直接根据乘法运算即可求解； （2）根据题意分别列算式即可求解； 分当时和当时两种情况分别列代数式即可求解； （3）分小刘不申报子女教育专项扣除，小刘申报子女教育专项扣除两种情况求解即可． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为：； （2）解：（元）， （元）， （元）， 答：小李的税后月工资收入为元； 当时，小李缴纳的税费为：（元）； 当时，小李缴纳的税费为：（元）； （3）解：小刘不申报子女教育专项扣除，应缴纳的税费为：（元），（元）， 妻子申报子女教育专项扣除，应缴纳的税费为 ，则妻子无需纳税， 夫妻应缴纳的税费总数为元； 小刘申报子女教育专项扣除，应缴纳的税费为：（元） （元） 妻子不申报子女教育专项扣除，应缴纳的税费为： （元），（元）， 夫妻应缴纳的税费总数为：（元）， ∵， ∴小刘申报子女教育专项扣除使家庭缴纳的税费较少． 题型六：计件问题 26．（25-26七年级上·北京通州·期中）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)这一周最后三天共生产______辆； (2)这一周产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)①若该厂实行“每日计件工资制”，每生产一辆车可得70元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ ②若将①中的“每日计件工资制”改为“每周计件工资制”，其他条件不变，问：这一周该厂是实行“每日计件工资制”工人的工资高，还是实行“每周计件工资制”工人的工资高？请说明理由． 【答案】(1)597 (2)26 (3)①98725元；②实行“每周计件工资制”工人的工资高 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先确定最后三天的增减量，计算每天实际产量再求和； （2）找出产量最多和最少的一天，计算差值即可； （3）①按每日产量计算工资并求和；②计算一周总增减量，按每周产量计算工资并比较． 【详解】（1）解：（辆）， 故这一周最后三天共生产辆； （2）解：这一周产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）； （3）解：①每日计件工资制：（元）； ②每周计件工资制：（元）， ∵， ∴实行“每周计件工资制”工人的工资高． 27．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）小明妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 (1)根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具 个； (2)根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具 个； (3)该厂实行“每周计件工资制”．每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另加奖3元；少生产一个则倒扣2元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？ (4)若将上面第（3）问中“实行每周计件工资制”改为“实行每日计件工资制”，其他条件不变，小明妈妈分别以按照周计件与按照日计件来计算这一周的工资，哪一个更多？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)小明妈妈按日计件的工资更多，理由见解析 【分析】本题考查了正数与负数，有理数加减乘除混合运算，读懂表格数据，根据题意准确列式是解题的关键． （1）根据记录可知，小明妈妈星期三生产玩具让平均生产数量加上减产数量解答即可； （2）先把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可； （3）根据周计划总量和实际生产总量，计算周超额数，再计算总工资； （4）分别计算每日超产的奖励和减产的扣款，再计算按日计件的总工资，并与周计件工资比较． 【详解】（1）解：个； 故答案为：； （2）解：∵ ， ∴(个)， 故答案为：； （3）解： (元)， 故小明妈妈这一周的工资总额是元； （4）解： (元)， ∵， 故小明妈妈按日计件的工资更多． 28．（24-25七年级上·广东韶关·期中）在韶关的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划一周生产竹制品和陶瓷1400件，平均每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷________件； (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ (4)若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下这一周成员的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 【答案】(1)195 (2)1408 (3)84460元 (4) 解：在此方式下“实行每周计件工资制”的工资更多．理由如下： （元）； （件） （元） （元） ∴在此方式下“实行每周计件工资制”的工资更多． 【分析】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． （1）利用有理数的加法即可解答； （2）利用有理数的加法即可解答； （3）根据题意和表格中的数据可以解答本题； （4）根据题意和表格中的数据可以解答本题． 【详解】（1）解：件， 故答案为：； （2）解：件， 故答案为：； （3）解：（元）； （元）； （元）； （元） 答：合作社成员这一周的工资总额是元； （4）略 29．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）电动车厂计划每天平均生产n辆电动车（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正、少于计划产量记为负）： 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 实际生产量 (1)用含n的整式表示本周五天生产电动车的总数； (2)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得200元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖55元；少生产一辆扣60元，当时，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ (3)若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当时，在此方式下这一周工人的工资总额与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 【答案】(1) (2)52250元 (3)每周计件工资制一周工人的工资总额更多，见解析 【分析】此题主要考查了由实际问题列代数式，关键是正确理解题意，掌握每日计件工资制的计算方法． （1）根据正负数的意义分别表示出5天的生产电动车的数量，再求和即可； （2）5天的生产电动车的总数元超出部分的奖励罚款可得工人这一周的工资总额； （3）计算出一周的工资，然后与（2）中数据进行比较即可． 【详解】（1）解：； 答：本周五天生产电动车的总数为； （2）当时，， ； 答：该厂工人这一周的工资总额是52250元． （3）， ， ∵， ∴每周计件工资制一周工人的工资总额更多． 30．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）根据素材，请你探索解决以下任务： 素材1：某加工厂生产某种零件，厂里规定每个工人每周要生产零件560个，平均每天生产80个． 素材2：该厂工人李师傅由于各种原因，每天实际生产数量与计划数量有些变化．下表是李师傅某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 0 （1）【任务1】根据表格数据可知李师傅星期四生产零件______个； （2）【任务2】根据表格数据可知李师傅本周实际生产零件______个； 素材3：该工厂为鼓励工人的积极性作如下规定：每生产一个零件可得工资10元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖8元；少生产一个则倒扣5元．该工厂实行两种工资结算制度：“每周计件工资制”和“每日计件工资制”，即分别按周和按天为单位时间结算工资． （3）【任务3】若李师傅选择“每周计件工资制”结算工资，那么李师傅这一周的工资总额是多少元？ （4）【任务4】精通数学的李师傅最终选择“每日计件工资制”来结算工资，你觉得李师傅的决定正确吗？请说明理由． 【答案】（1）180   （2）567   （3）5726元  （4）正确；理由见解析 【分析】本题主要考查正负数的意义，有理数的混合运算与实际问题的运用，理解正负数表示的意义，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）[任务1]根据正负数表示的意义，周四为0，由此即可求解； （2）[任务2]根据有理数的加减运算，7的平均量的和加上每天超额完成的量再减去每天不足的量即可求解； （3）[任务3]由（2）可知一周实际生产的量，根据题意，运用有理数的混合运算即可求解； （4）[任务4]实际生产量的费用加上超额完成的费用减去不足时的量的费用即可求解． 【详解】解：（1）[任务1]已知平均每天生产80个，超产记为正、减产记为负， ∴根据表格信息可得，李师傅周四生产零件80个， 故答案为：80； （2）[任务2]根据题意，（个）， 故答案为：567； （3）[任务3]由（2）可知，本题实际生产了567个零件， ∴按周结算工资：元； （4）[任务4]李师傅的决定正确．   理由如下：按“每日计件工资制”结算工资为： 元   ∴， ∴李师傅的决定正确． 题型七：算24点应用 31．（25-26七年级上·全国·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【分析】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 32．（25-26七年级上·河南新乡·期中）小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，并完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，如何抽取？最大值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，请直接写出运算的式子．（写出一种即可） 【答案】(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，抽取2和，最小值是 (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，抽取和，最大值是20 (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）取最大的整数和最小的负数相乘即可； （2）只有，且的绝对值最大，则为被除数，为除数； （3）根据有理数的运算法则作答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，抽取2和，最小值是； （2）解：由题意可得，从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，抽取和， 最大值是； （3）解：（答案不唯一）． 33．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）数学游戏题 (1)如图是一个三阶幻方，有9个数字构成，并且每横行，竖行和对角线上的3个数字的和都相等，试填出空格中的数． 14 9 16 (2)有一种“二十四点”的游戏（即算24游戏），其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24．例如对1，2，3，4，可作如下运算：（上述运算与视为相同方法的运算），在我们学过负数以后这个游戏仍可以玩，如，，4，5可以列出算式；现给出3，，6，四个数，请你写出一个算式使其结果为24． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数加减乘除四则运算． （1）根据题意每横行，竖行和对角线上的3个数字的和都相等，填写表格即可； （2）根据“二十四点”的游戏规则，利用加减乘除四则运算将连接，使其结果为即可． 【详解】（1）解：如表格： 14 9 16 ∴，解得， ∴，即，解得， ∴，即，解得， ∴，即，解得， ∴，即，解得， 表格如下： 14 9 16 （2）解：根据题意，得（答案不唯一）． 34．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个数，将这四个数进行加减乘除四则运算，使其结果等于24． 例如对于1，2，3，4，可作如下运算：，  但是视为相同方法的运算． 以上四个数字也可以这么算：，但是视为相同方法的运算． 现有四个有理数：2，2，，，运用上述规则写出两种不同方法的算式，可以使用括号，使其运算的结果等于24 （注意：每一个数都必须使用，且每一个数只能使用一次） 列出算式并写出完整的计算过程： 【答案】详见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 根据题意，可以写出符合要求的式子，即可． 【详解】解：根据“二十四点”游戏规则得： 方法一：算式： 计算过程： ； 方法二 算式： 计算过程： ． 35．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）“算24”的扑克牌游戏曾经风靡许多国家，深受青少年朋友的喜爱．这种游戏将两张王牌去掉，规定扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1．从扑克牌中按要求抽取若干张牌，将牌面所表示的数进行有理数的加、减、乘、除运算（每张牌用且只用一次），算得“24”即可． 【问题情境】 假设已抽取如下的牌，能不能根据牌面所表示的数算“24”呢？如果能，怎么算？ 可列算式：． 根据上图中4张牌，还可以列出不同的算式 ． 【思考探究】 （1）用两张牌算“24”：①；②；③；④用三张牌算“24”：可以将其中两张牌整合，转化为（1）中情况来思考，例如：抽到的牌为2、3、4，可以列式为，转化为（1）中的①．问题：抽到的牌为2、3、4，还可以转化为（1）中的③，即列式为 ． （2）用四张牌算“24”：可以一三分组，也可以两两分组，例如：抽到的牌为8、9、12、13，我们可以一三分组，列式为，转化为（1）中的①；请你用8、9、12、13四张牌进行有理数的加、减、乘、除运算再列一个算式，使得算式结果为24． （3）用五张牌算“24”：请你考虑这九个数字中，若恰巧五张牌的数字都相同（五个1，五个2，…五个9），会有哪些情况可以算出“24”． 【答案】问题情境：；思考探究：（1）；（2）；（3）5个数字2，5个数字3，5个数字4，5个数字5，5个数字6和5个数字8可以算出24点． 【详解】解：问题情境：， 故答案为：； 思考探究：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）5个1不能算出24点； ，则5个2可以算出24点； ，则5个3可以算出24点； ，则5个4可以算出24点； ，则5个5可以算出24点； ，则5个6 可以算出24点； 5个7不可以算出24点， ，则5个8可以算出24点； 5个9不可以算出24点； 综上所述，5个数字2，5个数字3，5个数字4，5个数字5，5个数字6和5个数字8可以算出24点． 题型八：数轴中的实际应用题 36．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图将一个滑块放在数轴上，数轴的1个单位长度为，滑块的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将滑块沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为18；若将滑块沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得到滑块长为_____ ． (2)在（1）的条件下，图中点所表示的数是_____，点所表示的数是_____． (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助子涵解决下面的问题： 一天，子涵跟数学老师聊天，老师聊起说：“我若是你现在这么大，你还要28年才出生；你若是我现在这么大，我都86岁，已经退休了，哈哈！”，请求出老师现在多少岁了？ 【答案】(1)5； (2)8，13； (3)数学老师现在48岁． 【分析】本题考查数轴的实际应用，熟练掌握数轴与有理数的关系以及灵活运用数轴解决问题是解题的关键．利用数轴的线性特征，将抽象的数量关系（如滑块长度、年龄差）转化为直观的数轴上的距离问题，通过分析移动前后的位置变化找到等量关系，从而实现求解． （1）观察数轴移动情况：滑块向右移动时左端到，右端对应；向左移动时右端到，左端对应，此时的距离恰好是个滑块的长度，以此进行求解即可； （2）已知滑块长，向左移动时左端对应，说明点在右侧一个滑块长度处，点在点右侧一个滑块长度处； （3）年龄差相当于“滑块长度”，此时的距离是个年龄差（类似滑块移动的逻辑），所以年龄差为． 【详解】（1）解：由数轴观察知，三个滑块长是（）， 则滑块长为：（）． 故答案为：5； （2）∵滑块长为5，将滑块沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为3， ∴A点所表示的数是； ∵将滑块沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为18， ∴B点表示的数是； 故答案为：8，13； （3）借助数轴，把子涵和数学老师的年龄差看做滑块， 类似数学老师若是子涵现在这么大看做当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为， 子涵若是数学老师现在这么大看做当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为86， ∴可知数学老师比子涵大（岁）， 可知数学老师的年龄为（岁）． 故数学老师现在48岁． 37．（25-26七年级上·北京·期中）某超市零食区同一排货架上放有薯片、巧克力、饼干、果冻等零食，其中薯片位于货架正中间左侧3米处，巧克力在薯片右侧5米处，饼干的位置到货架正中间的距离与巧克力到货架正中间的距离相等，且饼干在货架左侧．小明去超市买东西，他发现如果将这排货架按“左负右正”标注位置（单位：米），货架正中间作为原点0，那么这些零食的位置就可以在数轴上表示出来．若薯片、巧克力、饼干、果冻分别用点A，B，C，D表示，请回答下列问题： (1)请你帮小明画出数轴，并在数轴上分别标出A，B，C 的位置及其对应的数； (2)如果果冻与饼干距离6米，那么果冻与巧克力距离 米； (3)如果小明从0点出发，先后拿了饼干、薯片、巧克力，且他每走1米需要2 秒，他完成取货全程步行共耗时 秒 ． 【答案】(1) 根据题意可得，数轴如下： 则点对应，点对应，点对应； (2)2或10 (3)16 【分析】本题考查了用数轴表示有理数以及数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解题意，画出数轴，正确表示出位置． （1）根据题意，确定出原点（点）的位置，再确定出薯片（点）的位置，根据巧克力（点）在薯片（点）右侧5米确定巧克力（点）的位置，根据饼干（点）的位置到货架正中间的距离与巧克力（点）到货架正中间的距离相等确定出饼干的位置； （2）分两种情况，果冻（点）在饼干（点）的左侧和果冻（点）在饼干的右侧，分别求解即可； （3）求得小明走过的路程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：果冻与饼干距离6米， 当果冻（点）在饼干的左侧，且与饼干距离6米时，则点表示的数为， 果冻与巧克力的距离为（米）； 当果冻（点）在饼干的右侧，且与饼干距离6米时，则点表示的数为， 果冻与巧克力的距离为（米）； 故答案为：2或10； （3）解：小明从0点到饼干走了米， 从饼干到薯片走了米， 从薯片到巧克力走了米， 则小明总共走了米， ， 则他完成取货全程步行共耗时秒， 故答案为：． 38．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）AI物流机器人的路径优化 【背景材料】 某智慧物流园区里，一台AI物流机器人正在执行任务：要把A仓货物和B仓特殊物品运往C配送站．它的出发点和终点都是中央调度站（记作原点O），园区规定：向东方向为正方向，机器人的行动指令序列如下： 指令1：从O点出发，向西行驶到达A仓装载货物． 指令2：从A仓继续向西行驶2到达B仓装载特殊物品． 指令3：从B仓向东行驶9，到达C配送站卸货． 指令4：从C配送站返回中央调度站O． 作为园区的路径优化分析师，请你完成以下任务： 【任务】 (1)路径建模 以中央调度站（O）为原点，用表示1，画一条数轴，并在数轴上标出A仓、B仓和C配送站的位置． (2)数据分析 ①C配送站距离A仓有多远？请写出计算过程． ②这台AI机器人为完成此次任务，一共行驶了多少千米？ (3)批判性思考 工程师复盘任务数据时发现，当前的指令序列导致机器人重复经过了某些路段，这部分重复行驶的里程被视为“无效行驶”． ①请找出原指令序列中，机器人重复经过的路段，并计算无效行驶的总路程． ②在不改变“必须依次前往A、B、C三地”的前提下，能否通过调整优化指令来避免这些无效行驶？请简要说明你的结论和理由． (4)管理决策与系统优化 根据（3）问的分析结果，请你从整体调度策略（而非仅优化单次行驶指令）的角度，为物流园区的管理者提出一条能够从根本上减少或避免无效行驶的管理建议．（提示：可以考虑如何改变AI机器人的部署位置或任务分配模式．） 【答案】(1)见解析 (2)①C配送站距离A仓有，过程见解析；②机器人一共行驶了； (3)①重复路段为：从到0的路段和从4到0的路段；无效行驶总路程为；②不能，理由见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了利用数轴解决实际问题，两点之间的距离公式． （1）根据题意画出数轴即可； （2）①利用两点之间的距离公式求解即可；②利用两点之间的距离公式求解即可； （3）①利用两点之间的距离公式计算无效行驶路程即可；②根据题意解答即可； （4）此题为开放性试题，学生答出以下任一要点或其它合理建议均可得分，关键点在于“避免必须返回原点O”或“避免单一机器人长途奔波”． 【详解】（1）解：如图所示， A点对应，B点对应，C点对应； （2）解：① 答：C配送站距离A仓有； ② 答：机器人一共行驶了； （3）解：①无效行驶路程计算： 在B到C段（从向东行驶至4），其中从到0的路段已被之前O到B段（0到）覆盖，因此为无效行驶； 在C到O段（从4向西行驶至0），其中从4到0的路段已被之前B到C段（0到4）覆盖，因此为无效行驶． 无效行驶总路程：； ②不能，理由： 在不改变“必须依次前往A、B、C三地”的前提下，路径是固定的，无法避免重复行驶．因为从B（）到C（4）必须经过原点O，导致与之前路径重复．因此，当前指令序列已是最优，无法进一步优化以减少无效行驶．优化只能通过改变访问顺序实现，但题目约束了顺序，故无法优化； （4）解：建议一（分布式部署）： “可以在A仓、B仓和C配送站都常驻专用的AI机器人．这样，货物和指令可以在各站点之间通过机器人接力或信息流转的方式完成，无需让一个机器人在整个园区内长途折返运行，从而从根本上消除了无效行驶．” 优化理由：将“长距离串行任务”拆解为“短距离并行协作”，极大减少了空驶和折返． 建议二（任务链优化）： “调度系统不应总是命令机器人从O点出发并返回．例如，可以命令一个机器人从A仓取货后直接前往B仓，再前往C站，之后它就可以在C站等待新的指令，而不是空车返回O点．这样，任务的起点和终点变得灵活，显著降低了无效的空驶里程．” 优化理由：打破了“从中心出发，必须返回中心”的固定模式，使机器人的调度形成一个高效的“任务链”，减少了空载回程． 39．（25-26七年级上·全国·阶段检测）某饭店的外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向东走了到达小红家，继续向东走了到达小明家，然后又向西走了到达小刚家，最后回到饭店． (1)请以饭店为原点，以向东的方向为正方向，一个单位长度表示，画出数轴，并在数轴上用点分别表示出饭店、小红家、小明家、小刚家的位置． (2)小刚家距小红家有多远？ (3)若小红和小刚两个人同时分别从自己家出发，小红以的速度步行到小明家，小刚以的速度骑自行车到小明家，则两个人能否同时到达小明家？若不能同时到达，则谁先到达？ 【答案】(1)详见解析 (2) (3)两个人不能同时到达小明家，小刚先到达小明家 【分析】（1）根据题意可以画出相应的数轴； （2）根据题意和（1）中的数轴，可以得到小刚家距小红家多远； （3）根据题意，可以分别计算出小红和小刚到达小明家的时间，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：数轴如图所示， （2）解：由（1）可知，点A表示的数为2，点C表示的数为-2， 2-（-2）=2+2=4， 即小刚家距小红家4千米； （3）解：由题意可得， 小红步行到小明家的时间为：（小时）， 小刚到小明家的时间为：（小时）， ， 两个人不能同时到达小明家，小刚先到达小明家． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、数轴、正数和负数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 40．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）七年级数学兴趣小组开展数学微项目学习，他们决定研究南宁地铁的运行． 素材一 如图是南宁地铁号线的线路图，为了研究方便，地铁运行过程中速度看成匀速，每相邻两站的间距都可近似看成相等．且相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒． 素材二 小安用数轴上的动点来表示地铁的运行，他以火车东站为原点建立了如图所示的数轴．其中数字表示佛子岭站，数字代表百花岭站．以此类推，动点每运动到一个整点时．都需要暂停秒，代表地铁到达停靠． 问题解决 探究 （）如图，数字表示________站 探究 （）如图，若小瑞从火车东站出发往南湖方向，出发时间为分钟，当分钟时，此时小瑞离火车东站距离多远？ （）若从原点出发，运动分钟到数字和数字之间（不含数字和数字），求点在数轴上表示的数（用含的代数式表示）． 探究 （）若小瑞在百花岭站上车，坐地铁往南湖方向，同时小安在万象城站上车，往南宁东站方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从百花岭站和万象城站出发，出发多久后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 【答案】（）凤岭；（）个单位长度；（）；（）分钟或分钟 【分析】（）根据题意解答即可求解； （）根据题意求出火车运行的时间分，进而根据路程速度时间解答即可求解； （）求出点运动到数字（含停靠）的时间，根据数轴上两点间距离公式解答即可求解； （）分相遇前相距个单位长度和相遇后相距个单位长度，分别列式解答即可求解； 本题考查了数轴上的动点问题，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】解：（）由题意可得，数字表示凤岭站， 故答案为：凤岭； （）∵相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒， ∴当时，火车运行的时间为分钟， ∴此时小瑞离火车东站距离为个单位长度； （）当点运动到数字时（含停靠时间），用时分钟， ∴此时点在数轴上表示的数为； （）①相遇前相距个单位长度时，出发时间分钟； ②相遇后相距个单位长度，出发时间分钟； 答：出发分钟或分钟后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 题型九：含绝对值的实际应用题 41．（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端与点重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为_______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请直接写出爷爷和小红现在多少岁． 【答案】(1)7，28 (2)①7；②14，21 (3)65，13 【分析】本题考查非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题： （1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）根据木棒的移动可得，再结合（1）中结论求解； （3）把小红与爷爷的年龄差看作木棒，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 解得． 故答案为：7，28． （2）解：①由题知，， 又因为点表示的数是7，点表示的数为28，且， 所以， 即木棒的长度为． 故答案为：7； ②因为， 所以点表示的数是14； 因为， 所以点表示的数是21； 故答案为：14，21． （3）解：根据题意，建立数轴如图所示， 小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点， 则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点， 所以， 又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了”， 所以， 且，， 所以爷爷现在的年龄是65岁，小红现在的年龄是13岁． 42．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 我们规定：点，在数轴上分别表示数，，则，两点的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____； （2）已知数轴上的点表示，点与点之间的距离是，则数轴上点所表示的数是______； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用新定义求式子的最小值，并求此时的值；（简单说理） 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区分别是兴园小区，梦园小区，竹园小区，名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少？（不用说理） 【答案】 （1），，；（2）或；（3）最小值为，；（4）应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是解题的关键． （1）利用两点距离公式计算即可； （2）利用两点距离公式计算即可； （3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到的距离和，根据数轴即可求解； （4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得. 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为， 和的两点的距离可表示为， 故答案为，，； （2）到表示的点的距离为6的点所表示的数分别为和， 所以数轴上点所表示的数为或， 故答案为或； （3）根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米． 43．（25-26七年级上·全国·单元复习）在活动课上，名同学用橡皮泥各做了个乒乓球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表所示： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 (1)哪些同学做的乒乓球是符合要求的？ (2)在符合要求的乒乓球中，哪名同学做的质量最好？这名同学中，哪名同学做的质量最差？ (3)请你对这名同学按照做的乒乓球质量从最好到最差排名； (4)请你用学过的绝对值知识来说明解答以上问题的依据． 【答案】(1)张兵和蔡伟做的乒乓球是符合要求的 (2)蔡伟做的乒乓球质量最好，李明做的乒乓球质量最差 (3)按照做的乒乓球质量从最好到最差的排名为蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明 (4)这是绝对值在实际生活中的应用，对于误差来说，绝对值越小越好 【分析】本题考查绝对值的应用、正负数的应用，理解绝对值的意义是解答的关键． （1）求出每个数据的绝对值，再与0.02比较大小即可得出结论； （2）比较绝对值的大小即可得出结论； （3）比较绝对值的大小即可得出结论； （4）根据绝对值的性质可得结论． 【详解】（1）解：，，，，，． 因为，， 所以张兵和蔡伟做的乒乓球是符合要求的． （2）解：绝对值越小，质量越好． 因为， 所以蔡伟做的乒乓球质量最好，李明做的乒乓球质量最差． （3）解：因为， 所以这6名同学按照做的乒乓球质量从最好到最差的排名为蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明． （4）解：这是绝对值在实际生活中的应用，对于误差来说，绝对值越小越好． 44．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】 （1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】 （1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】 如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 【答案】[简单应用] （1） ；（2）；（3）或；[关联应用] （1）；（2）；[实际应用] 【分析】本题主要考查了数轴上的距离计算、绝对值的应用，熟练掌握点到线段距离的定义以及绝对值的性质是解题的关键． [简单应用] （1）根据两点之间的距离公式即可解答； （2）利用题中定义即可解答； （3）分类讨论，即点在左边或点在右边 [关联应用] （1）根据两点之间距离公式即可解答； （2）求出每个因式的最小值，即可得到的取值范围，求得最大值即可； [实际应用]由题意可得得落在间才会得到距离之和，再计算即可． 【详解】[简单应用] （1）解：数轴上表示2和5的两点距离为； （2）利用题中定义可得点与线段的距离为； （3）当点在左边时， ，解得； 当点在右边时， ，解得， 综上，或； 故答案为：；；或； [关联应用]（1）解： 表示到的距离加上到的距离， 当时，到的距离加上到的距离最小，最小值为， 故的最小值为， 故答案为：； （2）根据（1）可得在时，取最小值为， 在时，取最小值为， 在时，取最小值为， ， ，，， ，，， 的最大值为； [实际应用] 解：设点为原点，则可得，，，表示的数分别为， 由题意可得在之间时，距离最小， 设表示的数为，则表示的数为， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为： ， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为： ， 则6个机器人到物料区的距离之和为， 即， 在时，取最小值， 在时，取最小值， 的最小值为， 综上，距离之和最小值为． 45．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离，若点表示的有理数为，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为___________；当取最小值时，可取的全部整数值有___________． (2)当的值最小时，的取值为___________，最小值是___________． (3)一条笔直的公路边有三个居民小区A、B、C和一个市民广场O，居民小区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，左侧1千米，右侧4千米．现要在该公路上建一个居民生活服务站点P，满足三个小区的居民购物需求，站点P有一辆货车负责向三个小区的居民免费运送所购生活物资．站点P每天向A小区，B小区，C小区运送购买物资各2次．物资运送车每往返1千米路程共需花费10元，每次只运送一个小区的物资．为了全天运送购买物资的总运费最少，请你思考站点P建在何处才能使一天的总运送费用最少？最少费用是多少？写出你的解答过程． 【答案】(1)或3；或或0或1或2 (2)，6 (3)站点P建在B处，才能使总运送费用最少，最少费用是360元． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． （1）表示数轴上x与有理数的点之间的距离等于5的点，结合数轴找到点即可；表示数轴上x到与x到2的距离之和最小，x应该在与2之间的线段上，找到满足条件的点即可； （2）表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和，当时，距离之和最小，化简即可； （3）以市民广场O为原点，原点右侧为正方向，1千米为单位长度，建立数轴，设居民生活服务站点P所对应的数为x，根据绝对值几何意义分析判断取得最小值时的情况即可． 【详解】（1）解：表示数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离等于5，由数轴可知为：或3； 当取最小值时， 表示数轴上x到与x到2的距离之和最小，x应该在与2之间的线段上， 所以x可以取整数或或0或1或2； 故答案为：或或0或1或2； （2）解：表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和， 所以表示x的点应该在与2之间的线段上，且当时，x到、x到与x到2的距离之和最小， 最小值为到2的距离6； 故答案为：，6； （3）解：以市民广场O为原点，原点右侧为正方向，1千米为单位长度，建立数轴，设居民生活服务站点P所对应的数为x， ∴物资的往返总运送费用为：元，如图， ∵表示x到的距离、x到4的距离、x到的距离的总和， ∴当时，取得最小值， ∴（元）． ∴站点P建B处，才能使总运送费用最少，最少费用是360元． 题型十：有理数混合运算的实际应用 46．（25-26七年级上·吉林·期末）根据以下素材完成任务： 如何制定奶茶订购方案 素材1：为庆祝七年(1)班获得运动会团体总分优胜奖，班主任李老师决定在某奶茶店订购单价为15元的奶茶共46杯奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，赠送1杯． 免费 某外卖下单 满20元起送（配送费另算），如有优惠券结算时可使用，每个订单只允许使用一张优惠券． 1元/单 注：下单后，每个订单结算时系统自动加收配送费． 素材2：该外卖平台赠送李老师6张优惠券（无门店限制）如下： ①1张“无门槛5元”优惠券；②2张“满28元可减13元”优惠券；③3张“满38元可减15元”优惠券． 问题1： ①李老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，共需花费 元； ②某顾客通过外卖下单： 若一单购买6杯奶茶，使用“满28元可减13元”优惠券则需花费 元；使用“满38元可减15元”优惠券则需花费 元．若一单购买杯奶茶，使用“无门槛5元”优惠券需花费 元； ③李老师在外卖分六次下单这46杯奶茶，并将6张优惠券全部使用，则她共花费了 元． 问题2：请帮助李老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过580元．确定订购的最低费用方式与数量：电话订购 杯，送 杯；外卖订购 杯．该方案订购总费用为 元． 问题3：若你现在打算共下四单外卖订购杯奶茶，则最低花费 元． 【答案】问题1：①630；②78；76；；③620； 问题2：30；3；13；579； 问题3：当时为98；当时为 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式的运用，理解数量关系是关键． 问题1：①根据表格信息，确定赠送的杯数，再计算花费即可； ②根据外卖下单的计算方法，结合优惠券的使用情况即可求解； ③根据情况分别确定六次下单的数量，结合费用的计算即可求解； 问题2：根据电话订购与外卖订单的情况，合理分配购买数量即可求解； 问题3：根据题意，分类讨论，分别确定总费用，再确定优惠费用即可求解． 【详解】解：问题1：①电话订购，每购买10杯奶茶，赠送1杯， ∴李老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶中，购买40杯时，赠送了4杯，还需要购买2杯即可， ∴李老师需要花费：（元）， 故答案为：630； ②某顾客通过外卖下单，购买6杯奶茶，需要花费（元）， ∵每个订单结算时系统自动加收配送费， ∴需要花费（元）， 若使用“满28元可减13元”优惠券，则需要花费（元）； 若使用“满38元可减15元”优惠券，则需要花费（元）； 若一单购买杯奶茶，需要花费元，使用“无门槛5元”优惠券需花费（元）； 故答案为：78；76；； ③李老师在外卖分六次下单这46杯奶茶，并将6张优惠券全部使用， ∵，， ∴使用1张“无门槛5元”优惠券时，下单了1次，每次下单1杯，合计1杯， 需要花费：（元）； 使用2张“满28元可减13元”优惠券时，下单了2次，每次下单6杯，合计12杯， 需要花费：（元）； 使用3张“满38元可减15元”优惠券时，下单了3次，每次下单11杯，合计33杯， 需要花费：（元）； ∴共花费（元）， 故答案为：620； 问题2：∵电话订购，每购买10杯奶茶，赠送1杯， ∴结合问题1中的情况，电话订购30杯，送3杯，需要花费（元）， 外卖订购分5次下单杯， 使用2张“满28元可减13元”优惠券时，分2次下单，每次2杯，共4杯，花费（元）， 使用3张“满38元可减15元”优惠券时，分3次下单，每次3杯，共9杯，花费（元）， ∴共花费（元）， 故答案为：579； 问题3：共下四单外卖订购杯奶茶， 当时， 使用2张“满28元可减13元”优惠券时，分2次下单，每次2杯，共4杯，花费（元）， 使用2张“满38元可减15元”优惠券时，分2次下单，每次3杯，共6杯，花费（元）， ∴共花费（元）； 当时，为使花费最少，应使用优惠力度最大的4张优惠券， 即3张“满38元可减15元”的优惠券和1张“满28元可减13元”优惠券， ∴总花费为奶茶费用与4次配送费之和减去4张优惠券的总优惠金额， ∴共花费（元）， 故答案为：当时为98；当时为． 47．（25-26六年级上·上海普陀·期末）综合与实践： 周末小普同学和6名好友租了两辆专车从地一起去地看演出，途中一辆专车在离地还有18千米处发生故障，只得由另一辆专车将大家送达地，但此时距离地的演出开始还剩下50分钟，这时司机提出了如下两种方案： 方案一 先送4人，其余3人原地不动等待专车返回接送 相关数据： 专车行驶的平均速度：60千米/时． 乘客行走的平均速度：5千米/时． 每辆专车限乘5人（含司机）． 方案二 先送4人，其余3人先步行，途中与专车相遇后上车前行 (1)如果按方案一实施，那么他们能否赶上地的演出？并说明理由； (2)通过计算说明方案二能否保证他们在规定的时间到达地的演出现场； (3)小普同学认为方案一和方案二都不是最节省时间的方案，请你帮他设计一个方案并求出从故障地到达地演出现场的最短时间． 【答案】(1) 解：不能赶上， 专车行驶总路程为（千米） 所需时间为（小时）（分钟） ∵， ∴不能赶上； (2)能 (3) 专车先送4人到离故障点千米的点P，此时4人下车步行至B地，专车返回接3人，最后和前面4人同时到达B地； 最短时间为分钟． 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及优化方案设计， （1）方案一中，专车需要行驶的总路程为54公里，所需时间54分钟，大于50分钟，因此不能赶上； （2）方案二中，通过建立方程求解步行距离，计算总时间约为48.46分钟，小于50分钟，因此能赶上； （3）通过优化设计，让专车先送4人到离B地一定距离的点，然后返回接3人，使得4人和3人同时到达B地，计算得最短时间为分钟； 【详解】（1）略 （2）解：设其余3人步行了x千米，由题意得： ， 解得：， 总时间分钟数为， 代入，得（分钟）， ， ∴能保证他们在规定的时间到达地的演出现场； （3）解：设专车先送4人到离故障点s千米的点P（），此时4人下车步行至B地，专车返回接3人， 专车送4人到P点时间为小时，4人步行至B地时间：小时， 4人到达B地时间：小时， 专车返回时，3人已步行距离：千米， 专车与3人相对距离：千米， 相对速度：千米/时， 相遇时间：小时， 相遇点离故障点距离：千米， 专车从相遇点至B地时间：小时， 3人到达B地时间：小时， 令， 解得：， 代入得最短时间：小时分钟， ∴最短时间为分钟． 48．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 素材一：据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.22米，直道长84.39米；跑道的弯道是半圆形，跑道第一圈（最内圈边线）弯道半径为35.0米到38.0米之间． 素材二：某校根据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈（最内圈边线）弯道半径为36.50米的标准跑道（如图1）．按田径竞赛规程规定：第一分道计算线（又称运动员的实跑线）是距离内突沿外沿0.30米计算，其余各条分道计算线是距离里侧分道线外沿0.20米处计算．举例： 第一分道米 第二分道米 第三分道米 第四分道米 (1)如图，小明同学计算的第7分道_______米（结果含）； (2)如图，小明同学在为400米跑的选手划定起跑位置时，第二道选手应在第一道选手的起跑位置基础上向前延伸________米（取3.14，结果取整数）； (3)在一个标准的400米跑道上，甲、乙两人从同一位置同向出发，已知甲每分钟跑100米，乙每分钟跑80米，乙先跑2分钟后甲开始追乙，请求出在跑步过程中从甲起跑到甲、乙第二次相遇前，甲跑多少分钟两人相距10米？ 【答案】(1) (2)7 (3)7.5分钟或8.5分钟或27.5分钟 【分析】本题主要考查列代数式的实际应用． （1）根据前面得出的规律，第分道的长度为米，把代入计算即可； （2）分别计算出第2道和第1道的长度，再做差计算出第2道比第1道长的距离即可； （3）在第二次相遇前相距10米有三种情况，分别就三种情况进行讨论计算即可． 【详解】（1）解：根据前面得出的规律， 第分道的长度为米． 当时， 故答案为：． （2）解：第一分道长度为米， 第二分道长度为米， 第二分道比第一分道多出的距离为： 米， 故答案为：． （3）解：设甲跑分钟两人相距10米， 根据题意甲跑步路程为米，乙跑步路程为米， 第一次相遇前，则，解得； 第一次相遇后，甲超过乙10米，则，解得； 第二次相遇前，甲超过乙米， 则，解得 综上，第二次相遇前相距米的时间为7.5分钟或8.5分钟或27.5分钟． 49．（25-26七年级上·天津·阶段检测）下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)填空：分析表中信息可知，球队胜一场积____________分，负一场积____________分． (2)求队已经比完的场比赛中的胜场数； (3)分析表中信息可知，队已经赛了场，积分，若此次篮球比赛共赛轮（每个球队各有场比赛），队希望最终积分达到分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)2；1 (2)胜了4场 (3)不能，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用． （1）设胜一场积x分，负一场积y分，根据F球队和A球队的比赛情况，列出方程计算即可． （2）设E队已经比完的11场比赛中胜了x场．负场，根据题意，得，解方程即可． （3）设D队在剩下的场，均获胜，得到积分为分，因此D队积分不可能达到分． 【详解】（1）解：设胜一场积x分，负一场积y分， 根据题意，得， 解得； 根据题意，得， 解得：， 则胜一场积2分，负一场积1分， 故答案为：2；1． （2）解：设E队已经比完的11场比赛中胜了x场． ， 解得． 答：E队已经比完的11场比赛中胜了4场； （3）解：设D队在剩下的场，均获胜． 则最终积分为 因此D队积分不可能达到分． 50．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、谷时段用电量、……”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网电力公司官网知道了电力公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择： 计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依次类推，总电费等于各档电费的总和； 计费方式二：“分档+分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和． 表1： 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 0.5 第二档 超过230且不超过420 0.55 第三档 超过420 0.8 表2： 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（8：00—22：00） （每度电在各档电价基础上加价0.05元） 谷时段（22：00—次日8：00） （每度电在各档电价基础上降低0.2元） (1)若小阳同学家选择计费方式一，1月份用电量为350度，求1月份应缴电费； (2)设小阳同学家某月的用电量为x度，，且峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，请用含x的式子表示两种计费方式应缴电费； (3)小阳同学家在2025年某月的电费为267.5元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰时段的用电量是多少? 【答案】(1)181元 (2)计费方式一和计费方式二应缴电费均为 (3)384度 【分析】本题考查了分段函数的应用，一元一次方程的建立与求解，实际问题的数学建模． （1）根据题中的“分档”计算电费规则，即可计算小阳家1月份的电费； （2）由得出和时的“分档”计算电费表达式，再根据峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，列出峰时段和谷时段的用电量表达式，再代入“分档+分时”计算电费规则即可得出结果； （3）先计算当用电量为420度时，计算出计费方式一的电费，由于计算结果为219.5元，小于267.5元，所以用电量度，计算出超出的用电量，再计算出本月的总用电量，由于采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，设峰时段用电量为y度，则谷时段的用电量为度，列出方程求解y值即为结果． 【详解】（1）解：由题意得：（元），    即1月份应缴电费181元． （2）解：∵， 当时，则“分档”计算电费：； 当时，则“分档”计算电费：， ∴“分档”计算电费：， ∵峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，则峰时段用电量是，谷时段用电量是， 当时，则“分档+分时”计算电费：， 当时，则“分档+分时”计算电费：， ∴“分档+分时”计算电费：． （3）解：（元），（元），（元）， ∵， ∴（度）， ∴小阳同学家在这个月的用电量为：（度）， 设峰时段用电量为y度，则谷时段的用电量为度， 由题意得：，             解得：， 即该月峰时段的用电量是384度． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $