专题06 有理数章末易错压轴题型18易错8压轴（高效培优专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数章末易错点与综合应用，通过18类易错题型夯实概念理解，8类压轴题型提升综合解题能力，构建从基础到拔高的递进式训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错题型|18类（如正负数实际应用、数轴三要素）|针对概念辨析与基础运算，覆盖有理数核心知识点|从数的概念（正数负数、有理数分类）到工具应用（数轴、绝对值），再到运算技能（四则运算、简便计算），形成完整知识链| |压轴题型|8类（如数轴动点、绝对值几何意义）|综合动态问题、规律探究及新定义运算，强调分类讨论与模型构建|以数轴和绝对值为核心载体，整合数形结合思想，实现从单一知识点到多维度综合应用的能力跃迁|

专题06 有理数章末易错压轴题型 易错题型一：正数与负数 易错题型二：正负数的实际应用 易错题型三：有理数的概念与分类 易错题型四：数轴的三要素及其表示 易错题型五：数轴上两点之间的距离 易错题型六：利用数轴比较有理数的大小 易错题型七：数轴上的整点覆盖问题 易错题型八：求绝对值 易错题型九：绝对值的非负性 易错题型十：绝对值的化简 易错题型十一：相反数 易错题型十二：有理数的四则运算 易错题型十三：有理数的简便运算 易错题型十四：有理数的实际应用 易错题型十五：有理数的乘方运算 易错题型十六：程序流程图 易错题型十七：算24点 易错题型十八：近似数 压轴题型一：数轴上的动点问题 压轴题型二：数轴上的规律探究 压轴题型三：绝对值的几何意义 压轴题型四：绝对值的化简（分类讨论） 压轴题型五：有理数的规律运算 压轴题型六：有理数的新定义运算 压轴题型七：有理数的实际应用综合 压轴题型八：二进制问题计算 易错题型一：正数与负数 1．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）在数轴上表示数，其中在原点左边的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·湖南长沙·二模）中国是世界上最早使用正负数，并进行负数运算的国家．我国古代数学著作《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数和负数．若微信进账10元记为，那么微信支出6元应记为（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·广东江门·阶段检测）下列各数中：5，，0，，，，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错题型二：正负数的实际应用 4．（2026·广东东莞·二模）我国几个城市某年1月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（     ） 城市 北京 广州 重庆 哈尔滨 平均气温/ A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·福建厦门·期末）市场监管局对某超市的装大米进行抽测，下表记录了其中6款被抽测大米的重量，则编号__________的重量最符合标准． 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 超出标准的重量（千克） 6．（25-26七年级上·山西临汾·期中）已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 易错题型三：有理数的概念与分类 7．（25-26七年级上·山东德州·期中）把下列各数填入相应的集合里． ，，，，0，，，． (1)正数集合：{                          …}； (2)负分数集合：{                …}； (3)非正数集合：{                         …}． 8．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）把下列各数序号填入相应括号内： ①3，②0.25，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧，⑨； 负分数集合：{          ……} 整数集合：{          ……} 非负数集合：{          ……} 9．（25-26七年级上·四川泸州·期中）把下列各数分类，并把序号填写在表示相应集合的大括号里．（只填写序号） ①，②，③9，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（两个6之间8的个数依次增加1），⑨，⑩ (1)正有理数集合：______…； (2)负有理数集合：______…； (3)非负整数集合：______… 易错题型四：数轴的三要素及其表示 10．（25-26七年级上·山东滨州·期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 易错题型五：数轴上两点之间的距离 13．（2026·吉林延边·二模）如图，点、点在一条不完整的数轴上，点在点的左边，且点与点到原点的距离相等，若点表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 15．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）如图，在数轴上（相邻两竖线间的距离为1个单位长度），点，，表示的数分别记为，，． (1)若点，表示的数的绝对值相等，则的值为__________；的值为__________． (2)若，求的值． 易错题型六：利用数轴比较有理数的大小 16．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 17．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）已知，且，你会借助数轴，将a、b、、、0按从小到大的顺序排列吗？ 分析、解题步骤如下： (1)【理解概念】 数轴上表示一个数的点与 的距离叫做这个数的绝对值． (2)【由数到形】 在数轴上先描出表示a、b的点A、B，再描出表示、的点C、D． (3)【由形到数】 借助数轴，可将a、b、、、0按从小到大的顺序排列为 ． 18．（25-26七年级上·湖北荆州·期中）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为1． (1) ________，________． (2)写出大于的所有负整数； (3)在数轴上标出表示，0，，的点，并用“”连接起来． 易错题型七：数轴上的整点覆盖问题 19．（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 20．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（   ） A．2025或2026 B．2024或2025 C．2025 D．2026 21．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ___________． 易错题型八：求绝对值 22．（25-26六年级上·上海金山·期末）如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 23．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）若，，且在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧，则_____． 24．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）若，，且，则的值为（   ） A．10 B．4 C． D．4或 易错题型九：绝对值的非负性 25．（25-26七年级上·全国·期末）成立时，______． 26．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知x，y为有理数，且，则的值为__________． 27．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 易错题型十：绝对值的化简 28．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知有理数a，b同号，则的值为（     ） A．0 B． C．或2 D．0或2 29．（25-26七年级下·重庆·期中）有理数在数轴上的位置如图所示：化简___________． 30．（25-26七年级下·上海宝山·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简：． 易错题型十一：相反数 31．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）如图是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则等于（    ）    A． B．1 C．7 D． 32．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填入适当的数，使折成的正方体相对面上的两个数均互为相反数，则填入正方形A，B，C的三个数依次是（   ） A．3，， B．，，3 C．，，3 D．，3， 33．（25-26七年级上·全国·期中）在数轴上点表示的数为，，两点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离为，那么点表示的数是__________． 易错题型十二：有理数的四则运算 34．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 35．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 36．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）计算． (1) (2) (3) (4) 易错题型十三：有理数的简便运算 37．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）简便运算： (1)． (2)； (3)． 38．（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1)； (2)． 39．（24-25六年级上·山东烟台·期中）用简便方法进行计算： (1)； (2)； (3)． 易错题型十四：有理数的实际应用 40．（2022七年级上·福建宁德·竞赛）某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费10元，超过3千米的部分按每千米2.4元收费． (1)若某人乘坐了千米，则他应支付车费____________元（用含有的代数式表示）； (2)一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送4批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：千米） 第1批 第2批 第3批 第4批 ①送完第4批客人后，王师傅在公司的______边（填“东”或“西”），距离公司______千米的位置； ②在整个过程中，王师傅共收到车费____________元； ③若王师傅的车平均每千米耗油0.1升，则送完第4批客人后再回到出发点，用了多少升油？ 41．（25-26七年级下·四川内江·开学考试）按要求完成下列各题 (1)卡塔尔世界杯的一场比赛前的热身中，一名足球守门员在罚球区里练习折返跑，从球门线出发，向前记为正数，返回记为负数，他的记录如下（单位：米）：，，，，，，． ①上面给出的数据中有一对相反数是：______； ②守门员最后是否回到了球门线的位置？请计算说明； ③守门员全部练习结束后，共跑了多少米？ (2)某中学七年级（）班三位教师决定带领本班名学生利用假期去某地旅游，甲旅行社的收费标准为：教师全价，学生半价；而乙旅行社不管教师还是学生一律六五折优惠，这两家旅行社的全价都是元． ①用含的式子表示三位教师和位学生参加这两家旅行社所需的费用各是多少元？ ②如果时，请你计算选择哪一家旅行社较为合算？ 42．（25-26七年级下·云南玉溪·开学考试）上呼吸道感染常见于秋、冬两季，戴口罩可有效降低呼吸道传染病的传染风险．某口罩加工厂为满足市场需求，计划在本周每日生产600个医用口罩，但是由于各种原因，实际每日生产量与计划生产量相比情况如下表所示（增加的口罩数为正数，减少的口罩数为负数）： 星期 日 一 二 三 四 五 六 增减（单位：个） (1)该口罩加工厂本周产量最多的一日比产量最少的一日多生产多少个口罩？ (2)该加工厂实行计件工资，每生产一个医用口罩，工资为0.3元，则该口罩加工厂本周应支付的工资总额是多少元？ 易错题型十五：有理数的乘方运算 43．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________；（写出结果） (2)________； (3)计算的值． 44．（25-26七年级上·四川南充·期末）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 45．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 易错题型十六：程序流程图 46．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 47．（25-26七年级下·全国·周测）给出如图所示的程序．当输入的值为1时，输出的值为1；当输入的值为时，输出的值为．故当输入的值为0.5时，输出的值为_________． 48．（2025七年级上·全国·专题练习）按下列程序进行计算：第一次输入的数是20，如果结果不大于100，就把结果作为输入的数再进行第二次计算，直到符合要求为止．请把每次计算的结果填在下面的表中． 计算次序 1 2 3 4 … 计算结果 … 易错题型十七：算24点 49．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 50．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是________． 51．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）小哪吒有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大这两张卡片上的数字分别是_________． (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，这两张卡片上的数字分别是_________． (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加活号），使其运算结果为24，写出运算式子：_________．（写出一种即可） 易错题型十八：近似数 52．（25-26七年级上·吉林长春·期中）下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是（） A．近似数精确到百位 B．3.254精确到十分位是3.2 C．近似数6.32万精确到百分位 D．4.701的近似数是4 53．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，溱湖国家湿地公园累计接待游客超万人次．该近似数万精确到______位． 54．（25-26七年级上·四川广元·期中）用四舍五入法对下列各数取近似数 (1)（精确到千分位）； (2)（精确到0.001）； (3)（精确到十位）； (4)亿（精确到万位）； 压轴题型一：数轴上的动点问题 55．（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）如图两点之间相距3个单位长度，两点之间相距7个单位长度，点、在数轴上表示的数分别为．    (1)若以为原点，求． (2)若以为原点，求． (3)现有一动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点停止： ①设点到两点的距离之和为，求的最小值； ②设点到三点的距离之和为，直接写出的最大值与最小值． 56．（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知在数轴上，一动点从原点出发，沿着数轴以每秒个单位长度的速度来回移动，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，……. (1)求出秒钟后动点所在的位置； (2)第次移动后，点在表示数______的位置上，运动时间为______； (3)第次移动后，点运动时间为______，当为奇数时，点在表示数______的位置上；当为偶数时，点在表示数______的位置上； (4)如果在数轴上有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与重合，若能，则第一次与点重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 57．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的突点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的突点，点是的突点． (1)如图，数轴上点，表示的数分别为，，若点是的突点，则点表示的数是______；若点是的突点，则点表示的数是______； (2)如图，为数轴上两点，它们表示的数分别为，10，若点向数轴的负方向以每秒个单位长度运动,，同时点向数轴的正方向以每秒个单位长度运动，假设运动时间为秒，求使得原点是的突点的值；若不存在，请说明理由． 压轴题型二：数轴上的规律探究 58．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A．159 B．-156 C．158 D．1 59．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）点（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；…，依照上述规律，点所表示的数分别为    （        ） A．2018，－2019 B．1009，－1010 C．－2018，2019 D．－1009，1009 60．（25-26七年级下·北京·期中）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，……，依此类推，移动 6 次后该点对应的数是___；至少移动_____次后该点到原点的距离不小于20． 压轴题型三：绝对值的几何意义 61．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）我们知道，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．当______时，的值最小，最小值是______． 62．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；表示和两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么 ； (2)若数轴上表示数的点位于和之间，求的值； (3)当取何值时，的值最小，最小值是 ； 63．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现： 定义：一个数的绝对值就是这个数在数轴上所对应的点到原点的距离． 如：表示在数轴上所对应的点到原点0的距离，于是可以看作，即．那么可看成数轴上表示2和表示1的两点间的距离，即；而，即可看成数轴上表示2和表示的两点间的距离，即． 根据上面的发现，姗姗进行了探索： 将看成数轴上表示x与表示3的两点在数轴上的距离，那么可看成表示x的点与表示的两点在数轴上的距离． 姗姗继续研究发现：表示到表示3和表示的两点距离之和，当取3与之间（包括3和）的某个数时，有最小值，其最小值为表示3与表示的两点在数轴的距离．请你借助数轴，解决下列问题： (1)可看成数轴上表示_______和表示______的两点间的距离； (2)若，求x的值； (3)当的最小值为4时，求最小整数x的值； (4)若的最小值为3，求a的值． 压轴题型四：绝对值的化简（分类讨论） 64．（25-26七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． 65．（25-26七年级上·湖南邵阳·阶段检测）阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（）（）（）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式．综上所述，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解； 66．（25-26七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则________． 压轴题型五：有理数的规律运算 67．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）探究题，，，…… (1)以此规律，第5个式子是________． (2)利用上面发现的规律计算 (3)计算 (4)计算 68．（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 69．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）请观察下列算式，找出规律并填空． ，，，． 则第10个算式是________，第个算式是________． 根据以上规律解读以下两题： （1）求的值； （2）若有理数，满足，试求：的值． 压轴题型六：有理数的新定义运算 70．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 71．（2025·陕西咸阳·二模）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则_________． 72．（25-26七年级上·广东广州·期中）定义：对于任意的有理数、：． (1)探究性质： ①例：_______；_______． ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_______；当时，_______． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是多少？ 压轴题型七：有理数的实际应用综合 73．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）某平台和政府合作推出了“平台政府补贴”优惠政策．为了鼓励消费者购买节能环保产品，这个平台的家电产品政府补贴标准见下表： 能效等级 补贴比例 补充说明 一级能效 产品销售价格的 一级能效产品最高补贴不超过2000元（即超过2000元的，最高只能补贴2000元）；二级能效最高补贴1500元（同前） 二级能效 产品销售价格的 周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴．他购买的电器可能是哪两件？（写出一种情况即可） 74．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由． 75．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）综合与实践：变速自行车中的数学奥秘 【问题背景】 材料一：自行车通常采用链条传动方式，链条连接前，后齿轮、前齿轮与脚踏相连，骑行者每踩动脚踏一周，前齿轮随之转动一周；后齿轮与后轮相连，后齿轮每转动一周，后轮也随之转动一周，并通过后轮的转动驱动自行车前进，车轮转动的圈数等于后齿轮转动的圈数． 材料二：变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上通常设有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合，可以改变骑行效果，实现“省力”或“快速”等不同的骑行方式．图（1）（2）为某型号变速自行车的基本结构，链条所连接的两个齿轮分别称为主动链轮（前齿轮）和从动链轮（后齿轮）． 材料三：传动比指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 在链条传动过程中，由于链条与齿轮啮合，前齿轮转过的齿数始终等于后齿轮转过的齿数．基于这一原理，小明希望通过自主探究，弄清楚变速自行车背后的数学原理，于是展开了以下探究． 【活动探究】 小明仔细观察了自己的变速自行车，有2个前齿轮（齿数分别为48个、36个）和5个后齿轮（齿数分别为12个、14个、16个、18个、20个），前后轮直径均为60厘米．请根据这些信息解答下列问题．（取3）． (1)①前齿轮48齿、后齿轮12齿时，转动脚踏1整圈，后齿轮转动了 圈，此时自行车前行 米； ②小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为 ，后齿轮齿数为 ； (2)小明至少要蹬 圈才能通过一条360米长的桥； (3)小明在了解变速自行车的数学原理后，开始研究工业机器人关节中的复合轮系，该复合轮系用来精准降低转速、增大扭矩．如图（3）是一种简化模型，由齿轮A（30齿）与齿轮B（42齿）啮合；齿轮B与齿轮C（18齿）同轴固定，所以转速相同；齿轮C与齿轮D（60齿）啮合．齿轮A与电机相连，为主动轮（输入端）．出于安全考虑，电机转速不得超过2800圈/分，判断当齿轮D的转速为700圈/分时是否会有安全隐患，如果没有请说明理由；如果有，请写出齿轮D最高的转速． 压轴题型八：二进制问题计算 76．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一．若正整数，其中，或1（），则可用二进制表示为，即，记．例如：，则，． (1)用二进制表示整数11； (2)求的值； (3)判断与的值是否相等，并说明理由． 77．（25-26七年级上·广西钦州·期中）【阅读理解】N进制数与十进制数之间的转换． 将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定： 如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．例如： 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法． 【类比应用】 （1）十进制数改写成二进制数是多少？ （2）类比二进制数的算法，试求八进制数所表示的十进制数； 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“”译成密码． 78．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 阅读下列材料： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的技术系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数． 材料一：最常用的是十进制，例如：中的表示个千，表示个百，表示个十，表示个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除取余法，以此类推，进制就是除取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为．．八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为________，逢________进一． (2)问题解决：十进制对应的二进制数为________，二进制对应的十进制的数为________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：，，，，，，，，，，，．其中代表，代表．请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数为________． (4)拓展应用：如何将一个二进制数转化为七进制数？ 第一步：先将转化为十进制数为________． 第二步：再将所得的十进制数转化为七进制数为________． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 有理数章末易错压轴题型 易错题型一：正数与负数 易错题型二：正负数的实际应用 易错题型三：有理数的概念与分类 易错题型四：数轴的三要素及其表示 易错题型五：数轴上两点之间的距离 易错题型六：利用数轴比较有理数的大小 易错题型七：数轴上的整点覆盖问题 易错题型八：求绝对值 易错题型九：绝对值的非负性 易错题型十：绝对值的化简 易错题型十一：相反数 易错题型十二：有理数的四则运算 易错题型十三：有理数的简便运算 易错题型十四：有理数的实际应用 易错题型十五：有理数的乘方运算 易错题型十六：程序流程图 易错题型十七：算24点 易错题型十八：近似数 压轴题型一：数轴上的动点问题 压轴题型二：数轴上的规律探究 压轴题型三：绝对值的几何意义 压轴题型四：绝对值的化简（分类讨论） 压轴题型五：有理数的规律运算 压轴题型六：有理数的新定义运算 压轴题型七：有理数的实际应用综合 压轴题型八：二进制问题计算 易错题型一：正数与负数 1．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）在数轴上表示数，其中在原点左边的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据数轴的性质，原点左侧的点对应负数，只需找出题目中给出的负数，统计个数即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上的原点左边的点表示的数都是负数， ∴给出的数中，负数有，，，共个， ∴在原点左边的点有个． 2．（2026·湖南长沙·二模）中国是世界上最早使用正负数，并进行负数运算的国家．我国古代数学著作《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数和负数．若微信进账10元记为，那么微信支出6元应记为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正数与负数的意义，解题关键是明确正负数用来表示意义相反的量，根据已知进账的记法即可推出支出的记法． 【详解】微信进账10元记为，进账与支出是意义相反的两个量， 微信支出6元应记为． 3．（25-26九年级下·广东江门·阶段检测）下列各数中：5，，0，，，，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：5，，0，，，中， 负数有：，，，共个． 易错题型二：正负数的实际应用 4．（2026·广东东莞·二模）我国几个城市某年1月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（     ） 城市 北京 广州 重庆 哈尔滨 平均气温/ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，利用有理数比较大小的规则即可找出最低气温； 【详解】解：四个城市的平均气温分别为，，，. ∵ 正数大于一切负数， ∴ 和都大于两个负数，只需比较两个负数的大小. ∵ ，，且， ∴ 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得. ∴ 最低气温是； 5．（25-26七年级上·福建厦门·期末）市场监管局对某超市的装大米进行抽测，下表记录了其中6款被抽测大米的重量，则编号__________的重量最符合标准． 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 超出标准的重量（千克） 【答案】 ⑤ 【分析】本题考查正数和负数的意义，以及绝对值的作用，解题的关键是理解绝对值的意义． 比较各编号超出标准重量的绝对值，绝对值越小表示越接近标准重量． 【详解】解：计算各编号超出标准重量的绝对值：①，②，③，④，⑤，⑥． ∵， ∴绝对值最小为0.01，对应编号⑤． 故答案为⑤． 6．（25-26七年级上·山西临汾·期中）已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 【答案】(1)第4件样品最符合标准 (2)第1件、第2件和第4件属于正品，第3件是次品，第5件是废品 【分析】（1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好，因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小．比较各个数据的绝对值即可得解； （2）每件样品所对应的结果的绝对值，即为该零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，即可确定该零件是正品、次品还是废品． 本题考查了有理数的实际应用，以及绝对值的意义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ， ∴第4件样品的大小最符合要求； （2）解：∵，， ∴第1，2，4件样品是正品； ∵，， ∴第3件样品为次品； ∵， ∴第5件样品为废品． 易错题型三：有理数的概念与分类 7．（25-26七年级上·山东德州·期中）把下列各数填入相应的集合里． ，，，，0，，，． (1)正数集合：{                          …}； (2)负分数集合：{                …}； (3)非正数集合：{                         …}． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先化简所有含绝对值的数，再根据正数、负分数、非正数的定义对各数进行分类即可． 【详解】（1）解： 先对含绝对值的数化简，得 ，，，， ∴正数集合为； （2）解：负分数集合：； （3）解：非正数集合：． 8．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）把下列各数序号填入相应括号内： ①3，②0.25，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧，⑨； 负分数集合：{          ……} 整数集合：{          ……} 非负数集合：{          ……} 【答案】 负分数集合：{④⑨}；整数集合：{①③⑤⑥⑦}；非负数集合：{①②③⑤⑧} 【分析】先将各数化简，再根据负分数、整数、非负数的定义进行分类即可． 【详解】解：先化简各数：，，，其余各数已经是最简形式． ∵负分数是小于0的分数， ∴负分数集合：； ∵整数包含正整数，零，负整数， ∴整数集合：； ∵非负数包含零和正数， ∴非负数集合：． 9．（25-26七年级上·四川泸州·期中）把下列各数分类，并把序号填写在表示相应集合的大括号里．（只填写序号） ①，②，③9，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（两个6之间8的个数依次增加1），⑨，⑩ (1)正有理数集合：______…； (2)负有理数集合：______…； (3)非负整数集合：______… 【答案】(1)②③⑥⑩ (2)①⑤⑨ (3)③④ 【分析】本题考查了有理数的概念和分类，掌握有理数的概念和分类是解题的关键． （1）正有理数包括正整数，正分数，正有限小数，正无限循环小数，据此解答即可求解； （2）负有理数包括负整数，负分数，负有限小数，负无限循环小数，据此解答即可求解； （3）非负整数包括正整数和0，据此解答即可求解． 【详解】（1）解：正有理数包括正整数，正分数，正有限小数，正无限循环小数， 为正有理数． 故答案为：②③⑥⑩． （2）负有理数包括负整数，负分数，负有限小数，负无限循环小数， 为负有理数． 故答案为：①⑤⑨． （3）非负整数包括零和正整数， 是非负整数． 故答案为：③④． 易错题型四：数轴的三要素及其表示 10．（25-26七年级上·山东滨州·期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素及其画法，根据数轴的三要素分别是原点，统一的单位长度，正方向进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、该数轴缺少原点这个要素，故该选项不符合题意； B、该数轴的单位长度不统一，故该选项不符合题意； C、该数轴的和的位置反了，故该选项不符合题意； D、该数轴有原点，统一的单位长度，正方向，故该选项符合题意； 故选：D 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了数轴上的数、比较有理数的大小等知识点，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键． （1）根据数轴直接解答即可； （2）根据单位长度，在数轴上表示点和点=即可； 【详解】（1）解：由数轴可得：点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案为：，； （2）解：如图：点和点即为所求． 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了数轴，理解数轴定义：有原点，正方向和单位长度是解答关键． 先根据数轴的定义补充完整数轴，再将各数表示的数轴上即可． 【详解】解：如图所示． 易错题型五：数轴上两点之间的距离 13．（2026·吉林延边·二模）如图，点、点在一条不完整的数轴上，点在点的左边，且点与点到原点的距离相等，若点表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由于点在点的左边，且点与点到原点的距离相等， 故可知，点与点对应的数互为相反数， ∵表示的数是3， ∴表示的数是． 14．（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 15．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）如图，在数轴上（相邻两竖线间的距离为1个单位长度），点，，表示的数分别记为，，． (1)若点，表示的数的绝对值相等，则的值为__________；的值为__________． (2)若，求的值． 【答案】(1)2； (2)或9 【分析】本题考查了数轴、绝对值的几何意义． （1）根据点B，C表示的数的绝对值相等，可知线段的中点即为数轴原点，据此得出c和a的值； （2）根据，可得，然后分情况得出的值，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵点B，C表示的数的绝对值相等， ∴B，C互为相反数， ∴线段的中点即为数轴原点， 根据数轴可得， 故答案为：2；； （2）解：∵， ∴或， 当时，，， ∴； 当时，，， ∴． 综上，的值为或9． 易错题型六：利用数轴比较有理数的大小 16．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 【答案】(1)2， (2)数轴见解析， 【分析】（1）根据点在数轴上的位置，确定a的值，根据绝对值的意义，确定b的值； （2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3， ∴，； （2）解：，，， 在数轴上表示各数，如图： 用“”连接各数为：． 17．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）已知，且，你会借助数轴，将a、b、、、0按从小到大的顺序排列吗？ 分析、解题步骤如下： (1)【理解概念】 数轴上表示一个数的点与 的距离叫做这个数的绝对值． (2)【由数到形】 在数轴上先描出表示a、b的点A、B，再描出表示、的点C、D． (3)【由形到数】 借助数轴，可将a、b、、、0按从小到大的顺序排列为 ． 【答案】(1)原点 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）根据绝对值的定义可以解答本题； （2）根据题意可以画出相应的数轴； （3）根据（2）中的数轴可以解答本题． 【详解】（1）解：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值； （2）解：如图，点A、B、C、D即为所求； （3）解：由数轴可得，． 18．（25-26七年级上·湖北荆州·期中）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为1． (1) ________，________． (2)写出大于的所有负整数； (3)在数轴上标出表示，0，，的点，并用“”连接起来． 【答案】(1)2， (2)，， (3) 如图， 【分析】（1）根据数a在如图所示的数轴上对应点M，及点M的位置，可确定a，根据b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为1，可确定b； （2）根据“大于的所有负整数”求解即可； （3）先化简，，再将，0，，表示在数轴，再用“”连接起来． 【详解】（1）解：∵点M表示的数是2，数a在如图所示的数轴上对应点M， ∴， ∵b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为1， ∴， 故答案为：2，； （2）大于的所有负整数为，，； （3）∵， ∴， ， 将，0，，表示在数轴上， 所以． 【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，化简多重符号，绝对值的几何意义，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 易错题型七：数轴上的整点覆盖问题 19．（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论和数形结合的思想方法，注意分类讨论不要遗漏是关键． 分线段的端点与整点重合和线段AB的端点与整点不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论． 【详解】解：依题意得：当线段起点在整点时， 则1厘米长的线段盖住2个整点，2017厘米长的线段盖住2018个整点， 当线段起点不在整点时，则1厘米长的线段盖住1个整点，2017厘米长的线段盖住2017个整点． 故选C． 20．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（   ） A．2025或2026 B．2024或2025 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时． 【详解】解：、起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整点包括起点到终点共个； 、起点不在整点： 若线段起点在两个整点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整点从到，共个； 综上，线段盖住的整点个数为或． 故选：A． 21．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ___________． 【答案】2017或2018 【分析】本题主要考查数轴上线段与整点的关系，熟练掌握分情况讨论线段端点与整点的位置关系是解题的关键．分情况讨论线段的端点与整点重合和不重合两种情况，根据线段长度与整点个数的关系求解． 【详解】解：当线段的起点在整点时，盖住的整点个数为个； 当线段的起点不在整点时，盖住的整点个数为个． 故答案为：或． 易错题型八：求绝对值 22．（25-26六年级上·上海金山·期末）如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查与绝对值有关的计算，根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，分别计算的绝对值即可． 【详解】解：， 或； ， 或． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 的值为或． 故选：C． 23．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）若，，且在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧，则_____． 【答案】或 【分析】本题考查了已知绝对值求这个数，根据数轴比较大小． 先根据绝对值求出，，再根据数轴得到，，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧 ∴ 即， ∴或 故答案为：或 24．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）若，，且，则的值为（   ） A．10 B．4 C． D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，理解绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义解题即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， 又 ∵ ， ∴ 和 异号， 当 ，  时，； 当 ，  时，； ∴  的值为 4 或 ． 故选：D． 易错题型九：绝对值的非负性 25．（25-26七年级上·全国·期末）成立时，______． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出的值，然后将它们的值代入中求解即可． 【详解】， ， 解得， ． 26．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知x，y为有理数，且，则的值为__________． 【答案】0 【分析】本题主要考查了绝对值的性质．根据绝对值的非负性可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：0． 27．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【答案】（1）D （2）（3）1（4）1，0 （5） 【分析】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可． （2）根据题意，分类解答即可． （3）根据，解答即可． （4）根据，得到最小值为0，此时解答即可． （5）根据，得到，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想， 故选：D． （2）解：∵， ∴时，； 时，，解得； 故x的值为． （3）解：根据，得，， 解得， 故y的值为1． （4）解：根据，得到时，取得最小值，且最小值为0， 故， 解得； 故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0． （5）解：根据题意，得， 故， 故时，取得最小值， 此时， 解得， 故． 易错题型十：绝对值的化简 28．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知有理数a，b同号，则的值为（     ） A．0 B． C．或2 D．0或2 【答案】D 【分析】已知同号，分均为正和均为负两种情况，根据绝对值的性质化简代数式，计算得到结果即可． 【详解】解：∵有理数同号， ∴分两种情况讨论：①当，时，，，， ∴； ②当，时，，，， ∴； 综上，原式的值为或． 29．（25-26七年级下·重庆·期中）有理数在数轴上的位置如图所示：化简___________． 【答案】 【分析】根据有理数在数轴上的位置得到，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ． 30．（25-26七年级下·上海宝山·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简：． 【答案】 【分析】根据在数轴上的位置得：且，据此判断各绝对值内的正负号化简绝对值，合并同类项即可． 【详解】解：根据在数轴上的位置得：且， ∴，，， ∴ 易错题型十一：相反数 31．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）如图是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则等于（    ）    A． B．1 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 利用正方体及其表面展开图的特点即相反数的定义求出，，，进而代入计算即可． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面a的相对面是，b的相对面是0，c的相对面是4， ∵相对面的两个数都互为相反数， ∴，，， ∴． 故选：D． 32．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填入适当的数，使折成的正方体相对面上的两个数均互为相反数，则填入正方形A，B，C的三个数依次是（   ） A．3，， B．，，3 C．，，3 D．，3， 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，相反数的定义． 根据正方体相对两个面上的文字得到A，B，C对应的数，进而根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：由正方体展开图可知A对应，B对应2，C对应1， ∵使折成的正方体相对面上的两个数均互为相反数， ∴． 故选：A． 33．（25-26七年级上·全国·期中）在数轴上点表示的数为，，两点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离为，那么点表示的数是__________． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离和相反数的定义，掌握分类讨论思想是解题关键． 先由点与点的距离为，求出点表示的数，再根据点与点互为相反数，求出点表示的数． 【详解】解：点表示的数是，点与点之间的距离为， ，解得或， 点和点表示的数互为相反数， 当时，； 当时，． 故答案为：或． 易错题型十二：有理数的四则运算 34．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)9 (2)0 (3) (4)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 35．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 36．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 易错题型十三：有理数的简便运算 37．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）简便运算： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 38．（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把小数化为分数，把分母相同的有理数结合在一起求解即可； （2）把小数化为分数，再逆用分配律求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解： ； 39．（24-25六年级上·山东烟台·期中）用简便方法进行计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 易错题型十四：有理数的实际应用 40．（2022七年级上·福建宁德·竞赛）某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费10元，超过3千米的部分按每千米2.4元收费． (1)若某人乘坐了千米，则他应支付车费____________元（用含有的代数式表示）； (2)一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送4批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：千米） 第1批 第2批 第3批 第4批 ①送完第4批客人后，王师傅在公司的______边（填“东”或“西”），距离公司______千米的位置； ②在整个过程中，王师傅共收到车费____________元； ③若王师傅的车平均每千米耗油0.1升，则送完第4批客人后再回到出发点，用了多少升油？ 【答案】(1) (2)①东，②③升 【分析】（1）已知行驶路程千米，车费分两部分：前3千米固定收费10元，超过3千米的部分千米按每千米2.4元收费，将两部分费用相加并化简，即可得到含的代数式； （2）①规定向东为正、向西为负，将4次行驶路程相加，根据和的正负判断方向，和的绝对值就是距离公司的千米数；②每一批客人的车费按计价标准计算，再把4批客人的车费相加得到总车费；③先计算送4批客人的总行驶路程（取每次路程的绝对值求和），再加上送完客人后返回出发点的路程（即①中结果的绝对值），得到总行驶路程，用总路程乘每千米耗油量，即可求出总耗油量． 【详解】（1）解：元； （2）①∵， ∴王师傅在公司的东边，距离公司千米； ②第1批：∵， ∴车费为10元， 第2批：∵， ∴车费为（元）， 第3批：∵， ∴车费为10元， 第4批：∵， ∴车费为（元）， ∴总车费：（元）； ③∵（千米）， ∴耗油量：（升）． 41．（25-26七年级下·四川内江·开学考试）按要求完成下列各题 (1)卡塔尔世界杯的一场比赛前的热身中，一名足球守门员在罚球区里练习折返跑，从球门线出发，向前记为正数，返回记为负数，他的记录如下（单位：米）：，，，，，，． ①上面给出的数据中有一对相反数是：______； ②守门员最后是否回到了球门线的位置？请计算说明； ③守门员全部练习结束后，共跑了多少米？ (2)某中学七年级（）班三位教师决定带领本班名学生利用假期去某地旅游，甲旅行社的收费标准为：教师全价，学生半价；而乙旅行社不管教师还是学生一律六五折优惠，这两家旅行社的全价都是元． ①用含的式子表示三位教师和位学生参加这两家旅行社所需的费用各是多少元？ ②如果时，请你计算选择哪一家旅行社较为合算？ 【答案】(1)①7与 ②守门员最后回到了球门线的位置； ， 故守门员最后回到了球门线的位置； ③守门员全部练习结束后，他共跑了60米； (2)①参加甲旅行社的总费用为元，参加乙旅行社的总费用为元； ②参加甲旅行社较为合算 【分析】（1）①根据相反数的定义即可得出结果；②将所有记录相加，结合题意判断即可得出结果；③求出所有记录的绝对值的和即可； （2）①根据两个旅行社的收费方式列出代数式即可；②分别求出两个旅行社所花的费用，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：①，，，，，，中有一对相反数是：7与； ②略； ③ ． 答：守门员全部练习结束后，他共跑了60米． （2）解：①参加甲旅行社的总费用为：（元）； 参加乙旅行社的总费用为：（元）； 故参加甲旅行社的总费用为元，参加乙旅行社的总费用为元． ②解：当时，参加甲旅行社的总费用为：（元）， 参加乙旅行社的总费用为：（元）， 元（元）， 故参加甲旅行社较为合算． 42．（25-26七年级下·云南玉溪·开学考试）上呼吸道感染常见于秋、冬两季，戴口罩可有效降低呼吸道传染病的传染风险．某口罩加工厂为满足市场需求，计划在本周每日生产600个医用口罩，但是由于各种原因，实际每日生产量与计划生产量相比情况如下表所示（增加的口罩数为正数，减少的口罩数为负数）： 星期 日 一 二 三 四 五 六 增减（单位：个） (1)该口罩加工厂本周产量最多的一日比产量最少的一日多生产多少个口罩？ (2)该加工厂实行计件工资，每生产一个医用口罩，工资为0.3元，则该口罩加工厂本周应支付的工资总额是多少元？ 【答案】(1)多生产65个口罩 (2)工资总额为1287元 【分析】（1）表格中最大数减去最小数即可； （2）用总数乘以单价即可得出结果． 【详解】（1）解：（个）； 答：该口罩加工厂本周产量最多的一日比产量最少的一日多生产65个口罩． （2）解：（元）； 答：该口罩加工厂本周应支付的工资总额是1287元． 易错题型十五：有理数的乘方运算 43．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________；（写出结果） (2)________； (3)计算的值． 【答案】(1)900 (2) (3)1 【分析】本题考查乘方的定义的规律问题，熟知乘方的定义． （1）根据乘方的定义以及规律求解即可； （2）根据乘方的定义以及规律求解即可； （3）首先根据乘方的定义以及规律得出再根据乘方的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：900； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 44．（25-26七年级上·四川南充·期末）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 【答案】（1）；9；（2）；；（3） 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解除方的定义是解题关键． （1）根据除方的运算法则计算即可； （2）根据除方的运算法则作答即可； （3）根据乘方和除方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；9； （2）解： ； ， 故答案为：； （3） ． 45．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：由（1）的结论可得：． 易错题型十六：程序流程图 46．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的流程图运算，熟练掌握运算法则和分析每一步的输出结果找出规律是解题的关键． 把代入运算，分析每一步的运算结果找出规律即可解答． 【详解】解：第一次输入，则， 第二次输入，则， 第三次输入，则， 第四次输入，， 第五次输入，则， 第六次输入，， ∴在接下来的输入中，奇数输出的结果为，偶数的输出结果为， ∵为奇数， ∴输出的结果为， 故选：A． 47．（25-26七年级下·全国·周测）给出如图所示的程序．当输入的值为1时，输出的值为1；当输入的值为时，输出的值为．故当输入的值为0.5时，输出的值为_________． 【答案】 【分析】根据程序流程，可得出函数关系式。已知两组、的对应值，可将其代入函数式，得到一个关于、的二元一次方程组，解出 、的值后，再将代入求出对应的值． 【详解】解：由题意可列方程组 即解得 当输入的值为时，输出的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和函数关系式的确定，解题关键是将程序流程转化为数学表达式，再利用已知条件建立方程组求解． 48．（2025七年级上·全国·专题练习）按下列程序进行计算：第一次输入的数是20，如果结果不大于100，就把结果作为输入的数再进行第二次计算，直到符合要求为止．请把每次计算的结果填在下面的表中． 计算次序 1 2 3 4 … 计算结果 … 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 根据题中给出的运算程序分别计算即可． 【详解】解：第一次：； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 计算次序 1 2 3 4 … 计算结果 80 320 … 易错题型十七：算24点 49．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 50．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键．利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 51．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）小哪吒有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大这两张卡片上的数字分别是_________． (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，这两张卡片上的数字分别是_________． (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加活号），使其运算结果为24，写出运算式子：_________．（写出一种即可） 【答案】(1)， (2) (3)（答案不唯一） 【分析】（1）依题意，积为正数才有最大值，也就是必须选择同号的两个数相乘，然后取积最大的两个卡片即可． （2）依题意，商为负数才最小值，也就是必须选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值，然后选择商最小的两个卡片即可． （3）利用24点游戏规则判断即可． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵ ∴这两张卡片上的数字分别是，此时积最大； 故答案为：，； （2）解：依题意，商为负数才最小值，选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值． 则有，，, 商最小的是， ∴这两张卡片是， 故答案为：； （3）解：由题意得： ． 故答案为：（答案不唯一）． 易错题型十八：近似数 52．（25-26七年级上·吉林长春·期中）下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是（） A．近似数精确到百位 B．3.254精确到十分位是3.2 C．近似数6.32万精确到百分位 D．4.701的近似数是4 【答案】A 【分析】将科学记数法或带“万”的近似数，还原为数后再判断最后一位所在数位得到精确度，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：对于A：，最后一位有效数字在百位，精确到百位，正确； 对于B：精确到十分位时，看百分位数字为，四舍五入得，错误； 对于C：万，最后一位有效数字在百位，万精确到百位，错误； 对于D：精确到个位，四舍五入的近似数为，错误． 53．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，溱湖国家湿地公园累计接待游客超万人次．该近似数万精确到______位． 【答案】千 【分析】本题考查了近似数．先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再根据近似数精确位数的判断规则，确定末位有效数字所在的数位即可． 【详解】解：．观察可知，数字9位于千位，因此该近似数精确到千位． 故答案为：千． 54．（25-26七年级上·四川广元·期中）用四舍五入法对下列各数取近似数 (1)（精确到千分位）； (2)（精确到0.001）； (3)（精确到十位）； (4)亿（精确到万位）； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据小数点左边第一位为个位，右边第一位为十分位，第二位是百分位，第三位是千分位，第四位是万分位，精确到千分位，只需对万分位上的数字实施四舍五入求解即可； （2）精确到0.001即千分位，解答即可； （3）根据解答即可； （4）根据亿，且，解答即可； 本题考查了精确度的计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． （3）解：根据， 故． （4）解：根据亿，且， 故亿． 压轴题型一：数轴上的动点问题 55．（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）如图两点之间相距3个单位长度，两点之间相距7个单位长度，点、在数轴上表示的数分别为．    (1)若以为原点，求． (2)若以为原点，求． (3)现有一动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点停止： ①设点到两点的距离之和为，求的最小值； ②设点到三点的距离之和为，直接写出的最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)①3；②最大值17，最小值10． 【分析】（1）若以为原点，确定，计算即可； （2）若以为原点，确定，计算即可； （3）①分点在两点之间和点在两点之间两种情况讨论即可； ②分点P在不同的位置进行讨论即可； 【详解】（1）若以为原点，则 ， ； （2）若以为原点，则， ； （3）①当点在两点之间时，为定值，此时； 当点在两点之间时，两点之间的距离大于，即大于3，故的最小值是3； ②当点在点时，； 当点在点时，； 当点在点时，； 当点在两点之间时，； 当点在两点之间时； 故最大值17，最小值10． 【点睛】该题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是进行分类讨论． 56．（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知在数轴上，一动点从原点出发，沿着数轴以每秒个单位长度的速度来回移动，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，……. (1)求出秒钟后动点所在的位置； (2)第次移动后，点在表示数______的位置上，运动时间为______； (3)第次移动后，点运动时间为______，当为奇数时，点在表示数______的位置上；当为偶数时，点在表示数______的位置上； (4)如果在数轴上有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与重合，若能，则第一次与点重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)，， (4)1140秒或1164秒 【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解； （2）根据左减右加列式计算即可得解，根据路程=速度×时间求出路程，进而求得时间； （3）根据（1）（2）的规律，表示出运动的路程，进而分奇数与偶数分类讨论，即可求解； （4）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解． 【详解】（1）解：， 点走过的路程是， 处于：； （2）解：Q处于：； ∴点Q走过的路程是 秒， 故答案为：，． （3）解：第次移动后，点运动时间为， 设，当为奇数时， ∴点在表示数为的位置上； 当为偶数时，点在表示数的位置 故答案为：，，． （4）解：①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则 ， 解得， 动点走过的路程是 ， 时间秒； ②当点原点左边时，设需要第次到达点，则， 解得， 动点走过的路程是 ， 时间秒． 【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．分情况讨论求解，弄清楚跳到点处的次数的计算方法是关键． 57．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的突点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的突点，点是的突点． (1)如图，数轴上点，表示的数分别为，，若点是的突点，则点表示的数是______；若点是的突点，则点表示的数是______； (2)如图，为数轴上两点，它们表示的数分别为，10，若点向数轴的负方向以每秒个单位长度运动,，同时点向数轴的正方向以每秒个单位长度运动，假设运动时间为秒，求使得原点是的突点的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2)使得原点是的突点的值为4 【分析】（1）根据题意设出未知数，利用突点的定义，可写出和，则可列出方程，分别解出方程即可求出； （2）先根据题中点、点的运动方向和运动速度分别写出运动后点、点所表示的数，即可用含有的式子表示出、的长，根据原点是的突点，可得，列出方程，解出即可求出的值． 【详解】（1）解：设点表示的数为， 点是的突点， 点在点、之间且， ， 解得：； 设点表示的数为， 点是的突点， 点在点、之间且， ， 解得：； 综上所述：点表示的数是3，点表示的数是； 故答案为：3，； （2）解：点向数轴的负方向以每秒个单位长度运动，同时点向数轴的正方向以每秒个单位长度运动， 此时点表示的数为，点表示的数为， ，， 原点是的突点， ， ， 解得：， 综上所述：使得原点是的突点的值为4． 【点睛】本题考查了数轴新定义题型，解题关键是：一是理解题中什么叫做突点，二是根据题中给出的突点情况列出方程． 压轴题型二：数轴上的规律探究 58．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A．159 B．-156 C．158 D．1 【答案】A 【分析】根据数轴，按题目叙述的移动方法即可得到点前五次移动后在数轴上表示的数；根据移动的规律即可得移动第158次后到达的点在数轴上表示的数． 【详解】解：设向右为正，向左为负，则 表示的数为+1， 表示的数为+3 表示的数为0 表示的数为-4 表示的数为+1…… 由以上规律可得，每移动四次相当于向左移动4个单位长度．所以当移动156次时，156=39×4相当于向左移动了39次四个单位长度．此时表示的数为．则第157次向右移动157个单位长度，；第158次还是向右，移动了158个单位长度，所以． 故在数轴上表示的数为159． 故选A． 【点睛】本题考查了数轴上点的运动规律，正确理解题意，找出点在数轴上的运动次数与对应点所表示的数的规律是解题的关键． 59．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）点（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；…，依照上述规律，点所表示的数分别为    （        ） A．2018，－2019 B．1009，－1010 C．－2018，2019 D．－1009，1009 【答案】B 【分析】先找到特殊点，根据特殊点的下标与数值的关系找到规律，数较大时，利用规律解答． 【详解】解:根据题意分析可得:点A₁, A₂，A₃， .. An表示的数为-1，1，-2，2,-3，3,... 依照上述规律，可得出结论:点的下标为奇数时，点在原点的左侧，且为下标加1除以2的相反数;点的下标为偶数时，点在原点的右侧且表示的数为点的下标数除以2; 即:当n为奇数时，An= 当n为偶数时，An= 所以点A2018表示的数为: 2018÷2= 1009, A2019表示的数为:- (2019+1) ÷2=-1010 故选: B 【点睛】这是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,然后找到规律． 60．（25-26七年级下·北京·期中）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，……，依此类推，移动 6 次后该点对应的数是___；至少移动_____次后该点到原点的距离不小于20． 【答案】 【分析】根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式就可解决问题． 【详解】解：由题意可得：移动1次后该点对应的数为0+1=1，到原点的距离为1； 移动2次后该点对应的数为1-3=，到原点的距离为2； 移动3次后该点对应的数为-2+6=4，到原点的距离为4； 移动4次后该点对应的数为4-9=，到原点的距离为5； 移动5次后该点对应的数为-5+12=7，到原点的距离为7； 移动6次后该点对应的数为，到原点的距离为8； ∴移动奇数次后该点到原点的距离为：； 移动偶数次后该点到原点的距离为：． ∴当n为奇数时，， 解得：， ∴； 当n为偶数时，， 解得：， ∴； ∴至少移动14次后该点到原点的距离不小于20． 故答案为：，14； 【点睛】本题考查了数轴，以及用正负数可以表示具有相反意义的量，还考查了数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究．对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决这道题的关键． 压轴题型三：绝对值的几何意义 61．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）我们知道，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．当______时，的值最小，最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查数轴与实数，由绝对值的意义，当表示与数，3，6三个数的距离和，当时，到三个数的距离和最小是． 【详解】表示数轴上表示与的距离，与的距离，与的距离，这三个距离的和， 当时，， 故答案为：；． 62．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；表示和两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么 ； (2)若数轴上表示数的点位于和之间，求的值； (3)当取何值时，的值最小，最小值是 ； 【答案】(1)；；或； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查数轴上两点间距离公式以及绝对值的意义． （1）利用绝对值的意义进行计算和求解； （2）根据数的取值范围去绝对值计算； （3）将绝对值的和理解为点到点的距离之和，通过分析确定使值最小的点． 【详解】（1）解：；；，则，解得或； 故答案为；；或； （2）数轴上表示数的点位于和之间， （3）根据表示数到，，三点的距离之和， 则当时，， 故当时，的值最小，最小值为， 故答案为． 63．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现： 定义：一个数的绝对值就是这个数在数轴上所对应的点到原点的距离． 如：表示在数轴上所对应的点到原点0的距离，于是可以看作，即．那么可看成数轴上表示2和表示1的两点间的距离，即；而，即可看成数轴上表示2和表示的两点间的距离，即． 根据上面的发现，姗姗进行了探索： 将看成数轴上表示x与表示3的两点在数轴上的距离，那么可看成表示x的点与表示的两点在数轴上的距离． 姗姗继续研究发现：表示到表示3和表示的两点距离之和，当取3与之间（包括3和）的某个数时，有最小值，其最小值为表示3与表示的两点在数轴的距离．请你借助数轴，解决下列问题： (1)可看成数轴上表示_______和表示______的两点间的距离； (2)若，求x的值； (3)当的最小值为4时，求最小整数x的值； (4)若的最小值为3，求a的值． 【答案】(1)2， (2)x的值为或5 (3)x的最小整数值是 (4)或 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． （1）根据绝对值的几何意义，将绝对值表达式转化为两个数在数轴上对应点间的距离； （2）根据绝对值的几何意义，表示x到2的距离为3，从而求出x的值； （3）根据绝对值的几何意义，表示x到1和的距离之和，当x在和1之间时，距离之和最小，为4，从而求出最小整数x的值； （4）根据绝对值的几何意义，表示x到和的距离之和，当x在和之间时，距离之和最小，为3，从而求出a的值． 【详解】（1）解：可看成数轴上表示2和表示的两点间的距离； 故答案为：2，． （2）解：∵可看成数轴上表示x的点到表示2的点的距离为3， ∴x的值为或5． （3）解：∵表示x到表示1和表示的两点之间的距离之和，且最小值为4， ∴x为数轴上表示1与两点之间（包括1和）的某个点． ∴x的最小整数值是． （4）解：表示数轴上到与到-1两点之间的距离之和， 当介于与-1之间时，的值最小，其最小值为表示与表示-1的两点在数轴上的距离． 的最小值为3， ∴与的距离为3， ∴或， 解得或． 压轴题型四：绝对值的化简（分类讨论） 64．（25-26七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据绝对值的性质化简求值即可； （2）根据有理数的加法和乘法运算法则可得三个数中必定有两个正数，一个负数，可设，，，再根据绝对值的性质化简求值即可； （3）分四种情况，根据绝对值的性质化简求值即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； （2）解：， ，，， 由可知，中有一个负数或三个负数； 若均为负数，则与矛盾， 故中必为两正一负， 分情况讨论： ①，，， ； ②，，， ； ③，，， 综上，的值为； （3）解：①当，，都为正数时，则原式； ②当，，中只有一个负数时， 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； ③当，，中有两个负数时， 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； ④当，，都是负数时，则原式； 综上所述，所求式子的值是． 65．（25-26七年级上·湖南邵阳·阶段检测）阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（）（）（）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式．综上所述，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解； 【答案】(1)和 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，解题关键是“分类讨论思想”． （1）由即可求解． （2）分三种情况讨论当时，当时，当时化简即可． （3）根据（2）中化简结果即可求解． 【详解】（1）解∶ 和 和． （2）当时，； 当时，； 当时，． （3）， ， 整数解为∶． 66．（25-26七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当时，则，当时，则，分类讨论计算即可． 【详解】解：a、b、c是整数， ，是整数， ， 又， 时，则或时，则， 当时， 则， ； 当时， 则， ； 当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：， 故答案为：1． 压轴题型五：有理数的规律运算 67．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）探究题，，，…… (1)以此规律，第5个式子是________． (2)利用上面发现的规律计算 (3)计算 (4)计算 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查有理数的混合运算，规律型：数字的变化类，解题关键在于理解题意找到计算规律． （1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第n个式子即可； （2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果； （3）原式变形后，利用得出的规律化简，计算即可得到结果； （4）原式变形后，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：以此规律，第5个式子是； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 68．（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的裂项相消法，熟练掌握裂项的规律（根据分母的结构确定拆分形式与系数）并利用抵消简化计算是解题的关键． （1）①观察已知式子的拆分规律，推导的拆分形式；②利用①的拆分规律对式子裂项，再通过抵消计算结果； （2）根据已知的拆分方法（提取），对式子裂项后抵消计算； （3）先确定拆分系数，对式子裂项后抵消计算． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 69．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）请观察下列算式，找出规律并填空． ，，，． 则第10个算式是________，第个算式是________． 根据以上规律解读以下两题： （1）求的值； （2）若有理数，满足，试求：的值． 【答案】，；（1）；（2） 【分析】归纳总结得到一般性规律，写出第10个等式及第n个等式即可； （1）原式变形后，计算即可得到结果； （2）利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：第10个算式是， 第n个算式是； （1） = = =； （2）∵， ∴a-2=0，b-4=0， ∴a=2，b=4， ∴ = = = = 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 压轴题型六：有理数的新定义运算 70．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 71．（2025·陕西咸阳·二模）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减混合运算，新定义运算，解题关键是理解新定义运算． 根据表示不超过的最大整数求解，列式计算． 【详解】由题意得：． 72．（25-26七年级上·广东广州·期中）定义：对于任意的有理数、：． (1)探究性质： ①例：_______；_______． ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_______；当时，_______． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是多少？ 【答案】(1)①；；②； (2)①；② 【分析】（）①根据新定义计算即可；②根据新定义再计算几组式子，再根据结果写出规律即可； （）①根据得到的规律计算即可；②由题意可知，要使这个值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，进而根据新定义运算可得这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：，，，，，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是，，，，，据此即可求解； 本题考查了绝对值的性质，有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：①由题意得，； ， 故答案为：；； ②例如： ， 通过以上例子发现，该运算是用来求两个有理数的最大值， 当时，；当时，， 故答案为：；； （2）解：①； ②由题意可知，要使这个值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的， ∴这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：，，，，，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是，，，，， ∴这个值的和的最小值是． 压轴题型七：有理数的实际应用综合 73．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）某平台和政府合作推出了“平台政府补贴”优惠政策．为了鼓励消费者购买节能环保产品，这个平台的家电产品政府补贴标准见下表： 能效等级 补贴比例 补充说明 一级能效 产品销售价格的 一级能效产品最高补贴不超过2000元（即超过2000元的，最高只能补贴2000元）；二级能效最高补贴1500元（同前） 二级能效 产品销售价格的 周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴．他购买的电器可能是哪两件？（写出一种情况即可） 【答案】电冰箱和洗衣机或电视机和空调 【分析】求出购买四种电器所获得的政府补贴，即可求解． 【详解】解：购买一台电冰箱，， 则购买一台电冰箱的政府补贴为2000元， 购买一台电视机的政府补贴为元， 购买一台洗衣机的政府补贴为元， 购买一台空调的政府补贴为元， 因为周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴，， 所以他购买的电器可能是电冰箱和洗衣机或电视机和空调． 74．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由． 【答案】(1)B (2)6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是157万元，理由见解析 【分析】（1）分别计算向各经销商分配台时的总利润，比较即可得答案； （2）分别求出分配给一家时，两家时，三家时，四家时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】（1）解：当向经销商分配台设备时， 即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； ， 为使台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商分配台设备； （2）解：台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是万元，理由如下： 当分配给一家时，总利润的最大值为，万元； 当分配给两家时，总利润的最大值为，万元； 当分配给三家时，有： ，利润为万元； ，利润为万元； ，利润为万元； 此时，总利润的最大值为，万元； 当分配四家时，总利润的最大值为，万元； ， 台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是万元． 75．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）综合与实践：变速自行车中的数学奥秘 【问题背景】 材料一：自行车通常采用链条传动方式，链条连接前，后齿轮、前齿轮与脚踏相连，骑行者每踩动脚踏一周，前齿轮随之转动一周；后齿轮与后轮相连，后齿轮每转动一周，后轮也随之转动一周，并通过后轮的转动驱动自行车前进，车轮转动的圈数等于后齿轮转动的圈数． 材料二：变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上通常设有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合，可以改变骑行效果，实现“省力”或“快速”等不同的骑行方式．图（1）（2）为某型号变速自行车的基本结构，链条所连接的两个齿轮分别称为主动链轮（前齿轮）和从动链轮（后齿轮）． 材料三：传动比指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 在链条传动过程中，由于链条与齿轮啮合，前齿轮转过的齿数始终等于后齿轮转过的齿数．基于这一原理，小明希望通过自主探究，弄清楚变速自行车背后的数学原理，于是展开了以下探究． 【活动探究】 小明仔细观察了自己的变速自行车，有2个前齿轮（齿数分别为48个、36个）和5个后齿轮（齿数分别为12个、14个、16个、18个、20个），前后轮直径均为60厘米．请根据这些信息解答下列问题．（取3）． (1)①前齿轮48齿、后齿轮12齿时，转动脚踏1整圈，后齿轮转动了 圈，此时自行车前行 米； ②小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为 ，后齿轮齿数为 ； (2)小明至少要蹬 圈才能通过一条360米长的桥； (3)小明在了解变速自行车的数学原理后，开始研究工业机器人关节中的复合轮系，该复合轮系用来精准降低转速、增大扭矩．如图（3）是一种简化模型，由齿轮A（30齿）与齿轮B（42齿）啮合；齿轮B与齿轮C（18齿）同轴固定，所以转速相同；齿轮C与齿轮D（60齿）啮合．齿轮A与电机相连，为主动轮（输入端）．出于安全考虑，电机转速不得超过2800圈/分，判断当齿轮D的转速为700圈/分时是否会有安全隐患，如果没有请说明理由；如果有，请写出齿轮D最高的转速． 【答案】(1)①4；；②36；20 (2)50 (3)当齿轮D的转速为700圈/分时会有安全隐患；理由见解析；齿轮D最高的转速为圈/分 【分析】（1）①根据前齿轮48齿、后齿轮12齿，求出结果即可； ②根据传动比越小越省力，即可得出答案； （2）根据传动比最大时，蹬的圈数最少，求出结果即可； （3）求出齿轮D的最高转速，进行判断即可． 【详解】（1）解：①∵前齿轮48齿、后齿轮12齿， ∴转动脚踏1整圈，后齿轮转动了（圈）， ∵前后轮直径均为60厘米， ∴前后轮的周长为（厘米）， ∴此时自行车前行的距离为：（厘米）， 720厘米米； ②∵传动比越小越省力， ∴小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为36，后齿轮齿数为20个； （2）解：∵传动比最大为：， ∴根据解析（1）可得：当传动比为时，转动脚踏1整圈，自行车前行米， ∴小明至少要蹬圈才能通过一条360米长的桥； （3）解：当齿轮D的转速为700圈/分时会有安全隐患，理由如下： ∵齿轮A有30齿与齿轮B有42齿，齿轮A的最大转速为圈/分， ∴齿轮B的转速最大为：（圈/分）， ∵齿轮B与齿轮C同轴固定， ∴齿轮C的最大转速为圈/分， ∵齿轮D有60齿，齿轮C有18齿， ∴当齿轮D的最大转速为：（圈/分）， ∵， ∴当齿轮D的转速为700圈/分时会有安全隐患． 压轴题型八：二进制问题计算 76．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一．若正整数，其中，或1（），则可用二进制表示为，即，记．例如：，则，． (1)用二进制表示整数11； (2)求的值； (3)判断与的值是否相等，并说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)相等． 理由：令， 则 由， 得 ， 由， 得 所以． 【分析】（1）根据题意将整数用二进制表示出来即可； （2）根据题意得出，然后再由求解即可； （3）令，得出，确定，同理化简，即可判断． 【详解】（1）解：由得 （2）， ∴； （3）略 77．（25-26七年级上·广西钦州·期中）【阅读理解】N进制数与十进制数之间的转换． 将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定： 如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．例如： 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法． 【类比应用】 （1）十进制数改写成二进制数是多少？ （2）类比二进制数的算法，试求八进制数所表示的十进制数； 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“”译成密码． 【答案】（1）改写成二进制数是（2）八进制数表示的十进制数为【迁移拓展】密码为 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题中所给十进制数转化为二进制数的方法是解题的关键． （1）根据换算法则将十进制数转换为二进制的数； （2）将八进制的数转换为十进制即，计算即可； （3）将二进制的数转换为十进制求出的值为，再代入计算即可． 【详解】解：（1）， 答：改写成二进制数是； （2）八进制数表示的十进制数为： ； 答：八进制数表示的十进制数为； 【迁移拓展】二进制数转成十进制数为： ， ∵365为奇数， ∴密码为：． 78．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 阅读下列材料： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的技术系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数． 材料一：最常用的是十进制，例如：中的表示个千，表示个百，表示个十，表示个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除取余法，以此类推，进制就是除取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为．．八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为________，逢________进一． (2)问题解决：十进制对应的二进制数为________，二进制对应的十进制的数为________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：，，，，，，，，，，，．其中代表，代表．请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数为________． (4)拓展应用：如何将一个二进制数转化为七进制数？ 第一步：先将转化为十进制数为________． 第二步：再将所得的十进制数转化为七进制数为________． 【答案】(1)，六； (2)，； (3)； (4)，． 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算、不同进制的数之间的转换，解决本题的关键是读懂阅读材料中不同进制数之间的转换原理，利用材料中的解题思路进行解答． 根据：逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几，可知六进制的基数为，逢六进一； 仿照材料二中的思路，运用除取余法，可知把十进制对应的二进制数为，根据材料三中：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：二进制对应的十进制的数为； 根据材料三中：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将十二进制转化为十进制数为； 根据材料三中：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将转化为十进制数为，仿照材料二中的思路，运用除取余法，将所得的十进制数转化为七进制数为． 【详解】（1）解：六进制的基数为，逢六进一， 故答案为：，六； （2）解：运用除取余法，如下图所示， 十进制对应的二进制数为：， 二进制对应的十进制的数为： ， 故答案为：，； （3）解：将十二进制转化为十进制数为： ， 故答案为：； （4）解：先将转化为十进制数为： ， 运用除取余法，如下图所示， 将所得的十进制数转化为七进制数为：． 故答案为：，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $