专题01 有理数简便计算及进位制认识与探索（9题型突破·举一反三）（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数简便计算与进位制，以9题型为框架，构建“方法提炼-典例示范-变式迁移”体系，培养运算能力与抽象思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数简便计算（7题型）|含凑零法等7类，每类1典例+3变式|提炼凑整、裂项相消等技巧，明确步骤与公式|从基础运算技巧到培优压轴方法，层层递进| |进位制（2题型）|含互化及求未知进制，每类2典例+多变式|总结乘权求和、除基取余法，强调进制逻辑|从转化原理到实际运算，培养抽象与推理意识|

专题01 有理数简便计算及进位制认识与探索 （9题型突破·举一反三） 题型01 凑零法（相反数配对） 题型02 凑整法（小数/分数凑整数） 题型03 同号（同分母）归类法 题型04 拆分凑整法（带分数、近整数专用） 题型05 乘法分配律及逆用 题型06 倒数法计算复杂除法 题型07 裂项相消（培优压轴必考） 题型08 k进制与十进制互相转化 题型09 求未知进制k及进制运算 ▌题型01 凑零法（相反数配对） 算式中出现互为相反数的数，优先配对合并，直接消去为0，大幅简化计算。 【典例1】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算：． 【变式1-1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：； 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：； 【变式1-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：； ▌题型02 凑整法（小数/分数凑整数） 小数优先合并尾数互补的数，分数优先合并同分母、分子和为分母的数，凑出整数计算。 【典例2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算：． 【变式2-1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：； 【变式2-2】（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式2-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)． ▌题型03 同号（同分母）归类法 将所有正数、负数分别分组求和，再用正数和减去负数和，避免符号混乱出错。 【典例3-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：； 【典例3-2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【变式3-1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：； 【变式3-2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：； 【变式3-3】（23-24七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． ▌题型04 拆分凑整法（带分数、近整数专用） 适用场景：带分数、接近整十/整百/整千的数 拆分规则：带分数拆分 ，；近整数拆分 ， 【典例4】（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【变式4-1】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）请用拆项法计算：． 【变式4-2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）请用拆项法计算 (1)计算：； (2)计算：． 【变式4-3】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）用拆项法计算 (1)计算：； (2)计算：． ▌题型05 乘法分配律及逆用 基础公式： 逆用公式（最常用）： 拓展公式：；多组逆用： 易错提醒：括号前是负号，展开括号时，括号内所有项必须全部变号。例： 【典例5-1】（25-26七年级上·北京石景山·期末）计算：． 【典例5-2】（25-26七年级上·吉林松原·期中）用简便方法计算：． 【典例5-3】（25-26七年级上·河北保定·期中）阅读以下内容： 利用运算律有时能进行简便计算： 例1：； 例2：． 请你参考以上解法，用运算律进行简便计算． (1)． (2)． 【变式5-1】（25-26七年级上·陕西汉中·期中）用简便方法计算：． 【变式5-2】（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）简便运算． (1)； (2)． 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【变式5-4】（25-26七年级上·山东德州·期中） 利用运算律有时能进行简便计算． 例1 例2    请你参考黑板中老师的两个讲解，用相应的方法简便计算： (1)； (2)． ▌题型06 倒数法计算复杂除法 1. 判题型：确认除数复杂、被除数简单，适配倒数法； 2. 取倒数：调换被除数与除数位置，构造简易算式； 3. 简运算：利用乘法分配律展开计算，约分化简； 4. 倒结果：对算出的结果取倒数，注意保留原式符号。 【典例6】（25-26六年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 【变式6-1】（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【变式6-2】先计算，再阅读材料，解决问题： (1)简便计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 【变式6-3】计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． ▌题型07 裂项相消（培优压轴必考） 基础核心公式： 例题： 解：原式 【典例7-1】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是 ，是第 个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律     【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【典例7-2】（25-26七年级上·贵州六盘水·期中）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢? 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_____，是第_____个数； （2）我们知道：，，，那么： 用含有的式子表示你发现的规律_____． 【方法展示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： ． 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第次倒出的水量是升水的.按照这种倒水方式，这1升水能否倒完?说明理由． 【变式7-1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【变式7-2】（25-26七年级上·贵州六盘水·阶段检测）请你观察： ；；；…… ； ；…… 以上方法称为“裂项相消求和法”．请类比上面的方法，完成下列各题． (1)计算：______． (2)计算： (3)计算： 【变式7-3】（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）请你观察： ， ， ；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)猜想并写出：______； (2)规律应用：计算：； (3)拓展提高：计算：． 【变式7-4】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② ▌题型08 k进制与十进制互相转化 题型1：k进制 → 十进制（乘权求和法） 通用公式： 解题步骤： 1.从数字最右侧开始，依次标注数位次方（从0开始递增）； 2.每一位数字对应乘以基数的对应次方； 3.将所有计算结果相加，即为对应十进制数。 例题1： 转十进制 解：原式 例题2： 转十进制 解：原式 题型2：十进制 → k进制（除基取余法） 解题步骤： 1.十进制数反复除以目标基数k，依次记录余数； 2.持续运算，直至商为0； 3.将所有余数从下往上倒序排列，即为k进制数。 例题：十进制13转二进制 余1， 余0， 余1， 余1 余数倒序排列：1101，即 【典例8-1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）【背景介绍】进制是一种用有限种数字或符号来表示所有数值的计数方法．不同进制在不同的领域各有应用，比如计算机存储数据使用二进制，古巴比伦人使用六十进制进行计时．现实生活中，我们最习惯使用十进制来计数．十进制每个数位上可以使用以下10个数字：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，且满足“逢十进一”的原则．因此十位上一个1表示一个10即，百位上一个1表示1个100即．例如：． 【掌握新知】类似地，六进制中可以使用以下6个数字：0，1，2，3，4，5，且满足“逢六进一”的原则．例如六进制数中的数字4表示4个1，数字0表示0个，数字3表示3个，也就是，即六进制数转化为十进制数就是112． （1）根据以上材料，请填空： （用6的正整数次幂的形式填写）．反之，所以( )6． 【模型抽象】我们知道在十进制中，一个三位数； （2）对于任意一个六进制中的三位数，如果用最高位，表示中间位，代表最低位，记这个三位数为，则______． 【问题解决】我们知道在十进制中，一个三位数若能被9整除，只需要满足其各个数位之和能被9整除．因为，其中能被9整除，所以，只需满足各个数位之和能被9整除即可； （3）类比上述结论，在六进制中，一个三位数为若能被5整除，需要满足什么条件？试写出你的猜想并说明其理由； （4）在六进制中，一个三位数为若能被9整除，试直接写出的最大值______（用十进制表示）． 【典例8-2】（25-26七年级上·山东济宁·阶段检测） 活动目标 认识进位制．理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制．逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数．记作1024： 八进制数．记作： 五进制数，记作： 二进制数．记作： n（．且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为： 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0、逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务 （1）将下列进制数转化为十进制数： ① ；② ； （2）现有三进制数，二进制数，试比较，的大小． （3）十进制数21转二进制数得 ；十进制数120转五进制数得 ． 【变式8-1】（25-26七年级上·重庆江北·期中）进位数是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用n()进制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行记数，特点是逢n进一，我们可以通过以下方式把它转化为十进制： 例如：五进制数，记作， 七进制数，记作． (1)请将以下两个数转化为十进制：______，______． (2)若一个正整数可以用三进制表示为，也可以用五进制表示为，请求出这个数并用十进制表示． 【变式8-2】（25-26七年级上·广东广州·期末）综合与实践 素材1 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统．“逢几进一”就是几进制，也就是说，逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，例如：就是三进制数221的简单写法． 素材2 三进制数可转换为十进制数．例如：（规定当时，，如），可得转换为十进制数是25． 素材3 若一个三进制的四位数从左往右各位上的数字分别为，则这个三进制的四位数可记为，于是． 任务1 （1）将，转换为十进制数，结果是 ． 任务2 （2）已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除． ①写出此时的值，并说明理由； ②若这个三进制数所有数位上的数字之和是5，求这个三进制数对应的十进制数． 【变式8-3】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制进制，就表示某一位置上的数运算时是逢进一位．十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，进制就是逢进一．为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数a写成． 类比于十进制，我们可以知道：进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示，故，即：转化为十进制表示的数为．如：，．根据材料，完成以下问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： ； ； ． (2)若一个五进制三位数与八进制三位数之和能被13整除（，，且a、b均为整数），求a的值； (3)若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，试判断与是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理由． 【变式8-4】（24-25七年级上·辽宁辽阳·期中）【综合与实践】 阅读下列材料： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一"就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如： (1101)₂就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，，表示这个n进制数从右起，第一位上的数字为c，第二位上的数字为 b，第三位上的数字为a．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，）．同理，二进制数转换为十进制为：．一个十进制数转换为n进制数时，把十进制数表示成0，1，2，…，与基数n的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为，根据上述材料，解答下列问题． (1)①把二进制数转换为十进制数； ②把十进制数 29转换为二进制数． (2)把十进制数63转换为五进制数； (3)若一个三进制数转换为十进制数为m，一个四进制数转换为十进制数为n，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”，试判断，与，是否互为“久久数”，并说明理由． 【变式8-5】（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）由本学期学习《进位制的认识与探究》知，进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，以此类推，进制就是逢进一．为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数写成．进制的数转化为十进制的数的方法是：若进制表示的数为，则转换为十进制数的过程为（规定当时，）．根据你所学知识与学习活动体悟，完成以下问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：_____，_____； (2)已知二进制数，请计算并写出的值（要求写成二进制表示的数）； (3)请把转换成十二进制的数． 【变式8-6】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，以此类推，进制就是逢进一，为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数写成．进制的数转化为十进制的数的方法是：若进制表示的数为，则转换为十进制数的过程为（规定当时，）． 根据你所学的知识，完成以下问题： (1)通过计算，把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： ①；    ②． (2)已知二进制数，请计算出的十进制表示的数，并直接写出s的值（要求写成二进制表示的数）． (3)通过计算，请把转换成十二进制的数． ▌题型09 求未知进制k及进制运算 【典例9-1】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）我们知道，在七进制中，数，比如，即． 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 4 6 a 13 15 3 12 15 21 24 4 22 b 33 5 34 42 6 51 (1)将十进制中的数转换成七进制的数： ①（_________）； ②（_________）； (2)仿照十进制中的乘法口诀表制作七进制的乘法口诀表如上表（表中数皆为七进制数）： ①表中（_________），（_________）； ②利用七进制乘法口诀表计算：（_________）； (3)在几进制中，等式成立？直接写出n的值． 【典例9-2】（25-26七年级上·河北承德·期中）综合与实践： 阅读材料：【材料1】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数：，记作：234（规定：当时，）； 七进制数：，记作：； 二进制数：记作：． 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 【材料2】把一个十进制数转化为与其相等的二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上逆序排列，就是结果．同样的将十进制数化为与其相等的七进制数，可用“除以7取余数”的方法，再将余数从下向上逆序排列即可．如图： 【材料3】二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法：，，，； 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 解决问题： (1)若三进制数，四进制数，试比较a与b的大小关系并说明理由； (2)①将十进制数47转化成二进制数的值为 ； ②进位制数的加减法运算： ．（结果仍用二进制） 【变式9-1】（25-26七年级上·广东佛山·期中）综合与实践：进位制的数学文化与应用进位制是古人计数的智慧创造，我国古代《九章算术》中就蕴含进制思想．进位制是约定的记数系统，“逢n进一”就是n进制．为区分进位制，常在数的右下角标注基数，如就是二进制数，十进制数一般不标注基数． [算法赏析] 材料一：十进制数，记作：． 材料二：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如∶ ，即．将十进制数化为与其相等的七进制数，可用7去除；把每一位数字的余数从低位到高位排序即可． 如：7∣66⋯3（第1位余数） 7∣9⋯2（第2位余数） 7∣1⋯1（第3位余数） ∴ 材料三：二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．进制的四则运算口诀如下：加法： 减法：，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． [算法体验] （1）①把五进制转换为十进制数______； ②把十进制数转换为二进制数______； （2） =______；（结果用二进制数表示）； （3）____．（结果用二进制数表示）； [算法应用] （4）若一个三进制数转换为十进制数为m，一个四进制数转换为十进制数为n，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“发发数”，判断与，是否互为“发发数”，并说明理由． 【变式9-2】（25-26七年级上·湖北荆州·期中）我们知道，在七进制中，数，比如，即． 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 4 6 13 15 3 12 15 21 24 4 22 33 5 34 42 6 51 (1)将十进制中的数转换成七进制的数： ①（ ）7；②（ ）7； (2)仿照十进制中的乘法口诀表制作七进制的乘法口诀表如下（表中数皆为七进制数）： ①表中（ ）7，（   ）7； ②利用七进制乘法口诀表计算：（ ）7； (3)在进制中，等式成立吗？若成立，请求出的值；若不成立，请说明理由． 【变式9-3】（25-26七年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 阅读材料： 我国是最早使用十进制的国家，我们最熟悉的十进制是“逢十进一”，而计算机中常用的是“逢二进一”的二进制．也就是说“逢几进一”就是几进制，（其中为正整数，且）进制就是“逢进一”． 例如：十进制数，记作：234； 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ，记作：． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ，记作：． 下表是自然数对应的的部分值（其中为自然数），供计算时参考： 0 1 2 3 4 5 … 1 2 4 8 16 32 … 1 3 9 27 81 243 … 1 6 36 216 1296 7776 … 解决问题： 根据以上提供的信息，请完成以下问题： (1)把十进制数33化为二进制数______； (2)把三进制表示的数转化为十进制表示的数：______； (3)请把转换成六进制的数； (4)一个六进制两位数（其中，均为小于6的正整数）等于二进制数与三进制数的乘积，求的值． 【变式9-4】（25-26七年级上·福建厦门·期末）背景介绍： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．在十进制中，使用0-9十个数字进行记数，基数是10．如十进制数3721表示为： （规定当时，）． 某兴趣小组在学完“进位制的认识与探究”后，打算对六进制数开展研究，他们规划了下列研究任务： 说明：为区分六进制数与十进制数的表示，在六进制数的右下角标记6，如六进制数3245记为． 任务一：六进制数与十进制数的转换 （1）转化为十进制数为___________； （2）7转化为六进制数为___________； 任务二：六进制数的乘法和除法运算 他们在逢六进一的约定下，设计了“五五乘法表”（以下表中的数都为六进制数）： 根据乘法表，计算： （1）（2）； 任务三：探究六进制数的整除规律 设位六进制数各数位上的数从最高位到个位依次为：（其中）．试探究该位六进制数能被整除所要满足的条件，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数简便计算及进位制认识与探索 （9题型突破·举一反三） 题型01 凑零法（相反数配对） 题型02 凑整法（小数/分数凑整数） 题型03 同号（同分母）归类法 题型04 拆分凑整法（带分数、近整数专用） 题型05 乘法分配律及逆用 题型06 倒数法计算复杂除法 题型07 裂项相消（培优压轴必考） 题型08 k进制与十进制互相转化 题型09 求未知进制k及进制运算 ▌题型01 凑零法（相反数配对） 算式中出现互为相反数的数，优先配对合并，直接消去为0，大幅简化计算。 【典例1】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算：． 【详解】解： ． 【变式1-1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：； 【详解】解： ． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：； 解：原式 ； 【变式1-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：； 【详解】（1）解∶原式 ； ▌题型02 凑整法（小数/分数凑整数） 小数优先合并尾数互补的数，分数优先合并同分母、分子和为分母的数，凑出整数计算。 【典例2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算：． 【详解】 ． 【变式2-1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：； 【详解】（1）解：； ． 【变式2-2】（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 . 【变式2-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【详解】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． ▌题型03 同号（同分母）归类法 将所有正数、负数分别分组求和，再用正数和减去负数和，避免符号混乱出错。 【典例3-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：； 【详解】解：原式 ； 【典例3-2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【详解】解： ． 【变式3-1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：； 【详解】解： ． 【变式3-2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：； 【详解】解：原式 ； 【变式3-3】（23-24七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌题型04 拆分凑整法（带分数、近整数专用） 适用场景：带分数、接近整十/整百/整千的数 拆分规则：带分数拆分 ，；近整数拆分 ， 【典例4】（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【详解】（1）解：拆为，拆为， 故答案为：，； （2）解： ． 【变式4-1】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）请用拆项法计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式4-2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）请用拆项法计算 (1)计算：； (2)计算：． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式4-3】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）用拆项法计算 (1)计算：； (2)计算：． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ▌题型05 乘法分配律及逆用 基础公式： 逆用公式（最常用）： 拓展公式：；多组逆用： 易错提醒：括号前是负号，展开括号时，括号内所有项必须全部变号。例： 【典例5-1】（25-26七年级上·北京石景山·期末）计算：． 【答案】5 【详解】解： ． 【典例5-2】（25-26七年级上·吉林松原·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【典例5-3】（25-26七年级上·河北保定·期中）阅读以下内容： 利用运算律有时能进行简便计算： 例1：； 例2：． 请你参考以上解法，用运算律进行简便计算． (1)． (2)． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【变式5-1】（25-26七年级上·陕西汉中·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解：原式           ． 【变式5-2】（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）简便运算． (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-4】（25-26七年级上·山东德州·期中） 利用运算律有时能进行简便计算． 例1 例2    请你参考黑板中老师的两个讲解，用相应的方法简便计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌题型06 倒数法计算复杂除法 1. 判题型：确认除数复杂、被除数简单，适配倒数法； 2. 取倒数：调换被除数与除数位置，构造简易算式； 3. 简运算：利用乘法分配律展开计算，约分化简； 4. 倒结果：对算出的结果取倒数，注意保留原式符号。 【典例6】（25-26六年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误； 乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确； 丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲； 故答案为：乙、丙；甲． （2）①解： ； ②解：设原式为，则的倒数为， ， 的倒数为， ． 【变式6-1】（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【详解】（1）解 ：除法不满足分配律，不能将除以多个项和的运算拆分为分别除以各项再求和，因此解法一是错误的． （2）方法一： 原式 ． 方法二：原式的倒数为 ． 所以原式 【变式6-2】先计算，再阅读材料，解决问题： (1)简便计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 【详解】（1）解：； （2）解：原式的倒数是： ， 则原式． 【变式6-3】计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 【详解】（1）解：∵乘积为1的两个数互为倒数 ∴前后两部分互为倒数． （2）解：计算应先通分，然后化除法为乘法，最后进行计算； 计算，先化除法为乘法，然后根据乘法分配律，进行加减计算； ∴先计算后面部分比较方便 计算如下： ． （3）解：∵前后两部分互为倒数，后面部分： ∴前面部分：． （4）解： ． ▌题型07 裂项相消（培优压轴必考） 基础核心公式： 例题： 解：原式 【典例7-1】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是 ，是第 个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律     【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【详解】解：（1）∵， ∴第6个数是， ， ∴是第11个数； （2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律：； （3） ． 【典例7-2】（25-26七年级上·贵州六盘水·期中）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢? 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_____，是第_____个数； （2）我们知道：，，，那么： 用含有的式子表示你发现的规律_____． 【方法展示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： ． 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第次倒出的水量是升水的.按照这种倒水方式，这1升水能否倒完?说明理由． 【详解】解：【探索活动】 （1）观察这组分数， 分子都为1，分母分别为，，，，， ∴根据规律第6个数的分母是， ∴第6个数是， 由此发现规律是第n个数的分母为， 令，即， 解得或（为正整数，舍去）， ∴是第11个数； 故答案为：；11； （2）用含有n的式子表示规律为． 故答案为：． 【实践应用】 （3） ． 【问题解决】 （4）这1升水不能倒完，说明如下． 由题意可知，第一次倒出升水；第二次倒出升水； 第三次倒出升水；；第n次倒出升水； 那么总共倒出的水量为 ， ∵n为正整数， ∴，则， ∴这1升水不能倒完． 【变式7-1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． 【变式7-2】（25-26七年级上·贵州六盘水·阶段检测）请你观察： ；；；…… ； ；…… 以上方法称为“裂项相消求和法”．请类比上面的方法，完成下列各题． (1)计算：______． (2)计算： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3）解： ． 【变式7-3】（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）请你观察： ， ， ；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)猜想并写出：______； (2)规律应用：计算：； (3)拓展提高：计算：． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ； （3） ． 【变式7-4】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； （2）解：① ； ② ． ▌题型08 k进制与十进制互相转化 题型1：k进制 → 十进制（乘权求和法） 通用公式： 解题步骤： 1.从数字最右侧开始，依次标注数位次方（从0开始递增）； 2.每一位数字对应乘以基数的对应次方； 3.将所有计算结果相加，即为对应十进制数。 例题1： 转十进制 解：原式 例题2： 转十进制 解：原式 题型2：十进制 → k进制（除基取余法） 解题步骤： 1.十进制数反复除以目标基数k，依次记录余数； 2.持续运算，直至商为0； 3.将所有余数从下往上倒序排列，即为k进制数。 例题：十进制13转二进制 余1， 余0， 余1， 余1 余数倒序排列：1101，即 【典例8-1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）【背景介绍】进制是一种用有限种数字或符号来表示所有数值的计数方法．不同进制在不同的领域各有应用，比如计算机存储数据使用二进制，古巴比伦人使用六十进制进行计时．现实生活中，我们最习惯使用十进制来计数．十进制每个数位上可以使用以下10个数字：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，且满足“逢十进一”的原则．因此十位上一个1表示一个10即，百位上一个1表示1个100即．例如：． 【掌握新知】类似地，六进制中可以使用以下6个数字：0，1，2，3，4，5，且满足“逢六进一”的原则．例如六进制数中的数字4表示4个1，数字0表示0个，数字3表示3个，也就是，即六进制数转化为十进制数就是112． （1）根据以上材料，请填空： （用6的正整数次幂的形式填写）．反之，所以( )6． 【模型抽象】我们知道在十进制中，一个三位数； （2）对于任意一个六进制中的三位数，如果用最高位，表示中间位，代表最低位，记这个三位数为，则______． 【问题解决】我们知道在十进制中，一个三位数若能被9整除，只需要满足其各个数位之和能被9整除．因为，其中能被9整除，所以，只需满足各个数位之和能被9整除即可； （3）类比上述结论，在六进制中，一个三位数为若能被5整除，需要满足什么条件？试写出你的猜想并说明其理由； （4）在六进制中，一个三位数为若能被9整除，试直接写出的最大值______（用十进制表示）． 【答案】（1），，543；（2）；（3）一个三位数为若能被5整除，需要满足能被5整除，见解析；（4）9 【详解】解：（1） ∵，∴， 故答案为：，，543； （2）， 故答案为：； （3）一个三位数为若能被5整除，需要满足能被5整除． 理由如下： ， 因为是5的整数倍， 所以若能被5整除，只需能被5整除； （4）由题意，得a，b，c均不大于5且为整数． 当，，时，不是9的倍数 由（2）可知，， 所以改变a的值，不会影响除以9的余数， 所以可令，在题设条件下，使b尽可能大； 当，时，， 因为比215小的最小的9的倍数是207，所以不论c取何值，都不符合题意！ 当，时，时，时，，符合题意． 所以当，时，的最大值为9． 故答案为：9． 【典例8-2】（25-26七年级上·山东济宁·阶段检测） 活动目标 认识进位制．理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制．逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数．记作1024： 八进制数．记作： 五进制数，记作： 二进制数．记作： n（．且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为： 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0、逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务 （1）将下列进制数转化为十进制数： ① ；② ； （2）现有三进制数，二进制数，试比较，的大小． （3）十进制数21转二进制数得 ；十进制数120转五进制数得 ． 【答案】（1）①13；②260；（2）；（3）； 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：13；260； （2）， ， ∵， ∴． （3）21除以2的商为10，余数为1， 10除以2的商为5，余数为0， 5除以2的商为2，余数为1， 2除以2的商为1，余数为0， 1除以2的商为0，余数为1， 逆序排列余数为， ∴十进制数21转二进制数得； 120除以5的商为24，余数为0， 24除以5的商为4，余数为4， 4除以5的商为0，余数为4， 逆序排列余数为， ∴十进制数120转五进制数得； 故答案为：；． 【变式8-1】（25-26七年级上·重庆江北·期中）进位数是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用n()进制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行记数，特点是逢n进一，我们可以通过以下方式把它转化为十进制： 例如：五进制数，记作， 七进制数，记作． (1)请将以下两个数转化为十进制：______，______． (2)若一个正整数可以用三进制表示为，也可以用五进制表示为，请求出这个数并用十进制表示． 【详解】（1）解：由题可知， ， 故答案为：91，34； （2）解：由题可知，， 则，则， 由可知为大于或等于0，且小于或等于2的整数，a为大于或等于1，且小于或等于2的整数， 由可知为大于或等于1，且小于或等于4的整数，a为大于或等于0，且小于或等于4的整数， 故或2，或2， ∵， ∴， ∴这个数用十进制表示为． 【变式8-2】（25-26七年级上·广东广州·期末）综合与实践 素材1 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统．“逢几进一”就是几进制，也就是说，逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，例如：就是三进制数221的简单写法． 素材2 三进制数可转换为十进制数．例如：（规定当时，，如），可得转换为十进制数是25． 素材3 若一个三进制的四位数从左往右各位上的数字分别为，则这个三进制的四位数可记为，于是． 任务1 （1）将，转换为十进制数，结果是 ． 任务2 （2）已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除． ①写出此时的值，并说明理由； ②若这个三进制数所有数位上的数字之和是5，求这个三进制数对应的十进制数． 【答案】（1）15；（2）①；②51或69 【详解】解：（1）， 故答案为：15； （2）①三进制四位数对应的十进制数为： 因为和 都是 3 的倍数，6 也是 3 的倍数， 所以 能被 3 整除． 要使 N 能被 3 整除，d 必须能被 3 整除． 又因为三进制数的数字只能是 0，1，2，所以 ； ②已知所有数位上的数字之和为 5，即 ， 由①知 ，代入得，即． 因为 a 是三进制四位数的首位，所以 a可以是1，2，b可以是0，1，2． 满足 的情况有： 当，时，此时三进制数为，对应的十进制数为： ； 当，时，此时三进制数为，对应的十进制数为： 所以，这个三进制数对应的十进制数为 51 或 69． 【变式8-3】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制进制，就表示某一位置上的数运算时是逢进一位．十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，进制就是逢进一．为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数a写成． 类比于十进制，我们可以知道：进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示，故，即：转化为十进制表示的数为．如：，．根据材料，完成以下问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： ； ； ． (2)若一个五进制三位数与八进制三位数之和能被13整除（，，且a、b均为整数），求a的值； (3)若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，试判断与是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理由． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：，， ∴， ∵一个五进制三位数与八进制三位数之和能被13整除， ∴能被整除， ∵， ∴； (3)与不互为“如意数”，理由如下： ，， ∴， 令， ∴， ∵，， ∴，，不符合题意， ∴与不互为“如意数”． 【变式8-4】（24-25七年级上·辽宁辽阳·期中）【综合与实践】 阅读下列材料： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一"就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如： (1101)₂就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，，表示这个n进制数从右起，第一位上的数字为c，第二位上的数字为 b，第三位上的数字为a．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，）．同理，二进制数转换为十进制为：．一个十进制数转换为n进制数时，把十进制数表示成0，1，2，…，与基数n的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为，根据上述材料，解答下列问题． (1)①把二进制数转换为十进制数； ②把十进制数 29转换为二进制数． (2)把十进制数63转换为五进制数； (3)若一个三进制数转换为十进制数为m，一个四进制数转换为十进制数为n，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”，试判断，与，是否互为“久久数”，并说明理由． 【详解】（1）解：①转换为十进制数为； ②因为，即，， 所以29转换为二进制数为； （2）解：因为，即，， 所以63转换为五进制数为； （3）解：与互为“久久数”， 因为转换为十进制数为； 转换为十进制数为， ， 所以与互为“久久数”． 【变式8-5】（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）由本学期学习《进位制的认识与探究》知，进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，以此类推，进制就是逢进一．为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数写成．进制的数转化为十进制的数的方法是：若进制表示的数为，则转换为十进制数的过程为（规定当时，）．根据你所学知识与学习活动体悟，完成以下问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：_____，_____； (2)已知二进制数，请计算并写出的值（要求写成二进制表示的数）； (3)请把转换成十二进制的数． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ． 【变式8-6】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，以此类推，进制就是逢进一，为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数写成．进制的数转化为十进制的数的方法是：若进制表示的数为，则转换为十进制数的过程为（规定当时，）． 根据你所学的知识，完成以下问题： (1)通过计算，把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： ①；    ②． (2)已知二进制数，请计算出的十进制表示的数，并直接写出s的值（要求写成二进制表示的数）． (3)通过计算，请把转换成十二进制的数． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵， 又由（）知，， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：∵， ∴． ▌题型09 求未知进制k及进制运算 【典例9-1】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）我们知道，在七进制中，数，比如，即． 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 4 6 a 13 15 3 12 15 21 24 4 22 b 33 5 34 42 6 51 (1)将十进制中的数转换成七进制的数： ①（_________）； ②（_________）； (2)仿照十进制中的乘法口诀表制作七进制的乘法口诀表如上表（表中数皆为七进制数）： ①表中（_________），（_________）； ②利用七进制乘法口诀表计算：（_________）； (3)在几进制中，等式成立？直接写出n的值． 【详解】（1）解：①，则， 故答案为：23； ②，，，则， 故答案为：； （2）解：①由题意得，，， 故答案为：8；； ② ， ，，，则， ∴， 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典例9-2】（25-26七年级上·河北承德·期中）综合与实践： 阅读材料：【材料1】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数：，记作：234（规定：当时，）； 七进制数：，记作：； 二进制数：记作：． 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 【材料2】把一个十进制数转化为与其相等的二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上逆序排列，就是结果．同样的将十进制数化为与其相等的七进制数，可用“除以7取余数”的方法，再将余数从下向上逆序排列即可．如图： 【材料3】二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法：，，，； 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 解决问题： (1)若三进制数，四进制数，试比较a与b的大小关系并说明理由； (2)①将十进制数47转化成二进制数的值为 ； ②进位制数的加减法运算： ．（结果仍用二进制） 【详解】（1）解：（1），理由如下： ， ， ∵， ∴； （2）解：①； 故答案为：； ②根据二进制的加法法则可得：． 故答案为：． 【变式9-1】（25-26七年级上·广东佛山·期中）综合与实践：进位制的数学文化与应用进位制是古人计数的智慧创造，我国古代《九章算术》中就蕴含进制思想．进位制是约定的记数系统，“逢n进一”就是n进制．为区分进位制，常在数的右下角标注基数，如就是二进制数，十进制数一般不标注基数． [算法赏析] 材料一：十进制数，记作：． 材料二：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如∶ ，即．将十进制数化为与其相等的七进制数，可用7去除；把每一位数字的余数从低位到高位排序即可． 如：7∣66⋯3（第1位余数） 7∣9⋯2（第2位余数） 7∣1⋯1（第3位余数） ∴ 材料三：二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．进制的四则运算口诀如下：加法： 减法：，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． [算法体验] （1）①把五进制转换为十进制数______； ②把十进制数转换为二进制数______； （2） =______；（结果用二进制数表示）； （3）____．（结果用二进制数表示）； [算法应用] （4）若一个三进制数转换为十进制数为m，一个四进制数转换为十进制数为n，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“发发数”，判断与，是否互为“发发数”，并说明理由． 【答案】(1)①38，②；(2)；(3)；(4)是，见解析 【详解】解：(1)①； ②， ∴把十进制数转换为二进制数为； (2) ； (3) ； (4) ，， ∴， ∴与互为“发发数”； 【变式9-2】（25-26七年级上·湖北荆州·期中）我们知道，在七进制中，数，比如，即． 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 4 6 13 15 3 12 15 21 24 4 22 33 5 34 42 6 51 (1)将十进制中的数转换成七进制的数： ①（ ）7；②（ ）7； (2)仿照十进制中的乘法口诀表制作七进制的乘法口诀表如下（表中数皆为七进制数）： ①表中（ ）7，（   ）7； ②利用七进制乘法口诀表计算：（ ）7； (3)在进制中，等式成立吗？若成立，请求出的值；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①23；②1154 (2)①11；26；②1212 (3)等式成立， 【详解】（1）解：①，则， ②， ； （2）解：①由题意得：， ② ， ， 则， ； （3）解：等式成立，，理由如下： 将进制数转化为十进制数：， ， 当时，， 解得：， 检验：数均小于6，满足题意， 故等式成立，． 【变式9-3】（25-26七年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 阅读材料： 我国是最早使用十进制的国家，我们最熟悉的十进制是“逢十进一”，而计算机中常用的是“逢二进一”的二进制．也就是说“逢几进一”就是几进制，（其中为正整数，且）进制就是“逢进一”． 例如：十进制数，记作：234； 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ，记作：． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ，记作：． 下表是自然数对应的的部分值（其中为自然数），供计算时参考： 0 1 2 3 4 5 … 1 2 4 8 16 32 … 1 3 9 27 81 243 … 1 6 36 216 1296 7776 … 解决问题： 根据以上提供的信息，请完成以下问题： (1)把十进制数33化为二进制数______； (2)把三进制表示的数转化为十进制表示的数：______； (3)请把转换成六进制的数； (4)一个六进制两位数（其中，均为小于6的正整数）等于二进制数与三进制数的乘积，求的值． 【答案】(1) (2)245 (3) (4)10 【详解】（1）解：∵， 根据表格可知，十进制数33化为二进制数时，最高位是， ∴， 故答案为：； （2）解：由题和表格可知：， 故答案为：245； （3）解：由题和表格可知，把二进制表示的数转化为十进制表示的数： ， 由题和表格可知，把十进制数25化为六进制数： ． （4）解：把二进制表示的数转化为十进制表示的数： ． 把三进制表示的数转化为十进制表示的数： ． 由题意，得 ． 可得． ． 【变式9-4】（25-26七年级上·福建厦门·期末）背景介绍： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．在十进制中，使用0-9十个数字进行记数，基数是10．如十进制数3721表示为： （规定当时，）． 某兴趣小组在学完“进位制的认识与探究”后，打算对六进制数开展研究，他们规划了下列研究任务： 说明：为区分六进制数与十进制数的表示，在六进制数的右下角标记6，如六进制数3245记为． 任务一：六进制数与十进制数的转换 （1）转化为十进制数为___________； （2）7转化为六进制数为___________； 任务二：六进制数的乘法和除法运算 他们在逢六进一的约定下，设计了“五五乘法表”（以下表中的数都为六进制数）： 根据乘法表，计算： （1）（2）； 任务三：探究六进制数的整除规律 设位六进制数各数位上的数从最高位到个位依次为：（其中）．试探究该位六进制数能被整除所要满足的条件，并说明理由． 【答案】任务一：（1）76；（2） 任务二：（1）；（2） 任务三：所要满足的条件是该n位六进制数最后两位组成的六进制数能被整除（或等价于是9的正整数倍，其中为从右数第二位数字，为个位数字）；理由见解析 【详解】解：任务一：（1）． 故答案为：76． （2）∵， ∴． 故答案为：． 任务二：（1）； （2）． 任务三：所要满足的条件是该n位六进制数最后两位组成的六进制数能被整除（或等价于是9的正整数倍，其中为从右数第二位数字，为个位数字）． 理由如下： 由题意得，该n位六进制数 ， ∵， ∴该n位六进制数能被整除所要满足的条件是最后两位组成的六进制数能被整除（或等价于是9的非负整数倍，其中为从右数第二位数字，为个位数字）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $