8.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 课件-2027届高考数学一轮复习

第八章 平面解析几何 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 直线与圆、圆与圆的位置关系 2023新课标Ⅰ，6 直线与圆相切 7考 数学运算 直观想象 2022新高考Ⅰ，14 求公切线方程 2023新课标Ⅱ，15 直线与圆相交 2022新高考Ⅱ，15 2021新高考Ⅰ，11 直线与圆的位置关系 2021新高考Ⅱ，11 2025新课标Ⅰ，7 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 椭圆的定义和标准方程 2021新高考Ⅱ，20(1) 求椭圆方程及椭圆 定义的应用 6考 数学运算 2020新高考Ⅱ，21(1) 2020新高考Ⅰ，22(1) 2021新高考Ⅰ，5 2025新课标Ⅱ，16(1) 2025新高标Ⅰ，18(1) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 椭圆的几何性质 2023新课标Ⅰ，5 椭圆的离心率  3考 直观想象 逻辑推理 2024新课标Ⅰ，16(1) 2023新课标Ⅱ，5 椭圆的焦点坐标 双曲线的定义和标准方程 2023新课标Ⅱ，21(1) 求双曲线的方程 5考 数学运算 逻辑推理 2022新高考Ⅱ，21(1) 2021新高考Ⅰ，21(1) 2020新高考Ⅰ，9 标准方程辨析 2020新高考Ⅱ，10 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 双曲线的几何性质 2023新课标Ⅰ，16 双曲线的离心率 5考 数学运算 2024新课标Ⅰ，12 2025新课标Ⅰ，3 2021新高考Ⅱ，13 双曲线的渐近线 2025新课标Ⅱ，11 多种性质综合 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 抛物线的几何性质 2023新课标Ⅱ，10 多种性质综合 7考 逻辑推理 2022新高考Ⅰ，11 2021新高考Ⅰ，14 2022新高考Ⅱ，10 2024新课标Ⅱ，10 2025新课标Ⅰ，10 2025新课标Ⅱ，6 2021新高考Ⅱ，3 抛物线的焦点坐标 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 直线与圆锥曲线的位置关系 2021新高考Ⅰ，21(2) 斜率与角度问题 17考 直观想象 2022新高考Ⅰ，21(1) 2022新高考Ⅰ，21(2) 弦长与面积问题 逻辑推理 2020新高考Ⅱ，21(2) 2022新高考Ⅰ，16 2020新高考Ⅰ，13 2020新高考Ⅱ，14 2020新课标Ⅰ，16(2) 2025新课标Ⅱ，16(2) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 直线与圆锥曲线的位置关系 2021新高考Ⅱ，20(2) 证明与探究 性问题  17考 数学运算 2023新课标Ⅰ，22(2) 2022新高考Ⅱ，21(2) 2024新课标Ⅱ，19 2023新课标Ⅱ，21(2) 定点、定值问题 逻辑推理 数学运算 2020新高考Ⅰ，22(2) 2025新课标Ⅰ，38(2) 最值问题 直观想象 2022新高考Ⅱ，16 中点弦问题 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 轨迹方程问题 2023新课标Ⅰ，22(1) 直接法求轨迹方程 3考 数学运算 2024新课标Ⅰ，11 2024新课标Ⅱ，5 相关点法求轨迹方程 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 【命题形式】 本章内容命题形式多样，在选择题、填空题中主要考查直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义、方程和几何性质，解答题中主要考查直线、圆的方程及位置关系；直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长、弦中点、定点、定值和取值范围等问题，常与函数、不等式等知识综合考查．对于双曲线的有关性质考查多集中在双曲线的渐近线和离心率上，关于抛物线的有关性质考查多侧重于抛物线定义在求解与距离相关的最值问题中的转化，以及抛物线焦点弦的性质． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 结合本章的命题特点，复习过程中需注意以下几点：①求解直线与圆的问题时，要注意圆的性质的应用，常采用几何法求解，同时要注意与其他知识的交汇问题；②求解圆锥曲线方程时，需关注待定系数法与定义法的应用；③求解有关中点弦问题时，需关注点差法和根与系数的关系的应用；④求解定值、定点问题时，需注意求解思路与转化方法． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 第一讲　直线的倾斜角、斜率与直线的方程 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[47] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　直线的倾斜角 1．定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________. 2．倾斜角的取值范围为______________________. 正向 向上 0° [0°，180°) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 知识点二　直线的斜率 1．定义：一条直线的倾斜角α的__________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝__________，倾斜角是90°的直线斜率不存在． 2．过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ ________. 正切值 tan α　 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 3．直线的方向向量与斜率的关系 (1，k) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 知识点三　直线方程的五种形式 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 两点式 截距式 过原点的 A2＋B2≠0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 归 纳 拓 展 1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系： 口诀：斜率变化分两段，直角便是分界线； 小正大负皆递增，分类讨论记心中． α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0且α越大，k就越大 不存在 k<0且α越大，k就越大 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．特殊直线的方程 (1)过点P1(x1，y1)垂直于x轴的直线方程为x＝x1； (2)过点P1(x1，y1)垂直于y轴的直线方程为y＝y1； (3)过原点的直线的方程为x＝my. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 3．谨记以下几点 (1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．求与截距有关的直线方程时应注意过原点的特殊情况是否满足题意． (2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x＝my＋b. (3)A，B，C三点共线⇔kAB＝kAC(或kAB＝kBC，或kAC＝kBC)． (4)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．(　　) (4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 (6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× (5)×　(6)√ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 3．(选择性必修1P67T7)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________. [答案]　3x－2y＝0或x＋y－5＝0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 题组三　走向考场 4．(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 考点突破 · 互动探究 返回导航 直线的倾斜角与斜率——自主练透 1．(2026·江苏南通统测)设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 3．已知曲线f(x)＝ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [引申]本例2中，直线l斜率的取值范围是____________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师点拨： 1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k＝tan α的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．(2024·河南创新发展联盟联考)过点P(1,1)作直线l，若直线l与连接A(2,3)，B(3，－1)两点的线段总有交点，则直线l的斜率的取值范围为(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 直线的方程——师生共研 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．(多选题)(2024·陕西部分学校联考)直线l经过点P(3，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是(　　) A．3x＋2y＝0 B．2x＋3y＝0 C．x－y－5＝0 D．x＋y－1＝0 [答案]　BCD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 3．(多选题)(2025·浙江数海漫游模拟)已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：2x－y＋1＝0，则直线AB的方程可能为(　　) A．x＋3y＋1＝0 B．x－3y＋1＝0 C．3x＋y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0 [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [引申]本例2中若去掉“绝对值”，则应选________. [答案]　BD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师点拨： 1．求解直线方程的方法 (1)直接法——根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程． (2)待定系数法——①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．谨防3个失误 (1)选用点斜式和斜截式时，注意讨论斜率是否存在． (2)选用截距式时，注意讨论直线是否过原点，截距是否存在、是否为0. (3)由一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时，要注意讨论B是否为0.求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A>0. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 【变式训练】 1．(2026·江西丰城中学月考)经过点P(1,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是____________. [答案]　2x－y＝0或x＋2y－5＝0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．(2025·河北衡水周测)若一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为____________. [答案]　x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 直线方程的应用——多维探究 角度1　由直线方程确定斜率 (2025·江西萍乡一模)已知直线emx－y(em＋1)2＋1＝0(m∈R)的斜率为k，则k的最大值为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [引申]直线纵截距的取值范围是____________. [答案]　(0,1) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 角度2　直线与坐标轴围成三角形的最值问题 已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求： (1)当△AOB面积最小时，直线l的方程； (2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线l的方程； (3)当|MA|·|MB|取最小值时，直线l的方程； (4)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师点拨： 求解与直线方程有关的最值问题，考查函数思想，即利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x或y的函数，借助函数性质求解．或利用直线过已知点，则点的坐标适合直线方程，借助基本不等式求解(注意取最值时等号成立的条件)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 【变式训练】 1．(角度1)(2026·福建适应性练习)斜直线Ax＋By＋C＝0不过原点和第四象限，则下列结论一定正确的是(　　) A．AB>0 B．BC>0 C．AC>0 D．ABC>0 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．(角度2)直线l过点M(1,2)，且分别与x，y轴正半轴交于A，B两点，O为原点．求|OA|＋2|OB|的最小值及此时直线l的方程． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 定点问题 1．已知直线l：kx－y＋1＋3k＝0(k∈R)． (1)直线l过定点____________. (2)若直线l不过第一象限，则k的取值范围为____________. (3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，则S△AOB最小时直线l的方程为____________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．(多选题)(2026·江西丰城中学月考)已知点A(－2，－1)，B(2,2)，直线l：2ax－2y＋3a－3＝0上存在点P满足|PA|＋|PB|＝5，则直线l的倾斜角可能为(　　) [答案]　BD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师点拨：确定方程含参数的直线所过定点的方法 1．将直线方程写成点斜式y－y0＝f(λ)(x－x0)，从而确定定点(x0，y0)． 2．将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为0确定定点． 3．给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标． 解题时，若直线方程中含有参数，应考虑直线是否过定点． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 【变式训练】 (2025·贵州贵阳阶段练习)已知直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋m－1＝0，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为(　　) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 提能训练　练案[47] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．(2026·新疆乌鲁木齐模拟预测)如图，直线l1、l2、l3、l4中，斜率最小的是(　　) A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [解析]　由图可知l1的倾斜角为锐角，l2，l3，l4的倾斜角为钝角，则直线l1的斜率为正数，直线l2，l3，l4的斜率均为负数，且l2，l3，l4中，直线l2的倾斜角最小，故直线l2的斜率最小．故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 5．(2025·重庆乌江新高考协作体调研)若A(1,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则b＝(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 7．直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M(1，－2)恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为(　　) A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0 C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 8．(2024·安徽黄山八校联盟期中联考改编)下列说法正确的是(　　) A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 C．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0 D．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 9．(2025·安徽马鞍山一模)设点A(2,1)，B(－2,3)，若直线ax＋y＋1＝0与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－1) B．(－2,1) C．(－1,2) D．(1，＋∞) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 二、多选题 10．(2026·江苏苏州常熟中学调研)直线l1：ax－y－b＝0，l2：bx－y＋a＝0(ab≠0，a≠b)，下列图象中正确的是(　　) [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 11．(2025·辽宁辽南协作体期中)已知直线l过点P(3,2)，且与直线l1：x＋3y－9＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则(　　) A．直线l的方程为x－3y＋3＝0 B．直线l与直线l1的倾斜角互补 C．直线l在y轴上的截距为1 D．这样的直线l有两条 [答案]　ABC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 三、填空题 12．(2025·浙江五校联盟联考)直线3x－4y＋3＝0的一个方向向量是____________(答案不唯一)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 13．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为____________. [答案]　x＋13y＋5＝0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 B组能力提升 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．(2025·福建漳州期中)在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则∠BAC的角平分线所在直线l的方程是(　　) A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x－3y－2＝0 D．3x－y－1＝0 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 4．(2026·湖北部分高中协作体联考)有一根蜡烛点燃6 min后，蜡烛长为17.4 cm；点燃21 min后，蜡烛长为8.4 cm.已知蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时(　　) A．25 min B．35 min C．40 min D．45 min [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 5．(2025·吉林名校联盟联考)对于直线l：(m－1)x＋y－2m＋3＝0，下列选项正确的是(　　) A．直线l恒过点(2，－1) [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 C组拓展应用(选作) 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)求证：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线与两坐标轴所围成三角形面积为4，求直线l的方程； (4)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [解析]　(1)证明：设直线过定点(x0，y0)， 则kx0－y0＋1＋2k ＝0对任意k∈R恒成立， 即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立． 所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0. 解得x0＝－2，y0＝1，故直线l过定点(－2,1)． 另证：kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)， 显然x＝－2，y＝1时对任意k∈R方程都成立， 故直线过定点(－2,1)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 (2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1， 则直线l在y轴上的截距为2k＋1， 要使直线l不经过第四象限， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 谢谢观看 定 义 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为_________ 关 系 当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k ＝______ 名称 方程 适用范围 点斜式 __________________ 不含直线x＝x0 斜截式 ______________ 不含垂直于x轴的直线 ________ ＝ 不含垂直于坐标轴的直线 ________ ＋＝1 不含垂直于x轴、平行于x轴和____________直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 其中要求__________________ 适用于平面直角坐标系内的所有直线 (5)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示．(　　) 题组二　走进教材 2．(选择性必修1P58T7)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝(　　) A．－1 B．－3 C．0 D．2 [解析]　由＝＝y＋2，得y＋2＝tan＝－1，∴y＝－3. [解析]　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0. A． B．－ C．1 D．－1 [解析]　由题意知圆心坐标为(a,0)，又直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A． 5．(2021·山东卷)如下图，直线l的方程是(　　) A．x－y－＝0 B．x－2y－＝0 C．x－3y－1＝0 D．x－y－1＝0 [解析]　由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率k＝tan 30°＝，又直线l与x轴的交点为(1,0)，所以直线的点斜式方程可得l：y－0＝(x－1)，即x－y－1＝0.故选D. A．[0，π] 　 B． C． D．∪ [解析]　当sin θ＝0时，方程为x＝－2，倾斜角为，当sin θ≠0时，直线的斜率k＝tan α＝，所以tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即α∈∪，综上α∈.故选C． 2．(2024·山东普高大联考)过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(－2,1)，B(2，1)两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为(　　) A． B． C．∪ D．∪ [解析]　设直线l的斜率为k，倾斜角为θ，0≤θ<π，kPA＝＝－1，kPB＝＝，因为直线l经过点P(0，－1)，且与线段AB总有公共点，所以k∈(－∞，－1]∪ ，因为0≤θ<π，所以≤θ≤.故选B. A．e B．－e C． D．－ [解析]　∵f(x)＝ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝.设切点P(x0，ln x0)，则切线的斜率k＝f′(x0)＝＝，∴ln x0＝1，x0＝e，∴k＝＝. [答案]　(－∞，－1]∪ 2．求直线斜率的方法 (1)定义法：k＝tan α； (2)公式法：k＝(x1≠x2)； (3)导数法：曲线y＝f(x)在x0处切线的斜率k＝f′(x0)． 3．注意倾斜角的取值范围是[0，π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为，直线垂直于x轴． 【变式训练】 1．(2026·湖北华中师大附中月考)直线l过点A(2,1)，B(m,3)的直线的倾斜角α的范围是，则实数m的取值范围是(　　) A．(0,2] B．(0,4) C．[2,4) D．(0,2)∪(2,4) [解析]　当直线的倾斜角为时，m＝2；当倾斜角α∈∪时，m≠2，k＝，且k<－1或k>1.∴<－1或>1，解得0<m<2或2<m<4.综上，实数m的取值范围是(0,4)．故选B. A．[－1,2] B． C． D．(－∞，－1]∪ [解析]　直线PA的斜率为＝2，直线PB的斜率为＝－1，直线l的斜率的取值范围为[－1,2]．故选A． 1．经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半的直线的方程为____________. [答案]　x－y＋6＝0 [解析]　由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.又直线过点(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0. [解析]　解法一(验证法)：验证易知B，C，D符合题意． 解法二(直接法)：当直线l的截距为0时，直线l的方程为y＝－x，即2x＋3y＝0.当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1，则解得或则直线l的方程为x＋y＝1或＋＝1，即x＋y－1＝0，或x－y－5＝0.故选BCD. [解析]　设直线AB的倾斜角为α，直线AC的倾斜角为β，直线AC斜率为2，有tan β＝2，则<β<.依题意有α－β＝或β－α＝，当α－β＝时，tan(α－β)＝＝tan ，即＝1，解得tan α＝－3，即直线AB的斜率为－3，C选项中的直线斜率符合；当β－α＝时，tan(β－α)＝＝tan ，即＝1，解得tan α＝，即直线AB的斜率为，B选项中的直线斜率符合．故选BC． [解析]　若直线经过原点，则设直线方程为y＝kx，将P(1,2)代入可得2x－y＝0；若直线不经过原点，设直线方程为＋＝1，将P(1,2)代入可得a＝，所以直线方程为＋＝1，即x＋2y－5＝0. [解析]　由题意可知该直线不经过原点，且存在斜率且不为零，所以设直线方程为＋＝1，因为该直线过点A(－2,2)，所以有＋＝1⇒2a－2b＝ab，因为该直线与两坐标轴围成的三角形面积为1，所以有|ab|＝1⇒ab＝2，或ab＝－2，当ab＝2时，2a－2b＝2⇒a＝b＋1⇒b(b＋1)＝2⇒b＝1，或b＝－2，当b＝1时，a＝2，此时方程为＋＝1⇒x＋2y－2＝0，当b＝－2时，a＝－1，此时方程为＋＝1⇒2x＋y＋2＝0，当ab＝－2时，2a－2b＝－2⇒a＝b－1⇒b(b－1)＝－2无解. [答案]　 [解析]　k＝＝≤＝，当且仅当m＝0时取等号，所以k的最大值为. [解析]　令x＝0得y＝，由em>0知(em＋1)2>1，∴0<<1.即直线纵截距的取值范围是(0,1)． [解析]　设直线的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 则＋＝1. (1)∵＋≥2⇒ab≥4，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝ab有最小值为4.此时，直线l的方程是＋＝1.即x＋2y－4＝0. (2)a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2.故a＋b的最小值为3＋2，此时＝，求得b＝＋1，a＝2＋.此时，直线l的方程为＋＝1.即x＋y－2－＝0. (3)解法一：设∠BAO＝θ，则sin θ＝，cos θ＝，∴|MA|·|MB|＝＝，显然当θ＝时，|MA|·|MB|取得最小值4，此时kl＝－1，所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0. 解法二：|MA|·|MB|＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2a＋b－5＝(2a＋b)－5＝＋≥4.当且仅当a＝b＝3时取等号，∴|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 解法三：若设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则A，B(0,1－2k)，∴|MA|·|MB|＝·＝2≥4，当且仅当－k＝－，即k＝－1时，取等号．故|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l的方程为x＋y－3＝0. (4)同(3)|MA|＝，|MB|＝， ∴|MA|2＋|MB|2＝＋ ＝(sin2θ＋cos2θ) ＝5＋＋≥9. ∴|MA|2＋|MB|2的最小值为9， 此时直线的斜率k＝－， 故所求直线的方程为y－1＝－(x－2)， 即x＋2y－2(＋1)＝0. [解析]　由题意可知，横截距－<0，纵截距－>0，即故选C． [解析]　设直线l：＋＝1，且a>0，b>0. ∵直线过点(1,2)，∴＋＝1， ∴|OA|＋2|OB|＝a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥9， 当且仅当＝即a＝b＝3时取等号， ∴此时直线l：x＋y－3＝0， 故|OA|＋2|OB|的最小值为9，此时直线l的方程为x＋y－3＝0. [答案]　(1)(－3,1)　(2) (3)x－3y＋6＝0 [解析]　(1)kx－y＋1＋3k＝0可化为y－1＝k(x＋3)． ∴直线l过定点(－3,1)． (2)令x＝0得y＝3k＋1，即直线l在y轴上的截距为3k＋1.　 由题意知解得k≤－. 故k的取值范围是. (3)设直线的方程为＋＝1，则＋＝1(a<0，b>0)， 即1＝＋≥2，∴≥2. ∴S△AOB＝－ab≥6(当且仅当a＝－6，b＝2时取等号)．∴直线l的方程为＋＝1，即x－3y＋6＝0. A．0 B． C． D． [解析]　∵|AB|＝＝5，且|PA|＋|PB|＝5，∴直线l与线段AB恒有交点，∵直线l：y＋＝a， ∴直线l恒过定点C，作出示意图： ∵kAC＝＝－1，kBC＝＝1，∴直线l的斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故直线l的倾斜角的取值范围为∪，故选BD. A． B． C． D．∪ [解析]　直线(x＋y＋1)m＋(2x－y－1)＝0，由解得即直线l过定点P(0，－1)，设直线l的斜率为k，直线l的倾斜角为α，则0≤α<π，显然直线PA的斜率为＝－1，直线PB的斜率为＝1，由于直线l经过点P(0，－1)， 且与线段AB总有公共点，则－1≤k≤1，即－1≤tan α≤1，又k＝＝－1＋≠－1，于是－1<tan α≤1，因此0≤α≤或<α<π，所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.故选D. 1．(2025·江苏南通模拟预测)直线x·tan ＋y－2＝0的倾斜角为(　　) A． B． C． D． [解析]　由题意可将原直线方程变形为y＝－tan ·x＋2＝tan ·x＋2，由倾斜角的取值范围为[0，π)，所以倾斜角为.故选D. 3．(2025·贵州“三新”改革联盟联考)已知A(－1，－4)，B(λ，2)两点所在直线的倾斜角为，则实数λ的值为(　　) A．－7 B．－5 C．－2 D．2 [解析]　因为A(－1，－4)，B(λ，2)两点所在直线的倾斜角为，则kAB＝＝tan ＝－1，解得λ＝－7.故选A． 4．(2026·河南阶段练习)若直线l的方向向量为(3，－)，且经过点(3，－)，则直线l的方程为(　　) A．x＋y＝0 B．x＋y－6＝0 C．x－y＝0 D．x－y－6＝0 [解析]　因为直线l的方向向量为(3，－)，所以直线的斜率k＝，所以直线方程为y＝－(x－3)－，化简可得x＋y＝0.故选A． A．－ B．－ C． D． [解析]　由题意知kAC＝kAB，即＝－b，∴b＝－.故选A． 6．若等边三角形一边所在直线的斜率为3，则该三角形另两条边所在直线斜率为(　　) A．－， B．－， C．－， D．－， [解析]　如图，△ABC为正三角形，设AB的倾斜角为α，则tan α＝kAB＝3， 则kBC＝tan＝，kAC＝tan＝－，故选C． [解析]　设P(x0,0)，Q(0，y0)，∵M(1，－2)为线段PQ中点，∴x0＝2，y0＝－4，∴直线PQ的方程为＋＝1，即2x－y－4＝0. B．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为＝ [解析]　当斜率为－时，倾斜角为120°，当斜率为时，倾斜角为60°，故A错误；两点式使用前提是x1≠x2，y1≠y2，故B错误；经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线也可以过原点，即y＝x，故C错误；直线x－y－2＝0与两坐标轴交点分别为(0，－2)，(2,0)，则与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×2×2＝2，故D正确．故选D. [解析]　由ax＋y＋1＝0可知直线的斜率为－a，且经过定点P(0，－1)，由点A(2,1)，B(－2,3)可得直线PA，PB的斜率分别为：kPA＝＝1，kPB＝＝－2，作图如下，由图知，要使直线ax＋y＋1＝0与线段AB没有公共点，需使kPB<－a<kPA，解得－1<a<2.故选C． [解析]　直线l1：y＝ax－b，l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)，A选项，由图可知：l1：⇒l2：所以A选项错误；B选项，由图可知：l1：⇒l2：所以B选项正确；C选项，由图可知：l1：⇒l2：所以C选项正确；D选项，由图可知：l1：⇒l2：所以D选项错误．故选BC． [解析]　因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与l1的倾斜角互补，故B正确；由直线l1的斜率为－，知直线l的斜率为，可得直线l的方程为y－2＝(x－3)，即l的方程为x－3y＋3＝0，故A正确；令x＝0，得y＝1，所以l在y轴上的截距为1，故C正确；过点P(3,2)且斜率为的直线只有一条，故D错误．故选ABC． [答案]　 [解析]　因为直线3x－4y＋3＝0的斜率为，所以直线3x－4y＋3＝0的一个方向向量是. [解析]　由题意可知BC的中点为H，∴kAH＝＝－.故所求直线的方程为y－0＝－(x＋5)，即x＋13y＋5＝0. 14．(2024·上海嘉定一模)直线x＝1与直线x－y＋1＝0的夹角大小为________. [答案]　 [解析]　因为直线x＝1的斜率不存在，倾斜角为，直线x－y＋1＝0的斜率为，倾斜角为，故直线x＝1与直线x－y＋1＝0的夹角为－＝. 15．直线x－y＋4＝0绕其与x轴的交点顺时针旋转所得直线的方程为____________. [答案]　x－3y＋4＝0 [解析]　直线x－y＋4＝0与x轴的交点为，斜率为，倾斜角θ为，可知所求方程直线的倾斜角为，斜率k＝，故所求直线的方程为y＝，即x－3y＋4＝0. 1．(2026·广东深圳实验中学期中)已知点A(－2，－1)，B(3,0)，若点M(x，y)在线段AB上，则的取值范围是(　　) A．∪[3，＋∞) B． C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1,3] [解析]　设Q(－1,2)，则kQA＝＝3，kQB＝＝－，因为点M(x，y)在线段AB上，所以的取值范围是∪[3，＋∞)，故选A． [解析]　如图所示：∠BAC的角平分线所在直线l与横轴的交点为D(a,0)，由角平分线的性质可知：＝⇒＝⇒a＝，所以∠BAC的角平分线所在直线l的方程是＝⇒2x－y－1＝0，故选B. 3．(2025·河南阶段练习)已知直线Ax＋By＋1＝0在y轴上的截距是－1，其倾斜角是直线x－y＝0的倾斜角的2倍，则(　　) A．A＝，B＝1 B．A＝－，B＝－1 C．A＝，B＝－1 D．A＝－，B＝1 [解析]　由直线Ax＋By＋1＝0在y轴上的截距是－1，则直线过(0，－1)，可得A·0＋B·(－1)＋1＝0，解得B＝1；由直线x－y＝0，设该直线的倾斜角为α，则tan α＝，解得α＝60°，设直线Ax＋y＋1＝0的倾斜角为β，斜率为k，由β＝2α＝120°，则k＝tan β＝tan 120°＝－，由k＝－A，则－A＝－，解得A＝.故选A． [解析]　由题意知：蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，过(6,17.4)(21,8.4)两点，故其斜率k＝＝－，∴直线方程为l－8.4＝－(t－21)，∴当蜡烛燃尽时，有t－21＝14，即t＝35，故选B. B．当m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 C．若直线l不经过第二象限，则m∈ D．坐标原点到直线l的距离的最大值为 [解析]　(m－1)x＋y－2m＋3＝0可变形为(x－2)m－x＋y＋3＝0，由得所以直线l恒过点(2，－1)，故A正确；当m＝2时，直线l在x，y轴上的截距分别为1,1，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，故B正确；当m＝1时，直线l的方程为y＝－1，直线l也不经过第二象限，故C不正确；因为直线l过定点(2，－1)，所以坐标原点到直线l的距离的最大值为＝，故D正确．故选ABD. 则解得k的取值范围是k≥0. (3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，由题意得＝4， 解得k＝或k＝或k＝－， 故所求直线方程为x－2y＋4＝0或(2－3)x－2y＋4(－1)＝0或(2＋3)x＋2y＋4(＋1)＝0. (4)又－<0，且1＋2k>0，∴k>0， ∴S＝＝≥(4＋4)＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时，等号成立． 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. $