直线的方程与两条直线的位置关系课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线的方程与两条直线的位置关系”专题，覆盖倾斜角、斜率、方程形式、位置关系、距离公式、对称问题等核心考点，依据高考评价体系梳理考查要求，通过知识表格化梳理、4大题型分类（直线方程、位置关系、距离、对称）明确高频考点分布，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法总结+素养提升”，如以2025成都诊断题为例解析两直线位置关系判定，通过对称问题中中点坐标与垂直关系推导培养数学思维，直线系方程应用强化数学语言表达。特设“方法总结库”和“变式训练”，帮助学生掌握待定系数法等解题技巧，教师可据此系统开展复习，提升备考效率。

直线的方程与两条直线的位置关系 向上的方向 0 [0，π) tan α k1＝k2 k1·k2＝－1 A B A BC 2x－y－7＝0 C x＋2y－4＝0 B ABC D D B －10 [0，10] 2或－6 A x＋3y－5＝0或x＝－1 D 3x－4y－12＝0 [知识梳理] 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴作为基准，x轴正向与直线l 之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为 ． (3)范围：直线l倾斜角的取值范围是 ． 2．斜率公式 条件 公式 直线l的倾斜角为α 斜率k＝ P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2 斜率k＝ 直线的方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0) 斜率k＝ － 3.直线方程的5种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 平面内所有直线 4.两条直线平行与垂直的判定 (1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔ ．特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行． (2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔ ．特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 5．三种距离 类型 条件 距离公式 两点间 的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) |P1P2|＝ 点到直 线的距离 点P0(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0 d＝ 两条平行 线间的距离 直线Ax＋ By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0 d＝ 6.中点坐标公式 若已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段P1P2的中点M的坐标为 ． 7．对称问题 (1)点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 (2)点关于直线对称：设点M(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为M′(m，n)，则 (3)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决． 8．常用结论 直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 [热身训练] 1．若直线过两点(－1，1)，(2，1＋)，则此直线的倾斜角是( ). A．30°　　　 B．45° C．60°　　　 D．90° 2．过点(0，1)且与直线x－3y＋2＝0垂直的直线方程是( ). A．x＋3y－3＝0　　　 B．3x＋y－1＝0 C．3x＋y＋3＝0　　　 D．x－3y＋1＝0 3．已知m，n∈R，则“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的( ). A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(多选)关于直线l：x－y－1＝0，下列说法正确的有( ). A．过点(，－2) B．斜率为 C．倾斜角为60° D．在y轴上的截距为1 5．已知直线l：y＝2x＋3，则点M(1，0)到直线l的距离等于 ；直线l关于点M对称的直线方程为 ． 题型1　直线的方程 【例1】(1)已知直线l的斜率小于0，且l经过点P(6，8)，并与坐标轴交于A，B两点，C(4，0)，当△ABC的面积取得最小值时，直线l的斜率为( ). A．－　　　 B．－ C．－　　　 D．－ 【解析】设直线l的方程为y＝kx＋b(k<0)，将点P(6，8)的坐标代入，得8＝6k＋b，则b＝8－6k，则y＝kx＋8－6k(k<0).不妨假设点A在x轴上，则A，B(0，8－6k).记O为坐标原点，因为线段OA与OB的长度分别为6－，8－6k，所以△ABC的面积S＝(8－6k)＝≥＝32＋16，当且仅当－＝－12k(k<0)，即k＝－时，等号成立． (2)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于点A，B，O为原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程为 ． 【解析】设所求直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1.由＋≥2，得ab≥4，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，△AOB的面积S＝ab取最小值4.此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0. 求直线方程的两种方法 (1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程． (2)待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程． 【变式】(1)(临沂调研)若过点A(－1，1)的直线l的倾斜角是直线l1：x－y＋1＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程是( ). A．x－y＋＋1＝0 B．x＋y＋－1＝0 C．x－3y＋＋3＝0 D．x＋3y＋－3＝0 (2)(多选)若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为( ). A．x－y＋1＝0　　　 B．x＋y－3＝0 C．2x－y＝0　　　 D．x－y－1＝0 题型2　两直线的位置关系 【例2】(1)若直线l：(a＋1)x－y＋3＝0与直线m：x－(a＋1)y－3＝0互相平行，则a的值为( ). A．－1　　　 B．－2 C．－2或0　　　 D．0 (2)(2025·成都诊断)已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则点D的坐标为( ). A．(－1，0)　　　 B．(0，－1) C．(1，0)　　　 D．(0，1) (1)已知两直线的斜率存在，判断两直线平行或垂直的方法 ①两直线平行⇔两直线的斜率相等且两直线不重合． ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. 注意：当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． (2)由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1与l2平行的充要条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2相交的充要条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充要条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 【变式】(1)设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是( ). A．∪ B． C． D．∪ 【解析】直线ax＋y＋2＝0恒过定点M(0，－2)，且斜率为－a.因为kMA＝＝－，kMB＝＝，结合题意可知－a>－，且－a<，所以a∈. (2)已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线l2：2x＋y－1＝0，直线l3：x＋ny＋1＝0.若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n＝ ． 题型3　距离公式 【例3】(1)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是 ． 【解析】由题意得，点P到直线的距离为＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]. (2)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是 ． 【解析】依题意知＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即方程6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，又两平行线之间的距离为，所以＝，解得c＝2或c＝－6. 两种距离的求解思路 (1)点线距：可直接利用点到直线的距离公式求解，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)线线距：利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式). 【变式】(1)已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则直线l的方程为( ). A． 2x－y＋1＝0　　　　 B． 2x＋y＋1＝0 C． 2x－y＋2＝0　　　　 D． 2x＋y＋2＝0 (2)若直线l过点P(－1，2)，且点A(2，3)和点B(－4，5)到直线l的距离相等，则直线l的方程为 ． 【解析】当AB∥l时，直线l的斜率k＝kAB＝－，则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB的中点时，AB的中点为(－1，4)，所以直线l的方程为x＝－1，故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1. 题型4　对称问题 【例4】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2). (1)求点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程； (3)求直线l关于点A对称的直线l′的方程． 【解析】(1)设A′(x，y).由已知条件得 解得所以点A′的坐标为. (2)在直线m上取一点M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设M′(a，b)，由得M′.设直线m与直线l的交点为N，由得N(4，3).易知m′经过点M′，N(4，3)，由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. (3)在直线l：2x－3y＋1＝0上取P(1，1)，Q(4，3)两点，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，由两点式可得直线l′的方程为2x－3y－9＝0. 对称问题处理策略 (1)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，且直线l与直线MN垂直． (2)解决直线或点关于点成中心对称问题，一般运用中点公式解决问题． (3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；若点B在直线l1上，则点B关于直线l的对称点B′在直线l2上． 【变式】唐代诗人李欣的诗《古从军行》的开头两句是“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发， 到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(1，1)，若将军从山脚下的点B(4，4)处出发，河岸线所在直线l的方程为x－y＋1＝0，则“将军饮马”的最短总路程是( ). A．3　　　 B． C．　　　 D．2 直线系方程的应用 直线系是指具有某种共同性质的所有直线的集合，其方程叫直线系方程．常见的直线系有平行直线系、垂直直线系和过两直线交点的直线系，求解直线方程时，采用设直线系方程的方法可简化运算． 角度1　平行直线系方程 【例1】已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，l1能和x轴、y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程． 【解析】设直线l1的方程为x－3y＋c＝0(c≠6)，令y＝0，得x＝－c；令x＝0，得y＝.依题意有×|－c|×＝8，c＝±4，所以l1的方程是x－3y±4＝0. 角度2　垂直直线系方程 【例2】求经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程． 【解析】因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0.又该直线过点A(2，1)，所以2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0. 角度3　过相交直线交点的直线系方程 【例3】已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． 【解析】设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0. (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). (2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. (3)过两条直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). (4)过定点P(x0，y0)的直线系方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，还可以表示为y－y0＝k(x－x0)和x＝x0. 【变式】(1)已知直线3x－4y＋7＝0，则与之平行而且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程为 ． (2)求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离的直线方程． 【解析】设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0.由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线的距离相等，可得＝，整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝或λ＝，所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1. $