重难点培优02 导数中的函数构造问题（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦导数中的函数构造核心考点，涵盖利用f(x)与x、e^x、sinx/cosx的构造及比较大小问题，按“知识精讲-题型深研-分层进阶”逻辑架构，通过梳理构造形式、精讲真题例题、变式训练等环节，帮助学生建立函数构造的分析框架与解题思路。 资料突出通性通法指导，如针对xf’(x)±f(x)构造h(x)=x^n f(x)，培养数学思维；设计分层练习（巩固过关+创新提升），用真题情境训练数学语言表达，助力学生高效掌握构造技巧，为教师把控复习节奏提供实用教学资源。

重难点培优02 导数中的函数构造问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 题型深研·通法变式提能力 题型01 利用f(x)与x构造 题型02 利用f(x)与ex构造函数 题型03 利用f(x)与sin x，cos x构造 题型04 比较大小问题中的构造函数 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 创新提升 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点01 利用f(x)与x构造 f(x)与x构造常见的形式 (1)对于xf′(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝xf(x)． (2)对于xf′(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝． (3)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造h(x)＝xnf(x)． (4)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造h(x)＝． 知识点02 利用f(x)与ex构造函数 f(x)与ex构造常见的形式 (1)对于f′(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝exf(x)． (2)对于f′(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝． (3)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造h(x)＝enxf(x)． (4)出现f′(x)－nf(x)形式，构造h(x)＝． 知识点03 利用f(x)与sin x，cos x构造 f(x)与sinx，cos x构造常见的形式 (1)对于f′(x)sin x＋f(x)cos x＞0，构造函数h(x)＝f(x)sin x； (2)对于f′(x)sin x－f(x)cos x＞0，构造函数h(x)＝； (3)对于f′(x)cos x－f(x)sin x＞0，构造函数h(x)＝f(x)cos x； (4)对于f′(x)cos x＋f(x)sin x＞0，构造函数h(x)＝． 题型深研·通法变式提能力 题型01 利用f(x)与x构造 【例1】（2026·黑龙江·模拟预测）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的导函数为，对恒成立，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型02 利用f(x)与ex构造函数 【例2】（2026·江苏无锡·期中）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广东东莞一模）已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的定义域为，，，且对于、，当时都有，则不等式的解集为 ． 题型03 利用f(x)与sin x，cos x构造 【例3】已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】已知函数在上单调递减，为其导函数，若对任意都有，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·云南大理·模拟）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ． 【变式3】（2026·福建龙岩二模）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型04 比较大小问题中的构造函数 【例4】（2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山东青岛·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·河北衡水·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1.（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 2.（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 3.（2026·四川广元·三模）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东淄博·期中）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·福建福州一模）设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（   ） A． B． C． D． 6．定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足，且，则满足不等式的实数的范围为（   ） A． B．或 C． D．或 7．设函数在上的导函数为，且，则下面的不等式在上恒成立的是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的导函数满足对恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 9．已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（    ） A． B． C． D． 10.已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 11.记函数的导函数为，已知，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若为偶函数，则 D．可能为二次函数 12．若偶函数的定义域为，满足，且当时，，则不等式的解集是 ． 13.已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为 . 14．设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 创新提升 15．（2026·河南·三模）已知正实数a，b满足，则ab的值为（   ） A． B． C． D． 16．（2026·河南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 17．（2026·江西·三模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 18．（2026·海南儋州·二模）已知的导函数为，且，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D． 19．（2026·安徽·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优02 导数中的函数构造问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 题型深研·通法变式提能力 题型01 利用f(x)与x构造 题型02 利用f(x)与ex构造函数 题型03 利用f(x)与sin x，cos x构造 题型04 比较大小问题中的构造函数 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 创新提升 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点01 利用f(x)与x构造 f(x)与x构造常见的形式 (1)对于xf′(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝xf(x)． (2)对于xf′(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝． (3)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造h(x)＝xnf(x)． (4)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造h(x)＝． 知识点02 利用f(x)与ex构造函数 f(x)与ex构造常见的形式 (1)对于f′(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝exf(x)． (2)对于f′(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝． (3)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造h(x)＝enxf(x)． (4)出现f′(x)－nf(x)形式，构造h(x)＝． 知识点03 利用f(x)与sin x，cos x构造 f(x)与sinx，cos x构造常见的形式 (1)对于f′(x)sin x＋f(x)cos x＞0，构造函数h(x)＝f(x)sin x； (2)对于f′(x)sin x－f(x)cos x＞0，构造函数h(x)＝； (3)对于f′(x)cos x－f(x)sin x＞0，构造函数h(x)＝f(x)cos x； (4)对于f′(x)cos x＋f(x)sin x＞0，构造函数h(x)＝． 题型深研·通法变式提能力 题型01 利用f(x)与x构造 【例1】（2026·黑龙江·模拟预测）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 所以在上单调递减； 因为，所以， 由，得，即， 所以，解得，所以不等式的解集是． 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令， 则， 所以在R上递增， 又， 则不等式等价于， 所以，即不等式的解集为. 【变式2】已知函数的导函数为，对恒成立，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令 因为，且， 所以在上单调递增， 因为，所以.故选：A 【变式3】（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 题型02 利用f(x)与ex构造函数 【例2】（2026·江苏无锡·期中）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为等价于， 构造，，原不等式即为， 因为，则， 可知在定义域内单调递增，且， 则不等式的解集为， 所以不等式的解集为. 【变式1】已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， ∴在R上单调递增.又，则. ∵等价于，即， ∴，即所求不等式的解集为，故选A. 【变式2】（2026·广东东莞一模）已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，已知不等式，则，即， 设，求导得， 函数是实数集上的减函数， 又，即， ，故不等式的解集为． 【变式3】已知函数的定义域为，，，且对于、，当时都有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】构造函数，其中， 则， 故函数在上为减函数， 由可得，即， 因为，则，所以，，解得. 对于、，当时都有， 不妨设，则，所以，函数在上为增函数， 则对任意的，，则，可得恒成立， 因此，所求不等式的解集为. 题型03 利用f(x)与sin x，cos x构造 【例3】已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，所以，由有：，当，，所以在单调递增， 又，所以，即，故A错误； 又，所以，即，故B错误； 又，所以，即，故C正确； 由，所以，即，故D错误. 故选：C 【变式1】已知函数在上单调递减，为其导函数，若对任意都有，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵函数在上单调递减 ∴时， ∵对任意都有 ∴，且 令，则， ∴在上单调递增， ∴，即 ∵， ∴选项A,B,C不一定成立 由以上分析可得 故选：D 【变式2】（2026·云南大理·模拟）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由，设， ，所以函数在上单调递减， 即，得，所以，所以不等式的解集为 【变式3】（2026·福建龙岩二模）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以设， 则， 所以在上为增函数， 又因为，，， ，所以，即，故选C 题型04 比较大小问题中的构造函数 【例4】（2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 所以的大小关系为. 【变式1】（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则，即. 【变式2】（2026·山东青岛·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵对数函数定义域上单调递增，且，所以， ， 令函数，，且， 则导数，当时，，函数单调递减， ∴，即， ∴. 【变式3】（2026·河北衡水·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，， 又，，令，则， 当时，，单调递减， 所以，即， 所以，所以，所以， 又，．所以，所以，故A正确. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1.（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，则． 令，则， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 则， 则，即．故． 2.（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则. 当时，则，可得，所以在上单调递减. 因为，且， 所以，即． 3.（2026·四川广元·三模）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，故在上单调递增， 又，故当时，， 则，即，故， ， ，故； 综上可得. 4．（2026·山东淄博·期中）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 则， 因为，所以，所以为定义在上的减函数， 因为为奇函数， 所以，，， ，即，即，故， 所以不等式的解集为. 5．（2026·福建福州一模）设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 因为，所以， 故在上单调递减， 因为，所以， 因为，所以，即， 故不等式的解集为. 6．定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足，且，则满足不等式的实数的范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】由题得：， 即，从而（其中为常数），，又， ，因为的定义域为R，且，则为偶函数， 又因为，当时，， 因为均在上单调递增，则在上单调递增，则，结合， 则在上恒成立，且仅在时取等号， 则可判断是偶函数且在单调递增，，解得或， 故选：B． 7．设函数在上的导函数为，且，则下面的不等式在上恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数，则， 因为，则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，即，则， 由，令，则，即. 综上所述在实数集上恒成立. 故选：C． 8．已知函数的导函数满足对恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则，又因为满足对恒成立，所以在区间恒大于，即在区间单调递增，故有 ，展开化简得:， 故选. 9．已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，所以， 因为当时，， 所以，所以在上单调递增， 因为， 且，所以，所以， 故选：B. 10.已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】CD 【解析】令函数，求导得，由， 得，即函数在定义域上单调递增，由，得， 不等式，即，解得， 所以所求的值可能为1，2. 11.记函数的导函数为，已知，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若为偶函数，则 D．可能为二次函数 【答案】ACD 【解析】由，得， 因为，所以， 即，所以是减函数， 所以，即，所以A正确； ，即，所以B不正确； 若为偶函数，则. 两边求导，得，所以是奇函数. 由，，得. 所以，所以C正确； 假设，则. 由，得. 由，得，所以. 由，得，即恒成立； 则，即. 令，则成立， 所以可能为二次函数，所以D正确. 12．若偶函数的定义域为，满足，且当时，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】令，则函数定义域为， 且对任意恒成立， 所以函数在上单调递增， 因为函数是偶函数，所以， 所以函数为偶函数， 所以函数在上单调递减， 又，所以， 所以当时，不等式即， 即，所以， 当时，不等式即， 即，所以， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 13.已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】． 令，则， 所以，则在上是减函数． 由，且在上是奇函数，得，则， 又， 所以，即不等式的解集为． 14．设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】 令，即，则为奇函数， 当时，，则在上单调递增， 故在区间上单调递增，则在上单调递增， ∵， 即， ∴，解得． 创新提升 15．（2026·河南·三模）已知正实数a，b满足，则ab的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对两边取自然对数，得， 即， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以方程的解只有一个， 又因为，所以， 所以． 16．（2026·河南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，所以 所以，即. 令，则， 令，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以恒成立，即恒成立，所以是减函数， 所以，即，即． 综上所述，. 17．（2026·江西·三模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且，所以， 同理，由，可得， 由，可得. 令，得，所以在上单调递减， 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 在同一平面直角坐标系中画出的图象，如图所示： 从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为. 18．（2026·海南儋州·二模）已知的导函数为，且，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D． 【答案】ACD 【解析】由，可得， 即(为常数)， 设，则， 由于，所以，则， 解得：，所以， 所以， 则，所以，故A正确； 对于B，， 即，故B错误； 对于C，令，所以，即在上单调递增，故C正确； 对于D，令， 所以， 令，解得：，所以在上单调递增， 令，解得：，所以在上单调递减， 则，即， 所以成立，故D正确. 19．（2026·安徽·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】由，得. 令，则，故为上的偶函数． 因为当时，，所以在上单调递减，在上单调递增． 故等价于，即在上恒成立， 因为为偶函数，且在上单调递增，所以， 平方后化简得到，由一次函数性质得， 解得．故实数的取值范围为 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $