2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学导学案聚焦一元二次方程的解集及根与系数关系，通过课前预习的核心知识点精讲，帮助学生衔接已学方程知识，构建从标准形式、判别式到解集判定的学习支架。 资料以分层训练（基础、中档、拔高）结合2025年各地高一统考真题为特色，强调解集规范书写与韦达定理应用前提，培养学生数学抽象、运算能力和逻辑推理，助力突破含参分类讨论等难点，提升综合解题能力。

高中数学人教 B 版 (2019) 必修第一册｜同步精品教研学案 紧扣新课标・重难点突破 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 导学案 【参考答案与详细解析】 教材版本：人教B版（2019）高中数学必修第一册 课时：1课时 适用年级：高一上学期 【学习目标】 1.数学抽象：理解一元二次方程解集的定义，掌握判别式 Δ 与方程解的对应关系，规范用集合书写解集。 2.数学运算：熟练使用求根公式、因式分解法求解一元二次方程，能根据 Δ 判断解集类型。 3.逻辑推理：推导并掌握韦达定理（根与系数关系），会变形求解两根和、两根积相关代数式。 4.综合应用：结合 2025 各地高一统考真题，解决含参数一元二次方程、两根符号、代数式求值综合题型。 【学习重难点】 重点（人教B版教材必考）：判别式判断一元二次方程解集；韦达定理基础应用。 难点（人教B版同步难点）：含参一元二次方程分类讨论；两根对称式恒等变形；两根正负综合判定。 【课前预习・核心知识点精讲】 知识点一 一元二次方程标准形式与判别式 1.标准形式： 2.判别式： 3.解集判定： ① ：方程有两个不相等实数根，解集为双元素集合； ② ：方程有两个相等实数根，解集为单元素集合； ③ ：方程无实数根，解集为空集。 知识点二 求根公式 当时，方程两根： 知识点三 韦达定理（根与系数关系） 若两根为，则 适用前提：方程有实数根（） 知识点四 两根常见变形公式 1. 2. 3. 知识点五 2025 高一B版教材统考高频考法总结 1.基础：直接求方程解集、利用韦达求两根和积； 2.中档：已知一根求另一根、对称代数式求值； 3.拔高：含参方程根据解集情况求参数范围、两根正负限制参数。 【课堂真题精讲·分层训练】 层级一：基础题型（判别式、基础解集求解） 典例 1（2025・北京西城区高一B版期末真题） 一元二次方程的判别式 Δ 的值为（ ） A. 5 B. -5 C. 13 D. -13 典例 2（2025・天津一中高一B版期末真题） 求解方程，并写出方程的解集。 层级二：中档提升题型（韦达定理基础求值） 典例 3（2025・广东广州高一B版期末真题） 已知是方程两根，求与。 典例 4（2025・山东潍坊高一B版模拟真题） 设方程两根为，求的值。 层级三：培优拔高题型（含参数综合真题） 典例 5（2025・安徽六校高一B版入学联考真题） 已知关于的方程有两个不相等实数根，求实数的取值范围。 解析：方程有两不等实根，则 典例 6（2025・浙江杭州名校B版联考真题） 已知方程一根为 1，求另一根与的值。 【2025 各地高一B版统考・课堂精练】 1.（2025・四川绵阳高一B版月考）方程的解集为（ ） A. B. C. D. 2.（2025・江苏南京高一B版期中）若是两根，则 。 3.（2025・湖北武汉高一B版统考）关于的方程有实数根，求的取值范围。 【2025 分层课后作业・全真实高一B版真题】 基础必做题 1.（2025・重庆高一B版学考真题）求解下列方程并规范写出解集： （1） （2） 2.（2025・江西南昌高一B版期末）已知方程两根为，求、。 提升培优题 3.（2025・新高考 Ⅱ 高一B版模拟真题）已知方程有一个根为 0，求的值与方程解集。 4.（2025・广东梅州高一B版期末真题）已知一元二次方程两根满足，求的值。 【课堂核心小结】 1.解集书写规范：两不等根写双元素集合，等根单元素，无实根写空集； 2.韦达定理使用前提：，必须先判断存在实数根； 3.对称代数式优先使用和、积整体代换，避免单独求根； 4.含参方程分两步：先由 Δ 限定根的个数，再结合韦达定理列等式。 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学人教 B 版 (2019) 必修第一册｜同步精品教研学案 紧扣新课标・重难点突破 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 导学案 【参考答案与详细解析】 教材版本：人教B版（2019）高中数学必修第一册 课时：1课时 适用年级：高一上学期 【学习目标】 1.数学抽象：理解一元二次方程解集的定义，掌握判别式 Δ 与方程解的对应关系，规范用集合书写解集。 2.数学运算：熟练使用求根公式、因式分解法求解一元二次方程，能根据 Δ 判断解集类型。 3.逻辑推理：推导并掌握韦达定理（根与系数关系），会变形求解两根和、两根积相关代数式。 4.综合应用：结合 2025 各地高一统考真题，解决含参数一元二次方程、两根符号、代数式求值综合题型。 【学习重难点】 重点（人教B版教材必考）：判别式判断一元二次方程解集；韦达定理基础应用。 难点（人教B版同步难点）：含参一元二次方程分类讨论；两根对称式恒等变形；两根正负综合判定。 【课前预习・核心知识点精讲】 知识点一 一元二次方程标准形式与判别式 1.标准形式： 2.判别式： 3.解集判定： ① ：方程有两个不相等实数根，解集为双元素集合； ② ：方程有两个相等实数根，解集为单元素集合； ③ ：方程无实数根，解集为空集。 知识点二 求根公式 当时，方程两根： 知识点三 韦达定理（根与系数关系） 若两根为，则 适用前提：方程有实数根（） 知识点四 两根常见变形公式 1. 2. 3. 知识点五 2025 高一B版教材统考高频考法总结 1.基础：直接求方程解集、利用韦达求两根和积； 2.中档：已知一根求另一根、对称代数式求值； 3.拔高：含参方程根据解集情况求参数范围、两根正负限制参数。 【课堂真题精讲·分层训练】 层级一：基础题型（判别式、基础解集求解） 典例 1（2025・北京西城区高一B版期末真题） 一元二次方程的判别式 Δ 的值为（ ） A. 5 B. -5 C. 13 D. -13 解析：， 答案：A 典例 2（2025・天津一中高一B版期末真题） 求解方程，并写出方程的解集。 解析：因式分解，得 解集： 层级二：中档提升题型（韦达定理基础求值） 典例 3（2025・广东广州高一B版期末真题） 已知是方程两根，求与。 解析：由韦达定理， 答案：和为 4，积为 - 2 典例 4（2025・山东潍坊高一B版模拟真题） 设方程两根为，求的值。 解析： 答案：3 层级三：培优拔高题型（含参数综合真题） 典例 5（2025・安徽六校高一B版入学联考真题） 已知关于的方程有两个不相等实数根，求实数的取值范围。 解析：方程有两不等实根，则 化简：， 解得或 答案： 典例 6（2025・浙江杭州名校B版联考真题） 已知方程一根为 1，求另一根与的值。 解析：把代入方程：，解得 方程为，解集为，另一根为 2 答案：，另一根为 2 【2025 各地高一B版统考・课堂精练】 1.（2025・四川绵阳高一B版月考）方程的解集为（ ） A. B. C. D. 2.（2025・江苏南京高一B版期中）若是两根，则 。 3.（2025・湖北武汉高一B版统考）关于的方程有实数根，求的取值范围。 【2025 分层课后作业・全真实高一B版真题】 基础必做题 1.（2025・重庆高一B版学考真题）求解下列方程并规范写出解集： （1） （2） 2.（2025・江西南昌高一B版期末）已知方程两根为，求、。 提升培优题 3.（2025・新高考 Ⅱ 高一B版模拟真题）已知方程有一个根为 0，求的值与方程解集。 4.（2025・广东梅州高一B版期末真题）已知一元二次方程两根满足，求的值。 【课堂核心小结】 1.解集书写规范：两不等根写双元素集合，等根单元素，无实根写空集； 2.韦达定理使用前提：，必须先判断存在实数根； 3.对称代数式优先使用和、积整体代换，避免单独求根； 4.含参方程分两步：先由 Δ 限定根的个数，再结合韦达定理列等式。 【2025 真题参考答案与详细解析】 一、课堂精练答案解析 1. C 解析：，无实数根，解集为空集。 2. 19 解析：， 3. 解析：分两类讨论 ① 时，一次方程，有解，符合； ② ，一元二次方程，得且； 综合得，取值范围 答案： 二、课后作业答案解析 1. 解析 （1），解集 （2），解集 2.解析： 答案：和为 2，积为 3.解析：将代入得 方程为，，解集 答案：，解集 4.解析 由韦达： 条件： 整理：，解得 检验： 舍去，故 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $