2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦一元二次方程，系统涵盖定义、解法（直接开平方法、配方法等）、根的判别式及根与系数关系。以“竹竿过门”情境问题导入，从实际抽象出方程，衔接等式知识，为不等式学习搭建支架。 其亮点在于融合数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养，通过情境导学、分层训练（如配方法例题、根与系数关系跟进训练）和反思领悟，帮助学生构建知识体系。学生能提升解题能力与思维，教师可借助分层作业与课堂小结优化教学，提高效率。

第二章 等式与不等式 2.1　等式 2.1.2　一元二次方程的解集及其根 与系数的关系 学习任务 1．理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集．(数学抽象、数学运算) 2．掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数．(逻辑推理) 3．掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方程两根的代数式的值．(数学运算) 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 从前有一天，某人拿一竹竿对着大门比画：竹竿横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，斜着与门框的对角线长度相等． 问题　你知道竹竿有多长吗？ 必备知识·情境导学探新知 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 知识点1　一元二次方程的定义 形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是____，且_____． 常数 a≠0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 思考1．方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数)一定是一元二次方程吗？ [提示]　不一定，a≠0时为一元二次方程，a＝0，b≠0时为一元一次方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 知识点2　一元二次方程的解法 直接开平方法 形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边______，转化为两个一元一次方程 配方法 把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过____化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用____________求解 开平方 配方 直接开平方法 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用 求根公式x＝求解 因式分解法 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个________的乘积，即可化成a(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1＝____，x2＝____ 一次因式 －m －n 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 知识点3　一元二次方程根的判别式 式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ＝b2－4ac．当Δ＞0 时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个______的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个____的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____实数根． 知识点4　一元二次方程的根与系数的关系 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝___，x1·x2＝． 不相等 相等 没有 － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 重要推论 (1)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q． (2)以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 思考2．利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？ [提示]　先把方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ＝b2－4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数的关系解题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用公式法解一元二次方程3x2＝－2x＋3时， a＝3，b＝－2，c＝3，再代入公式即可． (　　) (2)方程x2－2＝0的解是x＝． (　　) (3)关于x的方程a2x2＋x－1＝0有两个不相等的实数根． (　　) × × × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 [提示]　(1)用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为标准形式，再求a，b，c的值． (2)方程x2－2＝0的解是x＝±． (3)当a＝0时，方程不满足条件． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 2．解一元二次方程x(x－2)＝x－2时，小明得出方程的根是x＝1，则被小明漏掉的一个根是x＝________． 2　[方程整理为x(x－2)－(x－2)＝0，因式分解得(x－2)(x－1)＝0，所以x－2＝0或x－1＝0，解得x1＝2，x2＝1，所以被小明漏掉的一个根是x＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 3．若2和－5为一元二次方程x2＋bx－c＝0的两根，则b，c的值分别等于________． 3，10　[由一元二次方程根与系数的关系，可得解得] 3，10 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 类型1　一元二次方程的解法 考向1　用配方法解一元二次方程 【例1】　利用配方法解方程4x2＋8x＋1＝0． 关键能力·合作探究释疑难 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 [解]　移项，得4x2＋8x＝－1． 二次项系数化为1，得x2＋2x＝－， 配方，得x2＋2x＋12＝12－， 即(x＋1)2＝，∴x＋1＝±， ∴x1＝－1＋，x2＝－1－， ∴原一元二次方程的解集是． 反思领悟　用配方法解一元二次方程的步骤 (1)移项：把常数项移到方程的右边． (2)二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数． (3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式． (4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是降次，得到一元一次方程． (5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 [跟进训练] 1．用配方法求下列方程的解集． (1)x2＋3＝2x； (2)2x2－5x＋2＝0． [解]　(1)移项，得x2－2x＝－3． 配方，得x2－2x＋()2＝－3＋()2， 即(x－)2＝0．∴x1＝x2＝， ∴原一元二次方程的解集是{}． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 (2)移项，得2x2－5x＝－2． 二次项系数化为1，得x2－x＝－1． 配方，得x2－x＋＝－1＋． ∴＝．∴x－＝±． ∴x1＝＝2，x2＝＝， ∴原一元二次方程的解集是． 考向2　用公式法和因式分解法解一元二次方程 【例2】　用合适的方法求下列方程的解集． (1)5x2－3x＝x＋1； (2)2x2＋5x＝－2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 [解]　(1)原方程可化为5x2－4x－1＝0， 所以a＝5，b＝－4，c＝－1， Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0， 所以方程有两个不相等的实根， x＝＝＝， 即x1＝1，x2＝－． 所以原一元二次方程的解集为． (2)整理得2x2＋5x＋2＝0， 因式分解得(2x＋1)(x＋2)＝0， 可得2x＋1＝0或x＋2＝0， 解得x1＝－，x2＝－2， 所以方程的解集为． 发现规律　用公式法解一元二次方程的步骤 (1)把方程化为一般形式，确定__________的值． (2)求出__________的值． (3)若b2－4ac≥0，将a，b，c的值代入________计算，得出方程的解；若b2－4ac<0，则方程______． a，b，c b2－4ac 求根公式 无实根 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 [跟进训练] 2．用合适的方法求下列方程的解集． (1)x2＋3＝2x； (2)3x2＋2x－5＝0． [解]　(1)将方程化为一般形式为x2－2x＋3＝0．∵a＝1， b＝－2，c＝3，Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－4＜0， ∴原方程没有实数根． ∴原一元二次方程的解集是∅． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 (2)将方程因式分解得(3x＋5)(x－1)＝0， ∴3x＋5＝0或x－1＝0，解得x1＝－，x2＝1， ∴方程的解集为． 类型2　一元二次方程的根的判别式的应用 【例3】　不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况． (1)3x2－2x－1＝0； (2)2x2－x＋1＝0； (3)4x－x2＝x2＋2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 [解]　(1)∵Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根， ∴方程的解集中有两个元素． (2)∵Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0， ∴方程没有实数根，∴方程的解集为空集． (3)方程整理为x2－2x＋1＝0，∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，∴方程的解集中有一个元素． 反思领悟　使用根的判别式解决问题时的注意点 (1)一元二次方程的解的情况分为“无实根”“有实根”“有两个相等的实根”“有两个不等的实根”四种情况，注意与判别式的对应关系． (2)利用根的情况确定字母系数的取值范围时，不要漏掉二次项系数不为0这个隐含条件，否则容易出错． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 [跟进训练] 3．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＝－1有实数根，则m的取值范围是(　　) A．m≤3且m≠2 B．m<3 C．m≤3 D．m<3且m≠2 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 A　[∵关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＝－1，即(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根， ∴m－2≠0且Δ≥0，即22－4×(m－2)×1≥0， 解得m≤3， ∴m的取值范围是m≤3且m≠2．故选A．] 类型3　一元二次方程根与系数的关系 【例4】　【链接教材P52例2】 已知方程x2＋x－3＝0的两个根为x1，x2，求下列各式的值： x1； (2)|x1－x2|． [思路导引]　先由一元二次方程根与系数的关系写出x1＋x2与x1x2的值，再将所求值的式子化为关于x1＋x2与x1x2的表达式，最后整体代入求值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 [解]　由根与系数的关系，得x1＋x2＝－1，x1x2＝－3． x1＝x1x2(x1＋x2)＝－3×(－1)＝3． (2)|x1－x2|＝＝＝＝． 【教材原题·P52例2】 例2　已知一元二次方程2x2＋3x－4＝0的两根为x1与x2，求下列各式的值： ； (2)|x1－x2|． [尝试与发现]　求出x1和x2，并由此给出上述(1)和(2)的答案． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 [解]　由一元二次方程根与系数的关系， 得x1＋x2＝－，x1x2＝－2． (1)由上有＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2×(－2)＝． (2)因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×(－2)＝， 所以|x1－x2|＝＝． 反思领悟　1．根与系数关系的应用前提 应用根与系数的关系时，首先确定判别式的值是否大于或等于0，判别式的值非负是应用根与系数关系的前提． 2．与一元二次方程两根有关的几个常用变形 ＝(x1＋x2)2－2x1x2． (2)＝． (3)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2． (4)|x1－x2|＝． (5)＝＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 [跟进训练] 4．已知方程x2－3x－1＝0的两个实数根为x1，x2，求下列各式的值： (1)；；(3)|x1－x2|． [解]　因为x2－3x－1＝0的两个实数根为x1，x2，结合根与系数的关系，可得 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 (1)＝＝－3． ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝9＋2＝11． (3)|x1－x2|＝＝＝＝． 1．用配方法解方程x2－8x＋5＝0，将其化为(x＋a)2＝b的形式，正确的是(　　) A．(x＋4)2＝11　 B．(x＋4)2＝21 C．(x－8)2＝11 D．(x－4)2＝11 学习效果·课堂评估夯基础 √ D　[∵x2－8x＋5＝0，∴x2－8x＝－8x＋16＝－5＋16，∴(x－4)2＝11，故选D．] 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 2．(教材P53练习BT1改编)已知关于x的方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1＝0的解集为非空集合，则k的取值范围是(　　) A．∪(2，＋∞) B．∪(2，＋∞) C． D． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 D　[当k－2＝0，即k＝2时，原方程为5x＋1＝0， 解得x＝－，故k＝2符合题意． 当k－2≠0，即k≠2时，Δ＝(2k＋1)2－4×(k－2)2×1＝20k－15≥0，解得k≥且k≠2． 综上所述，k≥． 故选D．] 3．已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程可以是(　　) A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0 C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0 √ D　[设所求方程为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则由题意，可得4＋(－5)＝－，4×(－5)＝，即＝1，＝－20，验证四个选项，只有D项符合条件．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且＝10，则a＝________． 　[由根与系数的关系得x1＋x2＝5，x1x2＝a．由＝10，得(x1＋x2)(x1－x2)＝10． ∵x1＋x2＝5， ∴x1－x2＝2， ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4，解得a＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．解一元二次方程有哪几种方法？ [提示]　(1)直接开平方法．(2)配方法．(3)公式法．(4)因式分解法． 2．一元二次方程中根与系数的关系应用的前提条件是什么？应用时要注意什么问题？ [提示]　前提条件是：(1)a≠0．(2)Δ≥0． 在应用时应注意恒等变形和整体代入． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．若关于x的一元二次方程(k－2)x2＋x＋k2－4＝0有一个根是0，则k的值是(　　) A．－2　　　 B．2　　　 C．0　　　 D．－2或2 课时分层作业(十一)　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 A　[由已知得k2－4＝0且k－2≠0，解得k＝－2．] 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．(－∞，1) D　[∵方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－2)2－4m>0，解得m<1．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 45 3．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为(　　) A．4 B．－4 C．3 D．－3 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[由题知，x1＋x2＝－b，x1x2＝－3， 则x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，解得b＝4．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 46 √ 4．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“和谐”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是(　　) A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 47 A　[∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0．又a＋b＋c＝0，即b＝－a－c，代入b2－4ac＝0得 (－a－c)2－4ac＝0，化简得(a－c)2＝0，∴a＝c．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 48 √ 5．(多选)关于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下说法正确的是(　　) A．当m＝0时，方程只有一个实数根 B．当m＝1时，方程有两个相等的实数根 C．当m＝－1时，方程没有实数根 D．当m＝2时，方程有两个不相等的实数根 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 49 AB　[当m＝0时，方程化为－4x＋5＝0，解得x＝，此时方程只有一个实数根，A正确； 当m＝1时，方程化为x2－4x＋4＝0，因为Δ＝(－4)2－4×1×4＝0， 所以此时方程有两个相等的实数根，B正确； 当m＝－1时，方程化为－x2－4x＋6＝0，因为Δ＝(－4)2－4×(－1)×6＞0，所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误； 当m＝2时，方程化为2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝－4×2×3＝－8＜0，所以此时方程无实数根，D错误．故选AB．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 二、填空题 6．不解方程，则关于x的方程2x2－(2m＋1)x＋(m2＋1)＝0的解集为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ∅　[因为Δ＝[－(2m＋1)]2－4×2(m2＋1)＝＋4m－7＝－(2m－1)2－6<0，所以方程的解集为∅．] ∅ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 51 7．若16x2＋1＋k(k为单项式)是一个完全平方式，则满足条件的k为___________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ±8x或64x4　[16x2＋1＋k是完全平方式，则满足条件的单项式k是±8x或64x4．] ±8x或64x4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 52 8．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＝－1，则m的值是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3　[一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0有两个不相等的实数根， 则Δ＝(2m＋3)2－4m2＞0，解得m＞－．α＋β＝－2m－3，αβ＝m2， 则＝＝＝－1，即m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝ －1，因为m＞－，所以只有m＝3符合题意．] 3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 53 三、解答题 9．已知一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个元素． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，求此时m的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)由一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个元素，得Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4k＞0， 解得k＜4． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 54 (2)由k是符合条件的最大整数，得k＝3，∴一元二次方程为x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3． ∵一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根， ∴当x＝1时，把x＝1代入x2＋mx－1＝0， 得1＋m－1＝0，解得m＝0； 当x＝3时，把x＝3代入x2＋mx－1＝0， 得9＋3m－1＝0，解得m＝－． 综上，m＝0或m＝－． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 √ 10．(多选)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和为45，则a的值可能为(　　) A．－9 B．－5　　　　 C．5 D．9 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 56 BD　[设方程的两根为x1，x2，由题意，得＝45． 所以(x1＋x2)2－2x1x2＝45． 因为x1＋x2＝a，x1x2＝2a， 所以a2－2×2a＝45． 解得a1＝－5，a2＝9． 又因为Δ＝a2－8a， 当a＝－5时，Δ＞0，此时方程有两实数根． 当a＝9时，Δ＞0，此时方程有两实数根．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 57 √ 11．已知a，b，c是△ABC的三边长，关于x的方程＋x＋c－a＝0的解集只有一个元素，且方程3cx＋2b＝2a的根为x＝0，则△ABC的形状为(　　) A．等腰但不等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 58 C　[因为方程x2＋x＋c－a＝0的解集只有一个元素，所以Δ＝()2－4×＝0，即a＋b＝2c．　① 又因为方程3cx＋2b＝2a的根为x＝0， 所以a＝b．　② 由①②可得a＝b＝c，即△ABC为等边三角形．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 12．已知关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3，1}，则关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 {－1，3}　[把后面一个方程m(x＋a－2)2＋n＝0中的x－2看作整体，相当于前面一个方程中的x． ∵关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3，1}， ∴方程m(x＋a－2)2＋n＝0可变形为m[(x－2)＋a]2＋n＝0，此方程中x－2＝－3或x－2＝1，解得x＝－1或x＝3． ∴关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是{－1，3}．] {－1，3} 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 60 13．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1和x2，当＝0时，m的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 61 　[由题意得Δ＝(2m－1)2－4m2≥0，解得m≤． 由根与系数的关系，得x1＋x2＝－(2m－1)，x1x2＝m2． 由＝0，得(x1＋x2)(x1－x2)＝0． 若x1＋x2＝0，即－(2m－1)＝0，解得m＝．因为＞，可知m＝不合题意，舍去； 若x1－x2＝0，即x1＝x2，由Δ＝0，得m＝． 故当＝0时，m＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 14．一元二次方程x2－2x－＝0的某个根，也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根，求k的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　x2－2x－＝0，移项得x2－2x＝， 配方得x2－2x＋1＝，即(x－1)2＝， 开方得x－1＝±，解得x1＝，x2＝－． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 63 ①把x＝代入x2－(k＋2)x＋＝0中， 得－(k＋2)＋＝0，解得k＝； ②把x＝－代入x2－(k＋2)x＋＝0中， 得＋(k＋2)＋＝0，解得k＝－7． 当k＝或－7时，b2－4ac＝(k＋2)2－9都大于0， 综上所述，k的值为－7或． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 64 15．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2－3|x|＋2＝0． 解：设|x|＝y，则原方程可化为y2－3y＋2＝0， 解得y1＝1，y2＝2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 65 当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1； 当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2． ∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2． 上述解方程的方法叫做换元法．请用换元法解决下列问题： (1)解方程：x4－10x2＋9＝0； (2)若实数x满足x2＋－3x－＝2，求x＋的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 [解]　(1)设x2＝a，则原方程可化为a2－10a＋9＝0， 即(a－1)(a－9)＝0，解得a＝1或a＝9， 当a＝1时，x2＝1， ∴x＝±1； 当a＝9时，x2＝9， ∴x＝±3． ∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 (2)设x＋＝y， 则原方程可化为：y2－2－3y＝2， 即y2－3y－4＝0， ∴(y＋1)(y－4)＝0， 解得y＝－1或y＝4， 即x＋＝－1(方程无解，舍去)或x＋＝4， 故x＋＝4． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 68 $