2.1.3 方程组的解集-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

2.1.3方 学习目标 1.理解方程组的解集的定义及表示方法。 2.会利用代入消元法或加减消元法解二 元一次方程组.理解解方程组的基本思想是 降次和消元， 3.会选用合适的方法求解三元一次方程 组和二元二次方程组. 4.根据方程组未知数的个数和方程的个 数，会判断方程组的解集为有限集还是无 限集. 5.通过在实际情境中分析问题，构建方 程组模型，计算结果，检验结果的实际性， 培养数学建模思想. 要点精析 【川要点1二元一次方程组的解法 方程组中，由两个方程的解集得到的交 集称为这个方程组的解集， 说明：当方程组中未知数的个数大于方 程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个 元素，此时，如果将其中一些未知数看成常 数，那么其他未知数往往能用这些未知数表 示出来 例1选择合适的方法解下列方程组. 12x-y=3,① (1) 3x+4y=10.② x+2y=3,① (2) 3x-4y=4.② 第二章等式与不等式。 程组的解集 分析 用代入消元法或加减消元法解 二元一次方程组 反思感悟 二元一次方程组的解用二元有序数组 (或数对)来表示时，(x,y)=2,)只是 x=2, 1 的简写形式，两者表示的意思是一 致的，同样的，三元一次方程组的解也可 用形如(x,y,)的三元有序数组表示 B变式训练① 有A,B两种型号的台灯，若购买2盏 A型台灯和6盏B型台灯共需610元，购买 6盏A型台灯和2盏B型台灯共需470元. (1)求A,B两种型号台灯每盏分别多 少元 学(29 N 高中数学必修第一册人教B版 (2)采购员小红想采购A,B两种型号 台灯共30盏，且总费用不超过2200元，则 最多能采购B型台灯多少盏？ 川要点2三元一次方程组的解法 一般地，可将三元一次方程组分为一般 型、轮换型与连等型三种形式.在解这三种 三元一次方程组时，最常用的是代入消元法 和加减消元法。 x+y+z=12,① 例2解方程组： x+2y+5z=22,② x=4y.③ (30)学 反思感悟 求三元一次方程组的基本步骤： (1)观察方程组中每个方程的特点， 利用代入消元法或加减消元法消去一个未 知数，得到二元一次方程； (2)解这个二元一次方程组，求出两 个未知数的值； (3)将所得的两个未知数的值代入原 方程组中一个系数比较简单的方程中，求 出第三个未知数的值； (4)根据所求未知数的值写出方程组 的解集】 B变式训练② x+y+z=26, 解方程组： x-y=1, 2x-y+z=18. x+y=3,① 例3解方程组： y+z=5,② z+x=4.③ 分析根据①②③三个式子的特点， 可以利用加减消元法来解这个三元一次方 程组. 变式训练③ x+y=5,① 若y+=7,②则x+2y+a的值为 x+2=6,③ 例4解方程组： x-y+2z=18.② 分析根据①式的特点，可利用换元 法对①式进行变换， 第二章等式与不等式。 P变式训练④ 《毛诗》《春秋》《周易》书，九十四 册共无余，《毛诗》一册三人吟，《春秋》 一册四人读，《周易》五人读一本，要分每 样几多书？ 川要点3二元二次方程组的解法 “二一”型的二元二次方程组与“二· 二”型的二元二次方程组是两类最常见的方 程组， x2+2xy+y2=4,① 例5解方程组： x-2y=5.② 分析此题是“二一”型的二元二次 方程组，可以利用代入消元法或整体法解 二元二次方程组， 学(31 N 高中数学必修第一册人教B版 变式训练6 已知等式kx2+y2-2kx+2y-3k=0,若对任 意的实数飞，等式恒成立，求所有实数对 (x,y)的集合 x2-3xy-4y2=0,① 例6解方程组： x2+4y+4y2=1.② 分析 “二·二”型的二元二次方程 组，可利用整体法来解此题 反思感悟 求二元二次方程组解集的基本思想是 消元和降次，消元就是化二元为一元，降 次就是把二次降为一次。 32)学 变式训练6 (x+1)2+y2=1, 解方程组： y=x2. 数学文化 例我国古代数学著作《孙子算经》中 有一道题：今有木，不知长短，引绳度之， 余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长 几何.大致意思是：用一根绳子去量一根木 条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条， 木条剩余1尺，问木条长多少尺.设绳子长 x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正 确的是() 1x-y=4.5, x-y=4.5, A. 2t1 1 x+y=4.5, x-y=4.5, C.{ 1 D 2=1 分析本题涉及绳子和木条的长度两 个量，是解二元一次方程组问题，找出题 中的等量关系即可列出方程组N 高中数学必修第一册人教B版 21.2一元二次方程的解集 及其根与系数的关系 例1解：△=(-2)2-4×3h=4(1-3k). (1):方程有两个不相等的实数根， 40.即41-3)>0，<兮 (2):方程有两个相等的实数根， 40,即4(1-3)0，k=分 (3)方程有实数根， 4≥0，即4(1-3k)≥0，k≤ 3 (4).方程无实数根， 40,即41-3)0，k>3 变式训练1解：△=[-(k+4)]2-4x1=k2+4h+16=(k+2)2+ 12>0,.方程有两个不相等的实数根，：= +4-V+2+ID,=(k+4)+V+2P+2 2 2 例2解：解不等式x?<1,得+号，而不等式x号 <1的解集为<小，l+号山，解得a-0,.一元二次 方程的根的判别式△=2-4=-4<0，.关于x的一元二次 方程x2+ax+1=0没有实数根. 变式训练2证明：·4=(m-3)2-4×m×(-3)=m2+6m+9= (m+3)2≥0，.方程总有两个实数根， 例3解：由一元二次方程根与系数的关系， 得g子，=-2 3 (1)利用根与系数关系公式的变形， 可知+=(+a八-2w=3了-2xX(-2)空 (2)(-6广=6c*g-43-4x-2)- l-VP=V4年 2 变式训练3解：：方程x2-3x+1=0的两根为：与x2, .x1+x2=3,x化=1. （1)x+2=(1+2)(行-x2+)=(x+)[(x1+)尸-3x] =3×(32-3×1)=18. (2)点+女=+=t22-2x西=3-2x1=7 1x22 尤比2 1 例4证明：令F(x)=fx)-x.x1,2是方程f(x)-x=0的 根，∴F(x)=a(-x)(x-). 当x∈(0，x)时，由于x<2,得(x-x)(x-)>0. 又a>0,得F(x)=a(x-x)(x-)>0, 即fx)-x=Fx)>0,x<fx. 32 又x-f(x)=x-[x+F(x)]=x1-[x+a(x-)(x-x2)]=(x x)+a(x1-x)(x-2)=(1-x)[1+a(x-2)]. 0<1 .'∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0, 得xfx)>0,由此f(x)<x.综上，x<f孔x)<x. 数学文化 例解：设正方形的边长为x 则有AF=交DB=20++14=+34. 根据△ABF∽△DBE,可知AF=AB DE DB 从而AFDB=AB·DE 因此56+34)=20x1775. 整理得x2+34x-71000-0, 解得=250或x=-284(舍去). .·.邑方边长250步. 2.1.3方程组的解集 要点精析 例1解：(1)由①，得=2x-3,③ 把③代人②，得3x+4(2x-3)=10,解得x=2. 把=2代人③，得y=1. .原方程组的解集为{(2,1)小. (2)①x2,得2x+4y=6,③ ③+②，得5x=10,解得x=2. 把-2代人①，得2+2=3，解得2 原方程组的解集为2.分小 变式训练1解：(1)设A,B两种型号台灯每盏分别 为x,y元，由题意，可 2x+6-610.解得50答： (6x+21y=470, (y=85. A,B两种型号台灯每盏分别为50元、85元. (2)设能采购B型台灯a盏，由题意，可得50(30 a)+85a≤2200，解得a≤20.答：最多能采购B型台灯 20盏. 例2解：把③分别代人①②.得5+=12， l6y+5z=22, 解得2， z=2. 把y=2代入③，得x=8. .原方程组的解集为{(8,2,2) x+y+z=26,① 变式训练2解：方程组为x-y=1,②由③-①， 2x-y+z=18,③ 得-23y=-8,④ 由②-④，得y=9.将y=9代人②，得x=10.将x=10, y9代入①，得=7..方程组的解集为{(10,9,7》. 例3解：由①+②+③，得2(x+y+z)=12,即x+4=6.④ ④-①，得=3.④-②，得x=1.④-③，得y=2. .原方程组的解集为{(1,2,3)小 变式训练312【解析】由①+②+③，得2(x+y+z)=18, 即x+y+z=9,④ ④-①，得=4.④-②得x=2.④-③得y=3.x+2y+ z=12. 例4解：设音音亏k为备数，h≠0，则=3， 3 y=4k,z=5k. 将它们代人②中，得3k-4k+10k=18,解得k=2. ∴=6，y=8,z=10, .原方程组的解集为{(6,8,10)} 变式训练4解：设《毛诗》x本，《春秋》y本，《周 易》：本，由题意得+：94·可设3=4=5=（4为 3x=4y=5z, 常数，且≠0，将其代入x+94中，得号+学+专 94,解得k=120,因此x=40,y=30,z=24,即《毛诗》 40本，《春秋》30本，《周易》24本. 例5解：方法一：由②，得=2y+5,③ 将③代入①，得(2y+5)242y(2y+5)+y2-4 整理，得3y2+10y+7=0. 7 解得=-3，-1. 把一子代入③，得分 1 把y2=-1代人③，得=3. 1 3’ f2=3, .原方程组的解是 _7y2=-1. =-3· .方程组的解集为 g3,3.-w 方法二：由①，得(x+y)2=4, 即x+y=2或x+y=-2. 原方程组转化为中=2， 或/+-2， x-2y=5 lx-2y=5, 1 解得3， F3 y=-1, 7 y-31 方程组的解架为子，3，-)】 参考答案。 变式训练5解：kx2+y2-2kx+2y-3k=k(x2-2x-3)+y2+2-0, 由题得k(x2-2x-3)+y2+2y=0对任意的实数k,等式 恒成立， -2-30..3,1,l yr+2-0, y=-0,y=-2,y=0,y=-2 所有实数对(x,y)的集合为{(3,0)，(3，-2)， (-1,0),(-1,-2)}· 例6解：由①，得(x-4y)(x+y)=0, .x-4y=0或x+y=0, 由②，得(x+2y)2-1, .x+2y=1或x+2y=-1. 原方程可化为以下四个方程组： x-4y=0,x-4y=0,1x+y=0,x+y=0, x+2y=1,x+2y=-1,lx+2y=1,x+2y=-1, xI= 2 3 解这四个方程组，得原方程组的四个解是 y16 x3=-1,x4=1, 3=1, y4=-1 6 方程组的解集为{（号6），（号6： (-1,1),(1,-1) (x+1P+y21,① 变式训练6 解： 将②代人①，有 y=x2,② (x+1)2+x=1,整理有x4+x2+2=0 x(x+x+2)=0,x=0或x34x+2=0. 令t=x3+x+2=(x+1)(x2-x+2), 令52--号0何成立 若x++2-0,x=-1. 将0或=-1代人②中，有0 ”或/1， y=0 ly=1. 数学文化 例B【解析】设绳子长x尺，木条长y尺，依题意有 x-y=4.5, 故选B >m2.2不等式 2.2.1不等式及其性质 要点精析 例1解：若提价后商品的售价为x元， 33