22.1 二次函数的图象和性质22.1.2（要点系统练+提升整合练+探究创新练）-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选·同步精练22.1二次函数的图象和性质 22.1.2 二次函数的图象和性质 1．（23-24九年级上·新疆巴音郭楞·阶段练习）函数的图象开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，图象有 （填“最高”或“最低”）点，函数有最 值，当时，y随x的增大而 ．知识点1 二次函数的图象和性质 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）观察二次函数的图象，并填空． （1）图象与x轴的交点也是它的 ，这个点的坐标是 ； （2）二次函数的图象是一条 ，它的开口向 ，它的对称轴为 ； （3）当时，随着x值的增大，y的值 ；当时，随着x值的增大，y的值 ． 3．（22-23九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，①，②，③，④，比较a．b．c．d的大小，用“”连接．    4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，则其图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图象是（　　） A．   B．   C．   D．   6．（23-24九年级下·全国·课后作业）关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（　　） ①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上． A．个 B．个 C．个 D．个 7．（23-24九年级下·全国·课后作业）关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，随的增大而减小； ③当时，； ④若、是该抛物线上的两点，则． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，同一水平线上开口最大的抛物线是（       ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·吉林·期中）若二次函数有最小值，则a的值可以是（　　） A．9 B．6 C．0 D． 10．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·河北沧州·期末）若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（   ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）二次函数，若在其图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大，则下列各点不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级下·全国·课后作业）若二次函数的图象有最低点，则的值为（　　） A． B．2 C．0 D．或2 14．（2024·广东广州·一模）二次函数的图象开口向 ． 15．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．    (1)则k的值为____；对称轴为_____． (2)若点A的坐标为，则该图象上点A的对称点的坐标为______． (3)请画出该函数图象． 16．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·河北张家口·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是 ．    19．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线DEAC交于点E，则的值是（    ） A． B． C． D．． 20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为 ．    21．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标和的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练22.1二次函数的图象和性质 22.1.2 二次函数的图象和性质 1．（23-24九年级上·新疆巴音郭楞·阶段练习）函数的图象开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，图象有 （填“最高”或“最低”）点，函数有最 值，当时，y随x的增大而 ．知识点1 二次函数的图象和性质 【答案】 向上 直线 最低 小 增大 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：函数的图象开口方向向上，顶点坐标是，对称轴是直线，图象有最低点，函数有最小值，当时，y随x的增大而增大， 故答案为：向上，，直线，最低，小，增大． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）观察二次函数的图象，并填空． （1）图象与x轴的交点也是它的 ，这个点的坐标是 ； （2）二次函数的图象是一条 ，它的开口向 ，它的对称轴为 ； （3）当时，随着x值的增大，y的值 ；当时，随着x值的增大，y的值 ． 【答案】 顶点 抛物线 上 y轴（或直线） 减小 增大 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 【详解】解：（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大． 3．（22-23九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，①，②，③，④，比较a．b．c．d的大小，用“”连接．    【答案】 【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【详解】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，    所以，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，则其图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过． 【详解】解：A、当时，，故二次函数图象经过点，符合题意； B、当时，，故二次函数图象不经过点，不符合题意； C、当时，，故二次函数图象不经过点，不符合题意； D、当时，，故二次函数图象不经过点，不符合题意； 故选：A． 5．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图象是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据解析式确定出的值为负数，得到抛物线开口向下，再由解析式可知抛物线的对称轴是轴，顶点为，即可确定出其图象． 【详解】， 抛物线的对称轴是轴，顶点为， 由可知，抛物线开口向下， 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（　　） ①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，根据二次函数的性质即可作答． 【详解】根据二次函数和的图象，单独看不关于轴对称，两图象的顶点相同，两图象的开口方向不同，的图象开口向上，的图象开口向下，点只在抛物线上，所以②③④正确． 故选：B． 7．（23-24九年级下·全国·课后作业）关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，随的增大而减小； ③当时，； ④若、是该抛物线上的两点，则． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线，可得抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，再结合抛物线的增减性，逐项判断即可，解题关键是掌握二次函数的图象与性质． 【详解】解：，， 抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下， ①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确； ②抛物线的对称轴为轴，当时，随的增大而减小，故②正确； ③当时，，取最大值为0，时，取值最小值为，所以，故③错误； ④若，是该抛物线上的两点，则，关于轴对称，横坐标互为相反数，所以，故④正确； 正确的说法共有3个， 故选C． 8．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，同一水平线上开口最大的抛物线是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的开口大小是由a的绝对值决定的，绝对值越小，开口越大，即可求解． 【详解】解：∵， ∴同一水平线上开口最大的抛物线是． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握的开口大小是由a的绝对值决定的是解题的关键． 9．（23-24九年级上·吉林·期中）若二次函数有最小值，则a的值可以是（　　） A．9 B．6 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数有最小值，可知二次项系数大于0，然后即可求得的取值范围，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：∵二次函数有最小值， ∴， 解得， 故选：A． 10．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 11．（23-24九年级上·河北沧州·期末）若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图像是解题的关键．根据二次函数图像对称性解答即可． 【详解】解：点与关于二次函数的对称轴轴对称， 故该图像必经过点， 故选C． 12．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）二次函数，若在其图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大，则下列各点不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义求出，再结合函数图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大，可知，即可求出函数，再将各点代入函数逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，是二次函数， ， 解得：， 函数图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大， 抛物线开口方向向下， ， ，即， 当时，，故不在其图象上，在其图像上， 当时，，当时，，故，在其图象上， 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 13．（23-24九年级下·全国·课后作业）若二次函数的图象有最低点，则的值为（　　） A． B．2 C．0 D．或2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义和性质，解一元二次方程，根据二次函数定义可得，且，再根据二次函数的图象有最低点，可得，结合求解，即可求出的值，掌握二次函数的图象与性质，得到二次函数的开口向下是解题关键． 【详解】解： 是二次函数， ，且， 解得或， 又二次函数的图象有最低点， 抛物线的开口向上， ，即， ， 故选B． 14．（2024·广东广州·一模）二次函数的图象开口向 ． 【答案】下 【分析】本题考查二次函数的定义及性质，先根据二次函数的定义求出解析式，再判断开口方向即可． 【详解】∵为二次函数， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下． 故答案为：下． 15．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．    (1)则k的值为____；对称轴为_____． (2)若点A的坐标为，则该图象上点A的对称点的坐标为______． (3)请画出该函数图象． 【答案】(1)，轴 (2) (3)图像见解析 【分析】（1）根据二次函数定义以及当时，随的增大而增大．可得出结论； （2）根据函数的对称性求点对称点的坐标即可； （3）根据二次函数的解析式画出函数图象即可． 【详解】（1）解：由是二次函数，且当时，随的增大而增大，得 ， 解得：， 二次函数的解析式为， 对称轴为轴， 故答案为：，轴； （2）点， 当时，， 点 点的对称点的坐标为， 故答案为：； （3）如图    【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式． 16．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的性质．根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为y轴 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 点关于抛物线的对称轴的对称点为 ∵ ∴ 故选：C． 17．（23-24九年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系． 解法一：分和，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可； 解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解法一：当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误． 解法二：A项，由一次函数的增减性，知，由一次函数图象与y轴的交点，知，故A不符合题意； B项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故B符合题意； C项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故C不符合题意； D项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故D不符合题意． 故选：B． 18．（23-24九年级上·河北张家口·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、． ∴， 当抛物线经过点时，则， 当抛物线经过时，， 观察图象可知，抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是， 故答案为：． 19．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线DEAC交于点E，则的值是（    ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，再根据CDy轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解． 【详解】解：设A点坐标为（0，a），（a＞0）， 则x2=a，解得x=， ∴点B（，a）， =a， 则x=， ∴点C（，a）， ∵CDy轴， ∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为， ∴y1=（）2=3a， ∴点D的坐标为（，3a）， ∵DEAC， ∴点E的纵坐标为3a， ∴=3a， ∴x=3， ∴点E的坐标为（3，3a）， ∴DE=3-， ∴则． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键． 20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，先求出直线的解析式，再求出点的坐标，再求出直线的解析式，从而求出点、的坐标，以此类推可得点的坐标，根据点、、之间的规律求出点的坐标． 【详解】解：设直线的解析式为：， ∵点坐标为， ∴， ∴直线的解析式为：， ∵轴交抛物线于点， ∴， ∵交抛物线于点， ∴设直线的解析式为：， ∴将代入解析式中得：， ∴直线的解析式为：， 当时， 解得：，， ∴， ∵轴交抛物线于点， ∴， 同理可得：直线的解析式为：， 当时， 解得：，， ∴， …… ∴以此类推点 ∴的坐标为：， 故答案为：． 21．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标和的最小值． 【答案】(1)直线的解析式为：； (2)； (3)，的最小值为． 【分析】（1）将的横坐标分别代入求出的值，得到，点坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出的长，根据“”求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的值最小，先利用待定系数法求得直线，进而即可求得点的坐标，利用勾股定理即可求得的最小值． 【详解】（1）解：∵，是抛物线上的两点， ∴当时，；当时， ∴点的坐标为，点的坐标为 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得 解得， 所以，直线的解析式为：； （2）解：对于直线： 当时， ∴ ∴； （3）解：∵， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的值最小， 设直线∶， ∵直线∶过点和点， ∴， 解得， ∴直线∶， 令，有， 解得， ∴， ∵点关于轴的对称点为， ∴， ∴的最小值为的长：． 【点睛】此题主要考查了运用待定系数法求直线解析式，轴对称的性质，勾股定理，二次函数二次函数的图像及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$