专题03 全等三角形的辅助线专训专题（6大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题03 全等三角形的辅助线专训专题 （6大题型+15道拓展培优题） 题型一 必备辅助线添法一 倍长中线法 题型二 必备辅助线添法二 截长补短法 题型三 必备辅助线添法三 旋转法 题型四 必备辅助线添法四 作平行线法 题型五 必备辅助线添法五 作垂线法 题型六 必备辅助线添法六 见直角作延长线 【经典例题一 必备辅助线添法一 倍长中线法】 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 【例1】（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，△ABC中，BC边上的中线AD将∠BAC分成了两角∠BAD、∠DAC分别为70°和40°，若中线AD长为2.4cm，则AC长为 cm. 3．（24-25八年级上·江西赣州·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 4．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容：如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． （2）【方法应用】如图，在△中，，，则边上的中线长度的取值范围是 ． （3）【猜想证明】如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 【经典例题二 必备辅助线添法二 截长补短法】 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 【例2】（24-25八年级上·安徽·单元测试）“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 1．（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC 2．（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 3．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）【问题初探】    在解决“如图1，在中，于D，若，求证：”时，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小芳从条件入手，采用“截长补短”法，在上截取，连接，从而解决问题． ②如图3，小亮从结论出发，作的垂直平分线交于点E，连接，从而解决问题． （1）请选择一名同学的解答思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）如图，线段于E，点F，G分别为上两点，且，．求证：． 4．（24-25八年级上·贵州黔南·期末）综合与实践： 【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程； 【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ； 【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明． 【经典例题三 必备辅助线添法三 旋转法】 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 【例3】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△BDE，点D的对应点为点A，连接AD，求∠ADE的度数． 1．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，斜边BC绕点B逆时针方向旋转90°至BD的位置，连接AD，则AD的长是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，D，E是斜边上BC上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接EF，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 (填序号) 3．（24-25八年级上·重庆巴南·期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点． （1）求证：AE＝CD； （2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．    4．（24-25八年级上·黑龙江鸡西·期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F为AB边的中点，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一个动点．如图1，当D与C重合时，易证：CD2＋DB2＝2DF2； （1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． （2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明． 【经典例题四 必备辅助线添法四 作平行线法】 【例4】（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知：点A、点B、点C均在网格点上，用直尺在网格上画图： (1)过点C画的平行线； (2)过点C画的垂线，垂足为E； (3)若每个小方格的边长为1，连接，则三角形的面积是______． 1．（2025八年级上·山西·模拟预测）如图，过平行四边形的对角线上一点，分别作平行四边形两边、的平行线，．若图中平行四边形的面积为10，则平行四边形的面积的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 2．（2025·山西·模拟预测）如图，在四边形中，，，，过点C作的平行线，交的延长线于点E．若，，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·云南文山·期中）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线作法． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围． 方法一：延长到E使，连接； 方法二：过点C作的平行线交的延长线于E． 请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 4．（2025·山东临沂·模拟预测）（1）【问题背景】 如图， 是的角平分线，求证：．社团成员进行了探索研究，小明和小红提出两种不同的证明思路： 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作，交的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作于点D，作于点E，利用“等面积法”． 【问题解决】 请根据小明或小红的思路，将两人的证明补充完整．（任选一种即可） （2）【深度思考】 如图2，在中，，，为的平分线，的垂直平分线交的延长线于点F，连接．当时，的长为________． 【经典例题五 必备辅助线添法五 作垂线法】 【例5】（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线交于点，连接，交于点． (1)求证：平分； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点D作的垂线交于点F，若，且的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）直角三角形的直角顶点C置于直线l上，，现过两点分别作直线l的垂线，垂足分别为． (1)请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程； (2)若，，求出的长． 4．（2025·河南商丘·模拟预测）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即． 小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接． 小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接 任务： (1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程， (2)就图3证明：． 【经典例题六 必备辅助线添法六 见直角作延长线】 【例6】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，垂足为，为上的一点，，分别交和的延长线于点，，．试说明． 1．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N，若， ，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·江西上饶·期中）课本再现 如图，直线垂直平分线段，，，，…是上的点，分别量一量点，，，…到点与点的距离，你有什么发现？可以发现，点，，，…到点的距离与它们到点的距离分别相等.            (1)【定理证明】 为了证明该性质，珍珍画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，直线，垂足为，，点在直线上，求证：． (2)【知识应用】如图2，在中，，，分别是边，的垂直平分线，与的交点分别为，，，，、的延长线交于点，连接，，，，． ①求的周长； ②若的周长为，则AH= ． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）【问题提出】 （1）如图1，点在线段的垂直平分线上，，则的度数为_________； 【问题探究】 （2）如图2，点在线段的垂直平分线上，点在的延长线上，交的延长线于点，延长至点，使得，过点作交的延长线于点，判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，是某公园的一块草坪示意图，点在线段的垂直平分线上，是与边垂直的一条小路（点在的延长线上，于点，交于点），区域是沙坑，在边上有一口灌溉水井G，和是地下水管，其中于点，为方便游客饮水，在与的交点处修建了游客饮水区，并在处修了一座凉亭．已知，求游客饮水区到凉亭的距离．（小路与地下水管的宽度及水井与凉亭的大小均忽略不计） 1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（   ） A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 3．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，将△ABC绕点B逆时针旋转得△DBE，点E在AC上，若ED＝3，EC＝1，则EB＝（    ） A． B． C． D．2 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． 则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 5．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，已知直线，且相邻两平行线间的距离均相等，等腰直角三角形中，．若点在上，点在上，点在上，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·海南·期中）如图，在中， ，，顶点A、B、C恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是2个单位长度，则的面积是 ． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，是中线，平分，于，，，则的长为 ． 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图绕点逆时针旋转得到，点在上．延长，交于．则 ． 9．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为 ． 10．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）有些数学题，表面上看起来无从下手，但根据图形的特点，可补全成为特殊的图形，然后根据特殊几何图形的性质去考虑，常常可以获得简捷解法．根据阅读，请解答问题：如图所示，已知△ABC的面积为16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为 cm2． 11．（24-25八年级上·全国·假期作业）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 12．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 13．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 14．（24-25八年级上·甘肃武威·开学考试）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 15．（24-25八年级上·山东威海·期中）中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是 ． (2)如图2，中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形的辅助线专训专题 （6大题型+15道拓展培优题） 题型一 必备辅助线添法一 倍长中线法 题型二 必备辅助线添法二 截长补短法 题型三 必备辅助线添法三 旋转法 题型四 必备辅助线添法四 作平行线法 题型五 必备辅助线添法五 作垂线法 题型六 必备辅助线添法六 见直角作延长线 【经典例题一 必备辅助线添法一 倍长中线法】 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 【例1】（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的面积公式，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交延长线于点，通过证明得到，，由，可设，则，得到，利用三角形的面积公式得到，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 长方形， ， E为的中点， ， 又， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，从而得到的取值范围． 【详解】如图，延长AD至点E，使得DE＝AD， ∵是边上的中线， ∴， 在△ABD和△CDE中， ， ∴△ABD△CDE（SAS）， ∴AB＝CE=5，AD＝DE， ∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE， ∴4＜AE＜14， ∴2＜AD＜7． 故选：C． 【点睛】本题主要考查倍长中线法解题，能够做出辅助线证出三角形全等再结合三角形三边关系是解题关键． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，△ABC中，BC边上的中线AD将∠BAC分成了两角∠BAD、∠DAC分别为70°和40°，若中线AD长为2.4cm，则AC长为 cm. 【答案】4.8 【分析】延长AD到E，取DE=AE，连接CE，用边角边可证△ABD≌△ECD，可得∠E=∠BAD=70°，由∠DAC=40°，可推出△ACE为等腰三角形，则AC=AE. 【详解】延长AD到E，取DE=AE，连接CE，如图所示， 在△ABD和△ECD中， ∴ ∴∠E=∠BAD=70° 在△AEC中， ∴∠E=∠ACE， ∴AC=AE=2AD=4.8cm 故答案为4.8 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，利用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键. 3．（24-25八年级上·江西赣州·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 【答案】(1)全等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系； （1）根据中线的性质可得，延长到，使，根据证明 ，即可； （2）根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使， 又， ∴ （2）由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴. 4．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容：如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． （2）【方法应用】如图，在△中，，，则边上的中线长度的取值范围是 ． （3）【猜想证明】如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题是“倍长中线”模型综合应用，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点； （1）根据平行线的性质可得，，根据中点的定义可得，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． （3）结论：．延长，交于点，证明，推出，再证明即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）； （2）延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图②中，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 【经典例题二 必备辅助线添法二 截长补短法】 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 【例2】（24-25八年级上·安徽·单元测试）“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 在上取．连接，可得，得出，再证明即可解决问题． 【详解】证明：在上取，连接，   ，，且， ， ，， ∵，， ， ， ， ． 1．（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC 【答案】见解析 【分析】截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，可证得△APN≌△APC，可得到PC=PN，△BPN中，利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，证明△ABP≌△AMP，可得PB=PM，在△PCM中，利用三角形的三边关系，即可求证． 【详解】解：截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN， 在△APN和△APC中 ∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP， ∴△APN≌△APC， ∴PC=PN， ∵△BPN中有PB－PN＜BN， 即PB－PC＜AB－AC； 补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM， 在△ABP和△AMP中， ∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP， ∴△ABP≌△AMP， ∴PB=PM， 又∵在△PCM中有CM＞PM－PC， 即AB－AC＞PB－PC． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为14 【分析】（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义得出，利用证明，从而可得，，再利用三角形外角的性质可得，从而可得，推出，进而得出，即可得证； （2）在上截取，连接，由三角形内角和定理可得，证明得出，再证明得出，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接， 平分， ∴， ， ∴， ，， ∵， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）【问题初探】    在解决“如图1，在中，于D，若，求证：”时，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小芳从条件入手，采用“截长补短”法，在上截取，连接，从而解决问题． ②如图3，小亮从结论出发，作的垂直平分线交于点E，连接，从而解决问题． （1）请选择一名同学的解答思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）如图，线段于E，点F，G分别为上两点，且，．求证：． 【答案】（1）解答过程见解析；（2）见解析． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，理解题意做出辅助线是解题的关键． （1）在上截取，可得是的垂直平分线即可求证； （2）在线段上截取，连接，证明即可求证 【详解】证明：（1）在上截取，连接， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）在线段上截取，连接，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·贵州黔南·期末）综合与实践： 【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程； 【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ； 【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）8；（3），见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）沿着小李的思路，先证，再证，即可得出结论； （2）设，则，然后计算周长即可； （3）在上截取，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】解：（1）， 理由如下： 沿着小李的思路进行证明， 在正方形中，有，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）设，则， ∴ 的周长为：， 故答案为：8； （3），理由如下： 如下图中，在上截取，使，连接，    ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴． 【经典例题三 必备辅助线添法三 旋转法】 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 【例3】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△BDE，点D的对应点为点A，连接AD，求∠ADE的度数． 【答案】22.5° 【分析】根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△BDE， ∴∠CBA＝∠EBD，∠CAB＝∠EDB，BA＝BD， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠CBA＝45°， ∴∠EDB＝∠EBD＝45°， ∴∠ADB＝∠DAB＝（180°﹣∠ABD）＝67.5°， ∴∠ADE＝∠ADB﹣∠EDB＝67.5﹣45°＝22.5°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 1．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，斜边BC绕点B逆时针方向旋转90°至BD的位置，连接AD，则AD的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D做AC的平行线与AB的延长线交于点E，然后证明,进而把边等量代换掉，在根据勾股定理求出AD长即可. 【详解】解：过点D做AC的平行线与AB的延长线交于点E， 如图所示： ,且, , 在和中： , , , , 中，根据勾股定理得： , 即：, 故选：B. 【点睛】本题考查三角形全等的知识点，解题关键在于辅助线的构造. 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，D，E是斜边上BC上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接EF，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 (填序号) 【答案】①②④ 【分析】根据等腰直角三角形和旋转的性质，逐项判断即可. 【详解】∵在中，， ∴∠ABC=∠ACB=45°， 由旋转的性质可知，∠ABF=∠ACD=45°， ∴∠CBF=∠ABC+∠ABF=45°+45°=90°， ∴，①正确； 由旋转的性质可知，∠CAD=∠BAF，AF=AD， ∴∠EAF=∠BAF+∠BAE, ∵， ∴， 又∵AE=AE， ∴，②正确； 由旋转可知CD=BF， 由可知DE=EF， ∴，故③错误；④正确. 故答案为①②④. 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定、勾股定理等知识，解题的关键是根据旋转的性质得出对应角和对应边相等. 3．（24-25八年级上·重庆巴南·期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点． （1）求证：AE＝CD； （2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．    【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE＝105°． 【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD（SAS），进而得证； （2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合， ∴BD＝BE，∠EBD＝120°， ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°， ∴∠DBC＝∠ABE， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD； （2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°， ∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°， ∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE ＝180°﹣30°﹣45°＝105°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键． 4．（24-25八年级上·黑龙江鸡西·期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F为AB边的中点，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一个动点．如图1，当D与C重合时，易证：CD2＋DB2＝2DF2； （1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． （2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】（1）CD2+DB2=2DF2 ；（2）CD2+DB2=2DF2，证明见解析 【分析】（1）由已知得，连接CF，BE，证明得CD=BE，再证明为直角三角形，由勾股定理可得结论； （2）连接CF，BE，证明得CD=BE，再证明为直角三角形，由勾股定理可得结论． 【详解】解：（1）CD2+DB2=2DF2 证明：∵DF=EF，∠DFE＝90°， ∴ ∴ 连接CF，BE，如图 ∵△ABC是等腰直角三角形，F为斜边AB的中点 ∴ ，即 ∴， 又 ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴CD2+DB2=2DF2 ； （2）CD2+DB2=2DF2 证明：连接CF、BE ∵CF=BF，DF=EF 又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90° ∴∠DFC=∠EFB ∴△DFC≌△EFB        ∴CD=BE，∠DCF=∠EBF=135°   ∵∠EBD=∠EBF－∠FBD=135°－45°=90° 在Rt△DBE中，BE2+DB2=DE2 ∵ DE2=2DF2 ∴ CD2+DB2=2DF2 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【经典例题四 必备辅助线添法四 作平行线法】 【例4】（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知：点A、点B、点C均在网格点上，用直尺在网格上画图： (1)过点C画的平行线； (2)过点C画的垂线，垂足为E； (3)若每个小方格的边长为1，连接，则三角形的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了格点作图，全等三角形的性质与判定，网格中求三角形面积，画垂线等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点D，则直线即为所求； （2）取格点F，连接交于E，则即为所求；可证明，导角可证明； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由题意得，． 1．（2025八年级上·山西·模拟预测）如图，过平行四边形的对角线上一点，分别作平行四边形两边、的平行线，．若图中平行四边形的面积为10，则平行四边形的面积的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全能三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解答本题的关键.根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形、，证明，得出和的面积相等；同理得出和的面积相等，和的面积相等，相减即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，，，， 四边形、是平行四边形， 在和中， ， ， 即和的面积相等； 同理和的面积相等，和的面积相等， 故四边形和四边形的面积相等，即． 故选：B． 2．（2025·山西·模拟预测）如图，在四边形中，，，，过点C作的平行线，交的延长线于点E．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，先求得，再说明，进而求得，最后运用勾股定理求得即可． 【详解】解：如图所示，连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点． ∵，， ∴，即， 又∵， ∴． ∴， ∵，， ∴垂直平分． ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴， ∵，，，垂直平分， ∴，， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·云南文山·期中）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线作法． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围． 方法一：延长到E使，连接； 方法二：过点C作的平行线交的延长线于E． 请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及能正确作出辅助线； （1）方法一中利用证明，则，再根据三角形的三边关系来确定取值范围即可；方法二中利用证明，则，再根据三角形的三边关系来确定取值范围即可； （2）先用证明，得出，再用证明，即可解答． 【详解】（1）解：选方法一来证明， 是的中线， 在和中 ， ， 在中， ， ， 即：， ； 选方法二来证明， 过点C作的平行线交的延长线于E． ∴ 是的中线， ， ， 在中， ， ， 即：， ； （2）解：延长到F使，连接，如图所示； 点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ． 4．（2025·山东临沂·模拟预测）（1）【问题背景】 如图， 是的角平分线，求证：．社团成员进行了探索研究，小明和小红提出两种不同的证明思路： 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作，交的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作于点D，作于点E，利用“等面积法”． 【问题解决】 请根据小明或小红的思路，将两人的证明补充完整．（任选一种即可） （2）【深度思考】 如图2，在中，，，为的平分线，的垂直平分线交的延长线于点F，连接．当时，的长为________． 【答案】（1）见解析；（2）6 【分析】（1）小明思路：过点B作，交的延长线于点D，则可得，根据相似三角形的性质可得，则．再关联是的角平分线和，可得，进而可得．　 小红的思路：过点C分别作于点D，作于点E，过点P作于点F．根据角平分线的性质可得．利用面积法可得，，将两式相比，可得，进而可得． （2）因为为的平分线，由（1）中的结论可得，求得．由是的垂直平分线可得，则可得，进而可得．再结合，可得，则可得，即，进而可求得． 【详解】（1）证明：小明的思路： 如图，过点B作交的延长线于点D． ， ． 又， ， ， 　 是的角平分线， ， ， ， ．　 小红的思路： 如图，过点C分别作于点D，作于点E，过点P作于点F． 是的角平分线， ． ，，，， ①，②， 得， ， 则， ．　 （2）解： 为的平分线， ． ， ，，， ， ， 的垂直平分线交的延长线于点F， ， ． ，， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质线段垂直平分线的性质，以及利用面积法求线段的长，熟练掌握以上知识并且正确的作出辅助线是解题的关键． 【经典例题五 必备辅助线添法五 作垂线法】 【例5】（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线交于点，连接，交于点． (1)求证：平分； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，见解析 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，得出，根据等腰三角形三线合一的性质即可求解． （2）根据，得出，结合，得出，结合，即可证明． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分， 即平分． （2）解：是等边三角形，理由： ， ， ， ， ， ， ， 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点D作的垂线交于点F，若，且的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，是的中位线，则，，设，则，由勾股定理得，，过作，交的延长线于，证明，则，由，，可得，即，计算求出满足要求的，进而可求． 【详解】 解：∵是的中点，是的中点 ∴是的中位线，， ∴，， 设， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 如图，过作，交的延长线于， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质．熟练掌握三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 【答案】4或10 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法．设点E运动的时间为，分两种情况讨论，一是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，而，且，所以，求得；二是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，此时，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设点E运动的时间为， 如图1，点E从点B出发沿射线方向运动， ∵为边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得； 如图2，点E从点B出发沿射线方向运动，则，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得， 综上所述，当点E运动或时，， 故答案为：4或10． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）直角三角形的直角顶点C置于直线l上，，现过两点分别作直线l的垂线，垂足分别为． (1)请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程； (2)若，，求出的长． 【答案】(1)，见解析 (2)9 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1），由，，得到，且，由，又由，得到，则结论得证； （2）由，得到，， 则，即可得到答案． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， 又∵， ∴． 4．（2025·河南商丘·模拟预测）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即． 小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接． 小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接 任务： (1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程， (2)就图3证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）首先证明，进而可得，即可得到解答； （2）由（1）可知，，整理等式即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取C，连接， ∵是的中点， ∴ 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ； （2）证明：在中，， 在中，， 由（1）可知， ， ∴ ； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【经典例题六 必备辅助线添法六 见直角作延长线】 【例6】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，垂足为，为上的一点，，分别交和的延长线于点，，．试说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的证明，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的判定定理．根据题意利用角边角判定定理，证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 1．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形性质，勾股定理，全等三角形判定及性质等．根据题意可得，，，，继而利用勾股定理得，后证明，继而得到，，，后即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∵的中点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N，若， ，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江西上饶·期中）课本再现 如图，直线垂直平分线段，，，，…是上的点，分别量一量点，，，…到点与点的距离，你有什么发现？可以发现，点，，，…到点的距离与它们到点的距离分别相等.            (1)【定理证明】 为了证明该性质，珍珍画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，直线，垂足为，，点在直线上，求证：． (2)【知识应用】如图2，在中，，，分别是边，的垂直平分线，与的交点分别为，，，，、的延长线交于点，连接，，，，． ①求的周长； ②若的周长为，则AH= ． 【答案】(1)见解析 (2)①　　② 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质： （1）证明，即可求得结论； （2）①根据的周长，即可求得答案；②根据，即可求得答案． 【详解】（1）∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． （2）①∵，分别是边，的垂直平分线， ∴，． ∴的周长． ②∵的周长，， ∴． ∵，分别是边，的垂直平分线， ∴，． ∴． ∴． 故答案为： 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）【问题提出】 （1）如图1，点在线段的垂直平分线上，，则的度数为_________； 【问题探究】 （2）如图2，点在线段的垂直平分线上，点在的延长线上，交的延长线于点，延长至点，使得，过点作交的延长线于点，判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，是某公园的一块草坪示意图，点在线段的垂直平分线上，是与边垂直的一条小路（点在的延长线上，于点，交于点），区域是沙坑，在边上有一口灌溉水井G，和是地下水管，其中于点，为方便游客饮水，在与的交点处修建了游客饮水区，并在处修了一座凉亭．已知，求游客饮水区到凉亭的距离．（小路与地下水管的宽度及水井与凉亭的大小均忽略不计） 【答案】（1）30；（2）．理由见解析；（3）游客饮水区到凉亭的距离为 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边对等角等知识点． （1）由垂直平分线的性质可知，，再利用等边对等角即可求解； （2）由垂直平分线的性质可知，，得，进而可证明，即可得证； （3）由垂直平分线的性质可知，，得，先证，得，，则，可知，再证，得，即可求解． 【详解】解：（1）∵点在线段的垂直平分线上，， ∴， ∴， 故答案为：30； （2），理由见解析： ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即：游客饮水区到凉亭的距离为． 1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（   ） A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【答案】C 【分析】先延长AD到E，且AD=DE，并连接CE，利用SAS易证△ADB≌△EDC，从而可得AB=CE，在△ABE中，再利用三角形三边的关系，可得AC-CE＜AE＜AC+CE，从而易求1＜AD＜7． 【详解】解：如图，延长AD至点E，使AD=DE，连接CE， ∵AD是边BC上的中线， ∴CD=BD， 在△ABD和△CED中， ， ∴△ABD≌△CED， ∴AB=CE=6， 在△ACE中，8-6<AE<6+8，即2<AE<14， ∴1＜AD＜7， 故选：C． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解． 【详解】解：，，于，于， ， ， 又，， ． ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，将△ABC绕点B逆时针旋转得△DBE，点E在AC上，若ED＝3，EC＝1，则EB＝（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C，即可判定△ABC∽△BEC，再根据相似三角形的性质，即可得到BC的长，进而得到BE的长． 【详解】解：由旋转可得，△ABC≌△DBE， ∴BC＝BE，DE＝AC＝3， ∴∠C＝∠BEC， 又∵∠ABC＝∠C， ∴∠ABC＝∠BEC， 又∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BEC， ∴＝，即BC2＝CE×CA， ∴BC＝＝，∴BE＝， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． 则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②④；根据和判断③即可． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵分别平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴；故④正确； ，， ， ， ， ，故③错误； 故选：C． 5．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，已知直线，且相邻两平行线间的距离均相等，等腰直角三角形中，．若点在上，点在上，点在上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．过点作于，过点作于，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，由锐角的余弦定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于， 设相邻两平行线间的距离为， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 6．（24-25八年级上·海南·期中）如图，在中， ，，顶点A、B、C恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是2个单位长度，则的面积是 ． 【答案】 【分析】过点作，则，证明，进而根据勾股定理求得，根据三角形面积公式即可求解．本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，求得的长是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ， 又∵， ， ， 相邻两条平行线间的距离是2个单位长度， 中，， ． 故答案为： 7．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，是中线，平分，于，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，然后根据三角形的中位线定理求解即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵是的中线，， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3． 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图绕点逆时针旋转得到，点在上．延长，交于．则 ． 【答案】30° 【分析】先根据∠BCB=95°，求出∠BCA=180°-95°=85°，根据绕点逆时针旋转得到，得到≌，可得∠BAC=∠BAC，∠BCA=∠C=85°，∠B=∠B，根据∠B+∠BAC+∠BAC=160°，∠B+∠BAC=180°-85°=95°，可得∠BAC=160°-95°=65°，即可得出∠B． 【详解】解：∵∠BCB=95°， ∴∠BCA=180°-95°=85°， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴≌， ∴∠BAC=∠BAC，∠BCA=∠C=85°，∠B=∠B， ∴∠B+∠BAC+∠BAC=160°，∠B+∠BAC=180°-85°=95°， ∴∠BAC=160°-95°=65°， ∴∠B=160°-2∠BAC=30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键． 9．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算及等腰直角三角形的性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．作于，由得，，再证明得即可解决问题． 【详解】解：如图作于， ，， ， ， 又， ∴， ， 和都是等腰三角形， ，，， 在和中， ， ， ∴，， 在和中， ， ． ∴， ∴； 故答案为6． 10．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）有些数学题，表面上看起来无从下手，但根据图形的特点，可补全成为特殊的图形，然后根据特殊几何图形的性质去考虑，常常可以获得简捷解法．根据阅读，请解答问题：如图所示，已知△ABC的面积为16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为 cm2． 【答案】8 【分析】延长BD、AC交于点E，由题意证得△ABD≌△AED（ASA），证得AB＝AE，BD＝DE，即可证得S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC，设S△EDC＝x，利用S△ABE＝S△ABC+S△BCD＝12+2S△EDC即可求得结果． 【详解】解：延长BD、AC交于点E， ∵AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D， ∴在△ABD和△AED中， ∴△ABD≌△AED（ASA）， ∴AB＝AE，BD＝DE， ∴S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC， 设S△EDC＝x， ∵△ABC的面积为16cm2， ∴S△ABE＝S△ABC+S△BCD＝16+2S△EDC＝16+2x， ∴S△ADC＝S△ADE﹣S△EDC＝ 故答案为8． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及三角形面积的求法，根据图形的特点，补全成特殊的图形是解题的关键. 11．（24-25八年级上·全国·假期作业）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 在上截取，连接，证明，得出，，证出得出，即可证明； 【详解】解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）证明得到，利用三角形内角和可得； （2）①证明得到，，再由 ，得到，即可得到，； ②由可得，由外角的性质和等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， 又，，， ； （2）证明：①， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ∴，； ②， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 13．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 【答案】(1)图①的猜想：，证明见解析 (2)图②：，图③： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）如图，作交于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；如图，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； 【详解】（1）， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）如图，作交于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即； 如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 14．（24-25八年级上·甘肃武威·开学考试）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形三边关系，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出答案； （2）延长到点E，使，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点E，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25八年级上·山东威海·期中）中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是 ． (2)如图2，中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为 ． 【答案】(1) (2)①．理由见解析；②2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线模型，平方差公式的计算； （1）证明，得到，即可求解； （2）①延长到点G，使，连接，先证明，得到，，再由平分和，得到，即可得到； ②由，得到，设，则，由①得，得到，最后由，求解方程即可． 【详解】（1）解：在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故答案为：； （2）①．理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 学科网（北京）股份有限公司 $