专题02 三角形的角度计算（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学三角形角度计算核心知识点，从内角和定理、直角三角形锐角互余及外角性质基础，逐步延伸至结合角平分线、高线、折叠、平行线的综合计算，再到等腰三角形、多边形内角/外角分类讨论及飞镖、八字等模型应用，构建递进式学习支架。 该资料通过典例-变式-巩固-强化分层题型设计，融入地锁、三角板摆放等生活情境，培养学生几何直观与推理意识。课中辅助教师系统授课，课后多样化练习帮助学生查漏补缺，提升角度计算综合应用能力。

专题 02 三角形中的角度计算 1.掌握三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余； 2.掌握三角形外角性质，能利用外角快速求角度； 3.会结合角平分线、高线、中线、折叠、平行线综合计算角度； 4.掌握等腰三角形、多边形内角 / 外角相关角度分类讨论； 5.熟练解决模型类角度题：飞镖模型、八字模型、角平分线模型。 1. 三角形内角和定理 三角形三个内角之和等于 。 在中：。 推论：直角三角形两锐角互余： 中，两锐角相加 ； 有两个角互余的三角形是直角三角形。 2. 三角形外角性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 题型 01 已知两角求第三个角 【典例1】如图，在△ABC中，∠A＝50°，将△ABC沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2的度数为（　　） A．180° B．230° C．240° D．270° 【变式】在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝110°，则∠C的度数为　　 °． 题型 02 利用外角求角度 【典例2】如图，∠1是△ABC的外角，则∠1的度数为（　　） A．115° B．75° C．65° D．60° 【变式】如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 题型 03 角度比例问题 【典例3】在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：4，则△ABC中最大的内角度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．120° 【变式】已知△ABC的三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 题型 04与三角形重要线段相关的角度计算 【典例4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CE、CD分别是△ACB的角平分线和高线，交AB于点E、D．则∠DCE的值为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【变式】已知AD是△ABC的高，∠BAD＝65°，∠CAD＝20°，则∠BAC＝（　　） A．85° B．95° C．85°或95° D．45°或85° 【巩固训练】 1. 已知：如图，∠B＝35°，∠B＝∠1，∠2＝∠C，则∠DAC的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 2. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A+∠B＝90° C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝∠C 3. 如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC＝60°，∠EOD＝20°，则∠C的度数为（　　） A．80° B．75° C．70° D．65° 4. 如图①是停车场的地锁，图②为其示意图，若∠3＝100°，则∠2﹣∠1＝　　 °． 5. 一副直角三角板按如图方式摆放，直角顶点C恰好落在直角边DE上，∠B＝45°，∠D＝30°，则∠1+∠2的度数为　　 ． 6. 如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，∠B＝40°，D是AB上一点，将△ABC沿AD折叠，使点B落在AC边上B′处，则∠B′DC等于　　 °． 7. 已知△ABC，请你利用平行线的相关性质，添加适当辅助线，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 8. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠CAD＝90°，∠B＝∠ACB＝x°，∠ACD＝y°，∠D＝（x﹣20）°．求x，y的值． 【强化训练】 1. （2026春•洛宁县期末）如图，∠1+∠2＝40°，∠D＝110°，则∠A的大小是（　　） A．70° B．40° C．80° D．50° 2. （2025秋•东莞市校级期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1＝120°，则∠2的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．120° 3. （2026春•南昌期末）如果三角形的三个内角分别是（2x﹣y）°，（x+y）°，x°，则x的值为（　　） A．40 B．45 C．50 D．55 4. （2026春•金山区期末）规定：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形称为“倍角三角形”．如果△ABC是“倍角三角形”，且∠A＝30°，那么∠B的度数不可能是（　　） A．15° B．60° C．75° D．100° 5. （2026春•茌平区期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°．将纸片的一角对折，使点C落在△ABC内，若∠2＝25°，则∠1的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 6. （2026春•南京期末）如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于　　 ． 7. （2026春•盐城月考）如图，∠ABE、∠ACE的角平分线BF、CF交于点F，已知∠BEC＝130°，∠BAC＝30°，则∠BFC＝　　 ． 8. （2026春•长春期末）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A＝70°． （1）∠ABD＝　　 °． （2）若CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC＝120°，求∠ACB的度数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 02 三角形中的角度计算 1.掌握三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余； 2.掌握三角形外角性质，能利用外角快速求角度； 3.会结合角平分线、高线、中线、折叠、平行线综合计算角度； 4.掌握等腰三角形、多边形内角 / 外角相关角度分类讨论； 5.熟练解决模型类角度题：飞镖模型、八字模型、角平分线模型。 1. 三角形内角和定理 三角形三个内角之和等于 。 在中：。 推论：直角三角形两锐角互余： 中，两锐角相加 ； 有两个角互余的三角形是直角三角形。 2. 三角形外角性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 题型 01 已知两角求第三个角 【典例1】如图，在△ABC中，∠A＝50°，将△ABC沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2的度数为（　　） A．180° B．230° C．240° D．270° B【解析】∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，且∠A＝50°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝130°， ∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C）＝230°，故选：B． 【变式】在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝110°，则∠C的度数为　　 °． 50【解析】在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝110°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣20°﹣110°＝50°． 故答案为：50． 题型 02 利用外角求角度 【典例2】如图，∠1是△ABC的外角，则∠1的度数为（　　） A．115° B．75° C．65° D．60° C【解析】∵∠1是△ABC的外角，∠B＝40°，∠C＝25°， ∴∠1＝40°+25°＝65°， 故选：C． 【变式】如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° D【解析】∵直角三角板，∴α＝90°+60°＝150°，故选：D． 题型 03 角度比例问题 【典例3】在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：4，则△ABC中最大的内角度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．120° B【解析】∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：4， ∴设∠A＝x，∠B＝3x，∠C＝4x， ∴x+3x+4x＝180°， ∴解得：x＝22.5°， ∴∠C＝4x＝4×22.5°＝90°， 故选：B． 【变式】已知△ABC的三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 A【解析】设△ABC的三个内角度数分别为：2x、3x、4x． 则2x+3x+4x＝180°． ∴x＝20°． ∴△ABC的三个内角度数分别为40°、60°、80°． ∵80°＜90°， ∴该三角形为锐角三角形．故选：A． 题型 04与三角形重要线段相关的角度计算 【典例4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CE、CD分别是△ACB的角平分线和高线，交AB于点E、D．则∠DCE的值为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° A【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣30°＝60°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE∠ACB＝45°， ∵CD是高线， ∴CD⊥AB， 即∠CDB＝90°，在Rt△BCD中， ∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DCE＝45°﹣30°＝15°，故选：A． 【变式】已知AD是△ABC的高，∠BAD＝65°，∠CAD＝20°，则∠BAC＝（　　） A．85° B．95° C．85°或95° D．45°或85° D【解析】根据题意，分高AD在△ABC内部和外部两种情况讨论， ①如图1，当高AD在△ABC的内部时， ∵∠BAD＝65°，∠CAD＝20°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝65°+20°＝85°； ②如图2，当高AD在△ABC的外部时， ∵∠BAD＝65°，∠CAD＝20°， ∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝65°﹣20°＝45°． 综上所述，∠BAC的度数为45°或85°． 故选：D． 【巩固训练】 1. 已知：如图，∠B＝35°，∠B＝∠1，∠2＝∠C，则∠DAC的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° D【解析】∵∠2是△ABD的外角， ∴∠2＝∠B+∠1＝2∠B＝2×35°＝70°， ∴∠C＝∠2＝70°． 在△ACD中，∠2＝70°，∠C＝70°， ∴∠DAC＝180°﹣∠2﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°． 故选：D． 2. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A+∠B＝90° C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝∠C D【解析】在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）， A．∠A+∠B＝∠C，根据三角形内角和定理得2∠C＝180°，解得∠C＝90°，是直角三角形，所以本选项正确，不符合题意； B．∵∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°，是直角三角形，所以本选项正确，不符合题意； C．∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，∠C＝3×30°＝90°，是直角三角形，所以本选项正确，不符合题意； D．∠A＝∠B＝∠C，即3∠C＝180°，则∠A＝∠B＝∠C＝60°，故不是直角三角形．故选：D． 3. 如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC＝60°，∠EOD＝20°，则∠C的度数为（　　） A．80° B．75° C．70° D．65° A【解析】∵OE⊥BC，∴∠OED＝90°， ∵∠EOD＝20°， ∴∠ODE＝90°﹣20°＝70°， ∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠CAD∠BAC＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠CAD﹣∠ODE＝180°﹣30°﹣70°＝80°．故选：A． 4. 如图①是停车场的地锁，图②为其示意图，若∠3＝100°，则∠2﹣∠1＝　　 °． 80【解析】如图： ∵∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣100°＝80°， ∴∠2﹣∠1＝80°．故答案为：80． 5. 一副直角三角板按如图方式摆放，直角顶点C恰好落在直角边DE上，∠B＝45°，∠D＝30°，则∠1+∠2的度数为　　 ． 120°【解析】∵直角顶点C恰好落在直角边DE上， ∴∠BCD+∠2＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠BCD， ∵∠1＝∠D+BCD，且∠D＝30°， ∴∠1＝30°+∠BCD， ∴∠1+∠2＝30°+∠BCD+90°﹣∠BCD＝120°，故答案为：120°． 6. 如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，∠B＝40°，D是AB上一点，将△ABC沿AD折叠，使点B落在AC边上B′处，则∠B′DC等于　　 °． 10【解析】∵在△ABC中，∠BAC＝110°，∠B＝40°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣110°＝30°， 由折叠性质得∠AB′D＝∠B＝40°， ∵∠AB′D＝∠C+∠B′DC， ∴∠B′DC＝40°﹣30°＝10°， 则∠B′DC等于10°，故答案为：10． 7. 已知△ABC，请你利用平行线的相关性质，添加适当辅助线，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 证明：过点C作CD∥AB， ∵CD∥AB， ∴∠A＝∠ACD，（两直线平行，内错角相等） ∴∠B+∠BCD＝180°，（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD， ∴∠B+∠ACB+∠ACD＝180°， ∴∠B+∠ACB+∠A＝180°，即三角形的内角和为180°． 8. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠CAD＝90°，∠B＝∠ACB＝x°，∠ACD＝y°，∠D＝（x﹣20）°．求x，y的值． 解:∵∠CAD＝90°，∴∠D+∠ACD＝90°，∵∠ACD＝y°，∠D＝（x﹣20）°， ∴y+x﹣20＝90， ∴x+y＝110①， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴∠BAC＝y°， ∵∠B＝∠ACB＝x°，∴x+x+y＝180， ∴2x+y＝180②，②﹣①，得x＝70，∴y＝40． 【强化训练】 1. （2026春•洛宁县期末）如图，∠1+∠2＝40°，∠D＝110°，则∠A的大小是（　　） A．70° B．40° C．80° D．50° A【解析】∵∠1+∠2＝40°，∠D＝110°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠D＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝∠1+∠2+∠DAC+∠DCB＝40°+70°＝110°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝70°，故选：A． 2. （2025秋•东莞市校级期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1＝120°，则∠2的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．120° B【解析】如图2，∵∠1是△ABC的外角，∴∠1＝∠ABC+∠2， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵∠1＝120°，∴∠2＝∠1﹣∠ABC＝120°﹣90°＝30°，故选：B． 3. （2026春•南昌期末）如果三角形的三个内角分别是（2x﹣y）°，（x+y）°，x°，则x的值为（　　） A．40 B．45 C．50 D．55 B【解析】∵三角形的内角和为180°，∴（2x﹣y）°+（x+y）°+x°＝180°， ∴2x﹣y+x+y+x＝180， 解得x＝45，∴x的值为45．故选：B． 4. （2026春•金山区期末）规定：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形称为“倍角三角形”．如果△ABC是“倍角三角形”，且∠A＝30°，那么∠B的度数不可能是（　　） A．15° B．60° C．75° D．100° C【解析】∵∠A＝30°，∴∠B+∠C＝180°﹣30°＝150°， A、若∠B＝15°，则∠C＝180°﹣30°﹣15°＝135°， ∵∠A＝30°＝2∠B，∴符合倍角三角形定义，不符合题意； B、若∠B＝60°，则∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∵∠B＝60°＝2∠A， ∴符合倍角三角形定义，不符合题意； C、若∠B＝75°，则∠C＝180°﹣30°﹣75°＝75°， ∵30°×2＝60°，三角形中不存在60°；75°×2＝150°，三角形中不存在150°，没有满足条件的倍角关系，因此∠B＝75°不可能，符合题意； D、若∠B＝100°，则∠C＝180°﹣30°﹣100°＝50°，∵∠B＝100°＝2∠C， ∴符合倍角三角形定义，不符合题意．故选：C． 5. （2026春•茌平区期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°．将纸片的一角对折，使点C落在△ABC内，若∠2＝25°，则∠1的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° C【解析】设折痕所在的直线交AC于点E，交BC于点F， ∵将△CEF沿EF折叠，点C落在△ABC内的点C′处， ∴∠C′EF＝∠CEF，∠C′FE＝∠CFE， ∴∠CEC′＝2∠CEF，∠CFC′＝2∠CFE， ∵∠CEF+∠CFE＝180°﹣∠C，∠A+∠B＝180°﹣∠C， ∴∠CEF+∠CFE＝∠A+∠B，∵∠A＝65°，∠B＝75°， ∴∠CEF+∠CFE＝∠A+∠B＝65°+75°＝140°， ∴∠CEC′+∠CFC′＝2（∠CEF+∠CFE）＝2×140°＝280°， ∵∠2+∠CEC′+∠CFC′+∠1＝2×180°＝360°，且∠2＝25°， ∴25°+280°+∠1＝360°，∴∠1＝55°，故选：C． 6. （2026春•南京期末）如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于　　 ． 50【解析】如图，连接BC．设DC与BE交于点F， ∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°， ∵∠D+∠E+∠DFE＝180°，∠1+∠2+∠BFC＝180°，∠BFC＝∠DFE， ∴180°﹣∠DFE＝180°﹣∠BFC， ∴∠D+∠E＝∠1+∠2＝50°，即∠D+∠E等于50°，故答案为：50°． 7. （2026春•盐城月考）如图，∠ABE、∠ACE的角平分线BF、CF交于点F，已知∠BEC＝130°，∠BAC＝30°，则∠BFC＝　　 ． 80°【解析】如图，连接BC， 在△BEC中，∠EBC+∠ECB+∠BEC＝180°﹣∠BEC，∠BEC＝130°， ∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠BEC＝180°﹣130°＝50°， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∠BAC＝30°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣30°＝150°， 又∵∠ABC＝∠ABE+∠EBC，∠ACB＝∠ACE+∠ECB， ∴∠ABE+∠ACE＝（∠ABC﹣∠EBC）+（∠ACB﹣∠ECB） ＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠EBC+∠ECB）＝150°﹣50°＝100°， ∵BF、CF是∠ABE、∠ACE的角平分线， ∴， ∴， ∴在△BFC中：∠FBC+∠FCB＝（∠FBE+∠FCE）+（∠EBC+∠ECB）＝50°+50°＝100°， ∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣100°＝80°，故答案为：80°． 8. （2026春•长春期末）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A＝70°． （1）∠ABD＝　　 °． （2）若CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC＝120°，求∠ACB的度数． 解:（1）∵在△ABC中，BD是AC边上的高， ∴BD⊥AC于点D， ∴∠ADB＝90°， ∵∠A＝70°， ∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，故答案为：20． （2）∵BD⊥AC于点D，∴∠BDC＝90°， ∵CE平分∠ACB交BD于点E， ∴∠ACE＝∠BCE∠ACB， ∵∠BEC＝∠BDC+∠ACE，且∠BEC＝120°，∠BDC＝90°， ∴∠ACE＝∠BEC﹣∠BDC＝120°﹣90°＝30°， ∴∠ACB＝2∠ACE＝2×30°＝60°，∴∠ACB的度数是60°． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $