3.3.4 循环小数-【随堂笔记】2026-2027学年五年级上册数学（冀教版·新教材）

随堂笔记·数学·五年级·上册·J小 第4课时 循环小数 课前·预习笔记 任务 笔记 重点@ 知识点 循环小数的意义（教材第66页例5、第67页例6） (1)求平均每千克苹果和栗子各多少元，分别列式为10÷3和83÷11。 10÷3=3.33（元） 83÷11=7.5454…（元) 3.33 7.5454 310 1183 9 余数重复出现 77 余数110 :1,商的小数部 余数660 余数依次重复出 0 55 余数110 分重复出现3。 余数550 现6和5，商的 9 44 小数部分依次重 余数1 余数6*60 55 复出现5和4。 学 余数550 44 余数66 知 (2)58.6÷11=5.32727. 38.2÷2.7=14.148148… 一个小数的小数部分，从某一位起一个数字或几个数字依次不断地重复出 现，这样的小数叫作（循环小数）。循环小数的小数部分依次不断重复出现的 数字，叫作这个循环小数的（循环节)。写循环小数时，可以只写一个循环节， 并在循环节的首位和末位上面各点一个圆点。例如： 3.33…写作3.3 7.5454写作7.54 5.32727写作5.327 14.148148…写作14.i48 循环节从小数部分第一位开始的，叫作（纯循环小数），不是从第一位开始的， 叫作（混循环小数）。 小数部分的位数有限的小数，叫作（有限小数）；小数部分的位数无限的 小数，叫作（无限小数）。循环小数是无限小数。 理思路 循环小数 循环小数的意义 106 三小数乘法和除法 课堂·听课笔记 精批注 根据“单价=总价÷数量”， 5 平均每千克多少元？ 分别列式：10÷3和83÷11。 10元3千克 栗子 11千克 从十分位开始 /3元△ 重复出现裁字3。 从十分位开始，依次 产重复出现数字5和4。 3.33 7.54:54 31 1183 观察两个竖式，你 循环小数的意义： 9 77 发现了什么？ 余数1←-10 余数6≤-60 9 55 余数110 余数5<-5：0 (1)10÷3的商无论徐到小 9 裁点后面多少位，都除不尽 44 余数1《1 余数6<-60 商的小裁部分重复出现3 55 余数重复出现1。 余裁5-50 (2)83÷11的商也除不尽 循环小数的位数是无限的。 44 商的小数部分依次重复出现5 商的小数部分数字 余数66 和4，余裁依次重复出现6和5。 重复出现… 余数总是重复 6和5… 想一想 继续除下去，商会出现什么情况？为什么？ 在用竖式计算除法的过程中 用计算器验证一下。 就不用再除，可以确定商。 3333333 结果不是近似值 要用“=”连接。 10÷3=3.33… 商的小数部分从第一位起，3重复出现。 这样的小数叫 83÷11=7.5454. 商的小数部分从第一位起，5和4依次重复出现。 循环小数。 商的表示方法：者商的小裁部分的位数是无限的，写商时，小数部 分反复出现的数字，先写出几个后，其余的用“…”代替。 107·- 随堂笔记·数学·五年级·上册·J小 用计算器计算下面各题。 58.6÷11 38.2÷2.7 53212图 5.32127 m94.4848 。00 回。d 58.6÷11=5.32727 38.2÷2.7=14.148148… 商的小数部分从第二位起 商的小数部分从第一位起，依 依次重复出现2、7两个数字。 次重复出现1、4、8三个数字。 个小数的小数部分，从某一位起一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样 的小数叫作循环小数。循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，叫作这个循环小 数的循环节。 循环小数的简便写法： 写循环小数时，可以只写一个循环节，并在循环节的首位和末位上面各点一个圆点。 例如： 3.33…写作3.3 7.5454…写作7.54 5.32727…写作5.327 14.148148…写作14.148 一个循环小裁的小裁部分依次不断重复出现的裁字，叫作这个循环小裁的循环节。如在7.5454… 中，5、4依次不断重复出现，“54”就是7.5454…的循环节，同理，5.32727…的循环节是“27”。 观察上面几个小数的循环节，你发现它们有什么不同？ ● 3.3的循环节只有一 5.327的循环节是从 ● 位，7.54的循环节有 小数部分的百分位开 两位… 始的… 循环节从小数部分第一位开始的，叫作纯循环小数，不是从第一位开始的，叫作混 循环小数。 小数部分的位数有限的小数，叫作有限小数；小数部分的位数无限的小数，叫作无 限小数。循环小数是无限小数。 108 三小数乘法和除法 学方法 解决此类问题的关健是明确小数比较大小的方法，从高位到低位依次比较。 ○运用还原简便记法来比较循环小数的大小 你会比较这些小数的大小吗？试试看！ 0.55○0.5 1.39○1.39 0.255○0.25 思路分析：比较循环小数的大小的方法与以前学过的比较小数大小的方法相同，但比较时 要把循环小数的简便记法还原。为了防止出错，可以把要比较的小数的小数，点 上下对齐排成一列，从高位到低位逐位进行比较。 0.55 0.55<0.5 1.39=1.3939. 1.39<1.39 0.255 -0.255>0.25 0.5=0.555… 1.39=1.399… 0.25=0.2525… 正确解答：<<> ○运用周期性解决有关循环小数问题 5÷7的商的小数部分第200位上的数字是几？前200位数字的和是多少？ 思路分析：解决此类问题的关健是根据商各悬位上数字的排列规律解决问题。 用200除以循环节中的数字 求出循环节中各数字的和， 计算5÷7的商，求 个数，得出共含有几组循环 循环节的组数×循环节中 出循环节及循环节 ◆ 节，若有余数，余数是几， 各数字的和+下个循环节 含有的数字个数。 则为循环节的第几个数字。 中出现的数字和=小数部 分前200位数字的和。 正确解答：5÷7=0.714285200÷6=33（组)…2（个） 7+1+4+2+8+5=2727×33=891891+7+1=899 答：5÷7的商的小数部分第200位上的数字是1；前200位数字的和是899。 ○综合运用小数大小比较的方法以及循环小数的知识解决问题 在下面四个循环小数的某些数字上补上循环点，使其成立。 0.9193<0.9193<0.9193<0.9193 思路分析： 这4个循环小数的整 在0.9193的某些数字上 4个循环节对应的 数部分相同，都是0，→ 补上循环点，循环节可能 ◆ 小数分别为： 小数部分前4位相 为“9193”“193”“93”“3”。 0.91939193… 同，都是9193。 0.9193193… 0.919393… 0.91933… ↓ 比较这四个数的大小， 再根据要求补上循环，点。 解决此类问题的关健是先列出循环节可能 正确解答：0.9193<0.9193<0.9193<0.9193 出现的所有情况，再比较大小，最后按照顺 序确定每个数的循环节。 109 随堂笔记·数学·五年级·上册·J小 课后·提升笔记 巧总结 提示：循环小数的小装部分的位数是无限的。 ◎易错点：误认为有重复数字出现就是循环小数 判断：68686868.6868是循环小数。 () 易错解读：判断一个小数是不是循环小数，一要看小数的位数是不是无限的，二要看有 无循环节。本题所给的小数虽然是由6和8两个数字重复出现组成的，但是这个小数的 小数部分只有四位，所以这个小数是一个有限小数。所以本题的正确答案为义。 举一反三： 提示：小数部分的位数是有限的小数，不论由多少个 下面( )是循环小数。 数字依次重复排列组成，都不能称为循环小数。 A.2.22222 B.2.53232… C.1.262662… D.3.454545 提素养 1.选择。 提示：循环部分是一个循环小数的小 (1)2.3÷1.5的商中，循环部分的数字是（ )。数部分依次不断重复出现的数字。 A.3 B.53 C.1.5 D.1.53 (2)一个循环小数的近似值是2.36，这个循环小数可能是（ ) A.2.36 B.2.35 C.2.35 D.2.366 2.在○里填上“>” “<”或“=” 0.75○0.5656… 24.2828…（24.2727… 3.427427…○3.42727… 5.326326○5.336 1.77○1.7777 7.833833○7.9 3.用竖式计算。（商用循环小数表示) 1.66÷0.15= 69÷3.3= 1.1÷0.6= 2÷11= 4.探索规律。 (1)用计算器计算下面各题，并找规律。 2÷22= 4÷22= 6÷22= 8÷22= 规律： (2)根据得到的规律直接写出得数。 10÷22= 12÷22= 14÷22= 16÷22= 110@提素养 1.85.60.85685.60.67676.7 2.10100101000100100045.6606 3.3÷1000=0.003(千克) 3.4÷100=0.034（克) 答：每100克牛奶中含蛋白质0.003千克。 每1克牛奶中含碳水化合物0.034克。 2.小数乘法 第1课时小数乘整数 举一反三 （竖式略)56.354.442.7 O提素养 1.42004200424.24.2 2.1.5×2×2×5=30(千米) 答：王爷爷5天跑30千米。 3.122.5-62.5=60（千克) 60×2×9.25=1110（元) 答：这桶豆油能卖1110元。 第2课时小数乘小数 举一反三 （竖式略)20.240.0680.0372 ②提素养 1.(1)三四（2)24270 (3)86.43.2557.312 2.(1)1.55×1.2=1.86(米) 答：爸爸的身高是1.86米。 （2)42.4×1.8=76.32（千克) 答：爸爸的体重是76.32千克。 第3课时积的近似值 举一反三 10.50.52109.79.73 ②提素养 1.（竖式略)0.73.03.71 2.（1)16.8×9.7≈163（平方米） 答：这块绿地占地约163平方米。、 (2)16.8+9.7=26.5(米)26.5×2=53（米） 答：篱笆至少长53米。 本书练习题参考答案 3.小数除法 第1课时除数是整数的小数除法 举一反三 (改正略)XX ②提素养 1.（竖式略)0.840.521.35 2.62.8÷2=31.4（千克) 31.4+5.6=37（千克) 答：甲筐原来有37千克苹果。 第2课时除数是小数的除法 举一反三 (竖式略)43.111012.5 ②提素养 1.<><< 2.7770.8282820 3.105÷0.5=210(元)390÷0.75=520（元） 520-210=310(元) 答每千克“黄山毛峰”比每千克“太平猴魁” 便宜310元。 第3课时商的近似值 举一反三 （竖式略)3.211.02 ②提素养 1.2.65÷1.5≈1.77（时) 答：运行一周大约需要1.77小时。 2.19.86÷8.6≈2 答：蓝鲸的速度约是企鹅的2倍。 第4课时循环小数 举一反三 B ②提素养 1.(1)A（2)B 2.>>><>< 3.（竖式略)11.066…20.9090… 1.833…0.1818… 4.（1）0.0909…0.1818…0.2727… 0.3636… 5 随堂笔记·数学·五年级·上册·J小 被除数是2的几倍，除数是22，商就 是0.09的几倍，且商的循环节为几乘9。 （2)0.4545…0.5454… 0.6363…0.7272… 第三单元要点总结 要点1练习 1.（竖式略)3.841.3920.2138.88 2.30×4×0.019≈2.3（克)2.3>2 答：小明对钠的摄人量超过了安全摄人量。 要点2练习 1.<<<<>><< 2.（竖式略)0.8510.70.25140 3.0.8×0.8=0.64（平方米) 22.4÷0.64=35（块) 答：需要35块这样的方砖。 要点3练习 1.（1)4.64.64（2)9.510.4 2.（竖式略)0.51.75.314.6 要点4练习 1.B 2.（竖式略)0.15454… 16.66…2.567567… 四 随机现象发生的可能性 第1课时简单的随机现象和可能性的大小 举一反三 X ②提素养 1.ACA2.略 3.(1)3黄 （2)不可能 ○ (5)个黄球 (3) (5)个白球 丙盒 第2课时列举随机现象的所有可能结果 举一反三 31、2、3 51、1,1、2,1、3,2、3,3、3 Q提素养 1.(1)2种，354和534。 （2)2种，45和54。 2.（答案不唯一)1颗夹心巧克力和1颗黑巧 克力；2颗夹心巧克力；1颗牛奶巧克力和 1颗杏仁巧克力。 第四单元要点总结 要点1练习 (1)可能（2)一定 (3)可能 要点2练习 略 要点3练习 有2种可能的结果，可以组成“朋”和“明” 两个字。 五小数应用问题 第1课时小数混合运算 举一反三 102.982.1760 Q.提素养 1.15.767027 2.(5.65+4.35)×3=30(千米)30<36.8 答：3天不能修完这条公路。 3.（42.9-13.9)÷5=5.8（千克) 答：奶奶一共买了5.8千克小黄鱼。 第2课时运用估算解决实际问题 练习 (1)28.5×6÷9.9≈17（包） 答：最多可以买17包饼干。 (2)把19.9元看作20元，把28.5元看作30 元，把39.9元看作40元。 20×3+30×2+40×2=200（元) 答：奇奇带200元够。 举一反三 把39.40元看作40元，把18.80元看作19元。 40×5+19×10=390(元) 390+98=488（元)488<500 答：剩下的钱还够买一箱扇贝。 66