9.2 库仑定律 讲义及课时强化练 -2026-2027学年高二上学期物理人教版必修第三册

本讲义聚焦库仑定律核心知识点，以点电荷模型建构为起点，通过库仑扭秤实验探究静电力与电荷量、距离的关系，进而系统梳理库仑定律的内容、公式及适用条件，形成从概念到实验再到应用的学习支架。 资料通过分层题型设计（例题精讲、变式训练、强化练）与真题融入，以点电荷模型辨析题培养科学思维，用库仑实验分析题提升科学探究能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固物理观念，通过针对性练习查漏补缺。

9.2 库仑定律 【题型精讲练】 1 题型1 点电荷的概念、探究电荷间的作用力 1 考向一 点电荷模型 1 考向二 库仑的实验-静电力常量 6 题型2 库仑定律的理解和应用 12 考向一 库仑力的一般计算 12 考向二 多个电荷的库仑力的计算 18 考向三 非点电荷间库仑力的计算 25 题型3 静电力计算 33 考向一 静电力的计算 33 【真题回顾】 40 【题型精讲练】 题型1 点电荷的概念、探究电荷间的作用力 1．点电荷：当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷． 2.探究电荷间的作用力与哪些因素有关 实验探究：利用如图所示的装置探究影响电荷之间相互作用力的因素． 实验结论：电荷之间的作用力随着电荷量的增大而增大，随着距离的增大而减小． 考向一 点电荷模型 【例题讲练】 【例1】（25-26高一下·河南商丘·期末）关于库仑定律，下列说法正确的是（     ） A．库仑定律的适用条件是真空和静止点电荷 B．根据，当两个带电体间的距离趋近于零时，静电力将趋向于无穷大 C．所带电荷量分别为和的点电荷相互作用时，受到的静电力是受到的静电力的5倍 D．库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积较小的带电体 【答案】A 【详解】A．库仑定律的适用条件是真空和静止点电荷，故A正确； B．两个带电体间的距离趋近于零时，带电体已经不能看成点电荷了，已经不能适用，故B错误； C．根据牛顿第三定律可知，M、N相互作用时，N受到的静电力与M受到的静电力大小相等，故C错误； D．如果在研究的问题中，带电体的形状、大小以及电荷分布状况对它们之间作用力的影响可以忽略不计，即可将它看作是一个带电的点，则这样的带电体叫作点电荷，故D错误。 故选A。 【例2】（多选）（25-26高二下·黑龙江鸡西·开学考试）关于点电荷、元电荷、检验电荷，下列说法正确的是（　　） A．点电荷是一种理想化的模型 B．点电荷所带电荷量一定是元电荷电荷量的整数倍 C．点电荷所带电荷量一定最小 D．点电荷、元电荷、检验电荷是同一种物理模型 【答案】AB 【详解】A．点电荷是一种理想化的模型，实际并不存在，A正确； B．任何电荷所带电荷量都一定是元电荷电荷量的整数倍，B正确； C．点电荷所带电荷量不一定最小，只是当带电体间的距离比它们本身的大小大得多，以至于带电体的形状大小和电荷分布对它们间的相互作用力的影响可忽略不计时，带电体就可以视为点电荷，C错误； D．根据定义可知，点电荷、元电荷、检验电荷表示的意义不一样，点电荷是理想化的物理模型，元电荷是最小的电荷量，不是物理模型，检验电荷是用来检验电场是否存在的电荷，体积要小，带电量也要小；故D错误。 故选AB。 【变式训练1】（2026高一·全国·专题练习）下列说法正确的是（     ） A．点电荷是一种理想化模型，真正的点电荷是可以在自然界找到的 B．点电荷就是体积和电荷量都很小的带电体 C．根据可知，当时， D．一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研究的问题的影响是否可以忽略不计 【答案】D 【详解】A．点电荷是一种理想化模型，真正的点电荷实际上并不存在，故A错误； B．当两个带电体的形状对它们之间的相互作用力的影响可忽略时，这两个带电体可看作点电荷，与体积大小无直接关系，故B错误； C．库仑定律只适用于真空中的静止的点电荷，当时，带电体不能再看作点电荷，故库仑定律不再适用，故C错误； D．一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研究的问题的影响是否可以忽略不计，故D正确。 故选D。 【变式训练2】（多选）（25-26高二上·全国·课前预习）关于点电荷的下列说法中正确的是（　　） A．真正的点电荷是不存在的 B．点电荷是一种理想模型 C．足够小的电荷就是点电荷 D．一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研究的问题的影响是否可以忽略不计 【答案】ABD 【详解】AB．点电荷是一种理想化的模型，用于简化问题研究，实际中并不存在，故AB正确； C．能否视为点电荷取决于其形状和大小对研究问题的影响是否可忽略，而非电荷体积大小，故C错误； D．判断点电荷的条件是带电体的形状和大小对所研究问题的影响是否可以忽略，而非尺寸本身，故D正确。 故选ABD。 【题型强化练】 1．（25-26高一下·湖北襄阳·期中）“电”的概念古来有之，但对电的研究到了16世纪才随着现代科学的发展而开始。在静电学的发展史中，法国物理学家库仑的功劳首屈一指，他让电学成为一门现代科学。关于比荷、元电荷、点电荷、库仑定律，下列说法正确的是（　　） A．带电性质不同的质子和电子所带电荷量大小相等，它们的比荷也相等 B．元电荷是自然界中最小的电荷量，元电荷可以是质子也可以是电子 C．体积小的带电小球在任何情况下都可以看成点电荷 D．真空中两静止的点电荷之间的库仑力大小总是相等的 【答案】D 【详解】A．质子和电子所带电荷量大小相等（均为元电荷），但质子质量远大于电子质量（约1836倍），因此比荷（电荷量与质量的比值，即）不相等。电子比荷远大于质子比荷，故A错误； B．元电荷是自然界中最小的电荷量（），但元电荷不是实体粒子；质子和电子是携带元电荷的粒子，但元电荷不是质子或电子，故B错误； C．点电荷是理想模型，其适用条件是带电体的尺寸远小于它们之间的距离。体积小的带电小球在距离很近时（如两小球紧贴），尺寸不可忽略，不能视为点电荷，故C错误； D．库仑定律是实验定律（由库仑通过扭秤实验得出），且根据定律，两电荷间库仑力大小相等、方向相反，符合牛顿第三定律，故D正确。 故选D。 2．（25-26高二上·四川广安·期末）物理学的发展反映了人类对自然规律的认识，下列说法正确的是（　　） A．体积很小的电荷就能看作是点电荷 B．越靠近正电荷电场强度越大，越靠近负电荷电场强度越小 C．牛顿发现了电流的磁效应 D．电场强度和磁感应强度都是矢量 【答案】D 【详解】A．点电荷的判断依据是带电体的形状、大小对研究问题的影响是否可忽略，不是仅由体积大小决定，故A错误； B．根据可知，无论是正电荷还是负电荷，电场强度的大小都随距离减小而增大，故B错误； C．电流的磁效应是奥斯特发现的，并非牛顿，故C错误； D．电场强度和磁感应强度都既有大小又有方向，属于矢量，故D正确。 故选D。 3．（25-26高二上·广东汕尾·期末）关于点电荷模型，下列论述正确的是（　　） A．库仑定律适用于点电荷 B．点电荷就是体积较小的带电体 C．点电荷产生的电场可以忽略不计 D．点电荷的电荷量是确定的，约为 【答案】A 【详解】A．库仑定律描述两个点电荷之间的相互作用力，因此该定律适用于点电荷，故A正确。 B．点电荷是理想模型，并非所有体积较小的带电体都是点电荷，故B错误。 C．点电荷产生的电场强度由决定，其值随距离减小而增大，不可忽略，故C错误。 D．点电荷的电荷量可为任意值，是元电荷，并非点电荷的固定值，故D错误。 故选A。 4．（25-26高二上·福建泉州·期中）以下说法正确的是（   ） A．元电荷的数值最早是由美国物理学家密立根测得的，元电荷的数值跟一个电子电荷量的绝对值的数值相等 B．由公式知，当真空中的两个电荷间的距离时，它们之间的静电力 C．一带负电的金属小球放在潮湿的空气中，一段时间后，发现该小球上带的负电荷几乎不存在了，这说明小球上原有的负电荷逐渐消失了 D．只有体积很小的带电体才能看成点电荷 【答案】A 【详解】A．元电荷的数值最早由密立根通过油滴实验测得，且元电荷的数值等于一个电子电荷量的绝对值，故A正确。 B．当时，两电荷不能视为点电荷，库仑定律不再适用，因此静电力不会趋于无穷大，故B错误。 C．根据电荷守恒定律，电荷不能被创造或消灭，只能转移；小球上负电荷减少是由于与潮湿空气中的正离子中和，而非消失，故C错误。 D．点电荷是理想模型，其条件取决于带电体大小相对于距离可忽略，并非仅由体积小决定，故D错误。 故选A。 5．（25-26高一下·安徽马鞍山·期末）“电”的概念古来有之，但对电的研究到了16世纪才随着现代科学的发展而开始。关于元电荷、点电荷、试探电荷、比荷，下列说法正确的是（　　） A．元电荷可以是质子也可以是电子 B．体积小的带电小球在任何情况下都可以看成点电荷 C．试探电荷的电荷量很小，不影响原电场分布 D．质子和电子所带电荷量相等，比荷也相等 【答案】C 【详解】A．元电荷是最小的电荷量单位，是物理量而非质子、电子这类实物粒子，仅质子、电子的带电量大小等于元电荷，故A错误； B．点电荷是理想化模型，只有当带电体的形状、大小对所研究问题的影响可忽略时，才能视为点电荷，体积小的带电小球若研究近距离相互作用，也不能看成点电荷，故B错误； C．试探电荷的电荷量需足够小，放入后不会改变原场源电荷的分布，因此不会影响原电场分布，符合试探电荷的定义要求，故C正确； D．比荷为电荷量与质量的比值，质子和电子带电量大小相等，但质子质量约为电子的1836倍，因此二者比荷不相等，故D错误。 故选C。 6．（多选）（25-26高二上·全国·课前预习）关于点电荷，下列说法中正确的是（　　） A．只有体积很小的带电体才能看成是点电荷 B．点电荷是一种理想模型，真正的点电荷是不存在的 C．两个带电体的大小、形状、电荷分布对它们之间的相互作用力的影响可忽略时，它们均可看成点电荷 D．当带电体带电量很少时，可看成点电荷 【答案】BC 【详解】AD．带电体能否看作点电荷是由研究问题的性质决定，与自身大小形状无具体关系，与带电量也无具体关系，故AD错误； B．点电荷是一种理想模型，真正的点电荷是不存在的，故B正确； C．当带电体的体积和形状对所研究的问题所带来的影响可以忽略时，可以看成点电荷。所以两个带电体的大小、形状、电荷分布对它们之间的相互作用力的影响可忽略时，它们均可看成点电荷，故C正确。 故选BC。 考向二 库仑的实验-静电力常量 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·湖南长沙·期末）物理学的发展丰富了人类对物质世界的认识，推动了科学技术的创新和革命，以下物理学史正确的是（     ） A．卡文迪什通过实验的测量，比较准确地得出了引力常量的数值 B．牛顿发现了万有引力定律，被称为“可以称出地球质量的人” C．丹麦科学家第谷通过观测行星，从而得出了行星运动的三大定律 D．库仑通过扭秤实验发现了点电荷间的作用规律，并测量了静电力常量 【答案】A 【详解】AB．牛顿发现了万有引力定律，但卡文迪什利用扭秤实验首先较准确地测定了万有引力常量，卡文迪什被称为“可以称出地球质量的人”，故A正确，B错误； C．开普勒通过分析第谷的观测数据，从而得出了行星运动的三大定律，故C错误； D．库仑通过扭秤实验发现了点电荷间的作用规律，静电力常量是在电荷量单位得到定义后由后人通过实验测定的，故D错误。 故选A。 【例2】（多选）（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图所示，在库仑扭秤实验中，两个完全相同的小球A和B分别带等量同种电荷，小球固定在绝缘支架上，小球通过金属细丝悬挂在扭秤上。当系统平衡时，金属细丝的扭转角度为，库仑力与扭转角度成正比，即。实验中，得到如下表中数据，下列说法正确的是（     ） 距离变化 电荷量变化 扭转角变化 不变 不变 （两球） （两球） 不变 A．库仑力与电荷量成正比 B．库仑力与距离的二次方成反比 C．若距离减小为原来的一半，两小球电荷量也减半，库仑力大小保持不变 D．若距离减小为原来的一半，两小球电荷量也减半，库仑力大小变为原来2倍 【答案】BC 【详解】由表中数据可知，库仑力与成反比，与两小球所带电荷量乘积成正比。 故选BC。 【变式训练1】（25-26高一下·安徽合肥·期末）了解物理规律的发现过程，学会像科学家那样观察和思考，往往比掌握知识本身更重要。下列说法不符合史实的是（     ） A．开普勒利用自己观察的行星运动数据，通过数学方法建立了开普勒行星运动定律 B．海王星的发现验证了万有引力定律的正确性，显示了理论对实践的巨大指导作用 C．卡文迪许的扭秤实验和库仑扭秤实验的相似性，体现了“类比”是一种重要的思维方式 D．元电荷e的数值，最早是由美国物理学家密立根通过实验测得 【答案】A 【详解】A．开普勒是通过分析第谷观测的行星运动数据，研究得出开普勒行星运动定律，并非使用自己观察的数据，故A错误； B．海王星是人们先通过万有引力定律计算出其轨道位置后观测发现的，验证了万有引力定律的正确性，体现了理论对实践的指导作用，故B正确； C．卡文迪许扭秤实验和库仑扭秤实验均采用扭秤放大微小形变的设计思路，二者的相似性体现了类比思维的应用，故C正确； D．美国物理学家密立根最早通过油滴实验测出了元电荷的数值，故D正确。 本题选不符合史实的，故选A。 【变式训练2】（多选）（24-25高二下·广东·学业考试真题）如图所示，库仑扭秤实验设计的巧妙之处在于；即使电荷量的具体数值未知，也能定量研究库仑力与电荷量之间关系。保持、球距离不变，下表为依次进行的3次实验的记录，下列说法正确的有（　　） 实验次数 1 2 3 球电量 球电量 库仑力 A．实验中、球会相互吸引 B．该实验用到了控制变量的方法 C．球与另一相同的不带电金属球接触后电量会减半 D．第3次实验测得的库仑力 【答案】BC 【详解】A．实验中、球会相互排斥，选项A错误； B．该实验研究多个物理量中间的关系，用到了控制变量的方法，选项B正确； C．球与另一相同的不带电金属球接触后电量会减半，选项C正确； D．根据前2组数据可知，第3次实验测得的库仑力，选项D错误。 故选BC。 【题型强化练】 1．（25-26高一下·江西上饶·期末）如图是库仑扭秤实验装置，下列说法正确的是（     ） A．由库仑定律公式可知，当r趋近于0时，F将趋向于无穷大 B．库仑扭秤能研究微小的库仑力，它最主要的物理思想是放大法 C．库仑扭秤能研究微小的库仑力，它最主要的物理思想是理想模型法 D．电荷量分别为Q和3Q的点电荷A、B相互作用时，B受到的库仑力是A的3倍 【答案】B 【详解】A．库仑定律适用于真空中的点电荷，由库仑定律公式可知，当r趋近于0时，两电荷不能看作点电荷，则公式不再适用，A错误； BC．库仑扭秤能研究微小的库仑力，它最主要的物理思想是微小量放大法，B正确，C错误； D．两电荷之间的库仑力是相互作用力，总是等大反向，D错误。 故选B。 2．（25-26高一下·江苏盐城·期中）如图所示的实验装置为库仑扭秤，该实验通过悬丝扭转的角度可以比较力的大小，从而找到力F与距离r和电量q的关系。这一实验中用到了下列哪些方法（　　） ①极限法    ②控制变量法    ③微小量放大法    ④逐差法 A．①② B．①③④ C．②③④ D．②③ 【答案】D 【详解】要探究和、两个物理量的关系，需要控制其中一个量不变，研究和另一个量的关系，用到了控制变量法，②正确。电荷间的库仑力非常微小，难以直接观测，本实验通过悬丝扭转的角度将微小的力的作用效果放大，便于比较力的大小，用到了微小量放大法，③正确。 故选D。 3．（25-26高一下·浙江台州·期中）库仑扭秤实验用扭秤把极小的力放大到可测，第一次实现精确测量，使电磁学从定性走向定量，它是静电学的基石，也是人类第一个定量的电磁学定律。根据所学知识请判断库仑在实验过程中，对金属小球的电荷量的测定是采用下面哪种方法（　　） A．用测电量的仪器精密测量 B．用两个相同的金属小球带同种电荷，接触后总电量平分的方法确定电荷量 C．用两个相同的金属小球带异种电荷，接触后总电量平分的方法确定电荷量 D．用两个相同的金属小球，一个带电、一个不带电，接触后电荷量平分的方法确定电荷量 【答案】D 【详解】A．库仑所处年代尚未发明可精密测量电量的仪器，无法直接测量小球电荷量，故A错误； B．若两个金属小球均带同种电荷，初始各自电荷量未知，接触平分后无法得到可定量控制的电荷量，不能实现实验变量控制，故B错误； C．带异种电荷的相同金属小球接触后会先中和，再将剩余电荷平分，无法得到与初始电荷量成确定比例的电荷量，不是库仑采用的方法，故C错误； D．库仑实验中使用一个带电、一个不带电的完全相同金属小球，接触后电荷量平分，可依次得到原电荷量的、、……等确定比例的电荷量，以此控制电荷量变量开展实验，故D正确。 故选D。 4．（25-26高二上·云南昆明·期末）下列关于物理学史的说法正确的是（　　） A．库仑通过扭秤实验装置得到电荷间的作用力与电荷间距离二次方成反比 B．开普勒在研究了第谷行星观测记录的基础上，得到了行星绕太阳按圆周轨道运行的结论 C．牛顿通过月地检验证明地面上的物体受到地球的引力和月球受到地球的引力满足同样的规律，从而提出万有引力定律，并据此测出了地球的质量 D．法拉第通过油滴实验，发现带电体的电量为某一数值的整数倍，从而测得了元电荷的电荷量 【答案】A 【详解】A．库仑通过扭秤实验直接验证了电荷间作用力与距离的二次方成反比，故A正确； B．开普勒基于第谷观测数据提出行星运动轨道为椭圆（开普勒第一定律），而非圆周，故B错误； C．牛顿通过月地检验验证了万有引力定律的普适性，但未据此测出地球质量（卡文迪什通过扭秤实验首次测得），故C错误； D．密立根通过油滴实验测得元电荷数值，而非法拉第（法拉第主要贡献在电磁学），故D错误。 故选A。 5．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）下列关于物理学史、研究方法和发展过程认识正确的是（    ） A．在不需要考虑物体的大小和形状时，用质点来代替物体的方法叫做等效替代法 B．在探究加速度与力、质量的关系实验中，采用了控制变量的实验方法 C．牛顿运动定律是研究动力学问题的基石，都能通过实验手段直接验证 D．库仑利用扭秤实验装置测出了引力常量，被称为“称量地球质量”第一人 【答案】B 【详解】A．用质点代替物体是一种理想化模型法，用于简化问题（如忽略物体大小和形状），故A错误。 B．在探究加速度与力、质量关系的实验中，通过控制其中一个变量（如质量）不变，研究其他变量（如力与加速度）的关系，符合控制变量法的定义。故B正确。 C．牛顿运动定律包括第一定律（惯性定律）、第二定律（F=ma）和第三定律（作用力与反作用力）。其中，第一定律无法通过实验直接验证（因现实无法消除所有外力，需理想化推理），而第二、第三定律可通过实验验证。故C错误。 D．库仑利用扭秤实验测定的是静电力常量（库仑定律），而非引力常量；引力常量由卡文迪许通过扭秤实验测定，并据此计算地球质量，被称为“称量地球质量”第一人。故D错误。故选B。 6．（多选）（24-25高二上·河北沧州·期中）下列说法正确的是（　　） A．静电力常量没有单位 B．两点电荷的电荷量越大，库仑力一定越大 C．自然界中电荷的总量保持不变 D．电荷量是不能连续变化的物理量 【答案】CD 【详解】A．根据 可知 静电力常量的单位为 A错误； B．根据 可知，两点电荷的距离不变时，电荷量越大，库仑力越大，B错误； C．根据电荷守恒定律可知，电荷既不能被创生，也不能被消灭，所以自然界中的电荷的总量保持不变，C正确； D．因为所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍，所以电荷量是不能连续变化的物理量，D正确。 故选CD。 题型2 库仑定律的理解和应用 1.库仑的实验 ①．库仑扭秤实验是通过悬丝扭转的角度比较静电力F大小的．实验结果发现静电力F与距离r的二次方成反比． ②．库仑在实验中为研究F与q的关系，采用的是用两个完全相同的金属小球，一个带电，一个不带电，互相接触后，电荷量平分的方法，发现F与q1和q2的乘积成正比． 2.库仑定律 ①内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上．这个规律叫作库仑定律．这种电荷之间的相互作用力叫作静电力或库仑力． ②公式：F＝k，其中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫作静电力常量． ③适用条件：a.在真空中；b.静止点电荷． 3.静电力计算 ①．微观带电粒子间的万有引力远小于库仑力．在研究微观带电粒子的相互作用时，可以把万有引力忽略． ②．两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和． 考向一 库仑力的一般计算 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·山西·期末）两个分别用长13cm的绝缘细线悬挂于同一点的相同小球（可看作质点），带有同种等量电荷。由于静电力F的作用，它们之间的距离为10cm。已测得每个小球的质量是0.6g，g取，静电力常量，则它们所带的电荷量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对其中一个小球受力分析，小球受重力、绳子拉力、库仑斥力，三力平衡。 由已知条件：绳长，两球间距，等腰三角形的半底长为，由勾股定理得绳子偏离竖直方向的竖直高度 因此绳子与竖直方向夹角的正切值 由平衡条件：水平方向 竖直方向 两式相除得： 得： 由库仑定律 得 故选A。 【例2】（多选）（25-26高一下·河南周口·期末）如图所示，两个带电球，大球的电荷量大于小球的电荷量，可以肯定（     ） A．两球可能都带正电 B．两球都带负电 C．大球受到的静电力大于小球受到的静电力 D．两球受到的静电力大小相等 【答案】AD 【详解】AB．以小球为对象，根据平衡条件可知，小球受到大球的库仑斥力，所以两球带同种电荷，可能都带正电，也可能都带负电，故A正确，B错误； CD．大球受到的静电力与小球受到的静电力是一对相互作用力，根据牛顿第三定律可知，两球受到的静电力大小相等，故C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练1】（25-26高一下·陕西渭南·期末）在O点固定的点电荷产生的静电场中，一电子仅在静电力作用下的运动轨迹如图中实线所示，A、B是轨迹上两点，且OA=2OB，已知电子在B点所受静电力大小为F，则电子在A点所受静电力大小为（     ） A． B． C．2F D．4F 【答案】A 【详解】设O点固定的点电荷的电荷量为，根据库仑定律可知，电子在B点所受静电力大小为 电子在A点处所受静电力大小为 故选A。 【变式训练2】（多选）（25-26高一下·山东泰安·期末）如图所示，质量为m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量也为q的小球B固定在O点正下方的绝缘柱上，其中O点与小球A的间距为l，O点与小球B的间距为，当小球A静止时，悬线与竖直方向夹角θ=30°。带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k。则（     ） A．小球A、B间库仑力大小 B．小球A、B间库仑力大小 C．细线拉力大小 D．细线拉力大小 【答案】AC 【详解】AB．由题意可知，，悬线与竖直方向夹角为，在中，根据余弦定理有 代入数据解得 则为等腰三角形，根据几何关系可知小球、连线与竖直方向的夹角为，对小球受力分析，水平方向根据平衡条件有 解得 竖直方向根据平衡条件有 联立解得 故A正确，B错误； CD．根据库仑定律可知小球、间库仑力大小为 解得 由对A选项的分析可知，则细线拉力大小为 故C正确，D错误。 故选AC。 【题型强化练】 1．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，某点O处固定点电荷，一个带电为的点电荷以O点为圆心做匀速圆周运动，另一带电为的点电荷以O为焦点做椭圆轨道运动，两个轨道相切于P点，两个电荷的质量相等且，它们之间的静电引力和万有引力均可忽略，设、先后经过P点时速度大小分别为v1、v2，加速度大小分别为、，下述关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．在P点时，两电荷受力均为库仑力，分别为，，因为，所以，由牛顿第二定律，因为m相同，所以，AB错误。 CD．在P点的的电荷做匀速圆周运动，提供的库仑力等于所需的向心力 解得 在P点的的电荷做近心运动，提供的库仑力大于所需的向心力 解得 因为，可得，C正确，D错误。 故选C。 2．（25-26高一下·河北衡水·期末）如图所示，两个完全相同的绝缘金属小球A、B放置在桌面上，所带电荷量分别为+9q、-q，刚开始时两球心相距为，库仑力大小为，现将两球接触后球心相距为放置，则库仑力的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据库仑定律可得初始时的库仑力大小为 将A、B两球接触后分开，则A、B所带电荷量均为 使A、B相距2d，则A、B间库仑力大小变为 可得 故选C。 3．（25-26高一下·江苏泰州·期末）两个完全相同金属小球相距为r（远大于小球半径），所带电荷量分别为+5Q和-Q，两球间的库仑力大小为F。将两小球接触后再放回原处，它们之间的库仑力大小为（     ） A． B． C．5F D．F 【答案】A 【详解】初始状态下，根据库仑定律，两球间的库仑力大小为 两个完全相同的金属小球接触时，电荷先中和再均分，总电荷量为 因此接触后每个小球的带电量为 将两球放回原距离处，新的库仑力大小为 联立可得 故选A。 4．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期末）A、B是两个相同的金属小球，A带有+4Q的电荷量，B带有-Q的电荷量，它们固定在距离为L的两处（L远大于小球直径），A、B间静电力大小为F。现把A、B距离减为，同时用与A、B相同的不带电小球C反复接触A、B稳定后拿走C球，则A、B间静电力的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据库仑定律，初始时A、B间静电力为 三个相同金属球反复接触时，总电荷守恒且平分给三个球，总电荷量为 因此每个球最终带电量为 即拿走C后A、B均带，此时A、B间距为，代入库仑定律得 故选C。 5．（25-26高一下·安徽宿州·期末）真空中两个相同的带等量同种电荷的金属小球M和N（均可看作点电荷），分别固定在两处，两球之间的静电力为F。用一个不带电的同样的金属小球P与M接触后，移开P后，M的电荷量变为原来的一半，此时M、N之间的静电力变为（     ） A．F B． C． D． 【答案】B 【详解】设初始时、的电荷量均为，两球距离为，则初始静电力为 与接触并移开后，的电荷量为，电荷量仍为，两球距离不变，则此时静电力为== 故选B。 6．（多选）（25-26高一下·安徽亳州·期末）如图所示，用轻质绝缘细绳将带电小球P悬挂起来，将带电小球Q置于P的正下方距离h处悬空，系统恰处于静止状态。两球均可视为质点，P与Q质量之比为，重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．两小球可能带同种电荷 B．若两球的电荷量都加倍，则Q可静止在P的正下方2h处 C．若剪断细绳，剪断瞬间P的加速度大小为2g D．若剪断细绳，剪断瞬间P的加速度大小为3g 【答案】BD 【详解】A．要使下方的球静止，球对球的静电力应竖直向上，两球之间为吸引力，故两球带异种电荷，故A错误； B．由库仑定律 可知两球电荷量均加倍时，要使静电力保持不变，距离应变为原来的倍，即，故B正确； CD．静止时对球有静电力 剪断细绳瞬间，两球间距离及电荷量均未改变，球受到的合力大小为 其加速度大小为，故C错误，D正确。 故选BD。 考向二 多个电荷的库仑力的计算 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·辽宁·期末）如图所示，在直角三角形ABC的顶点A、B分别固定有两个正点电荷、，现将一负的试探电荷q固定于顶点C。已知AC∶BC=4∶3，Q1∶Q2=4∶3，图中虚线CM与AB边垂直，则q所受电场力方向（     ） A．沿CA方向 B．沿CM方向 C．在范围内（不含角边界） D．在范围内（不含角边界） 【答案】B 【详解】A．设，，，，两正点电荷对负试探电荷的作用力均为引力，根据库仑定律分别有， 联立解得 设试探电荷受到的合力与边BC的夹角为，因为与相互垂直，根据力的合成有 解得 在直角三角形ABC中，根据几何关系有 代入数据解得 可知，又因为CM与AB垂直，根据几何关系有 结合上述分析可知，即试探电荷所受合力方向沿CM方向，不沿CA方向，故A错误； B．由对A选项的分析可知，试探电荷所受电场力方向沿CM方向，故B正确； C．由对A选项的分析可知，试探电荷所受电场力方向不处于范围内，故C错误； D．由对A选项的分析可知，试探电荷所受电场力方向不处于范围内，故D错误。 故选B。 【例2】（多选）（25-26高三上·河北张家口·阶段检测）在科幻桌游《星际电荷迷宫》的进阶关卡中，玩家需要操控一个特殊装置：装置面板是水平光滑的绝缘平面，上面有三个带同种电荷q、质量均为m的金属小球，被三根长度均为L的绝缘轻绳连接成等边三角形。三角形的中心C点是装置的旋转轴心，静止时C到三个小球的距离相等，此时连接小球1和2的轻绳拉力为FT1。当玩家通关前置任务后，装置启动“旋转挑战模式”：整个小球一轻绳系统以C为圆心做匀速圆周运动，此时小球1和2之间的轻绳拉力变为FT2=3FT1。若此时小球1的动能为Ek，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】AB．当小球1静止时, 连接小球1和2的轻绳拉力为与小球1和2之间的库仑斥力平衡 即 故小球1受库仑斥力的合力为，方向背离C点 故A正确，B错误； CD．小球做圆周运动时，对小球1受力分析绳上的合力为方向指向 C 点，库仑力的合力不变，由牛顿第二定律可得： 整理得：，C 错误，D 正确； 故选 AD。 【变式训练1】（25-26高一下·山东潍坊·期末）真空中有三个相同的金属球a、b、c，分别位于边长为r的正三角形的三个顶点上（r远大于小球直径），其中a球带电荷量为+5q，b球带电荷量为-q，c球不带电。现将a球先后与b、c接触再放回原处，已知静电力常量为k，则b球受到的静电力大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当金属球先与金属球接触时，根据电荷守恒定律有 解得 随后金属球与金属球接触，同理有 解得 由此可知最终球的带电量为$2q$，球和球的带电量均为，根据库仑定律分别有， 解得 由题意可知三个金属球构成正三角形，则与两力的夹角为，由力的合成法则可得球受到的静电力大小为 解得 故选C。 【变式训练2】（多选）（25-26高二上·上海·期中）如图所示，在倾角为的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与带电小球A连接。A、B、C三个带电小球均可视作质点，且质量均为m，，，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则（　　） A． B． C．弹簧伸长量为 D．相邻两小球间距为 【答案】BCD 【详解】ABD．三小球间距均相等，对C球受力分析可知C球带正电，根据平衡条件 对B小球受力分析，根据平衡条件 两式联立解得，，故A错误，BD正确； C．对A、B、C三小球整体受力分析，根据平衡条件 弹簧伸长量，故C正确。 故选BCD。 【题型强化练】 1．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在真空中的绝缘水平面上，两相距为的固定的同种点电荷A、B带电荷量均为，点为两电荷连线的中点，为两电荷连线的中垂线，在中垂线上的 点放有一带电荷量也为的可看成点电荷的小物块，小物块在大小为（为静电力常量）的水平恒力作用下处于静止状态，已知力和间夹角，、间距离为，则小物块所受的摩擦力大小是（     ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】由叠加原理可知带电小物块在处所受电场力大小为 方向由指向；由平衡条件可知小物块所受的摩擦力大小应等于小物块所受电场力与的合力大小，由于，由矢量运算法则知 故选D。 2．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图所示，边长为的立方体八个顶点上有八个点电荷，其中顶点、上的质点所带电荷量分别为、（，），其他质点所带电荷量未知，上的质点仅在静电力作用下处于平衡状态，现将上的质点电荷量变成，已知静电力常数为，则顶点上质点受静电力大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】上的质点仅在静电力作用下处于平衡状态，说明除点以外的其他电荷对点电荷的作用力与点电荷对点电荷的作用力等大反向，根据平衡条件可得，方向由指向 现将上质点电荷量变成，由库仑定律可得点电荷对点电荷的作用力，方向由指向 其他电荷对点电荷作用力不变，则顶点上质点受力的合力为 故选B。 3．（2026·新疆·模拟预测）如图所示，真空中三个点电荷、、分别固定在边长为0.5m的等边三角形的顶点上，已知，所受静电力为。静电力常量，下列判断可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．根据题意，若 由库仑定律可得，受到、的库仑力大小分别为、 方向如图所示 由平行四边形定则可得，受到库仑力大小为，故A错误； B．根据题意，若 由库仑定律可得，受到、的库仑力大小分别为、 方向如图所示 由平行四边形定则可得，受到库仑力大小为，故B正确； C．根据题意，若 由库仑定律可得，受到、的库仑力大小分别为、 方向如图所示 由平行四边形定则可得，受到库仑力大小为，故C错误； D．根据题意，若 由库仑定律可得，受到、的库仑力大小分别为、 方向如图所示 由平行四边形定则可得，受到库仑力大小为，故D错误。 故选B。 4．（25-26高三上·云南普洱·期末）如图所示，a、b、c、d四个带正电小球恰好构成“三星拱月”之形，其中a、b、c三个小球被固定在绝缘水平面内半径为R的圆周上，O为圆心，三小球所在位置恰好将圆周三等分。d球位于O点正上方处，处于静止状态，已知a、b、c球的电荷量均为q，d球的电荷量为4q，重力加速度为g．静电力常量为k，则d球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由几何关系可知，abc三球与d球的距离均为2R，与d球的连线与竖直方向夹角均为30°，则对d球由平衡可知 解得 故选B。 5．（25-26高三上·河北张家口·期末）三个完全相同的带电小球1、2、3，通过不可伸长的绝缘轻质细线连接成边长为的正三角形，静置于光滑绝缘水平面上，如图所示。小球质量为，带电量为，可视为点电荷，静电力常量为。现将球1和球2间的细线剪断，剪断细线的瞬间，小球3的加速度为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】对小球3列牛顿第二定律方程 对小球1沿绳子方向列牛顿第二定律方程 同时沿绳方向加速度相同，即 联立可得，故选D。 6．（多选）（25-26高一下·北京海淀·期中）如图所示，位于同一直线上的两个点电荷和将该直线划分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，另有一负点电荷，设对、的电场的影响可忽略不计，则（　　） A．在Ⅰ区中，受力可能向左，也可能向右 B．在Ⅱ区中，受力可能向左，也可能向右 C．在Ⅲ区中，受力可能向左，也可能向右 D．在Ⅱ区中，受力一定不为零 【答案】ACD 【详解】根据同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引可知：在Ⅰ区域对的力向右，对的力向左；在Ⅱ区域对的力向左，对的力也向左；在Ⅲ区域对的力向左，对的力向右。 根据库仑定律可知点电荷对放入其中的电荷的力为，由于不知道、的大小关系，则两电荷对的库仑力的大小关系不能确定，则在Ⅰ区和Ⅲ区中，受力可能向左，也可能向右，也可能合力为0；在Ⅱ区中，受力一定向左，且一定不为0。 故选ACD。 考向三 非点电荷间库仑力的计算 【例题精讲】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，真空中两个带电金属球半径均为，两球心间距离为，所带电荷量大小相等，均为。关于它们之间电荷的相互作用力大小，下列说法正确的是（　　） A．若带同种电荷， B．若带异种电荷， C．若带同种电荷， D．无论带何种电荷， 【答案】C 【详解】AC．由于两球心距离并不远大于球的半径，两带电金属球不能视为点电荷，电荷在球上的分布会因相互作用而改变。 若带同种电荷，电荷相互排斥，会分布在小球的外侧，等效电荷中心间的距离大于，根据库仑定律，实际作用力，故A错误，C正确； B．若带异种电荷，电荷相互吸引，会分布在小球的内侧，等效电荷中心间的距离小于，实际作用力，故B错误； D．综上，只有带同种电荷时，故D错误。 故选C。 【例2】（多选）（2025高二上·海南·学业考试）两个倾角均为、底端相连的绝缘轨道、被固定在竖直平面内，粗糙、光滑。带电量均为、质量均为的小物块、（均可视为质点）静止在图示位置时，两物块的连线垂直于。静电力常量为，重力加速度为，则（　　） A．两物块间的电场力大小为 B．两物块间的距离为 C．受到的摩擦力大小为 D．对轨道的压力大小为 【答案】AC 【详解】A．设间的电场力为受力如图所示，依据平衡条件有 得，A正确； B．设两物块相距，依据库仑定律有 得，B错误； CD．对受力分析，依据平衡条件知其对轨道的压力 所受摩擦力，C正确，D错误。 故选AC。 【变式训练1】（25-26高一下·江苏淮安·期中）如图所示的两个金属小球，球心间距离为，现使两球分别带上等量异种电荷、，则两球间的静电力（　　） A．等于 B．小于 C．等于 D．大于 【答案】D 【详解】库仑定律的适用条件是真空中的点电荷，本题中两个金属球自身半径为，球心间距仅为，金属球的大小不能忽略，不能直接当作点电荷计算。 两球带等量异种电荷，异种电荷相互吸引，电荷会重新分布，等效电荷中心的实际间距 若将电荷按球心间距代入库仑定律，得到结果为 由于实际等效距离更小，根据库仑定律 可得实际静电力 故选D。 【变式训练2】（多选）（25-26高二上·天津北辰·阶段检测）A、B两带电小球，质量分别为、用绝缘不可伸长的细线如图悬挂，静止时A、B两球处于相同高度。若B对A及A对B的库仑力分别为、，则下列判断正确的是（　　） A． B．细线AC对A的拉力 C．细线OC的拉力 D．同时烧断AC、BC细线后，落地时A的水平位移小 【答案】CD 【详解】AB.两球间的库仑力是作用力与反作用力，大小一定相等，对小球受力分析，小球受重力、库仑力、拉力，由共点力的平衡条件有，库仑力 拉力 所以细线与竖直方向夹角越小，质量越大，，则小球A受到的拉力，故A错误，B错误； C.由整体法可知，细线OC的拉力等于两球的总重力，即，故C正确； D.同时烧断AC、BC细线后，小球A、B在竖直方向只受重力不变，所以竖直方向加速度相同，水平方向受到库仑力作用，由于，所以有，由运动学公式小球A的水平位移小，故D正确。 故选CD。 【题型强化练】 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图甲、乙所示，两个电荷量均为的点电荷分别置于电荷量线密度相同、半径相同的圆环和半圆环的圆心，环的粗细可忽略不计。若图甲中环对圆心点电荷的库仑力大小为，则图乙中环对圆心点电荷的库仑力大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据对称性，图甲中四分之一圆环对圆心点电荷的库仑力可等效为环上电荷集中于环中点处电荷对圆心点电荷产生的，如图 同理，图乙中环对圆心点电荷的库仑力可等效为上下两个四分之一圆环电荷对其产生的，如图 几何关系可知 故选A。 2．（2025·河南·一模）如图所示，空间中有一均匀带正电的绝缘球壳，P、Q为竖直直径延长线上的两点，且，为水平直径。在P点放置一质量为、电荷量为（且q极小）的小球甲，小球甲恰能静止；移走小球甲，并截除半球壳（不影响半球壳的电荷分布），在Q点放置质量为、电荷量为的小球乙，小球乙也恰能静止。重力加速度为g，则半球壳对小球甲的作用力大小为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】截除ABC前，设半球壳ABC对甲球的作用力大小为，ADC对甲球的作用力大小为，则 移走ABC后，根据位置关系可知，ADC对乙球的作用力大小与ABC对甲球的作用力大小相等，即 则 故选A。 3．（24-25高二上·黑龙江·期中）如图所示，竖直面内固定一均匀带电圆环A，所带电荷量为Q，圆环A的轴线（过圆心且垂直于圆环平面）上距离圆心为r处有一质量为m、电荷量为q的小球，小球用绝缘细线悬挂于O点，静止时小球与O点连线与竖直方向的夹角为θ，小球与圆环连线与轴线的夹角为α，静电力常量为k，重力加速度为g，则小球与圆环之间的库仑力大小为（　　） A．k B．kcos2α C．mgtanθ D．mgcosθ 【答案】C 【详解】A．因为带电圆环A距离带电小球较近，故不能将其看成点电荷，故不能使用库仑定律求小球受到的库仑力，故A错误； B．把圆环A分成无数小段，取环上任取一点，可看作点电荷Δq，Δq对小球的库仑力为 求出圆环上各点电荷对小球的库仑力的合力为 故B错误； CD．小球受到的重力竖直向下、静电力方向向右，小球的受力情况如图所示，由平衡条件得 故C正确，D错误。 故选C。 4．（19-20高二上·甘肃酒泉·期末）下列说法正确的是（　　） A．库仑定律适用于任何电场的计算 B．若点电荷的电荷量小于的电荷量，则对的静电力小于对的静电力 C．当两个半径均为、带电荷量均为的金属球中心相距为时，它们之间的静电力大小为 D．置于均匀带电空心球球心处的点电荷所受库仑力为零 【答案】D 【详解】A．库仑定律只适用于真空中静止的点电荷，故A错误； B．Q1对Q2的静电力和Q2对Q1的静电力是一对作用力与反作用力，所以大小相等，方向相反，故B错误； C．由于带电球的大小与它们之间的距离相比不能忽略，因此不能看作点电荷，不能直接利用库仑定律计算库仑力的大小，故C错误； D．对于一个完整的带电均匀的球壳，球面上任何一点的电荷对球心处的点电荷的库仑力都会被对称的另一个点的电荷对球心处的点电荷的库仑力抵消掉，所以置于均匀带电空心球球心处的点电荷所受库仑力为零，故D正确。 故选D。 5．（23-24高一下·江西宜春·阶段检测）如图所示，真空中两个带电金属球半径均为r，两球心间距离为4r，所带电荷量大小相等，均为Q。关于它们之间电荷的相互作用力大小F，下列说法正确的是（　　） A．若带同种电荷， B．若带异种电荷， C．若带同种电荷， D．无论带何种电荷， 【答案】C 【详解】AC．若是同种电荷，则相互排斥，电荷间距大于4r，因此库仑力 故A错误，C正确； BD．若是异种电荷，则相互吸引，电荷间距小于4r，因此库仑力 故B错误，D错误。 故选C。 6．（多选）（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）在竖直平面内固定一半径为的金属细圆环，质量为的金属小球（视为质点）通过长为的绝缘细线悬挂在圆环的最高点。当圆环、小球都带有相同的电荷量（未知）时，发现小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，如图所示。已知静电力常量为。则下列说法中正确的是（     ） A．电荷量 B．电荷量 C．绳对小球的拉力 D．绳对小球的拉力 【答案】AC 【详解】AB．根据题意分析可知，圆环、小球都带有相同的电荷量，取圆环顶端长为的一小段，其带电量为 对金属球的库仑力为 同理，圆环最底端长为d的一小段，对金属球的库仑力也为，且两力的竖直分力平衡，设绳子与竖直方向夹角为，则在水平方向的分力为： 故整个圆环对小球的合力方向水平向右，大小为 小球受重力、拉力和电场力而平衡，由相似三角形关系可得 解得，故A正确，B错误； CD．根据题意分析可知，小球受重力、拉力和电场力而平衡，由相似三角形关系可得 解得，故C正确，D错误。 故选AC。 题型3 静电力计算 1．微观带电粒子间的万有引力远小于库仑力。在研究微观带电粒子的相互作用时，可以把万有引力忽略。 2．两点电荷间的库仑力与周围是否存在其他电荷无关。 3．两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。这个结论叫作静电力叠加原理。 4．任何一个带电体都可以看成是由许多点电荷组成的，如果知道带电体上的电荷分布，根据库仑定律就可以求出带电体之间的静电力的大小和方向。 考向一 静电力的计算 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·浙江温州·期末）如图所示，A、B两带电小球用绕过光滑定滑轮长为L的绝缘轻线连接，B球紧靠竖直光滑绝缘挡板。系统静止时，A、B球处于同一高度，悬挂A球的轻线与水平方向夹角为37°，悬挂B球的轻线竖直。已知A、B球带等量正电荷，B球质量为m，静电力常量为k，重力加速度为g，两小球均可视为质点，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（     ） A．A球的质量为m B．A球所受拉力大小为0.8mg C．A球所受库仑力大小为0.6mg D．A球所带的电荷量为 【答案】D 【详解】AB．设滑轮到 A 球的绳长为 ，则滑轮到 B 球的竖直绳长为 ，由绳长关系得 解得 对 B 球竖直方向平衡可得绳中拉力 ；对 A 球竖直方向平衡有 解得，故A错误，B错误。 CD．对 A 球水平方向平衡有库仑力 A、B 两球间距离为 设每球电荷量为 ，由库仑定律得 解得，故C错误，D正确。 故选D。 【例2】（多选）（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图所示，一光滑绝缘半圆环固定在竖直面内，半径为，圆环最低点固定一电荷量为的小球，另一质量为的小球恰好静止在与圆心等高的点，某时刻起，小球缓慢漏电，开始在竖直圆环上缓慢运动，已知静电力常量为，重力加速度为。下列说法中正确的是（     ） A．小球漏电前的电荷量 B．漏电过程中，圆环对小球的支持力大小变小 C．漏电过程中，小球的电荷量与两球间的距离的三次方成正比 D．漏电过程中，两球间的库仑力逐渐减小 【答案】CD 【详解】A．漏电前根据几何关系可知小球与间的距离为，对小球进行受力分析，在圆弧切线方向根据平衡条件有 解得 故A错误； B．设某时刻小球与圆心连线与竖直向下的夹角为，根据几何关系可知两球间的距离为，小球受重力、圆弧的支持力和库仑力作用，在切线方向和法线方向根据平衡条件分别有， 联立解得和 由此可知在漏电过程中圆环对小球的支持力大小保持不变，故B错误； C．根据库仑定律可知两球间的库仑力为 结合B选项推导出的表达式，代入联立解得 可知小球的电荷量与两球间的距离的三次方成正比，故C正确； D．在小球缓慢漏电向最低点运动的过程中，夹角从减小到，根据B选项中推导的库仑力表达式 可知两球间的库仑力逐渐减小，故D正确。 故选CD。 【变式训练1】（25-26高一下·山东聊城·期末）光滑绝缘水平面上有两个可视为点电荷的相同金属小球A、B，带电量分别为和，固定在相距为的两处，同时释放两小球的瞬间，A的加速度大小为；若用一个相同的不带电金属球C先后与A、B接触后移走，将A、B距离减小为，同时释放两球的瞬间，A的加速度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据库仑定律，初始时两球间库仑力大小为 由牛顿第二定律 得 不带电C与A接触，C带电量为； 带的C与带的B接触，总电荷先中和再平分 距离减小为时，库仑力大小为 由牛顿第二定律，此时A的加速度大小 故选C。 【变式训练2】（多选）（25-26高一下·广东深圳·期末）如图所示，在深圳中学高中园的物理实验室中，重力为G、带电为（）的小球A被绝缘细线系在天花板上，带正电的小球B通过绝缘体固定在地面上，当小球A处于静止状态时，小球A与小球B之间的连线水平且距离为d，细线与竖直方向夹角为θ，静电力常量为k，两小球均可视为点电荷，下列说法正确的是（     ） A．小球A受到的拉力大小为 B．小球A受到的拉力大小为G C．小球A受到的库仑力大小为 D．小球B的电荷量为 【答案】AD 【详解】AB．以A为对象，竖直方向根据平衡条件可得 解得小球A受到的拉力大小为，故A正确，B错误； CD．以A为对象，水平方向根据平衡条件可得 解得小球A受到的库仑力大小为 根据库仑定律可得 解得小球B的电荷量为，故C错误，D正确。 故选AD。 【题型强化练】 1．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）两个分别带电荷量为和的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为的两处，它们之间库仑力的大小为，将两小球相互接触后又放回原位置，则两球间库仑力的大小变为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据库仑定律，两球接触前的库仑力大小为： 相同金属小球接触时，电荷先中和再均分，总电荷量为 因此接触后分开每个小球的带电量为，放回原位置后，新的库仑力大小为： 联立两式得 故选B。 2.（2026年高考物理真题完全解读（河南卷））在 坐标轴上放置电荷量为和的两点电荷，其坐标分别为，。电荷量为（）的试探电荷沿 轴移动，所受静电力 随 变化的图像如图所示。取 轴的正向为 的正方向，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由图像可知在间存在一零点，设坐标为，试探电荷在此处受到的静电力为零，可知两点电荷带同种电荷，根据库仑定律有 由于，故可得； 根据图像可知在处时，试探电荷受到的静电力沿 轴的正向，根据前面分析由于，在处时，试探电荷到两点电荷间的距离相等，可知试探电荷在此处受到的静电力的合力方向与点电荷对试探电荷的静电力的方向相同，故可知 故选A。 3．（25-26高二下·陕西汉中·期中）带电小球固定在竖直的绝缘杆上，有一根不可伸长的绝缘轻质细线一端连接带电小球，另一端系在绝缘杆上，平衡时两小球的位置等高，如图所示。设小球受到细线的拉力为、库仑力为，使小球缓慢向下移动适当距离后，小球平衡并回到原位置，则此时较之前两小球等高时（     ） A．、都变小 B．、都变大 C．变大，变小 D．变小，变大 【答案】A 【详解】对小球进行受力分析，受到重力、细线拉力和库仑力。设悬点为，细线长为，小球到点的距离为，小球与的距离为。作出小球受力示意图如下 由受力平衡可知，力矢量三角形与几何三角形相似，故有 根据库仑定律 两式联立可得 使小球缓慢向下移动适当距离，则增大；细线长度不变，重力不变，由 可知细线拉力减小；同理，由 因为重力、两球带电量、均不变，增大，可知两球间的距离增大，故库仑力减小。 故选A。 4．（2026·湖南长沙·三模）如图所示，两个质量均为的完全相同的金属球壳与，其壳层的厚度和质量分布均匀，将它们固定于绝缘支架上，两球心间的距离为，为球壳外半径的倍。若使它们带上等量异种电荷，电荷量的绝对值均为，那么、之间的万有引力与库仑力为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】两个金属球壳质量分布均匀，壳层厚度和质量分布均匀，可以等效为质量集中于球心的质点。两球心距离为，因此万有引力公式严格适用 两球壳带等量异种电荷，由于静电感应，电荷在球壳上重新分布。异种电荷相互吸引，电荷会聚集在靠近彼此的一侧，导致实际电荷中心间距小于球心距。库仑定律的点电荷公式要求电荷均匀分布或距离远大于自身尺寸，本题，它们之间的距离并不是很大，不满足点电荷条件，因此 故选D。 5．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）如图所示，在绝缘木板上静置着两个半径为的金属小球 、 ，其中 球的电荷量为， 球的电荷量为，刚开始时两球心相距，库仑力为，将两球接触后球心相距为时，库仑力（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．等于 【答案】A 【详解】接触前，两球球心相距为，由库仑定律可得 接触后，两球电荷量“先中和，后平分”，每个金属小球带电量均为，两球球心相距为4r，若仍将两球视为点电荷，则 实际上4r不满足远大于r，则两球不能看成点电荷，因为同种电荷相互排斥，等效的点电荷距离大于4r，则库仑力，故A正确。 故选A。 6．（多选）（25-26高二上·福建泉州·期末）在探究电荷间作用力的大小与距离、电荷量的关系时，分别用长为L的绝缘细线把质量均为m的带电小球P、Q，悬挂在同一水平线上相距2L的M、N两点，平衡时P、Q的位置如图所示，细线与竖直方向的夹角均为，两小球均视为点电荷。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g。则（　　） A．两小球带异种电荷 B．两小球带电量一定相等 C．细线对小球P的拉力大小为2mg D．若两球带等量电荷，则小球所带电荷量均为 【答案】AD 【详解】A．同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，所以两小球带异种电荷，故A正确； B．两小球之间的静电力是相互作用力，大小相等，方向相反，根据库仑定律可得，仅能确定两小球带电量的乘积，但电荷量不一定相等，故B错误； C．对小球P受力分析有 解得，故C错误； D．两小球相距 由小球受力平衡可得 解得，故D正确。 故选AD。 【真题回顾】 1．（2026·河南·高考真题）在 坐标轴上放置电荷量为和的两点电荷，其坐标分别为，。电荷量为（）的试探电荷沿 轴移动，所受静电力 随 变化的图像如图所示。取 轴的正向为 的正方向，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由图像可知在间存在一点，设坐标为，试探电荷在此处受到的静电力为零，可知两点电荷带同种电荷，根据库仑定律有 由于，故可得； 根据图像可知在处时，试探电荷受到的静电力沿 轴的正向，根据前面分析由于，在处时，试探电荷到两点电荷间的距离相等，可知试探电荷在此处受到的静电力的合力方向与点电荷对试探电荷的静电力的方向相同，故可知 故选A。 2．（2025·湖南·高考真题）如图，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．A球静止时，轻绳上拉力为 B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为 C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小 【答案】C 【详解】AB．根据题意A球静止时，对A球受力分析，如图所示 由平行四边形定则及几何关系，轻绳上拉力为 A球与B球间的库仑力 故AB错误； C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球受到轻绳的拉力消失，其他两力保持不变，根据三力平衡知识，此时A球的合外力大小为，则加速度大小为g，故C正确； D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间B球受到的库仑力、重力不变，小球仍然处在静止状态，则轻杆对B球的作用力不变，故D错误。 故选C。 3．（2024·安徽·高考真题）在某装置中的光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球，通过不可伸长的绝缘轻质细线，连接成边长为d的正三角形，如图甲所示。小球质量为m，带电量为，可视为点电荷。初始时，小球均静止，细线拉直。现将球1和球2间的细线剪断，当三个小球运动到同一条直线上时，速度大小分别为、、，如图乙所示。该过程中三个小球组成的系统电势能减少了，k为静电力常量，不计空气阻力。则（    ） A．该过程中小球3受到的合力大小始终不变 B．该过程中系统能量守恒，动量不守恒 C．在图乙位置，， D．在图乙位置， 【答案】D 【详解】AB．该过程中系统动能和电势能相互转化，能量守恒，对整个系统分析可知系统受到的合外力为0，故动量守恒；当三个小球运动到同一条直线上时，根据对称性可知细线中的拉力相等，此时球3受到1和2的电场力大小相等，方向相反，故可知此时球3受到的合力为0，球3从静止状态开始运动，瞬间受到的合力不为0，故该过程中小球3受到的合力在改变，故AB错误； CD．对系统根据动量守恒 根据球1和2运动的对称性可知，解得 根据能量守恒 解得 故C错误，D正确。 故选D。 4．（2023·海南·高考真题）如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO = 2cm，OB = 4cm，在AB固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点（小球可视为点电荷），已知AP：BP = n：1，试求Q1：Q2是多少（   ）    A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1 【答案】C 【详解】对小球受力分析如图所示    由正弦定理有 其中 ∠CPH = ∠OPB，∠CHP = ∠HPD = ∠APO 其中△APO中 同理有 其中 ， 联立有 Q1：Q2= 2n3：1 故选C。 5．（2021·海南·高考真题）如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】滑块Q在光滑斜面N上静止，则P与Q带电同性，两者之间为库仑斥力设为F，两滑块的受力分析和角度关系如图所示 对Q物体在沿着斜面方向有 可得 而对P物体动摩擦因数最小时有 联立解得 故选D。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2 库仑定律 【题型精讲练】 1 题型1 点电荷的概念、探究电荷间的作用力 1 考向一 点电荷模型 1 考向二 库仑的实验-静电力常量 3 题型2 库仑定律的理解和应用 7 考向一 库仑力的一般计算 7 考向二 多个电荷的库仑力的计算 10 考向三 非点电荷间库仑力的计算 13 题型3 静电力计算 17 考向一 静电力的计算 17 【真题回顾】 21 【题型精讲练】 题型1 点电荷的概念、探究电荷间的作用力 1．点电荷：当带电体之间的距离比它们自身的大小 ，以致带电体的 、 及 对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作 ． 2.探究电荷间的作用力与哪些因素有关 实验探究：利用如图所示的装置探究影响电荷之间相互作用力的因素． 实验结论：电荷之间的作用力随着电荷量的增大而 ，随着距离的增大而 ． 考向一 点电荷模型 【例题讲练】 【例1】（25-26高一下·河南商丘·期末）关于库仑定律，下列说法正确的是（     ） A．库仑定律的适用条件是真空和静止点电荷 B．根据，当两个带电体间的距离趋近于零时，静电力将趋向于无穷大 C．所带电荷量分别为和的点电荷相互作用时，受到的静电力是受到的静电力的5倍 D．库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积较小的带电体 【例2】（多选）（25-26高二下·黑龙江鸡西·开学考试）关于点电荷、元电荷、检验电荷，下列说法正确的是（　　） A．点电荷是一种理想化的模型 B．点电荷所带电荷量一定是元电荷电荷量的整数倍 C．点电荷所带电荷量一定最小 D．点电荷、元电荷、检验电荷是同一种物理模型 【变式训练1】（2026高一·全国·专题练习）下列说法正确的是（     ） A．点电荷是一种理想化模型，真正的点电荷是可以在自然界找到的 B．点电荷就是体积和电荷量都很小的带电体 C．根据可知，当时， D．一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研究的问题的影响是否可以忽略不计 【变式训练2】（多选）（25-26高二上·全国·课前预习）关于点电荷的下列说法中正确的是（　　） A．真正的点电荷是不存在的 B．点电荷是一种理想模型 C．足够小的电荷就是点电荷 D．一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研究的问题的影响是否可以忽略不计 【题型强化练】 1．（25-26高一下·湖北襄阳·期中）“电”的概念古来有之，但对电的研究到了16世纪才随着现代科学的发展而开始。在静电学的发展史中，法国物理学家库仑的功劳首屈一指，他让电学成为一门现代科学。关于比荷、元电荷、点电荷、库仑定律，下列说法正确的是（　　） A．带电性质不同的质子和电子所带电荷量大小相等，它们的比荷也相等 B．元电荷是自然界中最小的电荷量，元电荷可以是质子也可以是电子 C．体积小的带电小球在任何情况下都可以看成点电荷 D．真空中两静止的点电荷之间的库仑力大小总是相等的 2．（25-26高二上·四川广安·期末）物理学的发展反映了人类对自然规律的认识，下列说法正确的是（　　） A．体积很小的电荷就能看作是点电荷 B．越靠近正电荷电场强度越大，越靠近负电荷电场强度越小 C．牛顿发现了电流的磁效应 D．电场强度和磁感应强度都是矢量 3．（25-26高二上·广东汕尾·期末）关于点电荷模型，下列论述正确的是（　　） A．库仑定律适用于点电荷 B．点电荷就是体积较小的带电体 C．点电荷产生的电场可以忽略不计 D．点电荷的电荷量是确定的，约为 4．（25-26高二上·福建泉州·期中）以下说法正确的是（   ） A．元电荷的数值最早是由美国物理学家密立根测得的，元电荷的数值跟一个电子电荷量的绝对值的数值相等 B．由公式知，当真空中的两个电荷间的距离时，它们之间的静电力 C．一带负电的金属小球放在潮湿的空气中，一段时间后，发现该小球上带的负电荷几乎不存在了，这说明小球上原有的负电荷逐渐消失了 D．只有体积很小的带电体才能看成点电荷 5．（25-26高一下·安徽马鞍山·期末）“电”的概念古来有之，但对电的研究到了16世纪才随着现代科学的发展而开始。关于元电荷、点电荷、试探电荷、比荷，下列说法正确的是（　　） A．元电荷可以是质子也可以是电子 B．体积小的带电小球在任何情况下都可以看成点电荷 C．试探电荷的电荷量很小，不影响原电场分布 D．质子和电子所带电荷量相等，比荷也相等 6．（多选）（25-26高二上·全国·课前预习）关于点电荷，下列说法中正确的是（　　） A．只有体积很小的带电体才能看成是点电荷 B．点电荷是一种理想模型，真正的点电荷是不存在的 C．两个带电体的大小、形状、电荷分布对它们之间的相互作用力的影响可忽略时，它们均可看成点电荷 D．当带电体带电量很少时，可看成点电荷 考向二 库仑的实验-静电力常量 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·湖南长沙·期末）物理学的发展丰富了人类对物质世界的认识，推动了科学技术的创新和革命，以下物理学史正确的是（     ） A．卡文迪什通过实验的测量，比较准确地得出了引力常量的数值 B．牛顿发现了万有引力定律，被称为“可以称出地球质量的人” C．丹麦科学家第谷通过观测行星，从而得出了行星运动的三大定律 D．库仑通过扭秤实验发现了点电荷间的作用规律，并测量了静电力常量 【例2】（多选）（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图所示，在库仑扭秤实验中，两个完全相同的小球A和B分别带等量同种电荷，小球固定在绝缘支架上，小球通过金属细丝悬挂在扭秤上。当系统平衡时，金属细丝的扭转角度为，库仑力与扭转角度成正比，即。实验中，得到如下表中数据，下列说法正确的是（     ） 距离变化 电荷量变化 扭转角变化 不变 不变 （两球） （两球） 不变 A．库仑力与电荷量成正比 B．库仑力与距离的二次方成反比 C．若距离减小为原来的一半，两小球电荷量也减半，库仑力大小保持不变 D．若距离减小为原来的一半，两小球电荷量也减半，库仑力大小变为原来2倍 【变式训练1】（25-26高一下·安徽合肥·期末）了解物理规律的发现过程，学会像科学家那样观察和思考，往往比掌握知识本身更重要。下列说法不符合史实的是（     ） A．开普勒利用自己观察的行星运动数据，通过数学方法建立了开普勒行星运动定律 B．海王星的发现验证了万有引力定律的正确性，显示了理论对实践的巨大指导作用 C．卡文迪许的扭秤实验和库仑扭秤实验的相似性，体现了“类比”是一种重要的思维方式 D．元电荷e的数值，最早是由美国物理学家密立根通过实验测得 【变式训练2】（多选）（24-25高二下·广东·学业考试真题）如图所示，库仑扭秤实验设计的巧妙之处在于；即使电荷量的具体数值未知，也能定量研究库仑力与电荷量之间关系。保持、球距离不变，下表为依次进行的3次实验的记录，下列说法正确的有（　　） 实验次数 1 2 3 球电量 球电量 库仑力 A．实验中、球会相互吸引 B．该实验用到了控制变量的方法 C．球与另一相同的不带电金属球接触后电量会减半 D．第3次实验测得的库仑力 【题型强化练】 1．（25-26高一下·江西上饶·期末）如图是库仑扭秤实验装置，下列说法正确的是（     ） A．由库仑定律公式可知，当r趋近于0时，F将趋向于无穷大 B．库仑扭秤能研究微小的库仑力，它最主要的物理思想是放大法 C．库仑扭秤能研究微小的库仑力，它最主要的物理思想是理想模型法 D．电荷量分别为Q和3Q的点电荷A、B相互作用时，B受到的库仑力是A的3倍 2．（25-26高一下·江苏盐城·期中）如图所示的实验装置为库仑扭秤，该实验通过悬丝扭转的角度可以比较力的大小，从而找到力F与距离r和电量q的关系。这一实验中用到了下列哪些方法（　　） ①极限法    ②控制变量法    ③微小量放大法    ④逐差法 A．①② B．①③④ C．②③④ D．②③ 3．（25-26高一下·浙江台州·期中）库仑扭秤实验用扭秤把极小的力放大到可测，第一次实现精确测量，使电磁学从定性走向定量，它是静电学的基石，也是人类第一个定量的电磁学定律。根据所学知识请判断库仑在实验过程中，对金属小球的电荷量的测定是采用下面哪种方法（　　） A．用测电量的仪器精密测量 B．用两个相同的金属小球带同种电荷，接触后总电量平分的方法确定电荷量 C．用两个相同的金属小球带异种电荷，接触后总电量平分的方法确定电荷量 D．用两个相同的金属小球，一个带电、一个不带电，接触后电荷量平分的方法确定电荷量 4．（25-26高二上·云南昆明·期末）下列关于物理学史的说法正确的是（　　） A．库仑通过扭秤实验装置得到电荷间的作用力与电荷间距离二次方成反比 B．开普勒在研究了第谷行星观测记录的基础上，得到了行星绕太阳按圆周轨道运行的结论 C．牛顿通过月地检验证明地面上的物体受到地球的引力和月球受到地球的引力满足同样的规律，从而提出万有引力定律，并据此测出了地球的质量 D．法拉第通过油滴实验，发现带电体的电量为某一数值的整数倍，从而测得了元电荷的电荷量 5．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）下列关于物理学史、研究方法和发展过程认识正确的是（    ） A．在不需要考虑物体的大小和形状时，用质点来代替物体的方法叫做等效替代法 B．在探究加速度与力、质量的关系实验中，采用了控制变量的实验方法 C．牛顿运动定律是研究动力学问题的基石，都能通过实验手段直接验证 D．库仑利用扭秤实验装置测出了引力常量，被称为“称量地球质量”第一人 6．（多选）（24-25高二上·河北沧州·期中）下列说法正确的是（　　） A．静电力常量没有单位 B．两点电荷的电荷量越大，库仑力一定越大 C．自然界中电荷的总量保持不变 D．电荷量是不能连续变化的物理量 题型2 库仑定律的理解和应用 1.库仑的实验 ①．库仑扭秤实验是通过悬丝 比较静电力F大小的．实验结果发现静电力F与距离r 的 成反比． ②．库仑在实验中为研究F与q的关系，采用的是用两个 的金属小球，一个带电，一个不带电，互相接触后，电荷量 的方法，发现F与q1和q2的 成正比． 2.库仑定律 ①内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成 ，与它们的距离的 成反比，作用力的方向在 ．这个规律叫作库仑定律．这种电荷之间的相互作用力叫作 或 ． ②公式：F＝k，其中k＝ N·m2/C2，叫作静电力常量． ③适用条件：a. ；b. ． 3.静电力计算 ①．微观带电粒子间的万有引力 库仑力．在研究微观带电粒子的相互作用时，可以把万有引力忽略． ②．两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的 ． 考向一 库仑力的一般计算 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·山西·期末）两个分别用长13cm的绝缘细线悬挂于同一点的相同小球（可看作质点），带有同种等量电荷。由于静电力F的作用，它们之间的距离为10cm。已测得每个小球的质量是0.6g，g取，静电力常量，则它们所带的电荷量为（　　） A． B． C． D． 【例2】（多选）（25-26高一下·河南周口·期末）如图所示，两个带电球，大球的电荷量大于小球的电荷量，可以肯定（     ） A．两球可能都带正电 B．两球都带负电 C．大球受到的静电力大于小球受到的静电力 D．两球受到的静电力大小相等 【变式训练1】（25-26高一下·陕西渭南·期末）在O点固定的点电荷产生的静电场中，一电子仅在静电力作用下的运动轨迹如图中实线所示，A、B是轨迹上两点，且OA=2OB，已知电子在B点所受静电力大小为F，则电子在A点所受静电力大小为（     ） A． B． C．2F D．4F 【变式训练2】（多选）（25-26高一下·山东泰安·期末）如图所示，质量为m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量也为q的小球B固定在O点正下方的绝缘柱上，其中O点与小球A的间距为l，O点与小球B的间距为，当小球A静止时，悬线与竖直方向夹角θ=30°。带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k。则（     ） A．小球A、B间库仑力大小 B．小球A、B间库仑力大小 C．细线拉力大小 D．细线拉力大小 【题型强化练】 1．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，某点O处固定点电荷，一个带电为的点电荷以O点为圆心做匀速圆周运动，另一带电为的点电荷以O为焦点做椭圆轨道运动，两个轨道相切于P点，两个电荷的质量相等且，它们之间的静电引力和万有引力均可忽略，设、先后经过P点时速度大小分别为v1、v2，加速度大小分别为、，下述关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河北衡水·期末）如图所示，两个完全相同的绝缘金属小球A、B放置在桌面上，所带电荷量分别为+9q、-q，刚开始时两球心相距为，库仑力大小为，现将两球接触后球心相距为放置，则库仑力的大小为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏泰州·期末）两个完全相同金属小球相距为r（远大于小球半径），所带电荷量分别为+5Q和-Q，两球间的库仑力大小为F。将两小球接触后再放回原处，它们之间的库仑力大小为（     ） A． B． C．5F D．F 4．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期末）A、B是两个相同的金属小球，A带有+4Q的电荷量，B带有-Q的电荷量，它们固定在距离为L的两处（L远大于小球直径），A、B间静电力大小为F。现把A、B距离减为，同时用与A、B相同的不带电小球C反复接触A、B稳定后拿走C球，则A、B间静电力的大小为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·安徽宿州·期末）真空中两个相同的带等量同种电荷的金属小球M和N（均可看作点电荷），分别固定在两处，两球之间的静电力为F。用一个不带电的同样的金属小球P与M接触后，移开P后，M的电荷量变为原来的一半，此时M、N之间的静电力变为（     ） A．F B． C． D． 6．（多选）（25-26高一下·安徽亳州·期末）如图所示，用轻质绝缘细绳将带电小球P悬挂起来，将带电小球Q置于P的正下方距离h处悬空，系统恰处于静止状态。两球均可视为质点，P与Q质量之比为，重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．两小球可能带同种电荷 B．若两球的电荷量都加倍，则Q可静止在P的正下方2h处 C．若剪断细绳，剪断瞬间P的加速度大小为2g D．若剪断细绳，剪断瞬间P的加速度大小为3g 考向二 多个电荷的库仑力的计算 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·辽宁·期末）如图所示，在直角三角形ABC的顶点A、B分别固定有两个正点电荷、，现将一负的试探电荷q固定于顶点C。已知AC∶BC=4∶3，Q1∶Q2=4∶3，图中虚线CM与AB边垂直，则q所受电场力方向（     ） A．沿CA方向 B．沿CM方向 C．在范围内（不含角边界） D．在范围内（不含角边界） 【例2】（多选）（25-26高三上·河北张家口·阶段检测）在科幻桌游《星际电荷迷宫》的进阶关卡中，玩家需要操控一个特殊装置：装置面板是水平光滑的绝缘平面，上面有三个带同种电荷q、质量均为m的金属小球，被三根长度均为L的绝缘轻绳连接成等边三角形。三角形的中心C点是装置的旋转轴心，静止时C到三个小球的距离相等，此时连接小球1和2的轻绳拉力为FT1。当玩家通关前置任务后，装置启动“旋转挑战模式”：整个小球一轻绳系统以C为圆心做匀速圆周运动，此时小球1和2之间的轻绳拉力变为FT2=3FT1。若此时小球1的动能为Ek，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26高一下·山东潍坊·期末）真空中有三个相同的金属球a、b、c，分别位于边长为r的正三角形的三个顶点上（r远大于小球直径），其中a球带电荷量为+5q，b球带电荷量为-q，c球不带电。现将a球先后与b、c接触再放回原处，已知静电力常量为k，则b球受到的静电力大小为（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（多选）（25-26高二上·上海·期中）如图所示，在倾角为的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与带电小球A连接。A、B、C三个带电小球均可视作质点，且质量均为m，，，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则（　　） A． B． C．弹簧伸长量为 D．相邻两小球间距为 【题型强化练】 1．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在真空中的绝缘水平面上，两相距为的固定的同种点电荷A、B带电荷量均为，点为两电荷连线的中点，为两电荷连线的中垂线，在中垂线上的 点放有一带电荷量也为的可看成点电荷的小物块，小物块在大小为（为静电力常量）的水平恒力作用下处于静止状态，已知力和间夹角，、间距离为，则小物块所受的摩擦力大小是（     ） A．0 B． C． D． 2．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图所示，边长为的立方体八个顶点上有八个点电荷，其中顶点、上的质点所带电荷量分别为、（，），其他质点所带电荷量未知，上的质点仅在静电力作用下处于平衡状态，现将上的质点电荷量变成，已知静电力常数为，则顶点上质点受静电力大小为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·新疆·模拟预测）如图所示，真空中三个点电荷、、分别固定在边长为0.5m的等边三角形的顶点上，已知，所受静电力为。静电力常量，下列判断可能正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·云南普洱·期末）如图所示，a、b、c、d四个带正电小球恰好构成“三星拱月”之形，其中a、b、c三个小球被固定在绝缘水平面内半径为R的圆周上，O为圆心，三小球所在位置恰好将圆周三等分。d球位于O点正上方处，处于静止状态，已知a、b、c球的电荷量均为q，d球的电荷量为4q，重力加速度为g．静电力常量为k，则d球的质量为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河北张家口·期末）三个完全相同的带电小球1、2、3，通过不可伸长的绝缘轻质细线连接成边长为的正三角形，静置于光滑绝缘水平面上，如图所示。小球质量为，带电量为，可视为点电荷，静电力常量为。现将球1和球2间的细线剪断，剪断细线的瞬间，小球3的加速度为（　　） A．0 B． C． D． 6．（多选）（25-26高一下·北京海淀·期中）如图所示，位于同一直线上的两个点电荷和将该直线划分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，另有一负点电荷，设对、的电场的影响可忽略不计，则（　　） A．在Ⅰ区中，受力可能向左，也可能向右 B．在Ⅱ区中，受力可能向左，也可能向右 C．在Ⅲ区中，受力可能向左，也可能向右 D．在Ⅱ区中，受力一定不为零 考向三 非点电荷间库仑力的计算 【例题精讲】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，真空中两个带电金属球半径均为，两球心间距离为，所带电荷量大小相等，均为。关于它们之间电荷的相互作用力大小，下列说法正确的是（　　） A．若带同种电荷， B．若带异种电荷， C．若带同种电荷， D．无论带何种电荷， 【例2】（多选）（2025高二上·海南·学业考试）两个倾角均为、底端相连的绝缘轨道、被固定在竖直平面内，粗糙、光滑。带电量均为、质量均为的小物块、（均可视为质点）静止在图示位置时，两物块的连线垂直于。静电力常量为，重力加速度为，则（　　） A．两物块间的电场力大小为 B．两物块间的距离为 C．受到的摩擦力大小为 D．对轨道的压力大小为 【变式训练1】（25-26高一下·江苏淮安·期中）如图所示的两个金属小球，球心间距离为，现使两球分别带上等量异种电荷、，则两球间的静电力（　　） A．等于 B．小于 C．等于 D．大于 【变式训练2】（多选）（25-26高二上·天津北辰·阶段检测）A、B两带电小球，质量分别为、用绝缘不可伸长的细线如图悬挂，静止时A、B两球处于相同高度。若B对A及A对B的库仑力分别为、，则下列判断正确的是（　　） A． B．细线AC对A的拉力 C．细线OC的拉力 D．同时烧断AC、BC细线后，落地时A的水平位移小 【题型强化练】 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图甲、乙所示，两个电荷量均为的点电荷分别置于电荷量线密度相同、半径相同的圆环和半圆环的圆心，环的粗细可忽略不计。若图甲中环对圆心点电荷的库仑力大小为，则图乙中环对圆心点电荷的库仑力大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·一模）如图所示，空间中有一均匀带正电的绝缘球壳，P、Q为竖直直径延长线上的两点，且，为水平直径。在P点放置一质量为、电荷量为（且q极小）的小球甲，小球甲恰能静止；移走小球甲，并截除半球壳（不影响半球壳的电荷分布），在Q点放置质量为、电荷量为的小球乙，小球乙也恰能静止。重力加速度为g，则半球壳对小球甲的作用力大小为（　　）    A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江·期中）如图所示，竖直面内固定一均匀带电圆环A，所带电荷量为Q，圆环A的轴线（过圆心且垂直于圆环平面）上距离圆心为r处有一质量为m、电荷量为q的小球，小球用绝缘细线悬挂于O点，静止时小球与O点连线与竖直方向的夹角为θ，小球与圆环连线与轴线的夹角为α，静电力常量为k，重力加速度为g，则小球与圆环之间的库仑力大小为（　　） A．k B．kcos2α C．mgtanθ D．mgcosθ 4．（19-20高二上·甘肃酒泉·期末）下列说法正确的是（　　） A．库仑定律适用于任何电场的计算 B．若点电荷的电荷量小于的电荷量，则对的静电力小于对的静电力 C．当两个半径均为、带电荷量均为的金属球中心相距为时，它们之间的静电力大小为 D．置于均匀带电空心球球心处的点电荷所受库仑力为零 5．（23-24高一下·江西宜春·阶段检测）如图所示，真空中两个带电金属球半径均为r，两球心间距离为4r，所带电荷量大小相等，均为Q。关于它们之间电荷的相互作用力大小F，下列说法正确的是（　　） A．若带同种电荷， B．若带异种电荷， C．若带同种电荷， D．无论带何种电荷， 6．（多选）（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）在竖直平面内固定一半径为的金属细圆环，质量为的金属小球（视为质点）通过长为的绝缘细线悬挂在圆环的最高点。当圆环、小球都带有相同的电荷量（未知）时，发现小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，如图所示。已知静电力常量为。则下列说法中正确的是（     ） A．电荷量 B．电荷量 C．绳对小球的拉力 D．绳对小球的拉力 题型3 静电力计算 1．微观带电粒子间的万有引力 库仑力。在研究微观带电粒子的相互作用时，可以把万有引力忽略。 2．两点电荷间的库仑力与周围是否存在其他电荷无关。 3．两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的 。这个结论叫作静电力叠加原理。 4．任何一个带电体都可以看成是由许多 组成的，如果知道带电体上的电荷分布，根据 就可以求出带电体之间的静电力的大小和方向。 考向一 静电力的计算 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·浙江温州·期末）如图所示，A、B两带电小球用绕过光滑定滑轮长为L的绝缘轻线连接，B球紧靠竖直光滑绝缘挡板。系统静止时，A、B球处于同一高度，悬挂A球的轻线与水平方向夹角为37°，悬挂B球的轻线竖直。已知A、B球带等量正电荷，B球质量为m，静电力常量为k，重力加速度为g，两小球均可视为质点，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（     ） A．A球的质量为m B．A球所受拉力大小为0.8mg C．A球所受库仑力大小为0.6mg D．A球所带的电荷量为 【例2】（多选）（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图所示，一光滑绝缘半圆环固定在竖直面内，半径为，圆环最低点固定一电荷量为的小球，另一质量为的小球恰好静止在与圆心等高的点，某时刻起，小球缓慢漏电，开始在竖直圆环上缓慢运动，已知静电力常量为，重力加速度为。下列说法中正确的是（     ） A．小球漏电前的电荷量 B．漏电过程中，圆环对小球的支持力大小变小 C．漏电过程中，小球的电荷量与两球间的距离的三次方成正比 D．漏电过程中，两球间的库仑力逐渐减小 【变式训练1】（25-26高一下·山东聊城·期末）光滑绝缘水平面上有两个可视为点电荷的相同金属小球A、B，带电量分别为和，固定在相距为的两处，同时释放两小球的瞬间，A的加速度大小为；若用一个相同的不带电金属球C先后与A、B接触后移走，将A、B距离减小为，同时释放两球的瞬间，A的加速度大小为（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（多选）（25-26高一下·广东深圳·期末）如图所示，在深圳中学高中园的物理实验室中，重力为G、带电为（）的小球A被绝缘细线系在天花板上，带正电的小球B通过绝缘体固定在地面上，当小球A处于静止状态时，小球A与小球B之间的连线水平且距离为d，细线与竖直方向夹角为θ，静电力常量为k，两小球均可视为点电荷，下列说法正确的是（     ） A．小球A受到的拉力大小为 B．小球A受到的拉力大小为G C．小球A受到的库仑力大小为 D．小球B的电荷量为 【题型强化练】 1．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）两个分别带电荷量为和的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为的两处，它们之间库仑力的大小为，将两小球相互接触后又放回原位置，则两球间库仑力的大小变为（    ） A． B． C． D． 2.（2026年高考物理真题完全解读（河南卷））在 坐标轴上放置电荷量为和的两点电荷，其坐标分别为，。电荷量为（）的试探电荷沿 轴移动，所受静电力 随 变化的图像如图所示。取 轴的正向为 的正方向，则（     ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高二下·陕西汉中·期中）带电小球固定在竖直的绝缘杆上，有一根不可伸长的绝缘轻质细线一端连接带电小球，另一端系在绝缘杆上，平衡时两小球的位置等高，如图所示。设小球受到细线的拉力为、库仑力为，使小球缓慢向下移动适当距离后，小球平衡并回到原位置，则此时较之前两小球等高时（     ） A．、都变小 B．、都变大 C．变大，变小 D．变小，变大 4．（2026·湖南长沙·三模）如图所示，两个质量均为的完全相同的金属球壳与，其壳层的厚度和质量分布均匀，将它们固定于绝缘支架上，两球心间的距离为，为球壳外半径的倍。若使它们带上等量异种电荷，电荷量的绝对值均为，那么、之间的万有引力与库仑力为（　　） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）如图所示，在绝缘木板上静置着两个半径为的金属小球 、 ，其中 球的电荷量为， 球的电荷量为，刚开始时两球心相距，库仑力为，将两球接触后球心相距为时，库仑力（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．等于 6．（多选）（25-26高二上·福建泉州·期末）在探究电荷间作用力的大小与距离、电荷量的关系时，分别用长为L的绝缘细线把质量均为m的带电小球P、Q，悬挂在同一水平线上相距2L的M、N两点，平衡时P、Q的位置如图所示，细线与竖直方向的夹角均为，两小球均视为点电荷。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g。则（　　） A．两小球带异种电荷 B．两小球带电量一定相等 C．细线对小球P的拉力大小为2mg D．若两球带等量电荷，则小球所带电荷量均为 【真题回顾】 1．（2026·河南·高考真题）在 坐标轴上放置电荷量为和的两点电荷，其坐标分别为，。电荷量为（）的试探电荷沿 轴移动，所受静电力 随 变化的图像如图所示。取 轴的正向为 的正方向，则（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·湖南·高考真题）如图，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．A球静止时，轻绳上拉力为 B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为 C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小 3．（2024·安徽·高考真题）在某装置中的光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球，通过不可伸长的绝缘轻质细线，连接成边长为d的正三角形，如图甲所示。小球质量为m，带电量为，可视为点电荷。初始时，小球均静止，细线拉直。现将球1和球2间的细线剪断，当三个小球运动到同一条直线上时，速度大小分别为、、，如图乙所示。该过程中三个小球组成的系统电势能减少了，k为静电力常量，不计空气阻力。则（    ） A．该过程中小球3受到的合力大小始终不变 B．该过程中系统能量守恒，动量不守恒 C．在图乙位置，， D．在图乙位置， 4．（2023·海南·高考真题）如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO = 2cm，OB = 4cm，在AB固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点（小球可视为点电荷），已知AP：BP = n：1，试求Q1：Q2是多少（   ）    A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1 5．（2021·海南·高考真题）如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $