2.2.3 直线的一般式方程（分层作业）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.2.3 直线的一般式方程 知识点1 直线的一般式方程及其辨析 1．已知直线l：的倾斜角为，则实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由题意可知，直线的斜率存在，所以直线l：的斜率为， 则，解得. 故选：A. 2．直线在轴上的截距是 . 【答案】 【详解】在直线方程中，令，解得. 故答案为：. 3．设，若直线l：不经过平面直角坐标系的第一象限，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】直线：的斜率为，纵截距为， 当，即时，直线过第一象限，不符合题意， 则由直线不经过第一象限，得，解得， 所以a的取值范围为. 故答案为： 4．直线：，：（，）在同一坐标系中的图形大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将与的方程化为斜截式得，， A：对应，又，则，显然不符合； B：对应，而在y轴上截距为正，不符； C：对应，结合易知，符合； D：对应，而的斜率为正，不符； 故选：C 知识点2 直线的一般式方程与其他形式的相互转化 5．（多选）已知直线，则（   ） A．不过原点 B．在轴上的截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以不过原点，故A正确； 对于B，令，得，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，把化为，所以的斜率为，故C正确； 对于D，把化为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故D错误. 故选：AC. 6．已知，，随机选取m、n，则直线不经过第二象限的概率是 ． 【答案】 【详解】依题意，所有可能的直线为 ，即，过一、二、四象限. ，即，过一、三、四象限. ，即，过一、二象限. ， 即，过三、四象限. ， 即，过一、二、三象限. ， 即，过二、三、四象限. 其中不经过第二象限的为、， 所以直线不经过第二象限的概率是. 故答案为： 7．过点，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线一般方程是 . 【答案】 【详解】由题意，设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 8．将直线绕点逆时针旋转得到的直线方程为 ． 【答案】 【详解】直线的斜率为，则倾斜角为， 又点在直线，将直线绕点逆时针旋转， 得到的直线的倾斜角为，则斜率为， 所以得到的直线方程为，即. 故答案为：. 知识点3 直线的平行问题 9．已知直线，，则的充要条件的是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，所以且， 解得， 当时，直线，，显然， 所以的充要条件的是. 故选：A 10．已知定点不在直线：上，则表示一条（   ） A．过点且垂直于的直线 B．过点且平行于的直线 C．不过点但垂直于的直线 D．不过点但平行于的直线 【答案】B 【详解】因为定点不在直线：上，则可令， 所以表示一条与：斜率相同的直线， 当，时，，所以过点， 所以表示过点且平行于的直线. 故选：B. 11．已知点，则经过线段上一点，且与直线平行的直线的方程为 （写出一个符合题意的直线方程即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】与直线平行的直线的方程可设为， 经过线段上一点，不妨取点，代入可得，则， 故所求直线方程为． 故答案为： 12．直线，直线过点，且，求直线的方程． 【答案】 【详解】因为，故设方程为，又点在上， 所以， 所以的方程为. 知识点4 直线的垂直问题 13．已知直线，，若，则实数a的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ∴，解得. 故选：C. 14．“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，直线与直线中，，它们互相垂直， 当直线与直线互相垂直时，，， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件. 故选：A 15．已知直线的方程为，则与垂直，且过点的直线方程是 ． 【答案】 【详解】过点且与直线（其中不全为零）垂直的直线方程可以写成． 由题意，过点和垂直的直线可写作，即. 故答案为： 16．已知三角形的三个顶点、、，则边所在直线方程是 ，边上的垂直平分线所在直线的方程是 . 【答案】 【详解】由题知：,所以方程为，即， 中点,, 所以边上的垂直平分线所在直线的方程为，即， 故答案为：，. 知识点5 直线过定点问题 17． ，过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 注意到动直线和动直线始终垂直， 又是两条直线的交点， 则有， ． 故当且仅当时取等 故选：C. 18．当原点到动直线的距离最大时，实数的值为 . 【答案】 【详解】由，得，则动直线恒过定点； 故原点到动直线的距离最大时，直线， 因为直线的斜率为，所以，解得； 故答案为： 19．证明：直线（是参数且）过定点，并求出定点坐标． 【答案】证明见解析， 【详解】法1，直线方程化为：， ，，解得， 直线（是参数且）过定点. 法2，（特殊直线法）取得，，联立解得，， 将代入检验满足方程， 直线是参数且过定点. 20．求证：为任意实数时，直线必过一定点． 【答案】证明见解析 【详解】将原方程变形为：， 即，可知直线过定点， 或将方程整理成恒成立， 所以， 从而. 所以直线恒过定点. 1．过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线夹在直线之间的线段是，（在上，在上）， 设，因为被点平分， 所以，于是， 由于在上，在上， 所以，解得， 即的坐标是，而， 则，由点斜式得，即. 所以直线的方程是：. 故选：D. 2．已知点分别在直线上移动.若为原点，，则直线斜率的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为点分别在直线上移动， 所以， 两式相减得 所以直线的斜率， 因为，所以，所以， 即直线斜率的取值范围是. 故答案为： 3．过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【详解】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意， ，所以或, 所以或， 设，则或， 则或 解得或， 即或， 即或， 所以这样的直线有条. 故选：D 4．已知的顶点，高所在直线方程为，角的平分线所在直线方程为．求：点的坐标 ；边所在直线方程 ． 【答案】 ； . 【详解】∵的顶点，高所在直线方程为， 角的平分线所在直线方程为， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为：，即， 联立，得， ∴B点坐标为； ∵，，角的平分线所在直线方程为， ∴， ∴，解得或（舍）， ∴直线的方程为：，即． 故答案为：；. 5．（多选）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与不重合），则以下说法正确的是（　　） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】列表解析  直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 因为可化为，所以直线恒过定点．又因为可化为，所以直线恒过定点．故． B √ 对于直线，因为，所以，可得，因此，为定值． C × ，当且仅当时等号成立（点拨  注意等号成立的条件是否满足），所以的最大值为． D √ 设，因为，所以为锐角，，所以，其中，所以当时，取得最大值． 故选：ABD. 6．设直线的方程为，且分别与轴正半轴、轴正半轴交于点． (1)当最小时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且也为正整数时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由题意知，，则， 所以 （基本不等式的应用）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，最小， 此时直线的方程为． （2）因为直线在两坐标轴上的截距均为正整数， 所以不妨设，则， 又也为正整数，所以，即，所以或4． 当时，，此时， 所以直线的方程为（直线的截距式方程），即； 当时，，不符合题意，舍去． 综上所述，直线的方程为． 7．已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为.    1．，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线方程为，则，解得，即，即， 设关于直线对称的点为，则，解得，即，， 同理可得： 点关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为， 如图所示： 利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点； 所以点之间为点的变动范围， 因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而， 所以，即. 故选：D 2．已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则 . 【答案】 【详解】    由题意得，直线过定点，. 如图1，当直线与线段交于点时，， ，不合题意. 如图2，当直线与线段交于点时， 由，得直线方程为，即. 中，设边上的高为，则，即，解得，故. ∵点在直线上，∴，即， ∴. 故答案为：. 3．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（    ）（参考数据：） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 【答案】B 【详解】设， 由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动，其中三点共线， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大，点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为. 故选：B. 【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题. 4．如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； 【答案】(1)证明见解析；定点为 (2) 【详解】（1）由，整理得， 由解得，即直线经过定点； （2） 如图，因，，，,可得：, 即为正三角形，又由，可知点为的三等分点（靠近点）， 则,由题意，直线必与边相交（否则若与边相交于点,则,不合题意）， 设交点为，依题意，由，可得, 解得，则.设点， 由,可得，解得，即, 于是，,故直线的方程为：， 即. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.3 直线的一般式方程 知识点1 直线的一般式方程及其辨析 1．已知直线l：的倾斜角为，则实数（    ） A． B． C． D．1 2．直线在轴上的截距是 . 3．设，若直线l：不经过平面直角坐标系的第一象限，则a的取值范围为 ． 4．直线：，：（，）在同一坐标系中的图形大致是（   ） A． B． C． D． 知识点2 直线的一般式方程与其他形式的相互转化 5．（多选）已知直线，则（   ） A．不过原点 B．在轴上的截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 6．已知，，随机选取m、n，则直线不经过第二象限的概率是 ． 7．过点，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线一般方程是 . 8．将直线绕点逆时针旋转得到的直线方程为 ． 知识点3 直线的平行问题 9．已知直线，，则的充要条件的是（    ） A． B． C．或 D． 10．已知定点不在直线：上，则表示一条（   ） A．过点且垂直于的直线 B．过点且平行于的直线 C．不过点但垂直于的直线 D．不过点但平行于的直线 11．已知点，则经过线段上一点，且与直线平行的直线的方程为 （写出一个符合题意的直线方程即可）． 12．直线，直线过点，且，求直线的方程． 知识点4 直线的垂直问题 13．已知直线，，若，则实数a的值为（   ） A．3 B． C． D． 14．“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知直线的方程为，则与垂直，且过点的直线方程是 ． 16．已知三角形的三个顶点、、，则边所在直线方程是 ，边上的垂直平分线所在直线的方程是 . 知识点5 直线过定点问题 17． ，过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 18．当原点到动直线的距离最大时，实数的值为 . 19．证明：直线（是参数且）过定点，并求出定点坐标． 20．求证：为任意实数时，直线必过一定点． 1．过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知点分别在直线上移动.若为原点，，则直线斜率的取值范围是 . 3．过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．已知的顶点，高所在直线方程为，角的平分线所在直线方程为．求：点的坐标 ；边所在直线方程 ． 5．（多选）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与不重合），则以下说法正确的是（　　） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 6．设直线的方程为，且分别与轴正半轴、轴正半轴交于点． (1)当最小时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且也为正整数时，求直线的方程． 7．已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 1．，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则 . 3．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（    ）（参考数据：） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 4．如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$