2.3.2 两点间的距离公式（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.3.2 两点间的距离公式 题型一：已知两点坐标求两点间距离 1．在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式计算即得. 【详解】点和点之间的距离为. 故选：D. 2．已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点公式，求得的中点坐标，结合两点间的距离公式，即可求解. 【详解】设的中点为，由中点坐标公式得，所以， 所以． 故选：A. 3．光线从点射到轴上，经反射以后经过点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点关于轴的对称点为,求出即得解. 【详解】点关于轴的对称点为， 则光线从到经过的路程为的长度， 即. 故选：C 4．（1）已知点和，求； （2）已知的顶点为，，，求的周长． 【答案】（1）5；（2） 【分析】利用两点间距离公式进行求解. 【详解】（1）； （2），，， 故的周长为. 题型二：利用两点间距离公式求参数值 1．已知点与点间的距离为，则 ． 【答案】9或 【分析】根据两点间的距离公式列方程求解即可. 【详解】由， 得， 即，解得或． 故答案为：9或. 2．已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 3．已知与两点间的距离是17，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】直接用两点间得距离公式计算即可. 【详解】由两点间的距离公式得：，解得. 故选：D 4．已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，根据两点间距离公式和列出关于x的方程，解方程即可求得P的坐标． 【详解】设，则，解得， 点的坐标为， 故答案为：． 5．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是（    ） A．(－4，5) B．(－3，4) C．(－1，2) D．(0，1) 【答案】BC 【分析】根据两点间的距离公式求得正确选项. 【详解】设所求点的坐标为， 则，解得或， 所以所求点的坐标为或. 故选：BC 题型三：由顶点坐标判断三角形的形状 1．以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 【答案】C 【分析】计算出，由此确定三角形的形状. 【详解】， ， ， ， 所以三角形是直角三角形. 故选：C 2．已知，证明是等边三角形． 【答案】答案见解析 【分析】利用两点间的距离公式求解三边长度，可得证. 【详解】因为，所以， ，， 所以，所以是等边三角形． 3．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)． （1）判断△ABC的形状； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）△ABC是以A为直角顶点的直角三角形；（2）5． 【分析】（1）利用两点间的距离公式求出的值，再由勾股定理的逆定理判断即可；或求出直线、的斜率，利用斜率的关系判断即可； （2）直接直角三角形的两直角边求面积即可 【详解】2、（1）如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证． 法一：∵，， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． 法二：∵． ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC． ∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． （2）由（1）中法一得|AB|＝2，|AC|＝． 又∵∠A＝90°，∴S△ABC＝|AB||AC|＝×2×＝5． 4．已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 . 【答案】 直角三角形 5 【分析】根据两点距离公式，结合勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式进行求解即可. 【详解】因为， ，， 所以，即是以A为直角顶点的直角三角形． 由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以. 故答案为：直角三角形； 题型一：两点距离公式与其他知识交汇 1．曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为 ． 【答案】 【分析】联立方程组，求出两点坐标，根据两点间的距离公式，求出线段长度. 【详解】联立方程组得，消去得，解得或， 所以不妨设，则. 故答案为：. 2．直线：与：及：所得两交点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出两条直线的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】由，得，即直线与的交点坐标， 由，得，即直线与的交点坐标， 所以. 故选：C 3．直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线方程可得定点A，B，然后由两点间距离公式可得答案. 【详解】直线过定点， 直线 ， 则，可得过定点， 所以. 故选：A 4．过点和点的直线与平行，则的值为（    ） A．6 B．2 C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据两直线平行求得的关系式，利用两点间的距离公式求得. 【详解】由题意知，即，则． 故. 故选：C 5．过点和点的直线与直线垂直，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【解析】根据两直线垂直可得，根据两点间的距离公式可得结果. 【详解】因为过点和点的直线与直线垂直， 所以，即， 所以 . 故选：C 题型二：“距离型”的最值 ①单根号型，函数观点求最值 1．已知点与点之间的距离最小值为 ． 【答案】 【分析】代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】， 当时，取得最小值 故答案为： 2．已知点，当取得最小值时，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由两点间的距离公式求解即可. 【详解】由两点间距离公式得， 当时，取得最小值 故选：D. 3．直线上与点的距离最小的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设所求点的坐标为，然后根据题意列方程组可求得结果. 【详解】设所求点的坐标为Q，又点 所以， 所以所求点的坐标为 故选：A ②双根号和型求最值 1．的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据两点之间的距离公式改写目标函数解析式，即可根据几何意义求得结果. 【详解】 ， ， 如图，设点，，，要求的最小值，即求的最小值． 由于，当A，B，C三点共线时，等号成立， 且，故的最小值为． 故答案为： . 2．函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得表示与、的距离之和，求出C关于x的轴对称点，数形结合，求解即可. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离， 又关于x轴的对称点，如图， 所以， 所以． 故答案为： 3．若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【分析】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 4．已知x，y为实数，代数式的最小值是 ． 【答案】5 【分析】利用两点间的距离公式的几何意义，将代数问题转化为几何问题求解，即可得到答案. 【详解】即，几何意义为点与点的距离； 即，几何意义为点与点的距离； 即，几何意义为点与点的距离， 分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点， 连接，则， ∴ ， 当且仅当分别为与轴，轴的交点时，等号成立， 故答案为：5. ③同侧距离和最小值 1．已知点，点在轴上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则，计算即得的最小值. 【详解】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接，则，此时即为最小值. 理由：在轴上任取点，连接，易得， 则， 故上述点即是使取得最小值的点. 故答案为：. 2．若点在直线上，则点到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线对称的点为，则，由两点间距离公式计算，可得答案. 【详解】由已知，设关于直线的对称点为， 则解得，即， 所以． 故选：B. 3．点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】求得关于轴的对称点，根据三点共线时取到最小值，进一步计算即可求解 【详解】如图所示， 关于轴的对称点为, 则, 当三点共线时等号成立， 又, 故的最小值为5, 故选：B. ④异侧距离差最大值 1．已知点，点是直线上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】求出关于的对称点，作出辅助线，当三点共线时，取得最大值，求出最大值. 【详解】设点关于的对称点为， 则，解得，故， 由对称性可知，， 当可组成三角形时，根据三角形三边关系得到， 连接并延长，交于点，则此时， 即当三点共线时，取得最大值， 最大值为. 故答案为： 2．已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意，作出点(或点)关于直线的对称点（），作直线（）与直线相交，则交点则就是使取最大值的点,求出点（点）坐标，即得最大距离即（）. 【详解】 如图，作出点关于直线的对称点，连接延长交直线于点,此时点使取得最大值. (原因如下：根据点关于直线的对称图形特征，知,此时, 在直线上另取点,连接,则,) 不妨设点，则有：解得：即, 故 故选：C. 3．若，求的最大值. 【答案】 【分析】先将的表达式进行化简，然后确定题目问题的几何意义，通过图形确定最值. 【详解】，此题实质上是求在约束条件下的最值. 其几何意义为，在直线上有一点M，求点M到点与点的距离之差的最大值. 画出图像如图所示，作关于直线的对称点，连接并延长交直线于点，可知此时取最大值. 因为，所以直线的方程为. 联立两直线方程组为，解得. 设，因为是的中点，所以. 所以点B关于直线的对称点为， 则由平面几何知识可知. 题型：距离新定义 1．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”．若，则 ； 【答案】 2 【分析】根据定义直接计算① 【详解】若，则； 故答案为：2； 2．在平面直角坐标系内，O为坐标原点，对于任意两点，定义它们之间的“曼哈顿距离”为，以对于平面上任意一点P，若，则动点P的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】由题意得点的轨迹方程，发现它的轨迹是正方形，只需求出一条边的距离即可. 【详解】 由题意设，则，用分别用依次代入该方程，发现该方程不变， 所以曲线的图象关于坐标轴以及坐标原点对称， 不妨设，此时即，它与坐标轴的两个交点坐标为， 它们的距离为， 所以由对称性得动点P的轨迹长度为. 故答案为：. 3．十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“好点”的定义逐个验证即可. 【详解】对于A，设， 则， 所以点不是的“好点”； 对于B，设， 则， ， 所以， 所以点是的“好点”； 对于C，设， 则， 所以点不是的“好点”； 对于D，设， 则， 所以点不是的“好点”. 故选：B. 4．我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为 . 【答案】6 【分析】由条件确定与两点之间的欧几里得距离的最小值及对应的点的位置，再根据切比雪夫距离的定义求解即可. 【详解】因为点是直线：上的动点，要使最小，则，此时， 所以，由方程组，解得，， 所以，，两点之间的切比雪夫距离为6. 故答案为：6. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3.2 两点间的距离公式 题型一：已知两点坐标求两点间距离 1．在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 2．已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（    ） A． B． C． D． 3．光线从点射到轴上，经反射以后经过点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 4．（1）已知点和，求； （2）已知的顶点为，，，求的周长． 题型二：利用两点间距离公式求参数值 1．已知点与点间的距离为，则 ． 2．已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 3．已知与两点间的距离是17，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 4．已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为 ． 5．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是（    ） A．(－4，5) B．(－3，4) C．(－1，2) D．(0，1) 题型三：由顶点坐标判断三角形的形状 1．以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 2．已知，证明是等边三角形． 3．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)． （1）判断△ABC的形状； （2）求△ABC的面积． 4．已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 . 题型一：两点距离公式与其他知识交汇 1．曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为 ． 2．直线：与：及：所得两交点间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 4．过点和点的直线与平行，则的值为（    ） A．6 B．2 C． D．不能确定 5．过点和点的直线与直线垂直，则（    ） A． B．4 C． D．2 题型二：“距离型”的最值 ①单根号型，函数观点求最值 1．已知点与点之间的距离最小值为 ． 2．已知点，当取得最小值时，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．直线上与点的距离最小的点的坐标是（    ） A． B． C． D． ②双根号和型求最值 1．的最小值为 ． 2．函数的最小值为 ． 3．若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 4．已知x，y为实数，代数式的最小值是 ． ③同侧距离和最小值 1．已知点，点在轴上，则的最小值为 . 2．若点在直线上，则点到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． ④异侧距离差最大值 1．已知点，点是直线上的动点，则的最大值为 . 2．已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 3．若，求的最大值. 题型：距离新定义 1．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”．若，则 ； 2．在平面直角坐标系内，O为坐标原点，对于任意两点，定义它们之间的“曼哈顿距离”为，以对于平面上任意一点P，若，则动点P的轨迹长度为 ． 3．十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$